Bir fonksiyonun türevi aracılığıyla incelenmesi. Özet: Bir fonksiyonun türevini kullanarak incelenmesi

Dersin amacı: Fonksiyonlar üzerinde nasıl araştırma yapılacağını öğrenin; grafiklerini oluşturun.

Biçim: ders sohbeti.

Yöntemler: diyalog, görsel yardımcılar ve slaytlar.

Teçhizat: BİT, tablolar.

Ders ilerlemesi

I. Ödevleri kontrol etmek.

Öğretmen: - Çocuklar! "Bir fonksiyonun kritik noktaları, maksimumları ve minimumları" ödeviniz vardı. Bir fonksiyonun kritik noktasını tanımlayın.

Öğrenci: - Kritik nokta, türevin sıfıra eşit olduğu veya mevcut olmadığı tanım bölgesinin bir iç noktasıdır.

Öğretmen: - Kritik noktalar nasıl bulunur?

Öğrenci: - 1

) Fonksiyonun türevini bulun;

2) Denklemi çözün: f "(x) = 0. Bu denklemin kökleri kritik noktalardır.

Öğretmen: - Fonksiyonların kritik noktalarını bulun:

a) f(x)= 4 - 2x + 7x 2

b) f(x)= 4x - x 3 /3

a) 1) Bu fonksiyonun türevini bulun:

f "(x)= (4 - 2x + 7x 2)" = -2+14x

2) f "(x)=0 denklemini çözün<=>-2+14x =0<=>x=1/7

3) f"(x) = 0 denkleminin tek kökü olduğundan bu fonksiyonun tek kritik noktası x = 1/7'dir.

b) 1) Bu fonksiyonun türevini bulun: f "(x)= 4 - x 2

2) Denklemi çözün: f "(x)=0<=>4 - x 2 = 0<=>x = 2 veya x = -2

3) f "(x) = 0 denkleminin iki kökü olduğundan, bu fonksiyonun x 1 = 2 ve x 2 = -2 olmak üzere iki kritik noktası vardır.

II.Sözlü çalışma.

Öğretmen: - Çocuklar! Yeni bir konuyu incelemek için gereken temel soruları tekrarlayalım. Bunu yapmak için resimli tabloları düşünün ( Ek 1).

Fonksiyonun arttığı ve azaldığı noktaları belirtiniz. Bu noktalara ne denir?

Öğrenci: - Şekil a)'da - K noktası maksimum nokta, şekil b)'de - M noktası maksimum noktadır.

Öğretmen: - Fonksiyonun minimum noktalarını adlandırın.

Öğrenci: - Şekil c) ve d)'deki K noktası fonksiyonun minimum noktasıdır.

Öğretmen: - Hangi noktalar fonksiyonun ekstremum noktaları olabilir?

Öğrenci: - Kritik noktalar bir fonksiyonun ekstremum noktaları olabilir.

Öğretmen: - Hangi gerekli koşulları biliyorsunuz?

Öğrenci: - Fermat teoremi var. Bir ekstremum için gerekli koşul: Eğer x 0 noktası f fonksiyonunun uç noktası ise ve bu noktada bir f " türevi varsa, o zaman sıfıra eşittir: f "(x) = 0.

Öğretmen: - Fonksiyonun kritik noktalarını bulun:

a) f(x) = | x |

b) f(x) = 2x + | x |

Öğrenci: - f(x) = | fonksiyonunu düşünün x | ( ek 2). Bu fonksiyonun 0'da türevi yoktur. Bu, 0'ın kritik bir nokta olduğu anlamına gelir. Açıkçası, 0 noktasında fonksiyonun minimumu vardır.

Öğrenci: - f(x) = 2x + | fonksiyonunu düşünün. x | ( Ek 3). Grafik, 0 noktasında bu fonksiyonun hiçbir ekstremumunun olmadığını göstermektedir. Bu noktada fonksiyonun türevi yoktur.

Aslında f fonksiyonunun 0 noktasında türevi olduğunu varsayarsak, f(x) - 2x'in de 0 noktasında türevi vardır. Ancak f(x) - 2x = | x | ve işlev | x | 0 noktasında türevlenebilir değildir, yani bir çelişkiye ulaştık.

Bu, f fonksiyonunun 0 noktasında türevi olmadığı anlamına gelir.

Öğretmen: - Fermat teoreminden ekstrem noktaları bulurken kritik noktaları da bulmanız gerektiği sonucu çıkıyor. Ancak ele alınan örneklerden, bu kritik noktanın ekstrem nokta olabilmesi için bazı ek koşullara ihtiyaç olduğu açıktır.

Bir noktada bir ekstremun varlığı için hangi yeterli koşulları biliyorsunuz?

Öğrenci: - Fonksiyon maksimum işareti: f fonksiyonu x 0 noktasında sürekli ise ve (a; x 0) ve f "(x) aralığında f"(x)>0 ise<0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой максимума функции f.

Yani, eğer x 0 noktasında türevin işareti artıdan eksiye değişirse, o zaman x 0 maksimum noktadır.

Öğrenci: - Asgari işaret: f fonksiyonu x 0 noktasında sürekli ise ve f "(x)<0 на интервале (а;х 0) и f "(x) >(x 0 ; b) aralığında 0 ise, bu durumda x 0 noktası f fonksiyonunun minimum noktasıdır.

Yani, x 0 noktasında türevin işareti eksiden artıya değişirse, o zaman x 0 minimum noktadır.

Öğretmen: - Bir fonksiyonun ekstremum noktalarını bulmak için hangi algoritmayı biliyorsunuz?

Öğrenci, türevi () kullanarak f fonksiyonunu ekstremumuna kadar incelemek için kullanılan algoritmayı açıklar. Ek 4) ve fonksiyonun uç noktalarını bulur:

f(x)= x 4 -2x 2

D(f) =IR ve f, tam bir rasyonel fonksiyon gibi sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

2. f "(x) = 4x 3 -4x = 4x (x+1)(x-1).

3. f "(x)=0<=>x= -1 V x=0 V x=1.

Şekil 1 (f " işaretleri)

f kritik noktalarda sürekli olduğundan, Şekil 1'den ( Ek 5) f fonksiyonunun -1 ve 1'in minimum noktaları ve 0'ın maksimum noktası olduğu açıktır.

f min = f (-1) = f (1) = -1, f maks = f (0) =0.

Öğretmen: - Çocuklar! Bir f fonksiyonunun monotonluk aralıklarını bulmak için kullanılan algoritmayı hatırlayalım.

Öğrenci f fonksiyonunun monotonluk aralıklarını bulmak için algoritmayı hatırlar ( Ek 6).

Öğretmen: - Formülle verilen f fonksiyonunun artış ve azalış aralıklarını bulun

f(x)= x 3 -12x

Çözüm:

1. f(x) bir polinom olduğundan D(f) =IR olur.

2. f fonksiyonu tüm sayı doğrusunda türevlenebilir ve f "(x)= 3x 2 -12 = 3 (x+2) (x-2).

3. Bir f fonksiyonunun kritik noktaları yalnızca f "(x)'in sıfırları olabilir.

f "(x) =0<=>x = -2 Vx=2.

D (f)\ (-2; 2)= (-; -2) U (-2; 2) U (2; +).

Şekil 2 (f " işaretleri).

Bu fonksiyonun tanım alanlarını ve değerlerini bulun f.

Fonksiyonun araştırmayı kolaylaştıracak özelliklere sahip olup olmadığını, yani f fonksiyonunun olup olmadığını öğrenin:

a) çift veya tek;

b) periyodik.

3. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesiştiği noktaların koordinatlarını hesaplayın.

4. f fonksiyonunun sabit işaret aralıklarını bulun.

5. f fonksiyonunun hangi aralıklarda arttığını, hangi aralıklarda azaldığını bulunuz.

6. Ekstrem noktaları (maksimum veya minimum) bulun ve bu noktalardaki f değerlerini hesaplayın.

7. f fonksiyonunun tanım kümesine dahil olmayan karakteristik noktalar civarındaki davranışını araştırın.

8. Fonksiyonun grafiğini oluşturun.

Bu diyagram yaklaşıktır.

Bütün söylenenleri dikkate alarak f(x) = 3x 5 -5x 3 +2 fonksiyonunu inceleyelim ve grafiğini oluşturalım.

Belirtilen şemaya göre bir çalışma yapalım:

D(f") =IR, çünkü f(x) bir polinomdur.

f fonksiyonu ne çift ne de tektir, çünkü

f (-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5x 3 +2= -(3x 5 -5x 3 -2) f(x)

Grafiğin koordinat eksenleriyle kesiştiği noktaların koordinatlarını bulalım:

a) 0X ekseni ile bunun için denklemi çözüyoruz: 3x 5 -5x 3 +2 = 0.

Seçim yöntemini kullanarak köklerden birini (x = 1) bulabilirsiniz. Diğer kökler ancak yaklaşık olarak bulunabilir. Dolayısıyla bu fonksiyon için grafiğin apsis ekseni ile kalan kesişim noktalarını ve sabit işaret aralıklarını bulamayacağız.

b) 0У ekseni ile: f(0)=2

A noktası (0; 2), fonksiyon grafiğinin 0Y ekseni ile kesiştiği noktadır.

İşaret sabitliği aralıklarını bulamayacağımızı belirtmiştik.

Artan ve azalan fonksiyonun aralıklarını bulalım

a) f "(x)= 15x 4 -15x 2 = 15x 2 (x 2 -1)

D (f") =IR, dolayısıyla f "(x)'in bulunmadığı kritik noktalar yoktur.

b) f "(x) = 0, eğer x 2 (x 2 -1) = 0 ise<=>x = -1 V x = 0 V x = 1.

c) Üç kritik nokta elde ederiz; bunlar koordinat çizgisini dört aralığa böler. Bu aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim:

Şekil 3 (f " işaretleri)

IV. Yeni bir konu sabitleniyor. Sorun çözme.

Öğretmen: - Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun: f (x) = x 4 -2x 2 -3.

Öğrenci: - 1) D(f) = R.

2) f(-x)= (-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2x 2 -3; f(-x)= f(x),

Bu, f fonksiyonunun çift olduğu anlamına gelir. Çalışması fonksiyonun -4'ten -4'e arttığı aralıkta yapılabilir, dolayısıyla bu aralıkta f(x) = 0 denkleminin kökleri yoktur.

b) [-1; 2] Denklemin de kökleri yoktur, çünkü bu aralıkta fonksiyon -4'ten -31'e düşer.

c) Aralıkta türev grafiği Ox ekseninin altında yer alır, yani fonksiyonun kendisi bu aralıkta monoton olarak azalır. Böylece azalan fonksiyon en büyük değerini aralığın sol ucunda yani noktada alır.X=-7.

Cevap. -7.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulma algoritması:

Fonksiyonun türevini bulun.

Kritik noktaları belirleyin (bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya mevcut olmadığı noktalar).

Bulunan noktalardan bu segmente ait olanları seçin.

Değerleri hesaplaişlevler (türev değil!) bu noktalarda ve doğru parçasının uçlarında.

Elde edilen değerler arasından en büyüğünü veya en küçüğünü seçin, istediğiniz değer olacaktır.

Örnek 3. Fonksiyonun en küçük değerini bulunsen = X 3 – 18 X 2 + 81 X Segmentte +23.

Çözüm: Bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük değerini bulmak için algoritmayı takip ediyoruz:

sen = 3 X 2 – 36 X + 81.

sen = 3 X 2 – 36 X + 81 = 0

X 2 – 12 X + 27 = 0,

X = 3 veX = 9

X = 9 .

sen = X 3 – 18 X 2 + 81 X + 23 = X ( X -9) 2 +23:

• sen (8) = 8 (8-9) 2 +23 = 31;

  sen (9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;

  sen (13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Cevap. ;

İşin sırası.

Konuyla ilgili teorik arka planı dikkatlice inceleyin.

Aşağıdaki görevleri No. 9.40A (2c, 2d), No. 9.41B (1c), No. 9.44A (2), No. 9.43A (6) ders kitabına göre çözün.

Örnekler 3-7'yi tamamlayın.

Örnek 4. Şekilde fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir, aralıkta tanımlanmış. Cevabınızda en büyüğünün uzunluğunu belirtin.

Örnek 5. Şekilde fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir, aralıkta tanımlanmış. Fonksiyonun ekstremum noktalarının sayısını bulunsegmentte.

Örnek 6. Şekilde fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir, aralıkta tanımlanmış. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklara dahil olan tamsayı noktalarının toplamını belirtiniz.

Örnek 7. , aralıkta tanımlanmış. Fonksiyonun türevinin negatif olduğu tamsayı noktalarının sayısını belirleyin.

Örnek 8. Şekilde fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir, aralıkta tanımlanmış. Fonksiyonun maksimum noktalarının sayısını bulunsegmentte.

Örnek 9. Şekil fonksiyonun grafiğini göstermektedir, aralıkta tanımlanmış. Fonksiyonun türevinin bulunduğu tamsayı noktalarının sayısını belirleyinOlumlu.

Ev ödevi:

№9.40A(2a,2b), No.9.44A(1) No.9.41B(1a,1b), No. 9.44A(2)

№9.43A(1-5), No.9.44A(3) No.9.45A(1-4) No.9.44A(9)

Seçenekleri kendiniz tamamlayın.

Nokta denir maksimum (minimum) nokta fonksiyonlar, eğer noktanın bir komşuluğu varsa, öyle ki bu mahalledeki herkes için eşitsizlik ().

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına nokta denir ekstremum (Şekil 25).

Teorem 3.9 (ekstrem noktaların varlığı için gerekli koşullar) . 1. türden kritik noktalarda, fonksiyonun türevi ya

sıfırdır veya mevcut değildir

1. türden kritik noktalara genellikle basitçe kritik noktalar denir.

Bir fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu kritik noktalara denir durağanlık noktaları . Fonksiyonun sürekli olduğu ancak türevlenemediği kritik noktalara denir. köşe noktaları . Örneğin, bir noktadaki fonksiyon süreklidir ancak türevi yoktur, çünkü bu noktada fonksiyonun grafiğine sonsuz sayıda teğet çizilebilir (Şekil 26). Bu durum Teorem 3.3'ün tersinin yanlış olduğunun teyidi olarak kabul edilebilir.

Fonksiyon çağrılır artan belirli bir aralıkta, eğer bu aralıkta argümanın daha büyük bir değeri değişkenin daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa ve azalan , eğer argümanın daha büyük bir değeri değişkenin daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa.

Daha ileri araştırmalar için kritik noktalar, bu noktalar tarafından aralıklara bölünen sayısal bir eksene yerleştirilir ve ardından aşağıdaki yeterli koşullar doğrulanır.

Teorem 3.10 (artan ve azalan fonksiyon için yeterli koşul). Belirli bir aralıkta bir fonksiyon türevlenebilirse ve türevi pozitif (negatif) ise bu aralıktaki fonksiyon artar (azalır)

Teorem 3.11 (bir fonksiyonun uç noktalarının varlığı için yeterli koşul). Eğer fonksiyon kritik noktanın bir komşuluğunda sürekli ve türevlenebilirse ve buradan geçerken türevinin işareti artıdan eksiye değişiyorsa, o zaman nokta bir maksimum noktadır; eksiden artıya ise, o zaman nokta fonksiyonun minimum noktasıdır

Yeterli koşulun sağlanmadığı bir fonksiyonun kritik noktaları, yalnızca 1. türden kritik noktalar olarak kalır.

Türevin bulunmadığı 1. türden kritik noktalar iki sınıfa ayrılır:

– fonksiyonun sürekli olduğu noktalar (eğer Teorem 3.11 onlar için sağlanırsa, bu noktalardaki fonksiyonun “keskin” bir ekstremumu vardır), bu köşe noktalar;

– fonksiyonun süreksizlik yaşadığı noktalar (her zaman 2. türden kritik noktalar sınıfına geçer).

Ancak bu şekilde yapılan bir çalışma çok önemli bir soruyu cevaplamıyor: fonksiyon nasıl artar (azalır) - dışbükey mi yoksa içbükey mi? Sorulan sorunun cevabı, ikinci türev kullanılarak fonksiyonun daha ayrıntılı incelenmesiyle verilmektedir. Gerekli bazı tanımları verelim.

Fonksiyon çağrılır dışbükey (içbükey) fonksiyonun grafiğine bu aralığın her noktasında çizilen teğet, fonksiyonun grafiğinin üstünde (altında) bulunuyorsa, belirli bir aralıkta.

Bir fonksiyonun dışbükey alanlarını içbükey alanlarından ayıran noktalara denir. dönüm noktaları (Şek. 27).

Teorem 3.12 (bükülme noktalarının varlığı için gerekli koşul). 2. tür kritik noktalarda fonksiyonun ikinci türevi ya sıfırdır ya da yoktur

Daha ileri araştırmalar için 2. türden kritik noktalar, bu noktalarla aralıklara bölünen sayısal bir eksene yerleştirilir ve ardından aşağıdaki yeterli koşullar doğrulanır.

Teorem 3.13 (bir fonksiyonun dışbükeyliği ve içbükeyliği için yeterli koşul). Belirli bir aralıkta bir fonksiyon iki kez türevlenebilirse ve ikinci türevi pozitif (negatif) ise, bu aralıktaki fonksiyon içbükeydir (dışbükey)

Yeterli koşulun sağlanmadığı bir fonksiyonun kritik noktaları, yalnızca 2. türden kritik noktalar olarak kalır.

İkinci türevin bulunmadığı 2. türden kritik noktalar iki sınıfa ayrılır:

– fonksiyonun sürekli olduğu noktalar, bunlar sözde "keskin" bükülme noktalarıdır - bu tür noktalarda fonksiyonun grafiğine sonsuz sayıda teğet çizilebilir (Şekil 28);

– fonksiyonun süreksizlik yaşadığı noktalar (2. tür süreksizlik noktalarında, fonksiyonun grafiği dikey bir asimptot içerir).

Fonksiyonun ekstremum ve dönüm noktalarının son listesi için koordinatlarını bulmak ve belirtilen noktaları iki koordinatla yazmak gerekir.

Kendi kendine test soruları.

1. Bir fonksiyonun ekstrem noktaları (maksimum ve minimum) hangi noktalara denir?

2. Hangi fonksiyona artan (azalan) denir?

3. Bir fonksiyonun ekstremum noktalarının varlığı için gerekli ve yeterli koşullar nelerdir?

4. Bir fonksiyonun artmasının (azalmasının) yeterli koşulu nedir?

5. Hangi noktalara bir fonksiyonun dönüm noktaları denir?

6. Hangi fonksiyona dışbükey (içbükey) denir?

7. Bir fonksiyonun dönüm noktalarının varlığı için gerekli ve yeterli koşullar nelerdir?

8. Bir fonksiyonun dışbükey (içbükey) olması için yeterli koşul nedir?

Belediye eğitim kurumu orta öğretim okulu No: 18.

"Türevini kullanarak bir fonksiyonu keşfetme."

Bilim Günü için matematikle ilgili özet.

Tamamlanmış:

11B sınıfı öğrencisi

Bokareva Irina Nikolaevna

Danışman:

matematik öğretmeni

Batyukova Galina Viktorovna.

Smolensk 2005

Giriiş. 3

Bölüm I. Fonksiyon kavramının gelişimi. 4

Bölüm II. Fonksiyonun temel özellikleri. 7

2.1. Bir fonksiyonun tanımı ve bir fonksiyonun grafiği. Kapsam ve

fonksiyon aralığı. Fonksiyon sıfırları. 7

2.2. Fonksiyon türleri (çift, tek, genel form, periyodik

işlevler). 8

2.3. Artan ve azalan fonksiyonlar. Aşırılıklar. 10

Bölüm III. Fonksiyonların araştırılması. 12

3.1. Fonksiyonları incelemek için genel şema. 12

3.2. Artan ve azalan fonksiyonların işareti. 12

3.3. Bir fonksiyonun kritik noktaları, maksimumları ve minimumları. 13

3.4. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri. 14

Bölüm IV. Türevin bir fonksiyonun incelenmesine uygulanmasına örnekler. 15

Çözüm. 22

Referanslar 23

Giriiş.

Bir fonksiyonun özelliklerini incelemek ve grafiğini çizmek, türevlerin en harika uygulamalarından biridir. Fonksiyonu incelemeye yönelik bu yöntem defalarca dikkatli analizlere tabi tutulmuştur. Bunun temel nedeni, matematik uygulamalarında, yeni olguların incelenmesinde ortaya çıkan giderek daha karmaşık fonksiyonlarla uğraşmanın gerekli olmasıdır. Matematiğin geliştirdiği kuralların istisnaları ortaya çıktı, oluşturulan kuralların hiç uygun olmadığı durumlar ortaya çıktı, hiçbir noktada türevi olmayan fonksiyonlar ortaya çıktı.

10-11. Sınıflarda cebir ve temel analiz dersinin incelenmesinin amacı, fonksiyonların sistematik olarak incelenmesi, fonksiyonların incelenmesiyle ilgili genel matematik yöntemlerinin uygulamalı değerinin açıklanmasıdır.

"Türevi kullanarak bir fonksiyonun incelenmesi" özetinin konusunu seçtikten sonra aşağıdaki görevleri belirledim:

En önemli matematiksel model olan fonksiyon hakkındaki bilginizi sistematize edin;

Temel fonksiyonları incelemek için diferansiyel hesabı kullanma yeteneğinizi geliştirin.

Cebir çalışmaları sırasında fonksiyonel kavramların geliştirilmesi ve son eğitim düzeyinde analizin başlaması, lise öğrencilerinin fonksiyonların sürekliliği ve süreksizlikleri hakkında görsel fikirler edinmelerine, matematik alanındaki herhangi bir temel fonksiyonun sürekliliği hakkında bilgi edinmelerine yardımcı olur. uygulamasını, grafiklerini oluşturmayı ve temel temel işlevler hakkındaki bilgileri genelleştirmeyi öğrenir ve bunların insan pratiğinde gerçeklik olgusunun incelenmesindeki rolünü anlar.

“Türev kullanarak fonksiyonların incelenmesi” konusunun içeriği üzerinde çalışmak matematik eğitimimin seviyesini artıracak ve gerekli derse göre daha karmaşık problemleri çözmemi sağlayacaktır.

Bölüm I. Fonksiyon kavramının gelişimi.

Cebir dersinin temelde yeni bir bölümü analiz ilkelerinin incelenmesine ayrılmıştır. Matematiksel analiz, 18. yüzyılda şekillenen bir matematik dalıdır ve iki ana bölümden oluşur: diferansiyel ve integral hesap. Analiz, birçok matematikçinin çabaları sayesinde ortaya çıktı ve doğa biliminin gelişiminde büyük rol oynadı - çeşitli uygulamalı problemleri çözerken ortaya çıkan fonksiyonları incelemek için güçlü, oldukça evrensel bir yöntem ortaya çıktı. Temel kavram ve analiz yöntemlerine giriş dersin en önemli hedeflerinden biridir.

18. yüzyıldan bu yana en önemli kavramlardan biri fonksiyon kavramı olmuştur. Gerçek dünyayı anlamada büyük bir rol oynadı ve hala da oynuyor.

Fonksiyon kavramının ortaya çıkması için gerekli önkoşullar, cebirin geometrik problemlerin çözümünde aktif katılımıyla karakterize edilen analitik geometri ortaya çıktığında yaratıldı.

İşlevsel bağımlılık fikri eski zamanlarda ortaya çıktı. Nicelikler arasında matematiksel olarak ifade edilen ilk ilişkilerde, sayılarla yapılan işlemlerin ilk kurallarında, belirli şekillerin ve geometrik cisimlerin alanını ve hacmini bulmak için ilk formüllerde zaten yer almaktadır.

Bununla birlikte, fonksiyon kavramının açık ve tamamen bilinçli kullanımı ve fonksiyonel bağımlılığın sistematik olarak incelenmesi, değişkenler fikrinin matematiğe nüfuz etmesiyle bağlantılı olarak 17. yüzyılda ortaya çıkmıştır.

17. yüzyılda fonksiyon kavramının net bir tanımı yoktu ancak Descartes bu tanımın ilkinin yolunu açmıştı. Yavaş yavaş, fonksiyon kavramı analitik ifade - formül - kavramıyla özdeşleştirilmeye başlandı.

Bir fonksiyonun açık bir tanımı ilk kez 1718'de Johann Bernoulli tarafından yapılmıştır: "Değişken bir niceliğin fonksiyonu, bu değişken nicelik ve sabitlerden herhangi bir şekilde oluşan bir niceliktir."

Leonhard Euler "Sonsuzların Analizine Giriş" (1748) adlı eserinde öğretmeni I. Bernoulli'nin tanımına bağlı kalarak onu biraz açıklığa kavuşturur. Doğru, yukarıdaki tanıma her zaman uymuyordu. Euler, bir fonksiyona daha geniş bir anlam verir ve onu "elin serbest çekimi" tarafından çizilen bir eğri olarak anlar.

1755'te yayınlanan Diferansiyel Hesap'ta Euler, bir fonksiyonun genel bir tanımını verir: "Belirli nicelikler diğerlerine, ikincisi değiştiğinde kendileri de değişime uğrayacak şekilde bağlı olduğunda, o zaman ilkine, fonksiyonun fonksiyonları denir. ikincisi.”

Farklı alanlarda belirtilen fonksiyonlara çeşitli analitik ifadelerle örnekler veren ilk kişi olan Jean Baptiste Joseph Fourier, uyuşmazlıkların çözümüne büyük katkı sağlamıştır.

19. yüzyılın ikinci yarısında fonksiyon kavramı şu şekilde formüle edildi: X setleri A kümenin belirli bir elemanı atanır İÇİNDE ise y=f(x) fonksiyonunun A kümesinde verildiğini veya A kümesinin B kümesine eşlendiğini söyleriz.

Bir fonksiyonun genel kavramı elbette sadece niceliklere ve sayılara değil aynı zamanda diğer matematiksel nesnelere, örneğin geometrik şekillere de uygulanabilir.

Fonksiyonun bu genel tanımı 18. yüzyılda ve 19. yüzyılın ilk yarısında oluşturulmuştu. Ancak 20. yüzyılın başından itibaren bu tanım bazı matematikçiler arasında bazı şüpheler yaratmaya başladı.

Dirac, klasik fonksiyon tanımının çok ötesine geçen delta fonksiyonunu tanıttı.

Sergei Lvovich Sobolev, delta fonksiyonu da dahil olmak üzere genelleştirilmiş bir fonksiyonun özel bir durumunu düşünen ilk kişiydi ve oluşturulan teoriyi matematiksel fizikteki bir dizi problemi çözmek için uyguladı.

Genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisinin gelişimine önemli bir katkı, L. Schwartz - I.M. Gelfand, G.E. Shilov ve diğerlerinin öğrencileri ve takipçileri tarafından yapılmıştır.

Fonksiyon kavramının gelişimine kısa bir bakış, tıpkı bir bütün olarak matematiğin evriminin hiçbir zaman sona ermeyeceği gibi, evrimin de bitmekten çok uzak olduğu ve muhtemelen hiçbir zaman sona ermeyeceği fikrine yol açmaktadır.

Bölüm II. Fonksiyonun temel özellikleri.

2.1. Bir fonksiyonun tanımı ve bir fonksiyonun grafiği. Bir fonksiyonun tanım alanı ve değer aralığı. Fonksiyon sıfırları.

Formüllerle belirtilen geometrik fonksiyonel bağımlılıkları tasvir etme yeteneği, yüksek matematik dersinde başarılı bir şekilde uzmanlaşmak için özellikle önemlidir.

Bilindiği gibi fonksiyonel bağımlılık, fonksiyonun tanım alanı adı verilen belirli bir sayı kümesindeki x niceliğinin her değerinin, y niceliğinin iyi tanımlanmış bir değeriyle ilişkilendirildiği yasadır; bağımlı değişken y'nin aldığı değerler kümesine fonksiyonun değişim alanı denir.

Bağımsız değişken x'e fonksiyonun argümanı da denir. X sayısına karşılık gelen y sayısına f fonksiyonunun x noktasındaki değeri denir ve f(x) ile gösterilir.

Fonksiyon üç şekilde belirtilebilir: analitik, tablosal, grafiksel.

Analitik- formülleri kullanma.

tablo halinde– fonksiyon değerlerini belirleyebileceğiniz tabloları kullanmak, ancak yalnızca sınırlı sayıda argüman değeri için.

Grafik Bir işlevi belirleme yöntemi çok kullanışlıdır: işlevin özelliklerini görselleştirmeyi mümkün kılar.

Bir f fonksiyonunun grafiği, koordinat düzlemindeki tüm (x;y) noktalarının kümesidir; burada y=f(x) ve x, f fonksiyonunun tüm tanım tanım kümesini "geçirir".

Örnek 1 . y=lg (2x-3) fonksiyonunun tanım kümesini bulun

Cevap: D(y)=(1,5; +∞).

Bir fonksiyonu incelemeye yönelik kavramlardan biri fonksiyonun sıfırlarıdır.

Bir fonksiyonun sıfırları, fonksiyonun sıfır değerini aldığı noktalardır.

Örnek 2. y=x 2 -5x fonksiyonunun sıfırlarını bulun.

Tanım gereği:

Cevap: Fonksiyonun sıfırları x=0 ve x=5 noktalarıdır.

Örnek 3. y=4x-8 fonksiyonunun sıfırlarını bulun

Tanım gereği:

y=0 ise

Cevap: Bu fonksiyonun sıfırları x=2 noktasıdır.

2.2. Fonksiyon türleri (çift, tek, genel form, periyodik fonksiyonlar).

Tanım alanları orijine göre simetrik olan, yani tanım kümesindeki herhangi bir x için (-x) sayısı da tanım kümesine ait olan fonksiyonları ele alalım. Bu işlevler çift ve tek fonksiyonlarını içerir.

Tanım: Bir f fonksiyonu, tanım kümesindeki herhangi bir x için f(-x)=f(x) olsa bile çağrılır.

Çift fonksiyonun grafiği ordinat etrafında simetriktir.

Örnek 4. y=2cos2x fonksiyonunun tipini belirleyin.

y=2cos2x, D(y)=R

y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) – çift.

Örnek 5. y=x 4 -2x 2 +2 fonksiyonunun türünü belirleyin.

y=x 4 -2x 2 +2, D(y)=R.

y(-x)=(-x) 4 -2(-x) 2 +2=x 4 -2x 2 +2=y(x) – çift.

Tanım: Bir f fonksiyonu, kendi tanım kümesindeki herhangi bir x için f(-x)=-f(x) ise tek olarak adlandırılır.

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

Örnek 6. y=2sin2x fonksiyonunun tipini belirleyin.

y=2sin2x, D(y)=R

y(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-y(x) – tek.

Örnek 7. y=3x+1/3x fonksiyonunun tipini belirleyin.

y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – tek.

Örnek 4. Örnek 5.

Tanım: Tanım alanından herhangi bir x için bu fonksiyonun x, x-T ve x+T noktalarındaki değerleri eşitse, yani f(x+T)=f ise, periyodu T≠ 0 olan bir f fonksiyonuna periyodik denir. (x)=f(x-T ).

Örnek 8. y=cos2x fonksiyonunun periyodunu belirleyin.

cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), burada 2T=2π, yani T=π.

T periyoduna sahip bir periyodik fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, bunu T uzunluğundaki bir parça üzerinde oluşturmak ve daha sonra elde edilen grafiği Ox ekseni boyunca sağa ve sola nT mesafelerine paralel olarak aktarmak yeterlidir.

Örnek 9. f(x)=sin2x periyodik fonksiyonunun grafiğini çizin.

sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), burada 2Т=2π, yani T=π.

2.3. Artan ve azalan fonksiyonlar. Aşırılıklar.

Ayrıca bir fonksiyonun özellikleri arasında artan ve azalan fonksiyon, ekstremum bulunur.

P kümesindeki herhangi bir x 1 ve x 2 için x 2 >x 1 için f(x 2)>f(x 1) eşitsizliği sağlanıyorsa, f fonksiyonu P kümesinde artar.

P kümesindeki herhangi bir x 1 ve x 2 için x 2 >x 1 olacak şekilde f(x 2) eşitsizliği sağlanıyorsa, f fonksiyonu P kümesinde azalır

Başka bir deyişle, eğer bu kümedeki argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa, bir f fonksiyonunun P kümesi üzerinde artan olduğu söylenir. Eğer argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, f fonksiyonunun P kümesinde azalan olduğu söylenir.

Belirli fonksiyonların grafiklerini çizerken, öncelikle minimum (x min) ve maksimum (x maksimum) noktaları bulmak faydalıdır.

Eğer x 0'ın herhangi bir komşuluğundaki tüm x'ler için f(x) ≤f(x 0) eşitsizliği geçerliyse, x 0 noktasına bir f fonksiyonunun maksimum noktası denir.

Eğer x 0'ın herhangi bir komşuluğundaki tüm x'ler için f(x)≥ f(x 0) eşitsizliği geçerliyse, x 0 noktasına bir f fonksiyonunun minimum noktası denir.

Minimum ve maksimum noktalara genellikle ekstrem noktalar denir.

Örnek 10. y=x 2 +2x fonksiyonunun ekstremum noktalarını, ekstremum noktalarını bulun ve fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirtin.

y=x 2 +2x, D(y)=R

y'=(x 2 +2x)'=2x+2

y'=0, yani 2x+2=0

Uç noktanın sağındaki ve solundaki türevin işaretini inceleyelim.

x=-2, y’=-4+2<0

x=0, y’=0+2>0

Türevin işareti "-"den "+"ya değiştiği için x = -1 olur, bu fonksiyonun minimum noktasıdır.

Fonksiyon x=-1 noktasında sürekli olduğundan fonksiyon [-1;+∞] kadar artar ve [-∞;-1] kadar azalır.

Ekstrem noktalar: x min = -1

Fonksiyonun ekstremum değeri: y min =y(-1)=1-2= -1

Bölüm III. Fonksiyonların araştırılması.

3.1. Fonksiyonları incelemek için genel şema.

Bir işlevi incelerken genel araştırma şemasını bilmeniz gerekir:

1) D(y) – tanım alanı (x değişkeninin değişim aralığı)

2) E(y) – x değerinin alanı (y değişkeninin değişim alanı)

3) Fonksiyon türü: çift, tek, periyodik veya genel fonksiyon.

4) Fonksiyon grafiğinin Ohi O eksenleriyle kesişme noktaları (mümkünse).

5) İşaretlerin değişmezlik aralıkları:

a) Fonksiyon pozitif bir değer alır: f(x)>0

b) negatif değer: f(x)<0.

6) Fonksiyonun monotonluk aralıkları:

a) artış;

b) azalıyor;

c) sabitlik (f=sabit).

7) Ekstrem noktalar (minimum ve maksimum noktalar)

8) Fonksiyon ekstreması (minimum ve maksimum noktalardaki fonksiyon değeri)

9) Ek noktalar.

Fonksiyon grafiğini daha doğru bir şekilde çizmek için alınabilirler.

F fonksiyonunun ekstremumlarının her zaman fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleriyle örtüşmediğine dikkat edilmelidir.

3.2. Artan ve azalan fonksiyonların işareti.

Rastgele seçilmiş bazı noktaları kullanarak, bunları düz bir çizgiyle birleştirerek bir fonksiyonun grafiğini oluşturursanız, çok sayıda rastgele seçilmiş nokta olsa bile, bu şekilde oluşturulan grafiğin, öncekinden çok farklı olacağı ortaya çıkabilir. verilen fonksiyonun grafiği.

Bir fonksiyonu incelerken türevi kullanırsanız ve "referans" noktaları olarak adlandırılan noktaları bulursanız; kırılma noktaları, maksimum ve minimum noktalar, bir fonksiyonun monotonluk aralıkları, o zaman bu tür az sayıda "referans" noktasıyla bile fonksiyonun grafiği hakkında doğru bir fikir edineceğiz.

Örneklere geçmeden önce gerekli tanım ve teoremleri vereceğim.

Bir fonksiyonun aralıktaki monotonluğunun belirlenmesi Bir y=f(x) fonksiyonunun, x 1 koşulundan bu aralığın herhangi bir x 1 ve x 2 noktası için bir aralıkta arttığı söylenir.<х 2 следует, что f(x 1)f(x 2) ise fonksiyonun bu aralıkta azalan olduğu söylenir.

Aralıktaki bir fonksiyonun monotonluğunun yeterli bir işareti. Teorem: Bir fonksiyonun aralığın her noktasında pozitif (negatif) bir türevi varsa, bu aralıkta fonksiyon artar (azalır).

Bu teorem okul kitaplarında kanıtsız olarak kabul edilmektedir.

Eğer f '(x)=tgα, α'nın belirli bir x noktasında fonksiyonun grafiğine olan teğetin eğimi olduğunu hatırlarsak, teoremin geometrik yorumu çok basittir. Örneğin, belirli bir aralığın tüm noktalarında f '(x)>0 ise, o zaman grafiğin apsis eksenine olan teğeti dar açılar oluşturur, yani x arttıkça f(x) de artar. Eğer f ‘(x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.

3.3. Bir fonksiyonun kritik noktaları, maksimumları ve minimumları.

Bir fonksiyonun ekstremum noktalarını belirleme . x 0, f(x) fonksiyonunun tanım bölgesinden bir iç nokta olsun. O halde, böyle bir δ - mahallesi varsa ] x 0 - δ, x 0 + δ [ x 0 noktaları öyle ki, bu mahalledeki tüm x'ler için f(x)≤f(x 0) eşitsizliği (f(x eşitsizliği) )≥f (x 0)), x 0 noktasına bu fonksiyonun maksimum noktası (minimum noktası) denir.

Maksimum ve minimum noktalar, fonksiyonun tanım alanının iç noktalarıdır.

Türevlenebilir bir fonksiyonun bir ekstremumunun varlığının gerekli işareti .

Fermat'ın teoremi.

Eğer x 0, f(x) fonksiyonunun uç noktası ise ve bu noktada türev mevcutsa, o zaman sıfıra eşittir: f '(x 0) = 0.

Bu teorem, türevlenebilir bir fonksiyonun bir ekstremumunun varlığı için yeterli bir koşul değildir: eğer bir x 0 noktasında türev sıfırsa, bundan, fonksiyonun x 0 noktasında bir ekstremum olduğu sonucu çıkmaz.

Bir fonksiyonun kritik noktalarını belirleme . Bir fonksiyonun tanım kümesinin türevinin sıfıra eşit olduğu veya mevcut olmadığı iç noktalarına fonksiyonun kritik noktaları denir.

Bir ekstremun varlığı için yeterli koşullar .

Teorem 1. f(x) fonksiyonu x 0 noktasında sürekli ise, aralıkta f’(x)>0 ve f’(x)<0 на интервале , то х 0 является точкой максимума функции f(x).

Teorem 2. Eğer f(x) fonksiyonu x 0 noktasında sürekli ise, f '(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 aralığında ise x 0, f(x) fonksiyonunun minimum noktasıdır.

Bir fonksiyonun uç noktalarını bulmak için kritik noktalarını bulmanız ve her biri için uç nokta için yeterli koşulların karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmeniz gerekir.

3.4. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri.

Aralıktaki fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini bulma kuralları. Belirli bir aralıkta türevlenebilir bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için aralığın içinde yer alan tüm kritik noktaları bulmanız, fonksiyonun bu noktalardaki ve aralığın uçlarındaki değerlerini hesaplamanız, ve bu şekilde elde edilen fonksiyonun tüm değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Bölüm IV. Türevin bir fonksiyonun incelenmesine uygulanmasına örnekler.

Örnek 11. y=x 3 +6x 2 +9x fonksiyonunu keşfedin ve bir grafik çizin.

2) Fonksiyonun tipini belirleyelim:

y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x genel formun fonksiyonu.

x=0 veya x2 +6x+9=0

D=0, denklemin tek kökü var.

(0;0) ve (-3;0) x ekseniyle kesişme noktalarıdır.

y'=(x 3 +6x 2 +9x)'=3x 2 +12x+9

y'=0, yani 3x 2 +12x+9=0 3 azaltır

D>0 ise denklemin 2 kökü vardır.

x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2, x 2 =(-4-2)/2

0
-4

x=-4, y’=3*16-48+9=9>0

x=-2, y’=12-24+9=-3<0

x=0, y’=0+0+9=9>0

7) x min ve x max'ı bulun:

8) Fonksiyonun ekstremumunu bulun:

y dk =y(-1)=-1+6-9=-4

y maksimum =y(-3)=-27+54-27=0

9) Fonksiyonun grafiğini çizelim:

10) Ek noktalar:

y(-4)=-64+96-36=-4

Örnek 12. y=x 2 /(x-2) fonksiyonunu keşfedin ve bir grafik çizin

y=x 2 /(x-2)=x+2+4/(x-2)

Fonksiyonun asimptotlarını bulalım:

x≠ 2, x=2 – dikey asimptot

y=x+2 – eğik asimptot, çünkü

Tanımın tanım kümesini bulalım.

2) Fonksiyonun tipini belirleyelim.

y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), genel formun bir fonksiyonu.

3) Eksenlerle kesişme noktalarını bulun.

Oy: x=0, y=0 (0;0) – y ekseniyle kesişme noktası.

x=0 veya x=2 (2;0) – x ekseniyle kesişme noktası

4) Fonksiyonun türevini bulun:

y'=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))/(x -2) 2 =(x 2 -4x)/(x-2) 2

5) Kritik noktaları belirleyelim:

x 2 -4x=0 x(x-4)=0

y’=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0<=> <=>

(x-2) 2 ≠ 0 x≠ 2

x 2 -4x=0 ve (x-2) 2 ≠ 0, yani. x≠ 2

6) Koordinat doğrusu üzerinde kritik noktaları belirleyip fonksiyonun işaretini belirleyelim.

0 8

x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0

x=1, y’=(1-4)/1=-3<0

x=3, y’=(9-12)/1=-3<0

x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0

7) Fonksiyonun minimum ve maksimum noktalarını bulun:

8) Fonksiyonun ekstremumunu bulun:

y dk =y(4)=16/2=8

9) Fonksiyonun grafiğini çizelim:

10) Ek noktalar:

y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9

y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9

Örnek 13. y=(6(x-1))/(x 2 +3) fonksiyonunu keşfedin ve bir grafik oluşturun. 1) Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun:

2) Fonksiyonun tipini belirleyelim:

y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) – genel formun bir fonksiyonu.

3) Eksenler ile kesişme noktalarını bulun:

O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – y ekseniyle kesişme noktası.

(6(x-1))/(x 2 +3)=0

Ox: y=0,<=>

4) Fonksiyonun türevini bulun:

y'=(6(x-1)/(x 2 +3))'=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x -3)/(x 2 +3) 2

5) Kritik noktaları belirleyelim:

y'=0, yani -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0

y'=0, eğer x 1 =-1 veya x 2 =3 ise, o zaman x=-1 ve x=3, kritik noktalar.

6) Koordinat doğrusu üzerindeki kritik noktaları gösterip fonksiyonun işaretini belirleyelim:

-3 2

x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0

x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0

x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361<0

7) Minimum ve maksimum noktaları bulun:

8) Fonksiyonun ekstremumunu bulun:

y dk =y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3

y maksimum =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1

9) Fonksiyonun grafiğini çizelim:

10) Ek noktalar:

y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2

y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77

Örnek 14. y=xlnx fonksiyonunu keşfedin ve grafiğini çizin:

1) Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun:

D(y)=R + (yalnızca pozitif değerler)

2) Fonksiyonun tipini belirleyelim:

y(-x)=-xlnx - genel biçimde.

3) Eksenler ile kesişme noktalarını bulun:

O y, ancak x≠ 0, bu da y ekseniyle hiçbir kesişme noktası olmadığı anlamına gelir.

O x: y=0, yani xlnx=0

x=0 veya lnx=0

(1;0) – x ekseniyle kesişme noktası

4) Fonksiyonun türevini bulun:

y'=x' ln x + x(ln x)'=ln x +1

5) Kritik noktaları belirleyelim:

y'=0, yani lnx +1=0

y'=0, eğer x=1/e ise, o zaman x=1/e kritik noktadır.

6) Koordinat doğrusu üzerindeki kritik noktaları gösterip fonksiyonun işaretini belirleyelim:

1/e

x=1/(2e); y’=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0

x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0

7) 1/e – fonksiyonun minimum noktası.

8) Fonksiyonun ekstremumunu bulun:

y min =y(1/e)=1/e ln e -1 =-1/e (≈ -0,4).

9) Fonksiyonun grafiğini çizelim:

Çözüm.

Pek çok bilim adamı ve filozof bu konu üzerinde çalışmıştır. Yıllar önce bu terimler ortaya çıktı: fonksiyon, grafik, fonksiyonun incelenmesi ve hala yeni özellikler ve özellikler kazanarak korunmuşlardır.

Bu konuyu seçtim çünkü bu araştırma yolundan işlevselliğe geçmeyi çok istiyordum. Bana öyle geliyor ki çoğu kişi fonksiyon, özellikleri ve dönüşümleri hakkında daha fazla şey öğrenmekle ilgilenecektir. Bu makaleyi tamamlayarak becerilerimi sistemleştirdim ve bu konu hakkındaki bilgilerimi genişlettim.

Herkesi bu konuyu daha fazla çalışmaya davet ediyorum.

Referanslar.

1. Bashmakov, M.I. Cebir ve analizin başlangıcı - M.: Eğitim, 1992.

2. Glazer, G.I. Okulda matematiğin tarihi - M.: Eğitim, 1983.

3. Gusev, V.A. Matematik: Referans materyalleri - M.: Eğitim, 1888.

4. Dorofeev, G.V. Üniversitelere girenler için matematik üzerine bir el kitabı - M.: Nauka, 1974.

5. Zorin, V.V. Üniversitelere girenler için matematik üzerine bir el kitabı - M.: Higher School, 1980.

6. Kolmogorov A.N. Cebir ve analizin başlangıcı - M.: Eğitim, 1993.