C 11 kasrlar bilan barcha amallar. Kasrlar bilan amallar

496. Toping X, Agar:

497. 1) Noma’lum sonning 3/10 qismiga 10 1/2 qo‘shsangiz, 13 1/2 ni olasiz. Noma'lum raqamni toping.

2) Agar noma'lum sonning 7/10 qismidan 10 1/2 ni ayirsangiz, siz 15 2/5 olasiz. Noma'lum raqamni toping.

498 *. Noma'lum sonning 3/4 qismidan 10 ni ayirib, hosil bo'lgan farqni 5 ga ko'paytirsangiz, siz 100 ni olasiz. Raqamni toping.

499 *. Noma’lum sonni uning 2/3 qismiga ko‘paytirsangiz, 60 bo‘ladi. Bu qanday raqam?

500 *. Agar siz noma'lum raqamga bir xil miqdorni qo'shsangiz, shuningdek, 20 1/3, siz 105 2/5 olasiz. Noma'lum raqamni toping.

501. 1) Kvadrat klasterli ekishda kartoshka hosildorligi gektariga oʻrtacha 150 sentnerni, oddiy ekishda esa bu miqdorning 3/5 qismini tashkil qiladi. Kvadrat-klaster usulida kartoshka ekilsa, 15 gektar maydondan yana qancha kartoshka olish mumkin?

2) Tajribali ishchi 1 soatda 18 ta detal ishlab chiqargan, tajribasiz ishchi esa bu miqdorning 2/3 qismini ishlab chiqargan. Tajribali ishchi 7 soatlik sutkada yana nechta detal ishlab chiqarishi mumkin?

502. 1) Ichkarida to'plangan kashshoflar uch kun 56 kg turli urug'lar. Birinchi kuni umumiy miqdorning 3/14 qismi, ikkinchi kuni bir yarim barobar ko'p, uchinchi kuni esa qolgan don yig'ib olindi. Uchinchi kuni kashshoflar necha kilogramm urug' yig'ishdi?

2) Bug'doyni maydalashda natija: bug'doyning umumiy miqdorining 4/5 qismi, irmik - undan 40 baravar kam, qolgan qismi esa kepak edi. 3 t bug'doyni maydalaganda qancha un, irmik va kepak alohida ishlab chiqarilgan?

503. 1) Uchta garaj 460 ta mashinani sig'dira oladi. Birinchi garajga to'g'ri keladigan avtomobillar soni ikkinchisiga sig'adigan mashinalar sonining 3/4 qismini tashkil qiladi, uchinchi garajda esa birinchisiga qaraganda 1 1/2 marta ko'p mashinalar mavjud. Har bir garajga nechta mashina to'g'ri keladi?

2) Uchta ustaxonaga ega zavodda 6000 ishchi ishlaydi. Ikkinchi sexda ishchilar birinchisiga nisbatan 1 1/2 marta kam, uchinchi tsexdagi ishchilar soni esa ikkinchi sexdagi ishchilar sonining 5/6 qismini tashkil qiladi. Har bir ustaxonada nechta ishchi bor?

504. 1) Kerosin solingan idishdan avval umumiy kerosinning 2/5 qismi, keyin esa 1/3 qismi quyildi, shundan keyin idishda 8 tonna kerosin qoldi. Tankda dastlab qancha kerosin bor edi?

2) Velosipedchilar uch kun davomida yugurishdi. Birinchi kuni ular butun sayohatning 4/15 qismini, ikkinchi kuni - 2/5 qismini, uchinchi kuni esa qolgan 100 kmni bosib o'tishdi. Velosipedchilar uch kunda qancha masofani bosib o'tishdi?

505. 1) Muzqaymoq uch kun davomida muz maydoni bo'ylab kurashdi. Birinchi kuni butun masofaning 1/2 qismini, ikkinchi kuni qolgan masofaning 3/5 qismini va uchinchi kuni qolgan 24 kmni bosib o'tdi. Muzqaymoq uch kun ichida bosib o'tgan yo'l uzunligini toping.

2) Uch guruh maktab o‘quvchilari qishloqni ko‘kalamzorlashtirish maqsadida ko‘chat o‘tqazishdi. Birinchi otryad barcha daraxtlarning 7/20 qismini, ikkinchisi qolgan 5/8 qismini, uchinchisi esa qolgan 195 ta daraxtni ekdi. Uchta jamoa jami nechta daraxt ekishdi?

506. 1) Kombayn uch kunda bir uchastkadan bug‘doy yig‘ib oldi. Birinchi kuni butun maydonning 5/18 qismidan, ikkinchi kuni qolgan 7/13 qismidan va uchinchi kuni qolgan 30 1/2 gektardan hosil oldi. Har gektardan o‘rtacha 20 sentnerdan bug‘doy olindi. Butun maydonda qancha bug'doy yig'ib olindi?

2) Birinchi kuni miting ishtirokchilari butun yo‘nalishning 3/11 qismini, ikkinchi kuni qolgan yo‘nalishning 7/20 qismini, uchinchi kuni yangi qoldiqning 5/13 qismini, to‘rtinchi kuni esa qolgan qismini bosib o‘tishdi. 320 km. Miting marshruti qancha davom etadi?

507. 1) Birinchi kuni mashina butun masofaning 3/8 qismini, ikkinchi kuni birinchi kuni bosib o'tganning 15/17 qismini, uchinchi kuni esa qolgan 200 kmni bosib o'tdi. Agar mashina 10 km ga 1 3/5 kg benzin sarf qilsa, qancha benzin sarflangan?

2) Shahar to‘rt tumandan iborat. Shaharning barcha aholisining 4/13 qismi birinchi tumanda, birinchi tuman aholisining 5/6 qismi ikkinchi, birinchi tuman aholisining 4/11 qismi uchinchi tumanda yashaydi; ikkita tuman birlashtirilib, to'rtinchi tumanda 18 ming kishi yashaydi. Bir kishi kuniga o'rtacha 500 g iste'mol qilsa, butun shahar aholisi 3 kun davomida qancha nonga muhtoj?

508. 1) Turist birinchi kuni butun sayohatning 10/31 qismini, ikkinchi kuni birinchi kuni yurganining 9/10 qismini, uchinchi kuni esa qolgan yo‘lni, uchinchi kuni esa 12 qismini yurdi. km ikkinchi kunga qaraganda ko'proq. Turist har uch kunda necha kilometr yurgan?

2) Mashina A shahridan B shahrigacha bo‘lgan barcha yo‘nalishni uch kunda bosib o‘tdi. Birinchi kuni avtomobil butun masofaning 7/20 qismini, ikkinchi kuni qolgan masofaning 8/13 qismini, uchinchi kuni esa birinchi kunga nisbatan 72 km kam masofani bosib o‘tdi. A va B shaharlari orasidagi masofa qancha?

509. 1) Ijroiya qoʻmitasi uchta zavod ishchilariga tomorqa uchun yer ajratdi. Birinchi zavodga umumiy yer uchastkalarining 9/25 qismi, ikkinchi zavodga birinchisiga ajratilgan yerlarning 5/9 qismi, uchinchisiga esa qolgan uchastkalar ajratildi. Agar birinchi zavodga uchinchisiga nisbatan 50 ta kam yer ajratilgan bo‘lsa, uchta zavod ishchilariga jami nechta uchastka ajratilgan?

2) Samolyot uch kun ichida qishki ishchilarni Moskvadan qutb stantsiyasiga etkazib berdi. Birinchi kuni u butun masofaning 2/5 qismini, ikkinchi kuni esa birinchi kuni bosib o'tgan masofaning 5/6 qismini, uchinchi kuni esa ikkinchi kunga nisbatan 500 km kam uchdi. Samolyot uch kun ichida qancha masofaga uchdi?

510. 1) Zavodning uchta sexi bor edi. Birinchi sexdagi ishchilar soni zavoddagi barcha ishchilarning 2/5 qismini tashkil qiladi; ikkinchi sexda ishchilar birinchisiga nisbatan 1,2 barobar kam, uchinchi sexda esa ikkinchisiga nisbatan 100 nafarga ko'p. Zavodda nechta ishchi bor?

2) Kolxoz tarkibiga uchta qo'shni qishloq aholisi kiradi. Birinchi qishloqdagi oilalar soni kolxozdagi barcha oilalarning 3/10 qismini tashkil qiladi; ikkinchi qishloqda oilalar soni birinchisiga qaraganda 1 1/2 baravar ko'p, uchinchi qishloqda esa ikkinchisiga qaraganda 420 ta kam. Kolxozda nechta oila bor?

511. 1)Artel birinchi haftada xom ashyoning 1/3 qismini, ikkinchi haftada esa qolgan 1/3 qismini ishlatdi. Agar birinchi haftada xom ashyo sarfi ikkinchi haftaga nisbatan 3/5 t ga ko'p bo'lsa, artelda qancha xomashyo qolgan?

2) Import qilingan ko'mirning 1/6 qismi birinchi oyda uyni isitish uchun sarflangan, qolganining 3/8 qismi ikkinchi oyda. Agar ikkinchi oyda birinchi oyga nisbatan 1 3/4 ga ko'p sarflangan bo'lsa, uyni isitish uchun qancha ko'mir qoladi?

512. Kolxozning umumiy erining 3/5 qismi g'alla ekish uchun ajratilgan, qolgan 13/36 sabzavotzorlar va o'tloqlar, qolgan erlar o'rmonlar, kolxozning ekin maydoni. 217 gektar ko'proq maydon oʻrmonlar, don ekinlari uchun ajratilgan yerning 1/3 qismi javdar, qolgan qismiga bugʻdoy ekiladi. Kolxoz necha gektar yerga bug‘doy, qanchaga javdar ekdi?

513. 1) Tramvay yo'nalishi 14 3/8 km uzunlikda. Ushbu marshrut bo'ylab tramvay 18 ta to'xtash joyini tashkil qiladi va har bir to'xtash uchun o'rtacha 1 1/6 daqiqa vaqt sarflaydi. Butun yo'nalish bo'ylab tramvayning o'rtacha tezligi soatiga 12 1/2 km. Tramvay bir safar qancha vaqtni oladi?

2) Avtobus yo'nalishi 16 km. Ushbu yo'nalish bo'ylab avtobus har biri 3/4 daqiqadan iborat 36 ta to'xtash joyini tashkil qiladi. har biri o'rtacha. Avtobusning o'rtacha tezligi soatiga 30 km. Avtobus bir marshrutga qancha vaqt ketadi?

514*. 1) Hozir soat 6. oqshomlari. Kunning qaysi qismi o'tmishdan qolgan va kunning qaysi qismi qolgan?

2) Paroxod oqim bilan ikki shahar orasidagi masofani 3 kunda bosib o‘tadi. va 4 kun ichida bir xil masofani orqaga qaytaring. Sallar bir shahardan ikkinchi shaharga quyi oqim bo'ylab necha kun suzib yuradi?

515. 1) Uzunligi 6 2/3 m, kengligi 5 1/4 m bo'lgan xonada polni yotqizish uchun qancha doska ishlatiladi, agar har bir taxtaning uzunligi 6 2/3 m va kengligi 3 / bo'lsa. uzunligi 80?

2) To'rtburchak platformaning uzunligi 45 1/2 m, kengligi esa uzunligining 5/13 qismidir. Bu maydon 4/5 m kenglikdagi yo'l bilan chegaralangan.

516. O'rtachani toping arifmetik raqamlar:

517. 1) Ikki raqamning o'rtacha arifmetik qiymati 6 1/6 ga teng. Raqamlardan biri 3 3/4 ga teng. Boshqa raqamni toping.

2) Ikki sonning oʻrtacha arifmetik qiymati 14 1/4 ga teng. Bu raqamlardan biri 15 5/6. Boshqa raqamni toping.

518. 1) Yuk poyezdi uch soat davomida yo'lda edi. Birinchi soatda u 36 1/2 km, ikkinchisida 40 km va uchinchisida 39 3/4 km masofani bosib o'tdi. Poyezdning o‘rtacha tezligini toping.

2) Avtomobil dastlabki ikki soatda 81 1/2 km, keyingi 2 1/2 soatda 95 km yo‘l bosib o‘tdi. U soatiga o'rtacha necha kilometr yurgan?

519. 1) Traktorchi yer haydash topshirig‘ini uch kunda bajardi. Birinchi kuni 12 1/2 gektar, ikkinchi kuni 15 3/4 gektar va uchinchi kuni 14 1/2 gektar yerni shudgor qildi. Traktorchi kuniga oʻrtacha necha gektar yer haydagan?

2) Bir guruh maktab o'quvchilari uch kunlik turistik sayohatni amalga oshirib, birinchi kuni 6 1/3 soat, ikkinchi kuni 7 soat yo'lda bo'lishdi. va uchinchi kuni - 4 2/3 soat. Maktab o'quvchilari kuniga o'rtacha necha soat sayohat qilishdi?

520. 1) Uyda uchta oila yashaydi. Birinchi oilada kvartirani yoritish uchun 3 ta lampochka, ikkinchisida 4 ta, uchinchisida 5 ta lampochka bor. Agar barcha lampalar bir xil bo'lsa va umumiy elektr to'lovi (butun uy uchun) 7 1/5 rubl bo'lsa, har bir oila elektr energiyasi uchun qancha to'lashi kerak?

2) Uchta oila istiqomat qiladigan xonadonda sayqallovchi pollarni parlatardi. Birinchi oila 36 1/2 kvadrat metr yashash maydoniga ega edi. m, ikkinchisi 24 1/2 kv. m, uchinchisi esa 43 kv. m. Barcha ishlar uchun 2 rubl to'langan. 08 kop. Har bir oila qancha to'lagan?

521. 1) Bog 'uchastkasida 50 tupdan 1 1/10 kg, 70 tupdan 4/5 kg, 80 tupdan 9/10 kg dan kartoshka yig'ildi. Har bir tupdan o'rtacha necha kilogramm kartoshka olinadi?

2) dala brigadasi 300 gektar maydondan kuzgi bug‘doyning 1 gektaridan 20 1/2 sentner, 80 gektardan 24 sentnergacha, 20 gektardan esa 28 1/2 sentnerdan hosil oldi. 1 ga. 1 gektarga ega bo‘lgan brigadada o‘rtacha hosil qancha?

522. 1) Ikki sonning yig'indisi 7 1/2 ga teng. Bitta raqam boshqasidan 4 4/5 ga katta. Bu raqamlarni toping.

2) Tatar va Kerch bo'g'ozlarining kengligini ifodalovchi raqamlarni birgalikda qo'shsak, biz 11 7/10 km ni olamiz. Tatar boʻgʻozi Kerch boʻgʻozidan 3 1/10 km kengroq. Har bir bo'g'ozning kengligi qancha?

523. 1) Uch sonning yig'indisi 35 2/3 ga teng. Birinchi raqam ikkinchisidan 5 1/3 ga va uchinchi raqamdan 3 5/6 ga katta. Bu raqamlarni toping.

2) Orollar Yangi Yer, Saxalin va Severnaya Zemlya birgalikda 196 7/10 ming kvadrat metr maydonni egallaydi. km. Novaya Zemlya maydoni 44 1/10 ming kvadrat metrni tashkil qiladi. km ko'proq maydon Severnaya Zemlya va 5 1/5 ming kv. km Saxalin maydonidan kattaroqdir. Ro'yxatga olingan orollarning har birining maydoni qancha?

524. 1) Kvartira uchta xonadan iborat. Birinchi xonaning maydoni 24 3/8 kv. m va kvartiraning butun maydonining 13/36 qismini tashkil qiladi. Ikkinchi xonaning maydoni 8 1/8 kvadrat metrni tashkil qiladi. m uchinchisining maydonidan ko'proq. Ikkinchi xonaning maydoni qancha?

2) Velosipedchi uch kunlik musobaqada birinchi kuni 3 1/4 soat yo'lda bo'ldi, bu umumiy sayohat vaqtining 13/43 qismini tashkil etdi. Ikkinchi kuni u uchinchi kunga qaraganda 1 1/2 soat ko'proq yurdi. Musobaqaning ikkinchi kuni velosipedchi necha soat yurdi?

525. Uch bo'lak temirning og'irligi 17 1/4 kg. Agar birinchi bo'lakning og'irligi 1 1/2 kg ga, ikkinchisining og'irligi 2 1/4 kg ga kamaytirilsa, unda barcha uchta bo'lak bir xil vaznga ega bo'ladi. Har bir temir bo'lagi qancha og'irlik qildi?

526. 1) Ikki sonning yig'indisi 15 1/5 ga teng. Agar birinchi raqam 3 1/10 ga kamaytirilsa, ikkinchisi esa 3 1/10 ga oshirilsa, bu raqamlar teng bo'ladi. Har bir raqam nimaga teng?

2) Ikki qutida 38 1/4 kg don bor edi. Agar siz bir qutidan ikkinchisiga 4 3/4 kg donni quysangiz, ikkala qutida ham teng miqdorda don bo'ladi. Har bir qutida qancha don bor?

527 . 1) Ikki sonning yig'indisi 17 17 / 30 ga teng. Agar siz birinchi raqamdan 5 1/2 ni ayirib, ikkinchisiga qo'shsangiz, birinchi raqam ikkinchisidan 2 17/30 ga katta bo'ladi. Ikkala raqamni toping.

2) Ikki qutida 24 1/4 kg olma bor. Agar siz birinchi qutidan ikkinchisiga 3 1/2 kg o'tkazsangiz, birinchisida ikkinchisiga qaraganda 3/5 kg ko'proq olma qoladi. Har bir qutida necha kilogramm olma bor?

528 *. 1) Ikki sonning yig'indisi 8 11/14, ularning farqi esa 2 3/7 ga teng. Bu raqamlarni toping.

2) Qayiq daryo bo'ylab soatiga 15 1/2 km tezlikda va oqimga qarshi soatiga 8 1/4 km tezlikda harakat qildi. Daryo oqimining tezligi qanday?

529. 1) Ikkita garajda 110 ta mashina bor va ularning birida boshqasiga qaraganda 1 1/5 baravar ko'p. Har bir garajda nechta mashina bor?

2) Ikki xonadan iborat kvartiraning yashash maydoni 47 1/2 kv. m. Bir xonaning maydoni ikkinchisining maydonining 8/11 qismini tashkil qiladi. Har bir xonaning maydonini toping.

530. 1) Mis va kumushdan tashkil topgan qotishma 330 g, bu qotishmadagi misning og'irligi kumushning 5/28 qismini tashkil qiladi. Qotishmada qancha kumush va qancha mis bor?

2) Ikki sonning yig'indisi 6 3/4, qism esa 3 1/2 ga teng. Bu raqamlarni toping.

531. Uch sonning yig'indisi 22 1/2 ga teng. Ikkinchi raqam 3 1/2 marta, uchinchisi esa 2 1/4 marta birinchisidan ko'proq. Bu raqamlarni toping.

532. 1) Ikki sonning farqi 7 ga teng; katta sonni kichikroq songa bo'lish qismi 5 2/3 ga teng. Bu raqamlarni toping.

2) Ikki raqam orasidagi farq 29 3/8, ularning ko'plik nisbati 8 5/6. Bu raqamlarni toping.

533. Sinfda qatnashmagan o'quvchilar soni hozir bo'lgan o'quvchilar sonining 3/13 qismini tashkil qiladi. Agar qatnashmaganlardan 20 kishi ko'p bo'lsa, ro'yxat bo'yicha sinfda nechta o'quvchi bor?

534. 1) Ikki raqam orasidagi farq 3 1/5 ga teng. Bitta raqam boshqasining 5/7 qismini tashkil qiladi. Bu raqamlarni toping.

2) Ota o'g'limdan katta 24 yil davomida. O'g'ilning yillar soni otaning yillarining 5/13 qismiga teng. Ota necha yoshda va o'g'il necha yoshda?

535. Kasrning maxraji uning sonidan 11 birlik katta. Agar kasrning maxraji sanoqdan 3 3/4 marta katta bo'lsa, uning qiymati qanday bo'ladi?

No 536 - 537 og'zaki.

536. 1) Birinchi raqam ikkinchisining 1/2 qismi. Ikkinchi raqam birinchisidan necha marta katta?

2) Birinchi raqam ikkinchisining 3/2 qismi. Birinchi sonning qaysi qismi ikkinchi son?

537. 1) Birinchi sonning 1/2 qismi ikkinchi sonning 1/3 qismiga teng. Birinchi sonning qaysi qismi ikkinchi son?

2) birinchi sonning 2/3 qismi ikkinchi sonning 3/4 qismiga teng. Birinchi sonning qaysi qismi ikkinchi son? Ikkinchi sonning qaysi qismi birinchi?

538. 1) Ikki sonning yig'indisi 16. Agar ikkinchi sonning 1/3 qismi birinchisining 1/5 qismiga teng bo'lsa, bu raqamlarni toping.

2) Ikki sonning yig‘indisi 38. Agar birinchi sonning 2/3 qismi ikkinchi sonning 3/5 qismiga teng bo‘lsa, shu sonlarni toping.

539 *. 1) Ikki bola birgalikda 100 ta qo'ziqorin yig'ishdi. Birinchi o'g'il tomonidan yig'ilgan qo'ziqorinlar sonining 3/8 qismi ikkinchi bola tomonidan yig'ilgan qo'ziqorinlar sonining 1/4 qismiga teng. Har bir bola nechta qo'ziqorin yig'di?

2) Muassasada 27 kishi ishlaydi. Agar barcha erkaklarning 2/5 qismi barcha ayollarning 3/5 qismiga teng bo'lsa, nechta erkak ishlaydi va qancha ayol ishlaydi?

540 *. Uch bola voleybol sotib oldi. Birinchi o'g'ilning hissasining 1/2 qismi ikkinchi o'g'ilning hissasining 1/3 qismiga yoki uchinchisining hissasining 1/4 qismiga teng ekanligini va uchinchi o'g'ilning hissasini bilib, har bir o'g'ilning hissasini aniqlang. bola birinchisining hissasidan 64 tiyin ko'proq.

541 *. 1) Bitta raqam ikkinchisidan 6 ga ko'p, agar bitta raqamning 2/5 qismi boshqasining 2/3 qismiga teng bo'lsa, bu raqamlarni toping.

2) Ikki sonning farqi 35. Agar birinchi sonning 1/3 qismi ikkinchi sonning 3/4 qismiga teng boʻlsa, shu sonlarni toping.

542. 1) Birinchi jamoa 36 kunda, ikkinchisi esa 45 kunda bir qancha ishlarni bajarishi mumkin. Ikkala jamoa birgalikda ishlagan holda bu ishni necha kunda yakunlaydi?

2) Yo‘lovchi poyezdi ikki shahar orasidagi masofani 10 soatda, yuk poyezdi esa bu masofani 15 soatda bosib o‘tadi. Ikkala poyezd ham bu shaharlardan bir vaqtning o'zida bir-biriga qarab yo'l oldi. Ular necha soatdan keyin uchrashishadi?

543. 1) Tezkor poyezd ikki shahar orasidagi masofani 6 1/4 soatda, yo‘lovchi poyezdi esa 7 1/2 soatda bosib o‘tadi. Agar ikkala shahardan bir vaqtning o'zida bir-biriga qarab ketsa, bu poezdlar necha soatdan keyin uchrashadi? (Yaxshi javob 1 soatgacha.)

2) Ikki mototsiklchi bir vaqtning o'zida ikkita shahardan bir-biriga qarab ketishdi. Bitta mototsiklchi bu shaharlar orasidagi butun masofani 6 soatda, boshqasi esa 5 soatda bosib o'tishi mumkin. Mototsiklchilar jo'nab ketganidan necha soat o'tgach uchrashishadi? (Yaxshi javob 1 soatgacha.)

544. 1) Har xil yuk ko'tarish qobiliyatiga ega uchta mashina alohida ishlaydigan yuklarni tashishi mumkin: birinchisi 10 soatda, ikkinchisi 12 soatda. uchinchisi esa 15 soatda bir xil yukni birga ishlagan holda necha soatda tashishi mumkin?

2) Ikki poyezd bir vaqtning o‘zida ikkita bekatdan bir-biriga qarab chiqib ketadi: birinchi poyezd bu stansiyalar orasidagi masofani 12 1/2 soatda, ikkinchisi esa 18 3/4 soatda bosib o‘tadi. Poezdlar jo'nab ketganidan keyin necha soat o'tgach uchrashadi?

545. 1) Vannaga ikkita kran ulangan. Ulardan biri orqali vannani 12 daqiqada, ikkinchisi orqali esa 1 1/2 baravar tezroq to'ldirish mumkin. Bir vaqtning o'zida ikkala jo'mrakni ochsangiz, vannaning 5/6 qismini to'ldirish uchun necha daqiqa kerak bo'ladi?

2) Ikki mashinist qo'lyozmani qayta yozishi kerak. Birinchi haydovchi bu ishni 3 1/3 kunda, ikkinchisi esa 1 1/2 marta tezroq bajarishi mumkin. Agar ikkala mashinist bir vaqtda ishlasa, ishni bajarish uchun necha kun kerak bo'ladi?

546. 1) Hovuz birinchi quvur bilan 5 soatda to'ldiriladi, ikkinchi quvur orqali esa 6 soatda bo'shatiladi, agar ikkala quvur bir vaqtning o'zida ochilsa, butun hovuz necha soatdan keyin to'ldiriladi?

Eslatma. Bir soat ichida basseyn to'ldiriladi (sig'imi 1/5 - 1/6).

2) Ikki traktor dalani 6 soatda haydab chiqdi. Bir o'zi ishlagan birinchi traktor bu dalani 15 soatda haydashi mumkin edi, ikkinchi traktor bu maydonni haydash uchun necha soat vaqt ketadi?

547 *. Ikki poyezd bir vaqtning o'zida ikkita stantsiyadan bir-biriga qarab chiqib, 18 soatdan keyin uchrashadi. ozod qilinganidan keyin. Agar birinchi poyezd bu masofani 1 sutka 21 soatda bosib o‘tsa, ikkinchi poyezd stansiyalar orasidagi masofani qancha vaqt ichida bosib o‘tadi?

548 *. Hovuz ikkita quvur bilan to'ldirilgan. Avval ular birinchi quvurni ochishdi, keyin esa 3 3/4 soatdan keyin hovuzning yarmi to'ldirilgandan keyin ikkinchi quvurni ochishdi. 2 1/2 soat birga ishlagandan so'ng hovuz to'lib ketdi. Hovuzning quvvatini aniqlang, agar ikkinchi quvur orqali soatiga 200 chelak suv quyilsa.

549. 1) Kurer poyezdi Leningraddan Moskvaga jo‘nab ketdi va 1 km yo‘lni 3/4 daqiqada bosib o‘tdi. Ushbu poezd Moskvadan 1/2 soat o'tgach, Moskvadan Leningradga tezyurar poyezd jo'nadi, uning tezligi tezyurar poezd tezligining 3/4 qismiga teng edi. Agar Moskva va Leningrad o'rtasidagi masofa 650 km bo'lsa, kurer poyezdi jo'nab ketganidan keyin 2 1/2 soatdan keyin poezdlar bir-biridan qanday masofada bo'ladi?

2) Kolxozdan shahargacha 24 km. Yuk mashinasi kolxozdan chiqib, 1 km yo'lni 2 yarim daqiqada bosib o'tadi. 15 daqiqadan so'ng. Bu mashina shaharni tark etgandan so'ng, bir velosipedchi yuk mashinasining tezligidan yarim tezlikda kolxozga chiqib ketdi. Velosipedchi jo'nab ketganidan keyin qancha vaqt ichida yuk mashinasini kutib oladi?

550. 1) Bir qishloqdan piyoda chiqdi. Piyoda ketganidan 4 1/2 soat o'tgach, velosipedchi xuddi shu yo'nalishda harakat qildi, uning tezligi piyoda tezligidan 2 1/2 baravar ko'p edi. Velosipedchi piyoda chiqib ketganidan keyin necha soatdan keyin uni bosib o'tadi?

2) Tezkor poyezd 3 soatda 187 1/2 km, yuk poyezdi esa 288 km yo‘lni 6 soatda bosib o‘tadi. Yuk poyezdi jo‘nab ketganidan 7 1/4 soat o‘tgach, tez yordam mashinasi xuddi shu yo‘nalishda jo‘naydi. Tezyurar poyezd yuk poyezdiga qancha vaqt yetadi?

551. 1) Tuman markaziga yo'l o'tadigan ikkita kolxozdan ikkita kolxozchi bir vaqtning o'zida otda tumanga chiqdi. Ulardan birinchisi soatiga 8 3/4 km tezlikni bosib o'tgan, ikkinchisi esa birinchisidan 1 1/7 marta ko'p. Ikkinchi kolxozchi 3 4/5 soatdan keyin birinchisiga yetib oldi. Kolxozlar orasidagi masofani aniqlang.

2) o'rtacha tezligi soatiga 60 km bo'lgan Moskva-Vladivostok poezdi jo'nab ketganidan keyin 26 1/3 soat o'tgach, TU-104 samolyoti xuddi shu yo'nalishda, tezlikdan 14 1/6 marta tezlikda uchdi. poezddan. Samolyot jo‘nab ketganidan necha soat o‘tgach, poyezdga yetib oladi?

552. 1) Daryo boʻyidagi shaharlar orasidagi masofa 264 km. Paroxod bu masofani quyi oqim bo‘ylab 18 soatda bosib o‘tdi va bu vaqtning 1/12 qismini to‘xtab o‘tkazdi. Daryoning tezligi soatiga 1 1/2 km. Paroxod 87 km yoʻlni qancha vaqt davomida toʻlqinsiz suvda toʻxtamasdan bosib oʻtish uchun kerak boʻladi?

2) Motorli qayiq daryo bo'ylab 207 km yo'lni 13 1/2 soatda bosib o'tdi va bu vaqtning 1/9 qismini to'xtash joylarida o'tkazdi. Daryoning tezligi soatiga 1 3/4 km. Bu qayiq tinch suvda 2 1/2 soatda necha kilometr yura oladi?

553. Qayiq suv ombori bo‘ylab 52 km masofani 3 soat 15 daqiqada to‘xtamasdan bosib o‘tdi. Bundan tashqari, daryo bo'ylab tezligi soatiga 1 3/4 km bo'lgan oqimga qarshi borib, bu qayiq 2 1/4 soatda 28 1/2 km masofani bosib o'tdi va teng davomiylikdagi 3 ta to'xtash qildi. Har bir bekatda qayiq necha daqiqa kutgan?

554. Leningraddan Kronshtadtga soat 12 da. Paroxod tushdan keyin jo‘nab, bu shaharlar orasidagi butun masofani 1,2 soatda bosib o‘tdi. Yo'lda u soat 12:18 da Kronshtadtdan Leningradga jo'nab ketgan boshqa kemani uchratdi. va birinchisidan 1 1/4 marta tezlikda yurish. Ikki kema qaysi vaqtda uchrashgan?

555. Poyezd 14 soatda 630 km masofani bosib o‘tishi kerak edi. Ushbu masofaning 2/3 qismini bosib o'tib, u 1 soat 10 daqiqaga hibsga olingan. Kechikmasdan manziliga yetib borishi uchun u safarini qanday tezlikda davom ettirishi kerak?

556. 4:20 da Ertalab yuk poyezdi Kievdan Odessaga jo‘nab ketdi, o‘rtacha tezligi soatiga 31 1/5 km. Bir muncha vaqt o'tgach, uni kutib olish uchun Odessadan pochta poyezdi chiqdi, uning tezligi yuk poyezdi tezligidan 1 17/39 baravar yuqori edi va yuk poezdi jo'nab ketganidan 6 1/2 soat o'tgach kutib oldi. Kiev va Odessa o'rtasidagi masofa 663 km bo'lsa, pochta poyezdi Odessadan soat nechada chiqib ketgan?

557*. Soat peshinni ko'rsatadi. Soat va daqiqa qo'llari bir-biriga to'g'ri kelishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?

558. 1) Zavodda uchta sex mavjud. Birinchi sexda ishchilar soni zavoddagi barcha ishchilarning 9/20 qismini tashkil etadi, ikkinchi sexda birinchisiga nisbatan 1,2 barobar, uchinchi sexda esa 300 ta kam ishchi ishlaydi. ikkinchi. Zavodda nechta ishchi bor?

2) Shaharda uchta umumta’lim maktabi mavjud. Birinchi maktabdagi o'quvchilar soni ushbu uchta maktabdagi barcha o'quvchilarning 3/10 qismini tashkil qiladi; ikkinchi maktabda birinchisiga nisbatan 1,2 baravar ko‘p, uchinchi maktabda esa ikkinchisiga nisbatan 420 nafarga kam o‘quvchilar bor. Uchta maktabda nechta o'quvchi bor?

559. 1) Ikki kombaynchi bitta hududda ishlagan. Bitta kombayn butun maydonning 9/16 qismini, ikkinchisi esa shu yerning 3/8 qismini yig‘ib olgandan so‘ng, birinchi kombayn ikkinchisiga qaraganda 97 1/2 gektar ko‘p hosil yig‘ib olgani ma’lum bo‘ldi. Har gektardan oʻrtacha 32 1/2 sentnerdan don olindi. Har bir kombaynchi necha tsentnerdan g'alla xirmonladi?

2) Ikki aka-uka fotoapparat sotib olishdi. Birida kameraning narxi 5/8, ikkinchisida esa 4/7, birinchisida esa 2 rubl bor edi. 25 tiyin ikkinchisidan ko'proq. Hamma qurilma narxining yarmini to'lagan. Hammada qancha pul qoldi?

560. 1) Yengil avtomobil A shahridan B shahriga yo‘l oladi, ular orasidagi masofa 215 km, soatiga 50 km tezlikda. Ayni vaqtda yuk mashinasi B shahridan A shahriga yo‘l olgan. Agar yuk mashinasining soatiga tezligi yengil avtomobil tezligidan 18/25 ga teng bo‘lsa, yengil avtomobil yuk mashinasini kutib olishdan oldin necha kilometr yo‘l bosib o‘tgan?

2) A va B shaharlari o'rtasida 210 km. Yengil avtomobil A shahridan B shahriga yo‘l oldi. Ayni vaqtda yuk mashinasi B shahridan A shahriga yo‘l olgan. Agar yengil avtomobil soatiga 48 km tezlikda ketayotgan bo‘lsa va yuk mashinasining soatiga tezligi yengil avtomobil tezligining 3/4 qismi bo‘lsa, yuk mashinasi yengil avtomobil bilan uchrashgunga qadar necha kilometr yo‘l bosib o‘tgan?

561. Kolxoz bug'doy va javdarni yig'ib oldi. Bug‘doy javdarga nisbatan 20 gektarga ko‘p ekilgan. Javdarning umumiy hosili bug‘doyning 5/6 qismini tashkil etib, bug‘doy va javdardan gektariga 20 sentnerdan hosil olindi. Kolxoz bug'doy va javdarning butun hosilining 7/11 qismini davlatga sotdi, qolgan qismini esa o'z ehtiyojlarini qondirish uchun qoldirdi. Davlatga sotilgan nonni olib tashlash uchun ikki tonnalik yuk mashinalari necha marta yurishi kerak edi?

562. Novvoyxonaga javdar va bug‘doy uni keltirildi. Bug'doy unining og'irligi javdar unining og'irligining 3/5 qismini tashkil etdi va bug'doy unidan 4 tonna ko'proq javdar uni keltirildi. Agar pishirilgan mahsulotlar umumiy unning 2/5 qismini tashkil etsa, novvoyxona bu undan qancha bug'doy va qancha javdar noni pishiradi?

563. Uch kun ichida ishchilar guruhi ikki kolxoz o'rtasidagi avtomobil yo'lini ta'mirlash bo'yicha barcha ishlarning 3/4 qismini bajardilar. Birinchi kuni ushbu avtomobil yo‘lining 2 2/5 km qismi ta’mirlandi, ikkinchi kuni birinchisiga nisbatan 1 1/2 barobar ko‘p, uchinchi kuni esa dastlabki ikki kunda ta’mirlanganlarning 5/8 qismi birgalikda ta’mirlandi. Kolxozlar orasidagi avtomobil yo'lining uzunligini toping.

564. Jadvaldagi bo'sh joylarni to'ldiring, bu erda S - to'rtburchaklar maydoni, A- to'rtburchakning asosi, a h-to'rtburchakning balandligi (kengligi).

565. 1) To'g'ri burchakli er uchastkasining uzunligi 120 m, kengligi esa uning uzunligining 2/5 qismidir. Saytning perimetri va maydonini toping.

2) To'rtburchaklar kesimning kengligi 250 m, uzunligi esa kengligidan 1 1/2 marta. Saytning perimetri va maydonini toping.

566. 1) To'rtburchakning perimetri 6 1/2 dyuym, poydevori balandligidan 1/4 dyuym katta. Ushbu to'rtburchakning maydonini toping.

2) To'rtburchakning perimetri 18 sm, balandligi poydevoridan 2 1/2 sm kichik. To'rtburchakning maydonini toping.

567. 30-rasmda ko'rsatilgan figuralarning maydonlarini to'rtburchaklarga bo'lish va o'lchov orqali to'rtburchakning o'lchamlarini topish orqali hisoblang.

568. 1) Agar gips plitasining o'lchamlari 2 m x l 1/2 m bo'lsa, uzunligi 4 1/2 m va kengligi 4 m bo'lgan xonaning shiftini qoplash uchun qancha varaq quruq gips kerak bo'ladi?

2) Uzunligi 4 1/2 m va kengligi 3 1/2 m bo'lgan polni yotqizish uchun uzunligi 4 1/2 m va kengligi 1/4 m bo'lgan nechta taxta kerak?

569. 1) Uzunligi 560 m, kengligining 3/4 qismi bo'lgan to'rtburchaklar uchastkaga loviya ekilgan. Agar 1 gektarga 1 tsentner ekilgan bo'lsa, uchastkaga ekish uchun qancha urug' kerak bo'lgan?

2) To‘g‘ri burchakli daladan gektariga 25 sentnerdan bug‘doy yig‘ib olindi. Dala uzunligi 800 m, eni esa uzunligining 3/8 qismini tashkil etsa, butun daladan qancha bug‘doy yig‘ib olingan?

570 . 1) Uzunligi 78 3/4 m va kengligi 56 4/5 m bo'lgan to'rtburchaklar er uchastkasi, uning maydonining 4/5 qismini binolar egallagan holda qurilgan. Binolar ostidagi er maydonini aniqlang.

2) Uzunligi 9/20 km va eni uzunligining 4/9 qismini tashkil etadigan to'rtburchaklar er uchastkasida kolxoz bog' qurishni rejalashtirmoqda. Har bir daraxt uchun o'rtacha 36 kv.m maydon kerak bo'lsa, bu bog'da qancha daraxt ekiladi?

571. 1) Xonaning normal kunduzgi yoritilishi uchun barcha derazalar maydoni zamin maydonining kamida 1/5 qismi bo'lishi kerak. Uzunligi 5 1/2 m va kengligi 4 m bo'lgan xonada yorug'lik etarli yoki yo'qligini aniqlang, xonada 1 1/2 m x 2 m o'lchamdagi bitta oyna bormi?

2) Oldingi masala shartidan foydalanib, sinfingizda yorug'lik yetarli yoki yo'qligini aniqlang.

572. 1) Omborning o'lchamlari 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m, agar u balandligining 3/4 qismiga to'ldirilgan bo'lsa va 1 kub bo'lsa, bu omborga qancha pichan (og'irlik bo'yicha) sig'adi. . m pichanning og'irligi 82 kg?

2) Yog'och uyasi shaklga ega to'rtburchaklar parallelepiped, o'lchamlari 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m, agar 1 kub bo'lsa, o'tinning og'irligi qancha. m o'tinning og'irligi 600 kg?

573. 1) To'rtburchak akvarium balandligining 3/5 qismigacha suv bilan to'ldiriladi. Akvariumning uzunligi 1 1/2 m, kengligi 4/5 m, balandligi 3/4 m Akvariumga necha litr suv quyiladi?

2) Toʻgʻri burchakli parallelepiped shaklidagi hovuz uzunligi 6 1/2 m, kengligi 4 m va balandligi 2 m boʻlgan hovuz balandligining 3/4 qismigacha suv bilan toʻldirilgan. Hovuzga quyilgan suv miqdorini hisoblang.

574. Uzunligi 75 m va kengligi 45 m bo'lgan to'rtburchaklar er uchastkasi atrofida panjara qurish kerak. Agar taxtaning qalinligi 2 1/2 sm va panjara balandligi 2 1/4 m bo'lishi kerak bo'lsa, uning qurilishiga qancha kubometr taxtalar kirishi kerak?

575. 1) daqiqa va qaysi burchak soat qo'li soat 13 da? soat 15 da? soat 17 da? soat 21 da? 23:30 da?

2) 2 soatda soat strelkasi necha gradusga aylanadi? soat 5? soat 8? 30 daqiqa?

3) Yarim aylanaga teng yoy nechta gradusdan iborat? 1/4 doira? Aylananing 1/24 qismi? 5/24 doiralar?

576. 1) Transporter yordamida chizamiz: a) to‘g‘ri burchak; b) 30° burchak; c) 60° burchak; d) 150° burchak; e) 55° burchak.

2) Transporter yordamida shaklning burchaklarini o‘lchab, har bir figuraning barcha burchaklarining yig‘indisini toping (31-rasm).

577. Quyidagi amallarni bajaring:

578. 1) Yarim doira ikkita yoyga bo'lingan, ulardan biri ikkinchisidan 100 ° kattaroqdir. Har bir yoyning o'lchamini toping.

2) Yarim doira ikkita yoyga bo'lingan, ulardan biri ikkinchisidan 15 ° kichikdir. Har bir yoyning o'lchamini toping.

3) Yarim doira ikkita yoyga bo'lingan, ulardan biri ikkinchisidan ikki barobar katta. Har bir yoyning o'lchamini toping.

4) Yarim doira ikkita yoyga bo'lingan, ulardan biri ikkinchisidan 5 marta kichik. Har bir yoyning o'lchamini toping.

579. 1) "SSSRda aholi savodxonligi" diagrammasi (32-rasm) aholining yuz kishiga to'g'ri keladigan savodli odamlarning sonini ko'rsatadi. Diagrammadagi ma'lumotlarga va uning shkalasiga asoslanib, ko'rsatilgan yillarning har biri uchun savodli erkaklar va ayollar sonini aniqlang.

Natijalarni jadvalga yozing:

2) "Sovet elchilari kosmosga" (33-rasm) diagrammasi ma'lumotlaridan foydalanib, vazifalar yarating.

580. 1) "Beshinchi sinf o'quvchisi uchun kun tartibi" (34-rasm) pirog jadvaliga ko'ra, jadvalni to'ldiring va savollarga javob bering: kunning qaysi qismi uxlash uchun ajratilgan? uy vazifasi uchunmi? maktabga?

2) Kundalik tartibingiz haqida doiraviy diagramma tuzing.

Endi biz alohida kasrlarni qo'shish va ko'paytirishni o'rganganimizdan so'ng, yanada murakkab tuzilmalarni ko'rishimiz mumkin. Masalan, bir xil masala kasrlarni qo'shish, ayirish va ko'paytirishni o'z ichiga olsa-chi?

Avvalo, barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantirishingiz kerak. Keyin biz kerakli harakatlarni ketma-ket bajaramiz - oddiy raqamlar bilan bir xil tartibda. Ya'ni:

Avval daraja ko'rsatish amalga oshiriladi - ko'rsatkichlarni o'z ichiga olgan barcha ifodalardan xalos bo'ling;
Keyin - bo'linish va ko'paytirish;
Oxirgi bosqich - qo'shish va ayirish.

Albatta, agar ifodada qavslar mavjud bo'lsa, amallar tartibi o'zgaradi - birinchi navbatda qavs ichidagi hamma narsani sanash kerak. Va noto'g'ri kasrlar haqida unutmang: siz boshqa barcha harakatlar allaqachon bajarilgandan keyingina butun qismini ajratib ko'rsatishingiz kerak.

Keling, birinchi ifodadagi barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiramiz va keyin quyidagi amallarni bajaramiz:

Endi ikkinchi ifodaning qiymatini topamiz. Butun qismli kasrlar yo'q, lekin qavslar mavjud, shuning uchun avval biz qo'shishni amalga oshiramiz va shundan keyingina bo'linadi. E'tibor bering, 14 = 7 · 2. Keyin:

Nihoyat, uchinchi misolni ko'rib chiqing. Bu erda qavslar va daraja bor - ularni alohida hisoblash yaxshiroqdir. 9 = 3 3 ekanligini hisobga olsak, bizda:

Oxirgi misolga e'tibor bering. Kasrni darajaga ko'tarish uchun siz hisoblagichni ushbu darajaga va alohida maxrajga ko'tarishingiz kerak.

Siz boshqacha qaror qilishingiz mumkin. Agar daraja ta'rifini eslasak, muammo kasrlarni odatiy ko'paytirishga qisqartiriladi:

Ko'p qavatli kasrlar

Hozirgacha biz faqat "sof" kasrlarni ko'rib chiqdik, agar hisoblagich va maxraj oddiy sonlar bo'lsa. Bu birinchi darsda berilgan son kasrning ta'rifiga juda mos keladi.

Ammo agar siz hisoblagich yoki maxrajga murakkabroq ob'ektni qo'ysangiz nima bo'ladi? Masalan, boshqa raqamli kasr? Bunday konstruktsiyalar, ayniqsa, uzun iboralar bilan ishlashda juda tez-tez paydo bo'ladi. Mana bir nechta misollar:

Ko'p qavatli fraktsiyalar bilan ishlashda faqat bitta qoida mavjud: siz darhol ulardan qutulishingiz kerak. "Qo'shimcha" qavatlarni olib tashlash juda oddiy, agar esda tutsangiz, chiziq standart bo'linish operatsiyasini anglatadi. Shuning uchun har qanday kasrni quyidagicha qayta yozish mumkin:

Ushbu faktdan foydalanib va protseduraga rioya qilib, biz har qanday ko'p qavatli fraktsiyani oddiy qismga osongina qisqartirishimiz mumkin. Misollarni ko'rib chiqing:

Vazifa. Ko'p qavatli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantiring:

Har bir holatda, biz asosiy kasrni qayta yozamiz, bo'linish chizig'ini bo'linish belgisi bilan almashtiramiz. Shuni ham yodda tutingki, har qanday butun sonni maxraji 1 bo'lgan kasr sifatida ko'rsatish mumkin 12 = 12/1; 3 = 3/1. Biz olamiz:

Oxirgi misolda, kasrlar oxirgi ko'paytirishdan oldin bekor qilingan.

Ko'p darajali kasrlar bilan ishlashning o'ziga xos xususiyatlari

Ko'p qavatli fraktsiyalarda har doim eslab qolish kerak bo'lgan bitta noziklik bor, aks holda siz barcha hisob-kitoblar to'g'ri bo'lsa ham, noto'g'ri javob olishingiz mumkin. Ko'rib chiqing:

Numeratorda bitta raqam 7, maxrajda esa 12/5 kasr mavjud;
Numeratorda 7/12 kasr, maxrajda esa alohida 5 raqami mavjud.

Shunday qilib, bitta yozuv uchun biz ikkita butunlay boshqacha talqin oldik. Agar hisoblasangiz, javoblar ham boshqacha bo'ladi:

Yozuv har doim bir ma'noda o'qilishini ta'minlash uchun oddiy qoidadan foydalaning: asosiy kasrning bo'linuvchi chizig'i ichki qismning chizig'idan uzunroq bo'lishi kerak. Tercihen bir necha marta.

Agar siz ushbu qoidaga amal qilsangiz, yuqoridagi kasrlar quyidagicha yozilishi kerak:

Ha, ehtimol u ko'rinmas va juda ko'p joy egallaydi. Lekin siz to'g'ri hisoblaysiz. Va nihoyat, ko'p qavatli fraktsiyalar paydo bo'lgan bir nechta misollar:

Vazifa. Ifodalarning ma'nolarini toping:

Shunday qilib, keling, birinchi misol bilan ishlaylik. Keling, barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiramiz va keyin qo'shish va bo'lish amallarini bajaramiz:

Ikkinchi misol bilan ham xuddi shunday qilaylik. Keling, barcha kasrlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiramiz va kerakli amallarni bajaramiz. O'quvchini zeriktirmaslik uchun men ba'zi aniq hisob-kitoblarni o'tkazib yuboraman. Bizda ... bor:

Asosiy kasrlarning ayiruvchisi va maxraji yig‘indilarni o‘z ichiga olganligi sababli, ko‘p qavatli kasrlarni yozish qoidasiga avtomatik tarzda rioya qilinadi. Bundan tashqari, oxirgi misolda, bo'linishni amalga oshirish uchun biz ataylab kasr shaklida 46/1 ni qoldirdik.

Shuni ham ta'kidlab o'tamanki, ikkala misolda kasr satri aslida qavslar o'rnini egallaydi: birinchi navbatda biz yig'indini topdik, shundan keyingina qismni topdik.

Ba'zilar ikkinchi misolda noto'g'ri kasrlarga o'tish aniq ortiqcha bo'lgan deb aytishadi. Balki bu haqiqatdir. Ammo bu bilan biz o'zimizni xatolardan sug'urta qilamiz, chunki keyingi safar misol ancha murakkab bo'lib chiqishi mumkin. O'zingiz uchun muhimroq narsani tanlang: tezlik yoki ishonchlilik.

Ushbu maqola kasrlar ustida amallarni ko'rib chiqadi. A B ko'rinishdagi kasrlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish yoki darajaga ko'tarish qoidalari shakllantiriladi va asoslanadi, bunda A va B raqamlar, sonli ifodalar yoki o'zgaruvchili ifodalar bo'lishi mumkin. Xulosa qilib, batafsil tavsiflangan echimlar misollari ko'rib chiqiladi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Umumiy sonli kasrlar bilan amallarni bajarish qoidalari

Raqamli kasrlar umumiy ko'rinish natural sonlar yoki sonli ifodalarni o'z ichiga olgan hisob va maxrajga ega bo'lish. Agar 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, p 1 - 2 3 + p kabi kasrlarni ko'rib chiqsak, 2 0, 5 ln 3 bo'lsa, u holda pay va maxraj nafaqat raqamlarga, balki har xil turdagi ifodalarga ham ega bo'lishi mumkinligi aniq.

Ta'rif 1

Oddiy kasrlar bilan operatsiyalarni bajarish qoidalari mavjud. U umumiy fraktsiyalar uchun ham javob beradi:

O'xshash maxrajli kasrlarni ayirishda faqat sonlar qo'shiladi va maxraj bir xil bo'lib qoladi, ya'ni: a d ± c d = a ± c d, a, c va d ≠ 0 qiymatlari ba'zi raqamlar yoki sonli ifodalardir.
maxrajlari har xil bo'lgan kasrni qo'shish yoki ayirishda uni umumiy maxrajga kamaytirish, so'ngra ko'rsatkichlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shish yoki ayirish kerak. Bu tom ma'noda shunday ko'rinadi: a b ± c d = a · p ± c · r s, bu erda a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 qiymatlari haqiqiy raqamlar, va b · p = d · r = s. p = d va r = b bo'lganda, a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
Kasrlarni ko'paytirishda hisoblagichlar bilan operatsiya bajariladi, undan so'ng maxrajlar bilan, keyin biz b · c d = a · c b · d ni olamiz, bu erda a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 haqiqiy sonlar rolini bajaradi.
Kasrni kasrga bo'lishda birinchisini ikkinchi teskari qismga ko'paytiramiz, ya'ni son va maxrajni almashtiramiz: a b: c d = a b · d c.

Qoidalar uchun asoslar

Ta'rif 2

Hisoblashda siz tayanishingiz kerak bo'lgan quyidagi matematik nuqtalar mavjud:

qiyshiq chiziq bo'linish belgisini bildiradi;
songa bo'lish uning o'zaro qiymatiga ko'paytirish sifatida qaraladi;
haqiqiy sonlar bilan amallar xossasini qo'llash;
kasrlar va sonli tengsizliklarning asosiy xossasini qo'llash.

Ularning yordami bilan siz shaklni o'zgartirishingiz mumkin:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Misollar

Oldingi paragrafda kasrlar bilan operatsiyalar haqida aytilgan edi. Shundan so'ng fraktsiyani soddalashtirish kerak. Ushbu mavzu kasrlarni konvertatsiya qilish bo'yicha paragrafda batafsil muhokama qilindi.

Birinchidan, bir xil maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish misolini ko‘rib chiqamiz.

1-misol

8 2, 7 va 1 2, 7 kasrlarni hisobga olgan holda, qoidaga ko'ra, hisoblagichni qo'shish va maxrajni qayta yozish kerak.

Yechim

Keyin 8 + 1 2, 7 shaklining bir qismini olamiz. Qo'shishni amalga oshirgandan so'ng, biz 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 ko'rinishdagi kasrni olamiz. Demak, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Javob: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Yana bir yechim bor. Boshlash uchun biz oddiy kasr shakliga o'tamiz, shundan so'ng biz soddalashtirishni amalga oshiramiz. Bu shunday ko'rinadi:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

2-misol

1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 dan 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 ko'rinishdagi kasrni ayiraylik.

Teng maxrajlar berilganligi sababli, biz bir xil maxrajli kasrni hisoblaymiz. Biz buni tushunamiz

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Turli xil maxrajli kasrlarni hisoblash misollari mavjud. Muhim nuqta - umumiy maxrajga qisqartirish. Busiz biz kasrlar bilan keyingi amallarni bajara olmaymiz.

Jarayon umumiy maxrajga qisqarishni noaniq eslatadi. Ya'ni, maxrajdagi eng kichik umumiy bo'luvchi qidiriladi, shundan so'ng etishmayotgan omillar kasrlarga qo'shiladi.

Agar qo'shilayotgan kasrlar umumiy omillarga ega bo'lmasa, ularning mahsuloti bitta bo'lishi mumkin.

3-misol

Keling, 2 3 5 + 1 va 1 2 kasrlarni qo'shish misolini ko'rib chiqaylik.

Yechim

Bunda umumiy maxraj maxrajlarning hosilasi hisoblanadi. Keyin biz 2 · 3 5 + 1 ni olamiz. Keyin, qo'shimcha omillarni o'rnatishda biz birinchi kasr uchun u 2 ga, ikkinchisi uchun esa 3 5 + 1 ga teng bo'ladi. Ko'paytirishdan keyin kasrlar 4 2 · 3 5 + 1 ko'rinishiga keltiriladi. 1 2 ning umumiy qisqarishi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 bo'ladi. Olingan kasr iboralarni qo'shamiz va buni olamiz

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Javob: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Umumiy kasrlar bilan shug'ullanadigan bo'lsak, biz odatda eng kichik umumiy maxraj haqida gapirmaymiz. Numeratorlarning ko'paytmasini maxraj sifatida qabul qilish foydasiz. Avval siz ularning mahsulotidan kamroq qiymatga ega bo'lgan raqam mavjudligini tekshirishingiz kerak.

4-misol

1 6 · 2 1 5 va 1 4 · 2 3 5 misolini ko'rib chiqamiz, bunda ularning ko'paytmasi 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 ga teng bo'ladi. Keyin umumiy maxraj sifatida 12 · 2 3 5 ni olamiz.

Keling, umumiy kasrlarni ko'paytirish misollarini ko'rib chiqaylik.

5-misol

Buning uchun siz 2 + 1 6 va 2 · 5 3 · 2 + 1 ni ko'paytirishingiz kerak.

Yechim

Qoidaga rioya qilgan holda, sanoqchilarning ko'paytmasini maxraj shaklida qayta yozish va yozish kerak. Biz 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 ni olamiz. Kasr ko'paytirilgandan so'ng, uni soddalashtirish uchun qisqartirishlar qilishingiz mumkin. Keyin 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

O'zaro kasrga bo'linishdan ko'paytirishga o'tish qoidasidan foydalanib, biz berilgan kasrga o'zaro bo'lgan kasrni olamiz. Buning uchun pay va maxraj almashtiriladi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Keyin ular hosil bo'lgan kasrni ko'paytirishi va soddalashtirishi kerak. Agar kerak bo'lsa, denominatordagi mantiqsizlikdan xalos bo'ling. Biz buni tushunamiz

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Javob: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Ushbu band son yoki raqamli ifodani maxraji 1 ga teng bo'lgan kasr sifatida ifodalash mumkin bo'lganda qo'llaniladi, keyin bunday kasr bilan operatsiya alohida paragraf hisoblanadi. Masalan, 1 6 · 7 4 - 1 · 3 ifodasi 3 ning ildizini boshqa 3 1 ifoda bilan almashtirish mumkinligini ko'rsatadi. Keyin bu yozuv 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 ko'rinishidagi ikkita kasrni ko'paytirishga o'xshaydi.

Tarkibida o‘zgaruvchilar bo‘lgan kasrlar ustida amallarni bajarish

Birinchi maqolada ko'rib chiqilgan qoidalar o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan kasrlar bilan operatsiyalar uchun qo'llaniladi. Maxrajlar bir xil bo'lganda ayirish qoidasini ko'rib chiqing.

A, C va D (D nolga teng emas) har qanday ifoda bo'lishi mumkinligini isbotlash kerak va A D ± C D = A ± C D tengligi uning ruxsat etilgan qiymatlar diapazoniga ekvivalentdir.

ODZ o'zgaruvchilari to'plamini olish kerak. Keyin A, C, D mos keladigan qiymatlarni olishlari kerak a 0 , c 0 va d 0. A D ± C D shaklini almashtirish natijasida a 0 d 0 ± c 0 d 0 ko'rinishdagi farq paydo bo'ladi, bu erda qo'shish qoidasidan foydalanib, a 0 ± c 0 d 0 ko'rinishdagi formulani olamiz. Agar A ± C D ifodasini almashtirsak, a 0 ± c 0 d 0 ko'rinishdagi bir xil kasrni olamiz. Bu erdan biz ODZ, A ± C D va A D ± C D ni qanoatlantiradigan tanlangan qiymat teng deb hisoblanadi degan xulosaga kelamiz.

O'zgaruvchilarning har qanday qiymati uchun bu ifodalar teng bo'ladi, ya'ni ular bir xil teng deb ataladi. Bu shuni anglatadiki, bu ifoda A D ± C D = A ± C D ko'rinishidagi isbotlanadigan tenglik hisoblanadi.

O'zgaruvchili kasrlarni qo'shish va ayirishga misollar

Agar sizda bir xil maxrajlar bo'lsa, siz faqat sonlarni qo'shishingiz yoki ayirishingiz kerak. Bu fraktsiyani soddalashtirish mumkin. Ba'zan siz bir xil darajada teng bo'lgan kasrlar bilan ishlashingiz kerak bo'ladi, lekin birinchi qarashda bu sezilmaydi, chunki ba'zi o'zgarishlarni amalga oshirish kerak. Masalan, x 2 3 x 1 3 + 1 va x 1 3 + 1 2 yoki 1 2 sin 2 a va sin a cos a. Ko'pincha, bir xil maxrajlarni ko'rish uchun asl iborani soddalashtirish talab qilinadi.

6-misol

Hisoblang: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1.

Yechim

Hisoblash uchun siz bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni ayirishingiz kerak. Keyin biz x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 ni olamiz. Keyin qavslarni quyma bilan kengaytirishingiz mumkin o'xshash atamalar. Biz x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2 ni olamiz.
Maxrajlar bir xil bo‘lgani uchun, maxrajni qoldirib, sonlarni qo‘shishgina qoladi: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x) + 2)
Qo'shish tugallandi. Fraksiyani kamaytirish mumkinligini ko'rish mumkin. Uning numeratorini yig'indining kvadrati formulasi yordamida katlamak mumkin, keyin biz (l g x + 2) 2 ni olamiz. qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan. Keyin biz buni olamiz
l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
Har xil maxrajli x - 1 x - 1 + x x + 1 ko'rinishdagi kasrlar berilgan. Transformatsiyadan so'ng siz qo'shimchaga o'tishingiz mumkin.

Keling, ikki tomonlama yechimni ko'rib chiqaylik.

Birinchi usul shundan iboratki, birinchi kasrning maxraji kvadratlar yordamida koeffitsientlarga ajratiladi, keyinchalik uni qisqartiradi. Biz shaklning bir qismini olamiz

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Shunday qilib, x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1.

Bunda maxrajdagi mantiqsizlikdan qutulish kerak.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Ikkinchi usul - ikkinchi kasrning soni va maxrajini x - 1 ifodasiga ko'paytirish. Shunday qilib, biz irratsionallikdan xalos bo'lamiz va bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishga o'tamiz. Keyin

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Javob: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1.

Oxirgi misolda biz umumiy maxrajga qisqarish muqarrar ekanligini aniqladik. Buning uchun kasrlarni soddalashtirish kerak. Qo'shish yoki ayirish paytida siz har doim umumiy maxrajni izlashingiz kerak, bu sonlarga qo'shilgan qo'shimcha omillar bilan maxrajlarning mahsulotiga o'xshaydi.

7-misol

Kasrlarning qiymatlarini hisoblang: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Yechim

Yo'q murakkab hisob-kitoblar maxraj shart emas, shuning uchun siz 3 x 7 + 2 · 2 ko'rinishidagi mahsulotini tanlashingiz kerak, keyin qo'shimcha omil sifatida birinchi kasr uchun x 7 + 2 · 2, ikkinchisi uchun 3 ni tanlang. Ko'paytirishda biz x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 ko'rinishidagi kasrni olamiz. x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
Ko'rinib turibdiki, maxrajlar mahsulot ko'rinishida taqdim etilgan, ya'ni qo'shimcha transformatsiyalar kerak emas. Umumiy maxraj x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 ko'rinishdagi ko'paytma sifatida qabul qilinadi. Demak, x 4 birinchi kasrga qo'shimcha omil va ln (x + 1) ikkinchisiga. Keyin ayirib, olamiz:
x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2'x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) )
Bu misol kasr maxrajlari bilan ishlashda mantiqiydir. Kvadratlar va yig'indi kvadratlari farqi uchun formulalarni qo'llash kerak, chunki ular 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) ko'rinishidagi ifodaga o'tishga imkon beradi. x) 2. Ko'rinib turibdiki, kasrlar umumiy maxrajga keltiriladi. Biz cos x - x · cos x + x 2 ni olamiz.

Keyin biz buni olamiz

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Javob:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2.

O'zgaruvchilar bilan kasrlarni ko'paytirishga misollar

Kasrlarni ko'paytirishda hisob raqamga, maxraj esa maxrajga ko'paytiriladi. Keyin kamaytirish xususiyatini qo'llashingiz mumkin.

8-misol

X + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 va 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x kasrlarni ko'paytiring.

Yechim

Ko'paytirishni amalga oshirish kerak. Biz buni tushunamiz

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 gunoh (2 x - x)

Hisoblash qulayligi uchun 3 raqami birinchi o'ringa ko'chiriladi va siz kasrni x 2 ga kamaytirishingiz mumkin, keyin biz shaklning ifodasini olamiz

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Javob: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · gunoh (2 · x - x) .

Bo'lim

Kasrlarni bo'lish ko'paytirishga o'xshaydi, chunki birinchi kasr ikkinchi o'zaro ko'paytiriladi. Masalan, x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 kasrni olib, 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x ga bo'linadigan bo'lsak, uni quyidagicha yozish mumkin.

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , keyin x + 2 · x ko'paytmasi bilan almashtiring 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Eksponentsiya

Keling, darajali umumiy kasrlar bilan amallarni ko'rib chiqishga o'tamiz. Agar diplomingiz bo'lsa tabiiy ko'rsatkich, keyin harakat ko'paytirish deb hisoblanadi kasrlar kabi. Ammo darajalarning xususiyatlariga asoslangan umumiy yondashuvdan foydalanish tavsiya etiladi. Har qanday A va C ifodalari, bu erda C bir xil nolga teng bo'lmagan va A C r ko'rinishdagi ifoda uchun ODZdagi har qanday haqiqiy r A C r = A r C r tenglik o'rinlidir. Natijada kuchga ko'tarilgan kasr hosil bo'ladi. Masalan, ko'rib chiqing:

x 0, 7 - p · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - p · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Kasrlar bilan amallarni bajarish tartibi

Kasrlar bo'yicha operatsiyalar ma'lum qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Amalda biz ifodada bir nechta kasr yoki kasr iboralar bo'lishi mumkinligini ko'ramiz. Keyin barcha harakatlarni qat'iy tartibda bajarish kerak: kuchga ko'taring, ko'paytiring, bo'ling, so'ngra qo'shing va olib tashlang. Qavslar mavjud bo'lsa, birinchi harakat ular ichida amalga oshiriladi.

9-misol

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x ni hisoblang.

Yechim

Bizda bir xil maxraj bor, keyin 1 - x cos x va 1 c o s x, lekin ayirishlarni qoida bo'yicha bajarish mumkin emas, birinchi navbatda qavs ichidagi amallar, keyin ko'paytirish va qo'shish amalga oshiriladi; Keyin hisoblashda biz buni olamiz

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Ifodani asl iboraga almashtirsak, 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x ni olamiz. Kasrlarni ko'paytirishda bizda: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Barcha almashtirishlarni amalga oshirib, biz 1 - x cos x - x + 1 cos x · x ni olamiz. Endi siz turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bilan ishlashingiz kerak. Biz olamiz:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Javob: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ushbu bo'lim oddiy kasrlar bilan operatsiyalarni o'z ichiga oladi. Agar aralash sonlar bilan matematik amalni bajarish zarur bo'lsa, unda aralash kasrni favqulodda kasrga aylantirish, kerakli amallarni bajarish va kerak bo'lganda yakuniy natijani yana aralash son shaklida taqdim etish kifoya. . Ushbu operatsiya quyida tavsiflanadi.

Kasrni qisqartirish

Matematik operatsiya. Kasrni qisqartirish

\frac(m)(n) kasrni kamaytirish uchun uning soni va maxrajining eng katta umumiy boʻluvchisini topish kerak: gcd(m,n), soʻngra kasrning payini va maxrajini shu songa boʻlish kerak. Agar GCD(m,n)=1 bo'lsa, kasrni qisqartirib bo'lmaydi. Misol: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Odatda, eng katta umumiy bo'luvchini darhol topish qiyin ish bo'lib tuyuladi va amalda kasr bir necha bosqichda qisqartiriladi, aniq umumiy omillarni pay va maxrajdan bosqichma-bosqich ajratib turadi. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish

Matematik operatsiya. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish

Ikki kasr \frac(a)(b) va \frac(c)(d)ni umumiy maxrajga keltirish uchun quyidagilar kerak:

maxrajlarning eng kichik umumiy karralini toping: M=LMK(b,d);
birinchi kasrning sonini va maxrajini M / b ga ko'paytiring (bundan keyin kasrning maxraji M soniga teng bo'ladi);
ikkinchi kasrning sonini va maxrajini M / d ga ko'paytiring (bundan keyin kasrning maxraji M soniga teng bo'ladi).

Shunday qilib, biz asl kasrlarni bir xil maxrajli kasrlarga aylantiramiz (bu M soniga teng bo'ladi).

Masalan, \frac(5)(6) va \frac(4)(9) kasrlar LCM(6,9) = 18 ga ega. Keyin: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Shunday qilib, hosil bo'lgan kasrlar umumiy maxrajga ega.

Amalda, maxrajlarning eng kichik umumiy karrali (LCM) topish har doim ham oddiy ish emas. Shuning uchun umumiy maxraj sifatida asl kasrlarning maxrajlari ko'paytmasiga teng son tanlanadi. Masalan, \frac(5)(6) va \frac(4)(9) kasrlar N=6\cdot9 umumiy maxrajga keltiriladi:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Kasrlarni taqqoslash

Matematik operatsiya. Kasrlarni taqqoslash

Ikki oddiy kasrni solishtirish uchun sizga kerak bo'ladi:

olingan kasrlarning sanoqlarini solishtiring; kattaroq hisoblagichga ega bo'lgan kasr kattaroq bo'ladi.

Masalan, \frac(9)(14)

Kasrlarni taqqoslashda bir nechta maxsus holatlar mavjud:

Ikki kasrdan bir xil maxrajlar bilan Numeratori katta bo'lgan kasr katta bo'ladi. Masalan, \frac(3)(15)
Ikki kasrdan bir xil hisoblagichlar bilan Maxraji kichikroq bo'lgan kasr katta bo'ladi. Masalan, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
Bir vaqtning o'zida bu kasr kattaroq ayiruvchi va kichikroq maxraj, Ko'proq. Masalan, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Diqqat! 1-qoida har qanday kasrlarga nisbatan qo'llaniladi, agar ularning umumiy maxraji musbat son bo'lsa. 2 va 3-qoidalar musbat kasrlarga (ham hisob, ham maxraj noldan katta bo'lganlar) qo'llaniladi.

Kasrlarni qo'shish va ayirish

Matematik operatsiya. Kasrlarni qo'shish va ayirish

Ikki kasr qo'shish uchun sizga kerak bo'ladi:

ularni umumiy maxrajga keltirish;
ularning sonlarini qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring.

Misol: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Bir kasrdan boshqasini ayirish uchun sizga kerak bo'ladi:

kasrlarni umumiy maxrajga keltirish;
Birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning sonini ayirib, maxrajni o'zgarishsiz qoldiring.

Misol: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Agar dastlabki kasrlar dastlab umumiy maxrajga ega bo'lsa, u holda 1-bosqich (umumiy maxrajga qisqartirish) o'tkazib yuboriladi.

Aralash sonni noto'g'ri kasrga va aksincha aylantirish

Matematik operatsiya. Aralash sonni noto'g'ri kasrga va aksincha aylantirish

Aralash kasrni noto'g'ri kasrga aylantirish uchun aralash kasrning butun qismini kasr qismi bilan yig'ish kifoya. Bunday yig'indining natijasi noto'g'ri kasr bo'ladi, uning numeratori aralash kasrning soni bilan kasrning maxraji bilan butun qismning ko'paytmasining yig'indisiga teng bo'ladi va maxraj bir xil bo'lib qoladi. Masalan, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Noto'g'ri kasrni aralash songa aylantirish uchun:

kasrning sonini uning maxrajiga bo‘lish;
bo'linishning qolgan qismini sanoqchiga yozing va maxrajni bir xil qoldiring;
bo'linish natijasini butun qism sifatida yozing.

Masalan, kasr \frac(23)(4) . 23:4=5,75 ga bo’linganda, ya’ni butun qismi 5 ga, bo’linishning qolgan qismi 23-5*4=3 ga teng bo’ladi. Keyin aralash raqam yoziladi: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

O'nlik kasrni kasrga aylantirish

Matematik operatsiya. O'nlik kasrni kasrga aylantirish

O'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun sizga kerak bo'ladi:

maxraj sifatida o'nning n-darajasini oling (bu erda n - o'nli kasrlar soni);
hisoblagich sifatida o'nli kasrdan keyin raqamni oling (agar asl sonning butun qismi nolga teng bo'lmasa, unda barcha bosh nollarni ham oling);
nolga teng bo'lmagan butun qism eng boshida hisoblagichga yoziladi; nol butun qismi olib tashlandi.

1-misol: 0,0089=\frac(89)(10000) (4 kasrli kasr mavjud, shuning uchun maxraj 10 4 =10000 ga ega, chunki butun qism 0 ga teng bo'lganligi sababli, hisoblagich o'nli kasrdan keyingi sonni bosh nolsiz o'z ichiga oladi)

2-misol: 31.0109=\frac(310109)(10000) (hisoblagichda biz kasrdan keyingi sonni barcha nollar bilan yozamiz: “0109”, keyin esa uning oldiga asl “31” raqamining butun qismini qo'shamiz)

Agar o'nli kasrning butun qismi nolga teng bo'lmasa, uni aralash kasrga aylantirish mumkin. Buning uchun raqamni ga aylantiramiz oddiy kasr go'yo butun qism nolga teng edi (1 va 2 nuqtalar) va biz kasrdan oldin butun qismni shunchaki qayta yozamiz - bu aralash sonning butun qismi bo'ladi. Misol:

3,014=3\frac(14)(100)

Kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun hisobni maxrajga bo'lish kifoya. Ba'zan siz cheksiz o'nli kasr bilan yakunlanasiz. Bunday holda, kerakli kasrga yaxlitlash kerak. Misollar:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\taxminan 0,6667

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish

Matematik operatsiya. Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish

Ikki oddiy kasrni ko'paytirish uchun kasrlarning sonlari va maxrajlarini ko'paytirish kerak.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Bitta oddiy kasrni ikkinchi kasrga bo'lish uchun birinchi kasrni ikkinchi kasrning teskari qismiga ko'paytirish kerak ( o'zaro kasr- sanoqchi va maxraj almashtirilgan kasr.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Agar kasrlardan biri bo'lsa natural son, keyin ko'paytirish va bo'lishning yuqoridagi qoidalari o'z kuchida qoladi. Shunchaki, butun son bir xil kasr ekanligini hisobga olishingiz kerak, uning maxraji birga teng. Masalan: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

1. Bir xil maxrajli kasrlarni qo`shish qoidasi:

1-misol:

2-misol:

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish qoidasi:

1-misol:

2-misol:

Bu erda maxrajlar ko'paytirilmadi, lekin eng kichik umumiy koeffitsient a2 olindi.
(Maxrajning eng yuqori kuchi 2 ga teng.)
Birinchi kasr uchun qo'shimcha omil 1 ga, ikkinchisi uchun esa a.

2. O‘xshash maxrajli kasrlarni ayirish qoidasi:

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish qoidasi:

3. Oddiy kasrlarni ko`paytirish qoidasi:

4. Kasrlarni bo'lish qoidasi:

Misol:

Oddiy (oddiy) kasr. Kasrning son va maxraji.
To'g'ri va noto'g'ri kasrlar. Aralash raqam.
To'liq bo'lmagan qism. Butun va kasr qismlar. Teskari kasrlar. Birlikning bir qismi yoki uning bir necha qismlari oddiy yoki oddiy kasr deyiladi. Birlik bo'linadigan teng qismlar soniga maxraj, olingan qismlar soni esa hisob deyiladi. Kasr quyidagicha yoziladi:

Bu erda 3 - ayiruvchi, 7 - maxraj.

Agar ayiruvchi maxrajdan kichik bo'lsa, kasr 1 dan kichik bo'ladi va deyiladi to'g'ri kasr. Agar ayiruvchi maxrajga teng bo'lsa, u holda kasr 1 ga teng bo'ladi. Agar ayiruvchi maxrajdan katta bo'lsa, kasr 1 dan katta bo'ladi. Keyingi ikkala holatda ham kasr noto'g'ri deyiladi. Agar hisoblagich maxrajga bo'lingan bo'lsa, u holda bu kasr bo'linish qismiga teng bo'ladi: 63 / 7 = 9. Agar bo'linish qoldiq bilan bajarilsa, u holda bu noto'g'ri kasrni ifodalash mumkin. aralash raqam:

Bu erda 9 - to'liq bo'lmagan qism(aralash sonning butun qismi), 2 – qoldiq (kasr qismining soni), 7 – maxraj.
Ko'pincha teskari muammoni hal qilish kerak - aralash raqamni teskari aylantiring kasrga. Buning uchun aralash sonning butun qismini maxrajga ko'paytiring va kasr qismining hisobini qo'shing. Bu oddiy kasrning soni bo'ladi, lekin maxraj bir xil bo'lib qoladi.

O'zaro kasrlar mahsuloti 1 ga teng bo'lgan ikkita kasrdir. Masalan, 3/7 va 7/3; 15/1 va 1/15 va boshqalar.

Fraksiyaning kengayishi. Kasrni qisqartirish. Kasrlarni solishtirish.
Umumiy maxrajga qisqartirish. Qo‘shish va ayirish kasrlar.
Kasrlarni ko'paytirish. Kasrlarning bo'linishi
Fraksiyaning kengayishi.Agar kasrning soni va maxraji kasrni kengaytirish orqali noldan boshqa bir xil songa ko'paytirilsa, uning qiymati o'zgarmaydi.

Kasrni qisqartirish. Kasrning soni va maxrajini noldan boshqa bir xil songa bo'lsak, uning qiymati o'zgarmaydi.. Ushbu transformatsiya deyiladikasrni kamaytirish. Masalan,

Kasrlarni solishtirish.Ayrimlari bir xil bo'lgan ikkita kasrdan maxraji kichikroq bo'lgan kasr katta bo'ladi:

Maxrajlari bir xil bo'lgan ikkita kasrning soni katta bo'lgan kasr katta bo'ladi:

Turli xil hisoblagichlar va maxrajlarga ega bo'lgan kasrlarni solishtirish uchun ularni umumiy maxrajga olib kelish uchun kengaytirish kerak.
MISOL Ikki kasrni solishtiring:

Bu erda ishlatiladigan transformatsiya deyiladi kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.
Kasrlarni qo'shish va ayirish.Agar kasrlarning maxrajlari bir xil bo'lsa, kasrlarni qo'shish uchun ularning sonlarini qo'shish kerak, kasrlarni ayirish uchun esa (bir xil tartibda) ayirish kerak. Olingan yig'indi yoki farq natijaning numeratori bo'ladi; maxraj bir xil bo'lib qoladi. Agar kasrlarning maxrajlari har xil bo'lsa, birinchi navbatda kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirish kerak. Aralash sonlarni qo`shishda ularning butun va kasr qismlari alohida qo`shiladi. Aralash sonlarni ayirishda avval ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishni, so'ngra birini ikkinchisidan ayirishni, keyin esa natijani, kerak bo'lsa, yana aralash son shakliga o'tkazishni tavsiya qilamiz.
MISOL

Kasrlarni ko'paytirish.Raqamni kasrga ko'paytirish, uni sanoqchiga ko'paytirish va ko'paytmani maxrajga bo'lish demakdir. Shunday qilib, kasrlarni ko'paytirishning umumiy qoidasi bor:kasrlarni ko'paytirish uchun ularning soni va maxrajlarini alohida ko'paytirish va birinchi hosilani ikkinchisiga bo'lish kerak..
MISOL
Kasrlarni bo'lish. Muayyan sonni kasrga bo'lish uchun bu raqamni o'zaro kasrga ko'paytirish kerak bo'ladi, bu qoida bo'linish ta'rifidan kelib chiqadi ("Arifmetik amallar" bo'limiga qarang).
MISOL

O'nlik. Butun qism. O'nlik nuqta.
O'nlik joylari. O'nli kasrlarning xossalari.
Davriy kasr. Davr
O'nliko‘nga, yuzga, mingga va boshqalarga bo‘lish natijasidir. qismlar. Bu kasrlar hisob-kitoblar uchun juda qulaydir, chunki ular butun sonlarni sanash va yozish bir xil pozitsion tizimga asoslangan. Buning yordamida o'nli kasrlar bilan ishlashning belgilari va qoidalari butun sonlar bilan bir xil bo'ladi. O'nli kasrlarni yozishda maxrajni belgilashning hojati yo'q, bu tegishli raqam egallagan joy bilan belgilanadi. Avval yoziladi butun qismi raqamlar, keyin o'ngga qo'yingkasr nuqtasi. O'nli kasrdan keyingi birinchi raqam o'ndan birlar sonini, ikkinchisi - yuzdan birlar sonini, uchinchisi - mingdan birlar sonini va boshqalarni anglatadi. Kasrdan keyin joylashgan raqamlar chaqiriladio'nli kasrlar.
MISOL
O'nli kasrlarning afzalliklaridan biri shundaki, ular osonlik bilan oddiy kasrlarga keltiriladi: kasrdan keyingi son (bizning holatda 5047) hisoblagichdir; maxraj teng n -10 ning kuchi, bu erda n - kasrlar soni (bizning holimizda n = 4):
Agar o'nli kasrda butun son bo'lmasa, o'nli kasrdan oldin nol qo'yiladi:

O'nli kasrlarning xossalari.

1. Agar o'ngga nol qo'shsangiz, kasr o'zgarmaydi:

2. Agar joylashgan nollarni olib tashlasangiz, o'nlik kasr o'zgarmaydi
kasr oxirida:

0.00123000 = 0.00123 .

Diqqat! Siz oxirida bo'lmagan nollarni olib tashlay olmaysiz kasrli!br />

Bu xususiyatlar o'nli kasrlarni 10, 100, 1000 va hokazolarga tez ko'paytirish va bo'lish imkonini beradi.

Davriy kasr nuqta deb ataladigan cheksiz takrorlanadigan sonlar guruhini o'z ichiga oladi. Davr qavs ichida yoziladi. Masalan, 0,12345123451234512345… = 0.(12345).

MISOL Agar 47 ni 11 ga bo‘lsak, 4,27272727... = 4.(27) bo‘ladi.

O'nli kasrlarni ko'paytirish.
O'nli kasrlarni bo'lish.

O'nli kasrlarni qo'shish va ayirish. Bu amallar butun sonlarni qo'shish va ayirish kabi bajariladi. Siz shunchaki mos keladigan kasrlarni bir-birining ostiga yozishingiz kerak.
MISOL

O'nli kasrlarni ko'paytirish. Birinchi bosqichda o'nli kasrlarni o'nli kasrni hisobga olmagan holda butun sonlar sifatida ko'paytiramiz. Keyin quyidagi qoida qo'llaniladi: mahsulotdagi o'nli kasrlar soni barcha omillardagi o'nli kasrlar yig'indisiga teng.
Eslatma: kasrni qo'yishdan oldinmahsulotni keyingi nollar bilan tashlab bo'lmaydi!
MISOL

Faktorlardagi o'nli kasrlar sonining yig'indisi teng: 3 + 4 = 7. Ko'paytmadagi sonlar yig'indisi 6. Shuning uchun chapga bitta nol qo'shishingiz kerak: 0197056 va kasr nuqtasini qo'ying. uning oldida: 0,0197056.
O'nlik bo'linish
O'nli kasrni butun songa bo'lish
Agar dividend bo'luvchidan kamroq, qismning butun qismiga nol yozing va undan keyin kasr qo'ying. Keyin, dividendning kasr nuqtasini hisobga olmagan holda, biz kasr qismining keyingi raqamini uning butun qismiga qo'shamiz va dividendning hosil bo'lgan butun qismini bo'linuvchi bilan yana solishtiramiz. Agar yangi raqam bo'luvchidan yana kichik bo'lsa, biz bo'linmadagi kasrdan keyin yana bir nol qo'yamiz va dividendning butun qismiga uning kasr qismining keyingi raqamini qo'shamiz. Olingan dividend bo'luvchidan kattaroq bo'lgunga qadar bu jarayonni takrorlaymiz. Shundan so'ng, bo'linish butun sonlar kabi amalga oshiriladi. Agar dividend bo'luvchidan katta yoki unga teng, avval uning butun qismini ajratamiz, bo'linish natijasini bo'linmaga yozamiz va kasrni qo'yamiz. Shundan so'ng, bo'linish butun sonlardagi kabi davom etadi.
MISOL 1,328 ni 64 ga bo'ling.
Yechim:
Bir kasrni ikkinchi kasrga bo'lish.
Birinchidan, biz dividend va bo'luvchidagi o'nli kasrlarni bo'luvchidagi o'nli kasrlar soniga o'tkazamiz, ya'ni bo'luvchini butun songa aylantiramiz. Endi biz oldingi holatda bo'lgani kabi bo'linishni bajaramiz.
MISOL 0,04569 ni 0,0006 ga bo'ling.
Yechish: Kasrni 4 pozitsiya o‘ngga siljiting va 456,9 ni 6 ga bo‘ling:

O'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun o'nli kasrdan keyingi sonni ayiruvchi, o'nlik kasrni esa maxraj sifatida qabul qilish kerak. (bu yerda n - kasrlar soni). Nolga teng bo'lmagan butun qism oddiy kasrda saqlanadi; nol butun qismi olib tashlandi. Masalan:
Kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun bo'linish qoidalariga muvofiq hisobni maxrajga bo'lish kerak..
MISOL 5/8 ni kasrga aylantiring.
Yechish: 5 ni 8 ga bo‘lish natijasida 0,625 hosil bo‘ladi. (Iltimos, tekshiring!).
Aksariyat hollarda bu jarayon cheksiz davom etishi mumkin. Keyin kasrni o'nli kasrga aniq o'tkazish mumkin emas. Ammo amalda bu hech qachon talab qilinmaydi. Qiziqarli kasrlar allaqachon olingan bo'lsa, bo'linish to'xtatiladi.
MISOL 1/3 ni kasrga aylantiring.
Yechish: 1 ni 3 ga bo‘lish cheksiz bo‘ladi: 1:3 = 0,3333… .
Iltimos, tekshiring!