Chiziqli tengsizliklar. Misollar bilan batafsil nazariya

Tengsizlik belgilari haqida nimani bilishingiz kerak? Belgilar bilan tengsizliklar Ko'proq (> ), yoki Ozroq (< ) deyiladi qattiq. Belgilar bilan ko'proq yoki teng (≥ ), kamroq yoki teng (≤ ) deyiladi qattiq emas. Belgi teng emas (≠ ) bir-biridan ajralib turadi, lekin siz ham doim ushbu belgi bilan misollarni yechishingiz kerak. Va biz qaror qilamiz.)

Belgining o'zi hal qilish jarayoniga katta ta'sir ko'rsatmaydi. Ammo qaror oxirida, yakuniy javobni tanlashda, belgining ma'nosi to'liq kuchda namoyon bo'ladi! Buni biz quyida misollarda ko'ramiz. U yerda qandaydir hazillar bor...

Tengsizliklar, tenglik kabi, mavjud sodiq va bevafo. Bu erda hamma narsa oddiy, hiyla yo'q. Aytaylik, 5 > 2 - haqiqiy tengsizlik. 5 < 2 - noto'g'ri.

Ushbu tayyorgarlik tengsizliklar uchun ishlaydi har qanday va dahshat darajasida oddiy.) Siz ikkita (faqat ikkita!) elementar harakatni to'g'ri bajarishingiz kerak. Bu harakatlar hamma uchun tanish. Lekin xarakterli jihati shundaki, bu harakatlardagi xatolar tengsizliklarni yechishdagi asosiy xatodir, ha... Shuning uchun bu harakatlar takrorlanishi kerak. Ushbu harakatlar quyidagicha nomlanadi:

Tengsizliklarning bir xil o'zgarishlari.

Tengsizliklarni bir xil o'zgartirishlar tenglamalarning bir xil o'zgarishlariga juda o'xshash. Aslida, bu asosiy muammo. Farqlar sizning boshingizdan o'tadi va ... mana siz.) Shuning uchun, men bu farqlarni alohida ta'kidlayman. Shunday qilib, tengsizliklarning birinchi bir xil o'zgarishi:

1. Bir xil son yoki ifodani tengsizlikning ikkala tomoniga qo‘shish (ayirish) mumkin. Har qanday. Bu tengsizlik belgisini o'zgartirmaydi.

Amalda bu qoida atamalarni tengsizlikning chap tomonidan o'ngga (va aksincha) belgisini o'zgartirish bilan o'tkazish sifatida ishlatiladi. Tengsizlik emas, atama belgisining o'zgarishi bilan! Yakkama-yakka qoida tenglamalar qoidasi bilan bir xil. Ammo tengsizliklardagi quyidagi bir xil o'zgarishlar tenglamalardagidan sezilarli darajada farq qiladi. Shuning uchun men ularni qizil rang bilan ta'kidlayman:

2. Tengsizlikning ikkala tomonini bir xil narsaga ko'paytirish (bo'lish) mumkinijobiyraqam. Har qanday uchunijobiy O'zgarmaydi.

3. Tengsizlikning ikkala tomonini bir xil narsaga ko'paytirish (bo'lish) mumkinsalbiy raqam. Har qanday uchunsalbiyraqam. Bundan tengsizlik belgisiaksincha o'zgaradi.

Esingizdami (umid qilamanki ...) tenglamani har qanday narsaga ko'paytirish/bo'lish mumkin. Va har qanday raqam uchun va X bilan ifoda uchun. Agar u nol bo'lmasa edi. Bu uni qiladi, tenglama, na issiq, na sovuq.) Bu o'zgarmaydi. Ammo tengsizliklar ko'paytirish/bo'lish uchun ko'proq sezgir.

Uzoq xotira uchun aniq misol. Shubha tug'dirmaydigan tengsizlikni yozamiz:

5 > 2

Ikkala tomonni ko'paytiring +3, olamiz:

15 > 6

E'tirozlar bormi? Hech qanday e'tiroz yo'q.) Va agar biz asl tengsizlikning ikkala tomonini ko'paytirsak -3, olamiz:

15 > -6

Va bu ochiq yolg'on.) To'liq yolg'on! Xalqni aldash! Ammo tengsizlik belgisini teskarisiga o'zgartirsangiz, hamma narsa joyiga tushadi:

15 < -6

Men yolg'on va yolg'on haqida qasam ichmayman.) "Tenglik belgisini o'zgartirishni unutibman ..."- Bu uy tengsizliklarni yechishdagi xato. Bu arzimas va oddiy qoida juda ko'p odamlarni xafa qildi! Qaysi ular unutgan ...) Shunday qilib, men qasam ichaman. Balki eslayman...)

Ayniqsa diqqatli odamlar tengsizlikni X bilan ko'paytirib bo'lmasligini payqashadi. Ehtiyotkorlarga hurmat!) Nega? Javob oddiy. Biz X bilan bu ifodaning belgisini bilmaymiz. Ijobiy, salbiy bo'lishi mumkin... Shuning uchun ko'paytirishdan keyin qaysi tengsizlik belgisini qo'yishni bilmaymiz. Uni o'zgartirishim kerakmi yoki yo'qmi? Noma'lum. Albatta, bu cheklovni (tengsizlikni x bilan ifodaga ko'paytirish/bo'lish taqiqlanishi) chetlab o'tish mumkin. Agar sizga haqiqatan ham kerak bo'lsa. Ammo bu boshqa darslar uchun mavzu.

Bu tengsizliklarning barcha bir xil o'zgarishlari. Ular uchun ishlashlarini yana bir bor eslatib o'taman har qanday tengsizliklar Endi siz ma'lum turlarga o'tishingiz mumkin.

Chiziqli tengsizliklar. Yechim, misollar.

Chiziqli tengsizliklar x birinchi darajali va x ga bo'linmaydigan tengsizliklardir. Turi:

x+3 > 5x-5

Bunday tengsizliklar qanday hal qilinadi? Ularni hal qilish juda oson! Ya'ni: yordamida biz eng chalkash chiziqli tengsizlikni kamaytiramiz to'g'ridan-to'g'ri javobga. Bu yechim. Men qarorning asosiy nuqtalarini ta'kidlayman. Ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun.)

Keling, ushbu tengsizlikni hal qilaylik:

x+3 > 5x-5

Biz uni chiziqli tenglama bilan bir xil tarzda hal qilamiz. Faqatgina farq bilan:

Biz tengsizlik belgisini diqqat bilan kuzatib boramiz!

Birinchi qadam eng keng tarqalgan. X bilan - chapga, Xsiz - o'ngga... Bu birinchi bir xil o'zgartirish, oddiy va muammosiz.) Faqat uzatilgan atamalarning belgilarini o'zgartirishni unutmang.

Tengsizlik belgisi qoladi:

x-5x > -5-3

Mana shunga o'xshashlar.

Tengsizlik belgisi qoladi:

4x > -8

Oxirgi bir xil o'zgartirishni qo'llash qoladi: ikkala tomonni -4 ga bo'ling.

ga bo'ling salbiy raqam.

Tengsizlik belgisi teskarisiga o'zgaradi:

X < 2

Bu javob.

Barcha chiziqli tengsizliklar shunday echiladi.

Diqqat! 2-nuqta oq chizilgan, ya'ni. bo'yalmagan. Ichi bo'sh. Bu uning javobga kiritilmaganligini anglatadi! Men uni ataylab juda sog'lom chizganman. Matematikada bunday nuqta (bo'sh, sog'lom emas!)) deyiladi teshilgan nuqta.

Eksadagi qolgan raqamlar belgilanishi mumkin, lekin kerak emas. Bizning tengsizligimiz bilan bog'liq bo'lmagan begona raqamlar chalkash bo'lishi mumkin, ha ... Faqat raqamlar o'q yo'nalishi bo'yicha ortib borishini esga olishingiz kerak, ya'ni. 3, 4, 5 raqamlari va boshqalar. bor O'ngga ikkilik, raqamlar esa 1, 0, -1 va hokazo. - Chapga.

Tengsizlik x < 2 - qattiq. X qat'iy ravishda ikkitadan kamroq. Agar shubhangiz bo'lsa, tekshirish oddiy. Biz shubhali raqamni tengsizlikka almashtiramiz va o'ylaymiz: "Ikki ikkitadan kichikmi? Yo'q, albatta!" Aynan shunday. Tengsizlik 2 < 2 noto'g'ri. Buning evaziga ikkitasi mos emas.

Bittasi yaxshimi? Albatta. Kamroq ... Va nol yaxshi, va -17 va 0,34 ... Ha, ikkitadan kichik bo'lgan barcha raqamlar yaxshi! Va hatto 1.9999.... Hech bo'lmaganda bir oz, lekin kamroq!

Shunday qilib, keling, ushbu raqamlarning barchasini raqamlar o'qida belgilaymiz. Qanaqasiga? Bu erda variantlar mavjud. Birinchi variant - soya qilish. Biz sichqonchani rasm ustiga olib boramiz (yoki planshetdagi rasmga tegizamiz) va x shartiga javob beradigan barcha x ning maydoni soyalanganligini ko'ramiz. < 2 . Ana xolos.

Keling, ikkinchi misol yordamida ikkinchi variantni ko'rib chiqaylik:

X ≥ -0,5

O'qni chizing va -0,5 raqamini belgilang. Mana bunday:

Farqga e'tibor bering?) Xo'sh, ha, buni sezmaslik qiyin ... Bu nuqta qora! Bo'yalgan. Bu -0,5 degan ma'noni anglatadi javobga kiritilgan. Bu erda, aytmoqchi, tekshirish kimnidir chalkashtirib yuborishi mumkin. Keling, almashtiramiz:

-0,5 ≥ -0,5

Qanaqasiga? -0,5 -0,5 dan oshmaydi! Va yana bir belgi bor ...

Hammasi joyida; shu bo'ladi. Zaif tengsizlikda belgiga mos keladigan hamma narsa mos keladi. VA teng yaxshi, va Ko'proq yaxshi. Shuning uchun javobga -0,5 kiritiladi.

Shunday qilib, biz o'qda -0,5 ni belgiladik; -0,5 dan katta bo'lgan barcha raqamlarni belgilash qoladi. Bu safar men mos keladigan x qiymatlari maydonini belgilayman ta'zim(so'zidan yoy), soya qilishdan ko'ra. Biz kursorni chizilgan ustiga olib boramiz va bu kamonni ko'ramiz.

Soya va qo'llar o'rtasida alohida farq yo'q. O'qituvchi aytganidek qiling. Agar o'qituvchi bo'lmasa, kamarlarni torting. Murakkabroq vazifalarda soyalar unchalik aniq emas. Siz chalkashib ketishingiz mumkin.

Chiziqli tengsizliklar o'qga shunday chiziladi. Keling, tengsizliklarning keyingi xususiyatiga o'tamiz.

Tengsizliklarga javob yozish.

Tenglamalar yaxshi edi.) Biz x topdik va javobni yozdik, masalan: x=3. Tengsizliklarda javob yozishning ikki shakli mavjud. Ulardan biri yakuniy tengsizlik shaklida. Oddiy holatlar uchun yaxshi. Masalan:

X< 2.

Bu to'liq javob.

Ba'zan siz bir xil narsani yozishingiz kerak, lekin boshqa shaklda, raqamlar oralig'ida. Keyin yozuv juda ilmiy ko'rinishni boshlaydi):

x ∈ (-∞; 2)

Belgi ostida ∈ so'z yashirin "egalik".

Kirish quyidagicha o'qiladi: x minus cheksizlikdan ikkigacha bo'lgan intervalga tegishli shu jumladan emas. Juda mantiqiy. X barcha mumkin bo'lgan raqamlardan minus cheksizlikdan ikkitagacha bo'lgan istalgan son bo'lishi mumkin. Qo'sh X bo'lishi mumkin emas, bu so'z bizga aytadi "shu jumladan emas".

Va javobning qayerida bu aniq "shu jumladan emas"? Bu fakt javobda qayd etilgan dumaloq ikkitadan keyin darhol qavs. Agar ikkalasi kiritilgan bo'lsa, qavs bo'lar edi kvadrat. Bu kabi: ]. Quyidagi misolda shunday qavs ishlatiladi.

Javobni yozamiz: x ≥ -0,5 intervallarda:

x ∈ [-0,5; +∞)

O'qiladi: x minus 0,5 gacha bo'lgan intervalga tegishli, shu jumladan, ortiqcha cheksizlikka.

Infinity hech qachon yoqilmaydi. Bu raqam emas, bu belgi. Shuning uchun bunday yozuvlarda cheksizlik har doim qo'shni bo'ladi qavs.

Yozib olishning ushbu shakli bir nechta bo'shliqlardan iborat murakkab javoblar uchun qulaydir. Lekin - faqat yakuniy javoblar uchun. Qo'shimcha yechim kutilayotgan oraliq natijalarda oddiy tengsizlik ko'rinishidagi odatiy shakldan foydalanish yaxshiroqdir. Buni tegishli mavzularda ko'rib chiqamiz.

Tengsizliklar bilan mashhur vazifalar.

Chiziqli tengsizliklarning o'zi oddiy. Shuning uchun vazifalar ko'pincha qiyinlashadi. Shuning uchun o'ylash kerak edi. Bu, agar siz bunga o'rganmagan bo'lsangiz, unchalik yoqimli emas.) Lekin bu foydali. Men bunday vazifalarning misollarini ko'rsataman. Siz ularni o'rganishingiz uchun emas, bu keraksiz. Va bunday misollarni uchratishda qo'rqmaslik uchun. Bir oz o'ylab ko'ring - va bu juda oddiy!)

1. 3x - 3 tengsizligining istalgan ikkita yechimini toping< 0

Agar nima qilish kerakligi aniq bo'lmasa, matematikaning asosiy qoidasini eslang:

Agar sizga nima kerakligini bilmasangiz, qo'lingizdan kelganini qiling!)

X < 1

Nima bo `pti? Hech qanday maxsus narsa yo'q. Ular bizdan nimani so'rayapti? Bizdan tengsizlikning yechimi bo'lgan ikkita aniq sonni topish so'raladi. Bular. javobga mos. Ikki har qanday raqamlar. Aslida, bu chalkash.) Bir juft 0 va 0,5 mos keladi. Juftlik -3 va -8. Bu juftliklarning cheksiz soni bor! Qaysi javob to'g'ri?!

Men javob beraman: hamma narsa! Har biri bittadan kichik bo'lgan har qanday juft raqamlar, to'g'ri javob bo'ladi. Qaysi birini xohlayotganingizni yozing. Keling, davom etaylik.

2. Tengsizlikni yeching:

4x - 3 ≠ 0

Ushbu shakldagi vazifalar kamdan-kam uchraydi. Ammo, yordamchi tengsizliklar sifatida, masalan, ODZ ni topishda yoki funktsiyani aniqlash sohasini topishda ular doimo yuzaga keladi. Bunday chiziqli tengsizlikni oddiy chiziqli tenglama sifatida yechish mumkin. Faqat "=" belgisidan tashqari hamma joyda ( teng) belgi qo'ying " ≠ " (teng emas). Javobga tengsizlik belgisi bilan shunday yondashasiz:

X ≠ 0,75

Ko'proq murakkab misollar, narsalarni boshqacha qilish yaxshiroq. Tenglikdan tengsizlik hosil qiling. Mana bunday:

4x - 3 = 0

O'rgatilgandek xotirjamlik bilan hal qiling va javobni oling:

x = 0,75

Asosiysi, yakuniy javobni yozayotganda, biz x topilganimizni unutmang, bu beradi tenglik. Va bizga kerak - tengsizlik. Shuning uchun, bizga bu X kerak emas.) Va biz uni to'g'ri belgi bilan yozishimiz kerak:

X ≠ 0,75

Ushbu yondashuv kamroq xatolarga olib keladi. Tenglamalarni avtomatik yechiydiganlar. Tenglamalarni yechmaydiganlar uchun esa tengsizliklar, aslida, foydasiz...) Ommabop topshiriqning yana bir misoli:

3. Tengsizlikning eng kichik butun yechimini toping:

3(x - 1) < 5x + 9

Avval biz tengsizlikni oddiygina hal qilamiz. Biz qavslarni ochamiz, ularni siljitamiz, o'xshashlarini keltiramiz ... Biz olamiz:

X > - 6

Shunday bo'lmadimi!? Belgilarga amal qildingizmi? Va a'zolar belgilari ortida va tengsizlik belgisi ortida ...

Keling, yana bir bor o'ylab ko'raylik. Javobga ham, shartga ham mos keladigan aniq raqamni topishimiz kerak "eng kichik butun son". Agar u darhol sizga tushmasa, siz istalgan raqamni olib, uni aniqlab olishingiz mumkin. Ikki minus oltimi? Albatta! Tegishli kichikroq raqam bormi? Albatta. Masalan, nol -6 dan katta. Va hatto kamroqmi? Bizga eng kichik narsa kerak! Minus uch - minus oltidan ko'p! Siz allaqachon naqshni qo'lga olishingiz va raqamlarni ahmoqona o'tkazishni to'xtatishingiz mumkin, shunday emasmi?)

Keling, -6 ga yaqinroq sonni olaylik. Masalan, -5. Javob bajarildi, -5 > - 6. -5 dan kichik, lekin -6 dan katta boshqa sonni topish mumkinmi? Siz, masalan, -5,5... To'xtang! Bizga aytiladi butun yechim! Aylanmaydi -5,5! Minus olti haqida nima deyish mumkin? Uh-uh! Tengsizlik qat'iy, minus 6 minus 6 dan kam emas!

Shuning uchun to'g'ri javob -5.

Umid qilamanki, qiymatlarni tanlash bilan umumiy yechim hammasi tushunarli. Yana bir misol:

4. Tengsizlikni yeching:

7 < 3x+1 < 13

Voy-buy! Bu ifoda deyiladi uch karra tengsizlik. To'g'ri aytganda, bu tengsizliklar tizimining qisqartirilgan shakli. Ammo bunday uch karra tengsizliklarni hali ham ba'zi vazifalarda hal qilish kerak ... Hech qanday tizimsiz hal qilish mumkin. Xuddi shu o'zgarishlarga ko'ra.

Biz soddalashtirishimiz, bu tengsizlikni sof X ga keltirishimiz kerak. Lekin... Nimani qayerga ko'chirish kerak?! Bu erda chapga va o'ngga harakat qilish kerakligini eslash vaqti keldi qisqa shakl birinchi identifikatsiya konvertatsiyasi.

Va to'liq shakl shunday eshitiladi: Har qanday son yoki ifoda tenglamaning har ikki tomoniga (tengsizlik) qo‘shilishi/ayirilishi mumkin.

Bu erda uchta qism mavjud. Shunday qilib, biz har uch qismga bir xil o'zgarishlarni qo'llaymiz!

Shunday qilib, keling, tengsizlikning o'rta qismidan xalos bo'laylik. Keling, butun o'rta qismdan bittasini ayiraylik. Tengsizlik o'zgarmasligi uchun qolgan ikki qismdan bittasini ayiramiz. Mana bunday:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Bu yaxshiroq, to'g'rimi?) Barcha uch qismni uchga bo'lish qoladi:

2 < X < 4

Ana xolos. Bu javob. X ikkitadan (shu jumladan emas) to'rtgacha (shu jumladan emas) har qanday raqam bo'lishi mumkin. Bu javob ham interval bilan yoziladi; bunday yozuvlar kvadrat tengsizliklarda bo'ladi. U erda ular eng keng tarqalgan narsa.

Dars oxirida men eng muhim narsani takrorlayman. Chiziqli tengsizliklarni yechishdagi muvaffaqiyat chiziqli tenglamalarni o'zgartirish va soddalashtirish qobiliyatiga bog'liq. Agar bir vaqtning o'zida tengsizlik belgisiga e'tibor bering, hech qanday muammo bo'lmaydi. Sizga shuni tilayman. Muammosiz.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Tengsizlik raqamlar, o'zgaruvchilar yoki ifodalar belgi bilan bog'langan yozuvdir<, >, yoki . Ya'ni, tengsizlikni raqamlar, o'zgaruvchilar yoki ifodalarni taqqoslash deb atash mumkin. Belgilar < , > , ⩽ Va ⩾ chaqiriladi tengsizlik belgilari.

Tengsizliklar turlari va ular qanday o'qiladi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, barcha tengsizliklar ikki qismdan iborat: chap va o'ng, tengsizlik belgilaridan biri bilan bog'langan. Tengsizliklar qismlarini bog`lovchi belgisiga ko`ra ular qat`iy va qat`iy bo`lmaganlarga bo`linadi.

Qattiq tengsizliklar- qismlari belgi bilan bog'langan tengsizliklar< или >. Qat'iy bo'lmagan tengsizliklar- qismlari yoki belgisi bilan bog'langan tengsizliklar.

Keling, algebrada taqqoslashning asosiy qoidalarini ko'rib chiqaylik:

• Noldan katta har qanday ijobiy raqam.
• Har qanday manfiy raqam noldan kichikdir.
• Ikki manfiy sondan mutlaq qiymati kichikroq bo'lgan raqam kattaroqdir. Masalan, -1 > -7.
• a Va b ijobiy:

  a - b > 0,

  Bu a Ko'proq b (a > b).

• Ikki teng bo'lmagan sonlar farqi bo'lsa a Va b salbiy:

  a - b < 0,

  Bu a Ozroq b (a < b).

• Agar raqam noldan katta bo'lsa, u ijobiy bo'ladi:

  a> 0, bu degani a- ijobiy raqam.

• Agar raqam noldan kichik bo'lsa, u salbiy hisoblanadi:

  a < 0, значит a- salbiy raqam.

Ekvivalent tengsizliklar- boshqa tengsizliklar oqibati bo'lgan tengsizliklar. Masalan, agar a Ozroq b, Bu b Ko'proq a:

a < b Va b > a- ekvivalent tengsizliklar

Tengsizliklarning xossalari

1. Agar siz tengsizlikning ikkala tomoniga bir xil sonni qo'shsangiz yoki ikkala tomondan bir xil sonni ayirsangiz, siz ekvivalent tengsizlikka ega bo'lasiz, ya'ni

   Agar a > b, Bu a + c > b + c Va a - c > b - c

   Bundan kelib chiqadiki, tengsizlik hadlarini bir qismdan ikkinchi qismga qarama-qarshi belgi bilan o'tkazish mumkin. Masalan, tengsizlikning ikkala tomoniga qo'shish a - b > c - d tomonidan d, biz olamiz:

   a - b > c - d

   a - b + d > c - d + d

   a - b + d > c

2. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil musbat songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, ekvivalent tengsizlik olinadi, ya'ni
3. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil manfiy songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, berilganga qarama-qarshi bo'lgan tengsizlik olinadi, ya'ni tengsizlikning ikkala qismini manfiy songa ko'paytirish yoki bo'lishda ning belgisi: tengsizlikni teskarisiga o'zgartirish kerak.

   Bu xususiyatdan tengsizlikning barcha shartlari belgilarini ikkala tomonni -1 ga ko'paytirish va tengsizlik belgisini teskarisiga o'zgartirish orqali o'zgartirish uchun foydalanish mumkin:

   -a + b > -c

   (-a + b) · -1< (-c) · -1

   a - b < c

   Tengsizlik -a + b > -c tengsizlikka teng a - b < c

Masalan, tengsizlik \(x>5\) ifodasidir.

Tengsizliklar turlari:

Agar \(a\) va \(b\) raqamlar yoki bo'lsa, tengsizlik deyiladi raqamli. Bu aslida ikkita raqamni solishtirish. Bunday tengsizliklar bo'linadi sodiq Va bevafo.

Masalan:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) notoʻgʻri sonli tengsizlik, chunki \(17+3=20\) va \(20\) \(115\) dan kichik (va dan katta yoki teng emas) .

Agar \(a\) va \(b\) o'zgaruvchini o'z ichiga olgan iboralar bo'lsa, bizda bor o'zgaruvchi bilan tengsizlik. Bunday tengsizliklar mazmuniga ko'ra turlarga bo'linadi:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Faqat birinchi quvvatga o'zgaruvchan
\(3x^2-x+5>0\)				Ikkinchi daraja (kvadrat)da o'zgaruvchi mavjud, ammo yuqori kuchlar (uchinchi, to'rtinchi va boshqalar) yo'q.
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... va hokazo.

Tengsizlikning yechimi qanday?

Agar o'zgaruvchi o'rniga raqamni tengsizlikka almashtirsangiz, u songa aylanadi.

Agar x uchun berilgan qiymat dastlabki tengsizlikni haqiqiy songa aylantirsa, u chaqiriladi tengsizlikning yechimi. Agar yo'q bo'lsa, unda bu qiymat yechim emas. Va uchun tengsizlikni yechish- uning barcha echimlarini topishingiz kerak (yoki yo'qligini ko'rsatish).

Masalan, agar \(7\) sonni chiziqli tengsizlikka \(x+6>10\) almashtirsak, to‘g‘ri sonli tengsizlik hosil bo‘ladi: \(13>10\). Va agar \(2\) o'rniga qo'ysak, noto'g'ri sonli tengsizlik \(8>10\) bo'ladi. Ya'ni, \(7\) asl tengsizlikning yechimidir, lekin \(2\) emas.

Biroq \(x+6>10\) tengsizlik boshqa yechimlarga ega. Haqiqatan ham, \(5\) va \(12\) va \(138\) oʻrniga qoʻyilganda biz toʻgʻri sonli tengsizliklarni olamiz... Va qanday qilib barcha mumkin boʻlgan yechimlarni topish mumkin? Buning uchun ular foydalanadilar Bizning holatimizda:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Ya'ni, to'rtdan katta har qanday raqam biz uchun mos keladi. Endi siz javobni yozishingiz kerak. Tengsizliklarning yechimlari odatda raqamli ravishda yoziladi, qo'shimcha ravishda raqamlar o'qida soya bilan belgilanadi. Bizning holatlarimiz uchun bizda:

Javob: \(x\in(4;+\infty)\)

Tengsizlik belgisi qachon o'zgaradi?

Talabalar haqiqatan ham tushib qolishni "sevadigan" tengsizliklarda bitta katta tuzoq bor:

Tengsizlikni manfiy songa ko'paytirishda (yoki bo'lishda) u teskari ("ko'p" "kam", "ko'p yoki teng" "kichik yoki teng" va boshqalar) teskari bo'ladi.

Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? Buni tushunish uchun \(3>1\) sonli tengsizlikning o'zgarishlarini ko'rib chiqamiz. To'g'ri, uchtasi bittadan katta. Birinchidan, keling, uni istalgan ijobiy raqamga ko'paytirishga harakat qilaylik, masalan, ikkita:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Ko'rib turganimizdek, ko'paytirishdan keyin tengsizlik haqiqat bo'lib qoladi. Va qanday ijobiy sonni ko'paytirmasin, biz doimo to'g'ri tengsizlikni olamiz. Keling, manfiy songa ko'paytirishga harakat qilaylik, masalan, minus uchta:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Natijada noto'g'ri tengsizlik, chunki minus to'qqiz minus uchdan kam! Ya'ni, tengsizlik to'g'ri bo'lishi uchun (va shuning uchun ko'paytirishni manfiyga aylantirish "qonuniy" edi), siz taqqoslash belgisini teskari qilishingiz kerak, masalan: \(-9<− 3\).
Bo'linish bilan u xuddi shunday ishlaydi, uni o'zingiz tekshirishingiz mumkin.

Yuqorida yozilgan qoida faqat sonli tengsizliklarga emas, balki barcha turdagi tengsizliklarga tegishli.

Misol: \(2(x+1)-1) tengsizlikni yeching<7+8x\)
Yechim:

\(2x+2-1<7+8x\)	Keling, \(8x\) chapga, \(2\) va \(-1\) o'ngga, belgilarni o'zgartirishni unutmaylik.
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Keling, tengsizlikning ikkala tomonini \(-6\) ga bo'laylik, "kamroq" dan "ko'proq" ga o'zgartirishni unutmang.
	O'qda sonli intervalni belgilaymiz. Tengsizlik, shuning uchun biz \(-1\) qiymatining o'zini "tashqariga chiqaramiz" va uni javob sifatida qabul qilmaymiz.
	Javobni interval sifatida yozamiz

Javob: \(x\in(-1;\infty)\)

Tengsizlik va nogironlik

Tengsizliklar, xuddi tenglamalar kabi, , ya'ni x qiymatlari bo'yicha cheklovlarga ega bo'lishi mumkin. Shunga ko'ra, DZ bo'yicha qabul qilinishi mumkin bo'lmagan qiymatlar echimlar qatoridan chiqarib tashlanishi kerak.

Misol: Tengsizlikni yeching \(\sqrt(x+1)<3\)

Yechim: Ko'rinib turibdiki, chap tomon \(3\) dan kichik bo'lishi uchun radikal ifoda \(9\) dan kichik bo'lishi kerak (axir, \(9\) dan faqat \(3\)). Biz olamiz:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Hammasi? X ning \(8\) dan kichik har qanday qiymati bizga mos keladimi? Yo'q! Chunki, masalan, talabga mos keladigan \(-5\) qiymatini olsak, bu asl tengsizlikning yechimi bo'lmaydi, chunki u bizni manfiy sonning ildizini hisoblashga olib keladi.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Shuning uchun biz X qiymatidagi cheklovlarni ham hisobga olishimiz kerak - bu ildiz ostida salbiy raqam bo'lishi mumkin emas. Shunday qilib, bizda x uchun ikkinchi talab mavjud:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Va x yakuniy yechim bo'lishi uchun u bir vaqtning o'zida ikkala talabni ham qondirishi kerak: u \(8\) dan kichik (yechim bo'lishi uchun) va \(-1\) dan katta (printsipial jihatdan maqbul bo'lishi) bo'lishi kerak. Buni raqamlar qatorida chizib, biz yakuniy javobni olamiz:

Javob: \(\chap[-1;8\o'ng)\)

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik standartlarini etkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.

Tengsizliklarning ta'rifi va asosiy xossalari.

Ta'riflar:

Tengsizliklar shakl ifodalari deyiladi a ≤ b) ,a>b (a ≥ b) ,

Qayerda a Va b raqamlar yoki funksiyalar bo'lishi mumkin.

Belgilar<(≤ ) , >( ≥ ) chaqiriladitengsizlik belgilariva shunga muvofiq o'qing:

kam (kichik yoki teng), kattaroq (katta yoki teng).

> va belgilari yordamida yoziladigan tengsizliklar< ,называются qattiq,

va belgilarni o'z ichiga olgan tengsizliklar≥ va ≤,- qattiq emas.

Shaklning tengsizliklari a chaqiriladiikki tomonlama tengsizliklar

va shunga muvofiq o'qing: x Ko'proq a, lekin kamroq b (x ko'proq yoki teng a, lekin kamroq yoki teng b ).

Ikki xil tengsizlik mavjud: raqamli ( 2>0,7;½<6 ) Vao'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizliklar (5 x-40>0; x²-2x<0 ) .

Raqamli tengsizliklarning xossalari:

• Agar a>b, Bu b ; Agar a , Bu b>a .
• Agar a Va b , Bu a .
• Agar a Va c- har qanday raqam, keyin a+c .
• Agar a Va c>0, Bu ac Agar a va c<0, то ac> miloddan avvalgi.
• Agar a Va c , Bu a+c .
• Agar a Va c , bu yerda a, b, c, d musbat sonlar, u holda ac .

Raqamli intervallar

Tengsizlik	Raqamli interval	Ism bo'shliq	Geometrik talqin qilish
		a va b,a uchlari bilan yopiq interval (segment).
		a va b,a uchlari bilan ochiq oraliq (interval).
		a va b,a uchlari bilan yarim ochiq intervallar (yarim intervallar).
		cheksiz intervallar (nurlar)
		cheksiz intervallar (ochiq nurlar)
		cheksiz interval (raqam chizig'i)

HAQIDA asosiy ta'riflar va xususiyatlar.

Ta'riflar :

Tengsizlikni yechish bitta o'zgaruvchi bilan o'zgaruvchining qiymati chaqiriladi,

mushuk Bu uni haqiqiy raqamli tengsizlikka aylantiradi.

Tengsizlikni yechish- uning barcha yechimlarini topish yoki hech qanday yechim yo'qligini isbotlash demakdir.

Yechimlari bir xil bo'lgan tengsizliklar deyiladiekvivalent.

Yechimlari bo'lmagan tengsizliklar ham ekvivalent hisoblanadi.

Tengsizliklarni yechishda quyidagilar qo'llaniladi xususiyatlari :

1) Tengsizlikning bir qismidan ga o'tsak

qarama-qarshi belgili boshqa atama,

2) Agar tengsizlikning ikkala tomoni ko'paytirilsa yoki

bir xil musbat songa bo'lish,

keyin unga ekvivalent tengsizlikni olamiz.

3) Agar tengsizlikning ikkala tomoni ko'paytirilsa yoki

bir xil manfiy songa bo'lish,

tengsizlik belgisini o'zgartirish qarama-qarshi,

keyin unga ekvivalent tengsizlikni olamiz.

Transformatsiya jarayonida ko'plab tengsizliklar chiziqli tengsizliklarga keltiriladi.

Nshaklning tengligi ah> b(Oh , QayerdaA Vab - ba'zi raqamlar

Chaqirildi bitta o'zgaruvchili chiziqli tengsizliklar.

Agar a>0 , keyin tengsizlik ax>bekvivalenttengsizlik

va ko'plab echimlartengsizliklar orasida bo'shliq mavjud

Agar a<0 , keyin tengsizlik ax>btengsizlikka teng

va ko'plab echimlartengsizliklar orasida bo'shliq mavjud

tengsizlik shaklini oladi 0∙ x>b, ya'ni. uning yechimlari yo'q , Agar b≥0,

va har qanday kishi uchun to'g'ri x,Agar b<0 .

Bitta o'zgaruvchili tengsizliklarni echishning analitik usuli.

Bitta o‘zgaruvchili tengsizliklarni yechish algoritmi

• Tengsizlikning ikkala tomonini aylantiring.
• Shunga o'xshash shartlarni keltiring.
• Tengsizliklarning xossalariga asoslanib, ularni eng oddiy ko‘rinishga keltiring.
• Javobni yozing.

Tengsizliklarni yechishga misollar keltiraylik .

1-misol. Qaror qiling 3x≤ 15 tengsizlik mavjud.

Yechim:

HAQIDAtengsizlik qismlari yo'q

Rajratamiz 3-musbat raqamga(2-modda): x ≤ 5.

Tengsizlikning yechimlari to'plami son oralig'i (-∞;5] bilan ifodalanadi.

Javob:(- ∞;5]

Misol 2 . Qaror qiling -10 x≥34 tengsizlik mavjud.

Yechim:

HAQIDAtengsizlik qismlari yo'qRajratamiz manfiy raqamga -10,

bu holda tengsizlik belgisini teskarisiga o'zgartiramiz(mulk 3) : x ≤ - 3,4.

Tengsizlikning yechimlari to‘plami (-∞;-3,4] oraliq bilan ifodalanadi.

Javob: (-∞;-3,4] .

3-misol. Qaror qiling 18+6x>0 tengsizlik mavjud.

Yechim:

Qarama-qarshi ishorali 18 hadni tengsizlikning chap tomoniga o'tkazamiz(1-xususiyat): 6x>-18.

Ikkala tomonni 6 ga bo'ling (mulk 2):

x>-3.

Tengsizlikning yechimlari to‘plami (-3;+∞) oraliq bilan ifodalanadi.

Javob: (-3;+∞ ).

4-misol.Qaror qiling 3 (x-2)-4(x+2) tengsizlik mavjud<2(x-3)-2.

Yechim:

Qavslarni ochamiz: 3x-6-4x-8<2x-6-2 .

Noma'lumni o'z ichiga olgan shartlarni chap tomonga o'tkazamiz,

va noma'lumni o'z ichiga olmagan atamalar o'ng tomonga (mulk 1) :

3x-4x-2x<6+8-6-2.

Mana bir nechta o'xshash atamalar:-3x<6.

Ikkala tomonni -3 ga bo'ling (mulk 3) :

x>-2.

Tengsizlikning yechimlari to‘plami (-2;+∞) oraliq bilan ifodalanadi.

Javob: (-2;+∞ ).

Misol 5 . Qaror qiling tengsizlik mavjud

Yechim:

Keling, tengsizlikning ikkala tomonini kasrlarning eng kichik umumiy maxrajiga ko'paytiramiz,

tengsizlikka, ya'ni 6 ga kiritiladi(mulk 2).

Biz olamiz:

,

2x-3x≤12.

Bu yerdan, - x≤12,x≥-12 .

Javob: [ -12;+∞ ).

Misol 6 . Qaror qiling 3(2-x)-2>5-3x tengsizlik mavjud.

Yechim:

6-3x-2>5-3x, 4-3x>5-3x,-3x+3x>5-4.

Tengsizlikning chap tomoniga o'xshash shartlarni keltiramiz va natijani 0 ko'rinishida yozamiz∙ x>1.

Olingan tengsizlik hech qanday yechimga ega emas, chunki x ning istalgan qiymati uchun

0 ga teng sonli tengsizlikka aylanadi< 1, не являющееся верным.

Demak, unga ekvivalent berilgan tengsizlikning yechimlari yo'q.

Javob:yechimlar yo'q.

Misol 7 . Qaror qiling 2(x+1)+5>3-(1-2x) tengsizlik mavjud.

Yechim:

Qavslarni ochish orqali tengsizlikni soddalashtiramiz:

2x+2+5>3-1+2x, 2x+7>2+2x,2x-2x>2-7, 0∙ x>-5.

Olingan tengsizlik x ning istalgan qiymati uchun to'g'ri bo'ladi,

chunki har qanday x uchun chap tomon nolga teng va 0>-5.

Tengsizlikning yechimlari to‘plami interval (-∞;+∞) hisoblanadi.

Javob:(-∞;+∞ ).

Misol 8 . X ning qaysi qiymatlarida ifoda ma'noga ega:

b)

Yechim:

a) Arifmetik kvadrat ildizning ta'rifi bo'yicha

quyidagi tengsizlik qanoatlantirilishi kerak 5x-3 ≥0.

Yechish, biz 5x≥3, x≥0,6 ni olamiz.

Demak, bu ifoda oraliqdan boshlab barcha x uchun mantiqiydir)