Teğet çemberlere teğet oluşturma. İki dairenin göreceli konumu

Genellikle böyle bir problemde size bir daire ve bir nokta verilir. Bir daireye bir teğet çizmek gerekir ve teğet belirli bir noktadan geçmelidir.

Noktanın konumu belirtilmemişse, noktanın konumunun üç olası durumu ayrı ayrı belirtilmelidir.

Bir nokta belirli bir daire tarafından sınırlanan bir dairenin içinde yer alıyorsa, o zaman onun içinden bir teğet oluşturulamaz.
Bir nokta bir daire üzerinde bulunuyorsa, o zaman verilen noktaya çizilen yarıçapa dik bir çizgi çizilerek teğet oluşturulur.
Bir nokta, bir daire tarafından sınırlanan dairenin dışında bulunuyorsa, o zaman bir teğet oluşturmadan önce, daire üzerinde içinden geçmesi gereken bir nokta aranır.

İkinci durumu çözmek için, yarıçapın bulunduğu düz çizgi üzerinde, yarıçapa eşit olan ve daire üzerindeki noktanın diğer tarafında bulunan bir parça oluşturulur. Böylece, bir daire üzerindeki bir noktanın, yarıçapın iki katına eşit bir parçanın ortası olduğu ortaya çıkar. Daha sonra, yarıçapları orijinal dairenin yarıçapının iki katına eşit olan ve parçanın uçlarındaki merkezleri yarıçapın iki katına eşit olan iki daire oluşturulur. Bu dairelerin herhangi bir kesişme noktasından ve problem koşullarının belirlediği bir noktadan geçen düz bir çizgi çizilir. Orijinal dairenin yarıçapına dik olan, yani ona dik olan ve dolayısıyla daireye teğet olan medyan olacaktır.

Noktanın daire tarafından sınırlanan dairenin dışında olduğu üçüncü durumu aşağıdaki gibi çözebilirsiniz. Belirli bir dairenin merkezini ve belirli bir noktayı birleştiren bir doğru parçası oluşturmak gereklidir. Daha sonra, ortasını dikey bir orta refüj oluşturarak bulun (önceki paragrafta açıklanmıştır). Bundan sonra bir daire (veya bir kısmını) çizin. Oluşturulan daire ile problem koşullarının belirlediği noktanın kesişme noktası, aynı zamanda problem koşullarının belirlediği noktadan geçen teğetin geçtiği noktadır. Bilinen iki noktadan geçen bir teğet doğru çizilir.

Oluşturulan düz çizginin bir teğet olduğunu kanıtlamak için, problemin koşulları tarafından verilen dairenin yarıçapının oluşturduğu açı ve dairelerin kesişme noktasını problemin koşullarının verdiği noktaya birleştiren doğru parçasının oluşturduğu açı dikkate alınmalıdır. sorun. Bu açı bir yarım daireye (yapılan dairenin çapına) dayanır, yani düzdür. Yani yarıçap, inşa edilen çizgiye diktir. Bu nedenle oluşturulan doğru teğettir.

Dersin Hedefleri

Eğitimsel – “Bir daireye teğet” konusundaki bilgilerin tekrarlanması, genelleştirilmesi ve test edilmesi; temel becerilerin geliştirilmesi.
Gelişimsel – öğrencilerin dikkatini, azmini, azmini, mantıksal düşünmesini, matematiksel konuşmasını geliştirmek.
Eğitim - ders aracılığıyla birbirlerine karşı dikkatli bir tutum geliştirin, yoldaşları dinleme yeteneğini, karşılıklı yardımlaşmayı ve bağımsızlığı aşılayın.
Teğet, temas noktası kavramını tanıtın.
Teğetin özelliğini ve işaretini düşünün ve doğadaki ve teknolojideki problemlerin çözümünde bunların uygulanmasını gösterin.

Dersin Hedefleri

Ölçek cetveli, iletki ve çizim üçgeni kullanarak teğet oluşturma becerilerini geliştirin.
Öğrencilerin problem çözme becerilerini test edin.
Bir daireye teğet oluşturmak için temel algoritmik tekniklerde ustalık sağlayın.
Teorik bilgiyi problem çözmeye uygulama becerisini geliştirmek.
Öğrencilerin düşünme ve konuşmalarını geliştirin.
Gözlemleme, kalıpları fark etme, genelleme yapma ve benzetme yoluyla akıl yürütme becerilerini geliştirmeye çalışın.
Matematiğe ilgi uyandırmak.

Ders planı

Teğet kavramının ortaya çıkışı.
Teğetin tarihi.
Geometrik tanımlar.
Temel teoremler.
Bir daireye teğet oluşturma.
Konsolidasyon.

Teğet kavramının ortaya çıkışı

Teğet kavramı matematikteki en eski kavramlardan biridir. Geometride bir daireye teğet, o daireyle tam olarak bir kesişme noktasına sahip olan bir çizgi olarak tanımlanır. Eski insanlar pergel ve cetvel kullanarak bir daireye ve daha sonra konik bölümlere teğetler çizebildiler: elipsler, hiperboller ve paraboller.

Teğetin tarihi

Teğetlere olan ilgi modern zamanlarda yeniden canlandı. Daha sonra eski bilim adamlarının bilmediği eğriler keşfedildi. Örneğin Galileo sikloidi tanıttı ve Descartes ve Fermat ona bir teğet oluşturdu. 17. yüzyılın ilk üçte birinde. Teğetin, belirli bir noktanın küçük bir mahallesindeki bir eğriye "en yakın bitişik" olan düz bir çizgi olduğunu anlamaya başladılar. Belirli bir noktada (şekil) eğriye teğet oluşturmanın imkansız olduğu bir durumu hayal etmek kolaydır.

Geometrik tanımlar

Daire- düzlem üzerinde belirli bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik yeri, merkez olarak adlandırılır.

daire.

İlgili tanımlar

Bir dairenin merkezini üzerindeki herhangi bir noktaya (ve bu parçanın uzunluğuna) bağlayan doğru parçasına ne ad verilir? yarıçap daireler.
Düzlemin çemberle sınırlanan kısmına denir her yerde.
Bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına denir akor. Çemberin merkezinden geçen kirişe denir çap.
Bir daire üzerindeki herhangi iki farklı nokta onu iki parçaya böler. Bu parçaların her birine denir yay daireler. Bir yayın ölçüsü, ona karşılık gelen merkez açısının ölçüsü olabilir. Uçlarını birleştiren parçanın çapı varsa yay yarım daire olarak adlandırılır.
Bir çemberle tam olarak bir ortak noktası olan doğruya ne denir teğet bir çembere bağlanır ve bunların ortak noktasına doğrunun ve çemberin teğet noktası denir.
Çember üzerindeki iki noktadan geçen doğruya ne denir sekant.
Bir dairedeki merkezi açı, merkezinde bir tepe noktası bulunan bir düzlem açıdır.
Tepe noktası bir çemberin üzerinde olan ve kenarları bu çemberi kesen açıya denir. Yazılı açı.
Merkezi ortak olan iki çembere denir eşmerkezli.

Teğet çizgisi- Bir eğri üzerindeki bir noktadan geçen ve bu noktada birinci dereceye kadar onunla çakışan düz bir çizgi.

Bir daireye teğetçemberle ortak noktası olan düz bir çizgidir.

Aynı düzlemde bulunan ve bu noktaya çizilen yarıçapa dik olan bir daire üzerindeki bir noktadan geçen düz çizgi teğet denir. Bu durumda çember üzerindeki bu noktaya teğetlik noktası denir.

Bizim durumumuzda "a" belirli bir daireye teğet olan düz bir çizgi olduğunda, "A" noktası teğet noktasıdır. Bu durumda a⊥OA (düz çizgi a, OA yarıçapına diktir).

Bunu söylüyorlar iki daire dokunuyor eğer tek bir ortak noktaları varsa. Bu noktaya denir dairelerin temas noktası. Temas noktasından dairelerden birine, aynı zamanda diğer daireye de teğet olan bir teğet çizebilirsiniz. Dokunma daireleri iç veya dış olabilir.

Çemberlerin merkezleri teğetin aynı tarafında yer alıyorsa buna iç teğet denir.

Çemberlerin merkezleri teğetin zıt taraflarında bulunuyorsa buna dış teğet denir.

a iki çemberin ortak teğeti, K ise teğet noktasıdır.

Temel teoremler

Teorem teğet ve sekant hakkında

Çemberin dışında bulunan bir noktadan bir teğet ve bir kesen çizilirse, teğetin uzunluğunun karesi kesen ile dış kısmının çarpımına eşittir: MC 2 = MA MB.

Teorem.Çemberin teğet noktasına çizilen yarıçap, teğete diktir.

Teorem. Yarıçap, bir daireyle kesiştiği noktada bir doğruya dik ise, o zaman bu doğru bu daireye teğettir.

Kanıt.

Bu teoremleri kanıtlamak için bir noktadan bir çizgiye dik olanın ne olduğunu hatırlamamız gerekir. Bu, bu noktadan bu çizgiye olan en kısa mesafedir. OA'nın teğete dik olmadığını, ancak teğete dik bir düz çizgi OS olduğunu varsayalım. OS uzunluğu, yarıçapın uzunluğunu ve yarıçaptan kesinlikle daha büyük olan belirli bir BC segmentini içerir. Böylece herhangi bir doğru için bunu kanıtlayabiliriz. Temas noktasına çizilen yarıçapın, O noktasından teğete en kısa mesafe olduğu sonucuna varıyoruz; OS teğete diktir. Ters teoremin ispatında ise teğetin çemberle tek bir ortak noktası olduğu gerçeğinden hareket edeceğiz. Bu düz çizginin çemberle ortak bir B noktası daha olsun. AOB üçgeni dikdörtgendir ve iki kenarı da yarıçap olarak eşittir, bu söz konusu olamaz. Böylece, bu düz çizginin çemberle A noktası dışında başka ortak noktasının olmadığını buluyoruz; teğettir.

Teorem. Bir noktadan çembere çizilen teğet parçalar eşittir ve bu noktayı çemberin merkezine bağlayan düz çizgi, teğetler arasındaki açıyı böler.

Kanıt.

Kanıt çok basit. Önceki teoremi kullanarak OB'nin AB'ye ve OS'nin AC'ye dik olduğunu iddia ediyoruz. ABO ve ACO dik üçgenlerinin kenar ve hipotenüsleri eşittir (OB=OS - yarıçap, AO - toplam). Dolayısıyla AB=AC kenarları ve OAC ile OAB açıları eşittir.

Teorem. Bir daire üzerinde ortak bir noktaya sahip bir teğet ve bir kirişin oluşturduğu açının büyüklüğü, kenarları arasında bulunan yayın açısal büyüklüğünün yarısına eşittir.

Kanıt.

Bir teğet ve bir kirişin oluşturduğu NAB açısını düşünün. AC'nin çapını çizelim. Teğet temas noktasına çizilen çapa dik olduğundan ∠CAN=90 o olur. Teoremi bildiğimizde, alfa (a) açısının BC yayının açısal değerinin yarısına veya BOS açısının yarısına eşit olduğunu görüyoruz. ∠NAB=90 o -a, buradan ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB veya = BA yayının açısal değerinin yarısı elde edilir. vesaire.

Teorem. Bir noktadan bir daireye bir teğet ve bir kesen çizilirse, belirli bir noktadan teğet noktasına kadar olan teğet bölümünün karesi, belirli bir noktadan noktalara kadar kesen bölümlerinin uzunluklarının çarpımına eşittir. çemberle kesiştiği noktadır.

Kanıt.

Şekilde bu teorem şu şekilde görünmektedir: MA 2 = MV * MC. Hadi kanıtlayalım. Önceki teoreme göre MAC açısı, AC yayının açısal değerinin yarısına eşittir, aynı zamanda ABC açısı da teoreme göre AC yayının açısal değerinin yarısına eşittir, dolayısıyla bu açılar birbirine eşittir. diğer. AMC ve BMA üçgenlerinin M köşesinde ortak açıya sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak bu üçgenlerin iki açıdaki benzerliğini (ikinci işaret) belirtiyoruz. Sahip olduğumuz benzerlikten: MA/MB=MC/MA, bundan MA 2 =MB*MC sonucunu elde ederiz.

Bir daireye teğet oluşturma

Şimdi bunu anlamaya çalışalım ve bir daireye teğet oluşturmak için ne yapılması gerektiğini öğrenelim.

Bu durumda, kural olarak problem bir daire ve bir nokta verir. Ve sen ve ben, bu teğetin belirli bir noktadan geçmesi için daireye bir teğet oluşturmamız gerekiyor.

Bir noktanın konumunu bilmiyorsak, noktaların olası konumlarını ele alalım.

İlk olarak, bir nokta belirli bir çember tarafından sınırlanan bir çemberin içinde olabilir. Bu durumda bu çembere teğet çizmek mümkün değildir.

İkinci durumda nokta bir daire üzerinde bulunur ve bildiğimiz noktaya çizilen yarıçapa dik bir çizgi çizerek bir teğet oluşturabiliriz.

Üçüncü olarak noktanın çember tarafından sınırlanan çemberin dışında yer aldığını varsayalım. Bu durumda teğet oluşturmadan önce çember üzerinde teğetin geçmesi gereken bir nokta bulmak gerekir.

İlk durumda, umarım her şey sizin için açıktır, ancak ikinci seçeneği çözmek için yarıçapın bulunduğu düz çizgi üzerinde bir parça oluşturmamız gerekir. Bu parça yarıçapa ve karşı taraftaki daire üzerinde bulunan parçaya eşit olmalıdır.

Burada bir daire üzerindeki bir noktanın, yarıçapın iki katına eşit bir doğru parçasının ortası olduğunu görüyoruz. Bir sonraki adım iki daire oluşturmak olacaktır. Bu dairelerin yarıçapları, orijinal dairenin yarıçapının iki katına eşit olacak ve segmentin uçlarındaki merkezler, yarıçapın iki katına eşit olacaktır. Artık bu dairelerin herhangi bir kesişme noktasından ve belirli bir noktadan geçen düz bir çizgi çizebiliriz. Böyle bir düz çizgi, başlangıçta çizilen dairenin yarıçapına dik olan ortancadır. Böylece bu doğrunun çembere dik olduğunu ve bundan da çembere teğet olduğunu görüyoruz.

Üçüncü seçenekte çemberin dışında kalan ve çemberle sınırlandırılmış bir noktamız var. Bu durumda öncelikle verilen dairenin merkezini verilen noktaya bağlayacak bir doğru parçası oluşturuyoruz. Sonra ortasını buluyoruz. Ancak bunun için dikey bir açıortay inşa etmek gerekir. Ve onu nasıl inşa edeceğinizi zaten biliyorsunuz. O zaman bir daire veya en azından bir kısmını çizmemiz gerekiyor. Şimdi verilen daire ile yeni oluşturulan dairenin kesişme noktasının teğetin geçtiği nokta olduğunu görüyoruz. Ayrıca problemin şartlarına göre belirlenen noktadan geçer. Ve son olarak bildiğiniz iki noktadan teğet bir çizgi çizebilirsiniz.

Ve son olarak, çizdiğimiz düz çizginin teğet olduğunu kanıtlamak için, çemberin yarıçapı ile koşulun bildiği ve çemberlerin kesişme noktasını birleştiren doğru parçasının oluşturduğu açıya dikkat etmemiz gerekir. Sorunun koşulunun verdiği nokta ile. Şimdi ortaya çıkan açının yarım daireye dayandığını görüyoruz. Ve bundan bu açının doğru olduğu sonucu çıkıyor. Sonuç olarak, yarıçap yeni inşa edilen çizgiye dik olacaktır ve bu çizgi teğettir.

Teğet inşaatı.

Teğet doğruların inşası diferansiyel hesabın doğuşuna yol açan problemlerden biridir. Diferansiyel hesapla ilgili olarak Leibniz tarafından yazılan ilk yayınlanmış çalışma, "Ne kesirli ne de irrasyonel niceliklerin veya özel bir hesap türünün engel teşkil etmediği yeni bir maksimum ve minimum yöntemi ve ayrıca teğetler" başlığını taşıyordu.

Eski Mısırlıların geometrik bilgisi.

Dicle ve Fırat ile Küçük Asya arasındaki vadinin eski sakinlerinin çok mütevazı katkılarını hesaba katmazsak, geometrinin M.Ö. 1700'den önce Eski Mısır'da ortaya çıktığı söylenebilir. Tropikal yağmur mevsimi sırasında Nil, su rezervlerini doldurdu ve taştı. Su, ekili arazileri kaplıyordu ve vergi açısından ne kadar arazinin kaybolduğunun belirlenmesi gerekiyordu. Haritacılar ölçüm aracı olarak sıkıca gerilmiş bir halat kullandılar. Mısırlıların geometrik bilgi birikimini teşvik eden bir diğer teşvik de piramit inşası ve güzel sanatlar gibi faaliyetleriydi.

Geometrik bilgi düzeyi, özellikle matematiğe ayrılmış ve ders kitapları gibi bir şey olan veya daha doğrusu çeşitli pratik problemlerin çözümlerinin verildiği problem kitapları olan eski el yazmalarından değerlendirilebilir.

Mısırlıların en eski matematik el yazması 1800-1600 yılları arasında bir öğrenci tarafından kopyalanmıştır. M.Ö. daha eski bir metinden. Papirüs, Rus Mısırbilimci Vladimir Semenoviç Golenişçev tarafından bulundu. Moskova'da - A.S.'nin adını taşıyan Güzel Sanatlar Müzesi'nde tutuluyor. Puşkin'e ait ve Moskova papirüsü olarak adlandırılıyor.

Moskova'nınkinden iki ila üç yüz yıl sonra yazılan bir başka matematik papirüsü Londra'da saklanıyor. Adı: "Tüm karanlık şeylerin, nesnelerin kendi içinde sakladığı tüm sırların bilgisine nasıl ulaşılacağına dair talimat... Eski anıtlara göre bunu katip Ahmes yazmıştı." El yazmasına "Ahmes papirüsü" veya diğer bir deyişle "Ahmes papirüsü" adı veriliyor. Rhind papirüsü - Mısır'da bu papirüsü bulan ve satın alan İngiliz'in adından gelmektedir. Ahmes papirüsü pratikte ihtiyaç duyulabilecek çeşitli hesaplamaları içeren 84 probleme çözüm sunmaktadır.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Belediye bütçeli eğitim kurumu

Novosibirsk şehri "Spor Salonu No. 4"

Bölüm: matematik

ARAŞTIRMA

Bu konuda:

İKİ DOKUNAN ÇEMBERİN ÖZELLİKLERİ

10. sınıf öğrencileri:

Khaziakhmetov Radik İldarovich

Zubarev Evgeniy Vladimiroviç

Danışman:

LL. Barinova

Matematik öğretmeni

En yüksek yeterlilik kategorisi

§ 1.Giriş………..………………………….……………………………………………………3

§ 1.1 İki dairenin göreceli konumu………………………...………………...………3

§ 2 Mülkler ve delilleri……………………………………………………………..……………………..….…4

§ 2.1 Özellik 1……………………………………………………..……………………….…4

§ 2.2 Özellik 2……………………………………………………..……………………………5

§ 2.3 Mülkiyet 3……………………………………………………..……………………………6

§ 2.4 Mülkiyet 4……………………………………………………..……………………………6

§ 2.5 Mülkiyet 5…………………………………..……………………………………………8

§ 2.6 Mülkiyet 6…………………………………………………..…………………………………9

§ 3 Görevler…………………………………………………..…………………………………..…11

Referanslar…………………………………………………………………………………….………….13

§ 1. giriiş

İki teğet çemberi içeren birçok problem, daha sonra sunulacak bazı özelliklerin bilinmesiyle daha kısa ve basit bir şekilde çözülebilir.

İki dairenin göreceli konumu

Başlangıç olarak, iki dairenin olası göreceli konumunu belirleyelim. 4 farklı durum olabilir.

1. Daireler kesişmeyebilir.

2. Kesiş.

3. Dış tarafta bir noktaya dokunun.

4. İçeride bir noktaya dokunun.

§ 2. Özellikler ve kanıtları

Doğrudan özelliklerin ispatına geçelim.

§ 2.1 Özellik 1

Teğetlerin çemberlerle kesişme noktaları arasındaki parçalar birbirine eşit ve verilen çemberlerin iki geometrik ortalama yarıçapına eşittir.

Kanıt 1. O 1 A 1 ve O 2 B 1 – temas noktalarına çizilen yarıçaplar.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (1. noktaya göre)

▲O 1 O 2 D – dikdörtgen, çünkü О 2 D ┴ О 2 В 1
Ö 1 Ö 2 = R + r, Ö 2 D = R – r

Pisagor teoremine göre A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (benzer şekilde kanıtlandı)

1) Teğetlerin çemberlerle kesiştiği noktalardaki yarıçapları çizelim.

2) Bu yarıçaplar teğetlere dik ve birbirine paralel olacaktır.

3) Küçük dairenin merkezinden büyük dairenin yarıçapına bir dik açı indirelim.

4) Ortaya çıkan dik üçgenin hipotenüsü dairelerin yarıçaplarının toplamına eşittir. Bacak aralarındaki farka eşittir.

5) Pisagor teoremini kullanarak gerekli ilişkiyi elde ederiz.

§ 2.2 Özellik 2

Dairelerin teğet noktasıyla kesişen ve hiçbirinde teğetlerle yer almayan düz bir çizginin kesişme noktaları, dış teğetlerin teğet noktalarıyla sınırlanan parçalarını ikiye böler; her biri bu dairelerin yarıçaplarının geometrik ortalamasına eşittir.

Kanıt 1.HANIM= MA 1 (teğet bölümler olarak)

2.MC = MV 1 (teğet bölümler olarak)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (1 ve 2 numaralı noktalara göre) )

İspatta kullanılan ifadeler Bir noktadan belirli bir daireye çizilen teğet parçaları eşittir. Bu özelliği verilen her iki çevre için de kullanırız.

§ 2.3 Özellik 3

Dış teğetler arasına alınmış iç teğet bölümünün uzunluğu, temas noktaları arasındaki dış teğet bölümünün uzunluğuna eşittir ve verilen dairelerin iki geometrik ortalama yarıçapına eşittir.

Kanıt Bu sonuç önceki mülkten kaynaklanmaktadır.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Özellik 4

Teğet çemberlerin merkezleri ile teğet doğru parçasının orta noktasının temas noktalarına çizilen yarıçaplar arasında oluşturduğu üçgen dikdörtgendir. Bacaklarının oranı bu dairelerin yarıçaplarının köklerinin oranına eşittir.

Kanıt 1.MO 1, A 1 MS açısının ortaydır, MO 2, B 1 MS açısının ortaydır, çünkü Bir açıyla çizilen dairenin merkezi bu açının ortaortasında yer alır.

2. 1. maddeye göre РО 1 MS + РСМО 2 = 0,5(РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 – doğrudan. MC, O 1 MO 2 üçgeninin yüksekliğidir, çünkü MN teğeti temas noktalarına çizilen yarıçaplara diktir → O 1 MC ve MO 2 C üçgenleri benzerdir.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (benzer)

İspatta kullanılan ifadeler 1) Bir açıyla çizilen dairenin merkezi, bu açının ortaortasında yer alır. Üçgenin bacakları açıların açıortaylarıdır.

2) Bu şekilde oluşan açıların eşit olması gerçeğinden yararlanarak aradığımız açının dik açı olduğunu buluruz. Bu üçgenin gerçekten dik açılı olduğu sonucuna varıyoruz.

3) Yüksekliğin (teğet, teğet noktalarına çizilen yarıçaplara dik olduğu için) dik üçgeni böldüğü üçgenlerin benzerliğini kanıtlarız ve benzerlikle gerekli oranı elde ederiz.

§ 2.5 Özellik 5

Dairelerin birbirleriyle temas noktaları ve dairelerin teğet ile kesişme noktalarının oluşturduğu üçgen dikdörtgendir. Bacaklarının oranı bu dairelerin yarıçaplarının köklerinin oranına eşittir.

Kanıt

▲A 1 MC ve ▲SMV 1 ikizkenardır → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

Ancak RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – doğrudan → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

▲A 1 MC ve ▲CO 2 B 1 benzerdir → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

İspatta kullanılan ifadeler 1) Üçgenlerin ikizkenar olmalarından yararlanarak açılarının toplamını yazıyoruz. Üçgenlerin ikizkenarlıkları, teğet parçaların eşitliği özelliği kullanılarak kanıtlanır.

2) Açıların toplamını bu şekilde yazdığımızda söz konusu üçgenin dik açıya sahip olduğunu dolayısıyla dikdörtgen olduğunu görüyoruz. Açıklamanın ilk kısmı kanıtlandı.

3) Üçgenlerin benzerliğini kullanarak (bunu doğrulamak için iki açıdaki benzerlik işaretini kullanırız) bir dik üçgenin bacaklarının oranını buluruz.

§ 2.6 Özellik 6

Dairelerin teğet ile kesişme noktalarının oluşturduğu dörtgen, içine bir dairenin yazılabileceği bir yamuktur.

Kanıt 1.▲A 1 RA 2 ve ▲B 1 PB 2 ikizkenardır çünkü Teğet parçalar olarak A 1 P = RA 2 ve B 1 P = PB 2 → ▲A 1 RA 2 ve ▲B 1 PB 2 – benzer.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, çünkü A 1 B 1 sekantının kesişme noktasında oluşan karşılık gelen açılar eşittir.

MN – özelliğe göre orta çizgi 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → yamukta A 2 A 1 B 1 B 2 bazların toplamı eşittir kenarların toplamına eşittir ve bu, yazılı bir dairenin varlığı için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

İspatta kullanılan ifadeler 1) Tekrar teğet doğru parçaları özelliğini kullanalım. Onun yardımıyla, teğetlerin ve teğet noktalarının kesişme noktasının oluşturduğu üçgenlerin ikizkenarlarını kanıtlayacağız.

2) Bundan bu üçgenlerin benzer olduğu ve tabanlarının paralel olduğu anlaşılacaktır. Buna dayanarak bu dörtgenin bir yamuk olduğu sonucuna varıyoruz.

3) Daha önce kanıtladığımız (2) özelliğini kullanarak yamuğun orta çizgisini buluyoruz. Dairelerin iki geometrik ortalama yarıçapına eşittir. Ortaya çıkan yamukta tabanların toplamı kenarların toplamına eşittir ve bu, yazılı bir dairenin varlığı için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

§ 3. Sorunlar

Yukarıda özetlenen özellikleri kullanarak bir problemin çözümünü nasıl basitleştirebileceğinize dair pratik bir örneğe bakalım.

Sorun 1

ABC üçgeninde AC kenarı = 15 cm, üçgenin içine bir daire yazılmıştır. İkinci daire birinciye ve AB ve BC kenarlarına dokunuyor. AB tarafında F noktası seçilir ve BC tarafında M noktası seçilir, böylece FM doğru parçası çemberlere ortak teğet olur. Eğer FM 4 cm ise ve M noktası bir dairenin merkezinden diğerinin merkezine göre iki kat daha uzakta bulunuyorsa, BFM üçgeninin ve AFMC dörtgeninin alanlarının oranını bulun.

Verilen: FM-toplam teğet AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

S BFM /S AFMC'yi bulun

Çözüm:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P ve ▲BO 2 Q benzerdir → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM =r*P FBM =1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

Sorun 2

ABC ikizkenar üçgeninde ortak noktaları D olan iki teğet çember ve bu noktadan geçen ortak teğet FK bulunmaktadır. AC üçgeninin tabanı = 9 cm ise ve dairelerin teğet noktaları arasında kalan üçgenin kenarının parçası 4 cm ise, bu dairelerin merkezleri arasındaki mesafeyi bulun.

Verilen: ABC – ikizkenar üçgen; FK – yazılı dairelerin ortak tanjantı. AC = 9 cm; KD = 4 cm

Çözüm:

AB ve CD düz çizgilerinin O noktasında kesişmesine izin verin. O zaman OA = OD, OB = OC olur, yani CD = = AB = 2√Rr

O 1 ve O 2 noktaları AOD açısının ortaortasında yer alır. Bir ikizkenar üçgenin AOD açıortayı yüksekliğidir, yani AD ┴ O 1 O 2 ve BC ┴ O 1 O 2, yani

AD ║ BC ve ABCD – ikizkenar yamuk.

MN segmenti orta hattıdır, dolayısıyla AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Bu nedenle bu yamuğun içine bir daire yazılabilir.

AP yamuğun yüksekliği olsun, ARB dik üçgenleri ve O 1 FO 2 benzerdir, dolayısıyla AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

Buradan bunu buluyoruz

Kaynakça

43 Sayılı “1 Eylül” “Matematik” gazetesinin eki, 2003
Birleşik Devlet Sınavı 2010. Matematik. Görev C4. Gordin R.K.