Bu yazıda, içine bir dairenin yazılabileceği bir çokgenin alanının, bu dairenin yarıçapı boyunca nasıl ifade edileceğinden bahsedeceğiz. Her çokgenin bir daireye sığamayacağını hemen belirtmekte fayda var. Ancak bu mümkünse, böyle bir çokgenin alanının hesaplandığı formül çok basit hale gelir. Bu makaleyi sonuna kadar okuyun veya ekteki video eğitimini izleyin; bir çokgenin alanını, içinde yazılı olan dairenin yarıçapı cinsinden nasıl ifade edeceğinizi öğreneceksiniz.

Yazılı dairenin yarıçapı cinsinden bir çokgenin alanı için formül

Bir çokgen çizelim A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, mutlaka doğru değil, ancak içine bir daire yazılabilecek bir tane. Yazılı dairenin çokgenin her tarafına dokunan bir daire olduğunu hatırlatmama izin verin. Resimde, merkezi bir noktada olan yeşil bir dairedir. O:

Burada örnek olarak 5-gon'u aldık. Ancak aslında bu çok da önemli değil, çünkü daha sonraki kanıt hem 6-gon hem de 8-gon için ve genel olarak herhangi bir keyfi "gon" için geçerlidir.

Yazılı dairenin merkezini çokgenin tüm köşelerine bağlarsanız, o zaman verilen çokgendeki köşe sayısı kadar üçgene bölünecektir. Bizim durumumuzda: 5 üçgen için. Eğer noktayı birleştirirsek O yazılı dairenin tüm noktaları çokgenin kenarlarına teğet olduğunda, 5 parça elde edersiniz (aşağıdaki şekilde bunlar parçalardır) AH 1 , AH 2 , AH 3 , AH 4 ve AH 5) dairenin yarıçapına eşit ve çizildikleri çokgenin kenarlarına diktir. Temas noktasına çizilen yarıçap teğete dik olduğundan ikincisi doğrudur:

Sınırlandırılmış çokgenimizin alanı nasıl bulunur? Cevap basit. Ortaya çıkan tüm üçgenlerin alanlarını toplamanız gerekir:

Bir üçgenin alanının ne olduğunu düşünelim. Aşağıdaki resimde sarı renkle vurgulanmıştır:

Taban çarpımının yarısına eşittir A 1 A 2 yüksekliğe AH 1 bu üsse çekildi. Ancak daha önce de öğrendiğimiz gibi bu yükseklik, yazılı dairenin yarıçapına eşittir. Yani bir üçgenin alan formülü şu şekli alır: , Nerede R- yazılı dairenin yarıçapı. Geriye kalan tüm üçgenlerin alanları benzer şekilde bulunur. Sonuç olarak, çokgenin gerekli alanı şuna eşittir:

Bu toplamın tüm terimlerinde parantez dışında çıkarılabilecek ortak bir faktörün olduğu görülmektedir. Sonuç aşağıdaki ifade olacaktır:

Yani parantez içinde kalan sadece çokgenin tüm kenarlarının toplamıdır, yani çevresi P. Bu formülde çoğu zaman ifade basitçe şu şekilde değiştirilir: P ve bu harfe “yarı çevre” diyorlar. Sonuç olarak nihai formül şu şekli alır:

Yani, içine yarıçapı bilinen bir dairenin yazıldığı bir çokgenin alanı, bu yarıçapın ve çokgenin yarı çevresinin çarpımına eşittir. Bu, hedeflediğimiz sonuçtu.

Son olarak, bir dairenin her zaman bir üçgenin içine yazılabileceğine dikkat çekecektir ki bu da çokgenin özel bir durumudur. Bu nedenle bir üçgen için bu formül her zaman uygulanabilir. 3'ten fazla kenarı olan diğer çokgenler için öncelikle içlerine bir daire yazılabildiğinden emin olmanız gerekir. Eğer öyleyse, bunu güvenle kullanabilirsiniz basit formül ve bunu bu çokgenin alanını bulmak için kullanın.

Sergey Valerievich tarafından hazırlanan materyal

Okulda matematik ve geometri eğitimi alan herkes bu bilimleri en azından yüzeysel olarak bilir. Ancak zamanla bunları uygulamazsanız bilgi unutulur. Hatta birçoğu geometrik hesaplamalar yaparak zamanlarını boşa harcadıklarına inanıyor. Ancak yanılıyorlar. Teknik çalışanlar geometrik hesaplamalarla ilgili günlük işleri yaparlar. Bir çokgenin alanının hesaplanmasına gelince, bu bilgi aynı zamanda yaşamdaki uygulamasını da bulur. En azından arazinin alanını hesaplamak için onlara ihtiyaç duyulacak. Öyleyse bir çokgenin alanını nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Poligon Tanımı

Öncelikle çokgenin ne olduğunu tanımlayalım. Düz geometrik şekilüç veya daha fazla düz çizginin kesişmesi sonucu oluşmuştur. Başka bir basit tanım: Çokgen, kapalı bir sürekli çizgidir. Doğal olarak çizgiler kesiştiğinde kesişme noktaları oluşur; sayıları çokgeni oluşturan çizgilerin sayısına eşittir. Kesişme noktalarına köşeler, düz çizgilerden oluşan parçalara ise çokgenin kenarları denir. Bir çokgenin bitişik parçaları aynı düz çizgi üzerinde değildir. Bitişik olmayan çizgi parçaları, geçmeyenlerdir ortak noktalar.

Üçgenlerin alanlarının toplamı

Bir çokgenin alanı nasıl bulunur? Bir çokgenin alanı, çokgenin bölümlerinin veya kenarlarının kesişmesiyle oluşan düzlemin iç kısmıdır. Çokgen üçgen, eşkenar dörtgen, kare, yamuk gibi şekillerin birleşimi olduğundan, alanını hesaplamak için evrensel bir formül yoktur. Uygulamada en evrensel olanı, bir çokgeni alanını bulmak zor olmayan daha basit şekillere bölme yöntemidir. Bu basit şekillerin alanlarının toplamları eklenerek çokgenin alanı elde edilir.

Bir dairenin alanı boyunca

Çoğu durumda, çokgen düzenli bir şekle sahiptir ve kenarları eşit ve aralarındaki açılar eşit olan bir şekil oluşturur. Bu durumda, yazılı veya çevrelenmiş bir daire kullanılarak alanın hesaplanması çok basittir. Bir dairenin alanı biliniyorsa, o zaman çokgenin çevresi ile çarpılmalı ve daha sonra elde edilen ürün 2'ye bölünmelidir. Sonuç, böyle bir çokgenin alanını hesaplamak için bir formüldür: S = ½∙P∙r., burada P dairenin alanıdır ve r, çokgenin çevresidir.

Bir çokgeni "uygun" şekillere bölme yöntemi geometride en popüler olanıdır; çokgenin alanını hızlı ve doğru bir şekilde bulmanızı sağlar. Ortaokulun 4. sınıfı genellikle bu tür yöntemleri inceler.

Geometri problemleri sıklıkla bir çokgenin alanının hesaplanmasını gerektirir. Dahası, oldukça farklı bir şekle sahip olabilir - tanıdık bir üçgenden, hayal edilemeyecek sayıda köşeye sahip bir n-gon'a kadar. Ayrıca bu çokgenler dışbükey veya içbükey olabilir. Her birinde özel durum'dan başlaması gerekiyordu dış görünüş rakamlar. Bu şekilde sorunu çözmenin en uygun yolunu seçebilirsiniz. Şekil doğru çıkabilir ve bu da sorunun çözümünü büyük ölçüde kolaylaştıracaktır.

Çokgenler hakkında küçük bir teori

Üç veya daha fazla kesişen çizgi çizerseniz belli bir şekil oluştururlar. Çokgen olan odur. Kesişme noktalarının sayısına göre kaç köşeye sahip olacağı belli oluyor. Ortaya çıkan şekle isim verirler. Olabilir:

Böyle bir figür kesinlikle iki konumla karakterize edilecektir:

1. Bitişik kenarlar aynı düz çizgiye ait değildir.
2. Bitişik olmayanların ortak noktaları yoktur, yani kesişmezler.

Hangi köşelerin komşu olduğunu anlamak için bunların aynı tarafa ait olup olmadığına bakmanız gerekir. Eğer evet ise, o zaman komşu olanlar. Aksi takdirde diyagonal olarak adlandırılması gereken bir segment ile bağlanabilirler. Yalnızca üçten fazla köşesi olan çokgenlerde gerçekleştirilebilirler.

Ne tür türleri var?

Dörtten fazla köşesi olan bir çokgen dışbükey veya içbükey olabilir. İkincisi arasındaki fark, köşelerinden bazılarının, çokgenin herhangi bir kenarından çizilen düz bir çizginin karşıt taraflarında bulunabilmesidir. Dışbükey bir durumda, tüm köşeler her zaman böyle bir düz çizginin aynı tarafında bulunur.

Bir okul geometri dersinde çoğu zaman dışbükey şekillere ayrılır. Bu nedenle problemler dışbükey bir çokgenin alanını bulmayı gerektirir. Daha sonra, herhangi bir şekil için istenen değeri bulmanızı sağlayan, çevrelenmiş dairenin yarıçapı cinsinden bir formül vardır. Diğer durumlarda net bir çözüm yoktur. Bir üçgen için formül birdir, ancak bir kare veya yamuk için tamamen farklıdır. Şeklin düzensiz olduğu veya çok sayıda köşenin olduğu durumlarda, bunları basit ve tanıdık olanlara bölmek gelenekseldir.

Şeklin üç veya dört köşesi varsa ne yapmalı?

İlk durumda, bir üçgen ortaya çıkacak ve formüllerden birini kullanabilirsiniz:

• S = 1/2 * a * n, burada a kenardır, n yüksekliğidir;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), burada a, b üçgenin kenarlarıdır, A bilinen kenarlar arasındaki açıdır;
• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) burada c üçgenin kenarıdır, daha önce belirtilen ikisine göre p yarı çevredir, yani, üç tarafın toplamının ikiye bölümü.

Dört köşesi olan bir şeklin paralelkenar olduğu ortaya çıkabilir:

• S = a * n;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), burada d 1 ve d 2 köşegenlerdir, α aralarındaki açıdır;
• S = a * in * sin(α).

Yamuğun alanı için formül: S = n * (a + b) / 2, burada a ve b tabanların uzunluklarıdır.

Dörtten fazla köşesi olan normal bir çokgenle ne yapmalı?

Başlangıç ​​​​olarak böyle bir rakam, tüm tarafların eşit olmasıyla karakterize edilir. Ayrıca çokgenin açıları da eşittir.

Böyle bir şeklin etrafına bir daire çizerseniz, yarıçapı, çokgenin merkezinden köşelerden birine kadar olan bölümle çakışacaktır. Bu nedenle alanı hesaplamak için düzenli çokgenİsteğe bağlı sayıda köşe ile aşağıdaki formüle ihtiyacınız olacak:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360°/n), burada n, çokgenin köşe sayısıdır.

Özel durumlar için yararlı olanı elde etmek kolaydır:

1. üçgen: S = (3√3)/4 * R2;
2. kare: S = 2 * R2;
3. altıgen: S = (3√3)/2 * R 2.

Yanlış rakamla ilgili durum

Bir çokgenin alanının, düzenli değilse ve önceden bilinen rakamlardan herhangi birine atfedilemiyorsa nasıl bulunacağının çözümü algoritmadır:

• kesişmemeleri için onu basit şekillere (örneğin üçgenler) bölün;
• herhangi bir formülü kullanarak alanlarını hesaplayın;
• tüm sonuçları toplayın.

Sorun bir çokgenin köşelerinin koordinatlarını veriyorsa ne yapmalı?

Yani, şeklin kenarlarını sınırlayan her nokta için bir dizi sayı çifti bilinmektedir. Genellikle birincisi için (x 1 ; y 1), ikincisi için (x 2 ; y 2) şeklinde yazılırlar ve n'inci köşe şu değerlere sahiptir (x n ; y n). Daha sonra çokgenin alanı n terimin toplamı olarak belirlenir. Her biri şuna benzer: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). Bu ifadede i birden n'ye kadar değişmektedir.

Sonucun işaretinin şeklin çaprazlamasına bağlı olacağını belirtmekte fayda var. Yukarıdaki formülü kullanıp saat yönünde hareket ettirdiğinizde cevap olumsuz olacaktır.

Örnek görev

Durum. Köşelerin koordinatları aşağıdaki değerlerle belirtilir (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Bir çokgenin alanını hesaplamanız gerekir.

Çözüm. Yukarıdaki formüle göre ilk terim (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 - 2,1) olacaktır. Burada ikinci ve birinci noktalardan Y ve X değerlerini almanız yeterli. Basit bir hesaplama sonucu 1.8'e götürecektir.

İkinci terim de benzer şekilde elde edilir: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Bu tür problemleri çözerken negatif miktarlardan korkmayın. Her şey olması gerektiği gibi gidiyor. Bu planlanmıştır.

Üçüncü (0,29), dördüncü (-6,365) ve beşinci terime (2,96) ait değerler de benzer şekilde elde edilir. O halde son alan: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Kareli kağıda çokgen çizilmesi sorununu çözmek için tavsiyeler

Çoğu zaman kafa karıştırıcı olan şey, verilerin yalnızca hücre boyutunu içermesidir. Ancak daha fazla bilgiye gerek olmadığı ortaya çıktı. Bu sorunu çözmek için bir öneri, şekli birçok üçgene ve dikdörtgene bölmektir. Alanlarının, kenarların uzunluklarına göre hesaplanması oldukça kolaydır ve bu daha sonra kolayca toplanabilir.

Ancak genellikle daha basit bir yaklaşım vardır. Bir dikdörtgene bir şekil çizip alanının hesaplanmasından oluşur. Daha sonra gereksiz olduğu ortaya çıkan elemanların alanlarını hesaplayın. Bunları toplam değerden çıkarın. Bu seçenek bazen biraz daha az sayıda eylem içerir.

\[(\Large(\text(Bölgeyle ilgili temel gerçekler)))\]

Bir çokgenin alanının, belirli bir çokgenin düzlemin kapladığı kısmını gösteren bir değer olduğunu söyleyebiliriz. Alan ölçüm birimi, kenarı \(1\) cm, \(1\) mm vb. olan bir karenin alanıdır. (birim kare). Daha sonra alan sırasıyla cm\(^2\), mm\(^2\) cinsinden ölçülecektir.

Başka bir deyişle, bir şeklin alanının, sayısal değeri, birim karenin belirli bir şekle kaç kez sığdığını gösteren bir miktar olduğunu söyleyebiliriz.

Alan Özellikleri

1. Herhangi bir çokgenin alanı pozitif bir miktardır.

2. Eşit çokgenlerin alanları eşittir.

3. Bir çokgen birden fazla çokgenden oluşuyorsa alanı bu çokgenlerin alanlarının toplamına eşittir.

4. Kenarı \(a\) olan karenin alanı \(a^2\)'ye eşittir.

\[(\Large(\text(Dikdörtgenin ve paralelkenarın alanı)))\]

Teorem: Dikdörtgenin Alanı

Kenarları \(a\) ve \(b\) olan bir dikdörtgenin alanı \(S=ab\) değerine eşittir.

Kanıt

Şekilde gösterildiği gibi \(ABCD\) dikdörtgenini kenarı \(a+b\) olan bir kareye oluşturalım:

Bu kare bir \(ABCD\) dikdörtgeni, başka bir eşit dikdörtgen ve kenarları \(a\) ve \(b\) olan iki kareden oluşur. Böylece,

\(\begin(çok satırlı*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(çok satırlı*)\)

Tanım

Bir paralelkenarın yüksekliği, paralelkenarın tepe noktasından bu tepe noktasını içermeyen tarafa (veya kenarın uzantısına) çizilen diktir.
Örneğin, \(BK\) yüksekliği \(AD\) tarafına düşer ve \(BH\) yüksekliği \(CD\) tarafının devamına düşer:

Teorem: Paralelkenarın Alanı

Paralelkenarın alanı, yüksekliğin ve bu yüksekliğin çizildiği tarafın çarpımına eşittir.

Kanıt

Şekilde gösterildiği gibi \(AB"\) ve \(DC"\) dik çizgilerini çizelim. Bu dikliklerin \(ABCD\) paralelkenarının yüksekliğine eşit olduğuna dikkat edin.

O halde \(AB"C"D\) bir dikdörtgendir, dolayısıyla \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

\(ABB"\) ve \(DCC"\) dik üçgenlerinin eş olduğuna dikkat edin. Böylece,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Büyük(\text(Üçgenin alanı)))\]

Tanım

Üçgende yüksekliğin çizildiği tarafa üçgenin tabanı diyeceğiz.

Teorem

Bir üçgenin alanı, tabanı ile bu tabana çizilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Kanıt

\(S\) \(ABC\) üçgeninin alanı olsun. Üçgenin tabanı olarak \(AB\) kenarını alalım ve \(CH\) yüksekliğini çizelim. Hadi bunu kanıtlayalım \ Şekilde gösterildiği gibi \(ABC\) üçgenini \(ABDC\) paralelkenarına göre oluşturalım:

\(ABC\) ve \(DCB\) üçgenleri üç kenarda eşittir (\(BC\) ortak kenarlarıdır, \(AB = CD\) ve \(AC = BD\) paralelkenarın karşıt kenarlarıdır \ (ABDC\ )), dolayısıyla alanları eşittir. Bu nedenle, \(ABC\) üçgeninin alanı \(S\), paralelkenarın \(ABDC\) alanının yarısına eşittir, yani \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

Teorem

Eğer iki \(\triangle ABC\) ve \(\triangle A_1B_1C_1\) üçgeni varsa eşit yükseklik ise alanları bu yüksekliklerin çizildiği tabanlarla ilişkilidir.

Sonuçlar

Bir üçgenin medyanı onu eşit alanlı iki üçgene böler.

Teorem

Eğer \(\triangle ABC\) ve \(\triangle A_2B_2C_2\) üçgenlerinin her biri eşit açı ise alanları bu açıyı oluşturan kenarların çarpımı olarak ilişkilidir.

Kanıt

\(\angle A=\angle A_2\) olsun. Bu açıları şekilde gösterildiği gibi birleştirelim (\(A\) noktası \(A_2\) noktasıyla hizalanmış):

\(BH\) ve \(C_2K\) yüksekliklerini bulalım.

\(AB_2C_2\) ve \(ABC_2\) üçgenleri \(C_2K\) aynı yüksekliğe sahiptir, dolayısıyla: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

\(ABC_2\) ve \(ABC\) üçgenlerinin yüksekliği \(BH\) aynı olduğundan: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Son iki eşitliği çarparak şunu elde ederiz: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( veya ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Pisagor teoremi

Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir:

Bunun tersi de doğrudur: Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun karesi diğer iki kenarın uzunluğunun karelerinin toplamına eşitse, o zaman böyle bir üçgen dik açılıdır.

Teorem

Kare dik üçgen bacakların çarpımının yarısına eşittir.

Teorem: Heron formülü

\(p\) üçgenin yarı çevresi olsun, \(a\) , \(b\) , \(c\) kenarlarının uzunlukları olsun, o zaman alanı \

\[(\Large(\text(Eşkenar dörtgen ve yamuk alanı)))\]

Yorum

Çünkü Eşkenar dörtgen bir paralelkenardır, o zaman aynı formül onun için de geçerlidir; Bir eşkenar dörtgenin alanı, yüksekliğin ve bu yüksekliğin çizildiği tarafın çarpımına eşittir.

Teorem

Köşegenleri dik olan dışbükey bir dörtgenin alanı, köşegenlerin çarpımının yarısına eşittir.

Kanıt

\(ABCD\) dörtgenini düşünün. \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\)'yi gösterelim:

Bu dörtgenin dört dik üçgenden oluştuğunu, dolayısıyla alanının bu üçgenlerin alanlarının toplamına eşit olduğunu unutmayın:

\(\begin(çok satırlı*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(çok satırlı*)\)

Sonuç: eşkenar dörtgenin alanı

Bir eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerinin çarpımının yarısına eşittir: \

Tanım

Bir yamuğun yüksekliği, bir tabanın tepesinden diğer tabana çizilen diktir.

Teorem: Yamuğun alanı

Bir yamuğun alanı, tabanların ve yüksekliğin toplamının yarısının çarpımına eşittir.

Kanıt

Tabanları \(BC\) ve \(AD\) olan \(ABCD\) yamuğunu düşünün. Şekilde gösterildiği gibi \(CD"\paralel AB\) çizelim:

O halde \(ABCD"\) bir paralelkenardır.

Ayrıca \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) işlemini de gerçekleştirelim (\(BH"=CH\) yamuğun yükseklikleridir).

Daha sonra \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Çünkü bir yamuk bir paralelkenar \(ABCD"\) ve bir üçgen \(CDD"\)'den oluşur, bu durumda alanı paralelkenarın ve üçgenin alanlarının toplamına eşittir, yani:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

1.1 Antik çağda alanların hesaplanması

1.2 “Alan”, “çokgen”, “çokgen alan” kavramlarını incelemeye farklı yaklaşımlar

1.2.1 Alan kavramı. Alan Özellikleri

1.2.2 Çokgen kavramı

1.2.3 Çokgenin alanı kavramı. Tanımlayıcı tanım

1.3 Çokgenlerin alanları için çeşitli formüller

1.4 Çokgenlerin alanları için formüllerin türetilmesi

1.4.1 Üçgenin alanı. Heron'un formülü

1.4.2 Dikdörtgenin alanı

1.4.3 Yamuğun alanı

1.4.4 Dörtgenin alanı

1.4.5 Evrensel formül

1.4.6 N-gon alanı

1.4.7 Bir çokgenin alanının köşelerinin koordinatlarından hesaplanması

1.4.8 Seçim formülü

1.5 Bir dik üçgenin bacakları üzerine inşa edilen karelerin alanlarının toplamına ilişkin Pisagor teoremi

1.6 Üçgenlerin eşit düzenlenmesi. Bolyay-Gerwin teoremi

1.7 Alan oranı benzer üçgenler

1.8 En geniş alana sahip şekiller

1.8.1 Yamuk veya dikdörtgen

1.8.2 Meydanın dikkate değer özelliği

1.8.3 Diğer şekillerdeki bölümler

1.8.4 En büyük alana sahip üçgen

Bölüm 2. Matematik derslerinde çokgenlerin alanlarını çalışmanın metodolojik özellikleri

2.1 Tematik planlama ve derinlemesine matematik çalışmasıyla sınıflarda öğretimin özellikleri

2.2 Dersleri yürütme metodolojisi

2.3 Deneysel çalışmanın sonuçları

Çözüm

Edebiyat

giriiş

“Çokgenlerin Alanı” konusu okul matematik dersinin ayrılmaz bir parçasıdır ve bu oldukça doğaldır. Sonuçta, tarihsel olarak geometrinin ortaya çıkışı, şu veya bu şekildeki arazi arazilerini karşılaştırma ihtiyacıyla ilişkilidir. Ancak şunu da belirtmek gerekir ki, bu konunun ele alınmasına yönelik eğitim fırsatları lise tam anlamıyla kullanılmaktan uzaktır.

Okulda matematik öğretmenin temel görevi, öğrencilerin matematik bilgi ve becerileri sistemine güçlü ve bilinçli bir şekilde hakim olmalarını sağlamaktır. günlük yaşam ve her üye için emek faaliyeti modern toplumİlgili disiplinleri incelemek ve sürekli eğitim için yeterlidir.

Matematiğin derinlemesine incelenmesi, ana problemin çözülmesinin yanı sıra, öğrencilerin konuya sürdürülebilir bir ilgi duymasını, yeteneklerini belirlemeyi ve geliştirmeyi içerir. matematiksel yetenekler, matematikle önemli ölçüde ilgili mesleklere yönelim, üniversitede okumaya hazırlık.

Yeterlilik çalışması matematik dersi içeriğini içerir ortaokul ve bu gidişata doğrudan bitişik olan ve onu ana ideolojik çizgiler boyunca derinleştiren bir dizi ek soru.

Ek soruların eklenmesinin birbiriyle ilişkili iki amacı vardır. Bu bir yandan dersin ana bölümleriyle birlikte matematiğe meraklı öğrencilerin ilgilerini ve yeteneklerini geliştirmeye yönelik bir temel oluşturmak, diğer yandan da Ana dersin içerik boşlukları, derinlemesine çalışmanın içeriğine gerekli bütünlüğün kazandırılması.

Nitelikli çalışma bir giriş, iki bölüm, bir sonuç ve alıntı yapılan literatürden oluşmaktadır. İlk bölüm çokgenlerin alanlarını çalışmanın teorik temellerini tartışıyor ve ikinci bölüm doğrudan alanların incelenmesinin metodolojik özelliklerini ele alıyor.

Bölüm 1. Çokgenlerin alanlarını incelemek için teorik temeller

1.1 Antik çağda alanların hesaplanması

Alan ölçümü ile ilgili geometrik bilginin başlangıcı binlerce yılın derinliklerinde kaybolmuştur.

Hatta 4 - 5 bin yıl önce Babilliler dikdörtgen ve yamuğun alanını birim kare cinsinden belirleyebiliyorlardı. Kare, birçok dikkate değer özelliği nedeniyle uzun süredir alanların ölçülmesinde bir standart olarak hizmet etmiştir: eşit kenarlar, eşit ve dik açılar, simetri ve genel form mükemmelliği. Karelerin yapımı kolaydır veya bir düzlemi boşluk bırakmadan doldurabilirsiniz.

İÇİNDE Antik Çin Alan ölçüsü dikdörtgendi. Duvar ustaları bir evin dikdörtgen duvarının alanını belirlerken duvarın yüksekliğini ve genişliğini çarparlardı. Geometride kabul edilen tanım budur: Bir dikdörtgenin alanı, bitişik kenarlarının çarpımına eşittir. Bu tarafların her ikisi de aynı doğrusal birimlerle ifade edilmelidir. Ürünleri, karşılık gelen kare birimlerle ifade edilen dikdörtgenin alanı olacaktır. Diyelim ki bir duvarın yüksekliği ve genişliği desimetre cinsinden ölçülürse, her iki ölçümün çarpımı desimetre kare cinsinden ifade edilecektir. Ve eğer her bakan salın alanı bir santimetrekare ise, o zaman ortaya çıkan ürün, kaplama için gerekli olan fayans sayısını gösterecektir. Bu, alanların ölçülmesinin altında yatan ifadeden kaynaklanmaktadır: kesişmeyen şekillerden oluşan bir şeklin alanı, alanlarının toplamına eşittir.

4000 yıl önce eski Mısırlılar bir dikdörtgenin, üçgenin ve yamuğun alanını ölçmek için bizim kullandığımız tekniklerin hemen hemen aynısını kullandılar: üçgenin tabanı ikiye bölündü ve yükseklikle çarpıldı; bir yamuk için paralel kenarların toplamı ikiye bölündü ve yükseklik vb. ile çarpıldı. Alanı hesaplamak için

kenarları olan dörtgen (Şekil 1.1), formül (1.1) kullanıldı

onlar. Karşı tarafların yarım toplamları çarpıldı.

Bu formül herhangi bir dörtgen için açıkça yanlıştır; özellikle tüm eşkenar dörtgenlerin alanlarının aynı olduğu sonucu çıkar. Bu arada, bu tür eşkenar dörtgenlerin alanlarının köşelerdeki açıların büyüklüğüne bağlı olduğu açıktır. Bu formül yalnızca dikdörtgen için geçerlidir. Onun yardımıyla açıları dik açılara yakın olan dörtgenlerin alanını yaklaşık olarak hesaplayabilirsiniz.

Alanı belirlemek için

Mısırlıların yaklaşık formülü kullandığı ikizkenar üçgen (Şekil 1.2):
(1.2) Şek. 1.2 Bu durumda yapılan hata, üçgenin kenarı ile yüksekliği arasındaki fark ne kadar küçük olursa, başka bir deyişle tepe noktası (ve) yüksekliğin tabanına o kadar yakın olur. Bu nedenle yaklaşık formül (1.2) yalnızca tepe noktasında nispeten küçük bir açıya sahip üçgenler için geçerlidir.

Ancak eski Yunanlılar çokgenlerin alanlarını nasıl doğru bir şekilde bulacaklarını zaten biliyorlardı. Öklid, Elementler'inde "alan" kelimesini kullanmaz çünkü "şekil" kelimesinin kendisi, şu veya bu kapalı çizgiyle sınırlanan bir düzlemin bir kısmını anlamaktadır. Öklid, alan ölçümü sonucunu bir sayıyla ifade etmez, farklı şekillerin alanlarını birbiriyle karşılaştırır.

Diğer antik bilim adamları gibi Öklid de bazı figürlerin eşit büyüklükteki diğerlerine dönüştürülmesiyle ilgileniyor. Kompozit bir şeklin alanı, parçaları farklı şekilde düzenlenirse ancak kesişmeden değişmeyecektir. Bu nedenle, örneğin bir dikdörtgenin alanı formüllerine dayanarak diğer şekillerin alanları için formüller bulmak mümkündür. Böylece bir üçgen, daha sonra eşit büyüklükte bir dikdörtgenin oluşturulabileceği parçalara bölünür. Bu yapıdan, bir üçgenin alanının, tabanının ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşit olduğu anlaşılmaktadır. Böyle bir yeniden kesmeye başvurarak, bir paralelkenarın alanının taban ve yüksekliğin çarpımına eşit olduğunu ve bir yamuğun alanının tabanların ve yüksekliğin toplamının yarısının çarpımı olduğunu buldular. .

Duvar ustaları bir duvarı döşemek zorunda kaldığında karmaşık konfigürasyon kaplama için kullanılan fayans sayısını sayarak duvarın alanını belirleyebilirler. Kaplamanın kenarlarının duvarın kenarıyla çakışması için elbette bazı fayansların yontulması gerekecektir. Çalışmada kullanılan tüm fayansların sayısı fazla olan duvar alanını, eksik olan ise kırılmamış fayansların sayısını tahmin etmektedir. Hücre boyutları küçüldükçe atık miktarı azalır ve fayans sayısına göre belirlenen duvar alanı daha doğru hesaplanır.

Çalışmaları çoğunlukla uygulamalı nitelikte olan daha sonraki Yunan matematikçilerinden ve ansiklopedicilerden biri, 1. yüzyılda yaşayan İskenderiyeli Heron'du. N. e. Olağanüstü bir mühendis olduğundan ona "Tamirci Heron" da deniyordu. "Dioptri" adlı çalışmasında Heron, çeşitli makineleri ve pratik ölçüm aletlerini anlatıyor.

Heron'un kitaplarından birine kendisi tarafından "Geometri" adı verildi ve bir tür formüller ve bunlara karşılık gelen problemler koleksiyonudur. Karelerin, dikdörtgenlerin ve üçgenlerin alanlarının hesaplanmasına ilişkin örnekler içerir. Heron, kenarlarına göre bir üçgenin alanını bulma konusunda şöyle yazıyor: “Örneğin, üçgenin bir tarafının uzunluğu 13, ikinci 14 ve üçüncüsü 15 ölçüm kordonu olsun. Alanı bulmak için ilerleyin. aşağıdaki gibi. 13, 14 ve 15'i ekleyin; 42 olur. Bunun yarısı 21 olur. Bundan üç tarafı birer birer çıkarın; önce 13'ü çıkarın - 8, sonra 14 - 7 kaldı ve son olarak 15 - 6 kaldı. Şimdi bunları çarpın: 21 çarpı 8 verir 168, bunu 7 kez alın - 1176 elde edersiniz ve şunu alın: bunu 6 kez daha - 7056 elde edersiniz. Buradan karekök 84 olacaktır. Bu, üçgenin alanında kaç tane ölçüm kablosu olacağıdır.