Yuqori tartibli differensial tenglamalar. Differensial tenglamaning tartibi va uning yechimi, Koshi masalasi, 3-tartibli differensial tenglamalar, yechish misollari.

Ushbu tenglama uchun bizda:

; (5.22)

. (5.23)

Oxirgi determinant 3 > 0 shartni beradi. 0 > 0, 1 > 0 va 3 > 0 uchun D 2 > 0 sharti faqat 2 > 0 uchun bajarilishi mumkin.

Binobarin, uchinchi tartibli tenglama uchun xarakterli tenglamaning barcha koeffitsientlarining musbatligi endi yetarli emas. Shuningdek, a 1 a 2 > a 0 a 3 koeffitsientlari o'rtasida ma'lum munosabatni bajarish talab qilinadi.

4. To‘rtinchi tartibli tenglama

Yuqorida aytilganlarga o'xshab, to'rtinchi tartibli tenglama uchun barcha koeffitsientlarning ijobiyligiga qo'shimcha ravishda quyidagi shart bajarilishi kerakligini olishimiz mumkin:

Algebraik mezonlarning, shu jumladan Hurvits mezonlarining muhim kamchiliklari shundaki, yuqori tartibli tenglamalar uchun, eng yaxshi holatda, avtomatik boshqaruv tizimining barqaror yoki beqaror ekanligiga javob olish mumkin. Bundan tashqari, beqaror tizim bo'lsa, mezon uni barqaror qilish uchun tizim parametrlarini qanday o'zgartirish kerakligiga javob bermaydi. Ushbu holat muhandislik amaliyotida qulayroq bo'lgan boshqa mezonlarni izlashga olib keldi.

5.3. Mixaylov barqarorlik mezoni

Xarakteristik polinom bo'lgan xarakteristik tenglamaning (5.7) chap tomonini alohida ko'rib chiqamiz.

Bu ko‘phadga sof xayoliy qiymatni p = j almashtiramiz, bunda  xarakteristik yechimning sof xayoliy ildiziga mos keladigan tebranishlarning burchak chastotasini ifodalaydi. Bunday holda biz xarakterli kompleksni olamiz

bu erda haqiqiy qism chastotaning teng kuchlarini o'z ichiga oladi

va xayoliy - chastotaning g'alati kuchlari

E

Guruch. 5.4. Mixaylovning godografiyasi

Agar barcha koeffitsientlar va ma'lum chastota qiymati berilgan bo'lsa, u holda D(j) qiymati kompleks tekislikda U va V koordinatali nuqta sifatida yoki bu nuqtani koordinatalar bilan bog'lovchi vektor sifatida tasvirlanadi. Agar chastota qiymati doimiy ravishda noldan cheksizgacha o'zgartirilsa, u holda vektor kattaligi va yo'nalishi bo'yicha o'zgaradi va uning oxiri bilan ma'lum bir egri chiziqni (godograf) tasvirlaydi. Mixaylov egri chizig'i (5.4-rasm).

Amalda Mixaylov egri chizig'i nuqtama-nuqta quriladi va  chastotasining turli qiymatlari ko'rsatilgan va (5.28), (5.29) formulalar yordamida U() va V() hisoblanadi. Hisoblash natijalari jadvalda jamlangan. 5.1.

5.1-jadval

Mixaylov egri chizig'ini qurish

Ushbu jadval yordamida egri chiziqning o'zi tuziladi (5.4-rasm).

Chastotasi  noldan cheksizga o‘zgarganda D(j) vektorining aylanish burchagi qandayga teng bo‘lishi kerakligini aniqlaymiz. Buning uchun xarakterli ko'phadni omillar ko'paytmasi sifatida yozamiz

bu yerda  1 –  n xarakteristik tenglamaning ildizlari.

Xarakteristik vektorni quyidagicha ifodalash mumkin:

Har bir qavs kompleks sonni ifodalaydi. Demak, D(j) n ta kompleks sonning hosilasidir. Ko'paytirishda kompleks sonlarning argumentlari qo'shiladi. Shuning uchun D(j) vektorining hosil bo'lgan burilish burchagi chastota noldan cheksizgacha o'zgarganda alohida omillarning (5.31) aylanish burchaklarining yig'indisiga teng bo'ladi.

Keling, (5.31) dagi har bir atamani alohida belgilaylik. Muammoni umumlashtirish uchun turli xil ildiz turlarini ko'rib chiqing.

1. Ba'zi bir ildiz, masalan,  1 bo'lsin haqiqiy va salbiy , ya'ni 1 = – 1 . Bu ildiz orqali aniqlangan (5.31) ifodadagi omil ( 1 + j) ko'rinishga ega bo'ladi. Chastotaning noldan cheksizgacha o'zgarishi bilan kompleks tekislikda ushbu vektorning godografini tuzamiz (5.5-rasm, A). = 0 bo'lganda, haqiqiy qism U= 1, tasavvur qismi esa V= 0 bo'ladi. Bu haqiqiy o'qda yotgan A nuqtaga to'g'ri keladi. At0 da vektor shunday o'zgaradiki, uning haqiqiy qismi baribir ga, xayoliy qismi esa V = ga teng bo'ladi (grafikdagi B nuqta). Chastota cheksizlikka oshgani sayin vektor cheksizlikka boradi va vektorning oxiri doimo A nuqtadan o'tuvchi vertikal to'g'ri chiziqda qoladi va vektor soat miliga teskari yo'nalishda aylanadi.

Guruch. 5.5. Haqiqiy ildizlar

Olingan vektorning burilish burchagi  1 = +( / 2).

2. Endi ildiz  1 bo'lsin haqiqiy va ijobiy , ya'ni 1 = + 1.U holda bu ildiz bilan aniqlangan (5.31) koeffitsienti (– 1 + j) ko'rinishga ega bo'ladi. Shunga o'xshash konstruktsiyalar (5.5-rasm, b) hosil bo'lgan burilish burchagi 1 = –( / 2) bo'lishini ko'rsating. Minus belgisi vektorning soat yo'nalishi bo'yicha aylanishini ko'rsatadi.

3. Ikki konjugat ildiz, masalan,  2 va  3 boʻlsin. manfiy real qismli kompleks , ya'ni 2;3 = –±j. Xuddi shunday, (5.31) ifodadagi omillar, bu ildizlar bilan aniqlanadi, (–j + j)( + j + j) ko'rinishga ega bo'ladi.

= 0 da ikkita vektorning dastlabki pozitsiyalari A 1 va A 2 nuqtalar bilan aniqlanadi (5.6-rasm, A). Birinchi vektor real o'qga nisbatan soat yo'nalishi bo'yicha arctg( / ) ga teng burchak bilan, ikkinchi vektor esa xuddi shu burchakka soat miliga teskari yo'nalishda aylantiriladi.  ning noldan cheksizgacha bosqichma-bosqich o'sishi bilan ikkala vektorning uchlari cheksizlikka ko'tariladi va ikkala vektor oxir-oqibat xayoliy o'q bilan birlashadi.

Natijada birinchi vektorning burilish burchagi  2 = ( / 2) +  ga teng. Natijada ikkinchi vektorning aylanish burchagi 3 = ( / 2) –. Ko'paytmaga (–j + j)( + j + j) mos vektor 2 +  3 = 2 / 2 = burchak bo'ylab aylanadi.

Guruch. 5.6. Murakkab ildizlar

4. Ular bir xil bo'lsin murakkab ildizlar ijobiy haqiqiy qismga ega , ya'ni 2;3 = +±j.

Qurilishni ilgari ko'rib chiqilgan holatga o'xshash tarzda amalga oshirish (5.6-rasm, b), natijada burilish burchagi 2 +  3 = –2 / 2 = – ni olamiz.

Shunday qilib, xarakteristik tenglamada musbat haqiqiy qismga ega f ildizlari bo'lsa, bu ildizlar qanday bo'lishidan qat'i nazar (haqiqiy yoki murakkab), ular -f ( / 2) ga teng aylanish burchaklarining yig'indisiga mos keladi. Manfiy haqiqiy qismlarga ega bo'lgan xarakterli tenglamaning barcha boshqa (n - f) ildizlari + (n - f) ( / 2) ga teng aylanish burchaklarining yig'indisiga mos keladi. Natijada (5.32) formula bo'yicha chastota noldan cheksizga o'zgarganda D(j) vektorining umumiy burilish burchagi ko'rinishga ega bo'ladi.

 = (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f .

(5.33)

Ushbu ifoda Mixaylov egri chizig'ining shakli va xarakterli tenglama ildizlarining haqiqiy qismlarining belgilari o'rtasidagi kerakli aloqani aniqlaydi. 1936 yilda A.V. Mixaylov har qanday tartibli chiziqli tizimlar uchun quyidagi barqarorlik mezonini shakllantirdi.  n-tartibli sistemaning barqarorligi uchun D(j) vektorining boʻlishi zarur va yetarli  ), o'zgartirilganda, Mixaylov egri chizig'ini tavsiflash  = noldan cheksizgacha aylanish burchagiga ega edi (  / 2).

n Ushbu formula to'g'ridan-to'g'ri (5.33) dan kelib chiqadi. Tizim barqaror bo'lishi uchun barcha ildizlar chap yarim tekislikda yotishi kerak.

Bu yerdan kerakli natijaviy vektor aylanish burchagi aniqlanadi. chiziqli ACS barqarorligi uchun Mixaylov godografi chastota noldan cheksizgacha o'zgarganda, ijobiy yarim tekislikdan boshlab va koordinatalarning kelib chiqishini kesib o'tmasdan, kompleksning qancha kvadrantlarini ketma-ket kesishishi zarur va etarli. sistemaning xarakteristik tenglamasining ko'phadning tartibi sifatida tekislik.

HAQIDA

Guruch. 5.7. Chidamli ATS

ko'rinadiki, barqaror tizimlar uchun Mixaylov egri chizig'i doimo silliq spiral shaklga ega va uning oxiri murakkab tekislikning o'sha kvadrantida cheksizlikka boradi, ularning soni xarakterli tenglama darajasiga teng (5.7-rasm). Mixaylov egri chizig'i n dan ortiq kvadrantlardan o'ta olmaydi. Shuning uchun tizimning beqarorligi doimo Mixaylov egri chizig'ida kvadrantlarning o'tish ketma-ketligi buzilganligi bilan bog'liq, buning natijasida D(j) vektorining burilish burchagi kamroq bo'ladi. n dan ( / 2) (5.8-rasm).

Barqaror tizim uchun Mixaylov egri chizig'i kompleks tekislikning ketma-ket n kvadrantidan o'tadi.

Har uch turdagi barqarorlik chegaralarining mavjudligini Mixaylov egri chizig'idan quyidagicha aniqlash mumkin.

Barqarorlik chegarasi mavjudligida birinchi turi (nol ildiz) xarakterli ko'phadning n = 0 bo'sh hadi yo'q va Mixaylov egri chizig'i boshlang'ichni tark etadi (5.9-rasm, egri 1).

Guruch. 5.8. Barqaror ATS

Guruch. 5.9. Barqarorlik chegaralari

Barqarorlik chegarasida ikkinchi turi (tebranish barqarorlik chegarasi) p = j 0 o‘rniga qo‘yilganda xarakteristik tenglamaning chap tomoni, ya’ni xarakteristik polinom nolga aylanadi.

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)

Bu ikkita tenglikni nazarda tutadi: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. Demak, Mixaylov egri chizig’idagi  =  0 nuqta koordinatalar boshiga to’g’ri keladi (5.9-rasm, 2-egri chiziq). Bunda  0 qiymati tizimning so'nmagan tebranishlarining chastotasi hisoblanadi.

Barqarorlik chegarasi uchun uchinchi turi (cheksiz ildiz) Mixaylov egri chizig'ining oxiri cheksizlik orqali bir kvadrantdan ikkinchisiga tashlanadi (5.9-rasm, egri 3). Bunda xarakteristik polinomning a 0 koeffitsienti (5.7) nol qiymatdan o'tib, belgisini ortiqcha dan minusga o'zgartiradi.

Ushbu maqolada nima sodir bo'layotganini chuqurroq tushunish uchun siz o'qishingiz mumkin.

Uchinchi tartibli differensial tenglamalarning bir jinsli tizimini ko'rib chiqaylik

Bu yerda x(t), y(t), z(t) (a, b) oraliqda kerakli funksiyalar, ij (i, j =1, 2, 3) esa haqiqiy sonlardir.

Dastlabki tizimni matritsa shaklida yozamiz
,
Qayerda

Biz shakldagi asl tizimga yechim izlaymiz
,
Qayerda , C 1, C 2, C 3 ixtiyoriy konstantalardir.

Yechimlarning asosiy tizimini topish uchun xarakteristik tenglama deb ataladigan narsani echishingiz kerak

Bu tenglama uchinchi tartibli algebraik tenglama, shuning uchun uning 3 ta ildizi bor. Quyidagi holatlar mumkin:

1. Ildizlar (xususiy qiymatlar) haqiqiy va aniq.

2. Ildizlar (o'z qiymatlari) orasida murakkab konjugatlar bor, keling
- haqiqiy ildiz
=

3. Ildizlar (xususiy qiymatlar) haqiqiydir. Ildizlardan biri ko'p.

Ushbu holatlarning har birida qanday harakat qilish kerakligini aniqlash uchun bizga kerak bo'ladi:
Teorema 1.
A matritsaning juft-juft alohida xos qiymatlari va ularning mos keladigan xos vektorlari bo'lsin. Keyin

asl tizimga yechimlarning asosiy tizimini shakllantirish.

Izoh .
A matritsaning haqiqiy xos qiymati (xarakteristik tenglamaning haqiqiy ildizi) va mos keladigan xos vektor bo'lsin.
= - A matritsasining murakkab xos qiymatlari, - mos keladigan - xos vektor. Keyin

(Re - haqiqiy qism, Im - xayoliy qism)
asl tizimga yechimlarning asosiy tizimini shakllantirish. (ya'ni va = birgalikda ko'rib chiqiladi)

Teorema 3.
Ko‘paytmaning xarakteristik tenglamasining ildizi bo‘lsin 2. U holda asl sistemaning 2 ta chiziqli mustaqil ko‘rinishdagi yechimlari bo‘ladi.
,
bu yerda , vektor konstantalari. Agar ko'paytma 3 bo'lsa, u holda shaklning 3 ta chiziqli mustaqil yechimlari mavjud
.
Vektorlar (*) va (**) yechimlarni dastlabki sistemaga qo‘yish orqali topiladi.
(*) va (**) ko'rinishdagi echimlarni topish usulini yaxshiroq tushunish uchun quyidagi odatiy misollarga qarang.

Endi yuqoridagi holatlarning har birini batafsil ko'rib chiqamiz.

1. Xarakteristik tenglamaning har xil haqiqiy ildizlari holatida uchinchi tartibli differensial tenglamalarning bir jinsli sistemalarini yechish algoritmi.
Tizimni hisobga olgan holda

1) Biz xarakteristik tenglama tuzamiz

- bu tenglamaning 9 ildizining haqiqiy va aniq xos qiymatlari).
2) Biz qayerda quramiz

3) Biz qayerda quramiz
- ga mos keladigan A matritsaning xos vektori, ya'ni. - har qanday tizimli yechim

4) Biz qayerda quramiz
- ga mos keladigan A matritsaning xos vektori, ya'ni. - har qanday tizimli yechim

5)

yechimlarning asosiy tizimini tashkil etadi. Keyinchalik asl tizimning umumiy yechimini shaklda yozamiz
,
bu yerda C 1, C 2, C 3 ixtiyoriy konstantalar,
,
yoki koordinatali shaklda

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:
1-misol.




2) toping


3) topamiz


4) Vektor funktsiyalari



yoki koordinata yozuvida

2-misol.

1) Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz:

2) toping


3) topamiz


4) Toping


5) Vektor funktsiyalari

asosiy tizimni tashkil qiladi. Umumiy yechim shaklga ega

yoki koordinata yozuvida

2. Xarakteristik tenglamaning murakkab konjugat ildizlari holatida uchinchi tartibli differensial tenglamalarning bir jinsli tizimlarini yechish algoritmi.


- haqiqiy ildiz,

2) Biz qayerda quramiz

3) Biz quramiz

- ga mos keladigan A matritsaning xos vektori, ya'ni. tizimni qondiradi

Bu erda Re haqiqiy qismdir
Im - xayoliy qism
4) yechimlarning asosiy tizimini tashkil qiladi. Keyin asl tizimning umumiy yechimini yozamiz:
, Qayerda
C 1, C 2, C 3 ixtiyoriy konstantalardir.

1-misol.

1) Xarakteristik tenglamani tuzing va yeching

2) Biz qurmoqdamiz

3) Biz quramiz
, Qayerda

Birinchi tenglamani 2 ga kamaytiramiz. Keyin ikkinchi tenglamaga 2i ga ko'paytirilgan birinchi tenglamani qo'shing va uchinchi tenglamadan birinchisini 2 ga ko'paytiring.

Keyingisi

Demak,

4) - yechimlarning fundamental tizimi. Dastlabki tizimning umumiy yechimini yozamiz:

2-misol.

1) Xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz


2) Biz qurmoqdamiz

(ya'ni, va birgalikda ko'rib chiqiladi), qaerda

Ikkinchi tenglamani (1-i) ga ko'paytiring va 2 ga kamaytiring.


Demak,

3)
Asl tizimning umumiy yechimi

yoki

2. Xarakteristik tenglamaning ko'p ildizli holatida uchinchi tartibli differensial tenglamalarning bir jinsli tizimlarini yechish algoritmi.
Xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz

Ikkita mumkin bo'lgan holatlar mavjud:

a) 1) holatni ko'rib chiqing, bu erda

- ga mos keladigan A matritsaning xos vektori, ya'ni tizimni qanoatlantiradi.

2) 3-teoremaga murojaat qilaylik, shundan kelib chiqadiki, shaklning ikkita chiziqli mustaqil yechimlari mavjud.
,
bu yerda , doimiy vektorlar. Keling, ularni qabul qilaylik.
3) - yechimlarning fundamental tizimi. Keyin asl tizimning umumiy yechimini yozamiz:

b holatini ko'rib chiqing):
1) 3-teoremaga murojaat qilaylik, shundan kelib chiqadiki, shaklning uchta chiziqli mustaqil yechimlari mavjud.
,
bu yerda , , doimiy vektorlar. Keling, ularni qabul qilaylik.
2) - yechimlarning fundamental tizimi. Keyin asl tizimning umumiy yechimini yozamiz.

(*) shaklidagi yechimlarni qanday topishni yaxshiroq tushunish uchun bir nechta tipik misollarni ko'rib chiqing.

1-misol.

Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz:

Bizda holat a)
1) Biz quramiz
, Qayerda

Ikkinchi tenglamadan birinchisini ayiramiz:

? Uchinchi qator ikkinchisiga o'xshaydi, biz uni kesib tashlaymiz. Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayiring:

2) = 1 (2 ning ko'pligi)
T.3 ga ko'ra, bu ildiz shaklning ikkita chiziqli mustaqil echimiga mos kelishi kerak .
Keling, barcha chiziqli mustaqil echimlarni topishga harakat qilaylik, ya'ni. shakldagi yechimlar
.
Bunday vektor, agar xos vektor =1 ga to'g'ri kelsa va faqat yechim bo'ladi, ya'ni.
, yoki
, ikkinchi va uchinchi qatorlar birinchisiga o'xshash, ularni tashqariga tashlang.

Tizim bitta tenglamaga qisqartirildi. Binobarin, ikkita bepul noma'lum mavjud, masalan, va. Avval ularga 1, 0 qiymatlarini beramiz; keyin 0, 1 qiymatlari. Biz quyidagi echimlarni olamiz:
.
Demak, .
3) - yechimlarning fundamental tizimi. Asl tizimning umumiy yechimini yozish qoladi:
.
yoki

.. Shunday qilib, X 3 ni ushbu sistemaga almashtiramiz shaklning faqat bitta yechimi mavjud: Uchinchi qatorni kesib tashlang (u ikkinchisiga o'xshaydi). Tizim har qanday v uchun izchil (echimga ega). c=1 bo'lsin. Oddiy differentsial tenglama

mustaqil oʻzgaruvchini, shu oʻzgaruvchining nomaʼlum funksiyasini va uning turli tartibli hosilalarini (yoki differentsiallarini) bogʻlovchi tenglamadir. Differensial tenglamaning tartibi

undagi eng yuqori hosila tartibi deyiladi. Oddiylardan tashqari, qisman differensial tenglamalar ham o'rganiladi. Bular mustaqil o'zgaruvchilarga tegishli tenglamalar, bu o'zgaruvchilarning noma'lum funksiyasi va bir xil o'zgaruvchilarga nisbatan uning qisman hosilalari. Lekin biz faqat ko'rib chiqamiz oddiy differensial tenglamalar

va shuning uchun qisqalik uchun biz "oddiy" so'zini o'tkazib yuboramiz.

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Differensial tenglamalarga misollar:

(1) tenglama to'rtinchi tartibli, tenglama (2) uchinchi tartib, (3) va (4) tenglamalar ikkinchi tartib, (5) tenglama birinchi tartibli. noldan cheksizgacha aylanish burchagiga ega edi Differensial tenglama noldan cheksizgacha aylanish burchagiga ega edi th tartib aniq funktsiyani o'z ichiga olishi shart emas, birinchisidan boshlab uning barcha hosilalari.

-tartib va ​​mustaqil o'zgaruvchi. Unda muayyan tartiblarning aniq hosilalari, funksiya yoki mustaqil oʻzgaruvchi boʻlmasligi mumkin.

Masalan, (1) tenglamada aniq uchinchi va ikkinchi tartibli hosilalar, shuningdek, funksiya mavjud emas; (2) tenglamada - ikkinchi tartibli hosila va funksiya; (4) tenglamada - mustaqil o'zgaruvchi; (5) tenglamada - funksiyalar. Faqat (3) tenglama aniq barcha hosilalarni, funktsiyani va mustaqil o'zgaruvchini o'z ichiga oladi. Differensial tenglamani yechish har bir funktsiya chaqiriladi y = f(x)

, tenglamaga almashtirilganda u identifikatsiyaga aylanadi. Differensial tenglamaning yechimini topish jarayoni uning deyiladi.

1-misol. integratsiya

Differensial tenglamaning yechimini toping.

Yechim. Keling, ushbu tenglamani shaklda yozamiz. Yechim uning hosilasidan funktsiyani topishdir. Asl funktsiya, integral hisobdan ma'lumki, uchun antiderivativ hisoblanadi, ya'ni. Mana shu bu differentsial tenglamaning yechimi . Unda o'zgarish, biz turli xil echimlarni olamiz. Birinchi tartibli differensial tenglamaning cheksiz ko'p yechimlari borligini aniqladik.

Differensial tenglamaning umumiy yechimi noldan cheksizgacha aylanish burchagiga ega edi th tartib - uning yechimi, noma'lum funktsiyaga nisbatan aniq ifodalangan va o'z ichiga olgan noldan cheksizgacha aylanish burchagiga ega edi mustaqil ixtiyoriy konstantalar, ya'ni.

1-misoldagi differentsial tenglamaning yechimi umumiydir.

Differensial tenglamaning qisman yechimi ixtiyoriy konstantalarga o'ziga xos raqamli qiymatlar berilgan yechim deyiladi.

2-misol. Differensial tenglamaning umumiy yechimini va maxsus yechimini toping .

Yechim. Keling, tenglamaning ikkala tomonini differentsial tenglama tartibiga teng bo'lgan bir necha marta integrallaymiz.

,

.

Natijada biz umumiy yechim oldik -

berilgan uchinchi tartibli differensial tenglamaning.

Keling, belgilangan sharoitlarda ma'lum bir yechim topamiz. Buning uchun ixtiyoriy koeffitsientlar o'rniga ularning qiymatlarini almashtiring va oling

.

Agar differensial tenglamaga qo'shimcha ravishda boshlang'ich shart shaklda berilgan bo'lsa, unda bunday masala deyiladi. Cauchy muammosi . Qiymatlarni va tenglamaning umumiy yechimiga almashtiring va ixtiyoriy doimiyning qiymatini toping . Unda o'zgarish, va keyin topilgan qiymat uchun tenglamaning ma'lum bir yechimi . Unda o'zgarish. Bu Koshi muammosining yechimi.

3-misol. 1-misol mavzusidagi differensial tenglama uchun Koshi masalasini yeching.

Yechim. Keling, boshlang'ich shartdagi qiymatlarni umumiy yechimga almashtiramiz y = 3, x= 1. Biz olamiz

Ushbu birinchi tartibli differensial tenglama uchun Koshi muammosining yechimini yozamiz:

Differensial tenglamalarni, hatto eng oddiylarini ham yechish yaxshi integratsiya va hosilaviy ko'nikmalarni, jumladan, murakkab funktsiyalarni talab qiladi. Buni quyidagi misolda ko‘rish mumkin.

4-misol. Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechim. Tenglama shunday shaklda yozilganki, siz darhol ikkala tomonni birlashtira olasiz.

.

O'zgaruvchini o'zgartirish (almashtirish) orqali integratsiya usulini qo'llaymiz. Shunday bo'lsin.

Qabul qilish talab qilinadi dx va endi - diqqat - biz buni murakkab funktsiyani farqlash qoidalariga muvofiq qilamiz, chunki x va murakkab funktsiya mavjud ("olma" - kvadrat ildizni olish yoki xuddi shu narsa "bir yarim" kuchga ko'tarish va "qiyma" - bu ildiz ostidagi ifoda):

Biz integralni topamiz:

O'zgaruvchiga qaytish x, biz olamiz:

.

Bu birinchi darajali differensial tenglamaning umumiy yechimidir.

Differensial tenglamalarni yechishda nafaqat oliy matematikaning oldingi bo'limlaridagi ko'nikmalar, balki boshlang'ich, ya'ni maktab matematikasidan ham ko'nikmalar talab qilinadi. Yuqorida aytib o'tilganidek, har qanday tartibli differentsial tenglamada mustaqil o'zgaruvchi, ya'ni o'zgaruvchi bo'lmasligi mumkin. x. Maktabdan unutilmagan nisbatlar haqidagi bilimlar (ammo, kimga qarab) bu ​​muammoni hal qilishga yordam beradi. Bu keyingi misol.

Yuqori tartibli differensial tenglamalar

Yuqori tartibli differentsial tenglamalarning asosiy terminologiyasi (DEHE).

Shaklning tenglamasi, bu erda noldan cheksizgacha aylanish burchagiga ega edi >1 (2)

yuqori tartibli differentsial tenglama deb ataladi, ya'ni. noldan cheksizgacha aylanish burchagiga ega edi- tartib.

DU aniqlash maydoni, noldan cheksizgacha aylanish burchagiga ega edi tartibli hudud mavjud.

Ushbu kursda boshqaruv tizimlarining quyidagi turlari ko'rib chiqiladi:

Koshi muammosi DU VP:

Masofadan boshqarish pulti berilsin,
va boshlang'ich shartlar n/a: raqamlar .

Uzluksiz va n marta differentsiallanuvchi funksiyani topishingiz kerak
:

1)
bo'yicha berilgan DE ning yechimidir, ya'ni.
;

2) berilgan dastlabki shartlarni qanoatlantiradi: .

Ikkinchi tartibli DE uchun masala yechimining geometrik talqini quyidagicha bo‘ladi: nuqtadan o‘tuvchi integral egri chiziq izlanadi. (x 0 , y 0 ) va burchak koeffitsienti bo'lgan to'g'ri chiziqqa teginish k = y 0 ́ .

Mavjudlik va yagonalik teoremasi(DE (2) uchun Koshi muammosining yechimlari):

Agar 1)
uzluksiz (jami (noldan cheksizgacha aylanish burchagiga ega edi+1) argumentlar) sohada
; 2)
uzluksiz (argumentlar jami ustidan
) ichida, keyin ! DE uchun Koshi muammosini echish, berilgan boshlang'ich shartlarni qanoatlantirmaydi: .

Mintaqa DEning o'ziga xosligi hududi deb ataladi.

Masofadan boshqarish pultining umumiy yechimi VP (2) – noldan cheksizgacha aylanish burchagiga ega edi -parametrik funktsiya,
, Qayerda
- quyidagi talablarga javob beradigan ixtiyoriy konstantalar:

1)

– DE (2) ning eritmasi ;

2) o'ziga xoslik sohasidan yo'q!
:
berilgan dastlabki shartlarni qondiradi.

Izoh.

O'zaro munosabatlarni ko'rish
, DE (2) ning umumiy yechimini bilvosita aniqlovchi deyiladi umumiy integral DU.

Shaxsiy yechim DE (2) ma'lum bir qiymat uchun uning umumiy yechimidan olinadi .

VP masofadan boshqarish pultining integratsiyasi.

Yuqori tartibli differensial tenglamalarni, qoida tariqasida, aniq analitik usullar bilan yechish mumkin emas.

Keling, DUVP ning ma'lum bir turini aniqlaylik, bu tartibni qisqartirishga imkon beradi va kvadratlarga qisqartirilishi mumkin. Keling, ushbu turdagi tenglamalar va ularning tartibini qisqartirish usullarini jadvalga keltiramiz.

Buyurtmani qisqartirishga imkon beruvchi VP DU

		Buyurtmani qisqartirish usuli
	Boshqaruv tizimi to'liq emas, u o'z ichiga olmaydi . Masalan,	Va hokazo. Keyin noldan cheksizgacha aylanish burchagiga ega edi Ko'p integratsiya DE uchun umumiy yechim beradi.
	Tenglama to'liq emas; u aniq kerakli funktsiyani o'z ichiga olmaydi va u birinchi hosilalar. Masalan,	O'zgartirish tomonidan tenglama tartibini pasaytiradi k birliklar.
	To'liq bo'lmagan tenglama; unda hech qanday dalil yo'qligi aniq kerakli funksiya. Masalan,	O'zgartirish tenglamaning tartibi bittaga qisqartiriladi.
	Tenglama aniq hosilalarda bo'ladi, u to'liq yoki to'liq bo'lmasligi mumkin. Bunday tenglamani (*) ́= (*)́ ko'rinishga aylantirish mumkin, bunda tenglamaning o'ng va chap tomonlari ba'zi funktsiyalarning aniq hosilalaridir.	Argument ustidagi tenglamaning o'ng va chap tomonlarini integrallash tenglamaning tartibini bittaga pasaytiradi.
		O'zgartirish tenglama tartibini bittaga pasaytiradi.

Bir jinsli funktsiyaning ta'rifi:

Funktsiya
o'zgaruvchilarda bir hil deb ataladi
, Agar


funktsiyani aniqlash sohasining istalgan nuqtasida
;

- bir xillik tartibi.

Masalan, ga nisbatan 2-tartibning bir jinsli funksiyasi
, ya'ni. .

1-misol:

Masofadan boshqarish pultining umumiy yechimini toping
.

3-darajali DE, to'liq emas, aniq o'z ichiga olmaydi
. Tenglamani ketma-ket uch marta integrallaymiz.

,

– masofadan boshqarish pultining umumiy yechimi.

2-misol:

Masofadan boshqarish uchun Cauchy muammosini hal qiling
da

.

Ikkinchi tartibli DE, to'liq emas, aniq o'z ichiga olmaydi .

O'zgartirish
va uning hosilasi
masofadan boshqarish pulti tartibini bittaga pasaytiradi.

. Biz birinchi tartibli DE - Bernulli tenglamasini oldik. Ushbu tenglamani yechish uchun biz Bernulli almashtirish usulidan foydalanamiz:

,

va uni tenglamaga kiriting.

Bu bosqichda tenglama uchun Koshi masalasini yechamiz
:
.

- ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan birinchi tartibli tenglama.

Dastlabki shartlarni oxirgi tenglikka almashtiramiz:

Javob:
Koshi muammosining dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan yechimidir.

3-misol:

DE ni hal qiling.

– 2-tartibdagi DE, toʻliq emas, oʻzgaruvchini aniq oʻz ichiga olmaydi va shuning uchun almashtirish yoki almashtirish yordamida tartibni bittaga qisqartirishga imkon beradi.
.

Biz tenglamani olamiz
(qolsin
).

– O‘zgaruvchilarni ajratuvchi 1-darajali DE. Keling, ularni ajratamiz.

- DE ning umumiy integrali.

4-misol:

DE ni hal qiling.

Tenglama
aniq hosilalarda tenglama mavjud. Haqiqatan ham,
.

ga nisbatan chap va o'ng tomonlarni birlashtiramiz, ya'ni.
yoki . Biz ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan 1-darajali DE ni oldik, ya'ni.
- DE ning umumiy integrali.

Misol 5:

Koshi muammosini hal qiling
da.

4-darajali DE, to'liq emas, aniq o'z ichiga olmaydi
. Ushbu tenglama aniq hosilalarda ekanligini ko'rib, biz olamiz
yoki
,
. Ushbu tenglamaga dastlabki shartlarni almashtiramiz:
. Keling, masofadan boshqarish pultini olaylik
Birinchi turdagi 3-tartib (jadvalga qarang). Keling, uni uch marta integrallaymiz va har bir integratsiyadan so'ng biz boshlang'ich shartlarni tenglamaga almashtiramiz:

Javob:
- original DE ning Koshi masalasini yechish.

6-misol:

Tenglamani yeching.

– 2-tartibdagi DE, to‘liq, nisbatan bir xillikni o‘z ichiga oladi
. O'zgartirish
tenglamaning tartibini pasaytiradi. Buning uchun tenglamani shaklga keltiramiz
, dastlabki tenglamaning ikkala tomonini ga bo'lish . Va funktsiyani farqlang p:

.

Keling, almashtiramiz
Va
masofadan boshqarish pultida:
. Bu ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega 1-tartibli tenglama.

Shuni hisobga olib
, biz masofadan boshqarish pultini olamiz yoki
– original DE ning umumiy yechimi.

Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar nazariyasi.

Asosiy terminologiya.

- NLDU th tartib, bu erda ma'lum oraliqdagi uzluksiz funktsiyalar.

U masofadan boshqarish pultining uzluksizligi oralig'i deb ataladi (3).

1-tartibli (shartli) differensial operatorni kiritamiz

Bu funktsiyaga ta'sir qilganda, biz olamiz

Ya'ni, th tartibli chiziqli differensial tenglamaning chap tomoni.

Natijada, LDE yozilishi mumkin

Operatorning chiziqli xossalari
:

1) – qo‘shimcha xossasi

2)
– son – bir xillik xossasi

Xususiyatlar osongina tekshiriladi, chunki bu funktsiyalarning hosilalari o'xshash xususiyatlarga ega (hosilalarning cheklangan yig'indisi cheklangan sonli hosilalar yig'indisiga teng; doimiy omil hosila belgisidan chiqarilishi mumkin).

Bu.
– chiziqli operator.

Keling, LDE uchun Koshi muammosini hal qilishning mavjudligi va o'ziga xosligi haqidagi savolni ko'rib chiqaylik
.

Keling, LDE ni ga nisbatan hal qilaylik
: ,
, – uzluksizlik intervali.

Domenda uzluksiz funksiya, hosilalar
mintaqada uzluksiz

Shunday qilib, Koshi LDE muammosi (3) yagona yechimga ega bo'lgan va faqat nuqta tanlashga bog'liq bo'lgan yagonalik mintaqasi.
, barcha boshqa argument qiymatlari
funktsiyalari
o'zboshimchalik bilan qabul qilinishi mumkin.

OLDE ning umumiy nazariyasi.

- uzluksizlik oralig'i.

OLDE yechimlarining asosiy xususiyatlari:

1. Additivlik xossasi

(
- OLDE eritmasi (4) bo'yicha)
(
– OLDE eritmasi (4) da).

Isbot:

– OLDE eritmasi (4) ustida

– OLDE eritmasi (4) ustida

Keyin

2. Bir jinslilik xossasi

( – OLDE eritmasi (4) ) (
(- raqamli maydon))

– OLDE (4) ning yechimi .

Dalil shunga o'xshash.

Additivlik va bir xillik xossalari OLDE ning chiziqli xossalari deb ataladi (4).

Natija:

(
– OLDE (4) ning )(

– OLDE eritmasi (4) da).

3. ( – OLDE ning kompleks qiymatli yechimi (4) )(
OLDE (4) ning haqiqiy qiymatli yechimlari).

Isbot:

Agar OLDE (4) ning yechimi bo'lsa, u holda tenglamaga almashtirilganda uni o'ziga xoslikka aylantiradi, ya'ni.
.

Operatorning chiziqliligi tufayli oxirgi tenglikning chap tomonini quyidagicha yozish mumkin:
.

Bu shuni anglatadiki, OLDE (4) ning haqiqiy qiymatli echimlari.

OLDE uchun yechimlarning keyingi xususiyatlari "kontseptsiyasi bilan bog'liq. chiziqli bog'liqlik”.

Cheklangan funksiyalar tizimining chiziqli bog'liqligini aniqlash

Funktsiyalar tizimi mavjud yoki yo'qligiga chiziqli bog'liq deyiladi ahamiyatsiz raqamlar to'plami
shunday chiziqli birikma
funktsiyalari
bu raqamlar bilan bir xilda nolga teng bo'ladi on , ya'ni.
.n bu noto'g'ri. Teorema isbotlangan tenglamalaryuqoriroqkattalik buyurtmalari(4 soat...