Polinomlarning bo'linishi. Ko'phadni qoldiq bilan ko'phadga bo'lish Ko'phadni binomga bo'lish misollari

Ko'phadlardan tashkil topgan noto'g'ri kasrni ko'phad va to'g'ri kasr yig'indisi sifatida ifodalash mumkinligiga dalil berilgan. Ko'phadlarni burchak bilan bo'lish va ustun bilan ko'paytirish misollari batafsil tahlil qilingan.

Tarkib

Teorema

P k (x),Qn (x) k ≥ n bo'lgan mos ravishda k va n darajali x o'zgaruvchan ko'phadlardir. (x) Keyin ko'phadli P k
(1) quyidagi shaklda yagona tarzda ifodalanishi mumkin: Pk,
(x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x) (x) bu yerda S k-n - k-n darajali ko'phad, U n- 1(x) 1 - n-dan yuqori bo'lmagan darajali polinom

, yoki nol.

Isbot
;
;
;
,
Polinomning ta'rifi bo'yicha:

Bu yerda p i, q i ma’lum koeffitsientlar, s i, u i noma’lum koeffitsientlar.
.
Keling, belgi bilan tanishamiz: (1) :
;
(2) .
Keling, almashtiramiz 1 O'ng tomondagi birinchi had k darajali ko'phaddir.
Ikkinchi va uchinchi hadlarning yig'indisi k - dan yuqori bo'lmagan darajali ko'phaddir.
.

X k uchun koeffitsientlarni tenglashtiramiz: (2) :
.
p k = s k-n q n.
Demak, s k-n = p k / q n. 1 Keling, tenglamani aylantiramiz
(3) .

Belgini kiritamiz: . (1) s k-n = p k / q n bo'lgani uchun, x k uchun koeffitsient nolga teng. Shuning uchun - bu k dan yuqori bo'lmagan darajali polinomdir - 1 , . Keyin oldingi tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin: Bu tenglama tenglama bilan bir xil shaklga ega, faqat k qiymatiga aylandi
,
Ozroq. Buni takrorlash - k-n darajali ko'phad, U n-.

k-n protsedurasi 0 marta, biz tenglamani olamiz:

undan U n- ko‘phadning koeffitsientlarini aniqlaymiz.

Shunday qilib, biz barcha noma'lum koeffitsientlarni aniqladik s i, ul. (1) Bundan tashqari, s k-n ≠ (x).
(4) .
Lemma isbotlangan. (x) Polinomlarning bo'linishi - k-n darajali ko'phad, U n- Tenglamaning ikkala tomonini bo'lish

Qn bo'yicha (4) , biz olamiz:

O'nlik sonlarga o'xshatish bo'yicha S k-n 10 kasr yoki qismning butun qismi deb ataladi, U n-
.
- bo'linmaning qolgan qismi. Numeratordagi ko'phadning darajasi maxrajdagi ko'phadning darajasidan kichik bo'lgan ko'phadli kasr to'g'ri kasr deyiladi. Numeratordagi ko'phadning darajasi maxrajdagi ko'phadning darajasidan katta yoki teng bo'lgan ko'phadli kasr noto'g'ri kasr deyiladi. 10 .

2, 6, 5, 8, 4, 7 raqamlari raqamni 10 ning kuchiga kengaytirish koeffitsientlari.

Shuning uchun, sonlarni bo'lish uchun qo'llaniladigan bo'linish qoidasi (ba'zan uzun bo'linish deb ataladi) ko'phadlarga nisbatan qo'llanilishi mumkin. Faqatgina farq shundaki, polinomlarni bo'lishda to'qqizdan katta raqamlarni eng yuqori raqamlarga aylantirish kerak emas. Aniq misollar yordamida ko'phadlarni burchak bilan bo'lish jarayonini ko'rib chiqamiz.

Ko'phadlarni burchak bilan bo'lish misoli 4 ≥ 2 Bu erda hisoblagich to'rtinchi darajali ko'phadni o'z ichiga oladi. Maxraj ikkinchi darajali ko'phaddir. Chunki

, keyin kasr noto'g'ri. Polinomlarni burchak bilan (ustunda) ajratib, butun qismni tanlaymiz: beraylik batafsil tavsif

1.1 bo'linish jarayoni. Asl ko'phadlarni chap va o'ng ustunlarga yozamiz. Maxraj ko'phad ostida, o'ng ustunda, gorizontal chiziq (burchak) torting. Bu chiziq ostida, burchak ostida, kasrning butun bir qismi bo'ladi.

1.2 Biz butun qismning birinchi hadini topamiz (burchak ostida). Buning uchun sonning bosh hadini maxrajning bosh hadiga ajrating: . Ko'paytiring 2 x 2 tomonidan x:
2 - 3 x + 5

1.3 . Natijani chap ustunga yozamiz:

.

Chap ustundagi polinomlarning farqini olamiz:
.

Shunday qilib, biz oraliq natijaga erishdik: 3 O'ng tomondagi kasr noto'g'ri, chunki sanoqdagi ko'phadning darajasi ( 2 ) maxrajdagi ko‘phadning darajasidan katta yoki teng bo‘ladi.
2.1 ). Biz hisob-kitoblarni takrorlaymiz. Faqat endi kasrning soni chap ustunning oxirgi qatorida joylashgan.

2.2 Numeratorning bosh hadini maxrajning bosh hadiga ajratamiz: ;

2.3 Maxrajga ko'paytiring: ;

Va chap ustunning oxirgi qatoridan ayirish: ;
.

Oraliq natija:
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;

Biz hisob-kitoblarni yana takrorlaymiz, chunki o'ng tomonda noto'g'ri kasr mavjud.
.
Shunday qilib, biz oldik: 1 < 2 To'g'ri kasrning sonidagi ko'phadning darajasi maxrajdagi ko'phadning darajasidan kichik,

;
. Shuning uchun kasr to'g'ri.
2 x 2 - 4 x + 1 8 - bu butun qism;

x-

- bo'linishning qolgan qismi.
.

2-misol

Kasrning butun qismini tanlang va bo'linishning qolgan qismini toping:
.

Biz oldingi misoldagi kabi amallarni bajaramiz:

Bu erda bo'linishning qolgan qismi nolga teng:

Ko'phadlarni ustunga ko'paytirish

Butun sonlarni ko'paytirishga o'xshash ustundagi ko'phadlarni ham ko'paytirishingiz mumkin. Keling, aniq misollarni ko'rib chiqaylik.
.

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Ko'phadlarni ustunga ko'paytirishga misol

3
;
;
;
.

Ko‘phadlarning ko‘paytmasini toping:

x-

Natijani x darajalarini tekislab, ustunga yozamiz.
.

Ustundagi ko'phadlarni ko'paytirishda x o'zgaruvchining bir xil darajalarini bir-birining ostiga yozish muhimdir. Agar x ning ba'zi vakolatlari etishmayotgan bo'lsa, ular aniq yozilishi, nolga ko'paytirilishi yoki bo'sh joylarni qoldirishi kerak.

Ushbu misolda ba'zi darajalar yo'q. Shuning uchun biz ularni nolga ko'paytirib aniq yozamiz:
.
Ustundagi polinomlarni ko'paytirish.

1 Asl ko'phadlarni bir-birining ostiga ustunga yozamiz va chiziq chizamiz.

2.1 Ikkinchi ko'phadning eng kichik hadini birinchi ko'phadga ko'paytiring:
.
Natijani ustunga yozamiz.

2.2 Ikkinchi polinomning keyingi hadi nolga teng. Shuning uchun uning birinchi ko'phadga ko'paytmasi ham nolga teng. Nolinchi qator yozilmasligi mumkin.

2.3 Ikkinchi ko'phadning keyingi hadini birinchi ko'phadga ko'paytiring:
.
Ko'phadlarni ustunga ko'paytirishga misol

2.3 Ikkinchi ko'phadning keyingi (eng yuqori) hadini birinchi ko'phadga ko'paytiring:
.
Ko'phadlarni ustunga ko'paytirishga misol

3 Ikkinchi ko'phadning barcha a'zolari birinchisiga ko'paytirilgandan so'ng, chiziq torting va bir xil kuchga ega bo'lgan hadlarni qo'shing:
.

Umumiy ko'rinish monomial

f(x)=ax n, Qayerda:

-a- har qanday to'plamga tegishli bo'lishi mumkin bo'lgan koeffitsient N, Z, Q, R, C

-x- o'zgaruvchan

-n to‘plamga tegishli ko‘rsatkich N

Ikki monomial o'xshash bo'ladi, agar ular bir xil o'zgaruvchiga va bir xil ko'rsatkichga ega bo'lsa.

Misollar: 3x2 Va -5x2; ½x 4 Va 2√3x4

Bir-biriga oʻxshamaydigan monomlar yigʻindisi koʻphad (yoki koʻphad) deyiladi. Bunday holda, monomlar ko'phadning hadlari hisoblanadi. Ikki haddan iborat polinom binomial (yoki binomial) deyiladi.
Misol: p(x)=3x 2 -5; h(x)=5x-1
Uchta haddan iborat bo‘lgan ko‘phadga uch a’zo deyiladi.

Bitta o‘zgaruvchili ko‘phadning umumiy ko‘rinishi

Qayerda:

a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0- polinom koeffitsientlari. Ular natural, butun, ratsional, haqiqiy yoki kompleks sonlar bo'lishi mumkin.
a n- eng katta ko'rsatkichli atama koeffitsienti (etakchi koeffitsient)
a 0- eng kichik ko'rsatkichli atama koeffitsienti (erkin muddat yoki doimiy)
n- polinom darajasi

1-misol
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

koeffitsientli uchinchi darajali polinom 5, -2, 7 Va -1
5 - etakchi koeffitsient
-1 - bepul a'zo
x- o'zgaruvchan

2-misol
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

koeffitsientli to'rtinchi darajali polinom -2√3.½ Va -4
-2√3 - etakchi koeffitsient
-4 - bepul a'zo
x- o'zgaruvchan

Polinomlarning bo'linishi

p(x) Va q(x)- ikkita polinom:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Bo'lishning qism va qoldiqlarini topish p(x) yoqilgan q(x), siz quyidagi algoritmdan foydalanishingiz kerak:

Daraja p(x) dan katta yoki teng bo'lishi kerak q(x).
Ikkala ko'phadni ham darajaning kamayish tartibida yozishimiz kerak. Agarda p(x) hech qanday darajali atama yo'q, uni 0 koeffitsienti bilan qo'shish kerak.
Bosh aʼzo p(x) yetakchi atamaga bo‘linadi q(x), va natija ajratuvchi chiziq ostida (maxrajda) yoziladi.
Natijani barcha shartlarga ko'paytiring q(x) va natijani shartlar ostida qarama-qarshi belgilar bilan yozing p(x) tegishli darajalar bilan.
Muddat bo'yicha bir xil vakolatlarga ega shartlarni qo'shing.
Natijaga qolgan shartlarni tayinlaymiz p(x).
Hosil boʻlgan koʻphadning bosh hadini koʻphadning birinchi hadiga boʻling q(x) va 3-6-bosqichlarni takrorlang.
Ushbu protsedura yangi olingan ko'phaddan kichik darajaga ega bo'lguncha takrorlanadi q(x). Bu polinom bo'linishning qolgan qismi bo'ladi.
Ajratish chizig'i ostida yozilgan ko'phad bo'linish (bo'lim) natijasidir.

1-misol
1 va 2-qadamlar) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x 4 -2x 3 +2x 2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x 4 -2x 3 +2x 2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Shaxsiy

Javob: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

2-misol
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) STOP

x 2 +3x+12 --> C(x) qism

Javob: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Birinchi darajali ko'phadga bo'lish

Bu bo'linish yuqoridagi algoritm yordamida yoki Horner usuli yordamida tezroq amalga oshirilishi mumkin.
Agar f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, ko'phadni quyidagicha qayta yozish mumkin f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- birinchi darajali ko'phad ⇒ q(x)=mx+n
Keyin bo'lakdagi ko'phad darajaga ega bo'ladi n-1.

Horner usuliga ko'ra, $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 =x 0 .b 2 +a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
Qayerda b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- xususiy. Qolgan qismi nol darajali ko'phad bo'ladi, chunki qolgandagi ko'phadning darajasi bo'luvchining darajasidan kichik bo'lishi kerak.
Qolgan bilan bo'linish ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r agar $x_0=-\frac(n)(m)$
Shu esta tutilsinki p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

3-misol
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x))))
x 0 =3

b 3 =5
b 2 =3,5-2=13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 =3,43-6=123
r=3,123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

4-misol
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 =-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 =-2 b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7 b 0 =(-2).29-4=-62
b 2 =(-2).7+0=-14 r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

5-misol
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b 2 =3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4) )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \O'ng strelka c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
Xulosa
Agar biz birdan yuqori darajali polinomga bo'linadigan bo'lsak, biz qism va qoldiqni topish uchun algoritmdan foydalanishimiz kerak. 1-9 .
Agar birinchi darajali ko'phadga bo'linsak mx+n, keyin qism va qoldiqni topish uchun $x_0=-\frac(n)(m)$ bilan Horner usulidan foydalanish kerak.
Agar biz faqat bo'linishning qolgan qismi bilan qiziqsak, uni topish kifoya p(x 0).
6-misol
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4,1+3,1+5,1-1+2=5
r=5

Bugun biz ko'phadlarni bir-biriga bo'lishni o'rganamiz va oddiy sonlarga o'xshash burchak bilan bo'linishni qilamiz. Bu juda foydali texnika bo'lib, afsuski, ko'pchilik maktablarda o'qitilmaydi. Shuning uchun ushbu video darsni diqqat bilan tinglang. Bunday bo'linishda murakkab narsa yo'q.

Birinchidan, ikkita raqamni bir-biriga ajratamiz:

Buni qanday qilish mumkin? Avvalo, biz juda ko'p bitlarni kesib tashladik, natijada raqamli qiymat biz bo'lgan narsadan ko'proq edi. Agar bitta raqamni kesib tashlasak, biz beshta raqamni olamiz. Ko‘rinib turibdiki, o‘n yetti kishi beshga sig‘maydi, shuning uchun bu yetarli emas. Biz ikkita raqamni olamiz - biz 59 ni olamiz - bu allaqachon o'n ettidan ortiq, shuning uchun operatsiyani bajarishimiz mumkin. Xo'sh, o'n ettita 59 ga necha marta to'g'ri keladi? Keling, uchtasini olaylik. Biz ko'paytiramiz va natijani 59 ostida yozamiz. Hammasi bo'lib, biz 51. Ayirish va biz "sakkiz" ni olamiz. Endi biz keyingi raqamni tushiramiz - besh. 85 ni o'n ettiga bo'ling. Keling, beshtasini olaylik. O'n ettini beshga ko'paytirsak, biz 85 ni olamiz. Ayirish va biz nolni olamiz.

Haqiqiy misollarni yechish

Vazifa № 1

Keling, xuddi shu amallarni bajaramiz, lekin raqamlar bilan emas, balki ko'phadlar bilan. Masalan, buni olaylik:

\[\frac(((x)^(2))+8x+15)(x+5)=x+3\]

E'tibor bering, agar raqamlarni bir-biriga bo'lishda dividend har doim bo'luvchidan katta bo'ladi deb taxmin qilgan bo'lsak, ko'phadlarni burchakka bo'lishda dividend darajasi bo'luvchidan katta bo'lishi kerak. Bizning holatlarimizda hamma narsa tartibda - biz ikkinchi va birinchi darajali konstruktsiyalar bilan ishlayapmiz.

Shunday qilib, birinchi qadam: birinchi elementlarni solishtiring. Savol: $((x)^(2))$ olish uchun $x$ ni nimaga ko‘paytirish kerak? Shubhasiz, yana $x$ uchun. $x+5$ sonini biz topgan $x$ raqamiga ko'paytiring. Bizda $((x)^(2))+5$ bor, biz dividenddan ayiramiz. Bu $3x$ qoladi. Endi biz keyingi muddatni olib tashlaymiz - o'n besh. Birinchi elementlarga yana qaraylik: $3x$ va $x$. $3x$ olish uchun $x$ni nimaga koʻpaytirish kerak? Shubhasiz, uchta. $x+5$ hadini uchga ko'paytiramiz. Ayirsak, biz nolga erishamiz.

Ko'rib turganingizdek, burchakka bo'linishning butun operatsiyasi dividend va bo'luvchining eng yuqori koeffitsientlarini solishtirishga qisqartirildi. Bu raqamlarni bo'lishdan ham osonroq. Raqamlarning ma'lum sonini tanlashning hojati yo'q - biz har bir bosqichda eng yuqori elementlarni solishtiramiz. Bu butun algoritm.

Muammo № 2

Yana urinib ko'ramiz:

\[\frac(((x)^(2))+x-2)(x-1)=x+2\]

Birinchi qadam: asosiy koeffitsientlarga qarang. $((x)^(2))$ yozish uchun $x$ ni qancha koʻpaytirish kerak? Biz muddatga ko'paytiramiz. E'tibor bering, ayirish paytida biz aniq $2x$ olamiz, chunki

Biz -2 ni olib tashlaymiz va olingan birinchi koeffitsientni bo'linuvchining eng yuqori elementi bilan yana solishtiramiz. Umuman olganda, biz "chiroyli" javob oldik.

Keling, ikkinchi misolga o'tamiz:

\[\frac(((x)^(3))+2((x)^(2))-9x-18)(x+3)=(x)^(2))-x-6\ ]

Bu safar dividend uchinchi darajali polinom hisoblanadi. Keling, birinchi elementlarni bir-biri bilan taqqoslaylik. $((x)^(3))$ olish uchun $x$ ni $((x)^(2))$ ga ko'paytirish kerak. Ayirishdan so'ng biz $9x$ olib ketamiz. Bo'luvchini $-x$ ga ko'paytiring va ayiring. Natijada bizning ifodamiz butunlay bo'linib ketdi. Javobni yozamiz.

Muammo № 3

Keling, oxirgi vazifaga o'tamiz:

\[\frac(((x)^(3))+3((x)^(2))+50)(x+5)=((x)^(2))-2x+10\]

$((x)^(3))$ va $x$larni solishtiramiz. Shubhasiz, siz $((x)^(2))$ ga ko'paytirishingiz kerak. Natijada biz juda "chiroyli" javob olganimizni ko'ramiz. Keling, yozamiz.

Bu butun algoritm. Bu erda ikkita asosiy nuqta bor:

Har doim dividend va bo'luvchining birinchi kuchini solishtiring - biz buni har qadamda takrorlaymiz;
Agar dastlabki ifodada biron bir daraja etishmayotgan bo'lsa, ular burchakka bo'linganda qo'shilishi kerak, lekin nol koeffitsientlar bilan, aks holda javob noto'g'ri bo'ladi.

Bu bo'linishda endi hikmat va hiyla yo'q.

Bugungi dars materiali hech qachon uning "sof" shaklida topilmaydi. Maktablarda kamdan-kam hollarda o'qitiladi. Biroq, polinomlarni bir-biriga bo'lish qobiliyati yuqori darajali tenglamalarni, shuningdek, barcha turdagi "qiyinchilik" muammolarini echishda sizga katta yordam beradi. Ushbu texnikasiz siz polinomlarni faktorga kiritishingiz, koeffitsientlarni tanlashingiz kerak bo'ladi - va natija hech qanday kafolatlanmaydi. Biroq, ko'phadlarni ham burchak bilan bo'lish mumkin - xuddi oddiy raqamlar kabi! Afsuski, bu texnika maktablarda o'qitilmaydi. Ko'pgina o'qituvchilarning fikricha, polinomlarni burchakka bo'lish oliy matematika sohasidan juda murakkab narsadir. Sizni ishontirib aytamanki, bunday emas. Darhaqiqat, ko'phadlarni bo'lish oddiy sonlarni bo'lishdan ham osonroqdir! Darsni tomosha qiling va o'zingiz ko'ring :) Umuman olganda, ushbu texnikani qo'llang. Yuqori darajali tenglamalarni yechishda va boshqa nostandart masalalarni hal qilishda polinomlarni bir-biriga bo'lish qobiliyati siz uchun juda foydali bo'ladi.

Umid qilamanki, bu video polinomlar, ayniqsa yuqori darajalar bilan ishlaydiganlarga yordam beradi. Bu o'rta maktab o'quvchilariga ham, universitet talabalariga ham tegishli. Va bu men uchun hammasi. Ko‘rishguncha!

Keling, ba'zi ta'riflardan boshlaylik. Polinom n-daraja(yoki n-tartibda) $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n) ko‘rinishdagi ifodani chaqiramiz. )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Masalan, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ ifodasi darajasi $14$ boʻlgan polinomdir. Uni quyidagicha belgilash mumkin: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

$a_0$ koeffitsienti $P_n(x)$ polinomining yetakchi koeffitsienti deyiladi. Masalan, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ polinomi uchun yetakchi koeffitsient $4$ ($x^(14)$ oldidagi raqam). $a_n$ soni $P_n(x)$ polinomining erkin hadi deyiladi. Masalan, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ uchun bepul muddat $(-11)$. Keling, ushbu sahifadagi materialning taqdimoti aslida asos bo'ladigan teoremaga murojaat qilaylik.

Har qanday ikkita polinom $P_n(x)$ va $G_m(x)$ uchun $Q_p(x)$ va $R_k(x)$ polinomlarini topish mumkin, shunda tenglik boʻlsin.

\begin(tenglama) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(tenglama)

va $k< m$.

“$P_n(x)$ koʻphadini $G_m(x)$ koʻphadiga boʻlish” iborasi “$P_n(x)$ koʻphadini (1) koʻrinishda ifodalash” degan maʼnoni anglatadi. $P_n(x)$ koʻphadni boʻlinuvchi, $G_m(x)$ koʻphadni boʻluvchi, $Q_p(x)$ koʻphadni $P_n(x)$ ning $G_m(x)$ ga boʻlinish qismi deb ataymiz. , va $ R_k(x)$ polinomi - $P_n(x)$ ni $G_m(x)$ ga boʻlishdan qolgan qoldiqlar. Masalan, $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ va $G_4(x)=3x^4+4x^2 polinomlari uchun +2 $ quyidagi tenglikni olishingiz mumkin:

$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$

Bu yerda $P_6(x)$ koʻphad boʻlinadi, $G_4(x)$ koʻphad boʻluvchi, $Q_2(x)=4x^2+x$ koʻphad $P_6(x)$ ga boʻlinadi. $G_4(x) $ va $R_3(x)=2x^3+1$ koʻphad $P_6(x)$ ning $G_4(x)$ ga boʻlinishining qolgan qismidir. E'tibor bering, qoldiqning darajasi (ya'ni 3) bo'linuvchining darajasidan (ya'ni 4) kichikdir, shuning uchun tenglik sharti bajariladi.

Agar $R_k(x)\ekviv 0$ bo'lsa, u holda $P_n(x)$ ko'phad $G_m(x)$ ko'phadga qoldiqsiz bo'linadi deyiladi. Masalan, $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ koʻphad $3x^4+15$ koʻphadiga qoldiqsiz boʻlinadi, chunki tenglik bajariladi:

$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$

Bu yerda $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ koʻphad boʻlinadi; polinom $G_4(x)=3x^4+15$ - bo'luvchi; va $Q_2(x)=7x^2+2x$ polinomi $P_6(x)$ ning $G_4(x)$ ga boʻlingan qismidir. Qolganlari nolga teng.

Ko'phadni ko'phadga bo'lish uchun ko'pincha "ustun" yoki "burchak" deb ataladigan bo'linish ishlatiladi. Keling, misollar yordamida ushbu usulning amalga oshirilishini ko'rib chiqaylik.

Misollarga o'tishdan oldin men yana bir atama bilan tanishaman. U umumiy qabul qilinmaydi, va biz undan faqat materialni taqdim etish qulayligi uchun foydalanamiz. Ushbu sahifaning qolgan qismida $P_n(x)$ polinomining eng yuqori elementini $a_(0)x^(n)$ ifodasi deb ataymiz. Masalan, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ polinomi uchun yetakchi element $4x^(14)$ boʻladi.

Misol № 1

Uzun bo'linish yordamida $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ ni $5x^2-x+2$ ga bo'ling.

Shunday qilib, bizda ikkita polinom bor, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ va $G_2(x)=5x^2-x+2$. Birinchisining darajasi $5$, ikkinchisining darajasi $2$. $P_5(x)$ ko‘phad dividend, $G_2(x)$ ko‘phad esa bo‘luvchi hisoblanadi. Bizning vazifamiz qism va qoldiqni topishdir. Muammoni bosqichma-bosqich hal qilamiz. Biz raqamlarni bo'lish uchun bir xil belgidan foydalanamiz:

Birinchi qadam

$P_5(x)$ (ya'ni $10x^5$) ko'phadning eng yuqori elementini $Q_2(x)$ ko'phadning eng yuqori elementiga (ya'ni $5x^2$) ajratamiz:

$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$

Natijadagi $2x^3$ ifodasi qismning birinchi elementidir:

$5x^2-x+2$ koʻphadini $2x^3$ ga koʻpaytiring, natijada:

$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$

Keling, natijani yozamiz:

Endi $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ koʻphaddan $10x^5-2x^4+4x^3$ koʻphadini ayiring:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$

Bu birinchi qadamni yakunlaydi. Biz olgan natija kengaytirilgan shaklda yozilishi mumkin:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$

$5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (yaʼni 4) koʻphadning darajasi $5x^2-x+2$ (yaʼni 2) koʻphadning darajasidan katta boʻlgani uchun, u holda jarayon bo'linishlari davom ettirilishi kerak. Keling, ikkinchi bosqichga o'tamiz.

Ikkinchi qadam

Endi biz $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ va $5x^2-x+2$ polinomlari bilan ishlaymiz. Birinchi bosqichda bo'lgani kabi, biz birinchi ko'phadning eng yuqori elementini (ya'ni $5x^4$) ikkinchi ko'phadning eng yuqori elementiga (ya'ni $5x^2$) ajratamiz:

$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$

Olingan $x^2$ ifodasi qismning ikkinchi elementidir. Keling, ko'rsatkichga $x^2$ qo'shamiz

$5x^2-x+2$ polinomini $x^2$ ga koʻpaytiring, natijada:

$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$

Keling, natijani yozamiz:

Endi $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ koʻphaddan $5x^4-x^3+2x^2$ koʻphadini ayiring:

$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$

Ushbu polinomni chiziq ostiga qo'shamiz:

Bu ikkinchi bosqichni tugatadi. Olingan natija kengaytirilgan shaklda yozilishi mumkin:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$

$-15x^3+23x^2-2x+5$ (yaʼni 3) koʻphadning darajasi $5x^2-x+2$ (yaʼni 2) koʻphadning darajasidan katta boʻlgani uchun, boʻlinishni davom ettiramiz. jarayon. Keling, uchinchi bosqichga o'tamiz.

Uchinchi qadam

Endi biz $-15x^3+23x^2-2x+5$ va $5x^2-x+2$ koʻphadlari bilan ishlaymiz. Xuddi oldingi bosqichlarda bo'lgani kabi, biz birinchi ko'phadning eng yuqori elementini (ya'ni $-15x^3$) ikkinchi ko'phadning eng yuqori elementiga (ya'ni $5x^2$) ajratamiz:

$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$

Olingan $(-3x)$ ifodasi qismning uchinchi elementidir. Keling, ko'rsatkichga $ -3x $ qo'shamiz

$5x^2-x+2$ polinomini $(-3x)$ ga koʻpaytiring, natijada:

$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$

Keling, natijani yozamiz:

Endi $-15x^3+23x^2-2x+5$ koʻphadidan $-15x^3+3x^2-6x$ koʻphadini ayiring:

$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$

Ushbu polinomni chiziq ostiga qo'shamiz:

Bu uchinchi bosqichni tugatadi. Olingan natija kengaytirilgan shaklda yozilishi mumkin:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$

$20x^2+4x+5$ (ya'ni 2) ko'phadning darajasi $5x^2-x+2$ (ya'ni 2) ko'phadning darajasiga teng bo'lgani uchun, bo'lish jarayonini davom ettiramiz. Keling, to'rtinchi bosqichga o'tamiz.

To'rtinchi qadam

Endi biz $20x^2+4x+5$ va $5x^2-x+2$ polinomlari bilan ishlaymiz. Oldingi bosqichlarda bo'lgani kabi, biz birinchi ko'phadning eng yuqori elementini (ya'ni $20x^2$) ikkinchi ko'phadning eng yuqori elementiga (ya'ni $5x^2$) ajratamiz:

$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$

Olingan $4$ soni ko'rsatkichning to'rtinchi elementidir. Keling, ko'rsatkichga $4$ qo'shamiz

$5x^2-x+2$ polinomini $4$ ga ko'paytiring, natijada:

$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$

Keling, natijani yozamiz:

Endi $20x^2+4x+5$ koʻphaddan $20x^2-4x+8$ koʻphadini ayirib olaylik.