Doğrusal cebirsel denklemlerin kötü koşullandırılmış sistemleri. Krylov alt uzayını kullanarak kötü koşullandırılmış seyrek doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme

3 numaralı laboratuvar çalışması

Doğrusal cebirsel denklemlerin kötü koşullandırılmış sistemlerini çözme

Düzenlileştirme yöntemi

Giriş parametreleri: sistemin n derecesine eşit n-pozitif tamsayı; a, sistem katsayılarının matrisini içeren n x n gerçek sayı dizisidir; b - sistemin serbest terimlerinin bir sütununu içeren n adet gerçek sayıdan oluşan bir dizi (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .

Çıkış parametreleri: x – sistem çözümü; p yineleme sayısı.

Algoritma diyagramı Şekil 18'de gösterilmektedir.

Programın metni:

prosedür regul(N:Tamsayı;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:tamsayı);

var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvektör; alfa,s1,s:gerçek; maksimum, eps:gerçek; i,j,k,l:tam sayı;

Out_Slau_T(n,a,b);

I için:=1 To n Do (AT A alıyor)

K için:=1'den N'ye Yap

J:=1'den N'ye S:=S+A*A yapın;

I için:=1'den N'ye Yap (AT B alıyor)

J için:=1'den N'ye Yap

S:=S+A*B[j] ile başlayın;

alfa:=0; (başlangıç alfa değeri)

k:=0; (yineleme sayısı)

alfa:=alfa+0,01; inc(k); a2:=a1;

i:=1 ila N için a2:=a1+alfa; (AT A+alfa alıyor)

i:=1 ila N için b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]'yi yapın; (AT B+alfa alıyor)

SIMQ(n,a2,b2,l);

a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;

vozm(N,eps,a2,b2);

simq(n,a2,b2,l);

i:=2'den n'ye yapmak için

if abs(b2[i]-X[i])>max o zaman max:=abs(b2[i]-X[i]);

X1 = 1,981 X2 = 0,4735

Şekil 18 - Düzenlileştirme yöntemi algoritmasının şeması

Düzenlileştirme yöntemini kullanarak kötü koşullandırılmış sistemleri çözmeye yönelik görev çeşitleri Tablo 3'te verilmiştir.

Döndürme yöntemi (Verilenler)

Algoritma diyagramı Şekil 19'da gösterilmektedir.

Örnek. Denklem sistemini çözme

Programın metni:

PROSEDÜR Vraş;

Var I,J,K: Tamsayı; M,L,R: Gerçek; F1:METİN; Etiket M1,M2;

Out_Slau_T(nn,aa,b);

i:=1'den Nn'ye kadar

I için:=1 Nn-1'e Başla

K:=I+1 İçin Nn'ye Başlayın

Eğer (Aa0.0) ise M1'e gidin;Eğer (Aa0.0) ise M1'e gidin;

1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);

L:=-1,0*Aa/M;

M2:J için:=1'den Nn'ye Başlayın

R:=M*Aa-L*Aa;

Aa:=L*Aa+M*Aa;

R:=M*Aa-L*Aa;

Aa:=L*Aa+M*Aa;

I için:=Nn 1'e Kadar Başlayın

K:=0'dan Nn-I-1'e M:=M+Aa*Aa'ya Başlayın; Son;

Aa:=(Aa-M)/Aa; Son;

i:=1'den Nn'ye kadar x[i]:=Aa;End;

Programa göre hesaplamalar aşağıdaki sonuçlara yol açtı:

X1 = 1,981 X2 = 0,4735

Şekil 19 - Givens yöntemi algoritmasının şeması (döndürme)

Görev seçenekleri

Tablo 3

	Matris A				Matris A

Bilgi kontrolüne yönelik 3 numaralı laboratuvar çalışmasının konusu, bir kontrol ve eğitim programıyla gösterilmektedir.

4 numaralı laboratuvar çalışması

Doğrusal olmayan denklemleri ve doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözme

Basit yineleme yöntemi

Laboratuvar çalışmasını gerçekleştirme prosedürü:

Çözümün sıfır yaklaşımını bulun;

f(x) = 0 sistemini x = Ф(x) formuna dönüştürün;

Yöntemin yakınsama durumunu kontrol edin.

Algoritma diyagramı Şekil 20'de gösterilmektedir.

Örnek. Basit yineleme yöntemini kullanarak sistemi çözün

Sıfır yaklaşımı olarak x = 1, y = 2.2, z = 2 noktasını seçiyoruz. Sistemi şu forma dönüştürelim:

Programın metni:

PROSEDÜR Iteraz;

Var I,J,K,J1: Tamsayı;

X2,X3,Eps: Gerçek;

Eps:=0,01; X2:=0,0; K:=1;

J:=1'den Nn'ye Başla

I için:=1'den Nn'ye Başlayın S:=S+Aa*Xx[i]; Son;

J1 için:=1'den Nn'ye Xx:=R'ye Başlayın; Son; X3:=Xx;

I:=1 için Nn'ye Başlayın If (Xx[i]>=X3) Sonra X3:=Xx[i]; Son;

I için:=1'den Nn'ye Xx[i]:=Xx[i]/X3'e Başlayın; Son;

X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);

Eğer (U1>=Eps) O zaman X2:=X1;

((K>=50)veya(U1) kadar

Programa göre hesaplamalar aşağıdaki sonuçlara yol açtı:

X(1)= 1,1132 X(2)= 2,3718 X(3)= 2,1365

Tekrar sayısı:5

Şekil 20 - Basit yineleme yöntemi algoritmasının şeması

Newton'un yöntemi

Program, onda birlik mertebeden yüksek olmayan sistemleri çözmek için kullanılabilir.

Giriş parametreleri: n - sistemin denklem sayısı (bilinmeyenlerin sayısına karşılık gelir), n £ 10; Çözümün ilk tahminini içeren n gerçek sayıdan oluşan x dizisi; f, x dizisinin elemanlarında bulunan verilen x değerlerine dayanarak, f fonksiyonunun mevcut değerlerini hesaplayan ve bunları yerleştiren harici prosedür f(n, x, y)'nin adıdır. y dizisinin elemanları; g - matris elemanlarını x dizisinden verilen x değerlerinden hesaplayan harici prosedürün adı g(n, x, d)
n x n boyutunda bir d dizisinde yer alan; eps - yinelemeli işlemi sonlandırma koşulunun değeri.

Çıkış parametreleri: x - n gerçek sayıdan oluşan bir dizi (giriş olarak da bilinir), alt programdan çıkarken çözümün yaklaşık değerini içerir; k yineleme sayısıdır.

UDC 519.61:621.3

Başkan Yardımcısı VOLOBOEV*, Başkan Yardımcısı. KLİMENKO*

FİZİKSEL BİR NESNEYİ TANIMLAYAN KÖTÜ KOŞULLU BİR DOĞRUSAL CEBİR DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜNE YÖNELİK BİR YAKLAŞIM HAKKINDA

Ukrayna Ulusal Bilimler Akademisi Matematik Makineleri ve Sistemleri Sorunları Enstitüsü, Kiev, Ukrayna

Soyut. Ayrık bir modeli doğrusal cebirsel denklemler sistemi (SLAR) tarafından tanımlanan fiziksel nesnelerin modellenmesinin sonuçlarının olasılığının, matrisin zayıf tasarımının bir sonucu değil, bir sonucu olduğu gösterilmiştir. Düğüm potansiyelleri yöntemini veya analoglarını kullanarak katlanmış seviyeler aşamasında minimum SLAR'ın yanlış seçimi ve yöntemin kendisi Bu, görevin doğru şekilde ayarlanması yöntemiyle büyük bir çelişkidir.SLAR'ın doğruluğunu kontrol etmek için bir yöntem, üretilmemiş simetrik matrise sahip düğüm potansiyelleri yöntemi önerilmiştir ve bunun doğru forma dönüştürülmesi gerekmektedir.

Anahtar kelimeler: sistem, modelleme, yanlış ayarlama, kötü akıl yürütme, doğrusal cebirsel denklem sistemi, düğüm potansiyelleri yöntemi, görevin doğru ayarlanması yöntemi, doğruluğun kontrol edilmesi.

Dipnot. Ayrık modeli bir doğrusal cebirsel denklem sistemi (SLAE) tarafından tanımlanan fiziksel nesnelerin modellenmesi sonuçlarının güvenilirliğinin, matrisin zayıf koşulluluğuna değil, SLAE değişkenlerinin yanlış seçimine bağlı olduğu gösterilmiştir. Düğüm potansiyelleri yöntemini veya analoglarını kullanarak denklem oluşturma aşamasında ve yöntemin kendisi, problemin doğru formülasyon yönteminin özel bir örneğidir. Dejenere olmayan ve simetrik bir matrise sahip olan, düğüm potansiyelleri yöntemiyle derlenen bir SLAE'nin doğruluğunun kontrol edilmesi ve gerekiyorsa doğru forma dönüştürülmesi için bir teknik önerilmektedir.

Anahtar kelimeler: sistem, modelleme, kötü konumlanmış problem, kötü koşullandırma, doğrusal cebirsel denklem sistemi, düğüm potansiyelleri yöntemi, problemin doğru formülasyon yöntemi, doğruluk kontrolü.

Soyut. Makale, ayrık modelin bir doğrusal cebirsel denklemler (SLAE) sistemi tarafından tanımlanan fiziksel nesnelerin simülasyon sonuçlarının güvenilirliğinin, kötü koşullandırılmış matrise değil, denklemlerin oluşturulması aşamasında yanlış SLAE değişkeni seçimine bağlı olduğunu göstermektedir. bir düğüm potansiyeli yöntemi veya onun analogları ile yapılır ve bu yöntem, bir problemin doğru ifade edilmesi yönteminin özel bir durumudur. Düğüm potansiyeli yöntemiyle yapılan, tekil olmayan ve simetrik bir matrise sahip olan SLAE'nin doğruluğunun kontrol edilmesi ve gerekiyorsa doğru forma dönüştürülmesi önerildi.

Anahtar Kelimeler: sistem, simülasyon, yanlış problem, kötü koşullu, lineer cebirsel denklem sistemi, düğüm potansiyeli yöntemi, bir problemin doğru ifade edilmesi yöntemi, doğruluğun kontrol edilmesi.

1. Giriş

Fiziksel (teknik) nesnelerin modellenmesine ilişkin birçok problem, doğrusal cebirsel denklem (SLAE'ler) sistemlerinin çözülmesine bağlıdır. Bu tür sistemleri çözerken tüm hesaplamalar sonlu sayıda anlamlı rakamla yapıldığından, yuvarlama hataları nedeniyle doğruluk önemli ölçüde kaybolabilir. Kötü koşullandırılmış (kararsız) bir sistem veya daha genel bir formülasyonla, yanlış oluşturulmuş bir problem, sabit düzeyde girdi verisi hataları ve hesaplama doğruluğu verildiğinde, çözümde herhangi bir doğruluğu garanti etmeyen bir problem olarak kabul edilir. Koşul numarası, SLAE'nin çözümünde olası hataların önceden en kötü tahmini olarak kullanılır. Literatürden de anlaşılacağı üzere, kötü kurulmuş problemlerin çözümüne yönelik yöntemlerin geliştirilmesi, birçok problemin sayısal çözümünün karmaşık olmasına rağmen, fiziksel (teknik) nesnelerin özelliklerinin dikkate alınmadığı tamamen matematiksel bir problem olarak kabul edilmektedir. matematiksel fizik ve karmaşık fiziksel süreçlerin matematiksel modellenmesi

Baykuşlar ve teknik sistemler, doğrusal cebir problemlerinin tükenmez bir kaynağıdır. Listelenen sorun sınıfı için, çözüm yöntemleri geliştirilirken, belirli bir sorunun özelliklerini şu veya bu şekilde dikkate almanın mümkün olduğu bir SLAE'nin derlenmesi aşaması dikkate alınmaz. Bu aşamanın dikkate alınması gerektiği, aşağıdaki çalışmaların sonuçlarıyla da doğrulanmaktadır.

Her şeyden önce, SLAE'leri çözerken doğruluk kaybının küçük olduğu ve koşul numarasının değerinin çok büyük olduğu matris örnekleri sağlayan, yani genel kabul görmüş kriterin gösterildiği çalışmayı belirtmekte fayda var. Koşul numarasına dayalı olarak SLAE'leri çözmenin doğruluğunun önceden değerlendirilmesi gereklidir, ancak yeterli değildir. Çalışmalarda kötü oluşturulmuş bir problemin çözümüne yönelik tamamen yeni bir yaklaşım önerildi. Fiziksel bir nesnenin ayrı bir modelini tanımlama aşamasında, SLAE'lerin çözümünün doğruluğunu, durum numarasının büyük bir değeriyle bile arttırmak için, SLAE'lerin doğru bir şekilde oluşturulmasının önerilmesi gerçeğinde yatmaktadır. Bu, çalışmada bildirildiği gibi yalnızca bu tür matrislerin mevcut olduğu anlamına gelmiyor, aynı zamanda bir nesnenin ayrık bir modelini tanımlayan bir SLAE matrisinin doğru şekilde derlenmesi için bir yöntemin önerildiği anlamına da geliyor. Bir SLAE matrisi derleme yöntemi, elektrik devrelerinin, güç sistemlerinin, mekanik çubuk sistemlerinin ve matematiksel fiziğin eliptik denklemlerinin davranışını modelleme problemleriyle ilişkili olarak dikkate alınır.

Bu yöntemin özü, mevcut yöntemlerden farklı olarak, bir SLAE oluştururken, fiziksel bir nesnenin ayrı bir modelinin parametrelerinin hedeflenen değişken seçimiyle dikkate alınmasıdır. Yöntemin yalnızca ayrık model topolojisi bir grafikle temsil edilen nesnelere uygulanabileceğine dikkat edilmelidir.

Bu gereksinim, elektrik devresi ve güç sisteminin tasarım modeliyle karşılanır. Karmaşık fiziksel süreçlerin, teknik sistemlerin ve matematiksel fiziğin matematiksel modellemesine ilişkin birçok problem için, ayrı bir modelin topolojisinin bir grafik biçiminde temsili kullanılmaz. Çalışmalar, fiziksel bir nesnenin ayrık bir modelinin hesaplama şemalarının elemanlarının topolojisinin bir grafik biçiminde temsil edilmesiyle yukarıdaki sınırlamanın ortadan kaldırıldığını göstermektedir. Elemanların topolojisini grafikler biçiminde temsil etmenin bir yöntemi de vardır.

Bu yazıda, ayrık bir modelin topolojisinin bir grafik biçiminde temsil edilmediği durumda, yanlış oluşturulmuş bir problemi düzeltmek için bir yöntem önereceğiz. Yöntemi geliştirirken, matematiksel fizik ve karmaşık fiziksel süreçler ve teknik sistemlerdeki ayrık problem modellerini tanımlamak için genel kabul görmüş yöntemin (düğüm potansiyeli yöntemi), bir SLAE matrisini doğru şekilde derlemeye yönelik yöntemin özel bir durumu olduğu gerçeğini dikkate alıyoruz. .

2. Nesnenin ayrık bir modelini tanımlayan SLAE çözümünün doğruluğu ile denklem oluşturma yöntemi arasındaki ilişki

Akademisyen Voevodin V.V. Çalışmasında, Gauss yöntemini kullanarak SLAE'leri çözme sonuçlarının en yüksek doğruluğunun, ana elemanın seçimiyle yöntem kullanıldığında elde edildiğini gösterdi. Bu fikre dayanarak çok sayıda eser yayınlandı. Bununla birlikte, pratik problemlerin çözülmesi, SLAE'lerin çözümünün doğruluğunun, özellikle de kötü koşullandırılmış matrisler durumunda, yuvarlama hataları nedeniyle önemli ölçüde kaybolduğunu, yani çözüm aşamasında sonuçların doğruluğunun iyileştirilmesinin yeterli olmadığını göstermiştir. Ana elemanların seçimiyle basitçe Gauss yöntemini kullanmak.

Bu fikrin daha da geliştirilmesi, bir nesnenin ayrı bir modelinin bir açıklamasının derlenmesi aşamasında, matrisin köşegen elemanlarını ana olanlar olarak oluşturmanın önerildiği çalışmada önerilen yöntemdir. Bunu yapmak için, bir açıklama derlenirken ek bilgiler, yani ayrı modelin parametreleri kullanılır. Bu yaklaşımın etkinliği, yani ayrık durumu tanımlayan SLAE çözümünün doğruluğunun bağımlılığı

ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4

Denklem oluşturma yönteminden nesnenin yeni bir modeli, bir model örneği kullanılarak gösterilecektir. Aşağıda, ana öğeyi seçerek veya seçmeden açıklanan yöntemi ve çözümünü kullanarak bir model örneğinin açıklamasını derlemeyi ele alacağız.

Şekil 1'de gösterilen elektrik devresi model örneği olarak seçilmiştir. 1.

Pirinç. 1. Elektrik devresi

Bir elektrik devresini tanımlayan SLAE'nin koşulluluğunun, devre bileşenlerinin iletkenlik (direnç) değerlerinin yayılma aralığına bağlı olduğu bilinmektedir. Elektrik devresi bileşenlerinin iletkenliğinde seçilen 15 dereceye eşit değişiklik aralığı, SLAE'nin zayıf koşulluluğunu ve dolayısıyla yaygın olarak inanıldığı gibi sorunun yanlışlığını sağlar. Düğüm 2'nin potansiyelini hesaplama örneğini kullanarak (G2 bileşenindeki voltaj), hesaplama sonuçlarının güvenilirliğinin, elektrik devresinin bir tanımını derlerken çapraz elemanı oluşturma yöntemine bağımlılığı analiz edilecektir.

Aşağıda, doğru problem formülasyonu yöntemini kullanarak bir model örneğini çözmek için gerekli ana hükümler bulunmaktadır. Bu yöntemi kullanarak bir elektrik devresinin matematiksel modelinin oluşturulması, Kirchhoff yasalarına göre derlenen bileşen denklemleri ve denklemleri içeren elektrik devresinin temel denklem sistemine dayanmaktadır. Model örneği için bileşen denklemi şu şekildedir:

burada U i bileşen boyunca düşen voltajdır, I bileşen boyunca akan akımdır, Gt bileşenin iletkenliğidir.

Bir elektrik devresinin grafiğini ve buna bağlı olarak Kirchhoff yasalarına dayanan denklemleri tanımlamak için konturların ve bölümlerin topolojik matrisleri kullanılır. Devre grafiği elektrik devresine uygundur. Konturların ve bölümlerin topolojik matrislerinin derlenmesi, bir devre grafiği ağacının seçilmesini ve seçilen ağaç için konturların çizilmesini içerir. Elektrik devresi grafiğinin ağacı, tüm voltaj kaynakları ağaca dahil edilecek ve tüm akım kaynakları akorlara dahil edilecek şekilde seçilir. Devre bileşenlerinin gerilim vektörleri U ve akımları I'deki elemanlar, ağaçta (indeks D) bulunanlar, yani dallar ve akorlar (indeks X) halinde gruplandırılır, böylece:

Konturlar, akorların devre grafik ağacına eklenmesiyle oluşturulur. Bu durumda

konturların topolojik matrisi şu şekle sahiptir:

burada 1 akorların birim alt matrisidir, t

Matrisin aktarımını belirtir ve bölümlerin topolojik matrisi |1 -F biçimindedir; burada 1, dalların birim alt matrisidir. Aşağıdaki gibi matrisin köşegen terimleri

ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4

devrelerdeki ağaç bileşenlerin iletkenliklerinin maksimum iletkenliğe sahip olması durumunda ana olanlar olacaktır. Topolojik matrislerin türü dikkate alınarak Kirchhoff yasalarına göre derlenen devre denklemleri matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:

onların =-ґid'si, (3)

Derlenen denklem sisteminin değişkenleri, ana denklem sisteminin analizi sonucunda bileşenlerin gerilimleri ve/veya akımları arasından seçilir. Ağacın dallarında yer alan bileşenler değişken gerilimli olarak seçilirse bileşen denklemleri (1) ve denklemler (3), (4) aşağıdaki forma dönüştürülebilir:

Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.

Aşağıda bir model örneği için denklemlerin derlemesini sunacağız. İlk olarak, elektrik devresinin bir açıklaması, matrisin köşegen terimleri ana olacak şekilde hazırlanır. Bu gereklilik, ağaçta yer alan E1, G6, G3, G2 bileşenleri seti tarafından karşılanmaktadır (Şekil 1'de ağacın dalları kalın bir çizgiyle vurgulanmıştır). Aşağıdaki bileşen gerilim ve akım vektörleri seçilen ağaca karşılık gelir:

ve topolojik matrisler

Denklem (5), (6), (7) ve dönüşümler sonrası bileşen denklemleri dikkate alındığında aşağıdaki forma sahiptir:

- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5

SLAE (8) matrisin özdeğerleri \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14 olduğundan kötü koşullanmıştır. Sistemi çözme sonuçlarının doğruluğunun, denklemleri oluşturmak için seçeneğin seçimine nasıl bağlı olduğunu belirlemek için, düğüm 2'nin potansiyel Uq'sunun hesaplanması genel formda yapılacaktır:

ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4

(g1+g2 +g4 +g5)-

Hesaplamalı sürecin analizinden (9-11), iletkenlik değerlerindeki geniş aralıktaki değişikliklere rağmen (15 büyüklük sırası), sayıların temsilinin nihai doğruluğu için katı gerekliliklerin olmadığı anlaşılmaktadır. Denklemleri oluştururken ve çözerken. Güvenilir bir sonuç elde etmek için, SLAE'lerin derlenmesi ve çözülmesine yönelik hesaplamalı sürecin, sayıları iki anlamlı rakamla temsil etme doğruluğu ile gerçekleştirilmesi yeterlidir.

SLAE (8)'de, G+G4+G5I matrisinin ikinci satırının (sütununun) köşegen elemanının, kalan terimlerin toplamından önemli ölçüde daha büyük olduğu (15 büyüklük mertebesinde) dikkate alınmalıdır.

satırlar (sütunlar) | G4 + 2G51. Bu, UG = 0 alarak SLAE'yi basitleştirebileceğimiz anlamına gelir.

(8), sonuçların güvenilirliğini koruyarak. Manuel sayma çağında bu teknik, düğüm 2 ile 3'ün birleştirilmesine karşılık geliyordu (Şekil 1).

İkinci durumda (ana eleman olarak çapraz elemanı seçmeden), ağaçtaki Ex, G6, G4, G2 bileşenlerini seçmek yeterlidir (Şekil 1'de ağacın dalları kesikli çizgilerle işaretlenmiştir)

astar). Bu bileşenler üzerindeki voltaj düşüşleri, sıfır düğümden sayılan 1, 4, 3, 2 düğüm potansiyellerine karşılık gelir. Bu, ağaçtaki bu tür bileşenlerin seçimiyle SLAE matrisini doğru şekilde oluşturma yönteminin düğüm potansiyelleri yöntemiyle örtüştüğü anlamına gelir. Aşağıdaki bileşen gerilim ve akım vektörleri seçilen ağaca ve akorlara karşılık gelir:

U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG

UG G2 G5 ve G2 G5

ve topolojik matrisler

Denklem (5), (12), (13) ve bileşen denklemlerini dikkate alarak aşağıdakileri alacaktır:

ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4

G5 + G6 -G5 0 UG G6 0

G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0

0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1

Denklem sistemi (14), matrisin aşağıdaki özdeğerlerine sahip olduğundan kötü koşullanmıştır: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Örneğin ilk versiyonunda olduğu gibi, düğüm 2'nin potansiyel UG'si genel biçimde hesaplanacaktır:

(G + G + G)-----------

V 3 4 У (G + G)

+ (G1 + G2 + G3)

3 4 5" (G5 + G6)

Denklem sistemini (15-17) çözme hesaplamalı sürecinin analizinden, sonuçların güvenilirliğinin hem denklemleri oluştururken hem de çözerken sayıların temsilinin nihai doğruluğuna bağlı olduğu anlaşılmaktadır. Dolayısıyla, sistemin (15-17) çözülmesinin hesaplama süreci 15 anlamlı basamaktan daha az bir doğrulukla gerçekleştirilirse, sonuç şu şekilde olacaktır:

1015 +1015 ~ o,

ve doğruluğun 15 anlamlı rakamdan fazla olması durumunda,

1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)

Matrisler (8) ve (14)'ün karşılaştırılmasından ve denklem sistemlerini çözmek için kullanılan hesaplama süreçlerinden aşağıdaki sonuçlar çıkar.

Düğüm potansiyelleri yöntemi, 'de önerilen yöntemin özel bir durumudur; yani, düğüm potansiyelleri yönteminde, temel düğümü geri kalanına bağlayan grafiğin kenarları her zaman ağaçta seçilir.

Bir matrisin köşegen elemanları, matrisin maksimum köşegenler seçilerek veya seçilmeden oluşturulmasına bakılmaksızın, hem satırlarda hem de sütunlarda modül açısından diğer elemanlardan daha büyüktür. Tek fark, diyagonal elemanların diyagonal olmayanlardan ne kadar büyük olduğudur. Bu, ana elemanın seçimiyle Gauss yöntemini kullanarak bu tür SLAE'yi çözmenin, bu sınıftaki problemler için sonuçların doğruluğunu arttırmadığı anlamına gelir.

ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4

Gauss çözümünde kullanılan anlamlı rakamların nihai sayısı, matrisin maksimum diyagonal elemanlar seçilip seçilmeden oluşturulmasına önemli ölçüde bağlıdır. Sorunun bir versiyonu ile diğeri arasındaki fark, yalnızca denklemlerin oluşturulması aşamasında, bir durumda maksimum iletkenliğe sahip bileşenin ağaca seçilmesi ve dolayısıyla bu bileşenin voltajının SLAE'de bir değişken olarak hareket etmesidir. Bu bileşenin iletkenliği yalnızca matrisin köşegen elemanının oluşumunda rol oynar. Başka bir durumda bu bileşen akorlara düşer. Denklem (3)'ten takip edildiği gibi bileşen gerilimi, ağaç bileşenlerinin gerilimi aracılığıyla belirlenir. Denklem (4)'ten, bileşenin iletkenliğinin satır ve sütun elemanlarının oluşumunda rol oynadığı ve dolayısıyla kirişin iletkenliğinin bu matris elemanlarının boyutunu belirlediği sonucu çıkar.

3. Düğüm potansiyelleri yöntemiyle derlenen SLAE matrisinin doğru formülasyona karşılık gelen bir forma dönüştürülmesi

Bu problemlerin ayrı modellerini tanımlayan SLAE'leri derlemek için matematiksel fizik problemlerini ve karmaşık fiziksel süreçlerin ve teknik sistemlerin matematiksel modellemesini sayısal olarak çözerken, esas olarak düğüm potansiyelleri yöntemi veya analogları kullanılır. Bu yöntemin ayırt edici bir özelliği, ayrık modelin tasarım şemasının temel düğümden kalan düğümlere kadar sayılan potansiyellerinin, denklemlerin oluşturulması için basit bir algoritmanın ve SLAE'nin zayıf doldurulmuş bir matrisinin SLAE değişkenleri olarak kullanılmasıdır. Böyle bir verimliliğin bedeli, görevin yanlışlığı olabilir. Düğüm potansiyelleri yönteminin, problemi doğru bir şekilde ortaya koymaya yönelik yöntemin varyantlarından sadece biri olduğu göz önüne alındığında, yanlış oluşturulmuş bir problem, matris dönüşümü uygulanarak düzeltilebilir. Aşağıda, düğüm potansiyelleri yöntemiyle yanlış oluşturulmuş bir sorunu dönüştürmek için bir algoritmayı ele alacağız.

Tüm fiziksel nesne çeşitleri arasında yalnızca doğrusal ayrık modeli, dejenere olmayan ve simetrik bir matrise sahip bir SLAE tarafından açıklanan nesneler dikkate alınacaktır.

3.1. Matris dönüştürme algoritması

Bir matris dönüştürme algoritması geliştirirken, matrisin i'inci satırının j'inci köşegen olmayan elemanının matrise eksi işaretiyle dahil edildiği ve bağlantıyı tanımlayan ayrı bir model parametresi içerdiği gerçeği kullanılır. ayrık modelin i-th ve j-th düğümleri arasında. Çapraz eleman matrise pozitif bir işaretle dahil edilir, köşegen olmayan elemanların toplamını ve i'inci düğüm ile temel düğüm arasındaki bağlantıyı tanımlayan ayrı bir model parametresini içerir. Genellikle ayrık bir modelin düğümleri numaralandırılırken temel düğümün sıfır olduğu kabul edilir.

Yukarıda gerçekleştirilen çalışmadan da anlaşılacağı üzere, sorunun derlenmiş SLAE düzeyindeki yanlışlığı, yalnızca çizginin köşegen olmayan elemanlarından en az birinin, yalnızca dahil edilen ayrık modelin parametresinden önemli ölçüde büyük olması durumunda ortaya çıkar. diyagonal elemanda. Aşağıda derlenmiş SLAE'nin doğruluğunu kontrol etmeye yönelik bir metodoloji verilmiştir.

SLAE'nin şu şekle sahip olmasına izin verin

burada x, düğüm potansiyellerinin vektörüdür (düğüm etkileri), y, dış akışların vektörüdür, A, formun bir matrisidir

ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4

а11 а1і a1j a1n

аі1 а,і aj ain , (21)

aJ1 an1 ve aJJ ann

burada n matris boyutudur. Matris elemanları aşağıdaki gereksinimleri karşılar:

ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)

Aşağıda matrisin i'inci satırının doğruluğunu kontrol etmeyi ve gerekirse düzeltmeyi ele alacağız.

Öncelikle matrisin i. satırının sadece köşegen elemanında yer alan ayrık model parametresi belirlenir,

Ait parametresi koşulu sağlıyorsa matrisin i'inci satırının doğru şekilde oluşturulduğu kabul edilir.

1 < j < n, при j Ф і.

Koşul (24) karşılanmazsa i'inci satır ayarlanır. Öncelikle köşegen olmayan elemanlardan en büyüğü seçilir. Bu i'inci satırın j'inci elemanı olsun. Matris bileşiminin özellikleri nedeniyle (koşul (22)) elemanların oluşumunda yer alan ayrık modelin parametresinin o olduğunu doğrulamak kolaydır. ve i-inci ve j-inci doğruların a.^'si, aii ve a elemanlarının ayrılmaz parçası olarak yer alır. . İ'inci satırı ayarlamanın özü, matrisin i'inci ve j'inci satırlarını, öğenin değeri a olacak şekilde dönüştürmektir. yalnızca aii unsuruna dahil edildi. Xi değişkenini formda temsil ettiğimizi görmek kolaydır.

X = xj + xj (25)

ve SLAE matrisinin j'inci sütununun elemanlarının aşağıdaki dönüşümünün gerçekleştirilmesi

o = aı. + ai, 1< 1 < n , (26)

dönüştürülmüş elemanların a olduğu matrisin yeni bir j'inci sütununu elde ederiz. ve bir. a elemanlarını oluşturan ayrık modelin parametresini içermez. ve bir. .

Bir sonraki adım, formülü kullanarak j'inci satırı dönüştürmektir.

aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)

Dönüştürülen j dizesinin a i öğeleri artık a i öğesine karşılık gelen ayrık model parametresini içermez.

ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4

SLAE matrisinin doğruluğunun kontrol edilmesi ve hatalı satırların düzeltilmesi matrisin tamamı için gerçekleştirilir. Bu çalışmada yalnızca bir matrisi doğru forma dönüştürmek için bir algoritma oluşturma yaklaşımı ele alınmıştır. Bir matrisi doğru forma dönüştürmek için etkili bir algoritmanın geliştirilmesine ilişkin konular bu çalışmada ele alınmamıştır. Aşağıda, düğüm potansiyelleri yöntemiyle derlenen SLAE matrisinin (14) dönüşümünün bir örneğini vereceğiz.

3.2. Demo örneği

Öncelikle matris (14)'ün simetrik ve dejenere olmadığı belirtilmelidir. Matris katsayıları koşulu (22) karşılar. Düğüm potansiyelleri bileşenler arasındaki voltaj düşüşüne karşılık gelir

U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG

(28) dikkate alındığında, SLAE (14) aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

G5 + G6 - G5 0 U 4 0

G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0

0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA

Bir matrisin doğruluğunun kontrol edilmesi aşağıdaki işlemleri içerir.

Ayrık model parametresinin formül (23) ile belirlenmesi, yalnızca dahil edilmiştir

diyagonal bir elemana dönüştürülür. Matrisin ilk satırı için G6, ikinci satırı G4 ve üçüncü satırı için - (Gl + G2) olacaktır.

Matris satırlarının doğruluğunun kontrol edilmesi formül (24)'e göre gerçekleştirilir. Bu kontrol sonucunda (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) olduğundan ikinci satırın doğruluk şartını karşılamadığı ortaya çıkıyor. G3 parametresi aynı zamanda matrisin üçüncü satırına da dahil edilmiştir, bu nedenle formül (25)'e göre U3 değişkeninin temsili şu şekilde seçilir:

U3 = U2 + U23, (30)

3. sütunun elemanlarının formül (26)'ya göre dönüştürülmesi sonucunda aşağıdaki formdaki matrisi (29) elde ederiz:

G5 + G6 - G5 - G5

G5 g3 + g4 + g5 g4+g5

ve üçüncü satırı formül (27)'ye göre dönüştürdükten sonra matris (31) şu şekle sahip olacaktır:

(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0

G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)

G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E

SLAE (32) doğruluk gerekliliğini karşılamaktadır, dolayısıyla ayarlamanın tamamlanmış olduğu kabul edilmektedir. SLAE değişkenleri (32), SLAE değişkenlerine (8) karşılık gelir;

ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4

Ağaca dönüştürme sonucunda problemin doğru formüle edilmesi yönteminde olduğu gibi aynı bileşenler seçildi. SLAE'lerin (8) ve (32) karşılaştırılmasından, ikinci sütunun ve ikinci satırın matrisinin (32) köşegen olmayan elemanlarının işaretinin matristen (8) farklı olduğu sonucu çıkar. Bu, matris (14) dönüştürülürken, G3 bileşeninin akım yönünün, SLAE (8) derlenirken seçilen yönün tersi olarak seçilmesinin sonucudur. U23 değişkenini U23 = -U23 ile değiştirerek ve ikinci denklemdeki elemanların işaretlerini ters yönde değiştirerek matris (8) elde ederiz.

4. Sonuç

Modelleme, insanlığın entelektüel faaliyetinin ayrılmaz bir parçası haline gelmiştir ve modelleme sonuçlarının güvenilirliği, modelleme sonuçlarının değerlendirilmesinde ana kriterdir. Sonuçların güvenilirliğini sağlamak için, karmaşık nesneleri ve bunların çözümlerini tanımlamaya yönelik yöntem ve algoritmaların geliştirilmesine yönelik yeni yaklaşımlar gereklidir.

Kötü konumlanmış problemleri çözmek için yöntemler geliştirmeye yönelik mevcut yaklaşımın aksine, bu makale, kötü konumlanmış bir problemi (kötü koşullu) doğru bir forma getirmeyi önermektedir. Fiziksel nesnelerin ayrık modellerini tanımlayan SLAE'leri çözerken güvenilir sonuçlar elde etmeyi zorlaştıran şeyin matrisin zayıf koşulluluğu değil, denklemlerin oluşturulması aşamasında SLAE değişkenlerinin yanlış seçimi ve düğüm yöntemi olduğu gösterilmiştir. Ayrı bir modeli tanımlayan SLAE'leri derlemek için kullanılan potansiyeller ve analogları, problemin doğru formülasyonu yönteminin özel bir durumudur. SLAE matrisinin tekil olmadığı ve simetrik olduğu durum için düğüm potansiyelleri yöntemiyle derlenen SLAE'nin doğruluğunu kontrol etmek için bir teknik önerilmiştir. Bir matrisi doğru forma dönüştürmek için bir algoritma düşünülmüştür.

KAYNAKÇA

1. Kalitkin N.N. Doğrusal cebirsel denklem sistemleri için niceliksel koşulluluk kriteri / N.N. Kalitkin, L.F. Yukhno, L.V. Kuzmina // Matematiksel modelleme. - 2011. T. 23, Sayı 2. - S. 3 - 26.

2. Voloboev V.P. Karmaşık sistemlerin modellenmesine yönelik bir yaklaşım / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiksel makineler ve sistemler. - 2008. - No. 4. - S. 111 - 122.

3. Voloboev V.P. Güç sistemlerinin modellenmesine bir yaklaşım / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiksel makineler ve sistemler. - 2009. - No. 4. - S. 106 - 118.

4. Voloboev V.P. Çubuk sistemlerinin mekaniği ve grafik teorisi / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiksel makineler ve sistemler. - 2012. - No. 2. - S. 81 - 96.

5. Voloboev V.P. Sonlu elemanlar yöntemi ve grafik teorisi / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiksel makineler ve sistemler. - 2013. - No. 4. - S. 114 - 126.

6.Pukhov G.E. Matematiksel makineler teorisinin seçilmiş soruları / Pukhov G.E. - Kiev: Ukrayna SSR Bilimler Akademisi Yayınevi, 1964. - 264 s.

7. Seshu S. Doğrusal grafikler ve elektrik devreleri / S. Seshu, M.B. Reid. - M .: Yüksekokul, 1971. - 448 s.

8. Zenkevich O. Sonlu elemanlar ve yaklaşım / O. Zenkevich, K. Morgan. - M.: Mir, 1986. -318 s.

9. Voevodin V.V. Doğrusal cebirin hesaplamalı temelleri / Voevodin V.V. - M .: Nauka, 1977. -304 s.

10. Elektrik mühendisliğinin teorik temelleri: üniversiteler için ders kitabı / K.S. Demirchyan, L.R. Neiman, N.V. Korovkin, V.L. Çeçurin. - . - Peter, 2003. - T. 2. - 572 s.

Doğrusal cebirsel denklemlerin kötü koşullandırılmış sistemlerini çözmenin ne gibi zorluklarla ilişkili olduğu bilinmektedir: bu tür sistemlerin sağ taraflarındaki küçük değişiklikler, çözümdeki büyük (kabul edilebilir sınırların ötesinde) değişikliklere karşılık gelebilir.

Denklem sistemini düşünün

Аz=u, (3; 2,1)

Nerede A -- a ij elemanlı matris , A=(a ij ), z -- z j koordinatlarıyla istenen vektör , z=(z j ), Ve -- koordinatları olan bilinen vektör Ve Ben sen= (u ben ), i, j =1, 2, ..., P. Sistem (3; 2,1) denir dejenere, sistemin determinantı sıfır ise detA = 0. Bu durumda matris A sıfır özdeğere sahiptir. Bu tip kötü koşullandırılmış sistemler için matris A sıfıra yakın özdeğerlere sahiptir.

Hesaplamalar sonlu bir doğrulukla yapılıyorsa, bazı durumlarda belirli bir denklem sisteminin dejenere veya hatalı olup olmadığını tespit etmek mümkün olmayabilir. Bu nedenle, kötü koşullandırılmış ve dejenere sistemler belirli bir hassasiyetle ayırt edilemeyebilir. Açıkçası, bu durum matrisin olduğu durumlarda ortaya çıkar. A sıfıra oldukça yakın özdeğerlere sahiptir.

Pratik problemlerde sağ taraf genellikle Ve ve matris elemanları A, yani sistemin (3; 2,1) katsayıları yaklaşık olarak bilinmektedir. Bu durumlarda sistem yerine (3;2,1) başka bir sistemle uğraşıyoruz Az= Veöyle ki ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы A matris A, sistemin yozlaşması veya yozlaşmaması hakkında kesin bir yargıya varamayız (3; 2.1).

Bu durumlarda, tam sistem hakkında Аz=uÇözümü belirlenmesi gereken , sadece matris için şunu biliyoruz A ve sağ taraf Ve eşitsizlikler ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d. Но систем с такими исходными данными (Bir el) sonsuz sayıdadır ve bildiğimiz hata düzeyi dahilinde bunlar ayırt edilemez. Kesin sistem (3; 2.1) yerine yaklaşık bir sistemimiz olduğundan Аz= ve, o zaman ancak yaklaşık bir çözüm bulmaktan bahsedebiliriz. Ancak yaklaşık sistem Az=uçözünmez olabilir. Bir soru ortaya çıktı:

Tanımlanan durumda (3; 2.1) sisteminin yaklaşık çözümü olarak ne anlaşılmalıdır?

“Muhtemel kesin sistemler” arasında yozlaşmış olanlar da olabilir. Çözülebilirlerse sonsuz sayıda çözümleri vardır. Yaklaşık bulgudan hangisinden bahsetmemiz gerekiyor?

Bu nedenle, çok sayıda durumda, aralarında hem dejenere hem de çözülemez olabilen, birbirinden ayırt edilemeyen (belirli bir hata düzeyi dahilinde) bir denklem sistemleri sınıfını dikkate almamız gerekir. Bu sınıftaki sistemlerin yaklaşık çözümlerini oluşturma yöntemleri aynı ve genel olmalıdır. Bu çözümler başlangıç verilerindeki küçük değişikliklere karşı dayanıklı olmalıdır (3; 2.1).

Bu tür yöntemlerin yapımı “seçim” fikrine dayanmaktadır. Seçim, problem bildiriminde yer alan özel, önceden belirlenmiş W[ z ] fonksiyonelleri kullanılarak gerçekleştirilebilir.

F'deki F'nin her yerde yoğun bir alt kümesi olan F 1 üzerinde tanımlanan negatif olmayan bir fonksiyonel W[ z ] olarak adlandırılır işlevselliği stabilize etme, Eğer:

a) z T elemanı kendi tanım alanına aittir;
b) herhangi bir d>0 sayısı için F 1 kümesi, F 1'den z elemanları;
W[z]

Öyleyse, keyfi bir doğrusal cebirsel denklem sistemi (kısacası SLAE'ler) düşünelim.

az =sen, (3; 2,2)

burada z ve u vektörlerdir, z=(z 1, z 2, ...,z n)-OR n, Ve=(u 1 ,u 2 , ... ,u n)--VEYA m , A-- a ij elemanlı matris , A= (a ij ), burada j =1, 2, ..., n; i=1, 2, ..., T, ve sayı P sayıya eşit olmak zorunda değil T.

Bu sistem benzersiz bir şekilde çözülebilir, dejenere (ve sonsuz sayıda çözüme sahip) ve çözülemez olabilir.

Sözde çözüm(3; 2,2) sistemine tutarsızlığı en aza indiren z vektörü denir || Az - u || Rn alanının tamamı boyunca. (3; 2,2) sisteminin birden fazla sözde çözümü olabilir. F A'nın tüm sözde çözümlerinin kümesi ve z 1'in de bir sabit vektör olduğunu varsayalım. Rn, genellikle problemin ifadesine göre belirlenir.

Vektöre göre normal(3;2,2) sisteminin z 1 çözümüne minimum normlu z 0 sözde çözümü || z - z 1 ||, yani öyle ki

|| z 0 - z 1 || =

Burada. Aşağıda, gösterimin basitliği açısından, z 1 = 0 olduğunu varsayacağız ve z 1 = 0 vektörüne normal olan çözüm basitçe çağrılacaktır. normal çözüm.

(3; 2,2) formundaki herhangi bir sistem için normal bir çözüm mevcuttur ve benzersizdir.

Açıklama 1. (3;2,2) sisteminin normal çözümü z°, z-z 1 vektörünün koordinatlarına göre belirli bir pozitif belirli ikinci dereceden formu en aza indiren bir sözde çözüm olarak da tanımlanabilir. Aşağıda sunulan tüm sonuçlar geçerliliğini korumaktadır.

Açıklama 2. Matrisin rütbesi A dejenere sistem (3; 2,1) eşittir r < n ve z r+1 ,z r+2 , … , z n - doğrusal uzayın temeli N A , z elemanlarından oluşan Аz=0, NA = ( z; AZ= 0). (3; 2,1) sisteminin z° çözümü, n-r diklik koşullarını karşılayan

(z 0 - z 1 , z S)= 0, S= r + 1, r + 2, .. ,n, (3; 2,3)

benzersiz olarak belirlenir ve normal çözümle çakışır.

(3; 2,2) sistemine normal bir çözüm bulma probleminin kötü bir şekilde ortaya konduğunu görmek kolaydır. Aslında izin ver A -- simetrik matris. Dejenere değilse ortogonal dönüşümle

z = Vz*, u = Vu*

o köşegen forma indirgenebilir ve dönüştürülen sistem şu forma sahip olacaktır:

l i z i *=u i * , i= 1, 2,. .., P,

burada ben matrisin özdeğerleridir A.

Simetrik matris ise A -- dejenere değildir ve r derecesine sahiptir, bu durumda özdeğerlerinin n - r'si sıfıra eşittir. İzin vermek

i=1, 2, ..., r için l i №0;

i=r+1,r+2, …, n için l ben =0.

(3; 2,2) sisteminin çözülebilir olduğunu varsayıyoruz. Bu durumda i =r + 1, ..., n için u i *= 0.

Sistemin “başlangıç verileri” olsun (A Ve Ve) bir hatayla belirtildi, yani yerine A Ve Ve onların yaklaşıklıkları verilmiştir A Ve sen:

|| A - A ||<=h, ||u - u||<=d . При этом

bırak ben -- matris özdeğerleri A. Normdaki (3; 2.4) sürekli olarak A'ya bağımlı oldukları bilinmektedir. Sonuç olarak, özdeğerler l r+1 , l r+2 , …,l n yeterince küçük h için keyfi olarak küçük olabilir .

Sıfıra eşit değillerse, o zaman

Bu nedenle, yeterince küçük bir hatada sistemde bozulmalar olacaktır. A Ve Ve, bunun için bazı z i * önceden belirlenmiş herhangi bir değeri alacaktır. Bu, (3; 2,2) sistemine normal bir çözüm bulma probleminin kararsız olduğu anlamına gelir.

Aşağıda, sağ taraftaki kararlı ila küçük (normda (3; 2.4)) bozulmalara kadar sisteme (3; 2.2) normal bir çözüm bulma yönteminin bir açıklaması bulunmaktadır. Ve, düzenlileştirme yöntemini temel alır.

Gerekli vektör

Eğer öyleyse, sistem (1)'e kötü koşullu denir. Bu durumda matris katsayılarındaki ve sağ taraftaki hatalar veya hesaplamalardaki yuvarlama hataları çözümü büyük ölçüde bozabilir.

Birçok problemin çözümünde sistemin (1) sağ tarafı ve A matrisinin katsayıları yaklaşık olarak bilinmektedir. Bu durumda, tam sistem (1) yerine başka bir sistemimiz var

öyle ki

ve d değerlerinin bilindiğini varsayalım.

Sistem (1) yerine sistem (2) elimizde olduğundan, sistem (1) için yalnızca yaklaşık bir çözüm bulabiliriz. Sistem (1)'in yaklaşık çözümünü oluşturma yöntemi, başlangıç verilerindeki küçük değişikliklere karşı kararlı olmalıdır.

Sistem (1)'in sahte çözümü, tüm uzaydaki tutarsızlığı en aza indiren bir vektördür.

X 1'in, genellikle problem bildirimi tarafından belirlenen, 'den sabit bir vektör olmasına izin verin.

Sistem (1)'in x1 vektörüne göre normal bir çözümü, minimum normlu bir sözde çözüm x0'dır; yani

burada F, sistem (1)'in tüm sözde çözümlerinin kümesidir.

Dahası

burada ¾ x vektörünün bileşenleridir.

(1) tipindeki herhangi bir sistem için normal bir çözüm mevcuttur ve benzersizdir. Koşulları kötü olan bir sisteme (1) normal bir çözüm bulma sorunu yanlış bir şekilde ortaya konmuştur.

Sistem (1)'e yaklaşık normal bir çözüm bulmak için düzenlileştirme yöntemini kullanırız.

Bu yönteme göre formun yumuşatma fonksiyonelini oluşturuyoruz.

ve bu fonksiyoneli en aza indiren vektörü bulun. Ayrıca, düzenlileştirme parametresi a, koşuldan benzersiz bir şekilde belirlenir.

Nerede .

Dejenere ve kötü koşullandırılmış sistemler belirli bir doğrulukla ayırt edilemeyebilir. Ancak (1) sisteminin çözülebilirliği hakkında bilgi varsa, o zaman koşul (5) yerine aşağıdaki koşul kullanılmalıdır:

Bileşenler vektörler, fonksiyonel (4)'ün minimum koşulundan elde edilen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümleridir.

ve benziyor

burada E birim matristir,

¾Hermit eşlenik matrisi.

Uygulamada bir vektörün seçilmesi ek hususların dikkate alınmasını gerektirir. Eğer mevcut değillerse =0 olduğunu varsayalım.

=0 için sistem (7)’yi formda yazıyoruz.

Nerede

Bulunan vektör, sistem (1)'in yaklaşık normal çözümü olacaktır.

A parametresini seçmeye odaklanalım. a=0 ise sistem (7) kötü koşullandırılmış bir sisteme dönüşür. Eğer a büyükse, sistem (7) iyi koşullandırılmış olacaktır ancak düzenlileştirilmiş çözüm, sistem (1) için istenen çözüme yakın olmayacaktır. Bu nedenle çok büyük veya çok küçük a uygun değildir.

Genellikle pratikte hesaplamalar a parametresinin bir takım değerleri ile yapılır. Örneğin,

a'nın her değeri için fonksiyonel (4)'ü en aza indiren elemanı bulun. Düzenlileştirme parametresinin istenen değeri, (5) veya (6) eşitliğinin gerekli doğrulukla karşılandığı a sayısı olarak alınır.

III. EGZERSİZ YAPMAK

1. Değeri 10-6 düzeyinde olan bir determinant ile üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir doğrusal cebirsel denklem sistemi oluşturun.

2. Birinciye benzer, ancak birinci sistemin serbest koşullarından 0,00006 farklı olan diğer serbest terimlere sahip ikinci bir sistem oluşturun.

3. Oluşturulan sistemleri düzenlileştirme yöntemini (=0 ve d=10 -4 varsayarak) ve başka bir yöntemi (örneğin, Gauss yöntemi) kullanarak çözün.

4. Elde edilen sonuçları karşılaştırın ve kullanılan yöntemlerin uygulanabilirliği hakkında sonuçlar çıkarın.

IV. RAPORUN FORMÜLASYONU

Rapor şunları sunmalıdır:

1. Eserin başlığı.

2. Sorunun beyanı.

3. Çözüm algoritmasının açıklaması (yöntem).

4. Açıklama içeren programın metni.

5. Programın sonuçları.

BİBLİYOGRAFİK LİSTE

1. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Kötü konumlanmış problemleri çözme yöntemleri. - M .: Nauka, 1979. 286 s.

2. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Sayısal yöntemler. - M.: BİNOM. Bilgi Laboratuvarı, 2007 636 s.

Laboratuvar çalışması No. 23

8.2.3. Dejenere ve kötü koşullandırılmış sistemler

Yukarıda ele alınan "iyi" durumun aksine (bkz. Bölüm 8.D), özel bir yaklaşım gerektiren, MxN boyutunda bir kare matris A ile SLAE Ax=b'ye tekrar dönelim. İki benzer SLAE türüne dikkat edelim:

dejenere sistem (sıfır determinantlı |A|=0);
kötü koşullandırılmış sistem (determinant A sıfıra eşit değildir, ancak koşul sayısı çok büyüktür).

Bu tür denklem sistemlerinin birbirinden önemli ölçüde farklı olmasına rağmen (ilki için çözüm yoktur, ikincisi için yalnızca bir tane vardır), bilgisayarın pratik bakış açısından bakıldığında, aralarında pek çok ortak nokta vardır. onlara.

Dejenere SLAE'ler

Dejenere bir sistem, sıfır determinantlı |A|=0 (tekil matris) bir matris tarafından tanımlanan bir sistemdir. Böyle bir sistemde yer alan bazı denklemler diğer denklemlerin doğrusal birleşimiyle temsil edildiğinden, aslında sistemin kendisi eksik belirlenmiştir. Sağ taraftaki b vektörünün spesifik türüne bağlı olarak ya sonsuz sayıda çözüm olduğunu ya da hiç çözüm olmadığını anlamak kolaydır. İlk seçenek normal bir sözde çözüm oluşturmaya (yani sonsuz sayıda çözüm kümesinden belirli bir vektöre, örneğin sıfıra en yakın olanı seçmeye) gelir. Bu durum bölümde ayrıntılı olarak ele alınmıştır. 8.2.2 (bkz. 8.11-8.13 listeleri).

Pirinç. 8.7. Tekil matrisli iki denklemden oluşan tutarsız bir sistemin grafiksel gösterimi

Tekil kare matris A'ya sahip SLAE Aх=b'nin tek bir çözümü olmadığı ikinci durumu ele alalım. Böyle bir problemin bir örneği (iki denklemli bir sistem için) Şekil 2'de gösterilmektedir. 8.7, üst kısmında A matrisi ve b vektörü tanıtılır ve isolve fonksiyonunu kullanarak sistemi çözmek için bir girişimde bulunulur (A matrisi tekil olduğu için başarısız olur). Şeklin ana kısmını kaplayan grafik, sistemi tanımlayan iki denklemin (x0,xi) düzleminde iki paralel doğruyu tanımladığını göstermektedir. Doğrular koordinat düzleminde herhangi bir noktada kesişmez ve dolayısıyla sistemin çözümü yoktur.

NOT

İlk olarak, 2x2 boyutunda tekil olmayan bir kare matris tarafından tanımlanan bir SLAE'nin düzlemde bir çift kesişen çizgiyi tanımladığına dikkat edin (bkz. aşağıdaki Şekil 8.9). İkinci olarak, eğer sistem tutarlı olsaydı, denklemlerin geometrik temsili sonsuz sayıda çözümü tanımlayan iki çakışan çizgi olurdu.

Pirinç. 8.8. Artık fonksiyonunun bölümlerinin grafiği f (x) = |Ax-b|

Sistemin |Ax-b| tutarsızlığını en aza indiren sözde çözümlerinin dikkate alınan tekil durumunda bunu tahmin etmek kolaydır. , sonsuz sayıda olacak ve bunlar, Şekil 2'de gösterilen iki düz çizgiye paralel üçüncü düz çizgi üzerinde uzanacaklar. 8.7 ve aralarında ortada yer alıyor. Bu, Şekil 2'de gösterilmektedir. 8.8, f(x) = = | fonksiyonunun çeşitli bölümlerini göstermektedir. Balta-b | , aynı derinlikte bir minimum ailesinin varlığını gösterir. Bunları bulmak için yerleşik Minimize fonksiyonunu kullanmaya çalışırsanız, sayısal yöntemi her zaman belirtilen çizginin herhangi bir noktasını bulacaktır (başlangıç koşullarına bağlı olarak). Bu nedenle, benzersiz bir çözüm belirlemek için, tüm sözde çözümler kümesinden en küçük norma sahip olanın seçilmesi gerekir. Bu çok boyutlu minimizasyon problemini, yerleşik Minimize fonksiyonlarının kombinasyonlarını kullanarak Mathcad'de formüle etmeyi deneyebilirsiniz, ancak daha verimli bir yol, düzenlileştirme (aşağıya bakın) veya ortogonal matris ayrıştırmalarını (bkz. Bölüm 8.3) kullanmak olacaktır.

Koşulsuz sistemler

Kötü koşullandırılmış bir sistem, A determinantının sıfıra eşit olmadığı, ancak |A -1 | koşul numarasının eşit olduğu bir sistemdir. |A| çok büyük. Kötü koşullandırılmış sistemlerin benzersiz bir çözümü olmasına rağmen, pratikte bu çözümü aramanın çoğu zaman bir anlamı yoktur. İki özel örnek kullanarak kötü koşullandırılmış SLAE'lerin özelliklerini ele alalım (Liste 8.14).

Listeleme 8.14. İki yakın kötü koşullandırılmış SLAE'nin çözümü

Liste 8.14'ün her satırı iki çok yakın kötü koşullandırılmış SLAE'nin çözümünü içerir (aynı sağ taraf b ve biraz farklı A matrisleri ile). Yakınlıklarına rağmen bu sistemlerin kesin çözümleri birbirinden çok uzak çıkmaktadır. İki denklemli bir sistem için kesin bir çözümün elde edilmesinin kolay olduğu, ancak yüksek boyutlu bir SLAE'yi çözerken, hesaplamalar sırasında kaçınılmaz olarak biriken küçük yuvarlama hatalarının ("kesin" Gauss algoritması dahil) büyük hatalara yol açtığı unutulmamalıdır. Sonuçta. Şu soru ortaya çıkıyor: Sorunun istikrarsızlığı nedeniyle tamamen yanlış olabileceği önceden biliniyorsa, sayısal bir çözüm aramak mantıklı mı?

Bizi kötü koşullandırılmış SLAE'leri çözmek için özel yöntemler aramaya zorlayan başka bir husus (Liste 8.14'te örnek olarak verilen iki denklem sistemi bile) bunların deneysel sonuçlar olarak fiziksel olarak yorumlanmasıyla ilişkilidir. Başlangıçta girdi verilerinin bir miktar hatayla elde edildiği biliniyorsa, modeldeki küçük hatalar (matris A ve vektör b) çözümde büyük hatalara yol açtığından, kötü koşullandırılmış sistemleri çözmenin hiçbir anlamı yoktur. Bu tür özelliklerle ilgili problemlere kötü pozlama denir.

Yanlışlığın nedenini daha iyi anlamak için, iyi (Şekil 8.9) ve kötü (Şekil 8.10) koşullandırılmış iki denklem sisteminin grafiksel yorumunu karşılaştırmak yararlı olacaktır. Sistemin çözümü, denklemlerin her birini temsil eden iki düz çizginin kesişme noktasıyla görselleştirilir.

Pirinç. 8.9. İyi koşullandırılmış iki denklem sisteminin grafiği

Pirinç. 8.10. İki denklemden oluşan kötü koşullu bir sistemin grafiği

Şek. 8.10'da, kötü koşullandırılmış SLAE'ye karşılık gelen düz çizgilerin birbirine yakın (neredeyse paralel) konumlandırıldığı açıktır. Bu bağlamda, çizgilerin her birinin konumundaki küçük hatalar, iyi koşullandırılmış bir sistemin aksine, kesişme noktalarının (SLAE çözümleri) lokalizasyonunda önemli hatalara yol açabilir. çizgilerin eğiminin kesişme noktalarının konumu üzerinde çok az etkisi vardır (Şekil 8.9).

NOT

Aşırı belirlenmiş (tutarsız) SLAE'ler tarafından belirtilen deneysel verilerin (örneğin tomografi problemlerinde) yeniden yapılandırılması sırasında matrisin zayıf koşullandırılması da tipiktir. Bir sonraki bölümde gösterilen durum budur (bkz. aşağıdaki Liste 8.16).

Düzenlileştirme yöntemi

Kötü konumlanmış sorunları, özellikle dejenere ve kötü koşullandırılmış SLAE'leri çözmek için, düzenlileştirme adı verilen çok etkili bir teknik geliştirilmiştir. Pratik durumlarda sıklıkla mevcut olan, çözümün yapısı (önsel tahmin xo'nun vektörü) hakkında ek ön bilgilerin dikkate alınmasına dayanmaktadır. Çünkü düzenleme konusu Bölüm'de ayrıntılı olarak ele alınmıştır. 6.3.3'te sadece SLAE Ax=b çözüm probleminin Tikhonov fonksiyonelinin minimumunu bulma problemiyle değiştirilebileceğini hatırlıyoruz:

Ω (x,λ) = |Ax-b| 2 +λ |x-x0| 2. (8.3)

Burada R, optimal bir şekilde seçilmesi gereken küçük bir pozitif düzenleme parametresidir. Tikhonov fonksiyonelini en aza indirme probleminin, başka bir SLAE çözümüne indirgenebileceği gösterilebilir:

(AT A+ λ I)-x=A T B+λ x0, (8.4)

hangi saatte λ ->0 orijinal kötü koşullandırılmış sisteme gider ve büyük x için, iyi koşullandırılmış olarak, x 0 çözümüne sahiptir. Açıkçası, A'nın bazı ara değerleri, kabul edilebilir koşulluluk ile orijinal soruna yakınlık arasında belirli bir uzlaşma sağlayarak optimal olacaktır. Düzenlileştirme yaklaşımının, kötü konumlanmış sorunu, problemin doğrusallığı nedeniyle benzersiz ve kararlı olan sisteme (8.4) bir çözüm bulma şeklindeki koşullu olarak iyi konumlanmış (Tikhonov'a göre) soruna indirgediğine dikkat edin.

Gereksiz yorumlar yapmadan, Şekil 2'de sunulan dejenere sistemin düzenlileştirilmiş bir çözümünü sunalım. 8.8. Liste 8.15, soruna (8.4) bir çözüm bulmayı gösterir ve kalıntının ve çözümün kendisinin düzenlileştirme parametresi R'ye olan bağımlılığı Şekil 2'de gösterilmektedir. Sırasıyla 8.11 ve 8.12. Orijinal sistemin ve dolayısıyla sistemin (8.4) çözümlerinin de vurgulanması önemlidir. λ =0 bulunmuyor.

Listeleme 8.15 Dejenere bir SLAE'nin düzenlenmesi

Düzenlileştirmenin son adımı en uygun olanı seçmektir λ . Kalıntının bağımlılığına dayalı olarak bir düzenleme parametresinin seçilebileceği en az iki husus vardır. Söz konusu örnekte, belirleme kriterini uyguluyoruz. λ , girdi verilerinin belirlenmesindeki hataların önceden tahminine eşit artık normun seçimine dayalıdır: A matrisi ve b vektörü, yani | değeri | δA | + |5λ|. Örneğin, artık normu ve buna göre parametreyi seçebilirsiniz. λ ve çözüm x( λ ), Şekil 2'de işaretlenmiştir. 8.11 ve 8.12 noktalı çizgiler.

NOT 1

Diğer seçenek λ Model hatalarına ilişkin herhangi bir ön değerlendirme gerektirmeyen, Bölüm'de tartışılan sözde optimal yöntemdir. 6.3.3.

NOT 2

Doğrusal bir problem durumunda formül (8.4)'ün genel formül (8.3) ile aynı sonucu verdiğini doğrulamak faydalıdır. Bunun için Liste 8.15'teki SLAE (8.4) çözümünü ifade eden son satırı, Liste 8.16'da gösterildiği gibi sayısal yöntemle minimizasyon uygulayan kodla değiştirmek yeterlidir. Hesaplamalar (önemli ölçüde daha fazla bilgisayar zamanı gerektirir), Şekil 2'de gösterilenle aynı sonucu verir. 8.11 ve 8.12.

NOT 3

Liste 8.15 ve 8.16'daki hesaplamaları farklı, örneğin daha gerçekçi, önsel bir çözüm tahmini almaya çalışın (bunlarda kullanılan sıfır vektörü x0 yerine) ve bunun sonucu nasıl etkilediğini görün.

Pirinç. 8.11. Dejenere bir SLAE'nin düzenlileştirilmiş çözümünün kalıntısının A parametresine bağımlılığı (Liste 8.15'in devamı)

NOT 4

Tikhonov fonksiyoneli olarak formül (8.3) yerine başka bir bağımlılığın kullanılması da ilginçtir: Ω(x,λ ) = |Ax-b|+ λ |x-x0 | . CD'de hesaplamaların ilgili bir örneğini bulacaksınız.

Pirinç. 8.12. λ'ya bağlı olarak düzenlileştirilmiş çözüm (Liste 8.15'in devamı)

Listeleme 8.16. Bir minimizasyon algoritması kullanılarak SLAE'lerin düzenlenmesi (Liste 8.15'in devamı)