Üçgen alanı teoremi, sinüs ve kosinüs teoremleri. Üçgenin alanı Aralarındaki açının sinüs üçgeninin alanı

Taban ve yükseklik bilinerek bulunabilir. Diyagramın tüm basitliği, yüksekliğin a tabanını a 1 ve a 2 olmak üzere iki parçaya ve üçgenin kendisini alanı ve olan iki dik üçgene bölmesinde yatmaktadır. Daha sonra tüm üçgenin alanı belirtilen iki alanın toplamı olacaktır ve eğer yüksekliğin bir saniyesini braketten çıkarırsak, toplamda tabanı geri alırız:

Hesaplamalar için daha zor bir yöntem, üç tarafı da bilmeniz gereken Heron formülüdür. Bu formül için öncelikle üçgenin yarı çevresini hesaplamanız gerekir: Heron formülünün kendisi, yarı çevrenin karekökünün her iki taraftaki farkla çarpılmasını ifade eder.

Herhangi bir üçgen için de geçerli olan aşağıdaki yöntem, üçgenin alanını iki kenardan ve aralarındaki açıyı bulmanızı sağlar. Bunun kanıtı yükseklik formülünden gelir - bilinen kenarlardan herhangi birinin yüksekliğini çizeriz ve α açısının sinüsü aracılığıyla h=a⋅sinα sonucunu elde ederiz. Alanı hesaplamak için yüksekliğin yarısını ikinci kenarla çarpın.

Diğer bir yol ise 2 açıyı ve aralarındaki kenarı bilerek üçgenin alanını bulmaktır. Bu formülün ispatı oldukça basittir ve diyagramdan açıkça görülmektedir.

Üçüncü açının tepe noktasından yüksekliği bilinen tarafa indiririz ve ortaya çıkan parçalara buna göre x adını veririz. İtibaren dik üçgenler ilk segment x'in çarpıma eşit olduğu açıktır

Basitçe söylemek gerekirse bunlar, özel bir tarife göre suda pişirilen sebzelerdir. İki başlangıç ​​​​bileşenini (sebze salatası ve su) ve bitmiş sonucu - pancar çorbasını ele alacağım. Geometrik olarak bir tarafı marulu, diğer tarafı suyu temsil eden bir dikdörtgen gibi düşünülebilir. Bu iki tarafın toplamı pancar çorbasını gösterecektir. Böyle bir "pancar çorbası" dikdörtgeninin köşegeni ve alanı tamamen matematiksel kavramlardır ve asla pancar çorbası tariflerinde kullanılmaz.

Marul ve su matematiksel açıdan nasıl pancar çorbasına dönüşür? İki doğru parçasının toplamı nasıl trigonometri olabilir? Bunu anlamak için doğrusal açısal fonksiyonlara ihtiyacımız var.

Matematik ders kitaplarında doğrusal açısal fonksiyonlar hakkında hiçbir şey bulamazsınız. Ama onlar olmadan matematik olamaz. Doğa kanunları gibi matematik kanunları da onların varlığını bilsek de bilmesek de işlerler.

Doğrusal açısal fonksiyonlar toplama yasalarıdır. Cebirin nasıl geometriye, geometrinin de trigonometriye dönüştüğünü görün.

Doğrusal açısal fonksiyonlar olmadan yapmak mümkün mü? Bu mümkün çünkü matematikçiler hâlâ onlarsız da idare edebiliyorlar. Matematikçilerin püf noktası, bize her zaman yalnızca kendilerinin nasıl çözeceklerini bildikleri problemleri anlatmaları ve çözemedikleri problemler hakkında asla konuşmamalarıdır. Bakmak. Toplamanın ve bir terimin sonucunu biliyorsak, diğer terimi bulmak için çıkarma işlemini kullanırız. Tüm. Diğer sorunları bilmiyoruz ve bunları nasıl çözeceğimizi de bilmiyoruz. Yalnızca toplama işleminin sonucunu biliyorsak ve her iki terimi de bilmiyorsak ne yapmalıyız? Bu durumda toplama işleminin sonucunun doğrusal açısal fonksiyonlar kullanılarak iki terime ayrıştırılması gerekir. Daha sonra, bir terimin ne olabileceğini kendimiz seçiyoruz ve doğrusal açısal fonksiyonlar, ikinci terimin ne olması gerektiğini gösteriyor, böylece toplamanın sonucu tam olarak ihtiyacımız olan şey oluyor. Bu tür terim çiftlerinden sonsuz sayıda olabilir. İÇİNDE günlük yaşam Toplamı ayrıştırmadan da gayet iyi yapabiliriz; çıkarma bizim için yeterlidir. Ama ne zaman bilimsel araştırma Doğa yasalarına göre bir toplamı bileşenlerine ayırmak çok yararlı olabilir.

Matematikçilerin bahsetmekten hoşlanmadığı bir başka toplama kanunu (hilelerinden bir diğeri), terimlerin aynı ölçü birimlerine sahip olmasını gerektirir. Salata, su ve pancar çorbası için bunlar ağırlık, hacim, değer veya ölçü birimi olabilir.

Şekil matematik için iki seviyeli farkı göstermektedir. Birinci düzey, belirtilen sayılar alanındaki farklılıklardır. A, B, C. Matematikçilerin yaptığı da budur. İkinci düzey, köşeli parantez içinde gösterilen ve harfle gösterilen ölçü birimleri alanındaki farklılıklardır. sen. Fizikçilerin yaptığı da budur. Üçüncü seviyeyi, yani tanımlanan nesnelerin alanındaki farklılıkları anlayabiliriz. Farklı nesneler aynı sayıda aynı ölçü birimine sahip olabilir. Bunun ne kadar önemli olduğunu pancar çorbası trigonometrisi örneğinde görebiliriz. Farklı nesnelerin ölçü birimlerinin aynı tanımına aboneler eklersek, tam olarak hangisinin olduğunu söyleyebiliriz. matematiksel miktar Belirli bir nesneyi ve onun zaman içinde veya eylemlerimiz nedeniyle nasıl değiştiğini açıklar. Mektup K Suyu harfle belirteceğim S Salatayı bir harfle belirleyeceğim B- borsch. Pancar çorbası için doğrusal açısal fonksiyonlar böyle görünecek.

Suyun bir kısmını ve salatanın bir kısmını alırsak, hepsi birlikte bir porsiyon pancar çorbasına dönüşecektir. Burada pancar çorbasına biraz ara vermenizi ve uzak çocukluğunuzu hatırlamanızı öneririm. Tavşanlarla ördekleri bir araya getirmenin bize nasıl öğretildiğini hatırlıyor musun? Kaç hayvan olacağını bulmak gerekiyordu. O zaman bize ne yapmamız öğretildi? Bize ölçü birimlerini sayılardan ayırmamız ve sayıları toplamamız öğretildi. Evet, herhangi bir sayı başka bir sayıya eklenebilir. Bu, modern matematiğin otizmine giden doğrudan bir yoldur - bunu anlaşılmaz bir şekilde, neden, anlaşılmaz bir şekilde yapıyoruz ve bunun gerçeklikle nasıl ilişkili olduğunu çok az anlıyoruz, üç fark seviyesi nedeniyle, matematikçiler yalnızca bir tanesiyle çalışırlar. Bir ölçü biriminden diğerine nasıl geçileceğini öğrenmek daha doğru olur.

Tavşanlar, ördekler ve küçük hayvanlar parçalar halinde sayılabilir. Farklı nesneler için ortak bir ölçü birimi, onları bir araya toplamamıza olanak tanır. Bu sorunun çocuk versiyonu. Yetişkinler için de benzer bir soruna bakalım. Tavşanları ve parayı eklediğinizde ne elde edersiniz? Burada iki olası çözüm var.

İlk seçenek. Tavşanların piyasa değerini belirliyoruz ve bunu mevcut para miktarına ekliyoruz. Servetimizin toplam değerini parasal olarak aldık.

İkinci seçenek. Tavşan sayısını elimizdeki sayıya ekleyebilirsiniz. banknotlar. Taşınır mal miktarını parça halinde alacağız.

Gördüğünüz gibi aynı toplama kanunu farklı sonuçlar elde etmenize olanak sağlıyor. Her şey tam olarak ne bilmek istediğimize bağlı.

Ama hadi pancar çorbamıza geri dönelim. Artık ne zaman olacağını görebiliriz farklı anlamlar Doğrusal açısal fonksiyonların açısı.

Açı sıfırdır. Salatamız var ama suyumuz yok. Pancar çorbası pişiremiyoruz. Pancar çorbası miktarı da sıfırdır. Bu, sıfır pancar çorbasının sıfır suya eşit olduğu anlamına gelmez. Sıfır salata ile sıfır pancar çorbası olabilir (dik açı).

Şahsen benim için bu, şu gerçeğin ana matematiksel kanıtıdır. Sıfır, eklendiğinde sayıyı değiştirmez. Bunun nedeni, yalnızca bir terim varsa ve ikinci terim eksikse toplamanın kendisinin imkansız olmasıdır. Bunu istediğiniz gibi hissedebilirsiniz, ancak unutmayın - sıfırla yapılan tüm matematiksel işlemler matematikçiler tarafından icat edilmiştir, bu yüzden mantığınızı bir kenara bırakın ve matematikçiler tarafından icat edilen tanımları aptalca tıkıştırın: "sıfıra bölmek imkansızdır", "herhangi bir sayının çarpımı" sıfır sıfıra eşittir”, “delme noktası sıfırın ötesinde” ve diğer saçmalıklar. Sıfırın bir sayı olmadığını bir kez hatırlamak yeterlidir ve bir daha asla sıfırın doğal sayı olup olmadığı sorusuyla karşılaşmazsınız çünkü böyle bir soru tüm anlamını yitirir: Sayı olmayan bir şey nasıl sayı olarak kabul edilebilir? ? Bu, görünmez bir rengin hangi renk olarak sınıflandırılması gerektiğini sormak gibidir. Bir sayıya sıfır eklemek, orada olmayan boyayla resim yapmakla aynı şeydir. Kuru bir fırça salladık ve herkese “boyama yaptık” dedik. Ama biraz dalıyorum.

Açı sıfırdan büyük ama kırk beş dereceden az. Çok fazla marulumuz var ama yeterli suyumuz yok. Sonuç olarak kalın pancar çorbası elde edeceğiz.

Açı kırk beş derecedir. Eşit miktarda su ve salatamız var. Bu mükemmel pancar çorbası (affet beni şefler, bu sadece matematik).

Açı kırk beş dereceden büyük, ancak doksan dereceden azdır. Bol suyumuz ve az salatamız var. Sıvı pancar çorbası alacaksınız.

Sağ açı. Suyumuz var. Bir zamanlar salatayı işaretleyen çizginin açısını ölçmeye devam ettiğimizde, salatadan geriye kalan tek şey anılardır. Pancar çorbası pişiremiyoruz. Pancar çorbası miktarı sıfırdır. Bu durumda tutun ve elinizde su varken için)))

Burada. Bunun gibi bir şey. Burada fazlasıyla uygun olacak başka hikayeler anlatabilirim.

İki arkadaşın ortak bir işte hisseleri vardı. Birini öldürdükten sonra her şey diğerine gitti.

Gezegenimizde matematiğin ortaya çıkışı.

Bütün bu hikayeler matematik dilinde doğrusal açısal fonksiyonlar kullanılarak anlatılıyor. Başka bir zaman size bu fonksiyonların matematiğin yapısındaki gerçek yerini göstereceğim. Bu arada pancar çorbası trigonometrisine dönelim ve projeksiyonları ele alalım.

26 Ekim 2019 Cumartesi

İlginç bir video izledim Grundy serisi Bir eksi bir artı bir eksi bir - Numberphile. Matematikçiler yalan söyler. Gerekçelendirme sırasında eşitlik kontrolü yapmamışlardır.

Bu benim hakkındaki düşüncelerimi yansıtıyor.

Matematikçilerin bizi aldattığına dair işaretlere daha yakından bakalım. Tartışmanın en başında matematikçiler bir dizinin toplamının çift sayıda öğeye sahip olup olmamasına bağlı olduğunu söylüyorlar. Bu, objektif olarak kanıtlanmış bir gerçektir. Sonra ne olacak?

Daha sonra matematikçiler diziyi birlikten çıkarırlar. Bu neye yol açıyor? Bu, dizinin eleman sayısında bir değişikliğe yol açar; çift sayı tek sayıya, tek sayı çift sayıya dönüşür. Sonuçta diziye bire eşit bir eleman ekledik. Tüm dışsal benzerliğe rağmen dönüşümden önceki dizi, dönüşümden sonraki diziye eşit değildir. Sonsuz bir diziden bahsediyor olsak bile, tek sayıda öğeye sahip sonsuz bir dizinin, çift sayıda öğeye sahip sonsuz bir diziye eşit olmadığını unutmamalıyız.

Matematikçiler, farklı sayıda öğeye sahip iki dizi arasına eşit işareti koyarak, dizi toplamının dizideki öğe sayısına bağlı OLMADIĞINI iddia ederler; bu da, HEDEF OLARAK BELİRTİLMİŞ BİR GERÇEKLE çelişir. Sonsuz bir dizinin toplamına ilişkin daha fazla akıl yürütme, yanlış bir eşitliğe dayandığı için yanlıştır.

Matematikçilerin ispatlar sırasında parantezleri yerleştirdiklerini, matematiksel ifadenin öğelerini yeniden düzenlediklerini, bir şeyler eklediklerini veya çıkardıklarını görürseniz çok dikkatli olun, büyük olasılıkla sizi kandırmaya çalışıyorlar. Kart sihirbazları gibi matematikçiler de, sonuçta size yanlış bir sonuç vermek amacıyla dikkatinizi dağıtmak için çeşitli ifade manipülasyonları kullanırlar. Aldatmanın sırrını bilmeden bir kart numarasını tekrarlayamıyorsanız, o zaman matematikte her şey çok daha basittir: aldatma hakkında hiçbir şeyden şüphelenmezsiniz, ancak tüm manipülasyonları matematiksel bir ifadeyle tekrarlamak, başkalarını oyunun doğruluğuna ikna etmenize olanak tanır. sonuç tıpkı sizi ikna ettiklerinde olduğu gibi.

İzleyiciden gelen soru: Sonsuzluk (S dizisindeki elemanların sayısı olarak) çift mi yoksa tek mi? Paritesi olmayan bir şeyin paritesi nasıl değiştirilir?

Sonsuzluk matematikçiler içindir, tıpkı Cennetin Krallığının rahipler için olduğu gibi - hiç kimse oraya gitmedi, ama herkes orada her şeyin tam olarak nasıl çalıştığını biliyor))) Katılıyorum, ölümden sonra çift mi yoksa tek bir sayı mı yaşadığınıza kesinlikle kayıtsız kalacaksınız günlerce, ama... Hayatınızın başlangıcına sadece bir gün eklersek, tamamen farklı bir insan elde edeceğiz: soyadı, adı ve soyadı tamamen aynı, sadece doğum tarihi tamamen farklı - o senden bir gün önce doğdum

Şimdi gelelim asıl meseleye))) Diyelim ki paritesi olan sonlu bir dizi sonsuza giderken bu pariteyi kaybediyor. O zaman sonsuz bir dizinin herhangi bir sonlu parçası eşliği kaybetmelidir. Bunu görmüyoruz. Sonsuz bir dizinin tek veya çift sayıda elemana sahip olup olmadığını kesin olarak söyleyemememiz, eşliğin ortadan kalktığı anlamına gelmez. Eşitlik, eğer varsa, bir keskin nişancının kolundaki gibi sonsuza doğru iz bırakmadan kaybolamaz. Bu durum için çok güzel bir benzetme var.

Saatin içinde oturan guguk kuşuna saatin ibresinin hangi yöne döndüğünü hiç sordunuz mu? Onun için ok, “saat yönü” dediğimiz yönün tersi yönde dönüyor. Kulağa ne kadar paradoksal gelse de, dönme yönü yalnızca dönüşü hangi taraftan gözlemlediğimize bağlıdır. Ve böylece dönen bir tekerleğimiz var. Dönmenin hangi yönde gerçekleştiğini söyleyemeyiz çünkü bunu hem dönme düzleminin bir tarafından hem de diğer tarafından gözlemleyebiliyoruz. Biz sadece rotasyonun var olduğuna tanıklık edebiliriz. Sonsuz bir dizinin eşlikiyle tam benzetme S.

Şimdi dönme düzlemi birinci dönen tekerleğin dönme düzlemine paralel olan ikinci bir dönen tekerlek ekleyelim. Bu tekerleklerin hangi yöne döndüğünü henüz kesin olarak söyleyemeyiz ancak her iki tekerleğin aynı yönde mi yoksa ters yönde mi döndüğünü kesinlikle söyleyebiliriz. İki sonsuz diziyi karşılaştırma S Ve 1-S Bu dizilerin farklı paritelere sahip olduğunu ve aralarına eşit işareti koymanın bir hata olduğunu matematik yardımıyla gösterdim. Şahsen ben matematiğe güveniyorum, matematikçilere güvenmiyorum))) Bu arada sonsuz dizilerin dönüşümlerinin geometrisini tam olarak anlamak için kavramı tanıtmak gerekiyor. "eşzamanlılık". Bunun çizilmesi gerekecek.

7 Ağustos 2019 Çarşamba

Konuşmayı sonlandırırken sonsuz bir kümeyi düşünmemiz gerekiyor. Mesele şu ki, "sonsuzluk" kavramı, bir boa yılanının bir tavşanı etkilemesi gibi matematikçileri de etkiliyor. Sonsuzluğun titreten dehşeti matematikçileri sağduyudan yoksun bırakıyor. İşte bir örnek:

Orijinal kaynak bulunur. Alfa anlamına gelir gerçek sayı. Yukarıdaki ifadelerde yer alan eşittir işareti, sonsuza bir sayı veya sonsuz eklediğinizde hiçbir şeyin değişmeyeceğini, sonucun aynı sonsuz olacağını belirtir. Örnek olarak sonsuz kümeyi alırsak doğal sayılar, o zaman ele alınan örnekler aşağıdaki gibi sunulabilir:

Matematikçiler haklı olduklarını açıkça kanıtlamak için birçok farklı yöntem geliştirdiler. Şahsen ben tüm bu yöntemlere teflerle dans eden şamanlar gibi bakıyorum. Esasen, bunların hepsi ya bazı odaların boş olması ve yeni misafirlerin taşınması ya da bazı ziyaretçilerin misafirlere yer açmak için koridora atılması (çok insani bir şekilde) gerçeğine dayanıyor. Bu tür kararlara ilişkin görüşlerimi Sarışın hakkında fantastik bir hikaye şeklinde sundum. Benim mantığım neye dayanıyor? Sonsuz sayıda ziyaretçinin yerini değiştirmek sonsuz miktarda zaman alır. İlk odayı bir misafir için boşalttıktan sonra, ziyaretçilerden biri, zamanın sonuna kadar her zaman koridor boyunca kendi odasından diğerine yürüyecektir. Zaman faktörü elbette aptalca göz ardı edilebilir ama bu da “aptallar için hiçbir kanun yazılmaz” kategorisinde olacaktır. Her şey ne yaptığımıza bağlı: gerçekliği buna göre ayarlamak matematiksel teoriler veya tam tersi.

“Sonsuz otel” nedir? Sonsuz otel, kaç oda dolu olursa olsun her zaman herhangi bir sayıda boş yatağa sahip olan bir oteldir. Sonsuz "ziyaretçi" koridorundaki tüm odalar doluysa, "misafir" odalarının bulunduğu başka bir sonsuz koridor daha vardır. Bu tür koridorlardan sonsuz sayıda olacak. Üstelik “sonsuz otel”, sonsuz sayıda Tanrının yarattığı sonsuz sayıda evrende, sonsuz sayıda gezegende, sonsuz sayıda binada, sonsuz sayıda kata sahiptir. Matematikçiler sıradan gündelik problemlerden uzaklaşamazlar: Her zaman tek bir Tanrı-Allah-Buda vardır, yalnızca tek bir otel vardır, yalnızca tek bir koridor vardır. Yani matematikçiler otel odalarının seri numaralarıyla hokkabazlık yaparak bizi "imkansızı itmenin" mümkün olduğuna ikna etmeye çalışıyorlar.

Akıl yürütmemin mantığını size sonsuz doğal sayılar kümesi örneğini kullanarak göstereceğim. Öncelikle çok basit bir soruyu yanıtlamanız gerekiyor: Kaç tane doğal sayı kümesi var - bir mi yoksa daha fazla mı? Sayıları kendimiz icat ettiğimiz için bu sorunun doğru bir cevabı yok; doğada sayılar yoktur. Evet, Doğa sayma konusunda harikadır ama bunun için bizim bilmediğimiz diğer matematiksel araçları kullanır. Doğanın ne düşündüğünü başka zaman anlatacağım. Sayıları icat ettiğimizden beri, kaç tane doğal sayı kümesinin olacağına kendimiz karar vereceğiz. Gerçek bilim adamlarına yakışır şekilde her iki seçeneği de ele alalım.

Birinci seçenek. Rafta sakin bir şekilde duran tek bir doğal sayı dizisi "bize verilsin". Bu seti raftan alıyoruz. İşte bu, rafta başka doğal sayı kalmadı ve onları alacak yer yok. Bu sete zaten sahip olduğumuz için ekleyemiyoruz. Peki ya gerçekten istersen? Sorun değil. Almış olduğumuz setten bir adet alıp rafa geri koyabiliriz. Daha sonra raftan bir tane alıp elimizde kalanlara ekleyebiliriz. Sonuç olarak yine sonsuz bir doğal sayılar kümesi elde edeceğiz. Tüm manipülasyonlarımızı şu şekilde yazabilirsiniz:

Eylemleri kaydettim cebirsel sistem gösterimde ve küme teorisinde benimsenen gösterim sisteminde, kümenin elemanlarının ayrıntılı bir listesi ile birlikte. Alt simge, tek ve tek bir doğal sayı kümesine sahip olduğumuzu gösterir. Doğal sayılar kümesinin ancak ondan bir çıkarılıp aynı birim eklenirse değişmeden kalacağı ortaya çıktı.

İkinci seçenek. Rafımızda birçok farklı sonsuz doğal sayı kümesi var. Pratik olarak ayırt edilemez olmalarına rağmen - FARKLI olduğunu vurguluyorum. Bu setlerden birini alalım. Daha sonra başka bir doğal sayı kümesinden birini alıp daha önce almış olduğumuz kümeye ekliyoruz. Hatta iki doğal sayı kümesini bile toplayabiliriz. Elde ettiğimiz şey bu:

"Bir" ve "iki" alt simgeleri bu elemanların farklı kümelere ait olduğunu gösterir. Evet sonsuz bir kümeye bir eklerseniz sonuç yine sonsuz küme olur ama orijinal kümeyle aynı olmaz. Bir sonsuz kümeye başka bir sonsuz küme eklerseniz sonuç, ilk iki kümenin elemanlarından oluşan yeni bir sonsuz küme olur.

Doğal sayılar kümesi sayma için, cetvelin ölçme için kullanılmasıyla aynı şekilde kullanılır. Şimdi cetvele bir santimetre eklediğinizi hayal edin. Bu orijinaline eşit olmayan farklı bir çizgi olacaktır.

Benim mantığımı kabul edebilir veya kabul etmeyebilirsiniz; bu sizin kendi işinizdir. Ancak eğer matematik problemleriyle karşılaşırsanız, nesiller boyu matematikçilerin izlediği yanlış akıl yürütme yolunu takip edip etmediğinizi düşünün. Sonuçta, matematik çalışmak her şeyden önce içimizde istikrarlı bir düşünce stereotipi oluşturur ve ancak o zaman zihinsel yeteneklerimize katkıda bulunur (veya tam tersine bizi özgür düşünceden mahrum bırakır).

pozg.ru

4 Ağustos 2019 Pazar

Hakkında bir makalenin ekini bitiriyordum ve Wikipedia'da şu harika metni gördüm:

Şöyle okuyoruz: "... Babil matematiğinin zengin teorik temeli bütünsel bir karaktere sahip değildi ve bir dizi farklı tekniğe indirgenmişti, ortak sistem ve kanıt temeli."

Vay! Ne kadar akıllıyız ve başkalarının eksikliklerini ne kadar iyi görebiliyoruz. Modern matematiğe aynı bağlamda bakmak bizim için zor mu? Yukarıdaki metni biraz değiştirerek, kişisel olarak aşağıdakileri elde ettim:

Modern matematiğin zengin teorik temeli doğası gereği bütünsel değildir ve ortak bir sistem ve kanıt tabanından yoksun bir dizi farklı bölüme indirgenmiştir.

Sözlerimi doğrulamak için fazla ileri gitmeyeceğim; onun dilden farklı bir dili ve gelenekleri var. semboller matematiğin diğer birçok dalı. Matematiğin farklı dallarındaki aynı isimler farklı anlamlara gelebilir. Bir dizi yayını modern matematiğin en bariz hatalarına adamak istiyorum. Yakında görüşürüz.

3 Ağustos 2019 Cumartesi

Bir küme alt kümelere nasıl bölünür? Bunu yapmak için seçilen setin bazı öğelerinde mevcut olan yeni bir ölçü birimi girmeniz gerekir. Bir örneğe bakalım.

Bolluğumuz olsun A dört kişiden oluşuyor. Bu set “kişiler” esas alınarak oluşturulmuştur. Bu setin elemanlarını harfle gösterelim. A, sayı içeren alt simge şunu gösterecektir: seri numarası bu kalabalıktaki her insan. Yeni bir ölçü birimi olan "cinsiyet"i tanıtalım ve bunu harfle belirtelim B. Cinsel özellikler tüm insanlarda doğal olduğundan, kümenin her bir öğesini çarpıyoruz A cinsiyete dayalı B. “İnsanlar” grubumuzun artık “cinsiyet özelliklerine sahip insanlar” kümesi haline geldiğine dikkat edin. Bundan sonra cinsel özellikleri erkeklere ayırabiliriz. BM ve kadınların siyah kadın cinsel özellikler. Şimdi matematiksel bir filtre uygulayabiliriz: Hangisi olursa olsun bu cinsel özelliklerden birini seçiyoruz: erkek ya da kadın. Bir kişide varsa onu bir ile çarparız, eğer böyle bir işaret yoksa sıfırla çarparız. Ve sonra normal okul matematiğini kullanıyoruz. Bak ne oldu.

Çarpma, azaltma ve yeniden düzenlemeden sonra iki alt küme elde ettik: Erkeklerin alt kümesi BM ve kadınların bir alt kümesi siyah. Matematikçiler küme teorisini pratikte uygularken yaklaşık olarak aynı şekilde mantık yürütürler. Ancak bize ayrıntıları söylemiyorlar, ancak bize nihai sonucu veriyorlar: "birçok insan, erkeklerden ve kadınlardan oluşan bir alt gruptan oluşuyor." Doğal olarak aklınıza şu soru gelebilir: Yukarıda özetlenen dönüşümlerde matematik ne kadar doğru uygulandı? Sizi temin ederim ki dönüşümler özünde doğru yapıldı; aritmetiğin matematiksel temellerini, Boole cebirini ve matematiğin diğer dallarını bilmek yeterlidir. Nedir? Başka bir zaman sana bundan bahsedeceğim.

Süper kümelere gelince, bu iki kümenin elemanlarında bulunan ölçü birimini seçerek iki kümeyi tek bir süper kümede birleştirebilirsiniz.

Gördüğünüz gibi ölçü birimleri ve sıradan matematik, küme teorisini geçmişin kalıntısı haline getiriyor. Küme teorisinde her şeyin yolunda olmadığının bir işareti, matematikçilerin küme teorisi için kendi dillerini ve gösterimlerini geliştirmiş olmalarıdır. Matematikçiler bir zamanlar şamanların yaptığı gibi hareket ediyorlardı. Yalnızca şamanlar "bilgilerini" nasıl "doğru" şekilde uygulayacaklarını bilirler. Bize bu “bilgiyi” öğretiyorlar.

Sonuç olarak size matematikçilerin nasıl manipüle ettiğini göstermek istiyorum.
Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesine matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldığını anlıyor ama kimse aldatmanın neyden oluştuğunu anlamıyor.

Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz, düşüncenin ataleti nedeniyle, karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil kaplumbağadan daha fazla koşamaz.

Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak, “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Fakat bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözümün sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranması gerekiyor.

Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:

Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.

Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz olduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Belirtmek istediğim şey özel ilgi Zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğu, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sundukları.
Size süreci bir örnekle göstereceğim. "Sivilce içindeki kırmızı katı" seçiyoruz - bu bizim "bütünümüz". Aynı zamanda bunların fiyonklu olduğunu ve fiyonksuz olduğunu da görüyoruz. Bundan sonra “bütünün” bir kısmını seçip “yaylı” bir set oluşturuyoruz. Şamanlar, yerleşik teorilerini gerçekliğe bağlayarak yiyeceklerini bu şekilde elde ederler.

Şimdi küçük bir numara yapalım. “Sivilceli ve fiyonklu katı”yı alalım ve bu “bütünleri” kırmızı unsurları seçerek renklerine göre birleştirelim. Bir sürü "kırmızı"mız var. Şimdi son soru: Sonuçta ortaya çıkan “fiyonklu” ve “kırmızı” kümeler aynı küme mi, yoksa iki farklı küme mi? Bunun cevabını yalnızca şamanlar biliyor. Daha doğrusu kendileri hiçbir şey bilmiyorlar ama dedikleri gibi öyle olacak.

Bu basit örnek, konu gerçekliğe geldiğinde küme teorisinin tamamen işe yaramaz olduğunu gösteriyor. İşin sırrı nedir? "Sivilce ve fiyonklu kırmızı katı" bir set oluşturduk. Oluşum dört farklı ölçü birimine göre gerçekleşti: renk (kırmızı), sağlamlık (katı), pürüzlülük (sivilceli), dekorasyon (yaylı). Yalnızca bir dizi ölçüm birimi yeterince tanımlamamıza izin verir. gerçek nesneler matematik dilinde. Görünüşe göre bu.

Farklı endekslere sahip "a" harfi, farklı ölçü birimlerini belirtir. Başlangıç ​​aşamasında “bütün”ün ayırt edildiği ölçü birimleri parantez içinde vurgulanmıştır. Setin oluşturulduğu ölçü birimi parantezlerden çıkarılır. Son satır nihai sonucu gösterir - kümenin bir öğesi. Gördüğünüz gibi, bir küme oluşturmak için ölçü birimlerini kullanırsak sonuç, eylemlerimizin sırasına bağlı değildir. Ve bu matematiktir, şamanların teflerle dansı değil. Şamanlar, ölçüm birimlerinin onların "bilimsel" cephaneliğinin bir parçası olmaması nedeniyle bunun "açık" olduğunu savunarak "sezgisel olarak" aynı sonuca varabilirler.

Ölçü birimlerini kullanarak bir seti bölmek veya birkaç seti tek bir süper sette birleştirmek çok kolaydır. Bu sürecin cebirine daha yakından bakalım.

Üçgen alan teoremi

Teorem 1

Bir üçgenin alanı, iki kenarın çarpımının yarısına ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsüne eşittir.

Kanıt.

Bize keyfi bir $ABC$ üçgeni verilsin. Bu üçgenin kenar uzunluklarını $BC=a$, $AC=b$ olarak gösterelim. Kartezyen koordinat sistemini tanıtalım, böylece $C=(0,0)$ noktası, $B$ noktası sağ yarı eksen $Ox$ üzerinde yer alır ve $A$ noktası ilk koordinat çeyreğinde yer alır. $A$ noktasından $h$ yüksekliğini çizelim (Şekil 1).

Şekil 1. Teorem 1'in Gösterimi

$h$ yüksekliği $A$ noktasının ordinatına eşittir, dolayısıyla

Sinüs teoremi

Teorem 2

Bir üçgenin kenarları karşıt açıların sinüsleriyle orantılıdır.

Kanıt.

Bize keyfi bir $ABC$ üçgeni verilsin. Bu üçgenin kenar uzunluklarını $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ olarak gösterelim (Şekil 2).

Şekil 2.

Hadi bunu kanıtlayalım

Teorem 1'e göre, elimizde

Bunları çiftler halinde eşitlersek şunu elde ederiz:

Kosinüs teoremi

Teorem 3

Bir üçgenin bir kenarının karesi, üçgenin diğer iki kenarının karelerinin toplamına, bu kenarların çarpımının iki kenarının kosinüsü olmadan eşittir.

Kanıt.

Bize keyfi bir $ABC$ üçgeni verilsin. Kenar uzunluklarını $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$ olarak gösterelim. Kartezyen koordinat sistemini tanıtalım, böylece $A=(0,0)$ noktası, $B$ noktası pozitif yarı eksen $Ox$ üzerinde yer alır ve $C$ noktası ilk koordinat çeyreğinde yer alır (Şekil 1). 3).

Şekil 3.

Hadi bunu kanıtlayalım

Bu koordinat sisteminde şunu elde ederiz:

Noktalar arasındaki mesafe formülünü kullanarak $BC$ kenarının uzunluğunu bulun

Bu teoremleri kullanan bir problem örneği

Örnek 1

Çapı kanıtlayın açıklanan daire Herhangi bir üçgenin açısı, üçgenin herhangi bir tarafının, bu tarafın karşısındaki açının sinüsüne oranına eşittir.

Çözüm.

Bize keyfi bir $ABC$ üçgeni verilsin. $R$ çevrelenen dairenin yarıçapıdır. $BD$ çapını çizelim (Şekil 4).

Bir üçgenin alanı, kenarlarının çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir.

Kanıt:

Rastgele bir ABC üçgeni düşünün. BC tarafı = a, CA tarafı = b ve S bu üçgenin alanı olsun. Bunu kanıtlamak gerekli S = (1/2)*a*b*sin(C).

Başlangıç ​​olarak, dikdörtgen bir koordinat sistemi tanıtalım ve koordinatların kökenini C noktasına yerleştirelim. Koordinat sistemimizi, B noktası Cx ekseninin pozitif yönünde yer alacak ve A noktası pozitif koordinata sahip olacak şekilde konumlandıralım.

Her şey doğru yapılırsa aşağıdaki çizimi almalısınız.

Belirli bir üçgenin alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: S = (1/2)*a*h burada h üçgenin yüksekliğidir. Bizim durumumuzda h üçgeninin yüksekliği A noktasının ordinatına eşittir, yani h = b*sin(C).

Elde edilen sonuçlar dikkate alınarak üçgenin alan formülü şu şekilde yeniden yazılabilir: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Sorun çözme

Görev 1. ABC üçgeninin alanını bulun, eğer a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, A açısı = 60 derece b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, B açısı = 45 derece c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, C açısı = 48 derece.

Yukarıda kanıtlanmış teoreme göre ABC üçgeninin S alanı şuna eşittir:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Hesaplamaları yapalım:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Bir hesap makinesinde bir açının sinüsünün değerini hesaplıyoruz veya trigonometrik açıların değer tablosundaki değerleri kullanıyoruz. Cevap:

a) 12*√6 cm^2.

c) yaklaşık 36,41 cm^2.

Problem 2. ABC üçgeninin alanı 60 cm^2'dir. AC = 15 cm, A açısı = 30˚ ise AB kenarını bulun.

ABC üçgeninin alanı S olsun. Bir üçgenin alanı teoremine göre elimizde:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Elimizdeki değerleri yerine koyalım:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Buradan AB kenarının uzunluğunu ifade ediyoruz: AB = (60*4)/15 = 16.