Haqiqiy darajali sonning kuchi. Darajalar xossalari, formulalar, isbotlar, misollar

a ≠ pk/2 (k Z to‘plamga tegishli) bo‘lgan har qanday a burchak uchun quyidagilar bajariladi:

Har qanday a burchak uchun tengliklar o'rinli:

a ≠ πk (k Z to‘plamga tegishli) bo‘lgan har qanday a burchak uchun quyidagilar bajariladi:

Qisqartirish formulalari

Jadvalda trigonometrik funktsiyalar uchun qisqartirish formulalari keltirilgan.

Funktsiya (º da burchak)	90º - a	90º + a	180º - a	180º + a	270º - a	270º + a	360º - a	360º + a
gunoh	cos a	cos a	gunoh a	-sin a	-cos a	-cos a	-sin a	gunoh a
cos	gunoh a	-sin a	-cos a	-cos a	-sin a	gunoh a	cos a	cos a
tg	ctg a	-ctg a	-tg a	tan a	ctg a	-ctg a	-tg a	tan a
ctg	tan a	-tg a	-ctg a	ctg a	tan a	-tg a	-ctg a	ctg a
Funktsiya (radida burchak)	p/2 – a	p/2 + a	π – α	π + α	3p/2 – a	3p/2 + a	2p – a	2p + a

Trigonometrik funksiyalarning pariteti. Nur o'zaro ikkiga aylanganda ph va -ph burchaklari hosil bo'ladi qarama-qarshi yo'nalishlar(soat yo'nalishi bo'yicha va teskari yo'nalishda).
Shuning uchun bu burchaklarning oxirgi tomonlari OA 1 va OA 2 abtsissa o'qiga nisbatan simmetrikdir. Birlik uzunlikdagi vektorlar koordinatalari OA 1 = ( X 1 , da 1) va OA 2 = ( X 2 , y 2) quyidagi munosabatlarni qanoatlantiring: X 2 = X 1 y 2 = -da 1 Shuning uchun cos(-ph) = cosph, sin (- ph) = -sin ph, Shuning uchun, sinus burchakning toq funksiyasi, kosinus esa juft funksiyadir.
Keyingi bizda:
Shunung uchun tangens va kotangens burchakning toq funksiyalaridir.

8)Teskari trigonometrik funksiyalar- trigonometrik funktsiyalarga teskari bo'lgan matematik funktsiyalar. Oltita funktsiya odatda teskari trigonometrik funktsiyalar sifatida tasniflanadi:

§ arksinus(belgi: arcsin)

§ yoy kosinus(belgi: arccos)

§ arktangent(belgisi: arctg; chet el adabiyotida arktan)

§ arkkotangent(belgisi: arcctg; chet el adabiyotida arccotan)

§ arksekant(belgi: arcsec)

§ arccosecant(belgisi: arccosec; chet el adabiyotida arccsc)

Orqaga sarlavha trigonometrik funktsiya tegishli trigonometrik funktsiya nomidan "arc-" prefiksini qo'shish orqali hosil bo'ladi (lot. yoy- yoy). Buning sababi, geometrik jihatdan teskari trigonometrik funktsiyaning qiymati yoy uzunligi bilan bog'liq bo'lishi mumkin. birlik doirasi(yoki bu yoyni bo'ysundiruvchi burchak) u yoki bu segmentga mos keladi. Baʼzan xorijiy adabiyotlarda arksinus va boshqalar uchun sin −1 kabi belgilar qoʻllaniladi; Bu asossiz deb hisoblanadi, chunki funktsiyani -1 darajasiga ko'tarish bilan chalkashlik bo'lishi mumkin.

Arksin funksiyasining xossalari

(funktsiya g'alati). da .

arccos funksiyasining xossalari[

· (funksiya nuqtaga nisbatan markaziy simmetrikdir) befarq.

arctg funksiyasining xossalari

· , x > 0 uchun.

Arcctg funksiyasining xossalari

· (funksiya grafigi nuqtaga nisbatan markaziy simmetrikdir

· har qanday uchun

12) Ratsional ko‘rsatkichli a > 0 sonning quvvati ko‘rsatkichini oddiy qaytarilmas kasr x = m/n ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘lgan darajaga aytiladi, bunda m butun son va n natural son, n > 1 ( x - ko'rsatkich).

Haqiqiy ko'rsatkichli daraja

Musbat son va ixtiyoriy haqiqiy son berilsin. Raqam kuch deb ataladi, raqam kuchning asosi va raqam ko'rsatkichdir.

Ta'rifga ko'ra, ular quyidagilarga ishonishadi:

Agar va musbat sonlar bo'lsa va har qanday haqiqiy sonlar bo'lsa, unda quyidagi xususiyatlar amal qiladi:

14)Sonning asosga logarifmi(yunoncha lós - "so'z", "munosabat" va ἀrthmos - "raqam" dan) raqamni olish uchun bazani ko'tarish kerak bo'lgan kuchning ko'rsatkichi sifatida aniqlanadi. Belgilanishi: , talaffuzi: " asosiy logarifm".

Logarifmlarning xossalari:

1 ° - asosiy logarifmik identifikatsiya.

Birning 1 dan boshqa har qanday musbat asosga logarifmi nolga teng. Bu mumkin, chunki har qanday haqiqiy sonni faqat nol darajaga ko'tarish orqali 1 ga aylantirish mumkin.

4° - mahsulotning logarifmi.

Mahsulotning logarifmi omillarning logarifmlari yig'indisiga teng.

5° - qismning logarifmi.

Bo'limning (kasr) logarifmi omillarning logarifmlari orasidagi farqga teng.

6 ° - darajaning logarifmi.

Kuchning logarifmi ko'rsatkich va uning asosining logarifmi ko'paytmasiga teng.

7°

8°

9° - yangi poydevorga o'tish.

15) Haqiqiy son - (haqiqiy son), istalgan musbat, manfiy son yoki nol. Barcha fizik miqdorlarni o'lchash natijalari haqiqiy sonlar yordamida ifodalanadi. ;

16)Xayoliy birlik- odatda kvadrati manfiyga teng bo'lgan kompleks son. Shu bilan birga, boshqa variantlar ham mumkin: Kayli-Dikson bo'yicha ikki baravar qurishda yoki Klifford bo'yicha algebra doirasida.

Kompleks sonlar(eskirgan xayoliy sonlar) - shakldagi raqamlar , bu erda va haqiqiy sonlar, - xayoliy birlik; ya'ni . Hammadan ko'p murakkab sonlar odatda lot.dan belgilanadi. murakkab- yaqindan bog'liq.

Raqamning kuchi aniqlangandan so'ng, bu haqda gapirish mantiqan to'g'ri keladi daraja xususiyatlari. Ushbu maqolada biz barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalib, sonning kuchining asosiy xususiyatlarini beramiz. Bu erda biz darajalarning barcha xossalarini isbotlaymiz, shuningdek, bu xususiyatlar misollarni echishda qanday ishlatilishini ko'rsatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Tabiiy darajali darajalarning xossalari

Tabiiy ko'rsatkichli kuchning ta'rifiga ko'ra, a n kuch har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotidir. Ushbu ta'rifga asoslanib, shuningdek, foydalanish haqiqiy sonlarni ko'paytirish xossalari, biz quyidagilarni olishimiz va asoslashimiz mumkin c darajasining xususiyatlari tabiiy ko'rsatkich :

a m ·a n =a m+n darajaning asosiy xossasi, uni umumlashtirish;
asoslari bir xil bo'lgan bo'lak darajalarining xossasi a m:a n =a m−n ;
mahsulot quvvat xossasi (a·b) n =a n ·b n , uning kengayishi;
qismning natural darajaga xossasi (a:b) n =a n:b n ;
darajani kuchga (a m) n =a m·n ga oshirish, uni umumlashtirish (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
darajani nolga solishtirish:
- agar a>0 bo'lsa, har qanday natural n soni uchun a n>0;
- agar a=0 bo'lsa, a n =0;
- agar a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 agar a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
a va b musbat sonlar va a bo'lsa
agar m va n bir xil bo'lsa butun sonlar, bu m>n, keyin 0 da 0 a m >a n tengsizlik rost.

Darhol ta'kidlaymizki, barcha yozma tengliklar mavjud bir xil belgilangan shartlarga muvofiq, ularning o'ng va chap qismlari ham almashtirilishi mumkin. Masalan, a m ·a n =a m+n bilan kasrning bosh xossasi ifodalarni soddalashtirish ko‘pincha a m+n =a m ·a n shaklida qo‘llaniladi.

Endi ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

Keling, bir xil asoslarga ega bo'lgan ikki daraja ko'paytmasining xossasidan boshlaylik, bu deyiladi darajaning asosiy xususiyati: har qanday haqiqiy a soni va har qanday natural m va n sonlar uchun a m ·a n =a m+n tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.

Keling, darajaning asosiy xususiyatini isbotlaylik. Tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifi bilan a m ·a n ko'rinishdagi bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalar ko'paytmasi ko'paytma sifatida yozilishi mumkin. Ko'paytirishning xossalari tufayli hosil bo'lgan ifodani quyidagicha yozish mumkin , va bu ko'paytma m+n natural ko'rsatkichli a sonining darajasi, ya'ni a m+n. Bu dalilni to'ldiradi.

Keling, darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlovchi misol keltiramiz. Bir xil asoslar 2 va tabiiy darajalar 2 va 3 bo'lgan darajalarni olaylik, darajalarning asosiy xususiyatidan foydalanib, 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 tengligini yozishimiz mumkin. 2 2 · 2 3 va 2 5 ifodalarning qiymatlarini hisoblash orqali uning haqiqiyligini tekshiramiz. Eksponentsiyani bajaramiz, biz bor 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 va 2 5 =2·2·2·2·2=32, chunki teng qiymatlar olinadi, u holda 2 2 ·2 3 =2 5 tengligi to'g'ri bo'ladi va u darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlaydi.

Ko'paytirish xususiyatlariga asoslangan darajaning asosiy xossasi bir xil asoslar va natural ko'rsatkichlarga ega bo'lgan uch yoki undan ortiq darajalarning mahsulotiga umumlashtirilishi mumkin. Demak, n 1, n 2, …, n k natural sonlarning istalgan k soni uchun quyidagi tenglik to‘g‘ri bo‘ladi: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Masalan, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Biz tabiiy ko'rsatkich bilan kuchlarning keyingi xususiyatiga o'tishimiz mumkin - asoslari bir xil bo'lgan bo'linma darajalarining xossasi: har qanday nolga teng bo‘lmagan haqiqiy son a va m>n shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural m va n sonlar uchun a m:a n =a m−n tenglik to‘g‘ri bo‘ladi.

Ushbu xususiyatning isbotini taqdim etishdan oldin, keling, formuladagi qo'shimcha shartlarning ma'nosini muhokama qilaylik. Nolga bo'linmaslik uchun a≠0 sharti zarur, chunki 0 n =0 va bo'linish bilan tanishganimizda biz nolga bo'linmasligimizga kelishib oldik. Tabiiy ko'rsatkichlardan tashqariga chiqmaslik uchun m>n sharti kiritilgan. Darhaqiqat, m>n uchun a m−n ko‘rsatkichi natural son, aks holda u nol (m−n uchun sodir bo‘ladi) yoki manfiy son (m uchun sodir bo‘ladi) bo‘ladi.
Isbot. Kasrning asosiy xossasi tenglikni yozishga imkon beradi a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Hosil boʻlgan tenglikdan a m−n ·a n =a m boʻladi va bundan kelib chiqadiki, m−n a m va a n darajalarning qismidir. Bu bir xil asoslarga ega bo'lgan bo'linma darajalarining xususiyatini isbotlaydi.

Keling, misol keltiraylik. Bir xil p asoslari va natural ko'rsatkichlari 5 va 2 bo'lgan ikkita darajani olaylik, p 5:p 2 =p 5−3 =p 3 tenglik darajaning ko'rib chiqilgan xususiyatiga mos keladi.

Endi ko'rib chiqaylik mahsulot quvvat xususiyati: har qanday ikkita haqiqiy a va b sonlar koʻpaytmasining n natural kuchi a n va b n darajalar koʻpaytmasiga teng, yaʼni (a·b) n =a n ·b n .

Darhaqiqat, bizda tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifi mavjud . Ko'paytirishning xususiyatlariga asoslanib, oxirgi mahsulot sifatida qayta yozilishi mumkin , bu a n · b n ga teng.

Mana bir misol: .

Bu xususiyat uch yoki undan ortiq omillar mahsulotining kuchiga tarqaladi. Ya'ni, k omil ko'paytmasining n natural daraja xossasi quyidagicha yoziladi (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Aniqlik uchun biz ushbu xususiyatni misol bilan ko'rsatamiz. Uch omilning ko'paytmasi uchun 7 ning kuchiga egamiz.

Quyidagi mulk naturadagi ko'rsatkichning mulki: a va b haqiqiy sonlar, b≠0 n natural darajaga nisbati a n va b n darajalar qismiga teng, ya’ni (a:b) n =a n:b n.

Isbotlash oldingi xususiyat yordamida amalga oshirilishi mumkin. Shunday qilib (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, va (a:b) n ·b n =a n tengligidan kelib chiqadiki, (a:b) n a n ning b n ga bo‘lingan qismidir.

Keling, ushbu xususiyatni misol sifatida aniq raqamlar yordamida yozamiz: .

Endi ovoz chiqarib aytaylik kuchni kuchga ko'tarish xususiyati: har qanday haqiqiy a soni va har qanday m va n natural sonlar uchun a m ning n darajali darajasi m·n ko‘rsatkichli a sonining kuchiga teng, ya’ni (a m) n =a m·n.

Masalan, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Kuch-darajali mulkning isboti quyidagi tenglik zanjiri hisoblanadi: .

Ko'rib chiqilayotgan mulk bir darajaga qadar kengaytirilishi mumkin va hokazo. Masalan, p, q, r va s har qanday natural sonlar uchun tenglik . Aniqroq bo'lishi uchun ma'lum raqamlarga misol keltiramiz: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Darajani tabiiy ko'rsatkich bilan taqqoslash xususiyatlariga to'xtalib o'tish kerak.

Keling, nol va quvvatni natural ko‘rsatkich bilan solishtirish xossasini isbotlashdan boshlaylik.

Birinchidan, har qanday a>0 uchun a n >0 ekanligini isbotlaymiz.

Ikki musbat sonning mahsuloti ko'paytirishning ta'rifidan kelib chiqqan holda musbat sondir. Bu haqiqat va ko'paytirishning xususiyatlari shuni ko'rsatadiki, har qanday musbat sonlarni ko'paytirish natijasi ham ijobiy son bo'ladi. Tabiiy ko'rsatkichi n bo'lgan a sonining kuchi, ta'rifiga ko'ra, har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotidir. Bu argumentlar har qanday musbat a asosi uchun a n darajasi musbat son ekanligini ta’kidlashga imkon beradi. Tasdiqlangan xususiyat tufayli 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 va .

Ko'rinib turibdiki, a=0 bo'lgan har qanday natural n soni uchun n ning darajasi nolga teng. Haqiqatan ham, 0 n =0·0·…·0=0 . Masalan, 0 3 =0 va 0 762 =0.

Keling, darajaning salbiy asoslariga o'tamiz.

Ko'rsatkich juft son bo'lgan holatdan boshlaymiz, uni 2·m deb belgilaymiz, bu erda m - natural son. Keyin . a·a ko`rinishdagi mahsulotlarning har biri uchun a va a sonlari modullarining ko`paytmasiga teng bo`ladi, demak u musbat sondir. Shuning uchun mahsulot ham ijobiy bo'ladi va daraja a 2·m. Misollar keltiramiz: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 va .

Nihoyat, a asosi manfiy son va ko‘rsatkichi toq son 2 m−1 bo‘lsa, u holda . Barcha a·a ko'paytmalari musbat sonlar bo'lib, bu musbat sonlarning ko'paytmasi ham musbat bo'lib, uni qolgan manfiy a soniga ko'paytirish manfiy songa olib keladi. Bu xususiyat tufayli (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Keling, quyidagi formulaga ega bo'lgan bir xil natural ko'rsatkichlarga ega bo'lgan darajalarni taqqoslash xususiyatiga o'tamiz: bir xil natural ko'rsatkichlarga ega bo'lgan ikkita darajaning n asosi kichikroq bo'lganidan kichik va kattaligi kattaroqdir. . Keling, buni isbotlaylik.

Tengsizlik a n tengsizliklar xossalari a n ko'rinishdagi isbotlanadigan tengsizlik ham to'g'ri (2.2) 7 va .

Tabiiy ko'rsatkichlari bo'lgan kuchlarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash uchun qoladi. Keling, uni shakllantiramiz. Tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil musbat asoslari birdan kichik bo'lgan ikkita darajaning ko'rsatkichi kichik bo'lgani katta bo'ladi; va tabiiy koʻrsatkichlari va bir xil asoslari birdan katta boʻlgan ikki darajaning koʻrsatkichi katta boʻlgani katta boʻladi. Keling, ushbu mulkning isbotiga o'tamiz.

m>n va 0 uchun buni isbotlaylik m>n boshlang'ich sharti tufayli 0, ya'ni 0 da
Mulkning ikkinchi qismini isbotlash uchun qoladi. m>n va a>1 uchun a m >a n to‘g‘ri ekanligini isbotlaylik. Qavs ichidan a n olingandan keyin a m −a n farqi a n ·(a m−n −1) ko‘rinishini oladi. Bu ko'paytma musbat, chunki a>1 uchun a n daraja musbat son, a m−n −1 farqi esa musbat son, chunki boshlang'ich shartga ko'ra m−n>0, a>1 uchun esa daraja. a m−n bir dan katta. Binobarin, a m −a n >0 va a m >a n, bu isbotlanishi kerak edi. Bu xossa 3 7 >3 2 tengsizlik bilan tasvirlangan.

Butun darajali darajalar xossalari
Musbat butun sonlar natural sonlar ekan, u holda musbat butun koʻrsatkichli darajalarning barcha xossalari avvalgi xatboshida sanab oʻtilgan va isbotlangan natural koʻrsatkichli darajalarning xossalariga toʻliq mos keladi.

Biz butun manfiy ko'rsatkichli darajani, shuningdek, nol ko'rsatkichli darajani shunday aniqladikki, tenglik bilan ifodalangan tabiiy darajali darajalarning barcha xossalari o'z kuchida qoladi. Shuning uchun, bu xususiyatlarning barchasi nol ko'rsatkichlar uchun ham, manfiy ko'rsatkichlar uchun ham amal qiladi, albatta, darajalarning asoslari noldan farq qiladi.

Shunday qilib, har qanday haqiqiy va nolga teng bo'lmagan a va b sonlar, shuningdek, m va n butun sonlar uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi: butun darajali darajalarning xossalari:

a m ·a n =a m+n ;

a m:a n =a m−n ;

(a·b) n =a n ·b n ;

(a:b) n =a n:b n ;

(a m) n =a m·n ;

agar n musbat butun son bo'lsa, a va b musbat sonlar va a b-n;

agar m va n butun sonlar va m>n bo'lsa, u holda 0 da 1 a m >a n tengsizlik amal qiladi.

a=0 bo‘lganda, a m va a n darajalari m va n ham musbat butun sonlar, ya’ni natural sonlar bo‘lgandagina mantiqiy bo‘ladi. Shunday qilib, hozirgina yozilgan xossalar a=0 va m va n sonlar musbat sonlar bo'lgan holatlar uchun ham amal qiladi.

Ushbu xususiyatlarning har birini isbotlash qiyin emas, buning uchun tabiiy va butun ko'rsatkichlar bilan darajalarning ta'riflaridan, shuningdek, haqiqiy sonlar bilan amallar xossalaridan foydalanish kifoya. Misol tariqasida, kuch-quvvat xususiyati ham musbat, ham musbat bo'lmagan butun sonlar uchun amal qilishini isbotlaylik. Buning uchun agar p nol yoki natural son va q nol yoki natural son bo'lsa, u holda (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (−p) tengliklarni ko'rsatish kerak. ·q, (a p ) −q =a p·(−q) va (a −p) −q =a (−p)·(−q). Keling buni bajaramiz.

Ijobiy p va q uchun (a p) q =a p·q tengligi oldingi paragrafda isbotlangan. Agar p=0 bo'lsa, bizda (a 0) q =1 q =1 va 0·q =a 0 =1 bo'ladi, bundan (a 0) q =a 0·q. Xuddi shunday, agar q=0 bo'lsa, (a p) 0 =1 va a p·0 =a 0 =1, bundan (a p) 0 =a p·0. Agar ikkala p=0 va q=0 bo'lsa, u holda (a 0) 0 =1 0 =1 va a 0·0 =a 0 =1, bundan (a 0) 0 =a 0·0 bo'ladi.

Endi (a −p) q =a (−p)·q ekanligini isbotlaymiz. Demak, manfiy butun ko'rsatkichli kuchning ta'rifi bo'yicha . Quvvatlarga nisbatlar xossasi bilan bizda mavjud . Chunki 1 p =1·1·…·1=1 va , u holda . Oxirgi ifoda, taʼrifiga koʻra, a −(p·q) koʻrinishdagi quvvat boʻlib, uni koʻpaytirish qoidalariga koʻra (−p)·q shaklida yozish mumkin.

Xuddi shunday .

VA .

Xuddi shu printsipdan foydalanib, siz darajaning boshqa barcha xususiyatlarini tenglik shaklida yozilgan butun ko'rsatkich bilan isbotlashingiz mumkin.

Ro'yxatga olingan xususiyatlarning oxirgi qismida har qanday manfiy butun -n va a sharti bajariladigan har qanday musbat a va b uchun amal qiladigan a -n >b -n tengsizligining isbotiga to'xtalib o'tish kerak. . Chunki shartga ko'ra a 0 . a n · b n ko'paytma ham a n va b n musbat sonlarning ko'paytmasi sifatida musbat bo'ladi. Keyin hosil bo'lgan kasr b n -a n va a n ·b n musbat sonlarning qismi sifatida musbat bo'ladi. Demak, a −n >b −n qaerdan kelib chiqdi, bu isbotlanishi kerak bo‘lgan narsa.

Butun darajali darajalarning oxirgi xossasi natural darajali darajalarning o‘xshash xossasi kabi isbotlanadi.

Ratsional darajali darajalar xossalari

Biz kasr ko‘rsatkichi bo‘lgan darajani butun ko‘rsatkichli daraja xossalarini kengaytirish orqali aniqladik. Boshqacha qilib aytganda, kasr darajali darajalar butun darajali darajalar bilan bir xil xususiyatlarga ega. Aynan:

Kasr ko'rsatkichli darajalarning xossalarini isbotlash kasr ko'rsatkichli darajani va butun ko'rsatkichli darajani aniqlashga asoslangan. Keling, dalillar keltiraylik.

Kasr ko'rsatkichli kuchning ta'rifi bo'yicha va , keyin . Arifmetik ildizning xossalari quyidagi tengliklarni yozish imkonini beradi. Bundan tashqari, butun ko'rsatkichli darajaning xususiyatidan foydalanib, biz ni olamiz, undan kasr ko'rsatkichli darajani aniqlash orqali biz hosil bo'lamiz. , va olingan daraja ko'rsatkichi quyidagicha o'zgartirilishi mumkin: . Bu dalilni to'ldiradi.

Kasr ko'rsatkichli darajalarning ikkinchi xossasi mutlaqo o'xshash tarzda isbotlangan:

Qolgan tengliklar shunga o'xshash printsiplar yordamida isbotlangan:

Keling, keyingi mulkni isbotlashga o'taylik. Har qanday musbat a va b, a uchun ekanligini isbotlaymiz b p . Ratsional p sonni m/n deb yozamiz, bunda m butun son, n natural son. Shartlar p<0 и p>0 bu holda shartlar m<0 и m>0 mos ravishda. m>0 va a uchun
Xuddi shunday, m uchun<0 имеем a m >b m, qaerdan, ya'ni va a p >b p.

Ro'yxatga olingan xususiyatlarning oxirgisini isbotlash uchun qoladi. 0 da p va q ratsional sonlar uchun p>q ekanligini isbotlaylik 0 – a p >a q tengsizlik. Oddiy kasrlar va ni olsak ham, p va q ratsional sonlarni har doim umumiy maxrajga keltira olamiz, bu yerda m 1 va m 2 butun sonlar, n esa natural sondir. Bunda p>q sharti dan kelib chiqadigan m 1 >m 2 shartga mos keladi. Keyin, 0 da bir xil asoslar va natural ko'rsatkichlar bilan kuchlarni solishtirish xususiyatiga ko'ra 1 – a m 1 >a m 2 tengsizlik. Ildizlarning xossalaridagi bu tengsizliklar shunga mos ravishda qayta yozilishi mumkin Va . Va ratsional ko'rsatkichli darajaning ta'rifi bizga tengsizliklarga o'tishga imkon beradi va shunga mos ravishda. Bu erdan yakuniy xulosa chiqaramiz: p>q va 0 uchun 0 – a p >a q tengsizlik.

Irratsional darajali darajalar xossalari

Irratsional darajali darajani aniqlash usulidan xulosa qilishimiz mumkinki, u ratsional darajali darajalarning barcha xossalariga ega. Demak, har qanday a>0, b>0 va p va q irratsional sonlar uchun quyidagilar to‘g‘ri bo‘ladi irratsional darajali darajalar xossalari:

a p ·a q =a p+q ;

a p:a q =a p−q ;

(a·b) p =a p ·b p;

(a:b) p =a p:b p;

(a p) q =a p·q ;

har qanday musbat a va b sonlar uchun a 0 tengsizlik a p b p ;

irratsional sonlar uchun p va q, p>q 0 da 0 – a p >a q tengsizlik.

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, a>0 uchun har qanday haqiqiy darajali p va q darajalar bir xil xususiyatlarga ega.

Adabiyotlar ro'yxati.

Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5-sinf uchun matematika darslik. ta'lim muassasalari.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 7-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 9-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).

S. Shestakov,
Moskva

Yozma imtihon

11-sinf
1. Hisob-kitoblar. Ifodalarni aylantirish

§ 3. Haqiqiy ko'rsatkichli quvvat

To‘plamning birinchi bobining 5-bandidagi mashqlar asosan ko‘rsatkich funksiyasi va uning xossalari bilan bog‘liq. Bu paragrafda, avvalgilari kabi, nafaqat ma'lum xususiyatlar asosida o'zgartirishlarni amalga oshirish qobiliyati, balki o'quvchilarning funktsional simvolizmni o'zlashtirishi ham tekshiriladi. To'plamdagi vazifalar orasida quyidagi guruhlarni ajratib ko'rsatish mumkin:
ko'rsatkichli funktsiyani aniqlash (1.5.A06, 1.5.B01-B04) va funktsional belgilardan foydalanish qobiliyatini (1.5A02, 1.5.B05, 1.5C11) o'zlashtirishni tekshirish mashqlari;

uchun mashqlar ifoda konvertatsiyasi haqiqiy ko'rsatkichli darajani o'z ichiga olgan va bunday ifodalarning qiymatlarini va ko'rsatkichli funktsiyaning qiymatlarini hisoblash uchun (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5) D05, 1.5.D10 va boshqalar);

taqqoslash mashqlari ifoda qiymatlari haqiqiy ko'rsatkichga ega bo'lgan kuchni o'z ichiga olgan, haqiqiy darajali va ko'rsatkichli funktsiyaga ega bo'lgan darajaning xususiyatlarini qo'llashni talab qiladi (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11);

boshqa mashqlar (shu jumladan raqamlarning pozitsion belgilari, progressiya va boshqalar bilan bog'liq) - 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5. C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.

Funktsional simvolizm bilan bog'liq bir qator muammolarni ko'rib chiqaylik.

1.5.A02. e) funksiyalar berilgan

f 2 (x) – g 2 (x) ifodaning qiymatini toping.

Yechim. Kvadratlar farqi formulasidan foydalanamiz:

Javob: -12.

1.5.C11. b) funksiyalar berilgan

f(x) f(y) – g(x) g(y) ifodaning qiymatini toping, agar f(x – y) = 9 bo‘lsa.

Biz haqiqiy ko'rsatkichga ega bo'lgan darajani o'z ichiga olgan ifodalarni o'zgartirish va bunday ifodalarning qiymatlarini va eksponensial funktsiya qiymatlarini hisoblash uchun mashqlarning qisqacha echimlarini taqdim etamiz.

1.5.B07. a) Ma'lumki, 6 a – 6 –a= 6. Ifodaning qiymatini toping (6 a– 6) 6 a .

Yechim. Muammo shartlaridan kelib chiqadiki, 6 a – 6 = 6 –a. Keyin

(6 a– 6) 6a = 6 –a· 6 a = 1.

1.5.C05. b) 7 ifodaning qiymatini toping a-b, Agar

Yechim. Shart bo'yicha Bu tenglikning chap tomonining pay va maxrajini 7 b ga bo'ling. olamiz

Keling, almashtiramiz. y = 7 bo'lsin a-b. Tenglik shaklni oladi

Olingan tenglamani yechamiz

Mashqlarning keyingi guruhi - bu darajani o'z ichiga olgan iboralar qiymatlarini haqiqiy ko'rsatkich bilan taqqoslash, haqiqiy daraja va eksponensial funktsiya bilan darajaning xususiyatlaridan foydalanishni talab qiladigan vazifalar.

1.5.B11. b) f(x) = 5 x, g(x) = 7 x va h(x) = 3 x bo'lsa, f(60), g(45) va h(30) sonlarni kamayish tartibida joylashtiring.

Yechim. f(60) = 5 60 , g(45) = 7 45 va h(30) = 3 30 .

Keling, bir xil ko'rsatkichlarni olish uchun ushbu darajalarni o'zgartiramiz:

5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .

Asoslarni kamayish tartibida yozamiz: 625 > 343 > 9.

Shuning uchun zarur tartib f(60), g(45), h(30).

Javob: f(60), g(45), h(30).

1.5.C12. a) solishtiring , bu erda x va y ba'zi haqiqiy sonlar.

Yechim.

Shunung uchun

Shunung uchun

3 2 > 2 3 bo'lgani uchun biz buni olamiz

Javob:

1.5.D11. a) raqamlarni solishtiring

Biz olganimizdan beri

Javob:

Haqiqiy ko'rsatkichlar bilan kuch masalalarini ko'rib chiqishni yakunlash uchun biz raqamlar, progressiya va boshqalarning pozitsion yozuvlari bilan bog'liq mashqlarni ko'rib chiqamiz.

1.5.A03. b) f(x) = (0,1) x funksiya berilgan. 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0) ifoda qiymatini toping.

4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4 1 + 4 0,1 + 9 0,01 + 6 0,001 = 4,496.

Shunday qilib, bu ifoda 4,496 ning o'nlik birliklari yig'indisiga kengaytmadir.

Javob: 4496.

1.5.D07. a) f(x) = 0,1 x funksiya berilgan. f 3 (1) – f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (–1) n–1 f 3 (n) + ... ifoda qiymatini toping.

f 3 (1)–f 3 (2)+f 3 (3)+...+(–1) n–1 f 3 (n)+...= 0,1 3 –0,1 6 +0 ,1 9 + ...+(–1) n–1 · 0,1 3n + ...

Bu ifoda birinchi hadi 0,001 va maxraji -0,001 bo'lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisidir. Miqdori

1.5.D09. a) 5 x –5 y =3, x + y = 3 bo'lsa, 5 2x +5 2y +2 5x · 5 y – 25 y · 5 x ifoda qiymatini toping.

5 2x +5 2y +25 x 5 y –25 y 5 x =(5 x – 5 y) 2 +2 5 x 5 y +5 x 5 y (5 x – 5 y)=3 2 +2 · 5 x +y +5 x+y · 3=3 2 +2 · 5 3 +3 · 5 3 =634.

Javob: 634.

§ 4. Logarifmik ifodalar

"Logarifmik ifodalarni o'zgartirish" mavzusini takrorlashda (to'plamning § 1.6) logarifmlar bilan bog'liq bir qator asosiy formulalarni eslab qolishingiz kerak:

Bu erda bir qator formulalar mavjud bo'lib, ularni bilish A va B darajadagi muammolarni hal qilish uchun talab qilinmaydi, ammo murakkabroq muammolarni hal qilishda foydali bo'lishi mumkin (bu formulalar soni o'qituvchining fikriga qarab kamayishi yoki ko'payishi mumkin). va talabalarning tayyorgarlik darajasi):

To'plamning § 1.6-bandidagi ko'pgina mashqlarni quyidagi guruhlardan biriga ajratish mumkin:
Logarifmlarning taʼrifi va xossalaridan bevosita foydalanish boʻyicha mashqlar (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, 1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08). , 1.6.D10);

boshqa ifoda yoki logarifmning berilgan qiymatidan logarifmik ifodaning qiymatini hisoblash mashqlari (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02);

logarifmlarni o'z ichiga olgan ikkita ifodaning qiymatlarini solishtirish mashqlari (1.6.C11);

murakkab ko'p bosqichli vazifa bilan mashqlar (1.6.D11, 1.6.D12).

Logarifmlarning ta'rifi va xossalarini to'g'ridan-to'g'ri ishlatish bo'yicha mashqlarning qisqacha echimlarini taqdim etamiz.

1.6.B05. a) Ifodaning ma’nosini toping

Yechim.

Ifoda shaklni oladi

1.6.D08. b) (1 – log 4 36)(1 – log 9 36) ifoda qiymatini toping.

Yechim. Logarifmlarning xossalaridan foydalanamiz:

(1 – log 4 36)(1 – log 9 36) =

= (1 – log 4 4 – log 4 9)(1 – log 9 4 – log 9 9) =

= –log 4 9 · (–log 9 4) = 1.

1.6.D10. a) Ifodaning ma’nosini toping

Yechim. Numeratorni aylantiramiz:

log 6 42 log 7 42=(1 + log 6 7)(1 + log 7 6)=1 + log 6 7 + log 7 6 + log 6 7 log 7 6.

Lekin log 6 7 log 7 6 = 1. Demak, hisoblagich 2 + log 6 7 + log 7 6, kasr esa 1 ga teng.

Keling, boshqa ifoda yoki logarifmning berilgan qiymatidan logarifmik ifodaning qiymatini hisoblash mashqlarini echishga o'tamiz.

1.6.D02. a) log 5 7= bo'lsa, log 70 320 ifoda qiymatini toping a, log 7 2= b.

Yechim. Keling, ifodani o'zgartiramiz. Keling, 7-bazaga o'tamiz:

Bu shartdan kelib chiqadi . Shunung uchun

Quyidagi muammo logarifmlarni o'z ichiga olgan ikkita ifodaning qiymatlarini solishtirishni talab qiladi.

1.6.C11. a) raqamlarni solishtiring

Yechim. Ikkala logarifmni ham 2-asosga keltiramiz.

Shuning uchun bu raqamlar tengdir.

Javob: bu raqamlar teng.

Dars mavzusi: Haqiqiy ko'rsatkichli daraja.

Vazifalar:
Tarbiyaviy:
daraja tushunchasini umumlashtirish;

haqiqiy darajali daraja qiymatini topish qobiliyatini mashq qilish;

ifodalarni soddalashtirishda darajalar xususiyatlaridan foydalanish qobiliyatini mustahkamlash;

darajalar xossalaridan hisob-kitoblarda foydalanish malakasini shakllantirish.

Rivojlanish:
talabaning intellektual, hissiy, shaxsiy rivojlanishi;

umumlashtirish, taqqoslash asosida tizimlashtirish va xulosalar chiqarish qobiliyatini rivojlantirish;

mustaqil faoliyatni faollashtirish;

kognitiv qiziqishni rivojlantirish.

Tarbiyaviy:
talabalarning kommunikativ va axborot madaniyatini tarbiyalash;

Estetik tarbiya vazifani doskada va daftarda oqilona va aniq tuzish qobiliyatini shakllantirish orqali amalga oshiriladi.

Talabalar bilishi kerak: haqiqiy darajali darajaning ta'rifi va xossalari.

Talabalar quyidagilarni bilishlari kerak:
darajali iboraning ma'noga ega yoki yo'qligini aniqlash;

darajalar xossalaridan hisob-kitoblarda va ifodalarni soddalashtirishda foydalanish;

darajalarni o'z ichiga olgan misollarni yeching;

solishtiring, o‘xshash va farqli tomonlarini toping.

Dars formati: seminar - seminar, tadqiqot elementlari bilan. Kompyuterni qo'llab-quvvatlash.

Ta'limni tashkil etish shakli: individual, guruh.

Dars turi: tadqiqot va amaliy ish darsi.

Darslar davomida

Tashkiliy vaqt

“Bir kuni podshoh saroy a’yonlari orasidan birinchi yordamchi tanlashga qaror qildi. U hammani ulkan qasrga yetakladi. "Kim birinchi bo'lib ochsa, birinchi yordamchi bo'ladi." Hech kim hatto qulfga tegmadi. Faqat bitta vazir kelib, ochilgan qulfni itarib yubordi. U qulflanmagan edi.
Shunda shoh dedi: "Siz bu lavozimni olasiz, chunki siz nafaqat ko'rgan va eshitganingizga tayanasiz, balki o'z kuchingizga tayanasiz va sinashdan qo'rqmaysiz."
Bugun esa to'g'ri qarorga kelishga harakat qilamiz.

1. So'zlar qaysi matematik tushuncha bilan bog'liq:

Baza
Indeks (darajali)
So'zlarni qanday so'zlar bilan birlashtirish mumkin:
Ratsional son
Butun son
Natural son
Irratsional son (haqiqiy raqam)
Dars mavzusini shakllantirish. (Haqiqiy darajali daraja)

2. Bizning strategik maqsadimiz nima? (FOYDALANISH)
Qaysi darsimizning maqsadlari?
– daraja tushunchasini umumlashtiring.

Vazifalar:

– daraja xossalarini takrorlash
– ifodalarni hisoblash va soddalashtirishda daraja xossalaridan foydalanishni ko‘rib chiqish
- hisoblash ko'nikmalarini rivojlantirish.

3. Shunday qilib, a p, bu erda p - haqiqiy son.
Misollar keltiring (5 –2, 43, iboralaridan tanlang) daraja

- tabiiy ko'rsatkich bilan
- butun son ko'rsatkichi bilan
- ratsional ko'rsatkich bilan
- irratsional ko'rsatkich bilan

4. Qanday qadriyatlarda A ifoda mantiqiydir

a, bu erda n (a - har qanday)
am, bu yerda m (a 0) manfiy ko‘rsatkichli darajadan musbat darajali darajaga qanday o‘tish mumkin?
, bu erda (a0)

5. Ushbu iboralar orasidan mantiqiy bo'lmaganlarini tanlang:
(–3) 2 , , , 0 –3 , , (–3) –1 , .
6. Hisoblash. Har bir ustunda bitta javob mavjud umumiy mulk. Iltimos, qo'shimcha javobni ko'rsating (bu xususiyatga ega bo'lmagan)

2 = =
= 6 = (boshqalari noto'g'ri) = (boshqalarni yoza olmaysiz)
= (kasr) = =

7. Darajalar bilan qanday amallarni (matematik operatsiyalarni) bajarish mumkin?

Moslik:

Bitta talaba formulalarni (xususiyatlarni) umumiy shaklda yozadi.

8. 3-bosqichdan darajalarni qo'shing, shunda darajaning xossalari olingan misolga qo'llanilishi mumkin.

(Bir kishi doskada, qolgani daftarda ishlaydi. Tekshirish, daftar almashish, ikkinchisi doskada harakatlarni bajarish)

9. Doskada (talaba ishlaydi):

Hisoblang: =

Mustaqil ravishda (varaqlarni tekshirish bilan)

Yagona davlat imtihonining "B" qismida qaysi javobni olish mumkin emas? Agar javob bo'lsa, "B" qismida bunday javobni qanday yozish kerak?

10. Vazifani mustaqil bajarish (doskada tekshirish bilan - bir necha kishi)

Ko'p tanlovli vazifa

1
2 :
3 0,3
4
11. Qisqa javobli vazifa (doskada yechim):

+ + (60)5 2 – 3–4 27 =

Yashirin taxtada chek bilan buni o'zingiz bajaring:

– – 322– 4 + (30)4 4 =

12 . Kasrni kamaytiring (taxtada):

Bu vaqtda bir kishi mustaqil ravishda kengashda qaror qabul qiladi: = (sinf tekshiruvlari)

13. Mustaqil qaror (tekshirish uchun)

“3” belgisida: Ko‘p tanlovli test:

1. Quvvatga teng ifodani belgilang

1. 2. 3. 4.
2. Mahsulotni kuch sifatida taqdim eting: – Dars uchun rahmat!

Ushbu dars "O'z ichiga kuch va ildizlarni o'z ichiga olgan iboralarning o'zgarishi" mavzusining bir qismidir.
Xulosa - bu ratsional va real ko'rsatkichli daraja xususiyatlariga oid darsning batafsil ishlab chiqilishi. Kompyuter, guruh va o'yin o'qitish texnologiyalaridan foydalaniladi.
Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:
Algebra darsining uslubiy ishlanmasi
Davlat avtonom muassasasi matematika o'qituvchisi KO ON KST
Pexova Nadejda Yurievna
Mavzu bo'yicha: "Ratsional va haqiqiy ko'rsatkichli darajalar xususiyatlari".
Dars maqsadlari:
ta'limiy: ratsional ko'rsatkichli daraja xususiyatlari va ularni mashqlarda qo'llash haqidagi bilimlarni mustahkamlash va chuqurlashtirish; ilmiy darajalarni ishlab chiqish tarixi bo'yicha bilimlarni takomillashtirish;
rivojlantiruvchi: o'z-o'zini va o'zaro nazorat qilish qobiliyatini rivojlantirish; intellektual qobiliyatlarni, fikrlash qobiliyatlarini rivojlantirish,
tarbiyalash: fanga kognitiv qiziqishni rivojlantirish, bajarilgan ish uchun mas'uliyatni oshirish, faol ijodiy ish muhitini yaratishga ko'maklashish.

Dars turi: bilim, ko'nikma va malakalarni oshirishga qaratilgan darslar.
O'tkazish usullari: og'zaki - ingl.
Pedagogik texnologiyalar: kompyuter, guruh va o'yin o'qitish texnologiyalari.
Dars jihozlari: proyeksiya uskunalari, kompyuter, dars taqdimoti, ishchilar
daftarlar, darsliklar, krossvord matni yozilgan kartalar va aks ettiruvchi test.
Dars vaqti: 1 soat 20 daqiqa.
Darsning asosiy bosqichlari:
1. Tashkiliy moment. Dars mavzusi va maqsadlarini bayon qilish.
2. Asosiy bilimlarni yangilash. Ratsional ko'rsatkich bilan daraja xossalarini takrorlash.
3. Ratsional darajali darajalar xossalari bo'yicha matematik diktant.
4. Kompyuter taqdimoti yordamida talabalarning hisobotlari.
5. Guruhlarda ishlash.
6. Krossvordni yechish.
7. Xulosa chiqarish, baholash. Reflektsiya.
8. Uyga vazifa.
Darslar davomida:
1. Org. moment. Mavzuni, dars maqsadlarini, dars rejasini aytib bering. Slaydlar 1, 2.
2. Asosiy bilimlarni yangilash.
1) Ratsional ko'rsatkich bilan daraja xususiyatlarini takrorlash: talabalar yozma xususiyatlarni davom ettirishlari kerak - frontal so'rov. Slayd 3.
2) Talabalar doskada - darslikdagi mashqlarni tahlil qilish (Alimov Sh.A.): a) 74-son, b) 77-son.
C) No 82-a;b;c.
№ 74: a) = = a ;
B) + =;
B) : = = = b .
№ 77: a) = =;
B) = = = b .
82-son: a) = = =;
B) = = y;
B) () () =.
3. O'zaro tekshirish bilan matematik diktant. Talabalar ish almashadilar, javoblarni solishtiradilar va baho qo‘yadilar.
Slaydlar 4-5
4. Ayrim talabalardan kelgan xabarlar tarixiy faktlar o'rganilayotgan mavzu bo'yicha.
6-12 slaydlar:
Birinchi talaba: 6-slayd
Tabiiy ko'rsatkichli daraja tushunchasi qadimgi xalqlarda shakllangan. Kvadrat va kubmaydonlar va hajmlarni hisoblash uchun raqamlar ishlatilgan. Ba'zi raqamlarning vakolatlari olimlar tomonidan muayyan muammolarni hal qilish uchun ishlatilgan Qadimgi Misr va Bobil.
III asrda yunon olimi Diofantning kitobi nashr etilganHarf belgilarining kiritilishi qo'yilgan "Arifmetika". Diophantus noma'lumning dastlabki olti kuchi va ularning o'zaro ta'siri uchun belgilarni kiritadi. Bu kitobda kvadrat belgisi va pastki belgisi bilan belgilanadi; masalan, kub - r indeksli k belgisi va boshqalar.
Ikkinchi talaba: 7-slayd
Qadimgi yunon olimi Pifagor daraja tushunchasining rivojlanishiga katta hissa qo'shgan. Uning butun maktabi bor edi va uning barcha shogirdlari Pifagoriyaliklar deb ataldi. Ular har bir raqamni raqam sifatida ko'rsatish mumkin degan fikrga kelishdi. Masalan, ular 4, 9 va 16 raqamlarini kvadrat shaklida ifodalagan.
Birinchi talaba: 8-9-slaydlar
Slayd 8
Slayd 9
XVI asr. Bu asrda daraja tushunchasi kengaydi: u nafaqat ma'lum bir raqamga, balki o'zgaruvchiga ham murojaat qila boshladi. Ular aytganidek, "umuman raqamlarga" ingliz matematiki S. Stevin darajani belgilash uchun yozuvni ixtiro qildi: 3(3)+5(2)–4 yozuvi shunday zamonaviy 3 belgisini bildirgan. 3 + 5 2 – 4.
Ikkinchi talaba: 10-slayd
Keyinchalik kasr va manfiy ko'rsatkichlar nemis matematigi M. Shtifelning "To'liq arifmetika" (1544) va S. Stevinda uchraydi.
S. Stevin shaklning ko'rsatkichi bilan daraja bo'yicha taklif qildi ildiz, ya'ni. .
Birinchi talaba: 11-slayd
16-asr oxirida Fransua Vietnafaqat o'zgaruvchilarni, balki ularning koeffitsientlarini ham belgilash uchun harflarni kiritdi. U qisqartmalardan foydalangan: N, Q, C - birinchi, ikkinchi va uchinchi darajalar uchun.
Ammo zamonaviy belgilar (masalan, ) 17-asrda Rene Dekart tomonidan kiritilgan.
Ikkinchi talaba: 12-slayd
Zamonaviy ta'riflarva nol, manfiy va kasr ko'rsatkichli darajalar uchun yozuvlar ingliz matematiklarining ishidan kelib chiqqan. Jon Uollis (1616-1703) va Isaak Nyuton.
5. Krossvord yechimi.
Talabalar krossvord varaqlarini olishadi. Ular juftlikda qaror qilishadi. Uni birinchi bo'lib hal qilgan juftlik belgini oladi. Slaydlar 13-15.
6. Guruhlarda ishlash. Slayd 16.
Talabalar ijro etishadi mustaqil ish, 4 kishidan iborat guruhlarda ishlash, bir-birlari bilan maslahatlashish. Keyin ish tekshirishga topshiriladi.
7. Xulosa qilish, baholash.
Reflektsiya.
Talabalar reflektiv testni bajaradilar. Agar rozi bo'lsangiz "+" belgisini, aks holda "-" belgisini qo'ying.
Reflektiv test:
1. Men juda ko'p yangi narsalarni o'rgandim.
2. Bu men uchun kelajakda foydali bo'ladi.
3. Dars davomida ko'p o'ylash kerak edi.
4. Dars davomida o‘zimni qiziqtirgan barcha savollarga javob oldim.
5. Dars davomida vijdonan ishladim va dars maqsadiga erishdim.
8. Uyga vazifa: 17-slayd.
1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)
2) Majburiy emas: o‘rganilayotgan mavzuning asosiy tushunchalari bilan krossvord yaratish.
Adabiyotlar:
Alimov Sh.A. algebra va tahlil boshlanishi 10-11 sinflar, darslik - M.: Prosveshchenie, 2010.
Algebra va tahlil boshlanishi 10-sinf. Didaktik materiallar. Ma'rifat, 2012 yil.

Internet manbalari:
Ta'lim sayti - RusCopyBook.Com - elektron darsliklar va GDZ
Veb-sayt Maktab o'quvchilari va talabalar uchun o'quv Internet resurslari. http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
Veb-sayt O'qituvchilar portali - http://www.uchportal.ru/