Uzaydaki çizgilerin paralelliği. (2019)

Bu dersimizde uzayda paralel çizgiler konusuna ilişkin temel tanım ve teoremleri vereceğiz.
Dersin başında uzaydaki paralel çizgilerin tanımını ele alacağız ve uzaydaki herhangi bir noktadan belirli bir çizgiye paralel yalnızca bir çizgi çizmenin mümkün olduğu teoremini kanıtlayacağız. Daha sonra bir düzlemle kesişen iki paralel doğru hakkındaki lemmayı kanıtlayacağız. Ve onun yardımıyla üçüncü bir doğruya paralel iki doğru hakkındaki teoremi kanıtlayacağız.

Konu: Doğru ve düzlemlerin paralelliği

Ders: Uzayda paralel çizgiler. Üç doğrunun paralelliği

Planimetride paralel doğruları daha önce incelemiştik. Şimdi uzayda paralel doğruları tanımlamamız ve bunlara karşılık gelen teoremleri kanıtlamamız gerekiyor.

Tanım: Uzaydaki iki doğru, aynı düzlemde yer alıyorsa ve kesişmiyorsa paralel olarak adlandırılır (Şekil 1.).

Paralel çizgilerin belirlenmesi: a || B.

1. Hangi çizgilere paralel denir?

2. Verilen iki paralel doğruyu kesen tüm doğruların aynı düzlemde olduğunu kanıtlayın.

3. Bir doğru doğrularla kesişir AB Ve M.Ö. doğru açıda. Çizgiler paralel mi? AB Ve M.Ö.?

4. Geometri. 10-11. Sınıflar: öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları(temel ve profil seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, düzeltilmiş ve genişletilmiş - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : hasta.

Bu yazıda üç boyutlu uzayda düz çizgi kavramını anlayacağız, seçenekleri değerlendireceğiz göreceli konum düz çizgiler ve uzayda düz bir çizgi tanımlamanın ana yöntemleri üzerinde duralım. Daha iyi anlaşılması için grafik resimler sunuyoruz.

Sayfada gezinme.

Uzayda düz bir çizgi bir kavramdır.

Uzayda paralel doğruların tanımını verdikten sonra, önemi nedeniyle bir doğrunun yön vektörlerinden bahsetmemiz gerekir. Bu doğru üzerinde veya buna paralel bir doğru üzerinde bulunan sıfırdan farklı herhangi bir vektöre, doğrunun yön vektörü adı verilecektir. Düz bir çizginin yön vektörü, uzayda düz bir çizgiyle ilgili problemleri çözerken sıklıkla kullanılır.

Son olarak üç boyutlu uzayda iki doğru kesişebilir. Uzaydaki iki doğru aynı düzlemde yer almıyorsa çarpık çizgi olarak adlandırılır. İki çizginin uzaydaki bu göreceli konumu bizi kesişen çizgiler arasındaki açı kavramına götürür.

Uzayda düz bir çizgi tanımlama yöntemleri.

Uzayda düz bir çizgiyi benzersiz şekilde belirlemenin birkaç yolu vardır. Ana olanları listeleyelim.

Aksiyomdan, bir doğrunun iki noktadan ve yalnızca bir noktadan geçtiğini biliyoruz. Böylece uzayda iki noktayı işaretlersek, bu noktalardan geçen düz çizgiyi kesin olarak belirlememize olanak tanıyacaktır.

Üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemi tanıtılırsa ve iki noktasının koordinatları belirtilerek bir düz çizgi belirtilirse, o zaman verilen iki noktadan geçen bir düz çizgi için bir denklem oluşturma fırsatımız olur.

Uzayda bir çizgiyi tanımlamanın ikinci yöntemi şu teoreme dayanmaktadır: uzayda belirli bir çizgi üzerinde bulunmayan herhangi bir noktadan, verilen çizgiye paralel ve yalnızca bir doğru geçer.

Dolayısıyla, bir doğruyu (veya bu doğrunun bir parçasını) ve onun üzerinde yer almayan bir noktayı belirtirsek, verilen noktaya paralel ve verilen noktadan geçen bir doğruyu benzersiz bir şekilde tanımlamış olacağız.

Çizginin geçtiği noktayı ve yön vektörünü belirleyebilirsiniz. Bu aynı zamanda düz çizgiyi açıkça belirlemenize de olanak tanır.

Sabit bir dikdörtgen koordinat sistemine göre bir düz çizgi bu şekilde belirtilirse, uzaydaki bir düz çizginin kanonik denklemlerini ve uzaydaki bir düz çizginin parametrik denklemlerini hemen yazabiliriz.

Uzayda bir çizgiyi tanımlamanın aşağıdaki yöntemi stereometri aksiyomuna dayanmaktadır: eğer iki düzlemin ortak bir noktası varsa, o zaman bu düzlemlerin tüm ortak noktalarının üzerinde bulunduğu ortak bir düz çizgiye sahip olurlar.

Böylece kesişen iki düzlemi tanımlayarak uzayda benzersiz bir düz çizgi tanımlamış oluyoruz.

Uzayda bir doğruyu tanımlamanın başka bir yolu da teoremi takip eder (bunun kanıtını bu makalenin sonunda listelenen kitaplarda bulabilirsiniz): Eğer bir düzlem ve onun içinde yer almayan bir nokta verilirse, o zaman geçen tek bir doğru vardır. bu noktadan geçerek bu noktaya dik Verilen uçak.

Böylece düz bir çizgi belirlemek için istenilen düz çizginin dik olduğu düzlemi ve bu düz çizginin geçtiği noktayı belirtebilirsiniz.

Tanıtılan dikdörtgen koordinat sistemine göre bir çizgi bu şekilde belirtilirse, o zaman belirli bir düzleme dik olarak belirli bir noktadan geçen bir çizginin denklemine göre makalenin malzemesini bilmek faydalı olacaktır.

Kaynakça.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. 7 – 9. Sınıflar: Genel eğitim kurumları için ders kitabı.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Ortaokul 10-11. sınıflar için ders kitabı.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Yüksek Matematik. Birinci Cilt: Öğeler lineer Cebir ve analitik geometri.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik Geometri.

Telif hakkı akıllı öğrencilere aittir

Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. Sitenin hiçbir kısmı, iç materyaller ve görünüm de dahil olmak üzere, telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz veya kullanılamaz.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Tarafımızca toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Uzayda iki çizgi farklı şekillerde yerleştirilebilir. Her şeyden önce iki düz çizginin ortak bir noktası olabilir. O zaman belli ki aynı düzlemde yatıyorlar. Aslında, böyle bir düzlemi inşa etmek için onu üç noktadan çizmek yeterlidir: belirtilen çizgilerin kesişimindeki A noktası (Şekil 323) ve sırasıyla çizgiler üzerinde alınan C ve B noktaları. Doğruların her biriyle iki ortak noktaya sahip olan düzlem, her iki doğruyu da içerecektir.

Şimdi bu doğruların ortak noktaları olmasın. Bu onların paralel olduğu anlamına gelmez, çünkü paralellik tanımı doğruların aynı düzleme ait olmasını şart koşmaktadır. Düz çizgilerimizin konumu sorununu çözmek için, örneğin bunlardan birinin içinden geçen bir K düzlemi ve başka bir düz çizginin üzerine keyfi olarak alınmış bir A noktası çizelim.İki durum mümkündür:

1) Oluşturulan düzlem ikinci düz çizginin tamamını içerir (Şekil 324). Bu durumda düz çizgiler aynı düzleme aittir ve kesişmezler, dolayısıyla paraleldirler.

2) X düzlemi doğruyu A noktasında kesiyor. Bu durumda her iki doğru da aynı düzlemde yer almıyor. Bu tür çizgilere geçiş çizgileri denir (Şekil 325).

Dolayısıyla, iki çizginin göreceli konumunun üç ana olası durumu vardır.

1. Doğrular aynı düzlemdedir ve kesişir.

2. Doğrular aynı düzlemde ve paraleldir.

3. Düz çizgiler kesişir, yani aynı düzlemde yer almazlar.

Örnek. Bir küpün 12 kenarından çift doğrular oluşturulabilir. Bunlardan 24'ü kesişen, 24'ü kesişen ve 18'i paralel doğru çiftidir. Okuyucu bunun doğruluğunu modelden veya çizimden doğrulayacaktır.

Uzayda paralel çizgiler varsayımının geçerli kaldığını unutmayın:

Bir doğrunun dışındaki bir noktadan ona paralel olan tek bir doğru vardır.

Gerçekte, bir düz çizgi ve onun dışında verilen bir nokta, istenen düz çizginin, verilen çizgiye paralel olması gereken düzlemi belirler; onun benzersizliği, paralellikler önermesinden kaynaklanır.

Paralel çizgilerin özellikleriyle ilgili iyi bilinen iki planimetri önerisinin, uzay durumu için özel bir gerekçe gerektireceğini unutmayın (bkz. paragraf 232).

İki çizgi üçüncüye paralelse, o zaman birbirlerine paraleldirler; sırasıyla paralel ve aynı yönlü kenarlara sahip iki açı eşittir.

Bu önerilerden ikincisi ile ilgili olarak, kesişen çizgiler arasındaki açının tanımının buna dayandığını not ediyoruz: iki kesişen çizgi arasındaki açı, onlara paralel olan ve keyfi bir M noktasından çizilen iki çizgi arasındaki açıdır. Açıkçası, böyle bir tanım, açının M noktasının seçiminden bağımsız olduğu varsayımına dayanmaktadır (bkz. paragraf 232).

Belirli bir noktadan bir çizgiye bırakılan dikey, belirli bir noktadan belirli bir çizgiye dik açılarla çizilen ve onu kesen düz bir çizgi olarak anlaşılmaktadır. Bir doğru üzerinde yer almayan bir noktadan ona tek bir dik çizilebilir.

Aslında gerekli dikme, verilen çizgi ve noktanın belirlediği düzlemde yer almalıdır ve bu nedenle planimetri hükümleri buna da uygulanır. Bununla birlikte, bir çizgi üzerinde bulunan bir noktadan ona sonsuz sayıda dikme çizilebilir: bu çizgi boyunca her düzlemde bir tane çizilir.