Excelda korrelyatsiya va regressiya tahlili: bajarish bo'yicha ko'rsatmalar. Neft konlarini o'zlashtirish natijasida qatlam va qatlam suyuqliklari xossalari o'zgarishining statistik bog'liqligini o'rganish Parabolik va polinomli regressiya.

Quyidagi ma'lumotlar mavjud turli mamlakatlar oziq-ovqat mahsulotlarining chakana narxlari indeksi (x) va sanoat ishlab chiqarishi indeksi (y) bo'yicha.

	Chakana oziq-ovqat narxlari indeksi (x)	Sanoat ishlab chiqarish indeksi (y)
1	100	70
2	105	79
3	108	85
4	113	84
5	118	85
6	118	85
7	110	96
8	115	99
9	119	100
10	118	98
11	120	99
12	124	102
13	129	105
14	132	112

Majburiy:

1. y ning x ga bog’liqligini xarakterlash uchun quyidagi funksiyalarning parametrlarini hisoblang:

A) chiziqli;

B) tinchlantiruvchi;

B) teng yonli giperbola.

3. Regressiya va korrelyatsiya parametrlarining statistik ahamiyatini baholang.

4. Oziq-ovqat mahsulotlarining chakana narxlari indeksi x=138 prognoz qiymati bilan sanoat ishlab chiqarish indeksi y qiymatining prognozini tuzing.

Yechim:

1. Chiziqli regressiya parametrlarini hisoblash uchun

Tizimni hal qilish normal tenglamalar a va b haqida:

1-jadvalda ko'rsatilganidek, hisoblangan ma'lumotlar jadvalini tuzamiz.

1-jadval Chiziqli regressiyani baholash uchun taxminiy ma'lumotlar

Yo'q.	X	da	xy	x 2	y 2
1	100	70	7000	10000	4900	74,26340	0,060906
2	105	79	8295	11025	6241	79,92527	0,011712
3	108	85	9180	11664	7225	83,32238	0,019737
4	113	84	9492	12769	7056	88,98425	0,059336
5	118	85	10030	13924	7225	94,64611	0,113484
6	118	85	10030	13924	7225	94,64611	0,113484
7	110	96	10560	12100	9216	85,58713	0,108467
8	115	99	11385	13225	9801	91,24900	0,078293
9	119	100	11900	14161	10000	95,77849	0,042215
10	118	98	11564	13924	9604	94,64611	0,034223
11	120	99	11880	14400	9801	96,91086	0,021102
12	124	102	12648	15376	10404	101,4404	0,005487
13	129	105	13545	16641	11025	107,1022	0,020021
14	132	112	14784	17424	12544	110,4993	0,013399
Jami:	1629	1299	152293	190557	122267	1299,001	0,701866
O'rtacha:	116,3571	92,78571	10878,07	13611,21	8733,357	X	X
	8,4988	11,1431	X	X	X	X	X
	72,23	124,17	X	X	X	X	X

O'rtacha qiymat quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi:

Standart og'ish quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

va natijani 1-jadvalga kiriting.

Olingan qiymatni kvadratga aylantirib, biz dispersiyani olamiz:

Tenglamaning parametrlarini formulalar yordamida ham aniqlash mumkin:

Shunday qilib, regressiya tenglamasi:

Shu sababli, oziq-ovqat chakana narxlari indeksining 1 ga oshishi bilan sanoat ishlab chiqarish indeksi o'rtacha 1,13 ga oshadi.

Keling, chiziqli juft korrelyatsiya koeffitsientini hisoblaymiz:

Ulanish to'g'ridan-to'g'ri va juda yaqin.

Determinatsiya koeffitsientini aniqlaymiz:

Natijadagi o'zgarish 74,59% ni tashkil etadi, x omilining o'zgarishi bilan izohlanadi.

X ning haqiqiy qiymatlarini regressiya tenglamasiga almashtirib, biz nazariy (hisoblangan) qiymatlarni aniqlaymiz.

shuning uchun tenglamaning parametrlari to'g'ri aniqlanadi.

Keling, o'rtacha taxminiy xatoni hisoblaylik - hisoblangan qiymatlarning haqiqiy qiymatlardan o'rtacha og'ishi:

O'rtacha hisoblangan qiymatlar haqiqiy qiymatlardan 5,01% ga og'adi.

F-testi yordamida regressiya tenglamasining sifatini baholaymiz.

F-testi regressiya tenglamasining statistik ahamiyatsizligi va munosabatlarning yaqinligi ko'rsatkichi haqidagi H 0 gipotezasini tekshirishdan iborat. Buning uchun haqiqiy F fakti va Fisher F-mezonining kritik (jadval) F jadval qiymatlari o'rtasida taqqoslash amalga oshiriladi.

F fakt quyidagi formula bilan aniqlanadi:

bu yerda n - aholi birliklari soni;

m - x o'zgaruvchilar uchun parametrlar soni.

Regressiya tenglamasining olingan baholari uni bashorat qilish uchun ishlatish imkonini beradi.

Agar chakana oziq-ovqat narxlari indeksining prognoz qiymati x = 138 bo'lsa, sanoat ishlab chiqarish indeksining prognoz qiymati quyidagicha bo'ladi:

2. Quvvat regressiyasi quyidagi shaklga ega:

Parametrlarni aniqlash uchun quvvat funktsiyasining logarifmi bajariladi:

Logarifmik funktsiyaning parametrlarini aniqlash uchun eng kichik kvadratlar usuli yordamida normal tenglamalar tizimi tuziladi:

2-jadvalda ko'rsatilganidek, hisoblangan ma'lumotlar jadvalini tuzamiz.

2-jadval Quvvat regressiyasini baholash uchun hisoblangan ma'lumotlar

Yo'q.	X	da	lg x	lg y	lg x*lg y	(jurnal x) 2	(log y) 2
1	100	70	2,000000	1,845098	3,690196	4,000000	3,404387
2	105	79	2,021189	1,897627	3,835464	4,085206	3,600989
3	108	85	2,033424	1,929419	3,923326	4,134812	3,722657
4	113	84	2,053078	1,924279	3,950696	4,215131	3,702851
5	118	85	2,071882	1,929419	3,997528	4,292695	3,722657
6	118	85	2,071882	1,929419	3,997528	4,292695	3,722657
7	110	96	2,041393	1,982271	4,046594	4,167284	3,929399
8	115	99	2,060698	1,995635	4,112401	4,246476	3,982560
9	119	100	2,075547	2,000000	4,151094	4,307895	4,000000
10	118	98	2,071882	1,991226	4,125585	4,292695	3,964981
11	120	99	2,079181	1,995635	4,149287	4,322995	3,982560
12	124	102	2,093422	2,008600	4,204847	4,382414	4,034475
13	129	105	2,110590	2,021189	4,265901	4,454589	4,085206
14	132	112	2,120574	2,049218	4,345518	4,496834	4,199295
Jami	1629	1299	28,90474	27,49904	56,79597	59,69172	54,05467
O'rtacha qiymat	116,3571	92,78571	2,064624	1,964217	4,056855	4,263694	3,861048
	8,4988	11,1431	0,031945	0,053853	X	X	X
	72,23	124,17	0,001021	0,0029	X	X	X

2-jadvalning davomi Quvvat regressiyasini baholash uchun hisoblangan ma'lumotlar

Yo'q.	X	da
1	100	70	74,16448	17,34292	0,059493	519,1886
2	105	79	79,62057	0,385112	0,007855	190,0458
3	108	85	82,95180	4,195133	0,024096	60,61728
4	113	84	88,59768	21,13866	0,054734	77,1887
5	118	85	94,35840	87,57961	0,110099	60,61728
6	118	85	94,35840	87,57961	0,110099	60,61728
7	110	96	85,19619	116,7223	0,11254	10,33166
8	115	99	90,88834	65,79901	0,081936	38,6174
9	119	100	95,52408	20,03384	0,044759	52,04598
10	118	98	94,35840	13,26127	0,037159	27,18882
11	120	99	96,69423	5,316563	0,023291	38,6174
12	124	102	101,4191	0,337467	0,005695	84,90314
13	129	105	107,4232	5,872099	0,023078	149,1889
14	132	112	111,0772	0,85163	0,00824	369,1889
Jami	1629	1299	1296,632	446,4152	0,703074	1738,357
O'rtacha qiymat	116,3571	92,78571	X	X	X	X
	8,4988	11,1431	X	X	X	X
	72,23	124,17	X	X	X	X

Normal tenglamalar sistemasini yechish orqali logarifmik funksiyaning parametrlarini aniqlaymiz.

Biz chiziqli tenglamani olamiz:

Uning potentsialini amalga oshirib, biz quyidagilarni olamiz:

X ning haqiqiy qiymatlarini ushbu tenglamaga qo'yib, biz natijaning nazariy qiymatlarini olamiz. Ularga asoslanib, biz ko'rsatkichlarni hisoblaymiz: ulanishning zichligi - korrelyatsiya indeksi va o'rtacha yaqinlashish xatosi.

Ulanish juda yaqin.

O'rtacha hisoblangan qiymatlar haqiqiy qiymatlardan 5,02% ga og'adi.

Shunday qilib, H 0 - baholangan xususiyatlarning tasodifiy tabiati haqidagi gipoteza rad etiladi va ularning statistik ahamiyati va ishonchliligi tan olinadi.

Regressiya tenglamasining olingan baholari uni bashorat qilish uchun ishlatish imkonini beradi. Agar chakana oziq-ovqat narxlari indeksining prognoz qiymati x = 138 bo'lsa, sanoat ishlab chiqarish indeksining prognoz qiymati quyidagicha bo'ladi:

Ushbu tenglamaning parametrlarini aniqlash uchun oddiy tenglamalar tizimi qo'llaniladi:

Keling, o'zgaruvchilarni o'zgartiraylik

va olamiz quyidagi tizim Oddiy tenglamalar:

Normal tenglamalar sistemasini yechish orqali giperbolaning parametrlarini aniqlaymiz.

3-jadvalda ko'rsatilganidek, hisoblangan ma'lumotlar jadvalini tuzamiz.

3-jadval Giperbolik qaramlikni baholash uchun hisoblangan ma'lumotlar

Yo'q.	X	da	z	yz
1	100	70	0,010000000	0,700000	0,0001000	4900
2	105	79	0,009523810	0,752381	0,0000907	6241
3	108	85	0,009259259	0,787037	0,0000857	7225
4	113	84	0,008849558	0,743363	0,0000783	7056
5	118	85	0,008474576	0,720339	0,0000718	7225
6	118	85	0,008474576	0,720339	0,0000718	7225
7	110	96	0,009090909	0,872727	0,0000826	9216
8	115	99	0,008695652	0,860870	0,0000756	9801
9	119	100	0,008403361	0,840336	0,0000706	10000
10	118	98	0,008474576	0,830508	0,0000718	9604
11	120	99	0,008333333	0,825000	0,0000694	9801
12	124	102	0,008064516	0,822581	0,0000650	10404
13	129	105	0,007751938	0,813953	0,0000601	11025
14	132	112	0,007575758	0,848485	0,0000574	12544
Jami:	1629	1299	0,120971823	11,13792	0,0010510	122267
O'rtacha:	116,3571	92,78571	0,008640844	0,795566	0,0000751	8733,357
	8,4988	11,1431	0,000640820	X	X	X
	72,23	124,17	0,000000411	X	X	X

3-jadvalning davomi Giperbolik qaramlikni baholash uchun hisoblangan ma'lumotlar

Bir faktorli regressiyaning yana bir turi bu shakldagi kuch polinomlari bilan yaqinlashishdir:

O'zimizni ikkinchi darajali kuch polinomlari bilan cheklab, eng oddiy bog'liqlikni olishni xohlash tabiiydir, ya'ni. parabolik bog'liqlik:
(5.5.2)

Koeffitsientlarga nisbatan qisman hosilalarni hisoblaymiz b 0 , b 1 Va b 2 :

(5.5.3)

Hosilalarni nolga tenglashtirib, biz oddiy tenglamalar tizimini olamiz:

(5.5.4)

Qiymatlarning aniq holati uchun normal tenglamalar tizimini (5.5.2) yechish x i * , y i * ;
olamiz optimal qiymatlar b 0 , b 1 Va b 2 . Bog'liqlik (5.5.2) va undan ham ko'proq (5.5.1) bo'yicha yaqinlashish uchun koeffitsientlarni hisoblash uchun oddiy formulalar olinmagan va ular, qoida tariqasida, matritsa ko'rinishidagi standart protseduralar yordamida hisoblanadi:

(5.5.5)

5.5.1-rasmda parabolik bog'liqlik bilan yaqinlashishning odatiy misoli ko'rsatilgan:

9 (5;9)

(1;1)

1

1 2 3 4 5 x

5.5.1-rasm. Tajriba nuqtalarining koordinatalari va taxminiy

ularning parabolik bog'liqligi

5.1-misol. 5.1.1-jadvalda keltirilgan eksperimental natijalarni chiziqli regressiya tenglamasi bilan taxmin qiling.
.

5.1.1-jadval

5.1.1-rasmda keltirilgan grafik bo'yicha 5.1.1-jadvalda ko'rsatilgan koordinatalar bo'yicha tajriba nuqtalarini quramiz.

da

9

4

1 2 3 4 5 x

5.1.1-rasmga ko'ra, biz dastlabki baholash uchun to'g'ri chiziq chizamiz, biz eksperimental nuqtalarning joylashuvida aniq ifodalangan nochiziqlik mavjud degan xulosaga kelamiz, ammo bu juda muhim emas va shuning uchun u mantiqiydir. ularni chiziqli bog'liqlik bilan yaqinlashtirish. E'tibor bering, to'g'ri matematik xulosani olish uchun usul yordamida to'g'ri chiziq qurish kerak eng kichik kvadratlar.

Regressiya tahlilini o'tkazishdan oldin, hisoblash tavsiya etiladi

o'zgaruvchilar orasidagi chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti X Va da:

Korrelyatsiya munosabatining ahamiyati quyidagi formula yordamida hisoblangan chiziqli korrelyatsiya koeffitsientining kritik qiymati bilan aniqlanadi:

Talaba testining tanqidiy qiymati t Krit tavsiya etilgan ahamiyatlilik darajasi uchun statistik jadvallar bo'yicha topilgan a=0,05 va uchun n-2 erkinlik darajalari. Hisoblangan qiymat bo'lsa r xy kritik qiymatdan kam emas r Krit, keyin o'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya x Va y muhim deb hisoblanadi. Keling, hisob-kitoblarni bajaramiz:

Shu sababli
o'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya degan xulosaga kelamiz X Va da muhim va u chiziqli bo'lishi mumkin.

Regressiya tenglamasining koeffitsientlarini hisoblaymiz:

Shunday qilib, biz chiziqli regressiya tenglamasini oldik:

Regressiya tenglamasidan foydalanib, 5.1.2-rasmda to'g'ri chiziq chizamiz.

y (5;9,8)

9

4

(0;-0.2) 1 2 3 4 5 x

5.1.2-rasm. Tajriba nuqtalarining koordinatalari va taxminiy

ularning chiziqli bog'liqligi

Regressiya tenglamasidan foydalanib, biz 5.1.1-jadvalning eksperimental nuqtalari va 5.1.2-jadvalda keltirilgan funktsiyaning eksperimental va hisoblangan qiymatlari o'rtasidagi farq asosida funktsiya qiymatlarini hisoblaymiz.

5.1.2-jadval

O'rtacha kvadrat xato va uning o'rtacha qiymatga nisbatini hisoblaymiz:

Standart xatoning o'rtacha qiymatga nisbati bo'yicha tavsiya etilgan qiymatdan 0,05 oshib ketganligi sababli qoniqarsiz natijaga erishildi.

Regressiya tenglamasi koeffitsientlarining ahamiyatlilik darajasini Student t-testidan foydalanib baholaymiz:

Statistik jadvaldan 3 daraja erkinlik, keling, muhimlik darajasi bilan chiziqlarni yozamiz - va Talaba mezonining qiymati – t 5.1.3-jadvalga.

5.1.3-jadval

Regressiya tenglama koeffitsientlarining ahamiyatlilik darajasi:

E'tibor bering, koeffitsient uchun muhimlik darajasiga ko'ra qoniqarli natijaga erishildi va koeffitsient uchun qoniqarsiz.

Olingan regressiya tenglamasining sifatini dispersiya tahlili asosida hisoblangan ko‘rsatkichlar yordamida baholaymiz:

Imtihon:

Tekshirish natijasi ijobiy bo'lib, bu bajarilgan hisob-kitoblarning to'g'riligini ko'rsatadi.

Fisher mezonini hisoblab chiqamiz:

ikki darajadagi erkinlik bilan:

Statistik jadvallardan foydalanib, biz muhimlik darajasining tavsiya etilgan ikkita gradatsiyasi uchun Fisher mezonining kritik qiymatlarini topamiz:

Fisher testining hisoblangan qiymati 0,01 ahamiyatlilik darajasi uchun kritik qiymatdan oshib ketganligi sababli, biz Fisher testi bo'yicha muhimlik darajasi 0,01 dan kam deb hisoblaymiz, bu qoniqarli deb hisoblanadi.

Ko'p determinatsiya koeffitsientini hisoblaymiz:

ikki darajadagi erkinlik uchun

Tavsiya etilgan 0,05 ahamiyatlilik darajasi va topilgan ikki erkinlik darajasi uchun statistik jadvaldan foydalanib, biz ko'p martalik aniqlash koeffitsientining kritik qiymatini topamiz:

Ko'p aniqlash koeffitsientining hisoblangan qiymati muhimlik darajasi uchun kritik qiymatdan oshib ketganligi sababli
, keyin ko'p determinatsiya koeffitsientiga ko'ra ahamiyatlilik darajasi
va taqdim etilgan ko‘rsatkich bo‘yicha olingan natija qoniqarli deb hisoblanadi.

Shunday qilib, standart xatoning o'rtacha qiymatga nisbati va Talaba testi bo'yicha muhimlik darajasi bo'yicha olingan hisoblangan parametrlar qoniqarsiz, shuning uchun yaqinlashish uchun boshqa yaqinlashuvchi bog'liqlikni tanlash tavsiya etiladi.

5.2-misol. Tasodifiy sonlarning eksperimental taqsimotini matematik bog'liqlik bilan yaqinlashtirish

5.1.1-jadvalda keltirilgan tasodifiy sonlarning eksperimental taqsimoti, chiziqli bog'liqlik bilan yaqinlashganda, qoniqarli natijaga olib kelmadi, shu jumladan. Erkin muddat bilan regressiya tenglamasi koeffitsientining ahamiyatsizligi sababli, yaqinlashuv sifatini yaxshilash uchun biz uni chiziqli bog'liqlik yordamida erkin muddatsiz bajarishga harakat qilamiz:

Regressiya tenglamasi koeffitsientining qiymatini hisoblaymiz:

Shunday qilib, biz regressiya tenglamasini oldik:

Olingan regressiya tenglamasidan foydalanib, biz funktsiyaning qiymatlarini va 5.2.1-jadval ko'rinishida taqdim etilgan funktsiyaning eksperimental va hisoblangan qiymatlari o'rtasidagi farqni hisoblaymiz.

5.2.1-jadval

x i

Regressiya tenglamasiga ko'ra
5.2.1-rasmda biz to'g'ri chiziq chizamiz.

y (5;9.73 )

(0;0) 1 2 3 4 5 x

5.2.1-rasm. Tajriba nuqtalarining koordinatalari va taxminiy

ularning chiziqli bog'liqligi

Taxminan sifatini baholash uchun biz 5.1-misolda keltirilgan hisob-kitoblarga o'xshash sifat ko'rsatkichlarini hisob-kitoblarni amalga oshiramiz.

(eski qoladi);

4 daraja erkinlik bilan;

uchun

Yaqinlashtirish natijalariga ko'ra, regressiya tenglamasi koeffitsientining ahamiyatlilik darajasi nuqtai nazaridan qoniqarli natijaga erishilganligini ta'kidlaymiz; Standart xatoning o'rtachaga nisbati yaxshilandi, lekin hali ham tavsiya etilgan qiymatdan 0,05 dan yuqori, shuning uchun murakkabroq matematik munosabat bilan yaqinlashishni takrorlash tavsiya etiladi.

5.3-misol. 5.1 va 5.2 misollarni yaqinlashish sifatini yaxshilash uchun biz qaramlik bo'yicha chiziqli bo'lmagan yaqinlashuvni amalga oshiramiz.
. Buning uchun avvalo oraliq hisob-kitoblarni olib boramiz va ularning natijalarini 5.3.1-jadvalga joylashtiramiz.

Qadriyatlar

5.3.1-jadval

X 2
(lnX) 2
lnX lnY

Keling, qo'shimcha hisoblaylik:

Keling, qaramlikni taxmin qilaylik
. (5.3.7), (5.3.8) formulalar yordamida koeffitsientlarni hisoblaymiz b 0 Va b 1 :

Formulalar (5.3.11) yordamida biz koeffitsientlarni hisoblaymiz A 0 Va A 1 :

Standart xatolikni hisoblash uchun 5.3.2-jadvalda keltirilgan oraliq hisob-kitoblar amalga oshirildi.

5.3.2-jadval

Y i	y i

Miqdori: 7.5968

Taxminan standart xato oldingi ikkita misolga qaraganda ancha katta bo'lib chiqdi, shuning uchun biz yaqinlashish natijalarini yaroqsiz deb hisoblaymiz.

5.4-misol. Keling, boshqa nochiziqli bog'liqlik bilan yaqinlashishga harakat qilaylik
. 5.3.1-jadvalga muvofiq (5.3.9), (5.3.10) formulalar yordamida koeffitsientlarni hisoblaymiz. b 0 Va b 1 :

Bizda oraliq qaramlik bor:

Formulalar (5.3.13) yordamida biz koeffitsientlarni hisoblaymiz C 0 Va C 1 :

Biz yakuniy qaramlikni oldik:

Standart xatoni hisoblash uchun biz oraliq hisob-kitoblarni amalga oshiramiz va ularni 5.4.1-jadvalga joylashtiramiz.

5.4.1-jadval

Y i	y i

Miqdori: 21.83152

Standart xatoni hisoblaymiz:

Taxminan standart xato oldingi misolga qaraganda ancha katta bo'lib chiqdi, shuning uchun biz yaqinlashish natijalarini yaroqsiz deb hisoblaymiz.

5.5-misol. Tasodifiy sonlarning eksperimental taqsimotini matematik bog'liqlik bilan yaqinlashtirish y = b · lnx

Dastlabki ma'lumotlar, oldingi misollarda bo'lgani kabi, 5.4.1-jadvalda va 5.4.1-rasmda ko'rsatilgan.

5.4.1-jadval

5.4.1-rasm va 5.4.1-jadval tahliliga asoslanib, argumentning kichikroq qiymatlari bilan (jadval boshida) funktsiya kattaroq qiymatlarga (oxirida) qaraganda ko'proq o'zgarishini ta'kidlaymiz. Jadval), shuning uchun argumentning masshtabini o'zgartirish va undan regressiya tenglamasiga logarifmik funktsiyani kiritish va quyidagi matematik bog'liqlik bilan taxmin qilish tavsiya etiladi:

. (5.4.3) formuladan foydalanib, biz koeffitsientni hisoblaymiz b:

Taxminan sifatni baholash uchun biz 5.4.2-jadvalda keltirilgan oraliq hisob-kitoblarni amalga oshiramiz, undan xatoning kattaligini va standart xatoning o'rtacha qiymatga nisbatini hisoblaymiz.

5.4.2-jadval

Standart xatoning o'rtacha qiymatga nisbati tavsiya etilgan qiymatdan 0,05 oshib ketganligi sababli, natija qoniqarsiz deb hisoblanadi. Xususan, biz eng katta og'ish qiymat bilan berilganligini ta'kidlaymiz x=1, chunki bu qiymat bilan lnx=0. Shuning uchun biz qaramlikni taxmin qilamiz y = b 0 +b 1 lnx

Biz yordamchi hisob-kitoblarni 5.4.3-jadval shaklida taqdim etamiz.

5.4.3-jadval

(5.4.6) va (5.4.7) formulalar yordamida koeffitsientlarni hisoblaymiz b 0 va b 1 :

9 (5;9.12)

4

1 (1;0.93)

1 2 3 4 5 x

Taxminan sifatni baholash uchun biz yordamchi hisob-kitoblarni amalga oshiramiz va topilgan koeffitsientlarning ahamiyatlilik darajasini va standart xatoning o'rtacha qiymatga nisbatini aniqlaymiz.

Muhimlik darajasi tavsiya etilgan qiymatdan biroz yuqoriroq (0,05)
).

Asosiy ko'rsatkich bo'yicha - standart xatoning o'rtacha qiymatga nisbati - tavsiya etilgan 0,05 darajasidan deyarli ikki baravar oshib ketganligi sababli, biz natijalarni maqbul deb hisoblaymiz. Talaba testining hisoblangan qiymatini unutmang t b 0 =2,922 tanqidiydan farq qiladi
nisbatan kichik miqdorda.

5.6-misol. 5.1-misolning eksperimental ma'lumotlarini giperbolik bog'liqlik bilan yaqinlashtiramiz
. Koeffitsientlarni hisoblash uchun b 0 va b 1 5.6.1-jadvalda keltirilgan dastlabki hisob-kitoblarni bajaramiz.

5.6.1-jadval

X i	x i =1/X i		x i 2	x i y i

(5.4.8) va (5.4.9) formulalar yordamida 5.6.1-jadval natijalari asosida koeffitsientlarni hisoblaymiz. b 0 va b 1 :

Shunday qilib, giperbolik regressiya tenglamasi olinadi

.

Yaqinlashtirish sifatini baholash uchun yordamchi hisoblar natijalari 5.6.2-jadvalda keltirilgan.

5.6.2-jadval

X i

5.6.2-jadval natijalari asosida standart xato va standart xatoning o'rtacha qiymatga nisbatini hisoblaymiz:

Standart xatoning o'rtacha qiymatga nisbati tavsiya etilgan qiymatdan 0,05 oshib ketganligi sababli, biz taxminiy natijalar mos emas degan xulosaga kelamiz.

5.7-misol.

Xizmat ko'rsatish vaqtiga qarab jibli kranlarning ishlashidan olingan daromadning aniq qiymatlarini hisoblash uchun parabolik bog'liqlikni olish kerak.

Keling, ushbu bog'liqlikning koeffitsientlarini hisoblaylik b 0 , b 1 , b 11 formula bo'yicha matritsa shaklida:

Samarali ko'rsatkichni minora kranlariga profilaktik xizmat ko'rsatish uchun optimal qiymatlar bilan bog'laydigan chiziqli bo'lmagan regressiya tenglamalari Statistica 6.0 dastur paketining ko'p regressiya protsedurasi yordamida olingan. Keyinchalik, 5.7.1-jadvalga muvofiq samarali samaradorlik ko'rsatkichi bo'yicha regressiya tahlili natijalarini taqdim etamiz.

5.7.1-jadval

5.7.2-jadvalda samarali ishlash ko'rsatkichi bo'yicha chiziqli bo'lmagan regressiya natijalari va 5.7.3-jadvalda qoldiqlar tahlili natijalari ko'rsatilgan.

5.7.2-jadval

5.7.3-jadval

Guruch. 3.7.36. Qoldiq tahlili.

Shunday qilib, biz o'zgaruvchi uchun ko'p regressiya tenglamasini oldik
:

Standart xatolik nisbati:

14780/1017890=0,0145 < 0,05.

Standart xatoning o'rtacha qiymatga nisbati tavsiya etilgan qiymatdan 0,05 oshmaganligi sababli, yaqinlashish natijalarini maqbul deb hisoblash mumkin. 5.7.2-jadvalga muvofiq kamchilik sifatida shuni ta'kidlash kerakki, barcha hisoblangan koeffitsientlar tavsiya etilgan 0,05 ahamiyatlilik darajasidan oshadi.

Ko'rinishdagi regressiya tenglamasini qurishni ko'rib chiqamiz.

Parabolik regressiya koeffitsientlarini topish uchun normal tenglamalar tizimini tuzish oddiy chiziqli regressiya tenglamalarini tuzish kabi amalga oshiriladi.

O'zgarishlardan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

.

Normal tenglamalar sistemasini yechish orqali regressiya tenglamasining koeffitsientlari olinadi.

,

Qayerda , A .

Ikkinchi darajali tenglama, agar chiziqli regressiya dispersiyasiga nisbatan dispersiyaning pasayishi sezilarli (tasodifiy bo'lmagan) bo'lsa, eksperimental ma'lumotlarni birinchi darajali tenglamaga qaraganda ancha yaxshi tavsiflaydi. O'rtasidagi farqning ahamiyati va Fisher mezoni bilan baholanadi:

bu erda raqam ma'lumotnoma statistik jadvallaridan (1-ilova) erkinlik darajalari va tanlangan muhimlik darajasi bo'yicha olinadi.

Hisoblash ishlarini bajarish tartibi:

1. O'zingiz bilan tanishing nazariy material, ko'rsatmalarda yoki qo'shimcha adabiyotlarda ko'rsatilgan.

2. Koeffitsientlarni hisoblang chiziqli tenglama regressiya. Buning uchun siz miqdorlarni hisoblashingiz kerak. Miqdorlarni darhol qulay tarzda hisoblang , bu parabolik tenglamaning koeffitsientlarini hisoblash uchun foydalidir.

3. Tenglama yordamida chiqish parametrining hisoblangan qiymatlarini hisoblang.

4. Umumiy va qoldiq dispersiyani, , shuningdek, Fisher mezonini hisoblang.

Qayerda – matritsa, uning elementlari normal tenglamalar tizimining koeffitsientlari;

– elementlari noma’lum koeffitsientlar bo‘lgan vektor;

– tenglamalar sistemasining o‘ng tomonlari matritsasi.

7. Tenglama yordamida chiqish parametrining hisoblangan qiymatlarini hisoblang .

8. Qoldiq dispersiyani, shuningdek, Fisher kriteriyasini hisoblang.

9. Xulosa chiqaring.

10. Regressiya tenglamalari va dastlabki ma’lumotlarning grafiklarini tuzing.

11. Hisob-kitob ishlarini yakunlash.

Hisoblash misoli.

Suv bug'ining zichligining haroratga bog'liqligi bo'yicha eksperimental ma'lumotlardan foydalanib, va ko'rinishdagi regressiya tenglamalarini oling. Statistik tahlilni o'tkazing va eng yaxshi empirik munosabatlar haqida xulosa chiqaring.

	0,0512	0,0687	0,081	0,1546	0,2516	0,3943	0,5977	0,8795

Eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlash ish bo'yicha tavsiyalarga muvofiq amalga oshirildi. Chiziqli tenglamaning parametrlarini aniqlash uchun hisob-kitoblar 1-jadvalda keltirilgan.

1-jadval - shaklning chiziqli bog'liqligi parametrlarini topish
To'yinganlik chizig'idagi suv bug'ining zichligi
№	t i,°C	, ohm	t i 2		hisob.
		0,0512		2,05	-0,0403	-0,0915	0,0084	0,0669
		0,0687		3,16	0,0248	-0,0439	0,0019	0,0582
		0,0811		4,22	0,0899	0,0089	0,0001	0,0523
		0,1546		9,9	0,2202	0,06565	0,0043	0,0241
		0,2516		19,12	0,3505	0,09894	0,0098	0,0034
		0,3943		34,70	0,4808	0,08654	0,0075	0,0071
		0,5977		59,77	0,6111	0,01344	0,0002	0,0829
		0,8795		98,50	0,7414	-0,13807	0,0191	0,3245
so'm		2,4786		231,41			0,0512	0,6194
o'rtacha	72,25	0,3098	5822,5	28,93
b 0 =	-0,4747					D 1 ost 2 =	0,0085
b 1 =	0,0109					Dy 2 =	0,0885
						F=	10,368
F T =3,87 F>F T modeli etarli

.

Parabolik regressiya parametrlarini aniqlash uchun birinchi navbatda normal tenglamalar sistemasining koeffitsient matritsasi va o'ng tomonlari matritsasi elementlari aniqlandi. Keyin MathCad muhitida koeffitsientlar hisoblab chiqildi:

Hisoblash ma'lumotlari 2-jadvalda keltirilgan.

2-jadvaldagi belgilar:

.

Xulosa

Parabolik tenglama bug 'zichligining haroratga bog'liqligi bo'yicha eksperimental ma'lumotlarni ancha yaxshi tasvirlaydi, chunki Fisher mezonining hisoblangan qiymati 4.39 jadval qiymatidan sezilarli darajada oshadi. Shuning uchun polinom tenglamaga kvadratik terminni kiritish mantiqiy.

Olingan natijalar grafik shaklda keltirilgan (3-rasm).

3-rasm - Hisoblash natijalarining grafik talqini.

Nuqta chiziq chiziqli regressiya tenglamasi; qattiq chiziq - parabolik regressiya, grafikdagi nuqtalar - eksperimental qiymatlar.

Jadval 2. – Bog’liqlik turi parametrlarini topish y(t)=a 0 +a 1 ∙x+a 2 ∙x 2	To'yinganlik chizig'idagi suv bug'ining zichligi r= a 0 +a 1 ∙t+a 2 ∙t 2	(ρ i-rav) 2	0,0669	0,0582	0,0523	0,0241	0,0034	0,0071	0,0829	0,03245	0,6194
(Dr) 2	0,0001	0,0000	0,0000	0,0002	0,0000	0,0002	0,0002	0,0002	0,0010		0,0085	0,0002	0,0885	42,5
∆ρ i=ρ( t i) hisob-r i	0,01194	–0,00446	–0,00377	–0,01524	–0,00235	0,01270	0,011489	–0,01348			D 1 2 dam =	D 2 2 dam =	D 1 2 y=	F=
ρ( t i) hisob.	0,0631	0,0642	0,0773	0,1394-	0,2493	0,4070	0,6126	0,8660	2,4788
t i 2r i	81,84	145,33	219,21	633,24	1453,2	3053,4	5977,00	11032,45	22595,77
t i 4
t i 3
t iρ i	2,05	3,16	4,22	9,89	19,12	34,70	59,77	98,50	231,41
t i 2
r, ohm	0,0512	0,0687	0,0811	0,1546	0,2516	0,3943	0,5977	0,8795	2,4786	0,3098
t i,°C											0,36129	–0,0141	1.6613E-04
№	1	2	3	4	5	6	7	8	so'm	o'rtacha	a 0 =	a 1 =	a 2 =

1-ilova

Fisher tarqatish jadvali q = 0,05

f 2										-
f 1
	161,40	199,50	215,70	224,60	230,20	234,00	238,90	243,90	249,00	254,30
	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,41	19,45	19,50
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,76	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,24	3,07	2,90	2,71
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	2,95	2,79	2,61	2,40
	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,77	2,60	2,42	2,21
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,48	2,29	2,07
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,82	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,55	2,38	2,19	1,96
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1,88
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1,81
	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,40	2,23	2,03	1,78
	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,38	2,20	2,00	1,76
	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,30	2,13	1,93	1,67
	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,28	2,10	1,90	1,64
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2,00	1,79	1,52
	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,10	1,92	1,70	1,39
	3,92	3,07	2,68	2,45	2,29	2,17	2,02	1,88	1,61	1,25

Regressiya va korrelyatsiya tahlili statistik tadqiqot usullari hisoblanadi. Bu parametrning bir yoki bir nechta mustaqil o'zgaruvchilarga bog'liqligini ko'rsatishning eng keng tarqalgan usullari.

Quyida, aniq amaliy misollardan foydalangan holda, iqtisodchilar orasida juda mashhur bo'lgan ushbu ikkita tahlilni ko'rib chiqamiz. Ularni birlashtirganda natijalarni olish misolini ham keltiramiz.

Excelda regressiya tahlili

Ba'zi qiymatlarning (mustaqil, mustaqil) qaram o'zgaruvchiga ta'sirini ko'rsatadi. Masalan, iqtisodiy faol aholi soni korxonalar soni, ish haqi va boshqa parametrlarga qanday bog'liq. Yoki: xorijiy investitsiyalar, energiya narxlari va boshqalar YaIM darajasiga qanday ta'sir qiladi.

Tahlil natijasi ustuvorliklarni ajratib ko'rsatish imkonini beradi. Va asosiy omillarga asoslanib, ustuvor yo'nalishlarni rivojlantirishni bashorat qilish, rejalashtirish va boshqaruv qarorlarini qabul qilish.

Regressiya sodir bo'ladi:

• chiziqli (y = a + bx);
• parabolik (y = a + bx + cx 2);
• eksponensial (y = a * exp(bx));
• quvvat (y = a*x^b);
• giperbolik (y = b/x + a);
• logarifmik (y = b * 1n(x) + a);
• eksponentsial (y = a * b^x).

Keling, Excelda regressiya modelini yaratish va natijalarni sharhlash misolini ko'rib chiqaylik. Regressiyaning chiziqli turini olaylik.

Vazifa. 6 ta korxonada o‘rtacha oylik ish haqi va ishdan bo‘shatilgan xodimlar soni tahlil qilindi. Ishdan bo'shatilgan xodimlar sonining o'rtacha ish haqiga bog'liqligini aniqlash kerak.

Chiziqli regressiya modeli quyidagicha ko'rinadi:

Y = a 0 + a 1 x 1 +…+a k x k.

Bu erda a regressiya koeffitsientlari, x - ta'sir qiluvchi o'zgaruvchilar, k - omillar soni.

Bizning misolimizda Y - xodimlarni ishdan bo'shatish ko'rsatkichi. Ta'sir etuvchi omil - bu ish haqi (x).

Excelda chiziqli regressiya modelining parametrlarini hisoblashda yordam beradigan o'rnatilgan funktsiyalar mavjud. Ammo "Tahlil paketi" qo'shimchasi buni tezroq bajaradi.

Biz kuchli tahliliy vositani faollashtiramiz:

Faollashtirilgandan so'ng, plagin Ma'lumotlar ko'rinishida mavjud bo'ladi.

Endi regressiya tahlilining o'zini bajaramiz.

Avvalo, biz R-kvadrat va koeffitsientlarga e'tibor beramiz.

R-kvadrat - determinatsiya koeffitsienti. Bizning misolimizda - 0,755 yoki 75,5%. Bu shuni anglatadiki, modelning hisoblangan parametrlari o'rganilayotgan parametrlar orasidagi bog'liqlikning 75,5% ni tushuntiradi. Determinatsiya koeffitsienti qanchalik yuqori bo'lsa, model shunchalik yaxshi bo'ladi. Yaxshi - 0,8 dan yuqori. Yomon - 0,5 dan kam (bunday tahlilni oqilona deb hisoblash qiyin). Bizning misolimizda - "yomon emas".

64.1428 koeffitsienti ko'rib chiqilayotgan modeldagi barcha o'zgaruvchilar 0 ga teng bo'lsa, Y qanday bo'lishini ko'rsatadi. Ya'ni tahlil qilinayotgan parametr qiymatiga modelda tavsiflanmagan boshqa omillar ham ta'sir qiladi.

-0,16285 koeffitsienti X o'zgaruvchisining Y bo'yicha og'irligini ko'rsatadi. Ya'ni, ushbu model doirasidagi o'rtacha oylik ish haqi -0,16285 og'irlikdagi ishdan bo'shaganlar soniga ta'sir qiladi (bu ta'sirning kichik darajasi). "-" belgisi salbiy ta'sirni ko'rsatadi: ish haqi qancha ko'p bo'lsa, shunchalik kam odam chiqib ketadi. Qaysi adolatli.



Excelda korrelyatsiya tahlili

Korrelyatsiya tahlili bir yoki ikkita namunadagi ko'rsatkichlar o'rtasida bog'liqlik mavjudligini aniqlashga yordam beradi. Masalan, mashinaning ishlash muddati va ta'mirlash xarajatlari, uskunaning narxi va ishlash muddati, bolalarning bo'yi va vazni va boshqalar.

Agar bog'lanish mavjud bo'lsa, unda bir parametrning o'sishi ikkinchisining o'sishiga (ijobiy korrelyatsiya) yoki pasayishiga (salbiy) olib keladi. Korrelyatsiya tahlili tahlilchiga bir ko'rsatkichning qiymati boshqasining mumkin bo'lgan qiymatini bashorat qilish uchun ishlatilishi mumkinligini aniqlashga yordam beradi.

Korrelyatsiya koeffitsienti r bilan belgilanadi. +1 dan -1 gacha o'zgaradi. Turli sohalar uchun korrelyatsiyalarning tasnifi har xil bo'ladi. Koeffitsient 0 bo'lsa, namunalar o'rtasida chiziqli bog'liqlik bo'lmaydi.

Keling, Excel yordamida korrelyatsiya koeffitsientini qanday topishni ko'rib chiqaylik.

Juftlangan koeffitsientlarni topish uchun CORREL funksiyasidan foydalaniladi.

Maqsad: tokarlik stanogining ish vaqti va unga texnik xizmat ko'rsatish xarajatlari o'rtasida bog'liqlik mavjudligini aniqlash.

Kursorni istalgan katakka qo'ying va fx tugmasini bosing.

1. “Statistika” toifasida CORREL funksiyasini tanlang.
2. Argument "1-massiv" - qiymatlarning birinchi diapazoni - mashinaning ishlash vaqti: A2: A14.
3. Argument "2-massiv" - qiymatlarning ikkinchi diapazoni - ta'mirlash narxi: B2: B14. OK tugmasini bosing.

Ulanish turini aniqlash uchun siz koeffitsientning mutlaq soniga qarashingiz kerak (har bir faoliyat sohasi o'z shkalasiga ega).

uchun korrelyatsiya tahlili bir nechta parametrlar (2 dan ortiq), "Ma'lumotlarni tahlil qilish" ("Tahlil paketi" qo'shimchasi) dan foydalanish qulayroqdir. Siz ro'yxatdan korrelyatsiyani tanlashingiz va massivni belgilashingiz kerak. Hammasi.

Olingan koeffitsientlar korrelyatsiya matritsasida ko'rsatiladi. Shunga o'xshash:

Korrelyatsiya va regressiya tahlili

Amalda, bu ikki usul ko'pincha birgalikda qo'llaniladi.

Misol:

Endi regressiya tahlili ma'lumotlari paydo bo'ldi.

Keling, ikkita o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabatlarning juft chiziqli regressiya modelini ko'rib chiqaylik, ular uchun regressiya funktsiyasi mavjud. ph(x) chiziqli. bilan belgilaymiz y x xarakteristikaning shartli o'rtacha qiymati Y V aholi belgilangan qiymatda x o'zgaruvchan X. Keyin regressiya tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

y x = bolta + b, Qayerda a–regressiya koeffitsienti(chiziqli regressiya chizig'ining qiyaligi ko'rsatkichi) . Regressiya koeffitsienti o'zgaruvchining o'rtacha necha birlik o'zgarishini ko'rsatadi Y o'zgaruvchini o'zgartirganda X bir birlik uchun. Eng kichik kvadratlar usulidan foydalanib, chiziqli regressiya parametrlarini hisoblash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulalar olinadi:

Jadval 1. Chiziqli regressiya parametrlarini hisoblash formulalari

Bepul a'zo b	Regressiya koeffitsienti a	Aniqlash koeffitsienti
Regressiya tenglamasining ahamiyati haqidagi gipotezani tekshirish
N 0 :	N 1 :
, ,, 7-ilova (chiziqli regressiya uchun p = 1)

O'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarning yo'nalishi regressiya koeffitsienti belgisi asosida aniqlanadi. Agar regressiya koeffitsientining belgisi ijobiy bo'lsa, qaram o'zgaruvchi va mustaqil o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabat ijobiy bo'ladi. Agar regressiya koeffitsientining belgisi manfiy bo'lsa, qaram o'zgaruvchi bilan mustaqil o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabat manfiy (teskari) bo'ladi.

Regressiya tenglamasining umumiy sifatini tahlil qilish uchun determinatsiya koeffitsienti qo'llaniladi R 2 , shuningdek, ko'p korrelyatsiya koeffitsienti kvadrati deb ataladi. Determinatsiya koeffitsienti (aniqlik o'lchovi) har doim intervalda bo'ladi. Qiymat bo'lsa R 2 birlikka yaqin bo'lsa, bu tuzilgan model mos keladigan o'zgaruvchilardagi deyarli barcha o'zgaruvchanlikni tushuntiradi. Aksincha, ma'no R 2 nolga yaqin, qurilgan modelning sifatsizligini bildiradi.

Aniqlash koeffitsienti R 2 topilgan regressiya funksiyasi dastlabki qiymatlar orasidagi bog‘lanishni necha foiz bilan tavsiflashini ko‘rsatadi Y Va X. Shaklda. 3-rasmda regressiya modeli bilan izohlangan o'zgarish va umumiy o'zgarish ko'rsatilgan. Shunga ko'ra, qiymat parametrning o'zgarishining necha foizini ko'rsatadi Y regressiya modeliga kiritilmagan omillar tufayli.

Aniqlanish koeffitsientining yuqori qiymati 75% bo'lsa, dastlabki ma'lumotlar oralig'ida ma'lum bir qiymat uchun prognoz qilish mumkin. Dastlabki ma'lumotlar doirasidan tashqaridagi qiymatlarni bashorat qilishda, natijada olingan modelning haqiqiyligiga kafolat berilmaydi. Bu model hisobga olinmagan yangi omillarning ta'siri paydo bo'lishi mumkinligi bilan izohlanadi.

Regressiya tenglamasining ahamiyati Fisher mezoni yordamida baholanadi (1-jadvalga qarang). Agar nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, mezon erkinlik darajalari soni bilan Fisher taqsimotiga ega bo'ladi. , (juftlangan chiziqli regressiya uchun p = 1). Agar nol gipoteza rad etilsa, regressiya tenglamasi statistik jihatdan ahamiyatli hisoblanadi. Agar nol gipoteza rad etilmasa, regressiya tenglamasi statistik jihatdan ahamiyatsiz yoki ishonchsiz deb hisoblanadi.

1-misol. Mashina sexida mahsulot tannarxining tarkibi va sotib olingan butlovchi qismlar ulushi tahlil qilinadi. Ta'kidlanganidek, butlovchi qismlarning narxi ularni yetkazib berish vaqtiga bog'liq. Yetkazib berish muddatiga ta'sir qiluvchi eng muhim omil sifatida bosib o'tilgan masofa tanlangan. Ta'minot ma'lumotlarining regressiya tahlilini o'tkazish:

Masofa, milya
Vaqt, min

Regressiya tahlilini o'tkazish uchun:

dastlabki ma'lumotlarning grafigini qurish, taxminan bog'liqlik xususiyatini aniqlash;

regressiya funksiyasining turini tanlash va eng kichik kvadratlar usuli yordamida modelning sonli koeffitsientlarini va munosabat yo‘nalishini aniqlash;

determinatsiya koeffitsienti yordamida regressiyaga bog'liqlik kuchini baholash;

regressiya tenglamasining ahamiyatini baholay olish;

2 milya masofa uchun qabul qilingan modeldan foydalangan holda prognoz (yoki bashorat qilishning mumkin emasligi haqida xulosa) qilish.

2. Chiziqli regressiya tenglamasining koeffitsientlarini va aniqlash koeffitsientini hisoblash uchun zarur bo'lgan miqdorlarni hisoblang.R 2 :

; ;;.

Kerakli regressiyaga bog'liqlik quyidagi shaklga ega: . Biz o'zgaruvchilar orasidagi munosabatlar yo'nalishini aniqlaymiz: regressiya koeffitsientining belgisi ijobiy, shuning uchun munosabatlar ham ijobiy, bu grafik taxminni tasdiqlaydi.

3. Determinatsiya koeffitsientini hisoblaymiz: yoki 92%. Shunday qilib, chiziqli model etkazib berish vaqtidagi o'zgarishlarning 92% ni tushuntiradi, bu omil (masofa) to'g'ri tanlanganligini anglatadi. Vaqt o'zgarishining 8% tushuntirilmaydi, bu etkazib berish muddatiga ta'sir qiluvchi boshqa omillar bilan bog'liq, ammo chiziqli regressiya modeliga kiritilmagan.

4. Regressiya tenglamasining ahamiyatini tekshiramiz:

Chunki– regressiya tenglamasi (chiziqli model) statistik ahamiyatga ega.

5. Prognozlash masalasini hal qilaylik. Determinatsiya koeffitsientidan boshlabR 2 etarlicha yuqori qiymatga ega va bashorat qilinadigan 2 milya masofa kiritilgan ma'lumotlar oralig'ida bo'lsa, bashorat qilish mumkin:

Imkoniyatlardan foydalangan holda regressiya tahlili qulay tarzda amalga oshirilishi mumkin Excel. "Regressiya" ish rejimi chiziqli regressiya tenglamasining parametrlarini hisoblash va uning o'rganilayotgan jarayonga muvofiqligini tekshirish uchun ishlatiladi. Muloqot oynasida quyidagi parametrlarni to'ldiring:

2-misol. 1-misoldagi vazifani “Regressiya” rejimidan foydalanib bajaringExcel.

NATIJALARNING XULOSASI
Regressiya statistikasi
Koʻplik R
R-kvadrat
Normallashtirilgan R-kvadrat
Standart xato
Kuzatishlar
	Imkoniyatlar		Standart xato	t-statistika	P-qiymati
Y - chorraha
X 1 o'zgaruvchisi

Jadvalda keltirilgan regressiya tahlili natijalarini ko'rib chiqamiz.

KattalikR-kvadrat , shuningdek, aniqlik o'lchovi deb ataladi, natijada paydo bo'lgan regressiya chizig'ining sifatini tavsiflaydi. Ushbu sifat manba ma'lumotlari va regressiya modeli (hisoblangan ma'lumotlar) o'rtasidagi muvofiqlik darajasi bilan ifodalanadi. Bizning misolimizda aniqlik o'lchovi 0,91829 ni tashkil etadi, bu regressiya chizig'ining dastlabki ma'lumotlarga juda yaxshi mosligini ko'rsatadi va determinatsiya koeffitsientiga to'g'ri keladi.R 2 , formula bo'yicha hisoblanadi.

Koʻplik R - ko'p korrelyatsiya koeffitsienti R - mustaqil o'zgaruvchilar (X) va bog'liq o'zgaruvchining (Y) bog'liqlik darajasini ifodalaydi va determinatsiya koeffitsientining kvadrat ildiziga teng. Oddiy chiziqli regressiya tahlilidabir nechta R koeffitsientichiziqli korrelyatsiya koeffitsientiga teng (r = 0,958).

Chiziqli model koeffitsientlari:Y - chorraha soxta atamaning qiymatini chop etadib, Ao'zgaruvchisi X1 - regressiya koeffitsienti a. Keyin chiziqli regressiya tenglamasi:

y = 2,6597x+ 5.9135 (bu 1-misoldagi hisob-kitob natijalariga yaxshi mos keladi).

Keyinchalik, regressiya koeffitsientlarining ahamiyatini tekshiramiz:aVab. Ustun qiymatlarini juftlikda solishtirish Imkoniyatlar Va Standart xato Jadvalda biz koeffitsientlarning mutlaq qiymatlari ularning standart xatolaridan kattaroq ekanligini ko'ramiz. Bundan tashqari, ushbu koeffitsientlar muhim ahamiyatga ega, chunki P-qiymati ko'rsatkichining qiymatlari bilan baholanishi mumkin, ular belgilangan ahamiyat darajasi a = 0,05 dan past bo'ladi.

Kuzatish	Bashorat qilingan Y	Qolganlar	Standart balanslar

Jadvalda chiqish natijalari ko'rsatilganqoldiqlari. Hisobotning ushbu qismidan foydalanib, biz har bir nuqtaning tuzilgan regressiya chizig'idan og'ishlarini ko'rishimiz mumkin. Eng katta mutlaq qiymatqolganbu holda - 1,89256, eng kichigi - 0,05399. Ushbu ma'lumotlarni yaxshiroq talqin qilish uchun dastlabki ma'lumotlar va tuzilgan regressiya chizig'ini chizing. Qurilishdan ko'rinib turibdiki, regressiya chizig'i dastlabki ma'lumotlarning qiymatlariga yaxshi "moslangan" va og'ishlar tasodifiydir.