Bir polinomun gerçel sayılar alanı üzerinde açılımı. Karmaşık sayılar cebirinin temel teoremi

Polinomların indirgenebilirliği, dikkate alındıkları alana bağlıdır. Bir polinom Q alanı üzerinde indirgenemez (daha düşük dereceli faktörlere ayrılamayan bir polinom) ve R alanı üzerinde indirgenebilir.

İndirgenemez polinomların özellikleri:

1. Sıfır dereceli bir polinom herhangi bir alanda indirgenebilir
2. Bir polinom ise f(x) alan üzerinde indirgenemez R, o zaman polinom a f(x) alan üzerinde de indirgenemez R.
3. Polinomlar f olsun (X) Ve p(x) alanın üzerinde R, Ve p(x) – bir alan üzerinde indirgenemez R, o zaman vakalar mümkündür

1) polinomlar f (X) Ve p(x) nispeten asaldır

2) f(x):(Baştan sona) p(x)

Bu alan üzerinde bir sabite eşit olmayan herhangi bir polinomun en az bir kökü varsa, bu alanın cebirsel olarak kapalı olduğu söylenir. Bezout teoreminden, böyle bir alan üzerinde sabit olmayan herhangi bir polinomun doğrusal faktörlerin bir çarpımına ayrıştırılabileceği hemen anlaşılmaktadır. Bu anlamda cebirsel olarak kapalı alanlar, cebirsel olmayan kapalı alanlara göre yapı olarak daha basittir. Gerçel sayılar alanı üzerinde her kare trinomialin bir kökü olmadığını, dolayısıyla ℝ alanının cebirsel olarak kapalı olmadığını biliyoruz. Cebirsel kapanışa biraz az kaldığı ortaya çıktı. Başka bir deyişle: Bir denklemle ilgili görünüşte özel bir problemi çözdükten sonra, diğer tüm polinom denklemlerini aynı anda çözdük.

CEBİRİN TEMEL TEOREMİ.ℂ alanı üzerinde bir sabite eşit olmayan herhangi bir polinomun en az bir karmaşık kökü vardır.

SORUŞTURMA. Karmaşık sayılar alanı üzerinde bir sabite eşit olmayan herhangi bir polinomu doğrusal faktörlerin bir çarpımına genişletebiliriz:

İşte polinomun baş katsayısı, polinomun tüm farklı karmaşık kökleri ve bunların çoklukları. Eşitlik sağlanmalı

Sonucun kanıtı polinomun derecesine ilişkin basit bir tümevarımdır.

Diğer alanlarda ise polinomların ayrıştırılabilirliği açısından durum pek iyi değil. İlk olarak bir sabit değilse ve ikinci olarak daha düşük dereceli polinomların bir çarpımına ayrıştırılamıyorsa, bir polinomu indirgenemez olarak adlandırırız. Her doğrusal polinomun (herhangi bir alan üzerinde) indirgenemez olduğu açıktır. Sonuç şu şekilde yeniden formüle edilebilir: önde gelen birim katsayısına (başka bir deyişle: üniter) sahip karmaşık sayılar alanı üzerindeki indirgenemez polinomlar, () biçimindeki polinomlar tarafından tüketilir.

İkinci dereceden bir üç terimlinin ayrıştırılabilirliği, en az bir kökün varlığına eşdeğerdir. Denklemi forma dönüştürdüğümüzde, kare bir üç terimlinin kökünün ancak ve ancak diskriminantın K alanının bir elemanının karesi olması durumunda mevcut olduğu sonucuna varırız (burada K alanında 2≠ 0 olduğunu varsayıyoruz). Buradan anlıyoruz

TEKLİF. 2≠ 0'ın indirgenemez olduğu bir K alanı üzerinde bir kare trinomial, ancak ve ancak K alanında kökleri yoksa. Bu, diskriminantın K alanının herhangi bir elemanının karesi olmadığı gerçeğine eşdeğerdir. Özellikle , gerçek sayılar alanı üzerinde kare trinomial Ancak ve ancak eğer indirgenemez.

Yani gerçek sayılar alanında en az iki tür indirgenemez polinom vardır: doğrusal, ikinci dereceden ve negatif diskriminant. Bu iki durumun ℝ üzerinden indirgenemez polinomlar kümesini tükettiği ortaya çıktı.

TEOREM. Gerçel sayılar alanı üzerindeki herhangi bir polinomu, doğrusal faktörlerin ve ikinci dereceden faktörlerin negatif diskriminantlarla çarpımına ayırabiliriz:

Burada polinomun tüm farklı gerçek kökleri, bunların katları, tüm diskriminantlar sıfırdan küçüktür ve ikinci dereceden üç terimlilerin hepsi farklıdır.

İlk önce lemmayı kanıtlıyoruz

LEMMA. Herhangi biri için eşlenik sayı aynı zamanda polinomun köküdür.

Kanıt. ve bir polinomun karmaşık kökü olsun. Daha sonra

montaj ilişkisi özelliklerini nerede kullandık. Buradan, . Dolayısıyla polinomun köküdür. □

Teoremin kanıtı. Reel sayılar alanı üzerindeki herhangi bir indirgenemez polinomun doğrusal veya negatif diskriminantlı ikinci dereceden olduğunu kanıtlamak yeterlidir. Birim baş katsayılı indirgenemez bir polinom olsun. Bu durumda hemen gerçek bir miktar elde ederiz. Öyleymiş gibi yapalım. Karmaşık sayılar cebirinin temel teoremine göre var olan bu polinomu herhangi bir karmaşık kök ile gösterelim. İndirgenemediği için (bkz. Bezout teoremi). O zaman lemmaya göre polinomun farklı bir kökü daha olacaktır.

Bir polinomun gerçek katsayıları vardır. Ayrıca Bezout teoremine göre böler. İndirgenemez olduğundan ve birim öncü katsayısına sahip olduğundan eşitlik elde ederiz. Bu polinomun diskriminantı negatiftir çünkü aksi takdirde gerçek köklere sahip olacaktır.□

ÖRNEKLER. A. Polinomu indirgenemez faktörlere ayıralım. Sabit terim 6'nın bölenleri arasında polinomun köklerini ararız. 1 ve 2'nin kök olduğundan emin oluyoruz. Böylece polinom bölünür. Bölündükten sonra buluyoruz

Alan üzerinde son genişleme, çünkü kare trinomiyalin diskriminantı negatiftir ve bu nedenle gerçek sayılar alanı üzerinde daha fazla genişletilemez. Üç terimli karenin karmaşık köklerini bulursak, aynı polinomun karmaşık sayılar alanı üzerinde bir açılımını elde ederiz. Onlar işin özüdür. Daha sonra

Bu polinomun genişletilmesi

B. Reel ve karmaşık sayıların alanlarını genişletelim. Bu polinomun gerçek kökleri olmadığından, negatif diskriminantlı iki kare trinomiye ayrıştırılabilir.

Bir polinomla değiştirildiğinde değişmediğinden, böyle bir değiştirmeyle kare trinomiyalin içeri girmesi gerekir ve bunun tersi de geçerlidir. Buradan. Özellikle elde ettiğimiz katsayıları eşitleyerek, . Daha sonra ilişkiden (ikame yoluyla elde edilenleri çıkarıyoruz ve son olarak . Yani,

Reel sayılar alanının genişletilmesi.

Bu polinomu karmaşık sayılara genişletmek için veya denklemini çözeriz. Köklerin olacağı açıktır. Tüm farklı kökleri alıyoruz. Buradan,

Karmaşık sayılar üzerinde açılım. Hesaplanması kolay

ve bir polinomu gerçel sayılar alanına genişletme problemine başka bir çözüm elde ederiz.

İş bitimi -

Bu konu şu bölüme aittir:

Temel ve bilgisayar cebiri

Giriş.. temel ve bilgisayar cebiri dersi uygulamalı matematik alanında uzmanlaşan öğrencilere yöneliktir..

Bu konuyla ilgili ek materyale ihtiyacınız varsa veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:

Alınan materyalle ne yapacağız:

Bu materyal sizin için yararlı olduysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz:

Bu bölümdeki tüm konular:

NI Dubrovin
Spassky Yerleşimi 2012 İçindekiler Giriş. 4 Sembol ve terimlerin listesi. 5 1 BASIC hakkında biraz. 6 2 Naif küme teorisi. 9

BASIC hakkında biraz
Matematikte farklı nitelikteki sayılar (doğal, tamsayı, rasyonel, gerçek, karmaşık), bir ve birkaç değişkenli polinomlar, matrisler gibi nesnelerle ilgilenirler.

Saf küme teorisi
Matematiksel bir metin tanımlar ve ifadelerden oluşur. Bazı ifadelere, önemlerine ve diğer ifadelerle ilişkilerine bağlı olarak aşağıdaki terimlerden biri denir:

Kartezyen ürünler
Sıralı bir çift veya basitçe bir eleman çifti matematiğin temel yapılarından biridir. Bunu birinci ve ikinci olmak üzere iki yerden oluşan bir raf olarak hayal edebilirsiniz. Çoğu zaman matematikte öyle değildir

Tamsayılar
Birden toplama yoluyla elde edilen (1,2,3,...) sayılara doğal sayılar denir ve ℕ ile gösterilir. Doğal sayıların aksiyomatik bir açıklaması şu şekilde olabilir (bkz.

Özyineleme
N1-N3 aksiyomlarından, ilkokuldan itibaren herkesin aşina olduğu doğal sayıların toplama ve çarpma işlemlerine, doğal sayıların birbirleriyle karşılaştırılması ve “terimlerin yerlerinin tersine çevrilmesinden, toplam olmaz” formunun özelliklerine kadar.

Doğal sayılar kümesine göre sıralama
Kümenin doğrusal bir sıra ilişkisi vardır. Diyelim ki n

Doğal sayıların bölünebilirliği
Doğal sayılar alanında bölme işlemi her zaman mümkün olmamaktadır. Bu bize bölünebilirlik ilişkisini tanıtma hakkını verir: diyelim ki uygun bir k∈ için m=nk ise n sayısı m sayısını bölüyor.

Tam sayıların bölünebilirliği
Tamsayılar halkasıyla gösterelim. "Halka" terimi, üzerinde iki işlemin (bilinen yasalara uygun olarak toplama ve çarpma) verildiği bir R kümesiyle karşı karşıya olduğumuz anlamına gelir.

Öklid algoritması
Bir çift tamsayı (m,n) verildiğinde. N'yi 1 numaralı bir kalan olarak kabul ediyoruz. Öklid algoritmasının ilk adımı, m'yi n'ye bir kalanla bölmek ve sonra kalanı, bu yeni elde edilene kadar yeni elde edilen kalana bölmektir.

Öklid algoritmasının matris yorumu
Öklid algoritmasına bir matris yorumu verelim (matrisler için bir sonraki paragrafa bakın). Bölme dizisini matris formunda kalanla yeniden yazalım: Her birinde yerine koyma

Mantık unsurları
Matematikçiler sayılar, fonksiyonlar, matrisler, düzlemdeki çizgiler vb. gibi nesnelerle ve ayrıca ifadelerle ilgilenirler. Bir ifade bir tür anlatıdır

Etkileyici formlar
İfade bir ifade olacak mı? Hayır, bu kayıt tek değişkenin ifade edici bir biçimidir. Bir değişken yerine geçerli değerleri koyarsak, çeşitli ifadeler elde ederiz.

Matris cebiri
R halkası üzerindeki matris cebiri (R, tamsayıların halkası, rasyonel sayılar alanı, gerçek sayılar alanıdır), bir dizi işlemle en yaygın kullanılan cebirsel sistemdir

Belirleyiciler
Bir kare matris A'nın determinantı, veya ile gösterilen sayısal özelliğidir. Küçük boyutlu matrisler 1,2,3'ün determinantlarıyla başlayalım: TANIM. Pu

Doğrusal düzlem dönüşümleri
Mesafeleri koruyarak ϕ düzleminin herhangi bir dönüşümünün ya bir vektöre paralel öteleme ya da O noktası etrafında bir α açısı kadar dönme ya da düzlüğe göre simetri olduğu bilinmektedir.

Karışık sayılar
Bu bölümde yalnızca bir alanı inceliyoruz: karmaşık sayılar alanı ℂ. Geometrik açıdan bakıldığında bir düzlemdir ve cebirsel açıdan bakıldığında bu bir düzlemdir.

Karmaşık sayılar alanının inşası
Aslında önceki paragrafta karmaşık sayılar alanını zaten oluşturmuştuk. Karmaşık sayılar alanının olağanüstü önemi nedeniyle, onun doğrudan yapısını sunuyoruz. ile bir alan düşünün

Karmaşık sayıların eşleniği
Karmaşık sayılar alanı bize yeni bir özellik kazandırır: özdeş olmayan sürekli bir otomorfizmin varlığı (kendine izomorfizm). Karmaşık bir sayıya eşlenik denir ve haritası

Karmaşık sayıları yazmanın trigonometrik formu
Karmaşık bir sayıyı vektör olarak temsil edelim. Bu vektörün uzunluğu, yani. miktara karmaşık sayının modülü denir ve gösterilir. Miktarı sayının normu olarak adlandıracağız; bazen e kullanmak daha uygundur

Karmaşık üs
Paragrafın (2) kuralı bize tamamen imajiner bir sayının üssünü belirleme hakkını verir: Aslında, bu şekilde tanımlanan fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir: &

İkinci Dereceden Denklemleri Çözme
Doğrusal bir polinomun her zaman bir kökü vardır. Kare trinomialin artık her zaman gerçek sayılar alanı üzerinde kökleri yoktur. Karmaşık sayılar () alanı üzerinde bir kare trinomiyal olsun. Konvoy

Denklik ilişkisi teoremi
“ ” M kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. Bir eleman için onu eşdeğerlik sınıfıyla gösteririz. Daha sonra M kümesi eşdeğerlik sınıflarının birliğine bölünür; M'den itibaren her eleman

Tamsayılar halkası üzerinde bir polinom denir ilkel, katsayılarının en büyük ortak böleni 1 ise. Rasyonel katsayılara sahip bir polinom, benzersiz bir şekilde pozitif bir rasyonel sayının çarpımı olarak temsil edilir. içerik polinom ve ilkel polinom. İlkel polinomların çarpımı ilkel bir polinomdur. Bu gerçeğe göre, eğer tamsayı katsayılı bir polinom rasyonel sayılar alanı üzerinde indirgenebilirse, o zaman tamsayılar halkası üzerinde de indirgenebilir. Böylece, rasyonel sayılar alanı üzerinde bir polinomu indirgenemez faktörlere ayırma sorunu, tamsayılar halkası üzerinde benzer bir soruna indirgenir.

Katsayıları tamsayı ve içeriği 1 olan bir polinom ve bunun rasyonel kökü olsun. Bir polinomun kökünü indirgenemez bir kesir olarak düşünelim. Polinom F(X) ilkel polinomların bir ürünü olarak temsil edilir. Buradan,

A. pay bölendir,

B. payda – bölen

C. herhangi bir tamsayı için k Anlam F(k) – ( ​​ile kalansız bölünebilen bir tam sayı bk-A).

Listelenen özellikler, bir polinomun rasyonel köklerini bulma problemini sonlu bir aramaya indirgememizi sağlar. Polinom genişletmede de benzer bir yaklaşım kullanılır F Kronecker yöntemini kullanarak rasyonel sayılar alanında indirgenemez faktörlere ayırma. Bir polinom ise F(X) derece N verilmişse, faktörlerden birinin derecesi aşağıdakilerden daha yüksek değildir: N/2. Bu faktörü şu şekilde gösterelim: G(X). Polinomların tüm katsayıları tam sayı olduğundan, herhangi bir tam sayı için A Anlam F(A) ile kalansız bölünebilir G(A). Haydi seçelim m= 1+N/2 farklı tamsayı A Ben, Ben=1,…,M. Sayılar için G(A i) sonlu sayıda olasılık vardır (sıfır olmayan herhangi bir sayının bölenlerinin sayısı sonludur), dolayısıyla bölen olabilecek sonlu sayıda polinom vardır F(X). Tam bir araştırma yaptıktan sonra ya polinomun indirgenemezliğini göstereceğiz ya da onu iki polinomun çarpımına genişleteceğiz. Belirtilen şemayı, tüm faktörler indirgenemez polinomlara dönüşene kadar her faktöre uyguluyoruz.

Bazı polinomların rasyonel sayılar alanına indirgenemezliği basit bir Eisenstein kriteri kullanılarak belirlenebilir.

İzin vermek F(X) tamsayılar halkası üzerinde bir polinomdur. Eğer bir asal sayı varsa P, Ne

I. Polinomun tüm katsayıları F(X), en yüksek derecenin katsayısına ek olarak, aşağıdakilere bölünür: P

II. En yüksek derecenin katsayısı şuna bölünemez: P

III. Ücretsiz üye bölünmez

Daha sonra polinom F(X) rasyonel sayılar alanında indirgenemez.

Eisenstein kriterinin polinomların indirgenemezliği için yeterli koşulları sağladığı, ancak gerekli koşulları sağlamadığı unutulmamalıdır. Dolayısıyla polinom rasyonel sayılar alanında indirgenemez, ancak Eisenstein kriterini karşılamaz.

Eisenstein'ın kriterine göre polinom indirgenemez. Sonuç olarak, rasyonel sayılar alanı üzerinde indirgenemez bir derece polinomu vardır. N, Nerede N 1'den büyük herhangi bir doğal sayı.

F üzerinde pozitif dereceli herhangi bir polinomun F'de bir kökü varsa, F alanına cebirsel olarak kapalı denir.

Teorem 5.1 (polinom cebirinin temel teoremi). Karmaşık sayıların alanı cebirsel olarak kapalıdır.

Sonuçlar 5 .1.1. Üstünde İLE Yalnızca birinci dereceden indirgenemez polinomlar vardır.

Sonuç 5.1.2. Polinom N-inci derece üstü İLE Var N karmaşık kökler.

Teorem 5.2. If bir polinomun karmaşık köküdür F gerçek katsayılar varsa, karmaşık eşlenik sayı da bir köktür F.

Sonuçlar 5 .2.1. Üstünde R Yalnızca birinci veya ikinci dereceden indirgenemez polinomlar vardır.

Sonuç 5.2.2. Bir polinomun sanal kökleri R karmaşık konjugat çiftlerine ayrışır.

Örnek 5.1. İndirgenemez faktörlere çarpan İLE ve yukarıda R polinom X 4 + 4.

Çözüm. Sahibiz

X 4 + 4 =X 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (X 2 + 2) 2 – 4X 2 = (X 2 – 2X+ 2)(X 2 + 2X+ 2) –

genişleme R. İkinci dereceden polinomların karmaşık köklerini parantez içinde olağan şekilde bulduktan sonra, üzerinde bir genişleme elde ederiz. İLE:

X 4 + 4 = (X – 1 – Ben) (X – 1 + Ben) (X + 1 – Ben) (X + 1 + Ben).

Örnek 5.2. Kökleri 2 ve 1 + olan gerçek katsayılı en küçük dereceli bir polinom oluşturun Ben.

Çözüm. Sonuç 5.2.2'ye göre polinomun kökleri 2, 1 – olmalıdır. Ben ve 1 + Ben. Katsayıları Vieta formülleri kullanılarak bulunabilir:

 1 = 2 + (1 – Ben) + (1 +Ben) = 4;

 2 = 2(1 – Ben) + 2(1 + Ben) + (1 – Ben)(1 + Ben) = 6;

 3 = 2(1 – Ben)(1 + Ben) = 4.

Buradan F =X 3 – 4X 2 + 6X– 4.

Egzersizler.

5.1. İndirgenemez faktörlere çarpan İLE ve yukarıda R polinomlar:

A) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

B) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Gerçek katsayıları çift kök 1 ve basit kök 1 – 2 olan en küçük dereceden bir polinom oluşturun Ben.

6. Rasyonel sayılar cismi üzerindeki polinomlar

Teorem 6.1 (Eisenstein kriteri). İzin vermek f = bir 0 + bir 1 x + ...+ A N X N– tamsayı katsayılı bir polinom. Böyle bir asal sayı varsa P, Ne A 0 , A 1 , … , A N-1'e bölünür P, A N bölünemez P,A 0 ile bölünemez P 2, o zaman F rasyonel sayılar alanında indirgenemez.

Alıştırma 6.1. İndirgenemezliği kanıtlayın Q polinomlar:

A) F= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3;b) F= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

Teorem 6.2. İzin vermek – bir polinomun kökü olan indirgenemez bir kesir F = A 0 + A 1 X + … + A N X N tamsayı katsayıları ile. Daha sonra

A 0  P, A N  Q;

F(1)  p–q,F(–1)  p+q.

Bu teorem, tamsayı katsayılı bir polinomun rasyonel köklerini bulma problemini çözmemizi sağlar. Bunu yapmak için, serbest terimin tüm bölenlerini ve baş katsayıyı belirler ve onlardan her türlü indirgenemez kesirleri oluştururuz. Tüm rasyonel kökler bu kesirlerin arasında yer alır. Bunları belirlemek için Horner'ın planını kullanabilirsiniz. Gereksiz hesaplamalardan kaçınmak için Teorem 6.2'nin 2) ifadesini kullanıyoruz.

Örnek 6.1. Bir polinomun rasyonel köklerini bulun

F = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Çözüm. Payları olan tüm kesirleri yazıyoruz. P – bölenler 18 ve paydalar Q– bölücüler 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Bunları Horner'ın şemasına göre kontrol ediyoruz:

Kök bulma X 1 = –2 ve polinomun şuna bölünmesi X+ 2, yeni bir serbest terim –9 olan bir polinom elde ederiz (katsayılarının altı çizilidir). Geriye kalan köklerin payları bu sayının bölenleri olmalıdır ve bu koşulu sağlamayan kesirler listeden çıkarılabilir. Geriye kalan tamsayı değerleri koşulu karşılamadıkları için hariç tutuldu F(1)P – Q veya F(–1)P + Q. Örneğin 3 için elimizde P = 3, Q= 1 ve koşul karşılanmıyor F(1) = –21P – Q(ikinci koşulla aynı).

Benzer şekilde kökü bulmak X 2 = 3/2, yeni serbest terimi 3 ve baş katsayısı 1 olan bir polinom elde ettik (kök kesirli olduğunda ortaya çıkan polinomun katsayıları azaltılmalıdır). Listeden kalan hiçbir sayı artık onun kökü olamaz ve rasyonel köklerin listesi tükenmiştir.

Bulunan köklerin çokluğu kontrol edilmelidir.

Çözme sürecinde ikinci dereceden bir polinoma ulaştıysak ve kesirlerin listesi henüz tükenmemişse, kalan kökler, kare üç terimlinin kökleri olarak olağan formüller kullanılarak bulunabilir.

Alıştırma 6.2. Polinomun rasyonel köklerini bulun

A) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

B) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

2'de X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.