Öklid uzayında vektör uzunluğunun özellikleri. Öklid uzayları

Öklid uzayı

Öklid uzayı(Ayrıca Öklid uzayı) - orijinal anlamda, özellikleri Öklid geometrisinin aksiyomları tarafından tanımlanan bir uzay. Bu durumda uzayın 3. boyuta sahip olduğu varsayılır.

Modern anlamda, daha genel anlamda, aşağıda tanımlanan benzer ve yakından ilişkili nesnelerden birini belirtebilir. Tamamen kabul edilebilir olmayan gösterim sıklıkla kullanılmasına rağmen, genellikle boyutlu Öklid uzayı ile gösterilir.

en basit durumda ( Öklid normu):

nerede (Öklid uzayında her zaman bu en basit versiyonun doğru olduğu bir temel seçebilirsiniz).

2. Yukarıda açıklanan uzaya karşılık gelen metrik uzay. Yani, aşağıdaki formüle göre girilen metrikle:

İlgili tanımlar

Altında Öklid metriği yukarıda açıklanan metrik ve aynı zamanda karşılık gelen Riemann metriği olarak anlaşılabilir.

Yerel Öklidsellik ile genellikle bir Riemann manifoldunun her teğet uzayının, sonraki tüm özelliklere sahip bir Öklid uzayı olduğunu kastediyoruz; örneğin, (metriğin düzgünlüğü nedeniyle) bir noktanın küçük bir mahallesine koordinatları dahil etme yeteneği. mesafe yukarıda açıklandığı gibi (bir miktar büyüklük sırasına kadar) ifade edilir.

Bir metrik uzaya, metriğin her yerde (veya en azından sonlu bir alanda) Öklid (ikinci tanım anlamında) olacağı koordinatlar eklemek mümkünse, yerel olarak Öklid uzayı olarak da adlandırılır - ki bu, örneğin, sıfır eğrilikli bir Riemann manifoldu.

Örnekler

Öklid uzaylarının açıklayıcı örnekleri aşağıdaki uzaylardır:

Daha soyut bir örnek:

Varyasyonlar ve genellemeler

Ayrıca bakınız

Bağlantılar

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde “Öklid uzayı”nın ne olduğunu görün:

Pozitif belirli skaler çarpımı olan sonlu boyutlu vektör uzayı. Doğrudan. sıradan üç boyutlu uzayın genelleştirilmesi. E. uzayında Kartezyen koordinatlar vardır; burada (xy)vektörleri x'in skaler çarpımı... Fiziksel ansiklopedi

Özellikleri Öklid geometrisinde incelenen bir uzay. Daha geniş anlamda Öklid uzayı, skaler çarpımın olduğu n boyutlu bir vektör uzayıdır ... Büyük Ansiklopedik Sözlük

Öklid uzayı- özellikleri Öklid geometrisinin aksiyomlarıyla tanımlanan bir uzay. Basitleştirilmiş bir şekilde Öklid uzayı, dikdörtgen (Kartezyen) koordinatların verildiği bir düzlem üzerinde veya üç boyutlu bir hacimde yer alan uzay olarak tanımlanabilir ve... ... Modern doğa biliminin başlangıcı

Öklid uzayı- bkz. Çok boyutlu (n-boyutlu) vektör uzayı, Vektör (doğrusal) uzay... Ekonomik ve matematiksel sözlük

Öklid uzayı- - [L.G. Sumenko. Bilgi teknolojisi üzerine İngilizce-Rusça sözlük. M.: Devlet Teşebbüsü TsNIIS, 2003.] Konular Bilişim teknolojisi genel olarak TR Kartezyen uzay... Teknik Çevirmen Kılavuzu

Özellikleri Öklid geometrisinde incelenen bir uzay. Daha geniş anlamda Öklid uzayı, skaler çarpımın tanımlandığı n boyutlu bir vektör uzayıdır. * * * ÖKLİD UZAY ÖKLİDEN... ... ansiklopedik sözlük

Özellikleri Öklid geometrisinde incelenen uzay. Daha geniş anlamda E. p. denir. Skaler çarpımın olduğu n boyutlu vektör uzayı ... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

Özellikleri Öklid geometrisinin aksiyomlarıyla tanımlanan uzay. Daha genel anlamda, bir E uzayı, uygun şekilde seçilmiş koordinatlarda (x, y), x skaler çarpımına sahip, sonlu boyutlu bir gerçek vektör uzayı Rn'dir... ... Matematik Ansiklopedisi

- (matematikte) özellikleri Öklid geometrisinin aksiyomları tarafından açıklanan bir uzay (bkz. Öklid geometrisi). Daha genel anlamda, E. uzayına bazı özel özelliklerin dahil edilmesinin mümkün olduğu n boyutlu bir Vektör uzayı denir. Büyük Sovyet ansiklopedisi

- [adını diğer Yunanlılardan alıyor. Öklid matematiği (Eukleides; MÖ 3. yüzyıl)] uzayı, çok boyutlu dahil, burada x1,..., xn koordinatlarını tanıtmanın mümkün olduğu, böylece M (x1 ..., x n) ve M (x 1, .... xn) belki... ... Büyük Ansiklopedik Politeknik Sözlüğü

§3. Vektör uzayının boyutu ve temeli

Vektörlerin doğrusal kombinasyonu

Önemsiz ve önemsiz doğrusal kombinasyon

Doğrusal olarak bağımlı ve doğrusal olarak bağımsız vektörler

Vektörlerin doğrusal bağımlılığıyla ilişkili vektör uzayının özellikleri

P boyutlu vektör uzayı

Vektör uzayının boyutu

Bir vektörün tabana ayrıştırılması

§4. Yeni bir temele geçiş

Eski temelden yenisine geçiş matrisi

Yeni temelde vektör koordinatları

§5. Öklid uzayı

Skaler çarpım

Öklid uzayı

Vektörün uzunluğu (norm)

Vektör uzunluğunun özellikleri

Vektörler arasındaki açı

Ortogonal vektörler

Ortonormal temel

§ 3. Vektör uzayının boyutu ve temeli

Alan üzerinde bir miktar vektör uzayı (V, Å, ∘) düşünün R. V kümesinin bazı elemanları olsun, yani. vektörler.

Doğrusal kombinasyon vektörler, bu vektörlerin alanın rastgele elemanlarına göre çarpımlarının toplamına eşit olan herhangi bir vektördür R(yani skalerlerde):

Tüm skalerler sıfıra eşitse, böyle bir doğrusal kombinasyon denir. önemsiz(en basiti) ve .

En az bir skaler sıfırdan farklıysa doğrusal kombinasyon denir önemsiz değil.

Vektörler denir Doğrusal bağımsız, eğer bu vektörlerin yalnızca önemsiz doğrusal kombinasyonu şuna eşitse:

Vektörler denir doğrusal bağımlı, eğer bu vektörlerin 'ye eşit en az bir önemsiz olmayan doğrusal kombinasyonu varsa.

Örnek. Sıralı dörtlü kümeleri düşünün gerçek sayılar reel sayılar alanı üzerinde bir vektör uzayıdır. Görev: vektörlerin olup olmadığını öğrenin , Ve doğrusal bağımlı.

Çözüm.

Bu vektörlerin doğrusal bir birleşimini yapalım: burada bilinmeyen sayılardır. Bu doğrusal kombinasyonun sıfır vektörüne eşit olmasını istiyoruz: .

Bu eşitlikte vektörleri sayı sütunları olarak yazıyoruz:

Bu eşitliğin geçerli olduğu sayılar varsa ve sayılardan en az biri sıfıra eşit değilse, bu önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyondur ve vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.

Aşağıdakileri yapalım:

Böylece sorun sistemin çözümüne indirgenir doğrusal denklemler:

Bunu çözersek şunu elde ederiz:

Sistemin genişletilmiş ve ana matrislerinin rütbeleri bilinmeyenlerin sayısına eşit ve ondan azdır, dolayısıyla sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

O halde ve .

Dolayısıyla, bu vektörler için önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyon vardır, örneğin sıfır vektörüne eşit olan sıfır vektörüne eşittir, bu da bu vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir.

Bazılarını not edelim vektörlerin doğrusal bağımlılığıyla ilişkili vektör uzayının özellikleri:

1. Vektörler doğrusal olarak bağımlıysa, bunlardan en az biri diğerlerinin doğrusal birleşimidir.

2. Vektörler arasında sıfır vektör varsa, bu vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.

3. Vektörlerden bazıları doğrusal bağımlıysa bu vektörlerin tümü doğrusal bağımlıdır.

Vektör uzayı V denir P boyutlu vektör uzayı, eğer içeriyorsa P doğrusal olarak bağımsız vektörler ve herhangi bir ( P+ 1) vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.

Sayı P isminde vektör uzayının boyutu, ve belirtilir loş(V)İngilizce “boyut”tan - boyut (ölçüm, boyut, boyut, boyut, uzunluk vb.).

Bütünlük P doğrusal bağımsız vektörler P boyutlu vektör uzayına denir temel.

(*)

Teorem(bir vektörün esasa göre ayrıştırılması hakkında): Bir vektör uzayının her vektörü, temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak (ve benzersiz bir şekilde) temsil edilebilir:

Formül (*) denir vektör ayrışması temelde ve sayılar – vektör koordinatları bu temelde .

Bir vektör uzayının birden fazla, hatta sonsuz sayıda tabanı olabilir. Her yeni temelde aynı vektör farklı koordinatlara sahip olacaktır.

§ 4. Yeni bir temele geçiş

Doğrusal cebirde, eğer eski tabandaki koordinatları biliniyorsa, bir vektörün koordinatlarını yeni tabanda bulma sorunu sıklıkla ortaya çıkar.

Bazılarına bakalım P alan üzerinde boyutlu vektör uzayı (V, +, ·) R. Bu alanda iki üs olsun: eski ve yeni .

Görev: Vektörün koordinatlarını yeni temelde bulun.

Eski tabandaki yeni tabanın vektörlerinin açılımı olsun:

Vektörlerin koordinatlarını matrise sistemde yazıldığı gibi satırlar halinde değil, sütunlar halinde yazalım:

Ortaya çıkan matris denir geçiş matrisi eski temelden yeniye.

Geçiş matrisi, eski ve yeni tabandaki herhangi bir vektörün koordinatlarını aşağıdaki ilişkiyle birbirine bağlar:

yeni temelde vektörün istenen koordinatları nerededir.

Böylece, vektör koordinatlarını yeni bir temelde bulma görevi matris denkleminin çözümüne indirgenir: burada X– eski temelde vektör koordinatlarının matris-sütunları, A– eski temelden yenisine geçiş matrisi, X* – yeni temelde vektör koordinatlarının gerekli matris sütunu. Matris denkleminden şunu elde ederiz:

Bu yüzden, vektör koordinatları yeni bir temelde eşitlikten bulunur:

Örnek. Belirli bir temelde vektör ayrıştırmaları verilmiştir:

Tabandaki vektörün koordinatlarını bulun.

Çözüm.

1. Geçiş matrisini yeni bir tabana yazalım, yani. Vektörlerin koordinatlarını eski temelde sütunlara yazacağız:

2. Matrisi bulun A –1:

3. Çarpmayı gerçekleştirin, vektörün koordinatları burada:

Cevap: .

§ 5. Öklid uzayı

Bazılarına bakalım P Reel sayılar alanı üzerinde boyutlu vektör uzayı (V, +, ·) R. Bu uzayın bir tabanı olsun.

Bu vektör uzayında tanıtalım metrik yani Uzunlukları ve açıları ölçmek için bir yöntem belirleyelim. Bunu yapmak için skaler çarpım kavramını tanımlıyoruz.

Okulda bile tüm öğrencilere, ana hükümleri nokta, düzlem, düz çizgi ve hareket gibi geometrik öğelere dayanan çeşitli aksiyomlar etrafında odaklanan “Öklid geometrisi” kavramı tanıtılmaktadır. Hepsi birlikte uzun zamandır “Öklid uzayı” olarak bilinen şeyi oluşturuyor.

Vektörlerin skaler çarpımı ilkesine dayanan Öklid, bir dizi gereksinimi karşılayan doğrusal (afine) uzayın özel bir durumudur. İlk olarak, vektörlerin skaler çarpımı kesinlikle simetriktir, yani koordinatları (x;y) olan bir vektör, koordinatları (y;x) olan bir vektörle niceliksel olarak aynıdır, ancak yönleri zıttır.

İkincisi, eğer bir vektörün skaler çarpımı kendisiyle yapılırsa, bu eylemin sonucu pozitif olacaktır. Bu vektörün başlangıç ve son koordinatlarının sıfıra eşit olması tek istisna olacaktır: bu durumda kendisiyle çarpımı da sıfıra eşit olacaktır.

Üçüncüsü, skaler çarpım dağıtıcıdır, yani koordinatlarından birini iki değerin toplamına ayırma olasılığıdır; bu, vektörlerin skaler çarpımının nihai sonucunda herhangi bir değişiklik gerektirmeyecektir. Son olarak dördüncüsü, vektörler aynı şeyle çarpıldığında skaler çarpımları da aynı miktarda artacaktır.

Bu dört koşulun tümü karşılanırsa bunun Öklid uzayı olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

Pratik açıdan bakıldığında Öklid uzayı aşağıdaki spesifik örneklerle karakterize edilebilir:

En basit durum, geometrinin temel yasalarına göre tanımlanan skaler çarpımlı bir vektör kümesinin varlığıdır.
Öklid uzayı, vektörler aracılığıyla, bunların skaler toplamını veya çarpımını tanımlayan belirli bir formüle sahip belirli bir sonlu gerçek sayı kümesini anlarsak da elde edilecektir.
Öklid uzayının özel bir durumu, her iki vektörün skaler uzunluğunun sıfıra eşit olması durumunda elde edilen sıfır uzayı olarak kabul edilmelidir.

Öklid uzayının bir dizi spesifik özelliği vardır. Öncelikle skaler çarpımın hem birinci hem de ikinci faktörlerinden skaler faktör parantez dışına alınabilir, sonuç herhangi bir değişikliğe uğramayacaktır. İkinci olarak skaler çarpımın birinci elemanının dağılabilirliği ile birlikte ikinci elemanın dağılabilirliği de işler. Ayrıca vektörlerin skaler toplamına ek olarak vektörlerin çıkarılması durumunda da dağılım ortaya çıkar. Son olarak üçüncüsü, bir vektör sıfırla skaler olarak çarpıldığında sonuç da sıfıra eşit olacaktır.

Bu nedenle Öklid uzayı, vektörlerin birbirine göre göreceli konumu ile ilgili problemlerin çözümünde kullanılan en önemli geometrik kavramdır ve karakterize etmek için skaler çarpım gibi bir kavramın kullanıldığı görülmektedir.

Öklid uzayının tanımı

Tanım 1. Gerçek bir doğrusal uzaya denir Öklidyen, Eğer herhangi iki vektörü ilişkilendiren bir işlemi tanımlar X Ve sen bundan vektörlerin skaler çarpımı olarak adlandırılan uzay numarası X Ve sen ve belirlenmiş(x,y), bunun için aşağıdaki koşullar karşılanır:

1. (x,y) = (y,x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , burada z- belirli bir doğrusal uzaya ait herhangi bir vektör;

3. (?x,y) = ? (x,y) , burada ? - herhangi bir numara;

4. (x,x) ? 0 ve (x,x) = 0 x = 0.

Örneğin, tek sütunlu matrislerden oluşan doğrusal bir uzayda, vektörlerin skaler çarpımı

formülle belirlenebilir

Öklid boyut uzayı N En'i belirtir. dikkat et ki Hem sonlu boyutlu hem de sonsuz boyutlu Öklid uzayları vardır.

Tanım 2. x vektörünün uzunluğu (modülü) Öklid uzayında Tr isminde (x,x) ve bunu şu şekilde belirtin: |x| = (x,x). Öklid uzayının herhangi bir vektörü içinbir uzunluk var ve sıfır vektörü sıfıra eşit.

Sıfır olmayan bir vektörün çarpılması X sayı başına , bir vektör elde ederiz, uzunluk ki bu bire eşittir. Bu operasyona denir tayınlama vektör X.

Örneğin, tek sütunlu matrislerin uzayında vektörün uzunluğu aşağıdaki formülle belirlenebilir:

Cauchy-Bunyakovsky eşitsizliği

X olsun? En ve sen? En – herhangi iki vektör. Eşitsizliğin onlar için geçerli olduğunu kanıtlayalım:

(Cauchy-Bunyakovsky eşitsizliği)

Kanıt. İzin vermek? - herhangi bir gerçek sayı. Açıkça görülüyor ki (?x ? y,?x ? y) ? 0. Öte yandan, skaler çarpımın özelliklerinden dolayı şunları yapabiliriz: yazmak

Anladım

Bu ikinci dereceden üç terimlinin diskriminantı pozitif olamaz; , buradan şu sonuç çıkıyor:

Eşitsizlik kanıtlandı.

Üçgen eşitsizliği

İzin vermek X Ve sen- Öklid uzayı En'in keyfi vektörleri, yani X? Tr ve sen? Tr.

Hadi bunu kanıtlayalım . (Üçgen eşitsizliği).

Kanıt. Açıkça görülüyor ki Diğer tarafta,. Cauchy-Bunyakovsky eşitsizliğini hesaba katarak şunu elde ederiz:

Üçgen eşitsizliği kanıtlandı.

Öklid uzayının normu

Tanım 1 . Doğrusal uzay?isminde metrik, varsa bu uzayın iki unsuru X Ve sen Negatif olmayan eşleştisayı? (x,y) arasındaki mesafeye denir X Ve sen , (? (x,y)? 0) ve yürütülürkoşullar (aksiyomlar):

1) ? (x,y) = 0 X = sen

2) ? (x,y) = ? (y,x)(simetri);

3) herhangi üç vektör için X, sen Ve z bu alan? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y).

Yorum. Bir metrik uzayın elemanlarına genellikle noktalar denir.

Öklid uzayı En metriktir ve aralarındaki mesafe olarak vektörler x? En ve sen? Tr alınabilir X ? sen.

Yani, örneğin tek sütunlu matrisler uzayında, burada

buradan

Tanım 2 . Doğrusal uzay?isminde normalleştirilmiş, Eğer her vektör X bu alandan negatif olmayan bir şeyle ilişkilendirilir numara onu aradı norm X. Bu durumda aksiyomlar sağlanır:

Normlu bir uzayın metrik uzay olduğunu görmek kolaydır stvom. Aslında aradaki mesafe kadar X Ve sen alınabilir . Öklid dilindeherhangi bir x vektörünün normu olarak uzay En? En onun uzunluğudur, onlar. .

Dolayısıyla Öklid uzayı En bir metrik uzaydır ve ayrıca Öklid uzayı En normlu bir uzaydır.

Vektörler arasındaki açı

Tanım 1 . Sıfır olmayan vektörler arasındaki açı A Ve BÖklid uzayıkaliteli E N hangi numaranın adını söyle

Tanım 2 . Vektörler X Ve senÖklid uzayı Tr arandı dikketen eğer eşitlik onlar için de geçerliyse (x,y) = 0.

Eğer X Ve sen- sıfır değilse, tanımdan aralarındaki açının eşit olduğu sonucu çıkar

Sıfır vektörünün tanım gereği herhangi bir vektöre dik olduğu kabul edilir.

Örnek . Geometrik (koordinat) uzayda?3, hangisi Öklid uzayının özel bir durumu, birim vektörler Ben, J Ve k karşılıklı dik.

Ortonormal temel

Tanım 1 . Temel e1,e2 ,...,en Öklid uzayına En denir dikketen, eğer bu bazın vektörleri ikili dik ise, yani; Eğer

Tanım 2 . Ortogonal tabanın tüm vektörleri e1 ise, e2 ,...,en üniterdir, yani. e i = 1 (i = 1,2,...,n) ise taban denir ortonormal yani İçinortonormal temel

Teorem. (ortonormal bir temelin oluşturulması üzerine)

Herhangi bir Öklid uzayında E n ortonormal tabanlar vardır.

Kanıt . Bu durum için teoremi ispatlayalım N = 3.

E1 ,E2 ,E3 Öklid uzayının E3 keyfi bir temeli olsun Biraz ortonormal temel oluşturalımbu alanda.Nereye koyalım ? - seçtiğimiz bazı gerçek sayılarböylece (e1 ,e2 ) = 0 olur, o zaman şunu elde ederiz

ve bariz olan ne? = 0 eğer E1 ve E2 dik ise, yani. bu durumda e2 = E2 ve , Çünkü bu temel vektördür.

(e1 ,e2 ) = 0 olduğunu düşünürsek, şunu elde ederiz:

Eğer e1 ve e2 E3 vektörüne dik ise, yani; bu durumda e3 = E3 almalıyız. Vektör E3? 0 çünkü E1, E2 ve E3 doğrusal olarak bağımsızdır,bu nedenle e3 ? 0.

Ek olarak, yukarıdaki mantıktan e3'ün şu şekilde temsil edilemeyeceği sonucu çıkar: e1 ve e2 vektörlerinin doğrusal birleşimi, dolayısıyla e1, e2, e3 vektörleri doğrusal olarak bağımsızdırsims ve ikili diktirler, bu nedenle Öklid denklemi için temel alınabilirler.alan E3. Geriye kalan tek şey, yeterli olduğu inşa edilmiş temeli normalleştirmektir.Oluşturulan vektörlerin her birini uzunluğuna bölün. Sonra alırız

Böylece bir temel oluşturduk - ortonormal temel. Teorem kanıtlandı.

Rastgele bir tabandan ortonormal bir temel oluşturmak için uygulanan yöntem temel denir dikleştirme süreci . Kanıt sürecinde şunu unutmayınteoremi ile ikili ortogonal vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğunu tespit ettik. Hariç eğer En'de bir ortonormal taban ise herhangi bir x vektörü için nedir? Trtek bir ayrışma var

burada x1, x2,..., xn bu ortonormal temelde x vektörünün koordinatlarıdır.

Çünkü

daha sonra eşitlik (*) ile skaler olarak çarpılır, alıyoruz .

Aşağıda sadece ortonormal tabanları ele alacağız ve bu nedenle Yazma kolaylığı için temel vektörlerin üstünde sıfırlar vardırihmal edeceğiz.