Çözüm örnekleri. Trigonometrik fonksiyonların integralleri

Ayrıca kendi başınıza çözebileceğiniz, cevaplarını görebileceğiniz problemler de olacaktır.

İntegral, trigonometrik fonksiyonların çarpımından toplama dönüştürülebilir

İntegralin, x'in birinci derecesinin sinüs ve kosinüslerinin farklı faktörlerle çarpımı olduğu integralleri, yani formun integrallerini ele alalım.

İyi bilinen trigonometrik formüllerin kullanılması

(2)
(3)
(4)
(31) formundaki integrallerin her bir ürünü cebirsel toplama dönüştürülebilir ve formüllere göre entegre edilebilir

(5)

(6)

Örnek 1. Bulmak

Çözüm. Formül (2)'ye göre

Örnek 2. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Formül (3)'e göre

Örnek 3. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Formül (4)'e göre integralin aşağıdaki dönüşümünü elde ederiz:

Formül (6)'yı uygulayarak şunu elde ederiz:

Aynı argümanın sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin çarpımının integrali

Şimdi aynı argümanın sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin çarpımı olan fonksiyonların integrallerini ele alalım;

(7)

Özel durumlarda göstergelerden biri ( M veya N) sıfır olabilir.

Bu tür fonksiyonları entegre ederken, kosinüsün eşit gücünün sinüs yoluyla ifade edilebileceği ve sinüs diferansiyelinin cos'a eşit olduğu kullanılır. x dx(veya hatta sinüsün gücü kosinüs cinsinden ifade edilebilir ve kosinüsün diferansiyeli şuna eşittir: - sin x dx ) .

İki durum birbirinden ayrılmalıdır: 1) göstergelerden en az biri M Ve N garip; 2) her iki gösterge de eşit.

İlk durumun, yani göstergenin gerçekleşmesine izin verin N = 2k+ 1 - tek. Sonra, buna göre

İntegral, bir kısmı yalnızca sinüsün bir fonksiyonu, diğeri ise sinüsün diferansiyeli olacak şekilde sunulur. Şimdi değişken değiştirme kullanılıyor T= günah Xçözüm, polinomun şuna göre entegrasyonuna indirgenir: T. Eğer sadece derece M tuhafsa, günah faktörünü izole ederek aynısını yaparlar X, integralin geri kalanını cos cinsinden ifade etmek X ve inanmak T=çünkü X. Bu teknik şu durumlarda da kullanılabilir: sinüs ve kosinüsün bölüm güçlerinin entegrasyonu , Ne zaman göstergelerden en az biri tuhaf . Bütün mesele şu ki sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin bölümü, bunların çarpımının özel bir durumudur : Trigonometrik bir fonksiyon bir integralin paydasında olduğunda derecesi negatiftir. Ancak kuvvetlerinin yalnızca çift olduğu kısmi trigonometrik fonksiyonlar da vardır. Onlar hakkında - bir sonraki paragrafta.

Her iki gösterge de M Ve N– hatta trigonometrik formülleri kullanarak

sinüs ve kosinüs üslerini azaltın, ardından yukarıdakiyle aynı türde bir integral elde edin. Bu nedenle entegrasyonun aynı şemaya göre sürdürülmesi gerekmektedir. Çift üslerden biri negatifse, yani sinüs ve kosinüsün çift güçlerinin bölümü dikkate alınırsa, bu şema uygun değildir. . Daha sonra integralin nasıl dönüştürülebileceğine bağlı olarak bir değişken değişikliği kullanılır. Böyle bir durum bir sonraki paragrafta ele alınacaktır.

Örnek 4. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Kosinüs üssü tektir. Bu nedenle hayal edelim

T= günah X(Daha sonra dt=çünkü X dx ). Sonra alırız

Eski değişkene dönersek sonunda şunu bulduk:

Örnek 5. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Kosinüs üssü önceki örnekte olduğu gibi tektir ancak daha büyüktür. Haydi hayal edelim

ve değişkende değişiklik yapın T= günah X(Daha sonra dt=çünkü X dx ). Sonra alırız

Parantezleri açalım

ve alıyoruz

Eski değişkene dönersek çözüme ulaşırız

Örnek 6. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Sinüs ve kosinüs üsleri çifttir. Bu nedenle integrand fonksiyonunu şu şekilde dönüştürüyoruz:

Sonra alırız

İkinci integralde değişken değişikliği yapıyoruz, ayarlıyoruz T= günah2 X. Daha sonra (1/2)dt= cos2 X dx . Buradan,

Sonunda elde ettik

Değişken Değiştirme Yöntemini Kullanmak

Değişken Değiştirme Yöntemi Trigonometrik fonksiyonları entegre ederken, integralin yalnızca sinüs veya yalnızca kosinüs, sinüs ve kosinüs çarpımı, sinüs veya kosinüsün birinci derecede, teğet veya kotanjant olduğu ve ayrıca bölümü içerdiği durumlarda kullanılabilir. bir ve aynı argümanın sinüs ve kosinüsünün çift kuvvetleri. Bu durumda sadece günah işlemekle kalmayıp permütasyon da yapmak mümkündür. X = T ve günah X = T, ama aynı zamanda tg X = T ve ctg X = T .

Örnek 8. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Değişkeni değiştirelim: , sonra . Ortaya çıkan integral, integral tablosu kullanılarak kolayca entegre edilebilir:

Örnek 9. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Tanjantı sinüs ve kosinüs oranına dönüştürelim:

Değişkeni değiştirelim: , sonra . Ortaya çıkan integral: masa integrali eksi işaretiyle:

Orijinal değişkene dönersek sonunda şunu elde ederiz:

Örnek 10. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Değişkeni değiştirelim: , sonra .

Trigonometrik özdeşliği uygulamak için integrali dönüştürelim :

İntegralin önüne eksi işareti koymayı unutmadan değişkeni değiştiriyoruz (yukarıya bakın, neye eşittir) dt). Daha sonra, integrali çarpanlara ayırıyoruz ve tabloyu kullanarak integral alıyoruz:

Orijinal değişkene dönersek sonunda şunu elde ederiz:

Trigonometrik bir fonksiyonun integralini kendiniz bulun ve ardından çözüme bakın

Evrensel trigonometrik ikame

Evrensel trigonometrik ikame İntegralin önceki paragraflarda tartışılan durumların kapsamına girmediği durumlarda kullanılabilir. Temel olarak, sinüs veya kosinüs (veya her ikisi de) bir kesrin paydasında olduğunda. Sinüs ve kosinüsün, orijinal açının yarısının tanjantını içeren başka bir ifadeyle değiştirilebileceği aşağıdaki gibi kanıtlanmıştır:

Ancak evrensel trigonometrik ikamenin genellikle oldukça karmaşık cebirsel dönüşümler gerektirdiğini unutmayın; bu nedenle, başka hiçbir yöntemin işe yaramayacağı durumlarda en iyi şekilde kullanılır. Evrensel trigonometrik ikame ile birlikte diferansiyel işaret altında ikame ve belirsiz katsayılar yönteminin kullanıldığı örneklere bakalım.

Örnek 12. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Çözüm. Haydi yararlanalım evrensel trigonometrik ikame. Daha sonra
.

Pay ve paydadaki kesirleri ile çarpıp ikisini çıkarıp integral işaretinin önüne yerleştiriyoruz. Daha sonra

R(sin x, cos x) formundaki rasyonel fonksiyonları entegre etmek için evrensel trigonometrik ikame adı verilen bir ikame kullanılır. Daha sonra . Evrensel trigonometrik ikame çoğu zaman büyük hesaplamalarla sonuçlanır. Bu nedenle, mümkün olduğunda aşağıdaki ikameleri kullanın.

Trigonometrik fonksiyonlara rasyonel olarak bağlı fonksiyonların entegrasyonu

1. ∫ sin n xdx, ∫ cos n xdx formundaki integraller, n>0
a) Eğer n tek ise sinx'in (veya cosx'in) bir kuvveti diferansiyelin işareti altına girilmeli ve kalan çift kuvvetin karşıt fonksiyona aktarılması gerekir.
b) Eğer n çift ise dereceyi azaltmak için formüller kullanırız
2. n'nin bir tamsayı olduğu ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx formundaki integraller.
Formüller kullanılmalı

3. ∫ sin n x cos m x dx formunun integralleri
a) m ve n farklı paritelerde olsun. Eğer n tek ise t=sin x veya m tek ise t=cos x yerine koymayı kullanırız.
b) Eğer m ve n çift ise dereceyi azaltmak için formüller kullanırız
2sin 2 x=1-cos2x, 2cos 2 x=1+cos2x.
4. Formun integralleri

Eğer m ve n sayıları aynı paritedeyse t=tg x yerine koymayı kullanırız. Trigonometrik birim tekniğini kullanmak genellikle uygundur.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

Trigonometrik fonksiyonların çarpımını toplamlarına dönüştürmek için formülleri kullanalım:

sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
çünkü α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

Örnekler
1. ∫ cos 4 x·sin 3 xdx integralini hesaplayın.
Cos(x)=t yerine koyma işlemini yaparız. O zaman ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. İntegrali hesaplayın.
Değiştirmeyi sin x=t yaparsak şunu elde ederiz:

3. İntegrali bulun.
tg(x)=t değişimini yapıyoruz. Yerine koyarsak şunu elde ederiz

R(sinx, cosx) formundaki ifadelerin integrali alınması

Örnek No.1. İntegralleri hesaplayın:

Çözüm.
a) R'nin sin x ve cos x'in rasyonel bir fonksiyonu olduğu R(sinx, cosx) formundaki ifadelerin integrali, evrensel trigonometrik ikame tg(x/2) = t kullanılarak rasyonel fonksiyonların integrallerine dönüştürülür.
O zaman elimizde

Evrensel bir trigonometrik ikame, ∫ R(sinx, cosx) dx formundaki bir integralden kesirli rasyonel bir fonksiyonun bir integraline gitmeyi mümkün kılar, ancak bu tür bir ikame çoğu zaman hantal ifadelere yol açar. Belirli koşullar altında daha basit değişiklikler etkilidir:

R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx eşitliği sağlanırsa cos x = t ikamesi uygulanır.
Eğer R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx eşitliği sağlanırsa, ikame sin x = t olur.
Eğer R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx eşitliği sağlanırsa, ikame tgx = t veya ctg x = t olur.

Bu durumda integrali bulmak için

evrensel trigonometrik ikame tg(x/2) = t'yi uygulayalım.
O zaman Cevap:

Temel trigonometrik formüller ve temel ikameler sunulmaktadır. Trigonometrik fonksiyonların entegrasyonuna yönelik yöntemler özetlenmiştir - rasyonel fonksiyonların entegrasyonu, sin x ve cos x'in güç fonksiyonlarının çarpımı, bir polinomun ürünü, üstel ve sinüs veya kosinüs, ters trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu. Standart dışı yöntemler etkilenir.

İçerik

Trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu için standart yöntemler

Genel yaklaşım

İlk olarak, gerekirse, trigonometrik fonksiyonların entegrasyon değişkeniyle aynı olan tek bir argümana bağlı olması için integralin dönüştürülmesi gerekir.

Örneğin, eğer integral şunlara bağlıysa günah(x+a) Ve çünkü(x+b), o zaman dönüşümü gerçekleştirmelisiniz:
çünkü (x+b) = çünkü (x+a - (a-b)) = çünkü (x+a) çünkü (b-a) + günah ( x+a ) günah (b-a).
Daha sonra yerine z = x+a yapın.

Trigonometrik fonksiyonlar entegrasyon değişkeniyle çakışan bir argümana bağlı olduğunda (diyelim ki z olsun), yani integral yalnızca aşağıdaki gibi işlevlerden oluşur: günah z, çünkü z, tg z, ctg z, o zaman bir değişiklik yapmanız gerekir
.
Böyle bir ikame, rasyonel veya irrasyonel fonksiyonların (kökler varsa) entegrasyonuna yol açar ve temel fonksiyonlara entegre edilmişse integralin hesaplanmasına olanak tanır.

Bununla birlikte, integralin özelliklerine göre integrali daha kısa bir şekilde değerlendirmenize olanak tanıyan başka yöntemler de sıklıkla bulabilirsiniz. Aşağıda bu tür ana yöntemlerin bir özeti bulunmaktadır.

Sin x ve cos x'in rasyonel fonksiyonlarını entegre etme yöntemleri

Rasyonel fonksiyonlar günah x Ve çünkü x fonksiyonlar aşağıdakilerden oluşur günah x, çünkü x ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve bir tamsayıya yükseltme işlemlerini kullanan herhangi bir sabit. Bunlar aşağıdaki şekilde belirlenir: R (günah x, çünkü x).
Bu aynı zamanda sinüsü kosinüs ve sinüsün kosinüse bölünmesiyle oluşturulduğundan teğetleri ve kotanjantları da içerebilir.
.

Rasyonel fonksiyonların integralleri şu şekildedir:
Rasyonel trigonometrik fonksiyonların entegrasyonuna yönelik yöntemler aşağıdaki gibidir.
1) Değiştirme her zaman rasyonel bir kesrin integraline yol açar. Ancak bazı durumlarda daha kısa hesaplamalara yol açan değişiklikler (bunlar aşağıda sunulmuştur) vardır. (günah x, çünkü x) 2) Eğer R günah x.
çünkü x → - çünkü x (günah x, çünkü x) 3) Eğer R değiştirirken -1 ile çarpılır günah x → - günah x çünkü x.
, o zaman ikame t = (günah x, çünkü x) 4) Eğer R 2) Eğer R eşzamanlı değiştirmede olduğu gibi değişmez değiştirirken -1 ile çarpılır, Ve , o zaman ikame t = tgx veya t =.

ctgx
, , .

Örnekler:

cos x ve sin x'in güç fonksiyonlarının çarpımı

Formun integralleri

rasyonel trigonometrik fonksiyonların integralleridir. Bu nedenle önceki bölümde özetlenen yöntemler bunlara uygulanabilir. Bu tür integrallerin özelliklerine dayanan yöntemler aşağıda tartışılmaktadır. günah x tgx çünkü x Eğer m ve n rasyonel sayılar ise, o zaman ikamelerden biri t =

integral diferansiyel binomun integraline indirgenir.

;
;
;
.

M ve n tam sayılarsa entegrasyon, azaltma formülleri kullanılarak gerçekleştirilir:
.

Örnek:

Bir polinom ile sinüs veya kosinüs ürününün integralleri
, ,
Formun integralleri:

;
.

ctgx
, .

burada P(x), x'te bir polinomdur ve parçalar halinde entegre edilmiştir. Bu, aşağıdaki formülleri üretir:

Bir polinom ile sinüs veya kosinüs ürününün integralleri
, ,
Bir polinom, üstel ve sinüs veya kosinüs çarpımının integralleri
burada P(x), Euler formülü kullanılarak entegre edilmiş, x cinsinden bir polinomdur e iax =çünkü balta + isin balta 1 ).
(burada ben 2 = -
.
Sonuçtan gerçek ve sanal kısımlar ayrılarak orijinal integraller elde edilir.

M ve n tam sayılarsa entegrasyon, azaltma formülleri kullanılarak gerçekleştirilir:
.

Trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu için standart olmayan yöntemler

Aşağıda trigonometrik fonksiyonların entegrasyonunu gerçekleştirmenize veya basitleştirmenize olanak tanıyan bir dizi standart dışı yöntem bulunmaktadır.

Bağımlılık (a günah x + b cos x)

İntegral yalnızca bir a'ya bağlıysa günah x + b çünkü x ise şu formülü uygulamakta fayda var:
,
Nerede .

Örneğin

Kesirleri sinüs ve kosinüslerden daha basit kesirlere ayırma

İntegrali düşünün
.
En basit entegrasyon yöntemi, aşağıdaki dönüşümü kullanarak kesri daha basit parçalara ayırmaktır:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)

Birinci dereceden kesirlerin integrali

İntegrali hesaplarken
,
kesrin tamsayı kısmını ve paydanın türevini izole etmek uygundur
A 1 günah x + b 1 çünkü x = A (a günah x + b çünkü x) + B (a günah x + b çünkü x)' .
A ve B sabitleri sol ve sağ tarafları karşılaştırarak bulunur.

Kullanılan literatür:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, “Lan”, 2003.

Ayrıca bakınız:

Trigonometrik fonksiyonların integralleri.
Çözüm örnekleri

Bu dersimizde trigonometrik fonksiyonların integrallerine bakacağız, yani integrallerin doldurulması çeşitli kombinasyonlarda sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant olacaktır. Tüm örnekler detaylı bir şekilde analiz edilecek, bir çaydanlık için bile erişilebilir ve anlaşılır olacaktır.

Trigonometrik fonksiyonların integrallerini başarılı bir şekilde incelemek için, en basit integralleri iyi anlamanızın yanı sıra bazı integral tekniklerinde uzman olmanız gerekir. Derslerde bu materyallerle tanışabilirsiniz. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri Ve .

Ve şimdi ihtiyacımız var: İntegral tablosu, Türev tablosu Ve Trigonometrik formüller dizini. Tüm öğretim yardımcılarını sayfada bulabilirsiniz Matematiksel formüller ve tablolar. Her şeyi yazdırmanızı öneririm. Özellikle trigonometrik formüllere odaklanıyorum, gözlerinin önünde olmalılar– bu olmadan iş verimliliği gözle görülür şekilde azalacaktır.

Ama önce bu makalede integrallerin ne olduğu hakkında HAYIR. Formun integrali yok, - kosinüs, sinüs, bir polinomla çarpılır (daha az sıklıkla teğet veya kotanjantlı bir şey). Bu tür integraller parçalara göre integral alınır ve yöntemi öğrenmek için Parçalara göre integral alma dersini ziyaret edin. Çözüm örnekleri Ayrıca burada "kemer" - arktanjant, ark sinüs vb. içeren integraller yoktur, bunlar çoğunlukla parçalar halinde entegre edilir.

Trigonometrik fonksiyonların integrallerini bulurken bir dizi yöntem kullanılır:

(4) Tablo formülünü kullanıyoruz tek fark, "X" yerine karmaşık bir ifadeye sahip olmamızdır.

Örnek 2

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun.

Rekabette boğulanlar için türün bir klasiği. Muhtemelen fark ettiğiniz gibi, integral tablosunda teğet ve kotanjant integrali yoktur, ancak yine de bu tür integraller bulunabilir.

(1) Trigonometrik formülü kullanıyoruz

(2) Fonksiyonu diferansiyel işaret altına alıyoruz.

(3) Tablo integralini kullanıyoruz .

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun.

Bu bağımsız bir çözüm örneğidir, tam çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Derecelerimiz yavaş yavaş artacak =).
Öncelikle çözüm:

(1) Formülü kullanıyoruz

(2) Ana trigonometrik özdeşliği kullanıyoruz , bundan şu sonuç çıkıyor .

(3) Payı payda terimine ve terime bölün.

(4) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz.

(5) Tabloyu kullanarak integral alıyoruz.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun.

Bu bağımsız bir çözüm örneğidir, tam çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Ayrıca daha yüksek kuvvetlerde olan teğet ve kotanjantların integralleri de vardır. Teğet küpün integrali derste tartışılıyor Düz bir şeklin alanı nasıl hesaplanır? Dördüncü ve beşinci kuvvetlere teğet (kotanjant) integralleri sayfada elde edilebilir. Karmaşık integraller.

İntegral derecesinin azaltılması

Bu teknik, integral fonksiyonları sinüs ve kosinüslerle doldurulduğunda işe yarar. eşit derece. Dereceyi azaltmak için trigonometrik formülleri kullanın , ve ve son formül genellikle ters yönde kullanılır: .

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun.

Çözüm:

Prensip olarak burada formülü uygulamamız dışında yeni bir şey yok. (integrandın derecesi düşürülür). Lütfen çözümü kısalttığımı unutmayın. Deneyim kazandıkça, integrali sözlü olarak bulabilirsiniz; bu, zamandan tasarruf sağlar ve ödevleri bitirirken oldukça kabul edilebilirdir. Bu durumda kuralı açıklamamanız tavsiye edilir. Önce sözlü olarak 1'in, sonra da 'nin integralini alıyoruz.

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun.

Bu bağımsız bir çözüm örneğidir, tam çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Bu vaat edilen derece artışıdır:

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun.

Önce çözüm, sonra yorumlar:

(1) Formülü uygulamak için integrali hazırlayın .

(2) Aslında formülü uyguluyoruz.

(3) Paydanın karesini alırız ve integral işaretinden sabiti çıkarırız. Biraz farklı yapılabilirdi ama bence daha uygun oldu.

(4) Formülü kullanıyoruz

(5) Üçüncü dönemde dereceyi yine azaltıyoruz, ancak formülü kullanarak .

(6) Benzer terimler sunuyoruz (burada terimi terime böldüm) ve eklemeyi yaptım).

(7) Aslında integrali, doğrusallık kuralını alıyoruz ve bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına alma yöntemi sözlü olarak gerçekleştirilir.

(8) Cevabı taramak.

! Belirsiz bir integralde cevap genellikle birkaç şekilde yazılabilir.

Az önce ele alınan örnekte, son cevap farklı bir şekilde yazılabilirdi - parantezlerin açılması ve hatta bunu ifadenin entegrasyonundan önce yapmak, yani örneğin aşağıdaki sonunun verilmesi oldukça kabul edilebilir:

Bu seçeneğin daha da uygun olması oldukça olası, bunu kendim çözmeye alışkın olduğum şekilde açıkladım). Bağımsız bir çözüm için başka bir tipik örnek:

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun.

Bu örnek iki şekilde çözülebilir ve başarılı olabilirsiniz. tamamen farklı iki cevap(daha doğrusu, tamamen farklı görünecekler, ancak matematiksel açıdan eşdeğer olacaklar). Büyük olasılıkla, en rasyonel yöntemi göremeyeceksiniz ve parantezleri açmaktan ve diğer trigonometrik formülleri kullanmaktan sıkıntı çekeceksiniz. En etkili çözüm dersin sonunda verilir.

Paragrafı özetlemek için şu sonuca varıyoruz: formun herhangi bir integrali , nerede ve – eşit sayılar, integralin derecesini azaltma yöntemiyle çözülür.
Pratikte 8 ve 10 dereceli integrallerle karşılaştım ve bunların korkunç karmaşasını dereceyi birkaç kez düşürerek çözmek zorunda kaldım, bu da uzun, uzun cevaplarla sonuçlandı.

Değişken Değiştirme Yöntemi

Makalede belirtildiği gibi Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi yerine koyma yöntemini kullanmanın temel ön koşulu, integralde belirli bir fonksiyonun ve onun türevinin bulunmasıdır:
(fonksiyonların mutlaka üründe olması gerekmez)

Örnek 11

Belirsiz integrali bulun.

Türev tablosuna bakıyoruz ve formüllere dikkat ediyoruz, yani integralimizde bir fonksiyon ve onun türevi var. Ancak farklılaşma sırasında kosinüs ve sinüsün karşılıklı olarak birbirine dönüştüğünü görüyoruz ve şu soru ortaya çıkıyor: Değişken değişimi nasıl yapılır ve sinüs veya kosinüs ile neyi kastediyoruz?! Sorun bilimsel dürtüyle çözülebilir: Değiştirmeyi yanlış yaparsak, bundan iyi bir şey çıkmaz.

Genel bir kural: Benzer durumlarda paydadaki fonksiyonu belirtmeniz gerekir.

Çözümü keseriz ve yenisini yaparız

Paydada her şey yolunda, her şey yalnızca bağlı , şimdi neye dönüşeceğini bulmak kalıyor.
Bunu yapmak için diferansiyeli buluyoruz:

Veya kısaca:
Ortaya çıkan eşitlikten orantı kuralını kullanarak ihtiyacımız olan ifadeyi ifade ederiz:

Bu yüzden:

Artık tüm integrandımız yalnızca buna bağlı ve çözmeye devam edebiliriz

Hazır. Değiştirmenin amacının integrali basitleştirmek olduğunu hatırlatayım; bu durumda her şey güç fonksiyonunu tabloya göre entegre etmeye geldi.

Bu örneği bu kadar detaylı anlatmam tesadüf değil; ders materyallerinin tekrarı ve pekiştirilmesi amacıyla yapıldı. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Ve şimdi kendi çözümünüz için iki örnek:

Örnek 12

Belirsiz integrali bulun.

Örnek 13

Belirsiz integrali bulun.

Dersin sonunda çözümleri ve cevapları tamamlayın.

Örnek 14

Belirsiz integrali bulun.

Burada yine integralde sinüs ve kosinüs (türevli bir fonksiyon) vardır, ancak çarpımda bir ikilem ortaya çıkar - sinüs veya kosinüs ile neyi kastediyoruz?

Bilimsel dürtmeyi kullanarak bir değiştirme yapmayı deneyebilirsiniz ve hiçbir şey işe yaramazsa, onu başka bir işlev olarak atayabilirsiniz, ancak şu var:

Genel kural: mecazi anlamda "rahatsız edici bir konumda" olan işlevi belirlemeniz gerekir.

Bu örnekte öğrenci kosinüsünün dereceden "zarar gördüğünü" ve sinüsün kendi başına serbestçe oturduğunu görüyoruz.

Bu nedenle, bir değişiklik yapalım:

Bir değişkeni değiştirme ve diferansiyeli bulma algoritmasında hala zorluk yaşayan biri varsa, o zaman derse dönmelisiniz. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Örnek 15

Belirsiz integrali bulun.

İntegrali analiz edelim, ne ile gösterilmeli?
Kurallarımızı hatırlayalım:
1) Fonksiyon büyük olasılıkla paydadadır;
2) Fonksiyon “uygunsuz bir konumdadır”.

Bu arada, bu kurallar yalnızca trigonometrik fonksiyonlar için geçerli değildir.

Sinüs her iki kritere de (özellikle ikincisine) uymaktadır, dolayısıyla bir değişim kendini göstermektedir. Prensip olarak, değiştirme zaten yapılabilir, ancak önce ne yapacağınızı bulmak güzel olur mu? İlk olarak, bir kosinüsü "sıkıştırıyoruz":

“Gelecekteki” farkımız için ayırıyoruz

Ve bunu temel trigonometrik özdeşliği kullanarak sinüs yoluyla ifade ederiz:

Şimdi değiştirme şu:

Genel kural: Eğer integralde trigonometrik fonksiyonlardan biri (sinüs veya kosinüs) garip derece, o zaman tek dereceden bir işlevi "ısırmanız" ve onun arkasında başka bir işlev belirlemeniz gerekir. Sadece kosinüs ve sinüslerin olduğu integrallerden bahsediyoruz.

Ele alınan örnekte, tek kuvvette bir kosinüsümüz vardı, bu nedenle kuvvetten bir kosinüs aldık ve onu sinüs olarak belirledik.

Örnek 16

Belirsiz integrali bulun.

Dereceler yükseliyor =).
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Evrensel trigonometrik ikame

Evrensel trigonometrik ikame, değişken değiştirme yönteminin yaygın bir örneğidir. “Ne yapacağınızı bilemediğinizde” bunu kullanmayı deneyebilirsiniz. Ama aslında uygulanması için bazı kurallar var. Evrensel trigonometrik ikamenin uygulanması gereken tipik integraller aşağıdaki integrallerdir: , , , vesaire.

Örnek 17

Belirsiz integrali bulun.

Bu durumda evrensel trigonometrik ikame şu şekilde uygulanır. Bir değişiklik yapalım: . Harf kullanmıyorum ama harf, bu bir tür kural değil, sadece yine söylüyorum, işleri bu şekilde çözmeye alışkınım.

Burada eşitlikten bunun diferansiyelini bulmanın daha uygun olduğunu ifade ediyorum:
Her iki parçaya da bir arktanjant ekliyorum:

Arktanjant ve teğet birbirini iptal eder: