y funksiyaning grafigi x ning ildiziga teng. y = √x ko'rinishdagi funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari - Knowledge hipermarketi

Haqiqiy sondan N-daraja, ular har qanday manfiy bo'lmagan sondan istalgan darajadagi (ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi va hokazo) ildizni, manfiy sondan esa har qanday toq darajaning ildizini ajratib olish mumkinligini ta'kidladilar. Ammo keyin siz shaklning funktsiyasi, grafigi, xususiyatlari haqida o'ylashingiz kerak. Biz ushbu paragrafda shunday qilamiz. Avval manfiy bo'lmagan qiymatlarda funksiya haqida gapiraylik argument.

Keling, siz bilgan holatdan boshlaylik, n = 2 bo'lganda, ya'ni. rasmdagi funksiyadan. 166 funksiya grafigini va y = x 2, x>0 funksiya grafigini ko'rsatadi. Ikkala grafik ham bir xil egri chiziqni ifodalaydi - parabolaning shoxchasi, faqat koordinata tekisligida turlicha joylashgan. Aniqlik kiritamiz: bu grafiklar y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir, chunki ular belgilangan to'g'ri chiziqqa nisbatan bir-biriga simmetrik bo'lgan nuqtalardan iborat. Qarang: y = x 2 parabolaning ko'rib chiqilayotgan tarmog'ida (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16) va funktsiyada nuqtalar mavjud. Grafikda (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4) nuqtalar mavjud.

(2; 4) va (4; 2), (3; 9) va (9; 3), (4; 16) va (16; 4) nuqtalar y = x, (va (0) nuqtalarga nisbatan simmetrikdir. 0 ) va (1; 1) bu chiziqda yotadi). Va umuman olganda, har qanday nuqta (a; a 2) uchun funksiya grafigi y = x 2 - funksiya grafigidagi y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan unga simmetrik (a 2 ; a) nuqta va aksincha. Quyidagi teorema to'g'ri.

Isbot. Aniqlik uchun a va b musbat sonlar deb faraz qilamiz. OAM va OVR uchburchaklarini ko'rib chiqing (167-rasm). Ular teng, ya'ni OP = OM va . Ammo keyin chunki y = x to'g'ri chiziq AOB burchagining bissektrisasidir. Demak, ROM uchburchagi teng yonli, OH uning bissektrisasi, shuning uchun simmetriya o'qi. M va P nuqtalar OH to'g'ri chiziqqa nisbatan nosimmetrikdir, buni isbotlash kerak edi.
Demak, funktsiya grafigini y = x 2, x>0 funksiya grafigidan y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetriya o'zgartirish yordamida olish mumkin. Xuddi shunday funktsiya grafigini y = x 3, x> 0 funksiya grafigidan y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetriya o'zgartirish yordamida olish mumkin; funktsiya grafigini y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetriya o'zgartirish yordamida funktsiya grafigidan olish mumkin va hokazo. Eslatib o'tamiz, funktsiya grafigi tashqi ko'rinishi bo'yicha parabolaning novdasiga o'xshaydi. n qanchalik katta bo'lsa, bu shox oraliqda qanchalik tik bo'lsa va x = 0 nuqtasiga yaqinroq bo'lsa, x o'qiga yaqinlashadi. 168).

Umumiy xulosani tuzamiz: funksiya grafigi funksiya grafigiga y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir (169-rasm).

Funktsiya xususiyatlari

1)
2) funksiya juft ham, toq ham emas;
3) tomonidan ortadi
4) yuqoridan cheklanmagan, pastdan cheklangan;
5) eng katta ahamiyatga ega emas;
6) uzluksiz;
7)

Bir qiziq holatga e'tibor bering. Keling, ikkita funktsiyani ko'rib chiqaylik, ularning grafiklari rasmda ko'rsatilgan. 169: Biz hozirgina birinchi funktsiya uchun ettita xususiyatni sanab o'tdik, lekin ikkinchi funksiya mutlaqo bir xil xususiyatlarga ega. Ikki xil funktsiyaning og'zaki "portretlari" bir xil. Ammo, aniqlik kiritaylik, ular hali ham bir xil.

Turli grafiklarga ega bo‘lgan turli funksiyalar og‘zaki ravishda bir xil tasvirlanganda matematiklar bunday adolatsizlikka chiday olmadilar va yuqoriga qarab qavariqlik va pastga qarama-qarshilik tushunchalarini kiritdilar. Funksiya grafigi yuqoriga qavariq, y = x n funksiya grafigi esa pastga qarab qavariq.

Odatda uzluksiz funksiya pastga tomon qavariq deyiladi, agar uning grafigining ixtiyoriy ikkita nuqtasini toʻgʻri chiziq boʻlagi bilan tutashtirib, grafikning mos keladigan qismi chizilgan segment ostida joylashganligi aniqlansa (170-rasm); uzluksiz funksiya yuqoriga qavariq bo‘ladi, agar uning grafigining istalgan ikkita nuqtasini to‘g‘ri chiziq bo‘lagi bilan tutashtirib, grafikning mos keladigan qismi chizilgan segmentdan yuqorida joylashganligi aniqlansa (171-rasm).

Qavariqlik xususiyatini grafikni o'qish tartibiga qo'shimcha ravishda kiritamiz. Buni ta'kidlaymiz" (yuqorida tasvirlangan xususiyatlarni raqamlashni davom ettirish) ko'rib chiqilayotgan funktsiya uchun:

8) funksiya nurda yuqoriga qarab qavariq
Oldingi bobda biz funktsiyaning yana bir xossasi - differensiallik bilan tanishdik, y = x n funksiya istalgan nuqtada differensiallanadi, uning hosilasi nx n-1 ga teng; Geometrik jihatdan bu y = x n funksiya grafigining istalgan nuqtasida unga tangens o‘tkazish mumkinligini bildiradi. Funksiya grafigi ham xuddi shunday xususiyatga ega: istalgan nuqtada grafikga teginish chizish mumkin. Shunday qilib, biz funktsiyaning yana bir xususiyatini qayd etishimiz mumkin
9) funksiya istalgan x > 0 nuqtada differentsiallanadi.
Iltimos, diqqat qiling: biz x = 0 nuqtadagi funktsiyaning differentsialligi haqida gapirmayapmiz - bu nuqtada funktsiya grafigiga tegish y o'qiga to'g'ri keladi, ya'ni. x o'qiga perpendikulyar.
1-misol. Funksiya grafigini tuzing
Yechim. 1) Koordinatalar boshi (-1; -4) nuqtada bo'lgan yordamchi koordinatalar tizimiga o'tamiz - nuqtali chiziqlar x = -1 va y = -4 rasmda. 172.
2) Funksiyani yangi koordinatalar tizimiga "bog'lash". Bu talab qilinadigan jadval bo'ladi.
2-misol. Tenglamani yeching

Yechim. Birinchi yo'l. 1) Keling, ikkita funktsiyani kiritaylik
2) Funksiya grafigini tuzamiz

3) y=2-x chiziqli funksiya grafigini tuzamiz (173-rasmga qarang).

4) Tuzilgan grafiklar bir A nuqtada kesishadi va grafikdan A nuqtaning koordinatalari quyidagicha bo ladi, degan faraz qilish mumkin: (1; 1). Tekshirish shuni ko'rsatadiki, aslida (1; 1) nuqta funksiya grafigiga ham, y=2-x funksiya grafigiga ham tegishli. Demak, tenglamamiz bitta ildizga ega: x = 1 - A nuqtaning abssissasi.

Ikkinchi yo'l.
Shaklda keltirilgan geometrik model. 173, quyidagi bayonot bilan aniq tasvirlangan, bu sizga ba'zan tenglamani juda oqlangan tarzda echishga imkon beradi (va biz 2-misolni yechishda biz allaqachon § 35da foydalanganmiz):

Agar y=f(x) funksiya ortib, y=g(x) funksiya kamaysa va f(x)=g(x) tenglama ildizga ega bo‘lsa, u holda faqat bitta bo‘ladi.

Ushbu bayonotga asoslanib, berilgan tenglamani qanday yechishimiz mumkin:

1) e'tibor bering, x = 1 uchun tenglik o'rinli, ya'ni x = 1 tenglamaning ildizi (biz bu ildizni taxmin qildik);
2) y=2-x funksiya kamayadi, funksiya esa ortadi; Demak, berilgan tenglama faqat bitta ildizga ega va bu ildiz yuqorida topilgan x = 1 qiymatdir.

Javob: x = 1.

Hozirgacha biz faqat manfiy bo'lmagan argument qiymatlari uchun funktsiya haqida gapirgan edik. Lekin agar n toq son bo'lsa, ifoda x uchun ham mantiqiy bo'ladi<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.

Aslida, ro'yxatga olinganlarga faqat bitta mulk qo'shiladi:

agar n toq son (n = 3,5, 7,...) bo‘lsa, u toq funksiyadir.

Aslida, bunday o'zgarishlar toq ko'rsatkich n uchun to'g'ri bo'lsin. Demak, f(-x) = -f(x) va bu funksiya toq ekanligini bildiradi.

Toq ko‘rsatkich n bo‘lganda funksiya grafigi qanday ko‘rinishga ega? Shaklda ko'rsatilganidek, qachon. 169, kerakli grafikning filiali. Unga koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'lgan (bu har qanday toq funksiya uchun xos bo'lgan) novdani qo'shish orqali biz funktsiyaning grafigini olamiz (174-rasm). E'tibor bering, y o'qi x = 0 da grafaga tegib turadi.
Shunday qilib, keling, yana takrorlaymiz:
agar n juft son bo'lsa, u holda funktsiya grafigi rasmda ko'rsatilgan shaklga ega. 169;
agar n toq son bo'lsa, u holda funktsiya grafigi rasmda ko'rsatilgan shaklga ega. 174.

3-misol. y = f(x) funksiyaning grafigini tuzing va o‘qing, bu yerda
Yechim. Birinchidan, funksiyaning grafigini tuzamiz va uning bir qismini nurda ajratib ko'rsatamiz (175-rasm).
Keyin funksiya grafigini tuzamiz va uning ochiq nur ustidagi qismini tanlaymiz (176-rasm). Va nihoyat, biz ikkala "bo'lakni" bir xil koordinatalar tizimida tasvirlaymiz - bu y = f(x) funktsiyasining grafigi bo'ladi (177-rasm).
y = f(x) funksiyaning xossalarini (chizilgan grafik asosida) sanab o‘tamiz:

1)
2) na juft, na toq;
3) nurda kamayadi, nurda ortadi
4) pastdan cheklanmagan, yuqoridan cheklangan;
5) minimal qiymat yo'q, a (x = 1 nuqtada erishiladi);
6) uzluksiz;
7)
8) da qavariq pastga, da segmentida yuqoriga qavariq , da qavariq pastga.
9) funksiya x = 0 va x = 1 nuqtalaridan tashqari hamma joyda differentsiallanadi.
10) funktsiya grafigi gorizontal asimptotaga ega, ya'ni eslaylik

4-misol. Funktsiya sohasini toping:

Yechim, a) Juft darajali ildiz belgisi ostida manfiy bo'lmagan son bo'lishi kerak, ya'ni masala tengsizlikni yechishga to'g'ri keladi.
b) Har qanday raqam toq ildiz belgisi ostida bo'lishi mumkin, ya'ni bu erda x ga hech qanday cheklovlar qo'yilmaydi, ya'ni. D(f) = R.
c) Agar ifoda bir vaqtning o'zida ikkita tengsizlikni qondirish kerakligini bildirsa, ibora mantiqiy bo'ladi: bular. muammo tengsizliklar tizimini yechishga tushadi:

Tengsizlikni yechish
Tengsizlikni yechamiz Tengsizlikning chap tomonini koeffitsiyentlarga ajratamiz: Tengsizlikning chap tomoni -4 va 4 nuqtalarda 0 ga aylanadi. Bu nuqtalarni sonlar chizig`ida belgilaymiz (178-rasm). Raqam chizig'i ko'rsatilgan nuqtalar bo'yicha uchta intervalga bo'linadi va har bir oraliqda p(x) = (4-x) (4 + x) ifodasi o'zgarmas belgini saqlaydi (belgilar 178-rasmda ko'rsatilgan). p(x)>0 tengsizlik o'rinli bo'lgan interval rasmda soyalangan. 178. Muammoning shartlariga ko'ra, bizni p(x) = 0 tengligi o'rinli bo'lgan x nuqtalari ham qiziqtiradi: x = -4, x = 4 - ular rasmda belgilangan . 178 qora doira. Shunday qilib, rasmda. 178 sistemaning ikkinchi tengsizligini yechish uchun geometrik modelni taqdim etadi.

Tizimning birinchi va ikkinchi tengsizliklarining topilgan yechimlarini bir xil koordinatali chiziqda birinchisi uchun yuqori lyuk, ikkinchisi uchun pastki lyuk yordamida belgilaymiz (179-rasm). Tengsizliklar tizimining yechimi tizimning tengsizliklari yechimlarining kesishishi bo'ladi, ya'ni. ikkala lyukka mos keladigan interval. Bunday bo'shliq segmentdir [-1, 4].

Javob. D(f) = [-1,4].

A.G. Mordkovich algebra 10-sinf

Matematika fanidan kalendar-tematik rejalashtirish, video matematikadan onlayn, maktabda matematika

Asosiy maqsadlar:

1) y= munosabati bilan bog'liq bo'lgan miqdorlar misolidan foydalanib, real miqdorlarning bog'liqligini umumlashtirilgan o'rganishning maqsadga muvofiqligi to'g'risida tasavvur hosil qiling.

2) y= grafigini va uning xossalarini qurish qobiliyatini rivojlantirish;

3) og'zaki va yozma hisoblash, kvadratlashtirish, kvadrat ildizlarni ajratib olish usullarini takrorlash va mustahkamlash.

Uskunalar, ko'rgazmali material: tarqatma materiallar.

1. Algoritm:

2. Guruhlarda topshiriqni bajarish uchun namuna:

3. Mustaqil ishni o'z-o'zini tekshirish uchun namuna:

4. Fikrlash bosqichi uchun karta:

1) y= funksiyasining grafigini qanday tuzishni tushundim.

2) Grafik yordamida uning xususiyatlarini sanab bera olaman.

3) Mustaqil ishda xato qilmadim.

4) Mustaqil ishimda xatolarga yo‘l qo‘yganman (bu xatolarni sanab o‘ting va sababini ko‘rsating).

Darsning borishi

1. Ta'lim faoliyati uchun o'z taqdirini o'zi belgilash

Bosqichning maqsadi:

1) o'quvchilarni ta'lim faoliyatiga jalb qilish;

2) dars mazmunini aniqlang: biz haqiqiy sonlar bilan ishlashni davom ettiramiz.

1-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

- O'tgan darsda nimani o'rgandik? (Haqiqiy sonlar to‘plamini, ular bilan amallarni o‘rgandik, funksiya xossalarini tavsiflash algoritmini tuzdik, 7-sinfda o‘rganilgan takroriy funksiyalar).

- Bugun biz haqiqiy sonlar to'plami, funktsiya bilan ishlashni davom ettiramiz.

2. Bilimlarni yangilash va faoliyatdagi qiyinchiliklarni qayd etish

Bosqichning maqsadi:

1) yangi materialni idrok etish uchun zarur va etarli bo'lgan ta'lim mazmunini yangilash: funktsiya, mustaqil o'zgaruvchi, bog'liq o'zgaruvchi, grafiklar.

y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,

2) yangi materialni idrok etish uchun zarur va yetarli aqliy operatsiyalarni yangilash: taqqoslash, tahlil qilish, umumlashtirish;

3) barcha takrorlangan tushunchalar va algoritmlarni diagramma va belgilar shaklida qayd etish;

4) mavjud bilimlarning etarli emasligini shaxsan muhim darajada ko'rsatib, faoliyatdagi individual qiyinchiliklarni qayd etish.

2-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

1. Miqdorlar orasidagi bog'liqlikni qanday o'rnatish mumkinligini eslaylik? (Matn, formula, jadval, grafikdan foydalanish)

2. Funksiya nima deyiladi? (Bir o'zgaruvchining har bir qiymati boshqa o'zgaruvchining yagona qiymatiga to'g'ri keladigan ikki miqdor o'rtasidagi munosabat y = f(x)).

x ning nomi nima? (Mustaqil o'zgaruvchi - argument)

y ning ismi nima? (bog'liq o'zgaruvchi).

3. 7-sinfda funksiyalarni o‘rgandik? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,).

Shaxsiy vazifa:

y = kx + m, y =x 2, y = funksiyalarning grafigi qanday?

3. Qiyinchiliklarning sabablarini aniqlash va faoliyat maqsadlarini belgilash

Bosqichning maqsadi:

1) o'quv faoliyatida qiyinchilik tug'diradigan vazifaning o'ziga xos xususiyati aniqlanadi va qayd etiladigan kommunikativ shovqinni tashkil etish;

2) darsning maqsadi va mavzusini kelishib olish.

3-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

- Bu vazifaning o'ziga xos xususiyati nimada? (Tobelik biz hali duch kelmagan y = formulasi bilan berilgan.)

- Darsning maqsadi nima? (y = funksiyasi, uning xossalari va grafigi bilan tanishing. Jadvaldagi funksiyadan bog’liqlik turini aniqlang, formula va grafigini tuzing.)

- Dars mavzusini tuza olasizmi? (y= funksiya, uning xossalari va grafigi).

- Mavzuni daftaringizga yozing.

4. Qiyinchilikdan chiqish uchun loyihani qurish

Bosqichning maqsadi:

1) aniqlangan qiyinchilik sababini bartaraf etadigan yangi harakat usulini yaratish uchun kommunikativ shovqinni tashkil qilish;

2) yangi harakat usulini ramziy, og'zaki shaklda va standart yordamida tuzatish.

4-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

Ushbu bosqichdagi ishlarni guruhlarga bo'lib tashkil qilish mumkin, guruhlarga y = grafigini qurishni so'raydi, so'ngra natijalarni tahlil qiladi. Guruhlarga berilgan funksiyaning xossalarini algoritm yordamida tasvirlashni ham so‘rash mumkin.

5. Tashqi nutqda birlamchi konsolidatsiya

Bosqichning maqsadi: o'rganilgan ta'lim mazmunini tashqi nutqda qayd etish.

5-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

y= - ning grafigini tuzing va uning xossalarini tavsiflang.

y= - xossalari.

1.Funksiyani aniqlash sohasi.

2. Funksiya qiymatlari diapazoni.

3. y = 0, y> 0, y<0.

y =0, agar x = 0 bo'lsa.

y<0, если х(0;+)

4.O`sish, kamayish funksiyalari.

Funktsiya x sifatida kamayadi.

y= ning grafigini tuzamiz.

Keling, uning qismini segmentda tanlaymiz. E'tibor bering, bizda bor x = 1 uchun = 1 va y max. =3 da x = 9.

Javob: bizning nomimizga. = 1, y maks. =3

6. Standart bo'yicha o'z-o'zini tekshirish bilan mustaqil ishlash

Bosqichning maqsadi: o'z yechimingizni o'z-o'zini tekshirish uchun standart bilan taqqoslash asosida standart sharoitlarda yangi ta'lim mazmunini qo'llash qobiliyatingizni sinab ko'rish.

6-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

Talabalar topshiriqni mustaqil bajaradilar, standart bo'yicha o'z-o'zini sinab ko'radilar, xatolarni tahlil qiladilar va tuzatadilar.

y= ning grafigini tuzamiz.

Grafikdan foydalanib, segmentdagi funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping.

7. Bilimlar tizimiga kiritish va takrorlash

Bosqichning maqsadi: ilgari o'rganilgan narsalar bilan birgalikda yangi mazmundan foydalanish ko'nikmalarini o'rgatish: 2) keyingi darslarda talab qilinadigan ta'lim mazmunini takrorlash.

7-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

Tenglamani grafik tarzda yeching: = x – 6.

Bitta talaba doskada, qolganlari daftarda.

8. Faoliyatning aks etishi

Bosqichning maqsadi:

1) darsda o'rganilgan yangi mazmunni yozib olish;

2) darsda o'z faoliyatingizni baholang;

3) dars natijasini olishga yordam bergan sinfdoshlariga rahmat;

4) hal qilinmagan qiyinchiliklarni kelajakdagi ta'lim faoliyati uchun yo'nalish sifatida qayd etish;

5) uy vazifangizni muhokama qiling va yozing.

8-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

- Bolalar, bugungi maqsadimiz nima edi? (y= funksiyasi, xossalari va grafigini o‘rganing).

- Maqsadimizga qanday bilim yordam berdi? (Naqshlarni izlash, grafiklarni o'qish qobiliyati.)

- Sinfdagi faoliyatingizni tahlil qiling. (Ko'zgu aks etgan kartalar)

Uy vazifasi

13-band (2-misoldan oldin) № 13.3, 13.4

Tenglamani grafik tarzda yeching.

Quvvat funksiyasining asosiy xossalari, jumladan formulalar va ildizlarning xossalari berilgan. Daromad funksiyasining hosilaviy, integral, darajali qator kengayishi va kompleks son ko‘rinishi keltirilgan.

Tarkib

Ko‘rsatkichi p bo‘lgan y = x p quvvat funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:
(1.1) to'plamda aniqlangan va uzluksiz
da,
da;
(1.2) ko‘p ma’noga ega
da,
da;
(1.3) bilan qat'iy ortadi,
da qat'iy kamayadi;
(1.4) da;
da;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Xususiyatlarni tasdiqlash "Quvvat funktsiyasi (uzluksizlik va xususiyatlarni isbotlash)" sahifasida berilgan.

Ildizlar - ta'rifi, formulalari, xususiyatlari

n darajali x sonining ildizi n darajaga ko‘tarilganda x ni beradigan sondir:
.
Bu erda n = 2, 3, 4, ... - birdan katta natural son.

Shuningdek, n ​​darajali x sonining ildizi tenglamaning ildizi (ya’ni yechimi) ekanligini ham aytishingiz mumkin.
.
Funktsiya funktsiyaga teskari ekanligini unutmang.

x ning kvadrat ildizi 2 ning ildizi: .
X ning kub ildizi 3-ildizdir: .

Hatto daraja

Juft kuchlar uchun n = 2 m, ildiz x ≥ uchun aniqlanadi 0 .
.
Tez-tez ishlatiladigan formula ham ijobiy, ham salbiy x uchun amal qiladi:
.

Bu erda amallarni bajarish tartibi muhim - ya'ni avval kvadrat bajariladi, natijada manfiy bo'lmagan son hosil bo'ladi, keyin esa undan ildiz olinadi (kvadrat ildiz manfiy bo'lmagan sondan olinishi mumkin. ). Agar tartibni o'zgartirsak: , u holda manfiy x uchun ildiz aniqlanmagan bo'ladi va u bilan butun ifoda aniqlanmagan bo'ladi.

G'alati daraja

Toq kuchlar uchun ildiz barcha x uchun aniqlanadi:
;
.

Ildizlarning xossalari va formulalari

X ning ildizi quvvat funktsiyasidir:
.
qachon x ≥ 0 quyidagi formulalar qo'llaniladi:
;
;
, ;
.

Ushbu formulalar o'zgaruvchilarning salbiy qiymatlari uchun ham qo'llanilishi mumkin.

Siz shunchaki hatto kuchlarning radikal ifodasi salbiy emasligiga ishonch hosil qilishingiz kerak.

Shaxsiy qadriyatlar
0 ning ildizi 0: .
1-ildiz 1 ga teng: .
0 ning kvadrat ildizi 0: .

1 ning kvadrat ildizi 1 ga teng: .

Misol. Ildizlarning ildizi
.
Keling, ildizlarning kvadrat ildiziga misolni ko'rib chiqaylik:
.
Yuqoridagi formulalar yordamida ichki kvadrat ildizni o'zgartiramiz:
.
Endi asl ildizni o'zgartiramiz:
.

Shunday qilib,

p ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun y = x p.

Mana x argumentining manfiy bo'lmagan qiymatlari uchun funktsiyaning grafiklari.

X ning manfiy qiymatlari uchun aniqlangan quvvat funktsiyasining grafiklari "Quvvat funktsiyasi, uning xususiyatlari va grafiklari" sahifasida berilgan.

Teskari funksiya

Ko‘rsatkichi p bo‘lgan quvvat funksiyasiga teskari ko‘rsatkich 1/p ko‘rsatkichli quvvat funksiyasidir.

Agar, keyin.
;

Quvvat funksiyasining hosilasi

n-tartibning hosilasi:

Formulalarni chiqarish > > > 1 ;
.

Quvvat funksiyasining integrali

P ≠ - 1 < x < 1 Quvvat seriyasining kengayishi

-da

quyidagi parchalanish sodir bo'ladi:
Kompleks sonlar yordamida ifodalar z kompleks o‘zgaruvchining funksiyasini ko‘rib chiqing:.
f
(z) = z t
z kompleks o‘zgaruvchini r moduli va ph (r = |z|) argumenti bilan ifodalaymiz:
z = r e i ph.
Biz t kompleks sonini haqiqiy va xayoliy qismlar shaklida ifodalaymiz:

t = p + i q.
,

Bizda ... bor: 0 Keyinchalik, ph argumenti yagona aniqlanmaganligini hisobga olamiz:
.

q = bo'lgan holatni ko'rib chiqamiz
.
, ya'ni ko'rsatkich haqiqiy son, t = p.

Keyin Agar p butun son bo'lsa, u holda kp butun sondir. Keyin, trigonometrik funktsiyalarning davriyligi tufayli:, u holda z p funksiya cheksiz ko'p qiymatlarga ega. Har doim argument z oshirilsa 2p(bir burilish), biz funktsiyaning yangi bo'limiga o'tamiz.

Agar p ratsional bo'lsa, u quyidagicha ifodalanishi mumkin:
, Qayerda m, n- umumiy bo'luvchilari bo'lmagan butun sonlar. Keyin
.
Birinchi n qiymat, k = k bilan 0 = 0, 1, 2, ... n-1, kp ning n xil qiymatlarini bering:
.
Biroq, keyingi qiymatlar oldingi qiymatlardan butun son bilan farq qiladigan qiymatlarni beradi. Masalan, k = k bo'lganda 0+n bizda ... bor:
.
Argumentlari ko'paytmalari bilan farq qiladigan trigonometrik funktsiyalar 2p, teng qiymatlarga ega. Shuning uchun, k ning yanada ortishi bilan biz k = k uchun bo'lgani kabi z p ning bir xil qiymatlarini olamiz 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Shunday qilib, ratsional darajali eksponensial funktsiya ko'p qiymatli va n ta qiymatga (tarmoqlarga) ega. Har doim z argumenti oshirilsa 2p(bir burilish), biz funktsiyaning yangi bo'limiga o'tamiz. Bunday inqiloblardan so'ng biz orqaga hisoblash boshlangan birinchi filialga qaytamiz.

Xususan, n darajali ildiz n ta qiymatga ega. Misol tariqasida z = x haqiqiy musbat sonning n- ildizini ko'rib chiqaylik. Bu holda ph, .
.
0 = 0 , z = r = |z| = x 2 ,
.
Demak, kvadrat ildiz uchun n = Hatto k uchun,(- 1 ) k = 1 ..
g'alati k uchun,

(- 1 ) k = - 1
Ya'ni, kvadrat ildiz ikki ma'noga ega: + va -.

Foydalanilgan adabiyotlar: