Bazı temel fonksiyonların türevlerinin sunumu. Bazı temel fonksiyonların türevleri

Türev alma kuralları TEOREM 1. Bir toplamın, çarpımın ve bölümün türevlenmesi. Eğer f ve g fonksiyonları bir x noktasında türevlenebilirse, o zaman f + g, f g, f /g bu noktada türevlenebilirdir (eğer g(x) 0 ise) ve y = f g olsun. 1) (f(x) + g(x))" = f "(x) + g "(x); 2) (f(x) g(x))" = f "(x)g(x) + f(x)g "(x); Kanıt. Özellik 2'nin bir kanıtını verelim. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g = g (x + x) – g(x) g(x + x)= g(x)+ g. g "(x) f "(x) 0 x 0'da (Sürekli olmayan diferansiyel fonksiyon nedeniyle.)

TEOREM 2. Karmaşık bir fonksiyonun türevlenmesi y = f(u) fonksiyonunun u 0, y 0 = f(u 0) noktasında türevlenebilir olmasına ve u = (x) fonksiyonunun x 0 noktasında türevlenebilir olmasına izin verin, sen 0 = (x 0). O halde y = f ((x)) karmaşık fonksiyonu x 0 ve f " ((x 0)) = f " (u 0)· " (x 0) noktasında türevlenebilirdir veya NOT: Türevi hesaplama kuralı karmaşık bir fonksiyonun bileşimi, herhangi bir sonlu sayıda fonksiyonun bileşimine kadar uzanır. Örneğin: (f ((g(x))" = f "((g(x))) "(g(x)) g"( x). x noktasında ve C = const, o zaman (C f(x))" = C f "(x); (f(x)/C)" = f "(x)/C.

Örnek 1. y = cosx, x R. (cosx) = (sin(/2 – x)) = cos(/2 – x)·(/2 – x) = – sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. Teorem 1 ve 2'yi kullanarak y = ctgx, x + k, k Z trigonometrik fonksiyonların türevlerini buluyoruz.

TEOREM 3. Ters fonksiyonun türevi. Eğer y = f(x) aralıkta sürekli ve kesinlikle monotonsa ve f "(x 0) türevine sahipse, bu durumda ters fonksiyonu x = g(y) y 0 = f(x 0) noktasında türevlenebilirdir, ve g "( y 0) = 1/ f "(x 0) x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y y = f(x) x = g(y) y, y 0 + y (,) olacak şekilde olsun. x = g(y 0 + y) – g(y 0) olduğunu gösterelim. 0'ın var olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. f(x)'in tam olarak = f(x 0 -), = f( x 0 +).[, ] üzerinde bir ters fonksiyon x = g(y) tanımlanır, süreklidir ve kesinlikle artar ve f(x 0) (,). Eğer y 0 ise, o zaman x 0, katı monotonluktan dolayı. Bu nedenle, x = g(y) y 0 noktasında sürekli olduğundan, y'yi yazma hakkına sahibiz.

Örnek 2. Ters trigonometrik fonksiyonların türevlerini bulun

0; (x n)' = n x n-1, n N, xR; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, xR; (e x)' = e x, xR; 4). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(çünkü x) = - sin x, xR; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" Temel fonksiyonların türevleri tablosu 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)' = x -1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, xR; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, xR; (e x)' = e x, xR; 4). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(çünkü x) = - sin x, xR; 7)(tg x) = 1/ cos 2" class="link_thumb"> 8 !} Temel fonksiyonların türevleri tablosu 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)' = x -1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, xR; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, xR; (e x)' = e x, xR; 4). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(çünkü x) = - sin x, xR; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x π/2 + πn, n; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, x πn, n; 9)10) 11)12) 0; (x n)' = n x n-1, n N, xR; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, xR; (e x)' = e x, xR; 4). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(çünkü x) = - sin x, xR; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R ; (e x)´ = e x, x R; 5)(sin x) = cos x, x R; cos 2 x, x π/2 + πn, n 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x , x πn, n ; (x n)' = n x n-1, n N, xR; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, xR; (e x)' = e x, xR; 4). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(çünkü x) = - sin x, xR; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" Temel fonksiyonların türevleri tablosu 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)' = x -1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, xR; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, xR; (e x)' = e x, xR; 4). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(çünkü x) = - sin x, xR; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> title="Temel fonksiyonların türevleri tablosu 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)' = x -1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, xR; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, xR; (e x)' = e x, xR; 4). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(çünkü x) = - sin x, xR; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> !}

N'inci dereceden türev TANIM. f(x)'in U (x 0)'da tanımlı olduğunu ve bu aralığın her noktasında bir f(x) türevine sahip olduğunu varsayalım. Eğer x 0 noktasında f(x)'in bir türevi varsa, o zaman buna f(x) fonksiyonunun bu noktadaki ikinci türevi denir ve herhangi bir n mertebesinden f(n)(x) türevi gösterilir. = 1, 2, ... U (x 0)'da f (n-1) (x) varsa (bu durumda sıfırıncı dereceli türev, fonksiyonun kendisi anlamına gelir), o zaman n = 1, 2, 3 , …. X kümesinin her noktasında n'inci dereceye kadar türevleri olan bir fonksiyona X kümesinde n kez türevlenebilir denir.

f(x) ve g(x) fonksiyonlarının x noktasında n'inci dereceden türevleri olsun. O halde А ve В'nin sabit olduğu Аf(x) + Вg(x) fonksiyonunun da x noktasında bir türevi vardır ve (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) ( x) + Vg (n)(x). Herhangi bir mertebeden türevleri hesaplarken sıklıkla aşağıdaki temel formüller kullanılır. y = x; y (n) = (-1)... (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 ... Özellikle, eğer = m N ise, o zaman y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y = a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, ... Özellikle (e x) (n) = e x. y " = ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, …

Y = ln(x+a); y (n) = (–1) n–1 (n–1)!(x+a) –n. y = (x +a) –1, y = – (x +a) –2, y = 2(x +a) –3, y (4) = – 2 3(x +a) – 4, … y = sin αx; y (n) = α n sin(αx+n· /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2· / 2), y = α 3 cos(αx + 2· /2) = α 3 sin(αx+3· /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n· /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2) · /2), y = – α 3 sin(αx+2· /2) = α 3 cos(αx + 3· /2),...

İki fonksiyonun çarpımının N'inci türevi (Leibniz formülü), burada Bu formüle Leibniz formülü denir. f(x) ve g(x) fonksiyonlarının x noktasında n'inci dereceden türevleri olsun şeklinde yazılabilir. Tümevarım yoluyla (f(x) g(x)) (n) = ? olduğunu kanıtlayabiliriz.
Örnek 5. y = (x 2 +3x+5) sin x, y (13) = ? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = çünkü x (x 2) +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- çünkü x) 2 = = (x 2 +3x -151) çünkü x + 13 (2x+3) sin x. Leibniz formülünü f(x) = sin x, g(x) = (x 2 +3x+5) koyarak uygulayalım. Daha sonra

Slayt 1

Bir fonksiyonun türevi Türevin tanımı Türevin geometrik anlamı Süreklilik ve türevlenebilirlik arasındaki ilişki Temel temel fonksiyonların türevleri Türev alma kuralları Karmaşık bir fonksiyonun türevi Bir örtülü fonksiyonun türevi Logaritmik türev

Slayt 2

Türevin tanımı y = f(x) fonksiyonu bir (a; b) aralığında tanımlansın. X argümanına bir miktar artış verelim: x f(x) x+Δx f(x+ Δx) Fonksiyonun karşılık gelen artışını bulalım: Eğer bir limit varsa buna y = f(x) fonksiyonunun türevi denir. ve sembollerden biriyle gösterilir:

Slayt 3

Türevin tanımı Yani tanım gereği: (a; b) aralığının her noktasında türevi olan bir y = f(x) fonksiyonuna bu aralıkta türevlenebilir denir; Bir fonksiyonun türevini bulma işlemine türev alma denir. y = f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değeri aşağıdaki sembollerden biriyle gösterilir: Eğer y = f(x) fonksiyonu herhangi bir fiziksel süreci tanımlıyorsa, o zaman f '(x) hızıdır. bu süreç türevin fiziksel anlamıdır.

Slayt 4

Türevin geometrik anlamı Sürekli bir L eğrisi üzerinde M ve M1 olmak üzere iki nokta alalım: x f(x) x+Δx M M1 f(x+ Δx) M ve M1 noktalarından geçen bir sekant çizeriz ve eğim açısını φ ile gösteririz sekantın.

Slayt 5

Türevin geometrik anlamı f '(x) türevi, y = f(x) fonksiyonunun grafiğine apsisi x olan noktadaki teğetin eğimine eşittir. M teğet noktasının koordinatları (x0; y0) ise teğetin eğimi k = f'(x0) olur. Eğimli bir doğrunun denklemi: Teğet noktasında teğete dik olan doğruya eğrinin normali denir. Teğet denklem Normal denklem

Slayt 6

Bir fonksiyonun sürekliliği ve türevlenebilirliği arasındaki ilişki Bir f(x) fonksiyonu belirli bir noktada türevlenebilirse, o noktada süreklidir. Teorem y = f(x) fonksiyonu bir x noktasında türevlenebilir olsun, dolayısıyla bir limit vardır: İspat: burada Bir fonksiyon, limiti ve sonsuz küçük bir fonksiyon arasındaki bağlantıya ilişkin teoreme göre, y = f fonksiyonu (x) süreklidir. Bunun tersi doğru değildir: Sürekli bir fonksiyonun türevi olmayabilir.

Slayt 7

Temel temel fonksiyonların türevleri 1 Newton’un binom formülü: Kuvvet fonksiyonu: K – faktöriyel

Slayt 8

Temel temel fonksiyonların türevleri Newton binom formülüne göre elimizde: O zaman:

Slayt 9

Temel temel fonksiyonların türevleri 2 Logaritmik fonksiyon: Diğer temel temel fonksiyonların türev alma kuralları benzer şekilde türetilir.

Slayt 10

Türev alma kuralları u(x), v(x) ve w(x) belirli bir (a; b) aralığında türevlenebilir fonksiyonlar olsun, C bir sabittir.

Slayt 11

Karmaşık bir fonksiyonun türevi y = f(u) ve u = φ(x) olsun, o zaman y = f(φ(x)) ara argümanı u ve bağımsız argümanı x olan karmaşık bir fonksiyondur. Teorem Birkaç ara argüman varsa bu kural yürürlükte kalır:

Slayt 12

Slayt 13

TÜREV

Belediye eğitim kurumu Srednesantimirskaya ortaokulu

Bir matematik öğretmeni tarafından tamamlandı

Singatullova G.Ş.

• Türevin tanımı.
• Türevin fiziksel anlamı.
• .

• Farklılaşmanın temel kuralları.
• Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
• Türev konusuna ilişkin problem çözme örnekleri.

türevin tanımı

y= fonksiyonu bir (a, b) aralığında tanımlansın f(x). Bu aralıktan herhangi bir x 0 noktası alalım ve x 0 noktasındaki x argümanına keyfi bir ∆ x artışı verelim, öyle ki x 0 + ∆ x noktası bu aralığa ait olsun. Fonksiyon artırılacak

Türev fonksiyonlar y= f(x) x =x 0 noktasındaki ifadeye, argümanın artışı sıfıra yaklaştığında, bu noktada ∆y fonksiyonunun artışının ∆x argümanının artışına oranının limiti denir.

Türevin geometrik anlamı

Fonksiyon y= olsun f(x) bir (a, b) aralığında tanımlıdır. Daha sonra MR sekantının fonksiyon grafiğine eğim açısının tanjantı.

Burada  teğet fonksiyonunun eğim açısıdır f(x)(x 0, f(x 0)) noktasında.

Eğriler arası açı, herhangi bir noktada bu eğrilere çizilen teğetler arasındaki açı olarak tanımlanabilir.

Bir eğriye teğetin denklemi:

Türevin fiziksel anlamı 1. Maddi bir parçacığın hareket hızını belirleme sorunu

s= s(t) yasasına göre bir nokta belirli bir çizgi üzerinde hareket etsin; burada s kat edilen mesafe, t ise zamandır ve t 0 anındaki noktanın hızını bulmak gerekir.

t 0 zamanında, kat edilen mesafe s 0 = s(t 0)'a eşittir ve (t 0 + ∆t) anında - s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t) yolu ).

Daha sonra ∆t aralığı boyunca ortalama hız şu şekilde olacaktır:

∆t ne kadar küçük olursa, ortalama hız bir noktanın t 0 anındaki hareketini daha iyi karakterize eder. Bu nedenle, altında t zamanındaki noktanın hızı 0 ∆t⇾0 olduğunda, t 0'dan t 0 +∆t'ye kadar olan süre için ortalama hızın sınırı olarak anlaşılmalıdır, yani.

2. KİMYASAL ORANI İLE İLGİLİ SORUN REAKSİYONLAR

Bir maddenin kimyasal reaksiyona girmesine izin verin. Bu Q maddesinin miktarı reaksiyon sırasında t zamanına bağlı olarak değişir ve zamanın bir fonksiyonudur. ∆t süresi boyunca madde miktarının ∆Q kadar değişmesine izin verin, o zaman oran, ∆t süresi boyunca bir kimyasal reaksiyonun ortalama hızını ve bu oranın limitini ifade edecektir.

Mevcut kimyasal reaksiyon hızı

zaman t.

3. GÖREV RADYOAKTİF BOZUNMA ORANI TAYİNİ

Eğer m radyoaktif bir maddenin kütlesi ve t ise zaman ise, radyoaktif maddenin kütlesinin zamanla azalması koşuluyla, t zamanındaki radyoaktif bozunma olgusu m = m(t) fonksiyonu ile karakterize edilir.

∆t zaman içindeki ortalama bozunma oranı şu oran ile ifade edilir:

ve t zamanındaki anlık bozunma oranı

Türevi hesaplamak için ALGORİTMA

y= f(x) fonksiyonunun türevi aşağıdaki şema kullanılarak bulunabilir:

1. x argümanına ∆x≠0 değerinde bir artış verelim ve y+∆y= f(x+∆x) fonksiyonunun artan değerini bulalım.

2. ∆y= f(x+∆x) - f(x) fonksiyonunun artışını bulun.

3. Bir ilişki yaratın

4. Bu oranın ∆x⇾0'daki limitini bulun;

(eğer bu sınır mevcutsa).

Farklılaşmanın temel kuralları

İzin vermek u=u(x) Ve v=v(x) – x noktasında türevlenebilir fonksiyonlar.

1) (sen  v)  = sen   v 

2) (uv)  = sen  v +uv 

(cu)  =cu 

3) , Eğer v  0

Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Teorem. Bir fonksiyon bir x noktasında türevlenebilirse ve fonksiyon

karşılık gelen noktada türevlenebilirse, karmaşık fonksiyon x noktasında türevlenebilir ve:

onlar. karmaşık bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun ara argümana göre türevinin ve ara argümanın x'e göre türevinin çarpımına eşittir.

Görev 1.

Sorun 2 .

Sorun 3 .

Sorun 4 .

Sorun 5 .

Sorun 6 .

Sorun 7 .

Sorun 8 .

Benzer belgeler

İki değişkenli bir fonksiyonun kavramı, limiti ve sürekliliği. Birinci dereceden kısmi türevler, toplam diferansiyelin bulunması. Çok değişkenli bir fonksiyonun yüksek mertebeden kısmi türevleri ve ekstremumu. Bir ekstremun varlığı için gerekli koşullar.

test, eklendi: 02/02/2014


Açılar ve ölçüleri. Açılar ve sayı serileri arasındaki yazışmalar. Trigonometrik fonksiyonların geometrik anlamı. Trigonometrik fonksiyonların özellikleri. Temel trigonometrik özdeşlik ve bunun sonuçları. Evrensel trigonometrik ikame.

öğretici, 18.04.2012 eklendi


"Türev" kavramının özü. Bir cismin hareketini tanımlayan bir fonksiyonun ikinci türevi olarak ivme. Zamanın belirli bir anında bir noktanın anlık hızının belirlenmesi probleminin çözümü. Reaksiyonlarda türev, rolü ve yeri. Formülün genel görünümü.

sunum, 22.12.2013 eklendi


Açılar ve ölçüleri, dar açının trigonometrik fonksiyonları. Trigonometrik fonksiyonların özellikleri ve işaretleri. Çift ve tek fonksiyonlar. Ters trigonometrik fonksiyonlar. Formülleri kullanarak basit trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözme.

öğretici, 30.12.2009 eklendi


Newton polinomunu kullanarak enterpolasyon yapmak. Kökün değerinin belirli bir aralıkta üç yinelemede hassaslaştırılması ve hesaplama hatasının bulunması. Newton, Sampson ve Euler yöntemlerinin problem çözümünde uygulanması. Bir fonksiyonun türevinin hesaplanması.

test, eklendi: 06/02/2011


Türev kavramı, geometrik ve fiziksel anlamı, diferansiyel. Fonksiyonları araştırmak ve grafikleri çizmek. Çarpanlara ayırma, ifadelerin sadeleştirilmesi. Eşitsizliklerin çözümü, denklem sistemleri ve özdeşliklerin kanıtlanması. Fonksiyon sınırlarının hesaplanması.

test, 11/16/2010 eklendi


Bir fonksiyonun türevinin tanımı, artışının geometrik anlamı. Belirli bir ilişkinin geometrik anlamı. Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevinin fiziksel anlamı. Belirli bir oranın yöneldiği sayı. Türev hesaplama örneklerinin analizi.

sunum, 18.12.2014 eklendi


Temel fonksiyonların türevleri tablosunun gözden geçirilmesi. Ara argüman kavramı. Karmaşık fonksiyonların türevlenmesine ilişkin kurallar. Bir noktanın yörüngesini, eksenler boyunca izdüşümlerindeki değişiklikler şeklinde tasvir etme yöntemi. Parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun türevi.

test, 08/11/2009 eklendi


Antik çağlardan günümüze bir bilim olarak trigonometrinin oluşumuna tarihsel bakış. Cebir derslerinde trigonometrik fonksiyonlar kavramının tanıtılması ve ders kitaplarını kullanarak analizin başlangıcı A.G. Mordkovich, M.I. Başmakova. Lineer diferansiyel denklemlerin çözümleri.

tez, eklendi: 07/02/2011


Bir bilim olarak trigonometrinin oluşumuna tarihsel bakış. Trigonometrik fonksiyonlar kavramını tanıtmanın çeşitli yolları. Okul ders kitaplarının M.I. Bashmakov ve A.G. Mordkovich bu konuyla ilgili. Materyali öğretim amacıyla kullanma beklentileri.