İçindekiler

1. Sorunun beyanı

2. Süreklilik denklemi

4. Paralel düzlemler arasında sürekli laminer akış

5. Couette Akımı

6. Poiseuille Akımı

7. Paralel duvarlar arasındaki akışın genel durumu

8. Örnek problem

Sorunun formülasyonu

Bazıları bu kurs projesinde tartışılan laminer akışlar, çeşitli teknik problemlerde, özellikle de makinelerdeki boşluklarda ve küçük boşluklarda bulunur. Özellikle, yağ, petrol ve hidrolik transmisyonlar için çeşitli akışkanlar gibi viskoz sıvıların akışı sırasında, Navier-Stokes denklemlerinin güvenilir bir temel olarak hizmet edebileceği tanımı için kararlı laminer akışlar oluşur. Poiseuille akışına benzeyen Hartmann akışı, örneğin MHD pompalarında kullanılır. Bu durumda, enine bir manyetik alanda iki yalıtılmış plaka arasında elektriksel olarak iletken bir sıvının düzlemsel sabit akışı dikkate alınır.

Bu ders projesinin amacı, parabolik hız dağılımına (Poiseuille akışı) sahip viskoz sıkıştırılamaz bir akışkanın düz, sabit laminer akışının temel özelliklerini dikkate almak ve bulmaktır.

Süreklilik denklemi

Keyfi bir şekilde hareket eden bir akışkan için kütlenin korunumu kanunu, akışkanlar mekaniğinin temel denklemlerinden biri olan süreklilik veya süreklilik denklemi ile ifade edilir. Bunu elde etmek için, sıvı içinde uzayda sabitlenmiş, W hacmini sınırlayan kapalı bir S yüzeyi çizelim ve üzerinde bir dS temel alanı seçelim. n, S'nin dış normalinin birim vektörünü göstersin. Bu durumda cV n dS çarpımı, dS bölgesindeki hızın yönüne bağlı olarak, W hacminden dışarı akan veya birim zamanda ona giren kütleyi temsil edecektir. N dış normal olduğundan, bu konumlarda V p > 0 olur. dS sıvının W hacminden dışarı aktığı yer ve V p< 0 на той части поверхности S, через которую она втекает в этот объем. Следовательно, интеграл представляет собой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него за единицу времени.

Kütledeki bu değişiklik başka bir şekilde hesaplanabilir. Bunu yapmak için temel hacim dW'yi seçiyoruz. Bu hacimdeki sıvının kütlesi, giriş ve çıkıştaki farklılıklar nedeniyle değişebilir. Hacim dW'deki kütledeki ikinci değişiklik şuna eşit olacaktır: ve W hacmindeki kütledeki ikinci değişiklik integral ile ifade edilecektir.

Ortaya çıkan ifadeler aynı değeri verdikleri için eşitlenebilirler. S yüzeyinden içeri akandan daha fazla sıvı akarsa birinci integralin pozitif olduğu ve aynı koşullar altında ikincinin negatif olduğu dikkate alınmalıdır, çünkü söz konusu durumda akışın sürekliliği nedeniyle yoğunluk zamanla azalır.

Ostrogradsky-Gauss teoremine göre:

Vektör analizinde, aynı koordinatlar boyunca vektör projeksiyonlarının kısmi türevlerinin toplamına ıraksama veya vektör ıraksaması denir. Bu durumda

bu nedenle denklem (1) şu şekilde yeniden yazılabilir:

W hacmi keyfi olduğundan, integral fonksiyonu sıfıra eşittir, yani.

(2)

Denklem (2), sıkıştırılabilir bir akışkanın keyfi hareketi için diferansiyel formda bir süreklilik denklemidir. İlişki (1), süreklilik denkleminin integral formu olarak düşünülebilir.

Hareketli bir sıvı hacminin kütlesinin korunumu koşulunu göz önünde bulundurursak, bu durumda farklı bir form verilebilecek denklem (2)'ye de ulaşacağız.

c = c (x, y, z, t) olduğundan ve sıvı hacmi x = x(t) hareket ettiğinde,

y = y (t), z = z (t), o zaman

yani denklem (2) şu şekle sahip olacaktır:

(3)

burada dc/dt yoğunluğun toplam türevidir.

Sıkıştırılabilir bir akışkanın kararlı hareketi için ∂c/∂t = 0 ve. bu nedenle denklem (2)'den şunu elde ederiz:

Sıkıştırılamaz bir akışkanın herhangi bir hareketi için c = sabit ve dolayısıyla,

(5)

3. Viskoz bir akışkanın Navier-Stokes formundaki hareket denklemi

Gerilmelerde akışkan hareketi denklemi:

Newton kanununa göre viskoz gerilmeler düz hareket akışkanlar açısal deformasyon oranlarıyla orantılıdır. Bu gerçeğin keyfi hareket durumuna genelleştirilmesi, teğetsel gerilimlerin ve normal gerilimlerin alanların oryantasyonuna bağlı kısımlarının karşılık gelen gerinim oranlarıyla orantılı olduğu hipotezidir. Başka bir deyişle, akışkan hareketinin tüm durumlarında viskoz gerilimler ile gerinim oranları arasında doğrusal bir ilişki olduğu varsayılır. Bu durumda bu ilişkiyi ifade eden formüllerdeki orantı katsayısının dinamik viskozite katsayısı m olması gerekir. (pratikte dolaylı olarak doğrulanmıştır), viskoz bir akışkandaki normal ve kayma gerilmeleri için ifadeler yazabiliriz:

(7)

İfadeleri (7) denklem (6)'ya dahil ederek şunu elde ederiz:

Terimleri ikinci türevlerle gruplandırıp c'ye bölerek ve Laplace operatörünü kullanarak şunu yazarız:

Bu denklemlere Navier-Stokes denklemleri denir; viskoz sıkıştırılabilir sıvıların ve gazların hareketlerini tanımlamak için kullanılırlar.

Viskoz olmayan sıvıların ve gazların hareket denklemleri Navier-Stokes denklemlerinden m=const ile özel bir durum olarak kolaylıkla elde edilebilir; sıkıştırılamaz akışkanlar için c = const alınmalıdır.

Navier-Stokes denklem sistemi altı bilinmeyen içerdiğinden kapalı değildir: V x, V y, V z, p, s ve m Bu bilinmeyenleri birbirine bağlayan diğer bir denklem süreklilik denklemidir (3).

Sistemi kapatan denklemler olarak ortamın durum denklemleri ve viskozitenin durum parametrelerine bağımlılığı kullanılır. Çoğu durumda diğer termodinamik bağıntıların da uygulanması gerekir.

Sıkıştırılamaz bir akışkan divV = 0 için, doğrudan sistem (8)'den gelen ifadeleri elde ederiz.

İÇİNDE vektör formu Sıkıştırılamaz bir akışkan için Navier-Stokes denklemi şu şekilde olacaktır:

Paralel düzlemler arasında sürekli laminer akış

Biri kendi düzleminde sabit hızla hareket eden iki paralel duvardan oluşan bir kanalda viskoz bir sıvının akmasına izin verin (şekle bakın).

a – akış şeması; b – basınç gradyanı olmadığında hız dağılımı (Couette akışı); c – sabit sınır düzlemleri durumunda hız dağılımı (düz bir kanaldaki akış).

Çizim düzlemine normal yöndeki (z ekseni boyunca) kanalın boyutunun, xOy düzlemine paralel duvarların etkisinin göz ardı edilebileceği kadar büyük olduğunu düşünüyoruz. Ayrıca hareketin sadece kanal duvarlarından birinin hareketinden değil aynı zamanda x ekseni yönündeki basınç farkından (veya eğiminden) kaynaklandığını varsayıyoruz. Kütle kuvvetlerinin etkisini ihmal ediyoruz çünkü h'nin küçüklüğü nedeniyle Froude sayısı küçüktür ve akım çizgilerinin x eksenine paralel, düz olduğunu düşünüyoruz.

Daha sonra problemin başlangıç ​​koşullarını şu şekilde ifade ederiz:

Süreklilik denkleminden hemen şu sonuca varırız: ve bu tüm noktalarda doğru olacağından, z ekseni boyunca hareket olmaması nedeniyle, bu koordinat boyunca tüm türevler de ortadan kalkacaktır ve Navier-Stokes denkleminin z'ye izdüşümünde eksenin yazılmasına gerek yoktur.

Daha sonra hareket denklemleri sistemi iki denkleme indirgenecektir:

Birincisi Navier-Stokes denkleminin x koordinat eksenine izdüşümünden elde edilir ve bu denklemlerden ikincisi basıncın yalnızca x'e bağlı olduğunu yani basıncın yalnızca x'e bağlı olduğunu gösterir. p(y)=p(z)=0 ve o zamandan beri kısmi türevlerden toplam türevlere geçebiliriz:

Bu denklemi iki kez gösterip integral alırsak şunu elde ederiz:

Çünkü şekle ve kabul edilen varsayımlara göre basınç yalnızca x koordinatına bağlıdır. İntegrasyon sabitlerini bulmak için sınır koşullarını kullanırız:

Böylece düz bir kanaldaki hız dağılımı yasası şu şekilde yazılacaktır:

(10)

Couette Akımı

Couette akışı gradyan içermeyen bir akıştır.Bu durumda tek neden hareket plakanın hareketidir. Akış, doğrusal bir hız dağılım yasasıyla karakterize edilir (Şekil b).

Kayma (viskoz) gerilimi katman kalınlığı ve spesifik akış hızı boyunca sabit olacaktır; Hareketli plaka tarafından sürüklenen canlı akış S=h·1 boyunca akış hızı şuna eşittir:

6. Poiseuille Akımı

Bu, parabolik hız dağılımına sahip düz bir kanaldaki basınç akışı durumudur (Şekil c). Denklem (10)'a göre şunu elde ederiz:

Parabolik hız dağılımına bağlı olarak eksendeki maksimum hız (y=h/2'de):

(12)

(11)'i (12)'ye bölerek hız dağıtım yasasını elde ederiz

Diğer akış özelliklerini hesaplamak zor değildir. Kayma gerilimi

Duvarlarda yani y=0 ve y=h'de maksimum değerleri alır

Ve y=h/2 ekseninde sıfır olur. Bu formüllerden görülebileceği gibi, teğetsel gerilmelerin tabaka kalınlığı boyunca dağılımına ilişkin doğrusal bir yasa vardır.

Spesifik sıvı tüketimi formülle belirlenir

ortalama sürat

(13)

Ortalama hız maksimumdan bir buçuk kat daha az olacaktır.

(13)'ü x üzerinden entegre ettikten sonra, x = 0'da basınç p = p 0 * olduğu varsayımıyla gerekli basınç farkını elde ederiz:

Hareketin girdap bileşeninin yoğunluğunu hesaplamak da kolaydır. Bu durumda V y =V z =0 ve V x =V olduğundan, o zaman

dp/dx'i göz önünde bulundurarak<0, мы получи:

· sende< h/2, щ z < 0, т.е. частицы вращаются по часовой стрелке;

· y > h/2 için, ы z > 0, yani. parçacıklar saat yönünün tersine döner (Şekil c).

Dolayısıyla, söz konusu akış her noktada girdaptır; sıralı girdap çizgileri düz, normal akış düzlemlerini temsil eder.

Paralel duvarlar arasındaki akışın genel durumu

Bu durum tipik

Hız dağılımı, dp/dx basınç gradyanının negatif veya pozitif olabileceği denklem (10) ile belirlenir. İlk durumda basınç plaka hızı V0 yönünde düşer, ikinci durumda ise artar. Pozitif basınç gradyanının varlığı rip akıntılarına neden olabilir. Denklem (10) boyutsuz formda uygun şekilde temsil edilebilir

tek parametreli bir eğri ailesi tarafından grafiksel olarak temsil edilen

Paralel duvarlar arasındaki akışın genel durumu için boyutsuz hız profilleri.

Örnek görev

Bir MHD oluşturucuyla ilişkili olarak Poiseuille akışını ele alalım.

Manyetohidrodinamik jeneratör, MHD jeneratör - manyetik alanda hareket eden çalışma sıvısının (sıvı veya gaz halindeki elektriksel olarak iletken ortam) enerjisinin doğrudan elektrik enerjisine dönüştürüldüğü bir enerji santrali. Viskoz bir ortamın hareket hızı ses altı veya ses üstü olabilir; Vmax = 300 m/s'ye eşit bir hız seçiyoruz. Doğrusal kanalın uzunluğu 10 metre olsun. Plazmanın aktığı plakalar arasındaki mesafe 1 metredir. Plazma viskozitesinin maksimum değerini 3·10 -4 Pa·Hs=8,3·10 -8 Pa·s olarak alalım.

Ortalama hızın maksimumdan bir buçuk kat daha az olduğunu dikkate alarak verileri basınç farkı formülüne yerleştirerek şunu elde ederiz:

Bu, çalışma sıvısı MHD jeneratörünün doğrusal kanalından geçtiğinde meydana gelen basınç kaybıdır.

Kaynakça

1. Beknev V.S., Pankov O.M., Yanson R.A. – M.: Makine Mühendisliği, 1973. – 389 s.

2. Emtsev B.T. Teknik hidromekanik. – M.: Makine Mühendisliği, 1978. – 458 s.

3. Emtsev B.T. Teknik hidromekanik. – Yüksek Lisans: Makine Mühendisliği, 1987. – 438 s.

4. http://ru-patent.info/21/20-24/2123228.html

5. http://ligis.ru/fects/science/83/index.htm

Borunun uçlarındaki basınç farkının etkisi altındaki dairesel kesitli uzun bir borudaki akış, 1839'da Hagen ve 1840'ta Poiseuille tarafından incelenmiştir. Akışın, sınır koşulları gibi, eksenel simetriye sahip olduğunu varsayabiliriz. yani - yalnızca boru ekseninden olan mesafenin bir fonksiyonudur. Denklem (4.2.4)'e karşılık gelen çözüm şöyledir:

Bu çözümde gerçekçi olmayan bir özellik vardır (birim başına akışkana etki eden sonlu bir kuvvetle ilişkili).

A sabiti sıfıra eşit değilse eksen bölümünün uzunluğu; bu nedenle A'nın tam olarak bu değerini seçiyoruz. Bulduğumuz noktada boru sınırında elde edilecek şekilde bir B sabiti seçmek

Borunun herhangi bir bölümünden sıvının hacimsel akışı pratik açıdan ilgi çekicidir; değeri

Hagen ve Poiseuille, su ile yaptıkları deneylerde, akışın basınç düşüşünün birinci gücüne ve boru yarıçapının dördüncü gücüne (bu gücün yarısı) bağlı olduğunu tespit ettikleri uzunluktaki bir boru bölümünün başlangıç ​​ve uç kısımlarındaki (değiştirilmiş) basınçlar borunun kesit alanının yarıçapına bağımlılığı nedeniyle elde edilir ve diğer yarısı hızdaki bir artışla ve artan boru yarıçapı ile belirli bir sonuçta ortaya çıkan viskoz kuvvet için ilişkilidir). Gözlemlerdeki oranın sabitliğinin elde edilmesindeki doğruluk, sıvı parçacıkların boru duvarında kaymadığı varsayımını ikna edici bir şekilde doğrular ve ayrıca viskoz gerilimin bu koşullar altında gerinim hızına doğrusal bağımlılığı hakkındaki hipotezi dolaylı olarak doğrular. koşullar.

Boru duvarındaki teğetsel gerilim şuna eşittir:

dolayısıyla I uzunluğundaki bir boru kesitindeki akış yönündeki toplam sürtünme kuvveti şuna eşittir:

Borunun bu kısmı içindeki sıvının tüm elemanları, belirli bir anda, normal kuvvetlerin etkisi altında sabit bir hareket halinde olduğundan, boru cidarındaki toplam sürtünme kuvveti için böyle bir ifade beklenmekteydi. iki uç bölüm ve boru duvarındaki sürtünme kuvveti. Ek olarak, (4.1.5) ifadesinden, dağılma oranının olduğu açıktır. mekanik enerji Viskozitenin etkisi altındaki sıvının birim kütlesi başına bu durumda ifade ile belirlenir.

Böylece, I uzunluğundaki dairesel bir borunun bir bölümünü şu anda dolduran sıvıdaki toplam dağılma oranı şuna eşittir:

Borudaki ortamın damlayan bir sıvı olması ve borunun her iki ucunda da atmosferik basıncın bulunması durumunda (sıvı boruya sığ, açık bir rezervuardan giriyor ve borunun ucundan dışarı akıyormuş gibi), a. Boru boyunca basınç gradyanı yerçekimi tarafından yaratılır. Bu durumda mutlak basınç her iki uçta da aynıdır ve bu nedenle sıvının her yerinde sabittir, dolayısıyla değiştirilmiş basınç şuna eşittir: a ve

2. Eşitliğin her iki tarafının da bazı fiziksel kalıpları yansıtan boyutları aynı olmalıdır.

3.3. Boyut tahminlerinin mekanikte uygulanması. Bir dize ve bir sarkaç için algoritmanın çizim örnekleri.

5. Anlık açısal hız.

6. Doğrusal ve açısal hızlar arasındaki ilişki.

7. Açısal ivmenin modülü ve yönü.

8. Teğetsel ve açısal ivme arasındaki ilişki.

9. Anlık açısal ivme.

5. İş ve enerji. Enerji korunumu kanunu

5.1. İş ve kinetik enerji

5.2. Dış ortamdaki maddi bir noktanın potansiyel enerjisi

5.3. Enerjinin korunumu yasası ve potansiyel olmayan kuvvetler hakkında

5.4. Basit örnekler

5.5. Denge ve istikrar

6.1. Etkileşen iki maddi noktadan oluşan kapalı bir sistemin hareketinin özellikleri. Azaltılmış kütle

6.2. Maddi noktalar sisteminin kütle merkezi

6.3. Etkileşimin potansiyel enerjisi. Koruma Hukuku

6.5. Esnek ve esnek olmayan çarpışmalar

Ders 4

2. Klasik mekanikte seçilmiş konular

2.1. Newton mekaniğinin bazı ilkeleri.

2.2. Lagrange mekaniğinin ilkeleri.

2.3. Hamilton ilkesi.

7.1. İtme momenti ve kuvvet momenti

7.3. Kesinlikle katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi

Katı cisim dinamiği.

Simetrinin özellikleri ve korunum yasaları. Enerji tasarrufu.

Momentumun korunması.

Açısal momentumun korunumu.

9.1. Galileo'nun görelilik ilkesi

9.2. Eylemsiz olmayan referans sistemlerinde mekanik yasaları.

Mekaniğin bazı sorunları. Bir parçacığın merkezi bir kuvvet alanındaki hareketi.

2. Sıvının temel fiziksel özellikleri ve parametreleri. Kuvvetler ve gerilimler.

2.1. Yoğunluk.

2.2. Viskozite.

2.3. Kuvvetlerin sınıflandırılması.

2.3.1. Kitle kuvvetleri.

2.3.2. Yüzey kuvvetleri.

2.3.3. Gerilme tensörü.

8.3. İdeal bir akışkanın akışı. Süreklilik denklemi

8.4. Arşimet'in gücü. Bernoulli denklemi

8.5. Viskozite. Poiseuille Akımı

1.4.1. Vektör alanı akışı.

2.3.4. Gerilmelerde hareket denklemi.

Euler ve Navier-Stoke denklemi.

Özel görelilik teorisi.

10. Göreli mekaniğe giriş

10.1. Tüm referans sistemleri için ışık hızının sabitliği.

10.2. Lorentz dönüşümlerinden elde edilen sonuçlar. Uzunluk daralması ve zaman genişlemesi

10.3. Göreli mekanikte momentum ve enerji

Olayların eşzamanlılığının göreliliği

Vücut ağırlığının hıza bağımlılığı

Kütle ve enerji arasındaki ilişki yasası

4.1.5. Maddi bir noktanın göreli mekaniği

1.3. Temel Etkileşimler

1.4. Standart Model ve Perspektifler

1.1. Fermiyonlar

1.2. Vektör bozonları

11.Temel parçacıklar

11.1. Temel kavramlar ve yasalar

11.1.1.Etkileşim türleri

11.1.2.Koruma kanunları

11.2.Problem çözme örnekleri

12.1. Temel parçacıkların temel özellikleri.

12.2. Mikrokozmosta koruma yasaları

12.3. Hadronların kuark yapısı

12.4. Elektrozayıf etkileşim

Özetle Fizik İçindekiler:

1. Tanıtıcı bilgiler - 6

Elektrik – 49

9. Sabit elektrik alanı – 49

9.13.4.2. Bir vektör için Gauss teoremi - 78 10. Doğru elektrik akımı - 79

10.7. Bir devrenin düzgün olmayan bölümü için Ohm yasası – 82 Manyetizma. Maxwell Denklemleri – 83

11. Vakumdaki manyetik alan – 83

11.11.3.1. Manyetik alan enerji yoğunluğu – 103 12. Maddedeki manyetik alan – 103

Önsöz

1. Giriş

1.1. Geleceği tahmin etmek bilimin görevidir

1.2. Fizik konusu

1.3. Fiziksel model

1.4. Fiziğin dili mi?

1.5. Deneysel ve teorik fizik

Mekaniğin fiziksel temelleri

3.1.3. Kesinlikle sert gövde

3.2. Referans kuruluşu

3.3. Referans sistemi

3.4. Maddi bir noktanın uzaydaki konumu

3.10.1. Normal ve teğetsel ivme

4. Maddi bir noktanın dinamiği

4.6.1. Sistem uluslararası

4.6.1.1. Kuvvet boyutu

5.3. İş

5.6.1. Muhafazakar yerçekimi

5.6.2. Sürtünme kuvvetinin korunumlu olmaması

5.7. Potansiyel enerji yalnızca korunumlu kuvvetlerin alanı için verilebilir

5.8. Mekanik enerjinin korunumu kanunu

6. Dönme hareketinin kinematiği

6.1. Öteleme ve dönme hareketi

6.2. Sonsuz küçük dönmenin sözde vektörü

6.5. Katı bir cismin maddi bir noktasının doğrusal hızı ile açısal hız arasındaki ilişki

8. Özel göreliliğin unsurları

8.2. Galileo'nun görelilik ilkesi:

8.3. Yüksek hızlarda yetersiz Newton mekaniği

8.5.1. Lorentz dönüşümlerinin türetilmesi

8.6. Lorentz dönüşümlerinin sonuçları

9.3. Elektrik alanı

9.3.6. Elektrik alanlarının üst üste binmesi ilkesi

9.3.7. Noktasal yük alanı gücü

9.3.8. Gerilme hatları

9.3.9. Nokta yüklerinin gerilim çizgileri

9.4.4.1. Düzgün yüklü sonsuz bir düzlemin alanı

9.4.4.3. Düzgün yüklü sonsuz bir silindirin alanı

9.9. Elektrik alanındaki iletken

9.10. Tek bir iletkenin elektrik kapasitesi

9.11. Kapasitörün kapasitansı

9.12. Elektrik alan enerjisi

9.12.1. Vakumda elektrik alan enerji yoğunluğu

9.13. Bir dielektrikteki elektrik alanı

9.13.1. Dielektrik?

9.13.1.1. İki tip dielektrik - polar ve polar olmayan

9.13.2. Bir dielektrik maddenin polarizasyonu (polarizasyon vektörü), birim hacim başına dipol momentidir:

9.13.4.1. Bir dielektrikte elektrik alan enerji yoğunluğu

10.4. Ohm'un devre bölümü yasası

10.5. Diferansiyel formda Ohm yasası

10.6. Diferansiyel formda Joule-Lenz yasası

Manyetizma. Maxwell denklemleri

11.5.6. Bir toroidin manyetik alanı

11.6. Ampere yasası

11.7. Lorentz kuvveti, manyetik alanın içinde hareket eden bir yüke uyguladığı kuvvettir.

11.7.1. Yüklü bir parçacığın düzgün bir manyetik alan içindeki hareketi

11.8. Manyetik alanda akım bulunan çerçeve

11.11.1. Akı bağlantısı

11.11.2. Solenoid endüktans

11.11.3. Manyetik alan enerjisi

12. Maddedeki manyetik alan

12.2. Manyetik malzemelerin sınıflandırılması

13. Maxwell denklemleri

13.3. Maxwell'in integral formdaki denklem sistemi

13.4. Maxwell'in diferansiyel formdaki denklem sistemi

8.5. Viskozite. Poiseuille Akımı

Şu ana kadar bir sıvı ya da gazdaki kayma gerilmesi hakkında hiçbir şey söylemedik, kendimizi yalnızca Pascal yasası çerçevesinde izotropik basınçla sınırladık. Bununla birlikte, Pascal yasasının yalnızca hidrostatikte kapsamlı olduğu ve uzaysal olarak homojen olmayan akışlar durumunda, teğetsel gerilimlerin ortaya çıkmasının bir sonucu olarak enerji tüketen etkinin (viskozite) devreye girdiği ortaya çıktı.

Sıvının belirli bir bölgesinde, x ekseni yönünde hareket eden iki sonsuz yakın sıvı katmanının, S alanı olan yatay bir yüzey üzerinde birbirleriyle temas etmesine izin verin (Şekil 8.14). Deneyimler, bu bölgedeki katmanlar arasındaki sürtünme kuvveti F'nin daha büyük olduğunu, S alanının daha büyük olduğunu ve bu yerdeki akış hızı v'nin S alanına dik yönde, yani y yönünde daha hızlı değiştiğini göstermektedir. eksen. Y'nin bir fonksiyonu olarak hızın değişim oranı v, dv/dy türevi ile karakterize edilir.

Son olarak deneyden elde edilen sonuç şu şekilde yazılabilir:

F = ηS dv/dy. (8.27)

Burada F, üstteki katmandan alttaki katmana etki eden kuvvettir, η, katsayı adı verilen orantı katsayısıdır.

sıvı viskozitesi (kısaca sıvı viskozitesi olarak kısaltılır). Boyutu formül (8.27)'den gelir: [η] = [m]/[l][t]; Ölçü birimi genellikle 1 Pa·s olarak ifade edilir. F kuvvetinin yönü (Şekil 8.14'te sağa veya sola), üstteki katmanın alttaki katmana göre daha hızlı veya daha yavaş hareket etmesine bağlıdır. (8.27)'den teğetsel gerilmeler için ifade gelir:

τ = η dv/dy.(8.28)

Viskozite katsayısı η, farklı sıvılar için farklı değerlere sahiptir ve belirli bir sıvı için, öncelikle sıcaklığa olmak üzere dış koşullara bağlıdır. Doğası gereği, bir sıvıdaki sürtünme kuvvetleri, tıpkı katı cisimler arasındaki sürtünme kuvvetleri gibi, moleküller arası etkileşimin kuvvetleridir, yani elektromanyetik kuvvetlerdir. Belirli bir basınç farkında, sabit bir kesit alanına sahip yatay, yuvarlak, düz bir boruda akan sıkıştırılamaz bir akışkanın akış hızının hesaplanması problemini ele almaya devam edelim. Akış, bir boru bölümünden birim zamanda akan sıvının kütlesidir. Bu görev son derece önemli

Pirinç. 8.15

pratik önemi: Petrol boru hatlarının işletilmesinin ve hatta sıradan su temininin organizasyonu kesinlikle çözümünü gerektirir. Borunun uzunluğunun, R yarıçapının, P 1 ve P 2 borusunun uçlarındaki basınçların (P 1 >P 2) yanı sıra sıvının yoğunluğunun ρ ve bunun verildiğini varsayacağız. viskozite η (Şekil 8.15).

Sürtünme kuvvetlerinin varlığı, borunun merkezinden farklı mesafelerde sıvının farklı hızlarda akmasına neden olur. Özellikle, sıvı doğrudan duvarda hareketsiz olmalıdır, aksi halde (8.28)'den sonsuz teğetsel gerilmeler ortaya çıkacaktır. Borunun tüm kesiti boyunca her saniye akan akışkanın kütlesini hesaplamak için, bu kesiti iç yarıçapı r ve dış r + dr olan sonsuz küçük dairesel alanlara bölüyoruz ve önce bunların her birinden geçen akışkan akışını hesaplıyoruz. hızın olduğu sonsuz küçük bölümler

Sonsuz küçük bir aralıktan her saniye akan sıvının kütlesi dm

v(r) hızıyla 2nrdr kesit alanı şuna eşittir:

dm/dt = 2πr drρv(r). (8.29)

(8.29) ifadesini entegre ederek toplam sıvı akışı Q'yu elde ederiz.

r ile 0'dan R'ye:

Q = dm/dt = 2πρ rv(r) dr, (8.30)

burada 2πρ sabit değeri entegrasyon işaretinden çıkarılır. (8.30)'daki integrali hesaplamak için, akışkan hızının yarıçapa bağımlılığını, yani v(r) fonksiyonunun spesifik formunu bilmek gerekir. v(r)'yi belirlemek için zaten bildiğimiz mekanik yasalarını kullanacağız. Zamanın bir noktasında, rastgele bir yarıçapı r ve uzunluğu l olan silindirik bir sıvı hacmini ele alalım (Şekil 8.15). Bu hacmi dolduran sıvı, etkileşimli maddi noktalardan oluşan bir sistem oluşturan sonsuz küçük sıvı parçacıklarının bir koleksiyonu olarak düşünülebilir. Bir borudaki sabit akışkan akışı sırasında, tüm bu malzeme noktaları zamandan bağımsız hızlarda hareket eder. Sonuç olarak tüm bu sistemin kütle merkezi de sabit bir hızla hareket etmektedir. Maddi noktalar sisteminin kütle merkezinin hareketinin denklemi şu şekildedir (bkz. Bölüm 6)

burada M sistemin toplam kütlesidir, V cm - kütle merkezinin hızı,

∑F BH, seçilen bir anda söz konusu sisteme uygulanan dış kuvvetlerin toplamıdır. Bizim durumumuzda V cm = const olduğundan (8.31)'den şunu elde ederiz:

Dış kuvvetler, seçilen silindirik hacmin tabanlarına etki eden basınç kuvvetleri F basıncı ve çevredeki sıvıdan silindirin yan yüzeyine etki eden sürtünme kuvvetleri Ftr'dir - bkz. (8.27):

Gösterdiğimiz gibi bu kuvvetlerin toplamı sıfırdır, yani

Basit dönüşümlerden sonra bu ilişki şu şekilde yazılabilir:

Yukarıda yazılan eşitliğin her iki tarafını da entegre ederek şunu elde ederiz:

İntegral sabiti, r = Rsk- olması durumundan belirlenir.

v hızının kaybolması gerekir. Bu verir

Görüldüğü gibi akışkanın hızı boru ekseninde maksimumdur ve eksenden uzaklaştıkça parabolik yasaya göre değişir (bkz. Şekil 8.15).

(8.32)'yi (8.30)'a değiştirerek gerekli sıvı akışını buluruz

Sıvı akışına ilişkin bu ifadeye Poiseuille formülü denir. İlişkinin (8.33) ayırt edici bir özelliği, akış hızının borunun yarıçapına güçlü bağımlılığıdır: akış hızı, yarıçapın dördüncü kuvvetiyle orantılıdır.

(Poiseuille'in kendisi akış hızı için bir formül türetmedi, ancak sıvının kılcal damarlardaki hareketini inceleyerek sorunu yalnızca deneysel olarak araştırdı). Sıvıların viskozite katsayılarını belirlemeye yönelik deneysel yöntemlerden biri Poiseuille formülüne dayanmaktadır.

VE
Sıvılar ve gazlar yoğunlukla karakterize edilir.

- sıvının yoğunluğu genel olarak koordinatlara ve zamana bağlıdır

- yoğunluk termodinamik bir fonksiyondur ve basınca ve sıcaklığa bağlıdır

Kütle unsuru yoğunluk tanımından ifade edilebilir.

Seçilen bir alan üzerinden, birim zamanda alana dik olarak geçen sıvı miktarı olarak sıvı akış vektörünü belirleyebilirsiniz.

Kare vektör.

Belirli bir temel ciltte mikropartiküller vardır ve kendisi de bir makropartiküldür.

Geleneksel olarak bir akışkanın hareketini gösterebilen çizgilere denir. güncel çizgiler.

mevcut fonksiyon.

Laminer akış– sıvının karışmadığı ve akış fonksiyonlarının örtüşmediği bir akış, yani katmanlı bir akış.

Şekilde bir engelin etrafındaki laminer akış - silindir şeklinde

Türbülanslı akış– farklı katmanların karıştığı bir akış. Bir engelin etrafından akarken türbülanslı dümen suyunun tipik bir örneği.

Neredeyse pirinçte - akım tüpü. Bir akış tüpü için akış çizgilerinde keskin sapmalar yoktur.

Yoğunluğun tanımından temel kütle ifadeden belirlenir.

Temel hacim, kesit alanı ile sıvının kat ettiği yolun çarpımı olarak hesaplanır.

Daha sonra temel kütle (sıvı elementin kütlesi) ilişkiden bulunur.

dm = dV = VSdt

1) Süreklilik denklemi

En genel durumda hız vektörünün yönü akış kesit alanı vektörünün yönüyle çakışmayabilir.

- alan vektörünün bir yönü vardır

Bir sıvının birim zamanda kapladığı hacim, vektörlerin skaler çarpımının kuralları dikkate alınarak belirlenir.

V Scos

Sıvı akım yoğunluğu vektörünü belirleyelim

J =  V,J– akış yoğunluğu – birim zamanda birim kesitten akan sıvı miktarı

Sıvı kütlenin korunumu kanunundan

,

m iş parçacığı = sabit

Seçilen bir bölümdeki bir sıvının kütlesindeki değişim, sıvının hacmindeki ve yoğunluğundaki değişimin ürünü olarak tanımlandığından, kütlenin korunumu kanunundan elde ettiğimiz

VS = sabit VS = sabit

V 1 S 1 =V 2 S 2

onlar. akışın farklı bölümlerindeki akış hızı aynıdır

2) Ostrogradsky-Gauss teoremi

Kapalı bir hacim için sıvı kütle dengesini düşünün

site boyunca temel akı eşittir

burada j akı yoğunluğudur.

Silindirik bir borudaki sıkıştırılamaz viskoz akışkanın laminer akışı

Animasyon

Tanım

Silindirik bir borudaki sıkıştırılamaz viskoz akışkanın akışının laminer (katmanlı) doğasından dolayı, akış hızı bir şekilde borunun kesiti boyunca dağıtılır (Şekil 1).

Laminer akış sırasında boru girişindeki hız dağılımı

Pirinç. 1

L1, sabit hız profilinin oluşumunun başlangıç ​​bölümünün uzunluğudur.

Poiseuille yasası (matematiksel ifadesi Poiseuille'in formülü) birim zamanda bir borudan akan sıvının hacmi (akış hızı), borunun uzunluğu ve yarıçapı ile içindeki basınç düşüşü arasındaki ilişkiyi kurar.

Boru ekseninin dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin Oz ekseniyle çakışmasına izin verin. Laminer akışta, borunun tüm noktalarındaki akışkan hızı v Oz eksenine paraleldir, yani. v x = v y = 0, v z = v . Süreklilik denkleminden

dv /dt =F - (1/ r )grad p ,

burada F kütle kuvvetlerinin alan gücüdür;

p - basınç;

r - sıvı yoğunluğu,

bunu takip ediyor

dv/dz = 0, yani v = f(x,y) .

Viskoz sıkıştırılamaz bir akışkanın (Navier-Stokes) hareket denkleminden şu sonuç çıkar:

dp/dx = dp/dy= 0,

dp/dz = dp/dz = h(d 2 v/dx 2 + d 2 v/dy 2 ) = const = -(D p/l) ,

burada D p, l uzunluğundaki bir boru kesiti üzerindeki basınç düşüşüdür.

Yuvarlak silindirik bir boru için bu denklem şu şekilde temsil edilebilir:

(1/r)d(r(dv/dr))/dr = - D p/ h l ,

burada r = sqr(x 2 + y 2) boru ekseninden olan mesafedir.

Boru kesiti üzerindeki hız dağılımı paraboliktir ve aşağıdaki formülle ifade edilir:

v(r) = (D p / 4 h l) (R 2 - r 2 ) ,

burada R borunun yarıçapıdır;

r, eksenden söz konusu kesit noktasına olan mesafedir;

h sıvının dinamik viskozitesidir;

D p - l uzunluğundaki bir boru bölümü üzerindeki basınç düşüşü.

Sıvının ikinci hacimsel akış hızı şu şekilde belirlenir: Poiseuille'in formülü:

Q c = [(pR4) /8 h l] D p.

Bu formül, varoluş koşulları kritik Reynolds sayısı Re cr (Re = 2Q c /pRn, n - kinematik viskozite) ile karakterize edilen laminer akışlar için geçerlidir. Re = Re cr'de laminer akış türbülanslı hale gelir. Pürüzsüz yuvarlak borular için Re cr » 2300.

Zamanlama özellikleri

Başlatma zamanı (-1'den 1'e kadar oturum açın);

Ömür boyu (-1'den 5'e kadar log tc);

Bozulma süresi (log td'yi -1'den 1'e);

Optimum geliştirme süresi (0'dan 2'ye kadar log tk).

Diyagram:

Efektin teknik uygulamaları

Poiseuille yasası, kılcal viskozimetreler kullanılarak çeşitli sıvıların çeşitli sıcaklıklardaki katsayılarını belirlemek için uygulanır.

Efektin teknik uygulaması

Pirinç. 2

Tanımlar:

1 - borunun kontrol bölümü;

2 - balon;

3 - şanzıman;

4 - basınç regülatörü;

5 - basınç göstergesi;

6 - valf;

7 - akış ölçer.

Poiseuille denklemi dolaşımımızın fizyolojisinde önemli bir rol oynar.

Efekt uygulama

Poiseuille formülü, sıvıların ve gazların boru hatlarında çeşitli amaçlarla taşınmasına ilişkin göstergelerin hesaplanmasında kullanılır. Petrol ve gaz boru hatlarının laminer çalışma modu enerji açısından en verimli olanıdır. Dolayısıyla, özellikle laminer moddaki sürtünme katsayısı, borunun iç yüzeyinin (düz borular) pürüzlülüğünden pratik olarak bağımsızdır.

Edebiyat

1. Brekhovskikh L.M., Goncharov V.V. Sürekli ortam mekaniğine giriş - M.: Nauka, 1982.

2. Petrol, gaz ve gaz yoğunlaşma sahalarının geliştirilmesi ve işletilmesi / Ed. Sh.K. Gimatudinova.- M .: Nedra, 1988.

Anahtar Kelimeler

• viskozite
• basınç
• dinamik viskozite
• hidrodinamik
• viskoz sıvı
• laminer akış
• basınç
• basınç düşmesi
• boru
• Poiseuille yasası
• Poiseuille formülü
• Reynolds sayısı
• Reynolds sayısı kritiktir

Doğa bilimlerinin bölümleri:

Sorunun formülasyonu

Sabit viskoziteye sahip sıkıştırılamaz bir akışkanın, sabit basınç farkının etkisi altında dairesel kesitli ince silindirik bir tüp içinde sürekli akışı dikkate alınmıştır. Akışın laminer ve tek boyutlu (yalnızca kanal boyunca yönlendirilmiş bir hız bileşenine sahip) olacağını varsayarsak, o zaman denklem analitik olarak çözülür ve parabolik bir profil (genellikle buna denir) Poiseuille profili) - kanal eksenine olan mesafeye bağlı olarak hız dağılımı:

• v- boru hattı boyunca akışkan hızı, m/s;
• R- boru hattı ekseninden mesafe, m;
• P 1 − P
• ben- boru uzunluğu, m.

Aynı profil (uygun gösterimde) iki sonsuz paralel düzlem arasında akarken bir hıza sahip olduğundan, böyle bir akışa Poiseuille akışı da denir.

Poiseuille yasası (Hagen - Poiseuille)

Denklem veya Poiseuille yasası(Hagen-Poiseuille yasası veya Hagen-Poiseuille yasası), dairesel kesitli ince silindirik bir borudaki viskoz sıkıştırılamaz bir sıvının sabit akışı sırasında sıvı akışını belirleyen bir yasadır.

İlk kez Gotthilf Hagen (Alman) tarafından formüle edildi. Gotthilf Hagen, Bazen Hagen) 1839'da ve kısa süre sonra J. L. Poiseuille (İngilizce) (Fransızca) tarafından yeniden yetiştirildi. JL Poiseuille) 1840 yılında. Yasaya göre, bir sıvının ikinci hacimsel akış hızı, borunun birim uzunluğu başına basınç düşüşü ve boru çapının dördüncü kuvveti ile orantılıdır:

• Q- boru hattındaki sıvı akışı, m³/s;
• D- boru hattı çapı, m;
• R- boru hattı yarıçapı, m;
• P 1 − P 2 - borunun giriş ve çıkışındaki basınç farkı, Pa;
• μ - sıvı viskozitesi, Ns/m²;
• ben- boru uzunluğu, m.

Poiseuille yasası yalnızca laminer akış için geçerlidir ve tüpün uzunluğunun, tüpte laminer akışın gelişmesi için gerekli olan başlangıç ​​bölümünün uzunluğunu aşması koşuluyla.

Özellikler

• Poiseuille akışı, tüpün yarıçapı boyunca parabolik bir hız dağılımı ile karakterize edilir.
• Borunun her kesitinde ortalama hız, bu kesitteki maksimum hızın yarısı kadardır.

Ayrıca bakınız

• Couette Akımı
• Couette-Taylor Akımı

Edebiyat

• Kasatkin A.G. Kimyasal teknolojinin temel süreçleri ve aparatları. - M .: GHI, - 1961. - 831 s.

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde “Poiseuille Current”ın ne olduğunu görün:

Poiseuille akışında parabolik hız dağılımı. Pervaneler bu akışın sıfır olmayan girdaplara sahip olduğunu gösteriyor. Poiseuille akışı, düz dairesel bir silindir veya aralarındaki katman şeklindeki kanallar boyunca sıvının laminer akışıdır ... ... Vikipedi

Süreklilik mekaniği ... Vikipedi

Sürekli mekaniği Sürekli Klasik mekanik Kütlenin korunumu kanunu Momentumun korunumu kanunu ... Vikipedi