Sayı çemberinde pi olan sayılar nasıl gösterilir? Ders "Birim çemberde sinüs ve kosinüsün tanımı" Özet ve temel formüller.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Koordinat düzleminde sayı çemberi"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Parametrelerle cebirsel problemler, 9-11. Sınıflar
Geometri problemlerini çözüyoruz. 7-10. Sınıflar için etkileşimli inşaat görevleri

Neyi inceleyeceğiz:
1. Tanım.
2. Sayı çemberinin önemli koordinatları.
3. Sayı çemberinin koordinatı nasıl bulunur?
4. Sayı çemberinin ana koordinatlarının tablosu.
5. Problem çözme örnekleri.

Koordinat düzlemindeki sayı çemberinin tanımı

Sayı çemberini koordinat düzlemine, çemberin merkezi koordinatların orijinine denk gelecek şekilde yerleştirelim ve yarıçapını birim doğru parçası olarak alalım. A sayı çemberinin başlangıç ​​noktası (1;0) noktasıyla birleştirilir.

Sayı çemberindeki her noktanın koordinat düzleminde kendi x ve y koordinatları vardır ve:
1) $x > 0$ için, $y > 0$ - ilk çeyrekte;
2) $x 0$ için - ikinci çeyrekte;
3) $x için 4) $x > 0$ için, $y
Sayı çemberi üzerindeki herhangi bir $M(x; y)$ noktası için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır: $-1
Sayı çemberinin denklemini hatırlayın: $x^2 + y^2 = 1$.

Şekilde gösterilen sayı çemberi üzerindeki noktaların koordinatlarını nasıl bulacağımızı öğrenmek bizim için önemlidir.

$\frac(π)(4)$ noktasının koordinatını bulalım

$M(\frac(π)(4))$ noktası ilk çeyreğin ortasıdır. MR dik açısını M noktasından OA düz çizgisine bırakalım ve OMP üçgenini ele alalım. AM yayı AB yayının yarısı olduğundan, $∠MOP=45°$ olur.
Yani OMP üçgeni ikizkenardır dik üçgen ve $OP=MP$, yani. M noktasında apsis ve ordinat eşittir: $x = y$.
$M(x;y)$ noktasının koordinatları sayı çemberinin denklemini sağladığından, onları bulmak için denklem sistemini çözmeniz gerekir:
$\begin (durum) x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \end (durumlar)$
Bu sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Bu, $\frac(π)(4)$ sayısına karşılık gelen M noktasının koordinatlarının $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( olacağı anlamına gelir. 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Önceki şekilde gösterilen noktaların koordinatları da benzer şekilde hesaplanır.

Sayı çemberindeki noktaların koordinatları

Örneklere bakalım

Örnek 1.
Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(45\frac(π)(4))$.

Çözüm:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Bu, $45\frac(π)(4)$ sayısının, sayı çemberi üzerinde $\frac(5π)(4)$ sayısıyla aynı noktaya karşılık geldiği anlamına gelir. Tablodaki $\frac(5π)(4)$ noktasının değerine baktığımızda şunu elde ederiz: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Örnek 2.
Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(-\frac(37π)(3))$.

Çözüm:

Çünkü k bir tamsayı olmak üzere $t$ ve $t+2π*k$ sayıları sayı çemberi üzerinde aynı noktaya karşılık gelir:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Bu, $-\frac(37π)(3)$ sayısının, sayı çemberi üzerinde $–\frac(π)(3)$ sayısı ve –$\frac(π) sayısıyla aynı noktaya karşılık geldiği anlamına gelir. (3)$, $\frac(5π)(3)$ ile aynı noktaya karşılık gelir. Tablodaki $\frac(5π)(3)$ noktasının değerine baktığımızda şunu elde ederiz:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Örnek 3.
Sayı çemberinde ordinatı $y =\frac(1)(2)$ olan noktaları bulun ve bunların hangi $t$ sayılarına karşılık geldiğini yazın?

Çözüm:
$y =\frac(1)(2)$ düz çizgisi sayı çemberini M ve P noktalarında keser. M noktası $\frac(π)(6)$ sayısına karşılık gelir (tablo verilerinden). Bu, şu formdaki herhangi bir sayı anlamına gelir: $\frac(π)(6)+2π*k$. P noktası $\frac(5π)(6)$ sayısına ve dolayısıyla $\frac(5π)(6) +2 π*k$ formundaki herhangi bir sayıya karşılık gelir.
Bu gibi durumlarda sıklıkla söylendiği gibi iki değer dizisi aldık:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ ve $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Cevap: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ ve $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Örnek 4.
Sayı çemberi üzerinde abscissa $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ ile noktaları bulun ve bunların hangi sayılara karşılık geldiğini $t$ yazın.

Çözüm:

$x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ düz çizgisi sayı çemberini M ve P noktalarında keser. $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ eşitsizliği şuna karşılık gelir: PM yayının noktalarına. M noktası $3\frac(π)(4)$ sayısına karşılık gelir (tablo verilerinden). Bu, $-\frac(3π)(4) +2π*k$ biçimindeki herhangi bir sayı anlamına gelir. P noktası $-\frac(3π)(4)$ sayısına ve dolayısıyla $-\frac(3π)(4) +2π*k$ biçimindeki herhangi bir sayıya karşılık gelir.

Sonra $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$ elde ederiz.

Cevap: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

1) Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Sayı çemberi üzerinde ordinatı $y = -\frac(1)(2)$ olan noktaları bulun ve bunların hangi $t$ sayılarına karşılık geldiğini yazın.
4) Sayı çemberi üzerinde ordinatları $y ≥ -\frac(1)(2)$ olan noktaları bulun ve bunların hangi $t$ sayılarına karşılık geldiğini yazın.
5) Sayı çemberi üzerinde abscissa $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ ile noktaları bulun ve hangi sayılara $t$ karşılık geldiğini yazın.

Okulda trigonometri çalışırken her öğrenci çok ilginç bir kavram olan "sayı çemberi" ile karşı karşıya kalır. Beceriden okul öğretmeni Ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu açıklamak öğrencinin daha sonra trigonometriyi ne kadar iyi yapacağına bağlıdır. Ne yazık ki her öğretmen bu materyali net bir şekilde açıklayamıyor. Sonuç olarak, birçok öğrencinin nasıl işaretleneceği konusunda bile kafası karışıyor sayı çemberindeki noktalar. Bu makaleyi sonuna kadar okursanız, bunu sorunsuz bir şekilde nasıl yapacağınızı öğreneceksiniz.

Öyleyse başlayalım. Yarıçapı 1 olan bir daire çizelim. Bu dairenin “en sağdaki” noktasını harfle gösterelim. O:

Tebrikler, az önce bir birim çember çizdiniz. Bu dairenin yarıçapı 1 olduğundan uzunluğu 0 olur.

Herkese gerçek sayı noktadan itibaren sayı çemberi boyunca yörüngenin uzunluğunu eşleştirebilirsiniz. O. Pozitif yön, saat yönünün tersine hareket yönü olarak alınır. Negatif için – saat yönünde:

Sayı çemberindeki noktaların konumu

Daha önce de belirttiğimiz gibi sayı çemberinin (birim çember) uzunluğu eşittir. O halde sayı bu dairenin neresinde yer alacak? Açıkçası, noktadan O saat yönünün tersine dairenin uzunluğunun yarısı kadar gitmemiz gerekiyor ve kendimizi istenilen noktada bulacağız. Bunu harfle belirtelim B:

Aynı noktaya negatif yönde yarım daire çizerek ulaşılabileceğini unutmayın. Daha sonra sayıyı birim çemberin üzerine çizerdik. Yani sayılar aynı noktaya karşılık gelmektedir.

Üstelik bu aynı nokta aynı zamanda , , , sayılarına ve genel olarak şeklinde yazılabilen sonsuz bir sayı kümesine de karşılık gelir; burada tamsayılar kümesine aittir. Bütün bunların nedeni şu noktadan itibaren B herhangi bir yönde (çevreyi toplayıp veya çıkararak) "dünyanın etrafında" bir gezi yapabilir ve aynı noktaya ulaşabilirsiniz. Anlaşılması ve hatırlanması gereken önemli bir sonuca varıyoruz.

Her sayı, sayı çemberi üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir. Ancak sayı çemberindeki her nokta sonsuz sayıda sayıya karşılık gelir.

Şimdi sayı çemberinin üst yarım dairesini bir nokta ile eşit uzunlukta yaylara bölelim. C. Yay uzunluğunu görmek kolaydır OC eşittir. Artık asıl konuyu erteleyelim C saat yönünün tersine aynı uzunlukta bir yay. Sonuç olarak asıl noktaya geleceğiz. B. Sonuç oldukça bekleniyor, çünkü . Bu yayı tekrar aynı yöne koyalım, ama şimdi noktadan itibaren B. Sonuç olarak asıl noktaya geleceğiz. D, bu zaten sayıya karşılık gelecektir:

Bu noktanın yalnızca sayıya değil aynı zamanda örneğin sayıya da karşılık geldiğini tekrar unutmayın, çünkü bu noktaya noktadan uzaklaşarak ulaşılabilir. O saat yönünde çeyrek daire (negatif yön).

Ve genel olarak bu noktanın şu şekilde yazılabilecek sonsuz sayıda sayıya karşılık geldiğini bir kez daha not ediyoruz: . Ancak formda da yazılabilirler. Veya dilerseniz şeklinde. Bu kayıtların tamamı birbirinin aynısıdır ve birbirlerinden elde edilebilirler.

Şimdi yayı ikiye bölelim OC yarım nokta M. Şimdi yayın uzunluğunun ne olduğunu bulun OM? Bu doğru, yayın yarısı OC. Yani. Nokta hangi sayılara karşılık geliyor? M sayı çemberinde mi? Eminim artık bu sayıların şeklinde yazılabileceğini fark edeceksiniz.

Ancak farklı şekilde yapılabilir. Hadi alalım. O zaman bunu anlıyoruz . Yani bu sayılar şu şekilde yazılabilir: . Aynı sonuç sayı çemberi kullanılarak da elde edilebilir. Daha önce de söylediğim gibi her iki kayıt da eşdeğerdir ve birbirlerinden elde edilebilirler.

Artık noktaların karşılık geldiği sayılara kolayca örnek verebilirsiniz N, P Ve k sayı çemberinde. Örneğin sayılar , ve :

Çoğu zaman sayı çemberinde karşılık gelen noktaları belirlemek için minimum pozitif sayılar alınır. Her ne kadar bu hiç de gerekli olmasa da, nokta N Zaten bildiğiniz gibi sonsuz sayıda başka sayıya karşılık gelir. Örneğin sayı dahil.

Eğer arkı kırarsan OC noktalarla üç eşit yay halinde S Ve L, yani mesele bu S noktalar arasında uzanacak O Ve L, daha sonra yay uzunluğu İşletim Sistemi eşit olacak ve yay uzunluğu OL eşit olacaktır. Dersin önceki bölümünde edindiğiniz bilgileri kullanarak sayı çemberinde kalan noktaların nasıl ortaya çıktığını kolayca anlayabilirsiniz:

Sayı çemberinde π'nin katı olmayan sayılar

Şimdi kendimize şu soruyu soralım: 1 sayısına karşılık gelen noktayı sayı doğrusunda nereye işaretlemeliyiz? Bunu yapmak için birim çemberin en “doğru” noktasından başlamanız gerekir. O uzunluğu 1'e eşit olacak bir yay çizin. İstenilen noktanın konumunu ancak yaklaşık olarak belirtebiliriz. Aşağıdaki gibi ilerleyelim.

Umarım sayı çemberi hakkında daha önce bilgi sahibi olmuşsunuzdur ve buna neden sayı çemberi denildiğini, koordinatların kökeninin nerede olduğunu ve hangi tarafın pozitif yön olduğunu biliyorsunuzdur. Değilse koşun! Tabii sayı çemberinde noktalar bulmadığınız sürece.

\(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) sayılarını gösteriyoruz (2 )\)

Önceki yazıdan bildiğiniz gibi sayı çemberinin yarıçapı \(1\)'dir. Bu, çevrenin \(2π\)'ye eşit olduğu anlamına gelir (\(l=2πR\ formülü kullanılarak hesaplanır). Bunu dikkate alarak sayı çemberinin üzerine \(2π\) işaretliyoruz. Bu sayıyı işaretlemek için sayı çemberi boyunca \(0\) noktasından pozitif yönde \(2π\)'ye eşit bir mesafeye gitmemiz gerekir ve çemberin uzunluğu \(2π\) olduğu için döner. yapacağımız şey tam dönüş. Yani \(2π\) ve \(0\) sayısı aynı noktaya karşılık gelir. Endişelenmeyin, bir sayı çemberi için bir noktanın birden fazla değer alması normaldir.

Şimdi sayı çemberinde \(π\) sayısını gösterelim. \(π\), \(2π\)'nin yarısıdır. Dolayısıyla bu sayıyı ve karşılık gelen noktayı işaretlemek için \(0\) noktasından pozitif yönde yarım daire gitmeniz gerekir.

\(\frac(π)(2)\) noktasını işaretleyelim. \(\frac(π)(2)\) \(π\'nin yarısıdır), bu nedenle bu sayıyı işaretlemek için \(0\)'dan pozitif yönde \('nin yarısına eşit bir mesafe gitmeniz gerekir. π\), yani çeyrek daire.

\(-\)\(\frac(π)(2)\) çemberi üzerindeki noktaları gösterelim. Geçen seferkiyle aynı mesafeyi kat ediyoruz ama olumsuz yönde.

\(-π\) koyalım. Bunu yapmak için negatif yönde yarım daireye eşit bir mesafe yürüyeceğiz.

Şimdi daha karmaşık bir örneğe bakalım. Çemberin üzerinde \(\frac(3π)(2)\) sayısını işaretleyelim. Bunu yapmak için, \(\frac(3)(2)\) kesrini \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\'e çeviririz. ), yani e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Bu, \(0\) noktasından pozitif yönde yarım daire ve bir çeyrek daha gitmeniz gerektiği anlamına gelir.

Görev 1. Sayı çemberi üzerinde \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) noktalarını işaretleyin.

\(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) sayılarını gösteriyoruz

Yukarıda sayı çemberinin \(x\) ve \(y\) eksenleriyle kesiştiği noktalardaki değerleri bulduk. Şimdi ara noktaların konumunu belirleyelim. Öncelikle \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) ve \(\frac(π)(6)\) noktalarını çizelim.
\(\frac(π)(4)\) \(\frac(π)(2)\)'nin yarısıdır (yani, \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , yani \(\frac(π)(4)\) mesafesi yarım çeyrek dairedir.

\(\frac(π)(4)\) \(π\)'nin üçte biridir (başka bir deyişle,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), dolayısıyla mesafe \ (\frac(π)(3)\) yarım dairenin üçte biridir.

\(\frac(π)(6)\) \(\frac(π)(3)\)'ın yarısıdır (sonuçta, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) yani \(\frac(π)(6)\) mesafesi \(\frac(π)(3)\) mesafesinin yarısıdır.

Birbirlerine göre bu şekilde konumlandırılırlar:

Yorum: Değeri \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) olan noktaların konumu ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) hatırlamak daha iyidir. Onlar olmadan sayı çemberi, monitörü olmayan bir bilgisayar gibi yararlı bir şey gibi görünüyor, ancak kullanımı son derece sakıncalı.

Çember üzerindeki farklı mesafeler açıkça gösterilmiştir:

\(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\) sayılarını gösteriyoruz

Çember üzerindeki noktayı \(\frac(7π)(6)\) gösterelim, bunu yapmak için aşağıdaki dönüşümleri yaparız: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . Bundan, sıfırdan pozitif yönde bir mesafe \(π\) ve ardından başka bir \(\frac(π)(6)\) mesafesi kat etmemiz gerektiğini görebiliriz.

Çember üzerinde \(-\)\(\frac(4π)(3)\) noktasını işaretleyelim. Dönüşüm: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Bu, \(0\)'dan negatif yönde \(π\) mesafesine ve ayrıca \(\frac(π)(3)\) mesafesine gitmemiz gerektiği anlamına gelir.

\(\frac(7π)(4)\) noktasını çizelim, bunu yapmak için \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) dönüşümü yaparız )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π )(4) \) . Bu, \(\frac(7π)(4)\ değerine sahip bir noktayı yerleştirmek için, \(2π\) değerine sahip noktadan \(\ uzaklıktaki negatif tarafa gitmeniz gerektiği anlamına gelir. frac(π)(4)\) .

Görev 2. \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) noktalarını işaretleyin. sayı çemberi (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

\(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) sayılarını gösteriyoruz )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

\(10π\)'yi \(5 \cdot 2π\) biçiminde yazalım. \(2π\)'nin mesafe olduğunu hatırlayın uzunluğa eşit\(10π\) noktasını işaretlemek için sıfırdan \(5\) daireye eşit bir mesafeye gitmeniz gerekir. Kendimizi tekrar \(0\) noktasında bulacağımızı tahmin etmek zor değil, sadece beş tur atalım.

Bu örnekten şu sonuca varabiliriz:

\(2πn\) farkı olan sayılar, burada \(n∈Z\) (yani, \(n\) herhangi bir tamsayıdır) aynı noktaya karşılık gelir.

Yani, \(2π\)'den büyük (veya \(-2π\)'den küçük) bir sayı koymak için, ondan bir çift sayı \(π\) (\(2π\) çıkarmanız gerekir, \(8π\), \(-10π\)…) ve atın. Böylece noktanın konumunu etkilemeyen sayılardan “boş devirleri” çıkarmış olacağız.

Başka bir sonuç:

\(0\)'ın karşılık geldiği nokta aynı zamanda tüm çift niceliklere \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…) karşılık gelir.

Şimdi çembere \(-3π\) uygulayalım. \(-3π=-π-2π\), yani \(-3π\) ve \(–π\) çember üzerinde aynı yerdedir (çünkü \(-2π'de "boş bir dönüş" ile farklılık gösterirler) \)).

Bu arada, tüm tek \(π\) de orada olacak.

\(π\)'nin karşılık geldiği nokta aynı zamanda tüm tek miktarlara \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…) da karşılık gelir.

Şimdi \(\frac(7π)(2)\) sayısını gösterelim. Her zamanki gibi şunu dönüştürüyoruz: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . İki pi'yi atıyoruz ve \(\frac(7π)(2)\) sayısını belirtmek için sıfırdan pozitif yönde \(π+\)\(\'ye eşit bir mesafeye gitmeniz gerektiği ortaya çıkıyor. frac(π)(2)\ ) (yani yarım daire ve başka bir çeyrek).

Lise öğrencileri derslerinde ne zaman sorun yaşayabileceklerini asla bilemezler. Rusça'dan can güvenliğine kadar okulda öğrenilen her konu zorluk yaratabilir. Bir tanesi akademik disiplinler Okul çocuklarını düzenli olarak terleten konu cebirdir. Cebir bilimi yedinci sınıftan itibaren çocukların zihinlerini terörize etmeye başlar ve bu işi onuncu ve onbirinci öğrenim yıllarında da sürdürür. Gençler, her zaman çözümleyicileri içeren çeşitli araçları kullanarak hayatlarını kolaylaştırabilirler.

Cebirde 10-11. Sınıflar için GDZ koleksiyonu (Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva) ana kitaba mükemmel bir eklentidir. aracılığıyla referans bilgileriöğrenci her türlü egzersizi çözmeye hazırdır. Ödevler aşağıdaki konuların analizini içerir:

• trigonometrik fonksiyonlar ve denklemler;
• logaritmalar;
• derece.

Verilen cevaplar ve yorumlarda çocuğa kesinlikle yardımcı olacak gerekli yazar notları bulunmaktadır.

Neden bir çözücüye ihtiyacınız var?

Yayın, tüm okul çocuklarına materyal üzerinde bağımsız olarak çalışma ve yanlış anlaşılma veya bir konunun eksik olması durumunda kaliteden ödün vermeden konuyu kendileri inceleme fırsatı verir. Ayrıca referans verileri gelecekteki bağımsız ve testler. En meraklı öğrenciler takip edebilir müfredat gelecekte bilginin özümsenmesi ve ortalama puanın artması üzerinde olumlu bir etkisi olacaktır.

Onuncu ve onbirinci sınıfların yanı sıra Alimov'un 10-11. Sınıflar için cebir kılavuzu Ebeveynler ve öğretmenler bunu kolaylıkla kullanabilir: birincisi için çocuğun bilgisini izlemek için bir araç haline gelecek, ikincisi için ise kendi materyallerini geliştirmenin temeli olacak ve test görevleri sınıf aktiviteleri için.

Koleksiyon nasıl organize ediliyor?

Kaynak, ders kitabının yapısını tamamen takip etmektedir. İçeride kullanıcı, 1624 alıştırmanın cevaplarını ve on üç bölüme ayrılmış "Kendini Test Et" bölümünün görevlerini görme olanağına sahiptir. Anahtarlar günün 24 saati mevcuttur; numara, arama alanından veya uygun gezinme yoluyla bulunabilir.

5. HERHANGİ BİR ARGÜMANIN TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI

§ 20. BİRİM DAİRE

948. Birim çemberin yay uzunluğu ile radyan ölçüsü arasındaki ilişki nedir?

949. Birim çember üzerinde şu sayılara karşılık gelen noktalar oluşturun: 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... Bu noktalardan herhangi biri örtüşebilir mi? Neden?

950. Sayılar α = 1/2 formülüyle verilir k, Nerede k= 0; ±1; ±2; ....
Sayı doğrusu üzerinde ve birim çember üzerinde bu sayılara karşılık gelen noktalar oluşturun. Sayı doğrusunda kaç tane ve birim çemberde kaç tane böyle nokta olacak?

951. Birim çember üzerinde ve sayı ekseninde sayılara karşılık gelen noktaları işaretleyin:
1) α = π k, k= 0; ±1, ±2, ...;
2) α = π / 2 (2k + 1), k= 0; ± 1; ±2; ...;
3) α = π k / 6 , k= 0; ±1; ±2; ... .
Sayı doğrusu üzerinde kaç tane ve birim çember üzerinde kaç tane böyle nokta var?

952. Sayı ekseninde ve birim çemberde sayılara karşılık gelen noktalar nasıl yerleştirilmiştir:
1) A Ve - A; 2) A Ve A±π; 3) A+ π ve A- π; 4) A Ve A+ 2π k, k= 0; ±1; ±2; ...?

953. Sayıların sayı eksenindeki noktalarla gösterilmesi ile birim çemberin noktalarıyla gösterilmesi arasındaki temel fark nedir?

954. 1) Birim çemberin kesişme noktalarına karşılık gelen negatif olmayan en küçük sayıları bulun: a) koordinat eksenleriyle; b) koordinat açılarının bisektörleri ile.

2) Her durumda yazın genel formül birim çemberin belirtilen noktalarına karşılık gelen sayılar.

955. Bunu bilmek A birim çember üzerinde belirli bir noktaya karşılık gelen sayılardan biridir, bulun:
1) belirli bir noktaya karşılık gelen tüm sayılar;
2) birim çember üzerinde verilene simetrik bir noktaya karşılık gelen tüm sayılar:
a) x eksenine göre; b) ordinat eksenine göre; c) kökene göre.
Sorunu kabul ederek çözün A = 0; π / 2; 1; 2; π / 6; - π / 4 .

956. Sayıların karşıladığı koşulu bulun A, karşılık gelen:
1) birim çemberin 1. çeyreğinin puanları;
2) birim çemberin 2. çeyreğinin noktaları;
3) birim çemberin 3. çeyreğinin noktaları;
4) Birim çemberin 4. çeyreğinin noktaları.

957. Birim çember içine yazılan normal sekizgen ABCDEFKL'nin A köşesinin koordinatları (1; 0)'dır (Şekil 39).

1) Sekizgenin geri kalan köşelerinin koordinatlarını belirleyin.
2) Birim çemberin son yayları için genel bir formül oluşturun:
a) A, C, E ve K noktalarında; b) B, D, F ve L noktalarında; c) A, B, C, D, E, F, K ve L noktalarında.

958. 1) Birim çember üzerinde ordinatı 0,5 olan bir nokta oluşturun. Birim çember üzerinde belirli bir koordinata sahip kaç nokta vardır? Bu noktalar ordinat eksenine göre nasıl konumlandırılır?

2) Ucu koordinatı 0,5'e eşit olan mutlak değerdeki en küçük yayı bir iletki (1° doğrulukla) ile ölçün ve birim dairenin ordinatlı noktalarda biten yayları için genel bir formül çizin 0,5.

959. Ordinatı alarak 958. problemi çözün enşuna eşit:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) Birim çember üzerinde apsisi 0,5 olan bir nokta oluşturun. Birim çember üzerinde kaç noktada belirli bir apsis var? Bu noktalar x eksenine göre nasıl konumlandırılır?

2) Ucu 0,5'e eşit bir apsise sahip olan en küçük pozitif yayı bir iletki (1° doğrulukla) ile ölçün ve apsisi 0,5 olan noktalarda biten birim daire yayları için genel bir formül çizin.

961. Apsisleri alarak 960. problemi çözün Xşuna eşit:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. Birim çember yaylarının uçlarının koordinatlarını belirleyin, formül tarafından verilen (k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α = 30°(2 k+ 1); 2) α = π k / 3 .

963. Aşağıdaki açı dizisini ifade edin ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α 1 = 180° k+ 120° ve α 2 = 180° k+ 30°;

2) α 1 = π k + π / 6 ve α 2 = π k - π / 3 ;

3) a 1 = 90° k ve α2 = 45° (2 k + 1);

4) α 1 = π k ve α 2 = π / 3 (3k± 1);

5) a 1 = 120° k± 15° ve α 2 = 120° k± 45°;

6) α 1 = π k; α2 = 2π k ± π / 3 ve a 3 = 2l k± 2π / 3 ;

7) a 1 = 180° k+ 140°; a2 = 180° k+ 80° ve α 3 = 180° k+ 20°;

8) a 1 = 180° k + (-1)k 60° ve α 2 = 180° k - (-1)k 60°.

964. Aşağıdaki formüllerde yinelenen açıları ortadan kaldırın ( k= 0-±1; ±2; ...):

1) a 1 = 90° k ve a2 = 60° k+ 30°;

2) α 1 = π k / 2 ve α 2 = π k / 5 ;

3) α 1 = 1/4 π k ve α 2 = 1/2 π k± 1/4π;

4) α 1 = π (2 k+ 1) - π / 6 ve α 2 = 2/5 π k+ 1/30π;

5) a 1 = 72° k+ 36° ve α 2 = 120° k+ 60°.