Doğrusal, ikinci dereceden ve kesirli eşitsizlikleri çözmeye yönelik program yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda açıklamalarla birlikte ayrıntılı bir çözüm sunar; Matematik ve/veya cebirdeki bilgiyi test etmek için çözüm sürecini görüntüler.

Ayrıca, eşitsizliklerden birini çözme sürecinde, örneğin ikinci dereceden bir denklemi çözmek gerekiyorsa, o zaman ayrıntılı çözümü de görüntülenir (bir spoiler içinde bulunur).

Bu program lise öğrencilerine hazırlık aşamasında faydalı olabilir. testler Ebeveynlere, çocuklarının eşitsizliklere yönelik çözümlerini izlemeleri için.

Bu program, genel eğitim okullarındaki lise öğrencileri için test ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavı öncesinde bilgileri test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

Eşitsizlikleri girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.

Sayılar tam veya kesirli sayı olarak girilebilir.
Üstelik kesirli sayılar yalnızca ondalık sayı biçiminde değil aynı zamanda sıradan kesir biçiminde de girilebilir.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Ondalık kesirlerde kesirli kısım bütün kısımdan nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin, girebilirsiniz ondalık sayılarşu şekilde: 2,5x - 3,5x^2

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz.

Girerken sayısal kesir Pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Sonuç: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

İfadeleri girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda eşitsizlikler çözülürken öncelikle ifadeler sadeleştirilir.
Örneğin: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

İstediğiniz eşitsizlik işaretini seçin ve polinomları aşağıdaki alanlara girin.

Eşitsizlik sistemini çözün

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Tek bilinmeyenli eşitsizlik sistemleri. Sayısal aralıklar

7. sınıfta sistem kavramıyla tanıştınız ve sistemlerin nasıl çözüleceğini öğrendiniz doğrusal denklemler iki bilinmeyenli Daha sonra bir bilinmeyenli doğrusal eşitsizlik sistemlerini ele alacağız. Eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümeleri aralıklar (aralıklar, yarım aralıklar, doğru parçaları, ışınlar) kullanılarak yazılabilir. Ayrıca sayı aralıklarının gösterimine de aşina olacaksınız.

\(4x > 2000\) ve \(5x \leq 4000\) eşitsizliklerinde bilinmeyen x sayısı aynıysa, bu eşitsizlikler birlikte ele alınır ve bir eşitsizlik sistemi oluşturdukları söylenir: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right. $$

Kıvrımlı parantez, sistemin her iki eşitsizliğinin de doğru sayısal eşitsizliklere dönüştüğü x değerlerini bulmanız gerektiğini gösterir. Bu sistem, bir bilinmeyenli doğrusal eşitsizlikler sisteminin bir örneğidir.

Bir bilinmeyenli eşitsizlik sisteminin çözümü, sistemdeki tüm eşitsizliklerin gerçek sayısal eşitsizliklere dönüştüğü bilinmeyenin değeridir. Bir eşitsizlik sistemini çözmek, bu sistemin tüm çözümlerini bulmak veya hiçbir çözüm olmadığını tespit etmek anlamına gelir.

\(x \geq -2 \) ve \(x \leq 3 \) eşitsizlikleri çift eşitsizlik olarak yazılabilir: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Tek bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözümleri çeşitli sayısal kümelerdir. Bu setlerin isimleri var. Böylece, sayı ekseninde, \(-2 \leq x \leq 3 \) olacak şekilde x sayıları kümesi, uçları -2 ve 3 noktalarında olan bir doğru parçası ile temsil edilir.

-2

3

Eğer \(a bir doğru parçasıysa ve [a; b] ile gösteriliyorsa

Eğer \(a bir aralıksa ve (a; b) ile gösteriliyorsa

\(a \leq x) eşitsizliklerini sağlayan \(x\) sayı kümeleri yarım aralıklardır ve sırasıyla [a; b) ve (a; b] ile gösterilirler

Segmentlere, aralıklara, yarım aralıklara ve ışınlara denir sayısal aralıklar.

Böylece, sayısal aralıklar eşitsizlikler şeklinde belirtilebilir.

İki bilinmeyenli bir eşitsizliğin çözümü, verilen eşitsizliği gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüren bir (x; y) sayı çiftidir. Bir eşitsizliği çözmek, onun tüm çözümlerinin kümesini bulmak anlamına gelir. Dolayısıyla x > y eşitsizliğinin çözümleri örneğin (5; 3), (-1; -1) sayı çiftleri olacaktır, çünkü \(5 \geq 3 \) ve \(-1 \geq - 1\)

Eşitsizlik sistemlerini çözme

Tek bilinmeyenli doğrusal eşitsizlikleri nasıl çözeceğinizi zaten öğrendiniz. Eşitsizlikler sisteminin ne olduğunu ve bu sistemin çözümünü biliyor musunuz? Bu nedenle tek bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerini çözme süreci size herhangi bir zorluk yaşatmayacaktır.

Yine de şunu hatırlatalım: Bir eşitsizlik sistemini çözmek için her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözmeniz ve ardından bu çözümlerin kesişimini bulmanız gerekir.

Örneğin, orijinal eşitsizlik sistemi şu şekle indirgenmişti:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Bu eşitsizlik sistemini çözmek için her bir eşitsizliğin çözümünü sayı doğrusunda işaretleyin ve bunların kesişimini bulun:

-2

3

Kesişme [-2; 3] - bu orijinal eşitsizlik sisteminin çözümüdür.

Ön bilgi

Tanım 1

$f(x) >(≥)g(x)$ biçimindeki bir eşitsizliğe, burada $f(x)$ ve $g(x)$ tam rasyonel ifadelerdir, tam rasyonel eşitsizlik denir.

Tam rasyonel eşitsizliklere örnek olarak iki değişkenli doğrusal, ikinci dereceden ve kübik eşitsizlikler gösterilebilir.

Tanım 2

$1$ tanımındaki eşitsizliğin sağlandığı $x$ değerine denklemin kökü denir.

Bu tür eşitsizliklerin çözümüne bir örnek:

örnek 1

$4x+3 >38-x$ eşitsizliğinin tamamını çözün.

Çözüm.

Bu eşitsizliği basitleştirelim:

Doğrusal bir eşitsizliğimiz var. Çözümünü bulalım:

Cevap: $(7,∞)$.

Bu yazıda rasyonel eşitsizliklerin tamamını çözmek için aşağıdaki yöntemleri ele alacağız.

Çarpanlara ayırma yöntemi

Bu yöntem şu şekilde olacaktır: $f(x)=g(x)$ şeklinde bir denklem yazılır. Bu denklem $φ(x)=0$ (burada $φ(x)=f(x)-g(x)$) biçimine indirgenir. Daha sonra $φ(x)$ fonksiyonu mümkün olan minimum güçlerle çarpanlara ayrılır. Kural geçerlidir: Polinomların çarpımı, bunlardan biri sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşittir. Daha sonra bulunan kökler sayı doğrusunda işaretlenir ve bir işaret eğrisi oluşturulur. Başlangıçtaki eşitsizliğin işaretine göre cevap yazılır.

İşte bu şekilde çözüm örnekleri:

Örnek 2

Çarpanlara ayırarak çözün. $y^2-9

Çözüm.

$y^2-9 denklemini çözelim

Kareler farkı formülünü kullanarak,

Faktörlerin çarpımının sıfıra eşit olduğu kuralını kullanarak şu kökleri elde ederiz: $3$ ve $-3$.

Bir işaret eğrisi çizelim:

Başlangıçtaki eşitsizlik “küçüktür” işaretine sahip olduğundan, şunu elde ederiz:

Cevap: $(-3,3)$.

Örnek 3

Çarpanlara ayırarak çözün.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Çözüm.

Aşağıdaki denklemi çözelim:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

İlk iki terimin ve son iki terimin ortak çarpanlarını parantez içinde çıkaralım.

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

$(x^2+3)$ ortak çarpanını çıkaralım

$(x^2+3)(x+2)=0$

Faktörlerin çarpımının sıfıra eşit olduğu kuralını kullanarak şunu elde ederiz:

$x+2=0 \ ve \ x^2+3=0$

$x=-2$ ve "kök yok"

Bir işaret eğrisi çizelim:

Başlangıçtaki eşitsizlik “büyüktür veya eşittir” işaretine sahip olduğundan, şunu elde ederiz:

Cevap: $(-∞,-2]$.

Yeni bir değişken ekleme yöntemi

Bu yöntem aşağıdaki gibidir: $f(x)=g(x)$ formunda bir denklem yazın. Bunu şu şekilde çözüyoruz: bir denklem elde etmek için, çözme yöntemi zaten bilinen yeni bir değişken ekliyoruz. Daha sonra sorunu çözüyoruz ve değiştirmeye geri dönüyoruz. Buradan ilk denklemin çözümünü bulacağız. Daha sonra bulunan kökler sayı doğrusunda işaretlenir ve bir işaret eğrisi oluşturulur. Başlangıçtaki eşitsizliğin işaretine göre cevap yazılır.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Tarafımızdan toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Makalede ele alacağız eşitsizlikleri çözmek. Size açıkça anlatacağız eşitsizliklere çözüm nasıl oluşturulur, net örneklerle!

Örnekler kullanarak eşitsizlikleri çözmeye bakmadan önce temel kavramları anlayalım.

Eşitsizlikler hakkında genel bilgi

Eşitsizlik fonksiyonların >, ilişki işaretleriyle bağlandığı bir ifadedir. Eşitsizlikler hem sayısal hem de gerçek olabilir.
Oranın iki işareti olan eşitsizliklere çift, üç - üçlü vb. Eşitsizlikler denir. Örneğin:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > veya veya - işaretini içeren eşitsizlikler kesin değildir.
Eşitsizliği çözmek bu eşitsizliğin doğru olacağı değişkenin herhangi bir değeridir.
"Eşitsizliği çözün", tüm çözümlerin kümesini bulmamız gerektiği anlamına gelir. Farklı çözümler var eşitsizlikleri çözme yöntemleri. İçin eşitsizlik çözümleri Sonsuz olan sayı doğrusu kullanılır. Örneğin, eşitsizliğin çözümü x > 3, 3'ten +'ya kadar olan aralıktır ve 3 sayısı bu aralığa dahil değildir, dolayısıyla doğru üzerindeki nokta boş bir daire ile gösterilir, çünkü eşitsizlik katıdır.
+
Cevap şu olacaktır: x (3; +).
X=3 değeri çözüm kümesine dahil edilmediğinden parantez yuvarlaktır. Sonsuzluk işareti her zaman parantezle vurgulanır. İşaret "ait olma" anlamına gelir.
İşaretli başka bir örnek kullanarak eşitsizlikleri nasıl çözeceğimize bakalım:
x 2
-+
X=2 değeri çözüm kümesine dahil edilmiştir, dolayısıyla braket karedir ve çizgi üzerindeki nokta içi dolu bir daire ile gösterilir.
Cevap şu olacaktır: x. Çözüm kümesi grafiği aşağıda verilmiştir.

Çift eşitsizlikler

İki eşitsizlik bir kelimeyle bağlandığında Ve, veya, sonra oluşur çifte eşitsizlik. Çift eşitsizlik
-3 Ve 2x + 5 ≤ 7
isminde bağlıçünkü kullanıyor Ve. Madde -3 Çifte eşitsizlikler, eşitsizliklerin toplanması ve çarpılması ilkeleri kullanılarak çözülebilir.

Örnek 2-3'ü çöz Çözüm Sahibiz

Çözüm kümesi (x|x ≤ -1 veya x > 3). Çözümü aralık gösterimini ve sembolünü kullanarak da yazabiliriz. dernekler veya her iki kümeyi de içeren: (-∞ -1] (3, ∞). Çözüm kümesinin grafiği aşağıda gösterilmiştir.

Kontrol etmek için y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 ve y 3 = 1'in grafiğini çizelim. (x|x ≤ -1) için buna dikkat edin veya x > 3), y 1 ≤ y 2 veya y 1 > y 3 .

Mutlak değerli eşitsizlikler (modül)

Eşitsizlikler bazen modüller içerir. Bunları çözmek için aşağıdaki özellikler kullanılır.
a > 0 ve cebirsel x ifadesi için:
|x| |x| > a, x veya x > a'ya eşdeğerdir.
|x| için benzer ifadeler ≤ a ve |x| ≥ a.

Örneğin,
|x| |y| ≥ 1, y ≤ -1'e eşdeğerdir veya y ≥ 1;
ve |2x + 3| ≤ 4, -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4'e eşdeğerdir.

Örnek 4 Aşağıdaki eşitsizliklerin her birini çözün. Çözüm kümesinin grafiğini çizin.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Çözüm
a) |3x + 2|

Çözüm kümesi (x|-7/3)
b) |5 - 2x| ≥ 1
Çözüm kümesi (x|x ≤ 2)'dir veya x ≥ 3) veya (-∞, 2] )