Seriyalar yordamida taxminiy hisoblar. Teylor qatorini kengaytirish Koshi muammosining oddiy uchun taxminiy yechimi

Agar f(x) funksiya a nuqtasini o'z ichiga olgan ma'lum oraliqda barcha tartibli hosilalarga ega bo'lsa, unga Teylor formulasini qo'llash mumkin:
,
Qayerda r n- qatorning qolgan qismi yoki qoldig'i deb ataladigan bo'lsak, uni Lagrange formulasi yordamida hisoblash mumkin:
, bu erda x soni x va a orasida.

Funksiyalarni kiritish qoidalari:

Agar biron bir qiymat uchun X r n→ 0 da n→∞, keyin chegarada Teylor formulasi bu qiymat uchun konvergent bo'ladi Teylor seriyasi:
,
Shunday qilib, f(x) funksiyani x nuqtada Teylor qatoriga kengaytirish mumkin, agar:
1) barcha buyurtmalarning hosilalariga ega;
2) tuzilgan qator shu nuqtada yaqinlashadi.

a = 0 bo'lganda, biz chaqirilgan qatorni olamiz Maklaurin yaqinida:
,
Maklaurin seriyasidagi eng oddiy (elementar) funktsiyalarni kengaytirish:
Eksponensial funksiyalar
, R=∞
Trigonometrik funktsiyalar
, R=∞
, R=∞
, (-p/2< x < π/2), R=π/2
actgx funksiyasi x ning darajalarida kengaymaydi, chunki ctg0=∞
Giperbolik funktsiyalar


Logarifmik funksiyalar
, -1
Binom qator
.

Misol № 1. Funktsiyani quvvat seriyasiga kengaytiring f(x)= 2x.
Yechim. Funktsiyaning qiymatlari va uning hosilalarini topamiz X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Olingan hosilalarning qiymatlarini Teylor seriyasi formulasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Bu qatorning yaqinlashish radiusi cheksizlikka teng, shuning uchun bu kengayish -∞ uchun amal qiladi.<x<+∞.

Misol № 2. Teylor qatorini kuchlarda yozing ( X+4) funktsiya uchun f(x)= e x.
Yechim. Funktsiyaning hosilalarini topish e x va ularning nuqtadagi qiymatlari X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Demak, funksiyaning talab qilinadigan Teylor qatori quyidagi shaklga ega:

Bu kengaytma -∞ uchun ham amal qiladi<x<+∞.

Misol № 3. Funktsiyani kengaytirish f(x)=ln x bir qator kuchlarda ( X- 1),
(ya'ni, nuqta yaqinidagi Teylor seriyasida X=1).
Yechim. Bu funksiyaning hosilalarini toping.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Ushbu qiymatlarni formulaga almashtirib, biz kerakli Teylor seriyasini olamiz:

D'Alembert testidan foydalanib, qatorlar ½x-1½ da yaqinlashishini tekshirishingiz mumkin.<1 . Действительно,

Agar ½ bo'lsa, qator yaqinlashadi X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 Leybnits mezonining shartlarini qanoatlantiradigan muqobil qatorni olamiz. x=0 bo'lganda funktsiya aniqlanmaydi. Shunday qilib, Teylor qatorining yaqinlashish mintaqasi yarim ochiq intervaldir (0;2).

Misol № 4. Funktsiyani quvvat seriyasiga kengaytiring.
Yechim. Kengaytmada (1) x ni -x 2 bilan almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:
, -∞

Misol № 5. Funktsiyani Maclaurin seriyasida kengaytiring .
Yechim. Bizda ... bor
Formuladan (4) foydalanib, biz yozishimiz mumkin:

Formuladagi x o‘rniga –x ni qo‘ysak:

Bu yerdan topamiz: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Qavslarni ochib, ketma-ketlik shartlarini qayta tartibga solib, shunga o'xshash atamalarni keltirsak, biz olamiz
. Bu qator (-1;1) oraliqda yaqinlashadi, chunki u ikkita qatordan olinadi, ularning har biri shu intervalda yaqinlashadi.

Izoh .
Formulalar (1)-(5) ham tegishli funktsiyalarni Teylor qatoriga kengaytirish uchun ishlatilishi mumkin, ya'ni. musbat butun sonlarda funksiyalarni kengaytirish uchun ( Ha). Buning uchun (1)-(5) funksiyalardan birini olish uchun berilgan funktsiyada shunday bir xil o'zgartirishlarni bajarish kerak bo'ladi, buning o'rniga X xarajatlar k( Ha) m , bu yerda k doimiy son, m musbat butun son. Ko'pincha o'zgaruvchini o'zgartirish qulay t=Ha va natijaviy funksiyani Maklaurin qatoridagi t ga nisbatan kengaytiring.

Bu usul funktsiyaning darajali qatordagi kengayishining yagonaligi haqidagi teoremaga asoslanadi. Bu teoremaning mohiyati shundan iboratki, bir nuqtaga yaqin joyda, uning kengayishi qanday amalga oshirilgan bo'lishidan qat'i nazar, bir xil funktsiyaga yaqinlashadigan ikkita turli darajali qatorni olish mumkin emas.

Misol № 5a. Maklaurin qatoridagi funksiyani kengaytiring va yaqinlashish mintaqasini ko'rsating.
Yechim. Avval 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , ni topamiz.
boshlang'ich sinfga:

3/(1-3x) kasrni maxraji 3x bo'lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisi deb hisoblash mumkin, agar |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

konvergentsiya mintaqasi bilan |x|< 1/3.

Misol № 6. Funktsiyani x = 3 nuqtaga yaqin joyda Teylor qatoriga kengaytiring.
Yechim. Bu muammoni, avvalgidek, Teylor seriyasining ta'rifi yordamida hal qilish mumkin, buning uchun biz funktsiyaning hosilalari va ularning qiymatlarini topishimiz kerak. X=3. Biroq, mavjud kengaytmadan foydalanish osonroq bo'ladi (5):
=
Olingan qator yoki -3 da yaqinlashadi

Misol № 7. Teylor qatorini ln(x+2) funksiyaning (x -1) darajalarida yozing.
Yechim.


Seriya , yoki -2 da yaqinlashadi< x < 5.

Misol № 8. f(x)=sin(px/4) funksiyani x =2 nuqtaga yaqin joyda Teylor qatoriga kengaytiring.
Yechim. t=x-2 ni almashtiramiz:

Kengayish (3) dan foydalanib, biz x o'rniga p / 4 t ni almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:

Olingan qator berilgan funksiyaga -∞ da yaqinlashadi< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Shunday qilib,
, (-∞

Quvvat seriyalari yordamida taxminiy hisoblar

Kuchli seriyalar taxminan hisob-kitoblarda keng qo'llaniladi. Ularning yordami bilan siz ildizlarning qiymatlarini, trigonometrik funktsiyalarni, raqamlarning logarifmlarini va ma'lum bir aniqlik bilan aniq integrallarni hisoblashingiz mumkin. Seriyalar differentsial tenglamalarni integrallashda ham qo'llaniladi.
Bir darajali qatordagi funktsiyani kengaytirishni ko'rib chiqing:

Berilgan nuqtada funksiyaning taxminiy qiymatini hisoblash uchun X, ko'rsatilgan qatorning yaqinlashish mintaqasiga tegishli bo'lib, birinchilari uning kengayishida qoldiriladi. n a'zolar ( n– chekli son) va qolgan shartlar bekor qilinadi:

Olingan taxminiy qiymatning xatosini baholash uchun tashlab ketilgan qoldiqni baholash kerak rn (x) . Buning uchun quyidagi texnikalardan foydalaning:

• agar olingan qator o'zgaruvchan bo'lsa, unda quyidagi xususiyat ishlatiladi: Leybnits shartlarini qondiradigan o'zgaruvchan qator uchun mutlaq qiymatdagi qatorning qolgan qismi birinchi bekor qilingan haddan oshmaydi..
• agar berilgan qator doimiy ishorali bo'lsa, u holda tashlab ketilgan hadlardan tashkil topgan qator cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bilan taqqoslanadi.
• umumiy holatda, Teylor seriyasining qolgan qismini baholash uchun siz Lagrange formulasidan foydalanishingiz mumkin: a x ).

Misol № 1. ln(3) ni 0,01 ga qadar hisoblang.
Yechim. X=1/2 bo'lgan kengaytmadan foydalanamiz (oldingi mavzudagi 5-misolga qarang):

Keling, kengayishning dastlabki uchta hadidan keyin qolgan qismini tashlab yuborishimiz mumkinligini tekshirib ko'ramiz; buning uchun biz uni cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisidan foydalanib baholaymiz:

Shunday qilib, biz bu qoldiqni tashlab, olishimiz mumkin

Misol № 2. 0,0001 aniqligigacha hisoblang.
Yechim. Keling, binom qatoridan foydalanamiz. 5 3 130 ga eng yaqin butun sonning kubi bo‘lgani uchun 130 raqamini 130 = 5 3 +5 ko‘rinishida ko‘rsatish maqsadga muvofiqdir.



chunki Leybnits mezoniga javob beradigan o'zgaruvchan qatorning to'rtinchi hadi talab qilinadigan aniqlikdan kamroq:
, shuning uchun uni va undan keyingi shartlarni bekor qilish mumkin.
Ko'pgina amaliy jihatdan zarur bo'lgan aniq yoki noto'g'ri integrallarni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblab bo'lmaydi, chunki uni qo'llash ko'pincha elementar funktsiyalarda ifodaga ega bo'lmagan antiderivativni topish bilan bog'liq. Bundan tashqari, antiderivativni topish mumkin, ammo bu keraksiz mehnat talab qiladi. Biroq, agar integral funktsiyasi darajali qatorga kengaytirilsa va integrallash chegaralari ushbu qatorning yaqinlashish oralig'iga tegishli bo'lsa, u holda integralni oldindan belgilangan aniqlik bilan taxminiy hisoblash mumkin.

Misol № 3. ∫ 0 1 4 sin (x) x integralini 10 -5 gacha hisoblang.
Yechim. Tegishli noaniq integral elementar funktsiyalarda ifodalanishi mumkin emas, ya'ni. "doimiy bo'lmagan integral" ni ifodalaydi. Bu erda Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash mumkin emas. Keling, integralni taxminan hisoblaymiz.
Gunoh uchun atama turkumiga bo'lish x yoqilgan x, biz olamiz:

Ushbu ketma-ket atamani termin bo'yicha integratsiyalash (bu mumkin, chunki integratsiya chegaralari ushbu qatorning yaqinlashuv oralig'iga tegishli), biz quyidagilarni olamiz:

Olingan qator Leybnits shartlarini qondirgani uchun va berilgan aniqlikda kerakli qiymatni olish uchun dastlabki ikki hadning yig'indisini olish kifoya.
Shunday qilib, biz topamiz
.

Misol № 4. ∫ 0 1 4 e x 2 integralini 0,001 aniqlik bilan hisoblang.
Yechim.
. Keling, hosil bo'lgan qatorning ikkinchi qismidan keyin qolgan qismini tashlab yuborishimiz mumkinligini tekshirib ko'raylik.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Y 2.35104 ni aniqlik bilan (kamchilik bilan) topish talab qilinsin. Keling, hisob-kitoblarni quyidagicha tartibga solamiz:

Biz birinchi navbatda 1 aniqlikdagi taxminiy ildizni faqat 2 butun sonidan topamiz. Biz 1 ni olamiz (qolgan esa 1). Biz 1 raqamini ildizga yozamiz va undan keyin vergul qo'yamiz. Endi biz o'ndan bir sonini topamiz. Buning uchun qolgan 1 ga o'nli kasrning o'ng tomonida joylashgan 3 va 5 raqamlarini qo'shamiz va 235 butun sonning ildizini chiqarayotgandek ayirishni davom ettiramiz. Olingan 5 raqamini ildizga yozamiz. o'nlik o'rnida. Bizga radikal raqamning (104) qolgan raqamlari kerak emas. Natijada paydo bo'lgan 1,5 raqami haqiqatda taxminiy ildiz bo'ladi, bu aniqlik merosxo'rgacha; Agarda

biz 1 aniqlik bilan 235 ning eng katta butun ildizini topdik, keyin biz 15 ni olamiz, ya'ni

Ushbu raqamlarning har birini 100 ga bo'lib, biz olamiz;

nihoyat

Aytaylik, siz aniqlikka qadar kamchiliklari bo'lgan taxminiy topmoqchisiz. Keling, butun sonni topamiz, keyin o'ninchi, so'ngra yuzlik raqamlari. Butun sonning ildizi 15 ta butun sondan iborat. O'ninchi raqamni olish uchun, biz ko'rganimizdek, kasrning o'ng tomonidagi qolgan 23 raqamga yana ikkita raqam qo'shishimiz kerak:

Bizning misolimizda bu raqamlar umuman mavjud emas; ularning o'rniga nollarni qo'ying. Ularni qolgan qismga qo'shib, 24800 butun sonining ildizini topayotgandek davom ettirsak, biz o'ninchi 7 raqamini topamiz. Yuzlik raqamlarni topish qoladi. Buning uchun qolgan 151 ga yana ikkita nol qo'shamiz va ayirishni davom ettiramiz, go'yo 2 480000 butun sonining ildizini topayotgandek. Biz 15,74 ni olamiz. Bu raqam haqiqatan ham 248 ning taxminiy ildizi va kamchilikka qadar aniqligini quyidagidan ko'rish mumkin. Agar biz 2 480 000 butun sonning eng katta kvadrat ildizini topsak, biz 1574 ni olamiz, ya'ni

Ushbu raqamlarning har birini 10 000 (100 ^ 2) ga bo'lsak, biz quyidagilarni olamiz:

Bu shuni anglatadiki, 15.74 - bu o'nli kasr, biz taxminiy ildiz deb atagan, kamchiligi 248 gacha aniq.

Qoida. Berilgan butun sondan yoki berilgan oʻnli kasrdan taqribiy ildizni va hokazo gacha aniqlik bilan ajratib olish uchun birinchi navbatda butun sondan (agar u boʻlmasa) kamligi 1 ga aniq boʻlgan taxminiy ildizni toping. u erda ildizga 0 butun sonni yozing).

Keyin ular o'ndan bir sonini topadilar. Buni amalga oshirish uchun o'nli kasrning o'ng tomonidagi radikal sonning ikkita raqamini qoldiqga qo'shing (agar ular bo'lmasa, qolganiga ikkita nol qo'shing) va butun sondan ildiz chiqarishda bo'lgani kabi, chiqarishni davom ettiring. Olingan son o'ndan birlar o'rniga ildizga yoziladi.

Keyin yuzlik sonni toping. Buni amalga oshirish uchun, qolganiga olib tashlanganlarning o'ng tomonidagi ikkita raqam qo'shiladi va hokazo.

Shunday qilib, o'nli kasrli butun sonning ildizini chiqarayotganda, sonni o'nli kasrdan boshlab, chapga (sonning butun qismida) va o'ngga () har biri ikkita raqamdan iborat qirralarga bo'linishi kerak. kasr qismida).

1. To'liq ildizlarga chiqarib oling:

2. Aniqlik bilan chiqarib oling

Oxirgi misolda biz sakkiz kasrni hisoblab, y kasrni o'nli kasrga aylantirdik va ildizning to'rtta kasrini topish uchun zarur bo'lgan to'rtta yuzni hosil qildik.

Valter A. Aue / flickr.com

Amerikalik fiziklar tortishish to'lqinlarining susayishi va elektromagnit nurlanishning qizil siljishidan hisoblangan manbagacha bo'lgan masofani solishtirish orqali fazo-vaqt o'lchamini aniqladilar. Olimlar GW170817 hodisasi uchun bunday hisob-kitoblarni amalga oshirdilar va bizning fazo-vaqtning o'lchami taxminan teng ekanligini aniqladilar. D≈ 4,0 ± 0,1. Bundan tashqari, ular taxminan 450 million yil bo'lgan gravitonning umrining pastki chegarasini o'rnatdilar. Maqolaning dastlabki nashri arXiv.org saytida joylashtirilgan.

Yangilangan: 2018 yil iyul oyida maqola edinashr etilgan Kosmologiya va Astropartikullar fizikasi jurnalida.

Umumiy nisbiylik nazariyasi va standart model biz to'rt o'lchovli fazoda yashaymiz degan taxminga asoslanadi. Aniqroq aytganda, (3+1) o'lchovli: 3 fazoviy o'lchov va bir vaqt o'lchovi. Boshqa tomondan, olimlar eng asosiy bayonotlarga shubha bilan qarashadi. Balki bizning fazo-vaqtimizning o'lchami to'rttaga teng emas, lekin bu qiymatga juda yaqindir? Aslida, bizning fazo-vaqtimiz yuqori o'lchamli bo'shliqlarga kiritilgan nazariyalar mavjud. Shuning uchun, umuman olganda, bizning dunyomizning to'rt o'lchovliligini isbotlash kerak va bu oddiy narsa emas.

Devid Spergel boshchiligidagi fiziklar jamoasi ikki neytron yulduzining qoʻshilishi paytida tarqaladigan deyarli bir vaqtda Yerga keladigan tortishish va elektromagnit toʻlqinlarni tahlil qilib, bizning fazo-vaqt oʻlchovimiz boʻyicha aniq chegaralarni oʻrnatdi. Bir tomondan, to'lqin manbasiga masofa elektromagnit komponent bilan aniqlanishi mumkin. Boshqa tomondan, u tortishish to'lqinlarining susayishidan hisoblanishi mumkin. Shubhasiz, bu ikkala masofa ham mos kelishi kerak, bu umumiy nisbiylik nazariyasi tomonidan bashorat qilingan parchalanish tezligi va tezlik o'rtasidagi farqga cheklovlar qo'yadi. Shuni ta'kidlash kerakki, qizil siljishdan aniqlangan masofadagi qo'shimcha xato galaktikalarning chekinish tezligi va kosmik mikroto'lqinli fon nurlanishining tebranishlaridan o'lchanadigan Xabbl doimiysi qiymatlari bilan birga bo'lganligi bilan kiritiladi. bir-biriga, bir-birini, o'zaro. Ushbu maqolada, har qanday holatda, olimlar ikkala qiymat uchun hisob-kitoblarni amalga oshirdilar, ammo eksperimental ma'lumotlardagi xato hali ham bu farqdan ustun keldi.

Umumiy nisbiylik nazariyasida tortishish to'lqinlarining intensivligi manbadan masofaning birinchi kuchiga teskari mutanosib ravishda kamayadi: h ~ 1/r. Biroq, ko'proq o'lchamli nazariyalarda bu qonun o'zgartiriladi va parchalanish tezroq sodir bo'ladi: h ~ 1/r g, bu erda g = ( D− 2)/2, va D- o'lchovlar soni. Ma'lum bo'lishicha, to'lqinning energiyasi qo'shimcha o'lchamlarga "oqish" kabi ko'rinadi. Neytron yulduzlarigacha bo'lgan "elektromagnit" va "gravitatsion" masofani hisoblab, fiziklar bog'liqlik darajasi g ≈ 1,00 ± 0,03, ya'ni bizning makonimiz o'lchamini aniqladilar. D≈ 4,0 ± 0,1.

Biz yashayotgan ehtimollik taqsimoti D- o'lchovli fazo. Turli xil rangdagi chiziqlar hisob-kitoblarda ishlatiladigan Hubble doimiysining turli qiymatlariga mos keladi

Boshqa tomondan, boshqa turdagi muqobil nazariyalarda tortishish ekranga chiqariladi - kichik masofalarda u to'rt o'lchovli nazariyadagi kabi harakat qiladi va katta masofalarda u o'xshaydi. D- o'lchovli. GW170817 hodisasining cheklovlarini hisobga olgan holda, fiziklar bunday nazariyalarning minimal skrining radiusini aniqladilar - bu taxminan yigirma megaparsek edi. Bunday holda, to'lqinlar manbai NGC 4993 galaktikasida taxminan qirq megaparsek masofada joylashgan.

Nihoyat, tortishish to'lqinlarining qo'shimcha susayishi paydo bo'lishi mumkin, chunki gravitonlar beqaror zarralar bo'lib, manbadan detektorgacha bo'lgan sayohat davomida parchalanadi. Ushbu taxminga asoslanib, fiziklar gravitonning ishlash muddatining pastki chegarasini hisoblab chiqdilar. 4,5 × 10 8 yildan kam bo'lmasligi ma'lum bo'ldi.

Gravitatsion va elektromagnit komponentlarning bir vaqtning o'zida aniqlanishi tortishishning muqobil nazariyalariga katta ta'sir ko'rsatdi. Misol uchun, o'tgan yilning dekabr oyining oxirida Jismoniy ko'rib chiqish xatlari Shu bilan birga, GW170817 hodisasiga va tortishishning turli kvant nazariyalaridagi cheklovlarga bag'ishlangan to'rtta maqola nashr etildi. Bundan tashqari, bu hodisa tortishish tezligiga juda qattiq cheklovlar qo'yadi - endi tortishish tezligining yorug'lik tezligiga nisbati birlikdan 3 × 10 -15 dan ko'p bo'lmagan farq qilishi mumkin.

Dmitriy Trunin

gacha (kamchilik bilan) aniqlik bilan topish talab qilinsin. Keling, hisob-kitoblarni quyidagicha tartibga solamiz:

Biz birinchi navbatda taxminiy ildizni topamiz, 1 ga to'g'ri, faqat butun son 2 dan. Biz 1 ni olamiz (qolganlari esa 1). Biz 1 raqamini ildizga yozamiz va undan keyin vergul qo'yamiz. Endi biz o'ndan bir sonini topamiz. Buning uchun qolgan 1 ga o'nli kasrning o'ng tomonida joylashgan 3 va 5 raqamlarini qo'shamiz va 235 butun sonning ildizini chiqarayotgandek ayirishni davom ettiramiz. Olingan 5 raqamini ildizga yozamiz. o'nlik o'rnida. Bizga radikal raqamning (104) qolgan raqamlari kerak emas. Olingan 1,5 raqami aslida ichida ning taxminiy ildizi bo'lishini quyidagidan ko'rish mumkin; Agar biz 235 ning eng katta butun ildizini 1 aniqlik bilan topsak, biz 15 ni olamiz, ya'ni

Ushbu raqamlarning har birini 100 ga bo'lsak, biz quyidagilarni olamiz:

(0,00104 raqamini qo'shish bilan, ≤ juft belgisi aniq belgiga o'zgarishi kerak.<, а знак >qoladi (0,00104 dan beri< 0,01).)

Aytaylik, biz aniqlikka qadar kamchiliklari bo'lgan taxminiy topmoqchimiz. Keling, butun sonni topamiz, keyin o'ninchi, so'ngra yuzlik raqamlari. Butun sonning ildizi 15 ta butun sondan iborat. O'ninchi raqamni olish uchun, biz ko'rganimizdek, kasrning o'ng tomonidagi qolgan 23 raqamga yana ikkita raqam qo'shishimiz kerak:

Bizning misolimizda bu raqamlar umuman mavjud emas; ularning o'rniga nollarni qo'ying. Ularni qolgan qismga qo'shib, 24800 butun sonining ildizini topayotgandek davom ettirsak, biz o'ninchi 7 raqamini topamiz. Yuzlik raqamlarni topish qoladi. Buning uchun qolgan 151 ga yana ikkita nol qo'shamiz va 2480000 butun sonining ildizini topayotgandek ayirishni davom ettiramiz. 15,74 ni olamiz. Bu raqam haqiqatan ham 248 ning taxminiy ildizi va kamchilikka qadar aniqligini quyidagidan ko'rish mumkin. Agar biz 2480000 butun sonning eng katta kvadrat ildizini topsak, biz 1574 ni olamiz, ya'ni

Ushbu raqamlarning har birini 10000 (1002) ga bo'lsak, biz quyidagilarni olamiz:

15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.

Bu shuni anglatadiki, 15,74 - bu o'nli kasr, biz 248 gacha aniqlik bilan kamchilikka ega bo'lgan taxminiy ildiz deb ataganmiz.

Qoida. Berilgan butun sondan yoki ma'lum o'nli kasrdan ildiz aniqligi bilan nuqsoni bo'lgan taxminiy ildiz 0 ta butun songa ega bo'ladi).

Keyin ular o'ndan bir sonini topadilar. Buni amalga oshirish uchun o'nli kasrning o'ng tomonidagi bosib olingan sonning ikkita raqamini qoldiqqa qo'shing (agar ular bo'lmasa, qolganiga ikkita nol qo'shing) va butun sonning ildizini chiqarishda bo'lgani kabi chiqarishni davom ettiring. Olingan son o'ndan birlar o'rniga ildizga yoziladi.

Keyin yuzlik sonni toping. Buni amalga oshirish uchun, qolganiga olib tashlanganlarning o'ng tomonidagi ikkita raqam qo'shiladi va hokazo.

Shunday qilib, o'nli kasrli butun sonning ildizini chiqarishda raqam o'nli kasrdan boshlab, chapga (sonning butun qismida) va o'ngga (kasr qismida) har biri ikkita raqamdan iborat qirralarga bo'linishi kerak..

Misollar.

Oxirgi misolda biz sakkiz kasrni hisoblab, kasrni o'nli kasrga aylantirdik va ildizning to'rtta kasr qismini topish uchun zarur bo'lgan to'rtta yuzni yaratdik.

2007 yil 9 sentyabrda haydovchi Logan Gomes IRL Indy Pro seriyasining Chicagoland 100 musobaqasida g'olib chiqdi. U ikkinchi o'rin sohibini 0,0005 soniyaga ortda qoldirib, jahon avtosporti bo'yicha final rekordini o'rnatdi. Qanday uskunalar vaqtni bunday aniqlik bilan o'lchash imkonini beradi?

Mayoq to'lqinida Zamonaviy poygada vaqt to'liq avtomatik. Har bir avtomobil o'ziga xos chastotada radioto'lqinlarni chiqaradigan radiomayoq bilan jihozlangan. Trekning qat'iy belgilangan joylarida joylashgan antennalar uning signalini qabul qiladi va qaysi mashina o'tganligini chastota bo'yicha aniqlaydi. Antennalar ikki yonma-yon joylashtirilgan: bir antennadan ikkinchisiga masofani bosib o'tish uchun ketadigan vaqtni o'lchab, kompyuter transport vositasining tezligini aniqlaydi. Marshrutda 20 tagacha antenna joylashishi mumkin. Pit-leyndagi tezlikni nazorat qilish uchun maxsus antennalar qo'llaniladi. Radio qabul qiluvchilardan olingan ma'lumotlar vaqt markaziga boradi, u erda 20 dan ortiq muhandislar kompyuterlarning ishlashini doimiy ravishda kuzatib boradilar. Har holda, vaqtni hisoblash tizimi marra chizig'ida o'rnatilgan bir juft infraqizil fotoelementlar tomonidan takrorlanadi.

Tim Skorenko

Aynan Indycar seriyasida vaqt talablari eng qat'iydir. Hech bir boshqa chempionat vaqtni soniyaning o'n mingdan bir qismi aniqligi bilan o'lchash bilan maqtana olmaydi. Seriyalarning ko'p soni 0,001 sekund bilan cheklangan va bu ko'pincha zaxira bilan kifoya qiladi, ammo hodisalar ham mavjud: masalan, Formula 1 toifasidagi 1997 yilgi Evropa Gran-prisining saralashida, uchta uchuvchi. soniyaning mingdan bir qismiga to'g'ri kelgan vaqtni ko'rsatishga muvaffaq bo'ldi, - 1.21.072. Oxir-oqibat, pole o'rnini Jak Vilnev egalladi, u o'zining eng tez aylanasini boshqalardan oldin yakunladi.

Formula 1da vaqtni belgilashning aniqligi vaqt o'tishi bilan sezilarli darajada o'zgargan. 1950 yildagi birinchi chempionatda uchuvchilarning marrasini to'liq qayd etish uchun 0,1 s etarli edi. Chempionat turnir jadvaliga haydovchilar orasidagi farq bir soniyadan kam bo'lgan birorta ham poyga kiritilmagan. 0,1 ga aniqlik avtopoygalar tarixidagi birinchi Gran-priga to'g'ri keladi - 1906 yilgi Frantsiya Gran-prisi, bunda g'olib Ferens Shishning Renault mashinasida o'tkazgan vaqti 12 soat 14 daqiqa va 7,4 soniyani tashkil qilgan (birinchi marta tengsiz bo'lgan). qisqa va oson bugungi poygalar, shunday emasmi?). Birinchi jahon urushidan oldin o'tkazilgan ko'pgina musobaqalarda aniqlik 1 soniyadan oshmadi.

Zamonaviy poygada vaqtni belgilash butunlay avtomatik. Har bir avtomobil o'ziga xos chastotada radioto'lqinlarni chiqaradigan radiomayoq bilan jihozlangan. Trekning qat'iy belgilangan joylarida joylashgan antennalar uning signalini qabul qiladi va qaysi mashina o'tganligini chastota bo'yicha aniqlaydi. Antennalar ikki yonma-yon joylashtirilgan: bir antennadan ikkinchisiga masofani bosib o'tish uchun ketadigan vaqtni o'lchab, kompyuter transport vositasining tezligini aniqlaydi. Marshrutda 20 tagacha antenna joylashishi mumkin. Pit-leyndagi tezlikni nazorat qilish uchun maxsus antennalar qo'llaniladi. Radio qabul qiluvchilardan olingan ma'lumotlar vaqt markaziga boradi, u erda 20 dan ortiq muhandislar kompyuterlarning ishlashini doimiy ravishda kuzatib boradilar. Har holda, vaqtni hisoblash tizimi marraga o'rnatilgan bir juft infraqizil fotosellar tomonidan takrorlanadi.

Amerikada vaqt hisoblagichlari ancha ilg'or edi. Urushdan keyingi AAA poygalari (keyinchalik CART) ko'pincha 0,01 gacha bo'lgan o'lchov aniqligini talab qiladi. Bu, birinchi navbatda, yo'llarning konfiguratsiyasi va ovallarning ko'pligi bilan bog'liq edi, bu erda haydovchilar orasidagi bo'shliqlar juda kichik. Zamonaviy IRL vaqtini hisoblashning ajoyib aniqligi xuddi shu omil bilan bog'liq: 2010 yilgi chempionatning o'n etti raundidan sakkiztasi ovallarda o'tkaziladi.

Hodisalar va muvaffaqiyatsizliklar

Avtopoygalar vaqtini hisoblash jahonning yetakchi soat va elektronika ishlab chiqaruvchilari: TAG Heuer, Tissot, Omega, Longines bilan uzviy bog‘liq... Ularning deyarli barchasi turli sport turlarida rasmiy vaqt hisoblagichlari sifatida namoyon bo‘ladi. Vaqtni o'lchashdagi xatolar va noaniqliklar bugungi kunda amalda istisno qilingan. 1992 yildan hozirgi kungacha yuqorida aytib o'tilgan Evropa Gran-prisi '97 Formula 1ning yagona xronometrik qiziqishiga aylandi va IRLda hatto bunday hodisalar mutlaqo mumkin emas.

Bugungi kunda Indycar va NASCAR vaqt tizimlari dunyodagi eng yaxshilaridan hisoblanadi. Har bir trek shunday jihozlanganki, yevropalik tashkilotchilar faqat havas qilishi mumkin. Hisoblash 0,0001 soniyaga (Indycar uchun) boradi va jonli tomoshabinlar istalgan vaqtda trekdagi har bir avtomobilning tezligi, uning aylanish vaqti va har qanday aylanish sektorlari, sektor aniqligi bilan pelatondagi bo'shliqlar haqida ma'lumot olishlari mumkin. , va hokazo d. - umuman olganda, maksimal ma'lumot. Mavsumning yarmi ovallarda o'tadigan poygada aniq vaqt juda katta rol o'ynaydi. G'olib ko'pincha fotosurat bilan aniqlanadi.

G'alati, "rasmiy vaqt hisoblagichi" tushunchasi yaqinda paydo bo'ldi. Aynan bugun Tissot mototsikl poygalari bo'yicha jahon chempionatiga "boshchilik qilmoqda" va boshqa hech qanday kompaniya aralashishga haqli emas. Bundan 30 yil oldin, har bir alohida poyga tashkilotchilar sotib olishi mumkin bo'lgan jihozlar bilan "qurollangan" o'z xronometrlariga ega edi.

Ikkinchi Jahon Urushidan oldin deyarli barcha poyga seriyalari va sinflarida vaqt qo'lda amalga oshirildi: maxsus o'qitilgan odamlar sekundomerli trekda turishardi. Ular keyingi avtomobilning aylanish vaqtini yozib olishdi va ma'lumotlarni yozib olishdi. Biroq, "yurishlar" ham bor edi. 1911 yilda birinchi Indianapolis 500 da muhandis Charli Uorner tarixdagi birinchi yarim avtomatik vaqt tizimini ishlab chiqdi va amalga oshirdi. Yupqa sim boshlang'ich-tugatish chizig'i bo'ylab erkin cho'zilgan va g'isht yuzasidan biroz yuqoriga ko'tarilgan. Har bir mashina simni erga bosib, uning kuchlanishini oshirdi. Simga shtamplash bolg'asi biriktirilgan bo'lib, u tortilganda asta-sekin sudralib yuruvchi gradusli lentaga siyoh belgisini qo'ydi. O'lchov aniqligi 0,01 s ga yetdi! Vaqt hisoblagichi har bir nuqtaga qarama-qarshi avtomobil raqamlarini qo'lda o'rnatadi. Tizim kulgili sababga ko'ra ildiz otmadi: poyga o'rtasida haydovchi Xerb Littlening mashinasi simni uzib qo'ydi. Ular yangisini olishganda (tezlikda mashinalar oldida yugurishdi), kamida 20 aylanish o'tdi, bu vaqt davomida vaqt taxminan saqlanib qoldi. Poygada g'alaba Marmonda Rey Xarrounga nasib etdi, ammo boshqa mashhur haydovchi Ralf Mulford o'limigacha birinchi marta Indy 500 yutganiga amin edi.

Yarim avtomatik tizimlardan muvaffaqiyatli foydalanish 1930-yillarda gullab-yashnadi. O'sha paytda Indy 500 Styuart-Uorner yoki ulkan Loughborough-Xeyes xronograflaridan foydalangan.

NASCAR seriyasining dastlabki yillarida vaqt juda dahshatli edi. Ba'zi poygalarda bir kishi qog'oz va qalam bilan marraga o'tirdi va yozib oldi: falonchi birinchi, falonchi ikkinchi. To'g'ri, bu faqat shag'al va loy izlariga tegishli edi. Musobaqa poygalarida vaziyat yaxshiroq edi. Xususan, 1951 yilda Elxart ko'li poygasida Streeter-Amet xronografidan foydalanilgan.Uskuna ketma-ket (soniyaning o'ndan birida) qog'oz tasmada har bir o'tayotgan mashinaning vaqtini bosib chiqargan; odamning vazifasi mashina yozish edi. har bir raqamning qarshisidagi raqamlar.

To'liq avtomatik vaqt tizimi birinchi marta 1970 yilda Ontario Speedwayda USAC chempionati poygasida ishlatilgan. Har bir mashina o'ziga xos, noyob chastotada to'lqinlar chiqaradigan transmitter bilan jihozlangan. Har bir transmitterning tebranish chastotasini qabul qiluvchi boshlang'ich-tugash chizig'iga antenna o'rnatildi, qolgan ishni kompyuter bajardi.

1960-yillarda Avstraliya va Yangi Zelandiyadagi turli poygalarda ishlagan professional xronometr Devid MakKinni bizga qiziqarli maʼlumot berdi: “Agar eng yaxshi xronometrga ega boʻlgan eng malakali xronometrajchi soniyaning oʻndan bir qismini aniq “tutib” olsa, u shunchaki omadli. ” Poygada olingan barcha qo'lda o'lchovlar xavfsiz tarzda taxminiy hisoblanishi mumkin.

"Formula 1"

Evropada avtomatik tizimlar Amerikaga qaraganda ancha kechroq paydo bo'ldi. Formula 1 kabi xalqaro seriyalarda chalkashlik va chalkashlik hukm surdi. 1970-yillarning oxirigacha Gran-prining turli tadbirlarida vaqtni belgilash butunlay boshqa odamlar tomonidan, turli jihozlar va usullardan foydalangan holda amalga oshirildi. Erkin poygalarda xronometrlar rolini ko'pincha poygachilarning xotinlari bajarishgan. Masalan, ikki karra jahon chempioni Grem Xillning rafiqasi Norma Xill eri bilan har bir Gran-priga bordi va marshallarning ishini ikki marta tekshirib, uning aylanish vaqtlarini shaxsan o‘zi belgilab oldi.

1970-yillarning oʻrtalarida doimiy chalkashlik va xatolardan charchagan Ferrari jamoasi Gran-priga Amerikada sotib olingan oʻzining yuqori aniqlikdagi uskunasini olib kela boshladi. Ferrari-ning azaliy raqibi Lotusning mexaniklaridan biri o'z xo'jayini Kolin Chepmandan: "Nega biz ham shunday qilmaymiz?" "Siz haqiqatan ham bu bizning mashinalarimizni tezlashtiradi deb o'ylaysizmi?" - javob berdi Chapman. Bu javob o'sha yillarda Evropaning vaqtni hisoblashning aniqligiga bo'lgan munosabatini juda aniq tavsiflaydi. Biroq, 1970-yillarning oxiriga kelib, deyarli barcha yirik jamoalar soat ishlab chiqaruvchilar bilan shartnomalar tuzdilar va ular bilan o'zlarining vaqt tizimlarini olib yurishdi. Musobaqalardan biridan so'ng Autosport jurnali shunday deb yozgan edi: "Jamoalar rasmiy hisobotlarda shunday aniq vaqtni e'lon qiladilarki, Gran-pri tashkilotchilarining rasmiy raqamlari ular Mikki Maus soati yordamida yaratilganga o'xshaydi!"

Vaqt xatolari tufayli ajoyib hodisalar muntazam ravishda sodir bo'ldi. Misol uchun, 1973 yil yomg'irli Kanada Gran-prisi paytida birinchi marta xavfsizlik mashinasi trassaga chiqarildi. Xronometrlar sarosimaga tushib, aylanish vaqtlari bilan adashdilar va tezlik mashinasidan oldingi va keyingi vaqtlarni noto'g'ri qo'shishdi. Natijada g'alabani ketma-ket Lotusdan Emerson Fittipaldi, Shadowdan Jeki Oliver va McLarendan Piter Revson nishonladi. G'alaba ikkinchisiga nasib etdi - bir necha soatlik tortishuvlardan so'ng.

Xuddi shunday qiziqarli voqea 1975 yil Shvetsiya Gran-prisida sodir bo'ldi. Mart oyidagi chavandoz Vittorio Brambilla pelatonda eng tez bo'lganidan yiroq edi, biroq aynan u o'sha poygada poulni egalladi. Buning sababi, mart oyining dizayneri Robin Xerd Brambilla marra chizig'ini kesib o'tishidan yarim soniya oldin to'g'ridan-to'g'ri ovoz yozish asbobining fotoelementi oldidan jimgina o'tgan edi. Qandaydir mo''jiza bilan buni hech kim ko'rmadi va qurilma Heardning piyoda vaqtini yozib oldi, umuman poygachi emas.

Texnologiyaning g'alabasi

Bugungi poyga yuqori texnologiyalar bayramidir. Misol uchun, NASCAR seriyasi imkon qadar an'analarga rioya qilgan holda zamonaviy vaqtni hisoblash usullariga o'tish uchun deyarli oxirgi bo'ldi. Ammo bugungi kunda NASCARning vaqt tizimlari dunyodagi eng yaxshisi hisoblanadi. Oxirgi to‘rt yil davomida xorijdagi seriyalarning rasmiy xronometri bo‘lgan Tissot har bir trekni yevropalik tashkilotchilar havas qila oladigan tarzda jihozladi. Mavsumdagi 36 raundning 34 tasi ovallarda o'tkaziladigan poygada vaqtni aniq belgilash katta rol o'ynaydi.

Mototsikl poygalari bo'yicha jahon chempionatida kamroq jiddiy tizimlar qo'llanilmaydi (Tissot ham uning vaqt hisobchisi). NASCARdan farqli o'laroq, kim oldinda ekanligini aniqlash uchun murakkab monitoring tizimlariga ehtiyoj yo'q: mototsiklchilar bunday zich maydonda emas. Ammo MotoGP treklari oval emas, balki an'anaviy Evropa konfiguratsiyasiga ega bo'lgani uchun ham juda ko'p qiyinchiliklar mavjud. Marshrutning ma'lum joylarida vaqt chegaralarini o'rnatish ehtiyotkorlik bilan o'ylashni talab qiladi (ovallar oddiygina geometrik ravishda 4-8 qismga bo'linadi).

Bugungi kompyuter texnologiyalari avtoulov yoki mototsikl poygalarida vaqtni belgilashdagi xatolar ehtimolini deyarli yo'q qiladi. Gran-pri tashkilotchilari uzoq vaqtdan beri o'z xayollarida mutlaqo boshqa muammolarni - xavfsizlik, ekologiya va hokazolarni topib kelishgan. Vaqtni tuzatuvchilar esa o'zlari uchun ishlaydi va ishlaydi. Siz soat kabi aytishingiz mumkin.