Bir doğru parçasına ait doğrunun denklemini bulma. Parçalardaki bir doğrunun denklemi - açıklama, örnekler, problem çözümü İki noktadan geçen bir doğrunun denklemi

Görev, içinden geçen düz bir çizgi oluşturmak için bir parçanın ucunun verilen koordinatlarını kullanmaktır.

Segmentin dejenere olmadığına inanıyoruz, yani. sıfırdan büyük bir uzunluğa sahiptir (aksi takdirde elbette içinden geçen sonsuz sayıda farklı düz çizgi vardır).

İki boyutlu kasa

Bir segment verilsin, yani. uçlarının koordinatları , , , bilinmektedir.

İnşa etmek için gerekli düzlemdeki bir doğrunun denklemi, bu segmentten geçmek, yani. Düz çizgi denklemindeki , , katsayılarını bulun:

Belirli bir bölümden geçen gerekli üçlülerin şu şekilde olduğuna dikkat edin: sonsuz sayıda: Üç katsayıyı da sıfır olmayan rastgele bir sayıyla çarpabilir ve aynı düz çizgiyi elde edebilirsiniz. Bu nedenle görevimiz bu üçlülerden birini bulmaktır.

Aşağıdaki katsayılar kümesinin uygun olduğunu doğrulamak kolaydır (bu ifadeleri ve noktaların koordinatlarını düz çizgi denkleminde değiştirerek):

Tamsayı durumu

Bu düz çizgi oluşturma yönteminin önemli bir avantajı, eğer uçların koordinatları tamsayı ise, ortaya çıkan katsayıların da aynı şekilde olmasıdır. tamsayılar. Bazı durumlarda bu, geometrik işlemlerin gerçek sayılara hiç başvurmadan gerçekleştirilmesine olanak tanır.

Ancak küçük bir dezavantaj vardır: aynı çizgi için farklı katsayı üçlüleri elde edilebilir. Bundan kaçınmak, ancak tamsayı katsayılarından uzaklaşmamak için, genellikle adı verilen aşağıdaki tekniği kullanabilirsiniz. tayınlama. Sayıların en büyük ortak bölenini bulalım, üç katsayıyı da buna bölelim ve ardından işareti normalleştirelim: veya ise, üç katsayıyı da ile çarpalım. Sonuç olarak, aynı çizgiler için aynı katsayı üçlülerini elde edeceğimiz ve bu da çizgilerin eşitlik açısından kontrol edilmesini kolaylaştıracağı sonucuna varacağız.

Gerçek değerli durum

İle çalışırken gerçek sayılar Her zaman hataların farkında olmalısınız.

Elde ettiğimiz katsayılar orijinal koordinatlar mertebesindedir, katsayı zaten bunların karesi mertebesindedir. Bunlar zaten oldukça büyük sayılar olabilir ve örneğin çizgiler kesiştiğinde daha da büyürler, bu da orijinal order koordinatlarında bile büyük yuvarlama hatalarına yol açabilir.

Bu nedenle, gerçek sayılarla çalışırken sözde işlemin yapılması tavsiye edilir. normalleştirme doğrudan: yani katsayıları öyle yapmak . Bunu yapmak için sayıyı hesaplamanız gerekir:

ve üç katsayıyı da buna bölün.

Böylece katsayıların sırası artık giriş koordinatlarının sırasına bağlı olmayacak ve katsayı, giriş koordinatlarıyla aynı sırada olacaktır. Uygulamada bu, hesaplama doğruluğunda önemli bir iyileşmeye yol açar.

Son olarak şunu belirtelim karşılaştırmak düz çizgiler - sonuçta, aynı düz çizgi için böyle bir normalizasyondan sonra, yalnızca iki üçlü katsayı elde edilebilir: ile çarpmaya kadar. Buna göre, işareti dikkate alarak ek normalleştirme yaparsak (veya ise, o zaman ile çarpın), ortaya çıkan katsayılar benzersiz olacaktır.

“Düzlemde bir doğrunun denklemi” bölümünü incelemeye devam ediyoruz ve bu yazıda “Bir doğrunun segmentlerde denklemi” konusunu inceleyeceğiz. Parçalar halinde bir doğrunun denkleminin biçimini, bu denklemle verilen bir düz çizginin yapısını, bir doğrunun genel denkleminden parçalar halinde bir doğrunun denklemine geçişi sırayla ele alacağız. Bütün bunlara problem çözme örnekleri ve analizleri eşlik edecek.

Düzlemde O x y dikdörtgen koordinat sistemi olsun.

Kartezyen koordinat sistemindeki O x y düzlemindeki düz bir çizgi, x a + y b = 1 formundaki bir denklemle verilir; burada a ve b, değerleri sıfır olmayan bazı gerçek sayılardır. O x ve O y eksenleri üzerindeki düz çizgiyle kesilen bölümlerin uzunlukları. Segmentlerin uzunlukları orijinden hesaplanır.

Bildiğimiz gibi bir doğrunun denklemiyle verilen bir doğruya ait noktalardan herhangi birinin koordinatları bu doğrunun denklemini sağlar. a, 0 ve 0, b noktaları bu düz çizgiye aittir, çünkü a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 ve 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1. a, 0 ve b, 0 noktaları Ox ve O y koordinat eksenleri üzerinde bulunur ve orijinden a ve b birimleriyle uzaklaştırılır. Segmentin uzunluğunun çizilmesi gereken yön, a ve b sayılarının önünde görünen işaretle belirlenir. “-” işareti, parçanın uzunluğunun koordinat ekseninin negatif yönünde çizilmesi gerektiği anlamına gelir.

Yukarıdakilerin tümünü, şematik bir çizim üzerine sabit bir Kartezyen koordinat sistemi O x y'ye göre düz çizgiler yerleştirerek açıklayalım. x a + y b = 1 parçalarındaki düz bir çizginin denklemi, O x y Kartezyen koordinat sisteminde bir düz çizgi oluşturmak için kullanılır. Bunu yapmak için eksenler üzerinde a, 0 ve b, 0 noktalarını işaretlememiz ve ardından bu noktaları cetvel kullanarak bir çizgiyle birleştirmemiz gerekir.

Şekil a ve b sayılarının olduğu durumları göstermektedir. çeşitli işaretler ve bu nedenle bölümlerin uzunlukları koordinat eksenlerinin farklı yönlerinde çizilir.

Bir örneğe bakalım.

Örnek 1

Düz bir çizgi, x 3 + y - 5 2 = 1 formundaki segmentlerdeki bir düz çizginin denklemiyle verilir. Bu doğruyu Kartezyen koordinat sistemi O x y'deki bir düzlem üzerinde çizmek gerekir.

Çözüm

Parçalar halinde bir doğrunun denklemini kullanarak, doğrunun içinden geçtiği noktaları belirleriz. Bu 3, 0, 0, - 5 2. Bunları işaretleyip bir çizgi çizelim.

Bir doğrunun genel denklemini parçalar halinde bir doğrunun denklemine indirgemek

Bir doğrunun belirli bir denkleminden parçalar halinde bir doğrunun denklemine geçiş, çeşitli problemleri çözmemizi kolaylaştırır. Bir doğrunun tam bir genel denklemine sahip olarak, bir doğrunun denklemini parçalar halinde elde edebiliriz.

Düzlemdeki düz bir çizginin tam genel denklemi A x + B y + C = 0'dır; burada A, B ve C sıfıra eşit değildir. C sayısını eşitliğin sağ tarafına aktarıyoruz, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da -C'ye bölüyoruz. Aynı zamanda x ve y'nin katsayılarını paydalara gönderiyoruz:

Bir x + B y + C = 0 ⇔ Bir x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C Bir + y - C B = 1

Son geçişi gerçekleştirmek için p q = 1 q p, p ≠ 0, q ≠ 0 eşitliğini kullandık.

Sonuç olarak, A x + B y + C = 0 düz çizgisinin genel denkleminden x a + y b = 1 parçalarındaki düz çizginin denklemine geçiş yaptık, burada a = - C A, b = - CB.

Aşağıdaki örneğe bakalım.

Örnek 2

Genel bir düz çizgi denklemi x - 7 y + 1 2 = 0 olan, parçalar halinde bir düz çizgi denklemine geçiş yapalım.

Çözüm

x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 eşitliğinin bir saniye sağ tarafına ilerliyoruz.

Eşitliğin her iki tarafını da - 1 2'ye bölüyoruz: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1.

Ortaya çıkan eşitliği şuna dönüştürelim: doğru tip: 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 ⇔ x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Parçalı bir doğrunun denklemini elde ettik.

Cevap: x - 1 2 + y 1 14 = 1

Düz bir çizginin, düzlem üzerindeki bir doğrunun kanonik veya parametrik denklemi ile verildiği durumlarda, önce doğrunun genel denklemine, ardından doğrunun parçalar halinde denklemine geçilir.

Parçalar halinde bir doğrunun denkleminden bir doğrunun genel denklemine geçmek basittir: Birimi, x a + y b = 1 biçimindeki bölümler halinde bir doğrunun denkleminin sağ tarafından, tersi ile sol tarafa aktarırız. işareti, bilinmeyen x ve y'nin önündeki katsayıları seçerek.

x a + y b = 1 ⇔ x a + y b - 1 = 0 ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0

Düzlemdeki bir doğrunun diğer herhangi bir denklemine gidebileceğimiz genel bir doğru denklemi elde ederiz. Geçiş sürecini “Bir doğrunun genel denkleminin diğer doğru denklem türlerine indirgenmesi” başlığında detaylı olarak ele aldık.

Örnek 3

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi x 2 3 + y - 12 = 1 biçimindedir. Düz bir çizginin genel denklemini bir düzlem üzerine yazmak gerekir.

Çözüm

Daha önce açıklanan bir algoritmaya göre çalışır:

x 2 3 + y - 12 = 1 ⇔ 1 2 3 x + 1 - 12 y - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 x - 1 12 y - 1 = 0

Cevap: 3 2 x - 1 12 y - 1 = 0

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Düzlemde düz bir çizginin denklemi.
Yön vektörü düzdür. Normal vektör

Düzlemdeki düz bir çizgi en basitlerinden biridir geometrik şekiller, o zamandan beri sana tanıdık geliyor genç sınıfları ve bugün analitik geometri yöntemlerini kullanarak bununla nasıl başa çıkacağımızı öğreneceğiz. Malzemeye hakim olmak için düz bir çizgi oluşturabilmeniz gerekir; Hangi denklemin düz bir çizgiyi, özellikle koordinatların orijininden geçen düz bir çizgiyi ve koordinat eksenlerine paralel düz çizgileri tanımladığını bilir. Bu bilgiyi kılavuzda bulabilirsiniz Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri, bunu matan için oluşturdum ancak ilgili bölüm doğrusal fonksiyonÇok başarılı ve detaylı çıktı. Bu nedenle sevgili çaydanlıklar, önce orayı ısıtın. Ayrıca temel bilgilere de sahip olmanız gerekir. vektörler aksi halde materyalin anlaşılması eksik kalacaktır.

Bu derste düzlem üzerinde düz bir çizginin denklemini oluşturmanın yollarına bakacağız. Uygulamalı örnekleri (çok basit görünse bile) ihmal etmemenizi öneririm, çünkü onlara yüksek matematiğin diğer bölümleri de dahil olmak üzere gelecekte ihtiyaç duyulacak temel ve önemli gerçekleri ve teknikleri sunacağım.

Açı katsayılı düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?
Nasıl ?
Düz bir çizginin genel denklemini kullanarak yön vektörü nasıl bulunur?
Bir nokta ve normal bir vektör verilen düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

ve başlıyoruz:

Eğimli bir doğrunun denklemi

Düz çizgi denkleminin iyi bilinen "okul" biçimine denir eğimi olan bir doğrunun denklemi. Örneğin, denklemde düz bir çizgi veriliyorsa eğimi: . düşünelim geometrik anlamı Bu katsayı ve değerinin hattın konumunu nasıl etkilediği:

Bir geometri dersinde kanıtlanmıştır ki doğrunun eğimi eşittir açının tanjantı pozitif eksen yönü arasındave bu çizgi: ve açı saat yönünün tersine "açılır".

Çizimi karıştırmamak için sadece iki düz çizgiye açı çizdim. “Kırmızı” çizgiyi ve eğimini ele alalım. Yukarıdakilere göre: (“alfa” açısı yeşil bir yay ile gösterilir). Açı katsayısına sahip “mavi” düz çizgi için eşitlik doğrudur (“beta” açısı kahverengi bir yay ile gösterilir). Ve eğer açının tanjantı biliniyorsa, o zaman gerekirse bulunması kolaydır. ve köşenin kendisi kullanarak ters fonksiyon– arktanjant. Dedikleri gibi, elinizde bir trigonometrik masa veya bir mikro hesap makinesi. Böylece, açısal katsayı, düz çizginin apsis eksenine eğim derecesini karakterize eder.

Aşağıdaki durumlar mümkündür:

1) Eğim negatifse: kabaca konuşursak çizgi yukarıdan aşağıya doğru gider. Örnekler çizimdeki “mavi” ve “ahududu” düz çizgilerdir.

2) Eğim pozitifse: doğru aşağıdan yukarıya doğru gider. Örnekler - çizimdeki “siyah” ve “kırmızı” düz çizgiler.

3) Eğim sıfır ise denklem şu şekli alır: karşılık gelen düz çizgi eksene paraleldir. Bir örnek “sarı” düz çizgidir.

4) Bir eksene paralel bir çizgi ailesi için (çizimde eksenin kendisi dışında örnek yoktur), açısal katsayı mevcut değil (90 derecenin tanjantı tanımlanmamıştır).

Mutlak değerde eğim katsayısı ne kadar büyükse, düz çizgi grafiği de o kadar dik gider..

Örneğin iki düz çizgiyi düşünün. Dolayısıyla burada düz çizginin eğimi daha diktir. Modülün işareti görmezden gelmenize izin verdiğini hatırlatayım, biz sadece ilgileniyoruz mutlak değerler açısal katsayılar.

Buna karşılık düz bir çizgi, düz çizgilerden daha diktir .

Tersine: mutlak değerde eğim katsayısı ne kadar küçükse, düz çizgi o kadar düz olur.

Düz çizgiler için eşitsizlik doğrudur, dolayısıyla düz çizgi daha düzdür. Kendinize morluklar ve şişlikler vermemek için çocuk kaydırağı.

Bu neden gerekli?

Eziyetinizi uzatın Yukarıdaki gerçekleri bilmek, hatalarınızı, özellikle de grafik oluştururken yaptığınız hataları - çizimin "açıkça yanlış olduğu" ortaya çıkarsa - anında görmenizi sağlar. Bunu yapmanız tavsiye edilir hemenörneğin düz çizginin çok dik olduğu ve aşağıdan yukarıya doğru gittiği, düz çizginin ise çok düz olduğu, eksene yakın bastırıldığı ve yukarıdan aşağıya doğru gittiği açıktı.

Geometrik problemlerde sıklıkla birkaç düz çizgi görünür, bu nedenle bunları bir şekilde belirlemek uygundur.

Tanımlar: düz çizgiler küçük Latin harfleriyle gösterilmiştir: . Popüler bir seçenek, bunları doğal alt simgelerle aynı harfi kullanarak belirlemektir. Örneğin az önce baktığımız beş çizgi şu şekilde gösterilebilir: .

Herhangi bir düz çizgi benzersiz olarak iki nokta tarafından belirlendiğinden, bu noktalarla gösterilebilir: vesaire. Tanım, noktaların çizgiye ait olduğunu açıkça ima eder.

Biraz ısınmanın zamanı geldi:

Açı katsayılı düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

Belirli bir doğruya ait bir nokta ve bu doğrunun açısal katsayısı biliniyorsa bu doğrunun denklemi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Örnek 1

Noktanın verilen doğruya ait olduğu biliniyorsa eğimi olan bir doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm: Formülü kullanarak düz çizginin denklemini oluşturalım . Bu durumda:

Cevap:

Sınav basitçe yapılır. Öncelikle ortaya çıkan denkleme bakıp eğimimizin yerinde olduğundan emin oluyoruz. İkinci olarak noktanın koordinatlarının bu denklemi sağlaması gerekir. Bunları denklemde yerine koyalım:

Doğru eşitlik elde edilir, bu da noktanın ortaya çıkan denklemi karşıladığı anlamına gelir.

Çözüm: Denklem doğru bulunmuştur.

için daha çetrefilli bir örnek bağımsız karar:

Örnek 2

Eksenin pozitif yönüne olan eğim açısının olduğu ve noktanın bu düz çizgiye ait olduğu biliniyorsa, düz bir çizginin denklemini yazın.

Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız tekrar okuyun teorik materyal. Daha doğrusu, daha pratik, birçok delili atlıyorum.

Son zil çaldı, mezuniyet töreni sona erdi ve ana okulumuzun kapılarının dışında analitik geometrinin kendisi bizi bekliyor. Şakalar bitti... Ya da belki daha yeni başlıyorlar =)

Kalemimizi nostaljik bir şekilde tanıdık olana sallıyoruz ve düz bir çizginin genel denklemiyle tanışıyoruz. Çünkü analitik geometride tam olarak kullanılan şey budur:

Genel denklem düz çizgi şu şekle sahiptir: , bazı sayılar nerede? Aynı zamanda katsayılar aynı anda Denklem anlamını yitirdiğinden sıfıra eşit değildir.

Takım elbise giyelim ve denklemi eğim katsayısıyla bağlayalım. Öncelikle tüm terimleri sol tarafa taşıyalım:

İlk sıraya “X”li terim konulmalıdır:

Prensip olarak, denklem zaten şu şekle sahiptir, ancak matematik görgü kurallarına göre, ilk terimin katsayısı (bu durumda) pozitif olmalıdır. İşaretlerin değiştirilmesi:

Bu teknik özelliği unutmayın!İlk katsayıyı (çoğunlukla) pozitif yaparız!

Analitik geometride düz bir çizginin denklemi neredeyse her zaman genel biçimde verilir. Gerekirse, açısal katsayılı (ordinat eksenine paralel düz çizgiler hariç) kolayca "okul" formuna indirgenebilir.

Kendimize şunu soralım yeterli Düz bir çizgi çizmeyi biliyor musun? İki nokta. Ancak bu çocukluk olayı hakkında daha sonra daha fazla bilgi verilecek; Her düz çizginin çok özel bir eğimi vardır ve buna "adapte edilmesi" kolaydır. vektör.

Bir doğruya paralel olan vektöre o doğrunun yön vektörü denir. Herhangi bir düz çizginin sonsuz sayıda yön vektörüne sahip olduğu açıktır ve bunların hepsi eşdoğrusal olacaktır (eş-yönlü olsun ya da olmasın; fark etmez).

Yön vektörünü şu şekilde göstereceğim: .

Ancak bir vektör düz bir çizgi oluşturmak için yeterli değildir; vektör serbesttir ve düzlemdeki herhangi bir noktaya bağlı değildir. Bu nedenle doğruya ait bazı noktaların da bilinmesi gerekmektedir.

Bir nokta ve yön vektörü kullanılarak düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

Bir doğruya ait bir nokta ve bu doğrunun yön vektörü biliniyorsa , o zaman bu doğrunun denklemi aşağıdaki formül kullanılarak derlenebilir:

Bazen denir kanonik denklem doğrudan .

Ne zaman ne yapmalı koordinatlardan biri sıfıra eşit olduğunu aşağıdaki pratik örneklerde anlayacağız. Bu arada, lütfen unutmayın - ikisi de aynı anda Sıfır vektörü belirli bir yönü belirtmediğinden koordinatlar sıfıra eşit olamaz.

Örnek 3

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın

Çözüm: Formülü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım. Bu durumda:

Orantı özelliklerini kullanarak kesirlerden kurtuluruz:

Ve denklemi şuna getiriyoruz: genel görünüş:

Cevap:

Kural olarak, bu tür örneklerde çizim yapmaya gerek yoktur, ancak anlaşılması adına:

Çizimde başlangıç noktasını, orijinal yön vektörünü (düzlemdeki herhangi bir noktadan çizilebilir) ve oluşturulan düz çizgiyi görüyoruz. Bu arada, çoğu durumda açısal katsayılı bir denklem kullanarak düz bir çizgi oluşturmak en uygunudur. Denklemimizi forma dönüştürmek ve düz bir çizgi oluşturmak için kolayca başka bir nokta seçmek kolaydır.

Paragrafın başında belirtildiği gibi, düz bir çizginin sonsuz sayıda yön vektörü vardır ve bunların hepsi eşdoğrusaldır. Örneğin, böyle üç vektör çizdim: . Hangi yön vektörünü seçersek seçelim sonuç her zaman aynı düz çizgi denklemi olacaktır.

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım:

Oranın çözümü:

Her iki tarafı da -2'ye bölün ve tanıdık denklemi elde edin:

İlgilenenler vektörleri aynı şekilde test edebilirler veya başka herhangi bir eşdoğrusal vektör.

Şimdi ters problemi çözelim:

Düz bir çizginin genel denklemini kullanarak yön vektörü nasıl bulunur?

Çok basit:

Bir doğru genel bir denklemle verilmişse, vektör bu doğrunun yön vektörüdür.

Düz çizgilerin yön vektörlerini bulma örnekleri:

İfade, sonsuz sayıdan yalnızca bir yön vektörünü bulmamızı sağlar, ancak daha fazlasına ihtiyacımız yoktur. Bazı durumlarda yön vektörlerinin koordinatlarının azaltılması tavsiye edilse de:

Dolayısıyla denklem, eksene paralel olan bir düz çizgiyi belirtir ve elde edilen yön vektörünün koordinatları uygun şekilde –2'ye bölünür ve yön vektörü olarak tam olarak temel vektör elde edilir. Mantıksal.

Benzer şekilde denklem eksene paralel bir doğruyu belirtir ve vektörün koordinatlarını 5'e bölerek yön vektörü olarak birim vektörü elde ederiz.

Şimdi yapalım Örnek 3'ün kontrol edilmesi. Örnek yukarıya çıktı, bu yüzden size bir nokta ve yön vektörü kullanarak düz bir çizginin denklemini derlediğimizi hatırlatırım.

İlk önce, düz çizginin denklemini kullanarak onun yön vektörünü yeniden oluşturuyoruz: – her şey yolunda, orijinal vektörü aldık (bazı durumlarda sonuç, orijinal vektöre eşdoğrusal bir vektör olabilir ve bunu genellikle karşılık gelen koordinatların orantılılığıyla fark etmek kolaydır).

ikinci olarak, noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır. Bunları denklemde yerine koyarız:

Doğru eşitlik elde edildi ve bundan çok memnunuz.

Çözüm: Görev doğru bir şekilde tamamlandı.

Örnek 4

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Çözüm ve cevap dersin sonundadır. Az önce tartışılan algoritmayı kullanarak kontrol etmeniz şiddetle tavsiye edilir. Her zaman (mümkünse) taslağı kontrol etmeye çalışın. %100 önlenebilecek hatalar yapmak aptallıktır.

Yön vektörünün koordinatlarından birinin sıfır olması durumunda çok basit bir şekilde ilerleyin:

Örnek 5

Çözüm: Sağ taraftaki payda sıfır olduğundan formül uygun değildir. Bir çıkış yolu var! Oranın özelliklerini kullanarak formülü formda yeniden yazıyoruz ve geri kalanı derin bir iz boyunca yuvarlanıyor:

Cevap:

Sınav:

1) Hattın yönlendirme vektörünü geri yükleyin:
– ortaya çıkan vektör orijinal yön vektörüne eşdoğrusaldır.

2) Noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyun:

Doğru eşitlik elde edildi

Çözüm: görev doğru şekilde tamamlandı

Şu soru ortaya çıkıyor: Her durumda işe yarayacak evrensel bir versiyon varsa neden formülle uğraşasınız ki? İki sebep var. İlk olarak formül kesir şeklindedir çok daha iyi hatırlandı. İkincisi, evrensel formülün dezavantajı şudur: kafanın karışma riski önemli ölçüde artar Koordinatları değiştirirken.

Örnek 6

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Her yerde bulunan iki noktaya dönelim:

İki noktayı kullanarak düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

İki nokta biliniyorsa, bu noktalardan geçen düz bir çizginin denklemi aşağıdaki formül kullanılarak derlenebilir:

Aslında bu bir tür formüldür ve nedeni şudur: Eğer iki nokta biliniyorsa, o zaman vektör, verilen doğrunun yön vektörü olacaktır. sınıfta Aptallar için vektörler En basit problemi düşündük - bir vektörün koordinatlarının iki noktadan nasıl bulunacağı. Bu probleme göre yön vektörünün koordinatları şöyledir:

Not : noktalar "değiştirilebilir" ve formül kullanılabilir. Böyle bir çözüm eşdeğer olacaktır.

Örnek 7

İki noktayı kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın .

Çözüm: Şu formülü kullanıyoruz:

Paydaların birleştirilmesi:

Ve desteyi karıştırın:

Artık kesirli sayılardan kurtulmanın zamanı geldi. Bu durumda her iki tarafı da 6 ile çarpmanız gerekir:

Parantezleri açın ve denklemi aklınıza getirin:

Cevap:

Sınav açıktır - başlangıç noktalarının koordinatları ortaya çıkan denklemi karşılamalıdır:

1) Noktanın koordinatlarını değiştirin:

Gerçek eşitlik.

2) Noktanın koordinatlarını değiştirin:

Gerçek eşitlik.

Çözüm: Doğrunun denklemi doğru yazılmıştır.

Eğer en az bir noktaların denklemi karşılamıyorsa, bir hata arayın.

Düz bir çizgi oluşturmak ve noktaların ona ait olup olmadığını görmek nedeniyle bu durumda grafiksel doğrulamanın zor olduğunu belirtmekte fayda var. o kadar basit değil.

Çözümün birkaç teknik yönüne daha değineceğim. Belki bu problemde ayna formülünü kullanmak daha karlı olur ve aynı noktalarda bir denklem kuralım:

Daha az kesir. İsterseniz çözümü sonuna kadar yürütebilirsiniz, sonuç aynı denklem olmalıdır.

İkinci nokta, son cevaba bakmak ve bunun daha da basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini bulmaktır. Örneğin, denklemi elde ederseniz, onu ikiye azaltmanız önerilir: – denklem aynı düz çizgiyi tanımlayacaktır. Ancak bu zaten konuşulan bir konu çizgilerin göreceli konumu.

Cevabı aldıktan Örnek 7'de her ihtimale karşı denklemin TÜM katsayılarının 2, 3 veya 7'ye bölünebilir olup olmadığını kontrol ettim. Bununla birlikte, çoğu zaman bu tür indirgemeler çözüm sırasında yapılır.

Örnek 8

Noktalardan geçen bir doğrunun denklemini yazın .

Bu, hesaplama tekniklerini daha iyi anlamanızı ve uygulamanızı sağlayacak bağımsız bir çözüm örneğidir.

Önceki paragrafa benzer: formülde ise paydalardan biri (yön vektörünün koordinatı) sıfır olur, sonra onu formda yeniden yazarız. Bir kez daha ne kadar garip ve kafası karışmış göründüğüne dikkat edin. Bu sorunu zaten çözdüğümüz için pratik örnekler vermenin pek bir anlamı olduğunu düşünmüyorum (bkz. No. 5, 6).

Doğrudan normal vektör (normal vektör)

Normal olan nedir? Basit kelimelerle, normal diktir. Yani bir doğrunun normal vektörü verilen bir doğruya diktir. Açıkçası, herhangi bir düz çizgide bunlardan sonsuz sayıda vardır (aynı zamanda yön vektörleri) ve düz çizginin tüm normal vektörleri eşdoğrusal olacaktır (eş-yönlü olsun ya da olmasın, hiçbir fark yaratmaz).

Onlarla uğraşmak, kılavuz vektörlerle uğraşmaktan çok daha kolay olacaktır:

Dikdörtgen koordinat sisteminde bir doğru genel bir denklemle verilmişse, vektör bu doğrunun normal vektörüdür.

Yön vektörünün koordinatlarının denklemden dikkatlice "çıkarılması" gerekiyorsa, normal vektörün koordinatları basitçe "çıkarılabilir".

Normal vektör her zaman doğrunun yön vektörüne diktir. Bu vektörlerin dikliğini aşağıdakileri kullanarak doğrulayalım: nokta çarpım:

Yön vektörüyle aynı denklemlere sahip örnekler vereceğim:

Bir noktası ve normal vektörü verilen bir doğrunun denklemini oluşturmak mümkün müdür? Bunu iliklerimde hissediyorum, bu mümkün. Normal vektör biliniyorsa, düz çizginin yönü açıkça tanımlanır - bu, 90 derecelik bir açıya sahip "sert bir yapıdır".

Bir nokta ve normal bir vektör verilen bir düz çizginin denklemi nasıl yazılır?

Bir doğruya ait belirli bir nokta ve bu doğrunun normal vektörü biliniyorsa bu doğrunun denklemi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Burada her şey kesirler ve diğer sürprizler olmadan yolunda gitti. Bu bizim normal vektörümüz. Onu seviyorum. Ve saygı duyuyorum =)

Örnek 9

Bir noktası ve normal vektörü verilen bir doğrunun denklemini yazınız. Doğrunun yön vektörünü bulun.

Çözüm: Şu formülü kullanıyoruz:

Doğrunun genel denklemi elde edildi, kontrol edelim:

1) Normal vektörün koordinatlarını denklemden “çıkarın”: – evet, gerçekten de orijinal vektör koşuldan elde edildi (veya eşdoğrusal bir vektör elde edilmelidir).

2) Noktanın denklemi karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim:

Gerçek eşitlik.

Denklemin doğru oluşturulduğuna ikna olduktan sonra görevin ikinci, daha kolay kısmını tamamlayacağız. Düz çizginin yönlendirici vektörünü çıkarıyoruz:

Cevap:

Çizimde durum şöyle görünüyor:

Eğitim amacıyla, bağımsız olarak çözmek için benzer bir görev:

Örnek 10

Bir noktası ve normal vektörü verilen bir doğrunun denklemini yazınız. Doğrunun yön vektörünü bulun.

Dersin son bölümü, düzlemdeki bir doğrunun daha az yaygın fakat aynı zamanda önemli denklem türlerine ayrılacaktır.

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.
Parametrik formda bir doğrunun denklemi

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi, sıfırdan farklı sabitlerin olduğu formdadır. Doğru orantılılık gibi bazı denklem türleri bu biçimde temsil edilemez (çünkü serbest terim sıfıra eşittir ve sağ tarafa bir tane almanın yolu yoktur).

Bu mecazi anlamda “teknik” bir denklem türüdür. Yaygın bir görev, bir doğrunun genel denklemini parçalar halinde bir doğrunun denklemi olarak temsil etmektir. Nasıl uygun? Bir çizginin segmentler halinde denklemi, bir çizginin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar; bu, bazı yüksek matematik problemlerinde çok önemli olabilir.

Doğrunun eksenle kesişme noktasını bulalım. “Y”yi sıfırlarız ve denklem şu şekli alır: İstenilen nokta otomatik olarak elde edilir: .

Eksen ile aynı – Düz çizginin ordinat ekseniyle kesiştiği nokta.

Formun çizgi denklemi, burada A Ve B– sıfır dışındaki bazı gerçek sayılara denir segmentlerdeki düz bir çizginin denklemi. Sayıların mutlak değerleri olduğundan bu isim tesadüfi değildir. A Ve B düz çizginin koordinat eksenlerinde kestiği bölümlerin uzunluklarına eşittir Öküz Ve oy sırasıyla (bölümler başlangıç noktasından itibaren sayılır). Böylece, bir doğrunun parçalar halinde denklemi, bu doğrunun bir çizimde oluşturulmasını kolaylaştırır. Bunu yapmak için düzlemde koordinatlı ve dikdörtgen koordinat sisteminde noktaları işaretlemeli ve bunları düz bir çizgiyle birleştirmek için cetvel kullanmalısınız.

Örneğin, formun parçaları halinde bir denklem tarafından verilen bir düz çizgi çizelim. Noktaları işaretleyin ve bağlayın.

Düzlemdeki bir doğrunun bu tür denklemi hakkında ayrıntılı bilgiyi doğrunun doğru parçası denklemi makalesinde bulabilirsiniz.

Sayfanın başı

İşin sonu -

Bu konu şu bölüme aittir:

Cebir ve analitik geometri. Matris kavramı, matrisler üzerinde yapılan işlemler ve özellikleri

Matris kavramı, matrisler ve özellikleri üzerinde yapılan işlemlerdir.. matris, sayılardan oluşan dikdörtgen bir tablodur.. ve matris toplama, eleman bazında bir işlemdir..

Bu konuyla ilgili ek materyale ihtiyacınız varsa veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:

Alınan materyalle ne yapacağız:

Bu materyal sizin için yararlı olduysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz:

Bu bölümdeki tüm konular:

Diferansiyellenebilirliğin tanımı
Türev bulma işlemine bir fonksiyonun türevi denir. Bir fonksiyonun belirli bir noktada sonlu bir türevi varsa o noktada türevlenebilir olduğu söylenir ve

Farklılaşma kuralı
Sonuç 1. Türevin işaretinden sabit faktör çıkarılabilir:

Türevin geometrik anlamı. Teğet denklem
Düz bir çizginin eğim açısı y = kx+b konumundan ölçülen açıdır

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin geometrik anlamı
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin AB sekantını, sırasıyla A ve B noktalarının koordinatları olacak şekilde ele alalım.

Çözüm
Herkes için tanımlanmış işlev gerçek sayılar. (-1; -3) bir teğet noktası olduğundan, o zaman

Bir ekstremum için gerekli koşullar ve bir ekstremum için yeterli koşullar
Artan bir fonksiyonun tanımı. y = f(x) fonksiyonu X aralığında artar.

Bir fonksiyonun ekstremumunun yeterli işaretleri
Bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu bulmak için üç yöntemden herhangi birini kullanabilirsiniz. yeterli endikasyonlar ekstremum. Her ne kadar en yaygın ve kullanışlı olanı bunlardan ilkidir.

Belirli bir integralin temel özellikleri. Özellik 1. Türevi belirli integralüst sınırda bir değişken yerine entegre edilen integrale eşittir

Newton-Leibniz formülü (kanıtlı)
Newton-Leibniz formülü. y = f(x) fonksiyonu bir aralıkta sürekli olsun ve F(x) bu aralıktaki fonksiyonun ters türevlerinden biri olsun, o zaman denklem

Segmentlerdeki bir doğrunun denklemi

Düz bir çizginin genel denklemi verilsin:

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi; burada düz çizginin karşılık gelen koordinat eksenlerinde kestiği bölümler bulunur.

Genel denklem tarafından verilen düz bir çizgi oluşturun:

Buradan bu doğrunun segmentler halinde bir denklemini oluşturabiliriz:

Bir düzlemdeki çizgilerin göreceli konumu.

Açıklama 1.

Düz çizgiler için ve denklemlerle verilmek üzere:

Tesadüf gerekli ve yeterlidir:

Kanıt: ve çakışmaları, yön vektörleri ve eşdoğrusal olmaları, yani:

Bu düz çizgiyle M 0 noktasını alalım, o zaman:

İlk denklemi çarpıp ikinciye (2) ekleyerek şunu elde ederiz:

Dolayısıyla (2), (3) ve (4) formülleri eşdeğerdir. (2) sağlanıyorsa, (*) sisteminin denklemleri eşdeğerdir; karşılık gelen düz çizgiler çakışır.

Açıklama 2.

Denklemlerle (*) verilen çizgiler paraleldir ve ancak ve ancak aşağıdaki durumlarda çakışmaz:

Kanıt:

Eşleşmeseler bile:

Tutarsız, yani Kronecker-Capelli teoremine göre:

Bu yalnızca aşağıdaki durumlarda mümkündür:

Yani koşul (5) karşılandığında.

Birinci eşitliğin (5) sağlanması durumunda, - ikinci eşitliğin sağlanamaması sistemin uyumsuzluğuna neden olur (*) doğrular paraleldir ve çakışmaz.

Not 1.

Kutupsal koordinat sistemi.

Düzlem üzerinde bir nokta belirleyip ona kutup adını verelim. Kutuptan çıkan ışına kutup ekseni adı verilecektir.

Segmentlerin uzunluklarını ölçmek için bir ölçek seçelim ve nokta etrafında saat yönünün tersine dönmenin pozitif kabul edileceği konusunda anlaşalım. Herhangi bir noktayı düşünün Verilen uçak, direğe olan mesafesini belirtin ve buna kutup yarıçapı adını verin. Kutup ekseninin çakışması için döndürülmesi gereken açı, kutup açısı olarak adlandırılacak ve gösterilecektir.

Tanım 3.

Bir noktanın kutupsal koordinatları kutup yarıçapı ve kutup açısıdır: