İntegral tablo. Aptallar için integraller: nasıl çözülür, hesaplama kuralları, açıklama

Bazen tablo olarak da adlandırılan temel fonksiyonların integrallerini listeleyelim:

Yukarıdaki formüllerden herhangi biri sağ tarafın türevi alınarak kanıtlanabilir (sonuç integral olacaktır).

Entegrasyon yöntemleri

Bazı temel entegrasyon yöntemlerine bakalım. Bunlar şunları içerir:

1. Ayrıştırma yöntemi(doğrudan entegrasyon).

Bu yöntem, tablo halindeki integrallerin doğrudan kullanımının yanı sıra belirsiz integralin 4 ve 5 özelliklerinin kullanımına (yani, sabit faktörün parantezlerden çıkarılması ve/veya integralin fonksiyonların toplamı olarak temsil edilmesi - ayrıştırma) dayanmaktadır. integralin terimlere dönüştürülmesi).

Örnek 1.Örneğin, (dx/x 4)'ü bulmak için doğrudan x n dx'in tablo integralini kullanabilirsiniz. Aslında,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Örnek 2. Bunu bulmak için aynı integrali kullanırız:

Örnek 3. Onu bulmak için almanız gerekir

Örnek 4. Bulmak için integral fonksiyonunu formda temsil ediyoruz. ve üstel fonksiyon için tablo integralini kullanın:

Parantezlemenin kullanımını sabit bir faktör olarak düşünelim.

Örnek 5.Mesela bulalım . Bunu göz önünde bulundurarak şunu elde ederiz:

Örnek 6. Onu bulacağız. O zamandan beri , tablo integralini kullanalım Aldık

Aşağıdaki iki örnekte basamaklama ve tablo integrallerini de kullanabilirsiniz:

Örnek 7.

(kullanıyoruz ve );

Örnek 8.

(kullanıyoruz Ve ).

Toplam integralini kullanan daha karmaşık örneklere bakalım.

Örnek 9.Örneğin, bulalım
. Payda genişletme yöntemini uygulamak için toplam küp formülünü () kullanırız ve ardından elde edilen polinomu paydaya, terim terime böleriz.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Çözümün sonunda ortak bir C sabitinin yazıldığına (ve her terimin integrali alınırken ayrı sabitlerin yazılmadığına) dikkat edilmelidir. İlerleyen süreçte, ifade en az bir belirsiz integral içerdiği sürece (çözümün sonuna bir sabit yazacağız), çözüm sürecinde bireysel terimlerin entegrasyonundan sabitlerin çıkarılması da önerilmektedir.

Örnek 10. bulacağız . Bu sorunu çözmek için payı çarpanlarına ayıralım (bundan sonra paydayı azaltabiliriz).

Örnek 11. Onu bulacağız. Trigonometrik kimlikler burada kullanılabilir.

Bazen bir ifadeyi terimlere ayırmak için daha karmaşık teknikler kullanmanız gerekir.

Örnek 12. bulacağız . İntegralde kesrin tamamını seçiyoruz . Daha sonra

Örnek 13. bulacağız

2. Değişken değiştirme yöntemi (ikame yöntemi)

Yöntem şu formüle dayanmaktadır: f(x)dx=f((t))`(t)dt, burada x =(t), söz konusu aralıkta türevlenebilir bir fonksiyondur.

Kanıt. Formülün sol ve sağ taraflarından t değişkenine göre türevleri bulalım.

Sol tarafta ara argümanı x = (t) olan karmaşık bir fonksiyonun olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, bunun t'ye göre türevini almak için, önce integralin x'e göre türevini alırız, sonra ara argümanın t'ye göre türevini alırız.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Sağ taraftan türev:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Bu türevler eşit olduğundan, Lagrange teoreminin doğal sonucu olarak, ispatlanan formülün sol ve sağ tarafları belirli bir sabit kadar farklılık gösterir. Belirsiz integrallerin kendileri belirsiz bir sabit terime kadar tanımlandığından, bu sabit son gösterimden çıkarılabilir. Kanıtlanmış.

Başarılı bir değişken değişikliği, orijinal integrali basitleştirmenize ve en basit durumlarda onu tablo haline getirmenize olanak tanır. Bu yöntemin uygulanmasında doğrusal ve doğrusal olmayan ikame yöntemleri arasında bir ayrım yapılır.

a) Doğrusal ikame yöntemi Bir örneğe bakalım.

Örnek 1.
. t= 1 – 2x olsun, o zaman

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Yeni değişkenin açıkça yazılmasına gerek olmadığı unutulmamalıdır. Bu gibi durumlarda, bir fonksiyonun diferansiyel işareti altında dönüştürülmesinden veya sabitlerin ve değişkenlerin diferansiyel işareti altına alınmasından söz edilir. O örtülü değişken değiştirme.

Örnek 2.Örneğin cos(3x + 2)dx'i bulalım. Diferansiyelin özelliklerine göre dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), o zamancos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Ele alınan her iki örnekte de integralleri bulmak için t=kx+b(k0) doğrusal ikamesi kullanıldı.

Genel durumda aşağıdaki teorem geçerlidir.

Doğrusal ikame teoremi. F(x), f(x) fonksiyonunun bir terstürevi olsun. O zamanf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, burada k ve b bazı sabitlerdir,k0.

Kanıt.

İntegralin tanımı gereği f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. İntegral işaretinden k sabit faktörünü çıkaralım: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Artık eşitliğin sağ ve sol taraflarını ikiye bölerek sabit terime kadar ispatlanacak ifadeyi elde edebiliriz.

Bu teorem, f(x)dx= F(x) + C integralinin tanımında x argümanı yerine (kx+b) ifadesini koyarsak, bunun ek bir ifadenin ortaya çıkmasına yol açacağını belirtir. antiderivatifin önündeki faktör 1/k.

Kanıtlanmış teoremi kullanarak aşağıdaki örnekleri çözüyoruz.

Örnek 3.

bulacağız . Burada kx+b= 3 –x, yani k= -1,b= 3. O zaman

Örnek 4.

Onu bulacağız. Herekx+b= 4x+ 3 yani k= 4,b= 3. O zaman

Örnek 5.

bulacağız . Burada kx+b= -2x+ 7, yani k= -2,b= 7. O zaman

.

Örnek 6. bulacağız
. Burada kx+b= 2x+ 0, yani k= 2,b= 0.

.

Elde edilen sonucu ayrıştırma yöntemiyle çözülen örnek 8 ile karşılaştıralım. Aynı problemi farklı bir yöntem kullanarak çözerek cevabı bulduk
. Sonuçları karşılaştıralım: Dolayısıyla bu ifadeler birbirlerinden sabit bir terimle farklılık gösterir. , yani Alınan cevaplar birbiriyle çelişmemektedir.

Örnek 7. bulacağız
. Paydada bir tam kare seçelim.

Bazı durumlarda, bir değişkeni değiştirmek, integrali doğrudan tablo haline getirmez, ancak çözümü basitleştirerek genişletme yönteminin bir sonraki adımda kullanılmasını mümkün kılar.

Örnek 8.Örneğin, bulalım . t=x+ 2'yi değiştirin, ardından dt=d(x+ 2) =dx'i değiştirin. Daha sonra

,

burada C = C 1 – 6 (ilk iki terim yerine (x+ 2) ifadesini değiştirirken ½x 2 -2x– 6 elde ederiz).

Örnek 9. bulacağız
. t= 2x+ 1 olsun, o zaman dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

t'nin yerine (2x+1) ifadesini koyalım, parantezleri açıp benzerlerini verelim.

Dönüşüm sürecinde başka bir sabit terime geçtiğimizi unutmayın, çünkü dönüşüm süreci sırasında sabit terimler grubu çıkarılabilir.

b) Doğrusal olmayan ikame yöntemi Bir örneğe bakalım.

Örnek 1.
. Lett= -x 2. Daha sonra, x t cinsinden ifade edilebilir, ardından dx için bir ifade bulunabilir ve istenen integralde bir değişken değişikliği uygulanabilir. Ancak bu durumda işleri farklı yapmak daha kolaydır. Hadi bulalımt=d(-x 2) = -2xdx. xdx ifadesinin istenen integralin integralinin bir faktörü olduğuna dikkat edin. Bunu elde edilen xdx= - ½dt eşitliğinden ifade edelim. Daha sonra

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+C

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2. bulacağız . t= 1 -x 2 olsun. Daha sonra

Örnek 3. bulacağız . Lett=. Daha sonra

;

Örnek 4. Doğrusal olmayan ikame durumunda, örtülü değişken ikamesinin kullanılması da uygundur.

Örneğin, bulalım
. xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (örtük olarak t= 3 - 2x 2 değişkeniyle değiştirilmiştir) yazalım. Daha sonra

Örnek 5. bulacağız . Burada ayrıca diferansiyel işaretinin altına bir değişken ekliyoruz: (örtük değiştirme = 3 + 5x 3). Daha sonra

Örnek 6. bulacağız . O zamandan beri ,

Örnek 7. Onu bulacağız. O zamandan beri

Çeşitli ikameleri birleştirmenin gerekli olduğu birkaç örneğe bakalım.

Örnek 8. bulacağız
. Lett= 2x+ 1, sonrax= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Örnek 9. bulacağız
. Lett=x- 2, sonrax=t+ 2;dx=dt.

Antiderivatifler tablosunu kullanarak doğrudan entegrasyon (belirsiz integraller tablosu)

Antitürev tablosu

Belirsiz integralin özelliklerini kullanırsak, bir fonksiyonun bilinen diferansiyelinin terstürevini bulabiliriz. Temel temel fonksiyonlar tablosundan, eşitlikler kullanılarak ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C ve ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x antiderivatifler tablosu yapabiliriz.

Türev tablosunu diferansiyeller şeklinde yazalım.

Sabit y = C C" = 0 Güç fonksiyonu y = x p. (x p) " = p x p - 1	Sabit y = C d(C) = 0 dx Güç fonksiyonu y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	Üstel fonksiyon y = a x. d (a x) = a x ln α d x Özellikle a = e için y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Logaritmik fonksiyonlar y = log a x . d (log a x) = d x x ln a Özellikle a = e için y = ln x d (ln x) = d x x
Trigonometrik fonksiyonlar. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Trigonometrik fonksiyonlar. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c çünkü x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Ters trigonometrik fonksiyonlar. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c çünkü x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Yukarıdakileri bir örnekle açıklayalım. f(x) = x p kuvvet fonksiyonunun belirsiz integralini bulalım.

Diferansiyel tablosuna göre d (x p) = p · x p - 1 · d x. Belirsiz integralin özelliklerine göre elimizde ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Bu nedenle, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. Girişin ikinci versiyonu aşağıdaki gibidir: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C1 , p ≠ - 1 .

Bunu - 1'e eşit alalım ve f (x) = x p güç fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulalım: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Şimdi doğal logaritma d (ln x) = d x x, x > 0 için bir diferansiyel tablosuna ihtiyacımız var, dolayısıyla ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Bu nedenle ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Antiderivatifler tablosu (belirsiz integraller)

Tablonun sol sütunu, temel antiderivatifler adı verilen formülleri içerir. Sağ sütundaki formüller temel değildir ancak belirsiz integralleri bulmak için kullanılabilir. Farklılaştırılarak kontrol edilebilirler.

Doğrudan entegrasyon

Doğrudan entegrasyonu gerçekleştirmek için ters türev tablolarını, entegrasyon kurallarını ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C'nin yanı sıra belirsiz integrallerin özelliklerini ∫ k f (x) d x = k · kullanacağız ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Temel integraller tablosu ve integrallerin özellikleri ancak integralin kolay bir dönüşümünden sonra kullanılabilir.

Örnek 1

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x integralini bulalım

Çözüm

İntegral işaretinin altındaki katsayı 3'ü kaldırıyoruz:

∫ 3 günah x 2 + çünkü x 2 2 d x = 3 ∫ günah x 2 + çünkü x 2 2 d x

Trigonometri formüllerini kullanarak integral fonksiyonunu dönüştürüyoruz:

3 ∫ günah x 2 + çünkü x 2 2 d x = 3 ∫ günah x 2 2 + 2 günah x 2 çünkü x 2 + çünkü x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 günah x 2 çünkü x 2 d x = 3 ∫ 1 + günah x d x

Toplamın integrali integrallerin toplamına eşit olduğundan, o zaman
3 ∫ 1 + günah x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ günah x d x

Terstürevler tablosundaki verileri kullanıyoruz: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = boş 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Cevap:∫ 3 günah x 2 + çünkü x 2 2 d x = 3 x - 3 çünkü x + C .

Örnek 2

f (x) = 2 3 4 x - 7 fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulmak gerekir.

Çözüm

Üstel fonksiyon için antitürev tablosunu kullanırız: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Bu, ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C olduğu anlamına gelir.

∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C integral kuralını kullanıyoruz.

∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C elde ederiz.

Cevap: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Antiderivatifler tablosunu, özellikleri ve entegrasyon kuralını kullanarak çok sayıda belirsiz integral bulabiliriz. Bu, integralin dönüştürülmesinin mümkün olduğu durumlarda mümkündür.

Logaritma fonksiyonunun, teğet ve kotanjant fonksiyonlarının ve diğerlerinin integralini bulmak için, "Temel entegrasyon yöntemleri" bölümünde ele alacağımız özel yöntemler kullanılır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Daha önceki materyallerde türevi bulma konusu ele alınmış ve bunun çeşitli uygulamaları gösterilmiştir: bir grafiğe teğetin eğiminin hesaplanması, optimizasyon problemlerinin çözülmesi, monotonluk ve ekstrema fonksiyonlarının incelenmesi. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Şekil 1.

$s(t)$ fonksiyonuyla ifade edilen, önceden bilinen bir yol boyunca türevi kullanarak $v(t)$ anlık hızını bulma problemi de dikkate alındı.

Şekil 2.

Ters problem de çok yaygındır; $v(t)$ noktasının hızını bilerek, $t$ zamanında katedilen $s(t)$ yolunu bulmanız gerektiğinde. Hatırlarsak anlık hız $v(t)$, $s(t)$ yol fonksiyonunun türevi olarak bulunur: $v(t)=s’(t)$. Bu, ters problemi çözmek, yani yolu hesaplamak için türevi hız fonksiyonuna eşit olacak bir fonksiyon bulmanız gerektiği anlamına gelir. Ancak yolun türevinin hız olduğunu biliyoruz, yani: $s’(t) = v(t)$. Hız, ivme çarpı zamana eşittir: $v=at$. İstenilen yol fonksiyonunun şu şekilde olacağını belirlemek kolaydır: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Ancak bu tam anlamıyla tam bir çözüm değil. Tam çözüm şu şekilde olacaktır: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, burada $C$ bir sabittir. Bunun neden böyle olduğu daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır. Şimdilik bulunan çözümün doğruluğunu kontrol edelim: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

Hıza dayalı bir yol bulmanın antiderivatifin fiziksel anlamı olduğunu belirtmekte fayda var.

Ortaya çıkan $s(t)$ fonksiyonuna $v(t)$ fonksiyonunun ters türevi denir. Oldukça ilginç ve sıradışı bir isim değil mi? Bu kavramın özünü açıklayan ve anlaşılmasına yol açan büyük bir anlam içerir. İçinde “ilk” ve “görüntü” olmak üzere iki kelime bulunduğunu fark edeceksiniz. Kendi adlarına konuşuyorlar. Yani elimizdeki türevin başlangıç ​​fonksiyonu bu. Ve bu türevi kullanarak başlangıçtaki "ilk", "ilk görüntü" olan, yani ters türevi olan fonksiyonu arıyoruz. Bazen ilkel fonksiyon veya antiderivatif olarak da adlandırılır.

Zaten bildiğimiz gibi türevi bulma sürecine farklılaşma denir. Ve ters türevi bulma sürecine entegrasyon denir. Entegrasyon işlemi, farklılaşma işleminin tersidir. Bunun tersi de doğrudur.

Tanım. Belirli bir aralıktaki $f(x)$ fonksiyonunun antiderivatifi, belirtilen aralıktaki tüm $x$ için türevi $f(x)$ fonksiyonuna eşit olan $F(x)$ fonksiyonudur: $F' (x)=f(x)$.

Birisinin bir sorusu olabilir: Başlangıçta $s(t)$ ve $v(t)$'dan bahsediyorsak, tanımda $F(x)$ ve $f(x)$ nereden geldi? Gerçek şu ki, $s(t)$ ve $v(t)$, bu durumda özel bir anlamı olan, yani sırasıyla zamanın ve hızın bir fonksiyonu olan, fonksiyon atamasının özel durumlarıdır. $t$ değişkeni için de durum aynıdır; zamanı belirtir. Ve $f$ ve $x$ sırasıyla bir fonksiyonun ve bir değişkenin genel tanımının geleneksel çeşididir. $F(x)$ ters türevinin gösterimine özellikle dikkat etmek önemlidir. Her şeyden önce, $F$ sermayedir. Antitürevler büyük harflerle gösterilmiştir. İkincisi, harfler aynıdır: $F$ ve $f$. Yani, $g(x)$ fonksiyonu için terstürev $G(x)$ ile, $z(x)$ için – $Z(x)$ ile gösterilecektir. Gösterime bakılmaksızın, ters türev fonksiyonunu bulma kuralları her zaman aynıdır.

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 1.$F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ fonksiyonunun $f(x)=\cos5x$ fonksiyonunun ters türevi olduğunu kanıtlayın.

Bunu kanıtlamak için, $F'(x)=f(x)$ tanımını, daha doğrusu gerçeğini kullanacağız ve $F(x)$ fonksiyonunun türevini bulacağız: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Bu, $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$'ın $f(x)=\cos5x$'ın ters türevi olduğu anlamına gelir. Q.E.D.

Örnek 2. Hangi fonksiyonların aşağıdaki antiderivatiflere karşılık geldiğini bulun: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Gerekli fonksiyonları bulmak için türevlerini hesaplayalım:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Örnek 3.$f(x)=0$ ifadesinin terstürevi ne olacaktır?
Tanımını kullanalım. Hangi fonksiyonun $0$'a eşit bir türevi olabileceğini düşünelim. Türev tablosunu hatırlayarak herhangi bir sabitin böyle bir türevi olacağını görüyoruz. Aradığımız terstürevi buluyoruz: $F(x)= C$.

Ortaya çıkan çözüm geometrik ve fiziksel olarak açıklanabilir. Geometrik olarak bu, $y=F(x)$ grafiğine olan teğetin bu grafiğin her noktasında yatay olduğu ve dolayısıyla $Ox$ ekseniyle çakıştığı anlamına gelir. Fiziksel olarak hızı sıfıra eşit olan bir noktanın yerinde kalması, yani kat ettiği yolun değişmemesiyle açıklanır. Buna dayanarak aşağıdaki teoremi formüle edebiliriz.

Teorem. (Fonksiyonların değişmezliğinin işareti). Eğer bir aralıkta $F’(x) = 0$ ise, o zaman bu aralıktaki $F(x)$ fonksiyonu sabittir.

Örnek 4. Hangi fonksiyonların a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$;'nin ters türevleri olduğunu belirleyin. b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, burada $a$ bir sayıdır.
Bir antiderivatifin tanımını kullanarak, bu problemi çözmek için bize verilen antiderivatif fonksiyonların türevlerini hesaplamamız gerektiği sonucuna varıyoruz. Hesaplarken bir sabitin, yani herhangi bir sayının türevinin sıfıra eşit olduğunu unutmayın.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Ne görüyoruz? Birkaç farklı fonksiyon aynı fonksiyonun ilkelleridir. Bu, herhangi bir fonksiyonun sonsuz sayıda antiderivatifi olduğunu ve bunların $F(x) + C$ biçiminde olduğunu gösterir; burada $C$ isteğe bağlı bir sabittir. Yani, entegrasyon işlemi, farklılaşma işleminden farklı olarak çok değerlidir. Buna dayanarak antiderivatiflerin ana özelliğini tanımlayan bir teorem formüle edelim.

Teorem. (Antiderivatiflerin temel özelliği). $F_1$ ve $F_2$ fonksiyonlarının belirli bir aralıkta $f(x)$ fonksiyonunun antiderivatifleri olmasına izin verin. O zaman bu aralıktaki tüm değerler için şu eşitlik doğrudur: $F_2=F_1+C$, burada $C$ bir sabittir.

Sonsuz sayıda antiderivatifin varlığı geometrik olarak yorumlanabilir. $Oy$ ekseni boyunca paralel ötelemeyi kullanarak, $f(x)$ için herhangi iki antiderivatifin grafikleri birbirinden elde edilebilir. Antiderivatifin geometrik anlamı budur.

$C$ sabitini seçerek antiderivatifin grafiğinin belirli bir noktadan geçmesini sağlayabileceğinize dikkat etmeniz çok önemlidir.

Şekil 3.

Örnek 5. Grafiği $(3; 1)$ noktasından geçen $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ fonksiyonunun ters türevini bulun.
Öncelikle $f(x)$ için tüm antiderivatifleri bulalım: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Daha sonra, $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ grafiğinin $(3; 1)$ noktasından geçeceği bir C sayısı bulacağız. Bunu yapmak için noktanın koordinatlarını grafik denkleminde yerine koyarız ve $C$ için çözeriz:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
$F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ ters türevine karşılık gelen $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ grafiğini elde ettik.

Antitürev tablosu

Türev bulma formülleri kullanılarak ters türevleri bulmaya yönelik bir formül tablosu derlenebilir.

Antitürev tablosu

Fonksiyonlar	Antitürevler
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$balta+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\çünkü x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Tablonun doğruluğunu şu şekilde kontrol edebilirsiniz: Sağ sütunda bulunan her bir antiderivatif kümesi için, sol sütunda karşılık gelen fonksiyonlarla sonuçlanacak türevi bulun.

Antiderivatifleri bulmak için bazı kurallar

Bilindiği gibi birçok fonksiyon, antitürev tablosunda belirtilenlerden daha karmaşık bir yapıya sahiptir ve bu tablodaki fonksiyonların toplamları ve çarpımlarının herhangi bir keyfi kombinasyonu olabilir. Ve burada şu soru ortaya çıkıyor: Bu tür fonksiyonların ters türevlerinin nasıl hesaplanacağı. Örneğin, tablodan $x^3$, $\sin x$ ve $10$'ın ters türevlerinin nasıl hesaplanacağını biliyoruz. Örneğin, $x^3-10\sin x$ ters türevi nasıl hesaplanabilir? İleriye baktığımızda, $\frac(x^4)(4)+10\cos x$'a eşit olacağını belirtmekte fayda var.
1. Eğer $F(x)$, $f(x)$ için ters türev ise, $g(x)$ için $G(x)$ ise, o zaman $f(x)+g(x)$ için ters türev şöyle olacaktır: $ F(x)+G(x)$'a eşittir.
2. $F(x)$, $f(x)$ için bir ters türev ise ve $a$ bir sabitse, o zaman $af(x)$ için ters türev $aF(x)$ olur.
3. $f(x)$ için ters türev $F(x)$ ise, $a$ ve $b$ sabitse, o zaman $\frac(1)(a) F(ax+b)$ ters türevdir $f (ax+b)$ için.
Elde edilen kuralları kullanarak antiderivatifler tablosunu genişletebiliriz.

Fonksiyonlar	Antitürevler
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Örnek 5. Aşağıdakiler için antiderivatifleri bulun:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Entegrasyon matematiksel analizdeki ana işlemlerden biridir. Bilinen antiderivatiflerin tabloları yararlı olabilir, ancak şimdi bilgisayar cebir sistemlerinin ortaya çıkmasından sonra önemlerini yitiriyorlar. Aşağıda en yaygın ilkellerin bir listesi bulunmaktadır.

Temel integral tablosu

Başka bir kompakt seçenek

Trigonometrik fonksiyonların integral tablosu

Rasyonel fonksiyonlardan

İrrasyonel fonksiyonlardan

Aşkın fonksiyonların integralleri

"C", herhangi bir noktadaki integralin değeri biliniyorsa belirlenen, keyfi bir entegrasyon sabitidir. Her fonksiyonun sonsuz sayıda antiderivatifi vardır.

Çoğu okul çocuğu ve öğrenci integralleri hesaplamada sorun yaşar. Bu sayfa şunları içerir: integral tablolarÇözüme yardımcı olacak trigonometrik, rasyonel, irrasyonel ve transandantal fonksiyonlardan. Türev tablosu da size yardımcı olacaktır.

Video - integraller nasıl bulunur

Bu konuyu tam olarak anlamadıysanız her şeyin ayrıntılı olarak anlatıldığı videoyu izleyin.