Yagona davlat imtihoni Informatika 18-topshiriq.

1. Namoyish versiyasidan misol

(birinchi harf undoshi → ikkinchi harf undoshi) / (oxirgi harf unlisi → oxirgi harf unlisi)

1) KRISTINA 2) MAKSIM 3) STEPAN 4) MARIA

Yechim eskizi Ma'nosi a → b ¬a / b ifodasiga ekvivalent.

Birinchi ma'no KRISTINA va STEPAN so'zlari uchun to'g'ri keladi. Bu so'zlarning ikkinchi ma'nosi faqat CHRISTINE so'ziga to'g'ri keladi.

Javob: 1. KRISTINA

2. Yana ikkita misol

1-misol (FIPI bankining ochiq segmenti)

Berilgan nomlardan qaysi biri mantiqiy shartni qanoatlantiradi:

(birinchi undosh → birinchi unli) / (oxirgi unli → oxirgi undosh)

1. IRINA 2. MAKSIM 3. ARTEM 4. MARIA

Yechim eskizi. Ma'nosi a → b ¬a / b ifodasiga ekvivalent. Agar a ifoda noto'g'ri bo'lsa yoki a va b ifodalari ham to'g'ri bo'lsa, bu ifoda to'g'ri bo'ladi. Bizning holatlarimizda ma'nolarning hech birida ikkala ibora bir vaqtning o'zida to'g'ri bo'lishi mumkin emasligi sababli, "birinchi harf undosh" va "oxirgi harf unli" gaplari noto'g'ri bo'lishi kerak, ya'ni bizga tegishli so'z kerak. birinchi harfi unli, oxirgisi esa undosh.

Javob: 3. ARTEM.

2-misol. X raqamining ko'rsatilgan qiymatlaridan qaysi biri uchun bayonot to'g'ri?

(X< 4)→(X >15)

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Yechim. Hech bir son 4 dan kichik va 15 dan katta boʻlishi mumkin emas. Shuning uchun, agar bosh gap boʻlsa, implikatsiya toʻgʻri boʻladi. X< 4 yolg'on.

Javob 4.

2. 2013-2014 yillardagi yagona davlat imtihonining formatidagi muammolar.

2.1. Demo versiyasi 2013

Sonlar qatorida ikkita segment mavjud: P = va Q =.

Formulaga mos keladigan A segmentini tanlang

1) 2) 3) 4)

2.2. Demo versiyasi 2014

Sonlar qatorida ikkita segment mavjud: P = va Q =. Taklif etilgan segmentlardan mantiqiy ifoda bo'ladigan A segmentini tanlang

((x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q))→ ¬ (x ∈ A)

xuddi shunday rost, ya'ni o'zgaruvchining istalgan qiymati uchun 1 qiymatini oladi

Javob variantlari: 1) 2) 3) 4)

Yechim. dan foydalanib ifodani o'zgartiramiz. Bizda ... bor:

¬((x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - implikatsiyani dis’yunksiya bilan almashtirish;

¬(¬(x ∈ P) ∨ ¬ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - implikatsiyani dis’yunksiya bilan almashtirish;

((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - de Morgan qoidasi va ikkilamchi inkorni olib tashlash;

(x ∈ A) → ((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) - disjunksiyani implikatsiya bilan almashtirish

Oxirgi ifoda faqat va faqat A ⊆ P∩ Q = ∩ = bo'lsa, xuddi shunday to'g'ri bo'ladi (qarang). Berilgan to'rtta segmentdan faqat segment - 2-variant bu shartni qondiradi.

Javob: - variant № 2

3. 2015-2016 yillardagi yagona davlat imtihonining formatidagi muammolar.

3.1. Vazifa 1.

Sonlar qatorida ikkita segment mavjud: P = va Q =.

Ma'lumki, A segmentining chegaralari butun nuqtalar va A segmenti uchun formula

((x ∈ A) → (x ∈ P)) \/ (x ∈ Q)

xuddi shunday to'g'ri, ya'ni x o'zgaruvchining istalgan qiymati uchun 1 qiymatini oladi.

A segmentining mumkin bo'lgan eng katta uzunligi qancha?

To'g'ri javob : 10

Yechim:

Keling, ifodani o'zgartiramiz - implikatsiyani diszyunksiya bilan almashtiramiz. Biz olamiz:

(¬(x ∈ A)) \/ ((x ∈ P)) \/ (x ∈ Q)

((x ∈ P)) \/ (x ∈ Q) ifoda faqat P yoki Qda yotadigan x uchun, boshqacha aytganda, x ∈ R = P ∪ Q = ∪ uchun to'g'ri. Ifoda

(¬(x ∈ A)) \/ (x ∈ R)

faqat va agar A ∈ R bo'lsa, xuddi shunday to'g'ri bo'ladi. A segment bo'lganligi sababli, A ∈ R, agar A ∈ P yoki A ∈ Q bo'lsa. segment A erishiladi, qachon A = Q =. Bu holda A segmentining uzunligi 30 - 20 = 10 ga teng.

3.2. Vazifa 2.

bilan belgilaymiz m&n manfiy bo'lmagan butun sonlarning bitli birikmasi m Va n. Masalan, 14&5 = 1110 2 &0101 2 = 0100 2 = 4. Eng kichik manfiy bo'lmagan butun son nima uchun A formula

x&25 ≠ 0 → (x&33 ≠ 0 → x&A ≠ 0)

xuddi shunday to'g'ri, ya'ni. o'zgaruvchining har qanday manfiy bo'lmagan butun qiymati uchun 1 qiymatini oladi X?

To'g'ri javob : 57

Yechim:

Keling, ifodani o'zgartiramiz - ta'sirlarni ajratmalar bilan almashtiramiz. Biz olamiz:

¬( x&25 ≠ 0) ∨ (¬( x&33 ≠ 0) ∨ x&A ≠ 0)

Qavslarni ochib, tengsizlik inkorlarini tenglik bilan almashtiramiz:

x&25 = 0 ∨ x&33 = 0 ∨ x&A ≠ 0 (*)

Bizda: 25 = 11001 2 va 33 = 100001 2. Shuning uchun formula

x&25 = 0 ∨ x&33 = 0

noto'g'ri, agar va faqat sonning ikkilik ko'rinishi bo'lsa x quyidagi ikkilik raqamlardan kamida bittasida 1 ni o'z ichiga oladi: 100000 (32), 10000 (16), 1000 (8) va 1.

Formula (*) hamma uchun to'g'ri bo'lishi uchun x A sonining ikkilik ko'rinishi barcha bu bitlarda 1 ni o'z ichiga olishi zarur va etarli. Bunday sonlarning eng kichiki 32+16+8+1 = 57 sonidir.

Ushbu muammoni hal qilish uchun biz bir nechta mantiqiy xulosalar chiqarishimiz kerak, shuning uchun "qo'llaringizga ehtiyot bo'ling".

Ular bizdan ifoda har doim to'g'ri bo'lgan minimal manfiy bo'lmagan butun A ni topishimizni xohlashadi.
Umuman olganda ifoda nima? U yerda nimadir bor imo-ishora qavs ichida nimadir bor.
Haqiqat jadvalini eslaylik:
1 => 1 = 1
1 => 0 = 0
0 => 1 = 1
0 => 0 = 1
Bu shuni anglatadiki, bu haqiqat bo'lishi uchun uchta mumkin bo'lgan yo'l bor. Ushbu uchta variantni ko'rib chiqish o'zingizni o'ldirishni va yashamaslikni anglatadi. Keling, "qarama-qarshilik bilan" borish mumkinmi, deb o'ylaymiz.
Keling, A ni qidirish o'rniga, bu ifoda noto'g'ri bo'lgan x ni topishga harakat qilaylik.
Ya'ni, ba'zi A raqamini olaylik (biz bu nima ekanligini hali bilmaymiz, faqat ba'zilari). Agar to'satdan biz butun bayonot noto'g'ri bo'lgan x ni topsak, unda tanlangan A yomon (chunki shart ifoda har doim to'g'ri bo'lishini talab qiladi)!
Shunday qilib, biz A raqamiga ba'zi cheklovlarni olishimiz mumkin.
Xo'sh, keling, orqaga o'taylik va eslaylik, qachonki ma'no noto'g'ri? Birinchi qism to'g'ri va ikkinchi qism noto'g'ri bo'lganda.
anglatadi
\((\mathrm(x)\&25\neq 0)= 1 \\ (\mathrm(x)\&17=0\O'ng strelka \mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0\)
\((x\&25\neq 0) = 1\) bu nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, haqiqatan ham \(\mathrm(x)\&25\neq 0\) .
25 ni ikkilik sistemaga aylantiramiz. Biz olamiz: 11001 2 .
Bu x uchun qanday cheklovlar qo'yadi? U nolga teng bo'lmagani uchun, bitli birikma bilan natija biror joyda bitta bo'lishi kerakligini anglatadi. Ammo u qaerda bo'lishi mumkin? Faqat 25 ta birlik mavjud bo'lgan joyda!
Bu shuni anglatadiki, kamida bitta xochdagi x sonida birlik bo'lishi kerak: XX**X.
Ajoyib, endi ikkinchi omilni ko'rib chiqaylik: \((\mathrm(x)\&17=0\O'ng strelka \mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0\)
Bu ibora ham ma'noni ifodalaydi. Bundan tashqari, u xuddi yolg'on.
Bu shuni anglatadiki, uning birinchi qismi to'g'ri, ikkinchisi esa yolg'on bo'lishi kerak.
anglatadi
\((\mathrm(x)\&17=0) = 1 \\ ((\mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0) = 0\)
Bu \(\mathrm(x)\&17=0\) nimani anglatadi? 17da birlar bo'lgan barcha joylarda x da nol bo'lishi kerakligi (aks holda natija 0 bo'lmaydi).
17 ni binarga aylantiramiz: 10001 2 . Bu shuni anglatadiki, x ning oxiridan oxirgi o'rinda va oxiridan 5-o'rinda nol bo'lishi kerak.
Ammo to'xtang, 13-bandda biz buni oxirigacha oldik YOKI oxiridan 4 gacha YOKI 5 oxiridan bitta bo'lishi kerak.
Chunki, 19-satrga ko'ra, oxiridan oxirgi yoki 5-o'rinda birlik bo'lishi mumkin emas, bu shuni anglatadiki, bo'lishi kerak oxiridan 4-o'rinda.
Ya'ni, agar bizning x da butun ifoda noto'g'ri bo'lishini istasak, oxiridan 4-o'rinda birlik bo'lishi kerak: XX...XX1XXX 2.
Ajoyib, endi oxirgi shartni ko'rib chiqing: \((\mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0\). Bu qanday ma'nono bildiradi?
Bu shuni anglatadiki, bu haqiqat emas \(\mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0\).
Ya'ni, aslida, \(\mathrm(x)\&\mathrm(A)=0\) .
X haqida nima bilamiz? Oxiridan 4-o'rinda birlik borligi. Boshqa barcha jihatlarda x deyarli hamma narsa bo'lishi mumkin.
Agar muammo bayonidagi asl ifoda har doim to'g'ri bo'lishini istasak, u holda biz topmasligi kerak x, bu barcha shartlarni qondiradi. Haqiqatan ham, agar shunday x ni topsak, asl ifoda har doim ham to'g'ri emasligi, masalaning shartlariga zid ekanligi ma'lum bo'ladi.
Bu shuni anglatadiki, bu oxirgi shart shunchaki bajarilmasligi kerak.
Qanday qilib uni bajarmaslik mumkin? Agar biz bitli birikma bilan biror joyda birlik qolishiga 100% amin bo'lsak.
Va bu mumkin: agar A da oxiridan 4-o'rinda ham birlik mavjud bo'lsa, unda bitli birikma natijasida oxiridan 4-o'rinda birlik paydo bo'ladi.
4-chi uchida 1 boʻlgan eng kichik ikkilik son qaysi? Shubhasiz, 1000 2. Shunday qilib, bu raqam javob bo'ladi.
Faqat uni kasrga aylantirish qoladi: \(1000_2=0\qat 2^0 + 0\ marta 2^1 + 0\ marta 2^2 + 1\ marta 2^3=8\)

Javob: shartlarni qondiradigan minimal mumkin bo'lgan A, 8 ga teng.

Evgeniy Smirnov

IT mutaxassisi, informatika o'qituvchisi

Yechim №2

Biroz qisqaroq yondashuvni taklif qilish mumkin. Fikrimizni F = (A->(B->C)) deb belgilaymiz, bu erda A - “X&25 0 ga teng emas”, B = “X&17=0” va C = “X&A 0 ga teng emas”. ”.

Keling, ma'lum X->Y = not(X) OR Y qonunidan foydalanib, oqibatlarini kengaytiramiz, biz F = A -> (not(B) OR C) = not(A) OR not(B) OR ni olamiz. C. Shuningdek, 25 va 17 konstantalarining ikkilik qiymatlarini yozamiz:

Bizning ifodamiz uchta bayonotdan iborat mantiqiy YOKI:

1) emas (A) - bu X&25 = 0 degan ma'noni anglatadi (Xning 0,3,4 bitlari hammasi 0)

2) emas (B) - X&17 0 ga teng emasligini bildiradi (Xning 0 va 4 bitlari kamida bittasi 1 ga teng)

3) C - X&A 0 ga teng emasligini biladi (maska A bilan belgilangan bitlar, kamida 1 1 ga teng)

X - ixtiyoriy raqam. Uning barcha bitlari mustaqildir. Shuning uchun, ixtiyoriy sonning bitlari bo'yicha ba'zi shartlarning bajarilishini faqat bitta holatda talab qilish mumkin - biz bir xil niqob (bitlar to'plami) haqida gapirganda. Ikkilik niqob 17 deyarli 25 bilan bir xil, faqat 3-bit raqami etishmayotganligini ko'rishimiz mumkin, agar biz 17-ni 3-bit raqami bilan to'ldirsak, u holda ((B) yoki C emas) ifodasi notga aylanadi. (A emas), ya'ni. A = da (X&25 0 ga teng emas). Boshqacha qilib aytganda: A=8 (bit 3=1) deylik. Keyin talab ((B) B yoki C emas) talabga ekvivalent bo'ladi: (4,0 bitlaridan kamida bittasi 1 ga teng) OR (bit 3 1 ga teng) = (0 bitdan kamida bittasi, 3,4 1 ga teng emas) - bular. inversiya emas(A) = A = (X&25 0 ga teng emas).

Natijada, agar A = 8 bo'lsa, bizning ifoda F = emas (A) YOKI A ko'rinishini olishini payqadik, bu istisno qilingan o'rta qonuniga ko'ra har doim bir xil haqiqatdir. A ning boshqa, kichikroq qiymatlari uchun X qiymatidan mustaqillikka erishib bo'lmaydi, chunki Maskalar boshqacha chiqadi. Xo'sh, agar A ning eng muhim bitlarida mavjud bo'lsa, 4 dan yuqori bitlarda hech narsa o'zgarmaydi, chunki qolgan maskalarda bizda nollar bor. Ma’lum bo‘lishicha, A = 8 bo‘lgandagina formula ixtiyoriy X uchun tavtologiyaga aylanadi.

Dmitriy Lisin

Informatika fanidan samarali tayyorgarlik ko'rish uchun har bir topshiriq uchun topshiriqni bajarish uchun qisqacha nazariy material beriladi. Tahlil va javoblarga ega 10 dan ortiq o'quv topshiriqlari tanlab olindi, o'tgan yillar demo versiyasi asosida ishlab chiqilgan.

2019 yilgi KIM yagona davlat imtihonida informatika va AKT bo'yicha hech qanday o'zgarishlar yo'q.

Bilimlar sinovdan o'tkaziladigan sohalar:

Dasturlash;
Algoritmlash;
AKT vositalari;
Axborot faoliyati;
Axborot jarayonlari.

Qachon zarur harakatlar tayyorlash:

Nazariy kursni takrorlash;
Yechim testlar kompyuter fanida onlayn;
Dasturlash tillarini bilish;
Matematika va matematik mantiqni takomillashtirish;
Kengroq adabiyotlardan foydalanish - Yagona davlat imtihonida muvaffaqiyat qozonish uchun maktab o'quv dasturi etarli emas.

Imtihon tuzilishi

Imtihonning davomiyligi 3 soat 55 daqiqa (255 daqiqa), uning bir yarim soati KIMlarning birinchi qismining vazifalarini bajarishga bag'ishlanishi tavsiya etiladi.

Chiptalardagi vazifalar bloklarga bo'lingan:

1-qism- qisqa javobli 23 ta topshiriq.
2-qism- batafsil javoblar bilan 4 ta vazifa.

Imtihon varaqasining birinchi qismining tavsiya etilgan 23 ta vazifasidan 12 tasi bilimlarni tekshirishning asosiy darajasiga, 10 tasi murakkablik darajasiga, 1 tasi yuqori darajadagi murakkablikka tegishli. Ikkinchi qismning uchta vazifasi yuqori darajadagi murakkablik, biri yuqori darajadagi.

Qaror qabul qilishda batafsil javobni yozish kerak (erkin shakl).
Ba'zi topshiriqlarda shart matni talabalarga qulay bo'lishi uchun bir vaqtning o'zida beshta dasturlash tilida taqdim etiladi.

Informatika bo'yicha topshiriqlar uchun ball

1 ball - 1-23 topshiriqlar uchun
2 ball - 25.
3 ball - 24, 26.
4 ball - 27.
Jami: 35 ball.

O'rta darajadagi texnik universitetga kirish uchun siz kamida 62 ball to'plashingiz kerak. Poytaxt universitetiga kirish uchun ballar soni 85-95 ga to‘g‘ri kelishi kerak.

Muvaffaqiyatli imtihon qog'ozini yozish uchun, aniq bilim nazariya va doimiy hal qilishda mashq qilish vazifalar.

Sizning muvaffaqiyat formulangiz

Ish + xatolar ustida ishlash + xatolikka yo'l qo'ymaslik uchun savolni boshidan oxirigacha diqqat bilan o'qing = informatika bo'yicha yagona davlat imtihonida maksimal ball.

MBOU "Lisey" kompyuter fanlari o'qituvchisi

birinchi malaka toifasi

Murzina Olga Ivanovna

MBOU "Lisey" Arzamas

Informatika fanidan Yagona davlat imtihonining 18-topshiriqini yechish nazariyasi va amaliyoti

Arzamas, 2017 yil

Mnemonik qoida

Uning asosiy tamoyillaridan biri butunni to'ldirish (aksincha to'ldirish)

Sotsionika - bu axborot psixologiyasi

Yechish formulasi

Mantiq algebrasida butun sonning to'ldiruvchisi formulasi mavjud:

Ba'zi masalalarda bu formula o'rniga qarama-qarshiliklarni ko'paytirishdan foydalanamiz:

Ish turlari 18

Segment vazifalari
To'plamlar bo'yicha vazifalar
Bitli birikma bo'yicha topshiriqlar
Bo'linish testlari

Segment vazifalari

(376-son) Sonlar qatorida ikkita segment mavjud: P= va Q=. ((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) → (x ∈ A) formula bo‘lsin, A segmentining mumkin bo‘lgan eng kichik uzunligini toping.

xuddi shunday to'g'ri, ya'ni x o'zgaruvchining istalgan qiymati uchun 1 qiymatini oladi.

Yechish formulasi

x o'zgaruvchining istalgan qiymati uchun 1 qiymatini oladi.

Segment muammosini hal qilish

Afsona
Vaziyatni rasmiylashtirish
Mantiqiy tenglamani yechish

Muammoning yechimini bosqichlarga ajratamiz:

Segment muammosini hal qilish

Afsona- bular biz hal qilishda foydalanadigan qulay belgilar.

Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

Segment muammosini hal qilish

2) Vaziyatni rasmiylashtirish– muammo bayonidan formulani afsonaga muvofiq qayta yozamiz.

((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) → (x ∈ A) = 1

(P ∧ Q) → A = 1

Segment muammosini hal qilish

3) Mantiqiy tenglamani yechish - Dastlab, bu muammoni hal qilishning eng qiyin bosqichidir. Ammo keyinroq, tajriba orttirgan sari, endi bu unchalik qiyin bo'lib ko'rinmaydi 

Mantiqiy tenglamani bosqichma-bosqich yechishni ko'rib chiqamiz.

Segment muammosini hal qilish

3.1. A → B = ¬A  B formulasidan foydalanib, asosiy mantiqiy operatsiyalarda mantiqiy natijani tasavvur qilaylik:

(P ∧ Q) → A = 1

¬(P ∧ Q)  A = 1

Segment muammosini hal qilish

A  ¬A = 1 (mantiq algebrasida kommutativlik qonuni amal qiladi, ya’ni A  ¬A = ¬A  A):

¬(P ∧ Q)  A = 1, demak

¬A = ¬(P ∧ Q)

Mantiqiy tenglamada javob quyidagicha bo'ladi:

Segment muammosini hal qilish

Bizning javobimiz: A = P ∧ Q.

Mantiq algebrasida bu ifoda ikki mantiqiy ob'ektning hajmlarining kesishishini bildiradi. Bizning masalamiz shartlariga ko'ra, bu P va Q segmentlarining kesishishi.

Segment muammosini hal qilish

P va Q segmentlarining kesishishini tasvirlash mumkin: P= va Q=.

Bizning muammomiz shartlariga ko'ra, bizga A segmentining minimal uzunligi kerak. Biz uni topamiz: 15 - 12 = 3.

K.Yu Polyakovning veb-saytida javob: 3

Segment vazifalari

(360-son) Sonlar qatorida uchta segment mavjud: P=, Q= va R=. Formula ((x ∈ Q) → (x ∉ R)) ∧ (x ∈ A) ∧ (x ∉ P) bo'lgan A segmentining maksimal uzunligi qancha?

xuddi shunday noto'g'ri, ya'ni x o'zgaruvchining istalgan qiymati uchun 0 qiymatini oladi?

Manba - Polyakov K.Yu sayti.

Yechish formulasi

Yechim formulasini tanlash uchun muammo talabini diqqat bilan o'qib chiqish muhimdir.

Bizning muammomizda talab shunday deydi:

x o'zgaruvchining istalgan qiymati uchun 0 qiymatini oladi.

Hal qiluvchi formulani tanlash aniq:

Segment muammosini hal qilish

Afsona
Vaziyatni rasmiylashtirish
Mantiqiy tenglamani yechish
Olingan natijani talqin qilish

Segment muammosini hal qilish

Afsona

Segment muammosini hal qilish

2) Shartni rasmiylashtirish

((x ∈ Q) → (x ∉ R)) ∧ (x ∈ A) ∧ (x ∉ P) = 0

(Q → ¬R) ∧ A ∧ ¬ P = 0

Segment muammosini hal qilish

(Q → ¬R) ∧ A ∧ ¬ P = 0

3.1. A → B = ¬A  B formulasidan foydalanib, asosiy mantiqiy operatsiyalarda mantiqiy natijani tasavvur qilaylik va omillarni kommutativ ko'paytirish qonuniga muvofiq qayta joylashtiramiz:

A ∧ (¬ Q  ¬R) ∧ ¬ P = 0

Segment muammosini hal qilish

3) Mantiqiy tenglamani yechish

A ∧ (¬ Q  ¬R) ∧ ¬ P = 0

3.2. Olingan ifodani hal qiluvchi formulaga keltiramiz: A  ¬A = 0 va ¬A nimaga teng ekanligini topamiz:

¬A = (¬Q  ¬R) ∧ ¬P

Segment muammosini hal qilish

3) Mantiqiy tenglamani yechish

¬A = (¬Q  ¬R) ∧ ¬P

3.3. ¬A ning ifodasini de Morgan qonuniga asosan ¬A¬B=¬(AB) soddalashtiramiz:

¬A = ¬ (Q  R) ∧ ¬ P,

va boshqa de Morgan qonuniga ko'ra ¬A¬B=¬(AB):

¬A = ¬ (Q  R  P)

Segment muammosini hal qilish

3) Mantiqiy tenglamani yechish

¬A = ¬ (Q  R  P)

3.4. Bu aniq

A = Q  R  P

Segment muammosini hal qilish

4) Olingan natijani talqin qilish

A = Q  R  P

A segmenti Q va R segmentlarining kesishishi va uning P segmenti bilan birlashishi.

Segment muammosini hal qilish

R va Q segmentlarining kesishishini tasvirlash mumkin: Q= va R=.

Biz chizmamizga P= segmentini chizamiz va uni kesishma bilan birlashtiramiz:

Segment muammosini hal qilish

Bizning muammomiz shartlariga ko'ra, bizga A segmentining maksimal uzunligi kerak. Biz uni topamiz: 30 – 10 = 20.

A = Q  R  P

K.Yu Polyakovning veb-saytida javob: 20

2. To‘plamlardagi topshiriqlar

(386-son) A, P, Q to‘plamlarning elementlari natural sonlar va P=(1,2,3,4,5,6), Q=(3,5,15). Ma'lumki, (x ∉ A) → ((x ∉ P) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (x ∉ Q) ifodasi

rost (ya'ni, x o'zgaruvchining istalgan qiymati uchun 1 qiymatini oladi. A to'plamdagi elementlarning mumkin bo'lgan eng kichik sonini aniqlang.

Manba - Polyakov K.Yu sayti.

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

Afsona
Vaziyatni rasmiylashtirish
Mantiqiy tenglamani yechish
Olingan natijani talqin qilish

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

Afsona

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

2) Shartni rasmiylashtirish

(x ∉ A) → ((x ∉ P) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (x ∉ Q) = 1

¬ A → (¬P ∧ Q)  ¬ Q = 1

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

3) Mantiqiy tenglamani yechish

¬ A → (¬P ∧ Q)  ¬ Q = 1

3.1. Keling, asosiy mantiqiy operatsiyalarda mantiqiy natijani tasavvur qilaylik va ularni guruhlaymiz:

A  ((¬P ∧ Q)  ¬ Q) = 1

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

A  ((¬P ∧ Q)  ¬Q) = 1

3.2. Olingan ifodani hal qiluvchi formulaga keltiramiz:

va ¬A nimaga teng ekanligini toping:

¬A = (¬P ∧ Q)  ¬Q

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

¬A = (¬P ∧ Q)  ¬Q

3.3. Qavslarni distributiv qo‘shish qonuniga ko‘ra ochib, ¬A ifodasini soddalashtiramiz:

¬A = (¬P  ¬Q)  (Q  ¬Q)

¬A = (¬P  ¬Q)

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

¬A = (¬P  ¬Q)

De Morgan qonuniga ko'ra:

¬A = ¬(P  Q)

3.4. Bu aniq

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

4) Olingan natijani talqin qilish

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

P = 1, 2, 3, 4, 5, 6 va Q =(3, 5,15), shuning uchun A =(3, 5)

va faqat 2 ta elementni o'z ichiga oladi.

Polyakovning veb-saytida javob: 2

2. To‘plamlardagi topshiriqlar

(368-son) A, P, Q to‘plamlarning elementlari natural sonlar, P=(2,4,6,8,10,12) va Q=(4,8,12,116). Ma'lumki, (x ∈ P) → ((x ∈ Q) ∧ (x ∉ A)) → (x ∉ P)) ifodasi

x o'zgaruvchining istalgan qiymati uchun true (ya'ni 1 qiymatini oladi). A to‘plam elementlari yig‘indisining mumkin bo‘lgan eng kichik qiymatini aniqlang.

Manba - Polyakov K.Yu sayti.

Afsona
Vaziyatni rasmiylashtirish
Mantiqiy tenglamani yechish
Olingan natijani talqin qilish

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

Afsona

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

2) Shartni rasmiylashtirish

(x ∈ P)→(((x ∈ Q) ∧ (x ∉ A))→(x ∉ P)) = 1

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = 1

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

3) Mantiqiy tenglamani yechish

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = 1

3.1. Keling, asosiy mantiqiy operatsiyalarda birinchi mantiqiy natijani (qavslar ichida) tasavvur qilaylik:

P → (¬(Q ∧ ¬A)  ¬P) = 1

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

P → (¬(Q ∧ ¬A)  ¬P) = 1

Keling, asosiy mantiqiy operatsiyalarda ikkinchi mantiqiy natijani tasavvur qilaylik, De Morgan qonunini qo'llaymiz va qayta tartibga solamiz:

¬P (¬(Q ∧ ¬A)  ¬P) = 1

¬P ¬Q  A  ¬P = 1

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

A  (¬P ¬Q  ¬P) = 1

3.2. Olingan ifodani hal qiluvchi formulaga keltiramiz:

va ¬A nimaga teng ekanligini toping:

¬A = (¬P ¬Q  ¬P)

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

¬A = ¬P ¬Q  ¬P

3.3. A  A = A formulasi yordamida ¬A ifodasini soddalashtiramiz:

¬A = ¬(P Q)

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

¬A = ¬(P Q)

3.4. Bu aniq

4) Olingan natijani talqin qilish

Kerakli A to'plam P va Q to'plamlarning kesishishidir.

To‘plamlar bo‘yicha masalani yechish

Kerakli A to'plam to'plamlarning kesishishidir

P = 2, 4, 6, 8, 10, 12 va

Q =(4, 8, 12, 16), shunday qilib

va faqat 3 ta elementdan iborat bo'lib, ularning yig'indisi 4+8+12=24.

Polyakovning veb-saytida javob: 24

(379-son) Belgilang m&n manfiy bo'lmagan butun sonlarning bitli birikmasi m Va n. Masalan, 14 & 5 = 11102 & 01012 = 01002 = 4. Eng kichik manfiy bo'lmagan butun son nima uchun A formula (x & 29 ≠ 0) → ((x & 12 = 0) → (x & A ≠ 0))

xuddi shunday to'g'rimi (ya'ni x o'zgaruvchisining har qanday manfiy bo'lmagan butun qiymati uchun 1 qiymatini oladi)?

Afsona
Vaziyatni rasmiylashtirish
Mantiqiy tenglamani yechish
Olingan natijani talqin qilish

Afsona

B = (x & 29 ≠ 0)

C = (x & 12 ≠ 0)

A = (x va A ≠ 0)

Bitli birikma masalasini yechish

Biz noldan boshqa bitli birikmani haqiqiy gap sifatida qabul qilamiz, aks holda bitli birikma mantiqiy ma’nosini yo‘qotadi, chunki Siz har doim X ni barcha nollar bilan ifodalashingiz mumkin.

Bitli birikma masalasini yechish

2) Shartni rasmiylashtirish

(x & 29 ≠ 0)→((x & 12 = 0)→(x & A ≠ 0))=1

B → (¬C → A) = 1

Bitli birikma masalasini yechish

3) Mantiqiy tenglamani yechish

B → (¬C → A) = 1

B → (C A) = 1

(¬B  C) A = 1

¬A = ¬B  C

¬A = ¬(B ¬ C)

Bu aniq

A = B ¬ C

Bitli birikma masalasini yechish

4) Olingan natijani talqin qilish

Bitli birikma masalasini yechish

B = (x & 29 ≠ 0)

B yoki 29 = 111012

C = (x & 12 ≠ 0)

¬S yoki inversiya 12 = 00112

Bitli birikma masalasini yechish

B yoki 29 = 111012

¬S yoki inversiya 12 = 00112

A = B ¬ C

A = 100012 = 17

Polyakovning veb-saytida javob: 17

3. Bitli birikmaga oid topshiriqlar

(375-son) M va K ning bitli birikmasini bildiruvchi M & K ifodasini kiritamiz (binar yozuvning mos bitlari orasidagi mantiqiy “VA”). Eng kichik A natural sonini aniqlang, shundayki ifoda (X & 49 ≠ 0) → ((X & 33 = 0) → (X & A ≠ 0))

xuddi shunday rost (ya'ni X o'zgaruvchining har qanday natural qiymati uchun 1 qiymatini oladi)?

Afsona
Vaziyatni rasmiylashtirish
Mantiqiy tenglamani yechish
Olingan natijani talqin qilish

Bitli birikma masalasini yechish

Afsona

Bitli birikmalar bilan bog'liq muammolar uchun afsona boshqa barcha holatlardan farq qiladi:

B = (x & 49 ≠ 0)

C = (x & 33 ≠ 0)

A = (x va A ≠ 0)

Bitli birikma masalasini yechish

2) Shartni rasmiylashtirish

(X & 49 ≠ 0) → ((X va 33 = 0) → (X va A ≠ 0))=1

B → (¬C → A) = 1

Bitli birikma masalasini yechish

3) Mantiqiy tenglamani yechish

B → (¬C → A) = 1

B → (C  A) = 1

(¬B  C)  A = 1

¬A = (¬B  C)

Shubhasiz:

Bitli birikma masalasini yechish

4) Olingan natijani talqin qilish

A bitli birikmaning kerakli ikkilik qiymati B qiymatining bitli birikmasining ikkilik qiymati va C ikkilik qiymatiga teskari hisoblanadi.

Bitli birikma masalasini yechish

B = (x & 49 ≠ 0)

B yoki 49 = 1100012

C = (x & 33 ≠ 0)

¬C yoki inversiya 33 = 0111102

Bitli birikma masalasini yechish

B yoki 49 = 1100012

¬C yoki inversiya 33 = 0111102

A = B ¬ C

011110 2

A = 100002 = 16

Polyakovning veb-saytida javob: 16

(372-son) “n natural soni m natural soniga qoldiqsiz bo‘linadi” gapini DEL(n, m) bilan belgilaymiz. Eng katta natural son qaysi A uchun ¬DIV(x,A) → (¬DIV(x,21) ∧ ¬DIV(x,35)) formulasi

Manba - Polyakov K.Yu sayti.

Afsona
Vaziyatni rasmiylashtirish
Mantiqiy tenglamani yechish
Olingan natijani talqin qilish

Muammoni hal qilish

bo'linish sharti bo'yicha

Afsona

Muammoni hal qilish

bo'linish sharti bo'yicha

Afsona oddiy: A = DIV(x,A)

21 = DIV(x.21)

35 = DIV(x.35)

2) Shartni rasmiylashtirish

Muammoni hal qilish

bo'linish sharti bo'yicha

¬DIV(x,A) → (¬DIV(x,21) ∧ ¬DIV(x,35))

¬A → (¬21 ∧ ¬35) = 1

xuddi shunday to'g'ri (ya'ni 1 qiymatini oladi)

3) Mantiqiy tenglamani yechish

Muammoni hal qilish

bo'linish sharti bo'yicha

¬A → (¬21 ∧ ¬35) = 1

A (¬21 ∧ ¬35) = 1

¬A = ¬21 ∧ ¬35

Bu aniq

4) Olingan natijani talqin qilish

Ushbu muammoda bu yechimning eng qiyin bosqichidir. A raqami nima ekanligini tushunishingiz kerak - LOC yoki GCD yoki ...

Muammoni hal qilish

bo'linish sharti bo'yicha

4) Olingan natijani talqin qilish

Shunday qilib, bizning A soni shundayki, X 21 ga yoki 35 ga qoldiqsiz bo'linadigan bo'lsa, X unga qoldiqsiz bo'linadi

A = gcd (21, 35) = 7

Muammoni hal qilish

bo'linish sharti bo'yicha

Polyakovning veb-saytida javob: 7

4. Bo‘linish sharti bo‘yicha topshiriqlar

(370-son) “n natural soni m natural soniga qoldiqsiz bo‘linadi” gapini DEL(n, m) bilan belgilaymiz. Qaysi eng katta natural son A uchun ¬DIV(x,A) → ((DIV(x,6) → ¬DIV(x,4)) formulasi

xuddi shunday rost (ya'ni x o'zgaruvchining istalgan natural qiymati uchun 1 qiymatini oladi)?

Manba - Polyakov K.Yu sayti.

Afsona
Vaziyatni rasmiylashtirish
Mantiqiy tenglamani yechish
Olingan natijani talqin qilish

Muammoni hal qilish

bo'linish sharti bo'yicha

Afsona

A = DIV(x,A)

Muammoni hal qilish

bo'linish sharti bo'yicha

2) Shartni rasmiylashtirish

Muammoni hal qilish

bo'linish sharti bo'yicha

¬DIV(x,A) → ((DIV(x,6) → ¬DIV(x,4))

xuddi shunday to'g'ri (ya'ni 1 qiymatini oladi

¬A → (6 → ¬4) = 1

3) Mantiqiy tenglamani yechish

¬A → (6 → ¬4) = 1

¬A → (¬ 6  ¬4) = 1

A  (¬ 6  ¬ 4) = 1

¬A = ¬ 6  ¬4

Shubhasiz:

Muammoni hal qilish

bo'linish sharti bo'yicha

4) Olingan natijani talqin qilish

Demak, A shundayki, X 6 ga ham, 4 ga ham qoldiqsiz bo‘linadigan bo‘lsa, X unga qoldiqsiz bo‘linadi. A = LCM(6, 4) = 12

Polyakovning veb-saytida javob: 12

Muammoni hal qilish

bo'linish sharti bo'yicha

Endi 18-topshiriq yechimini o‘quvchilaringizga yoki do‘stlaringizga tushuntirib bera olasizmi?

(ha, yo'q, bilmayman).

E'tiboringiz uchun rahmat!