Ters trigonometrik fonksiyonların hayatta uygulanması. Trigonometrinin tarihi: ortaya çıkışı ve gelişimi

BELEDİYE EĞİTİM KURUMU

"1 Numaralı Spor Salonu"

"GERÇEK HAYATTA TRİGONOMETRİ"

bilgi projesi

Tamamlanmış:

Krasnov Yegor

9A sınıfı öğrencisi

Danışman:

Borodkina Tatyana İvanovna

Jeleznogorsk

Giriş……………………………………………………..……3

Uygunluk…………………………………………………………….3

Hedef………………………………………………………4

Görevler……………………………………………………….4

1.4 Yöntemler……………………………………………………...4

2. Trigonometri ve gelişim tarihi……………………………..5

2.1 Trigonometri ve oluşum aşamaları….………………….5

2.2 Terim olarak trigonometri. Özellikler……………….7

2.3. Sinüs oluşumu……………………….……………….7

2.4 Kosinüsün görünümü…………………….……………….8

2.5.Teğet ve kotanjantın ortaya çıkışı……………………….9

2.6 Daha fazla gelişme trigonometri………………………..9

3. Trigonometri ve gerçek hayat……………………..……………...12

3.1.Navigasyon……………………………..……………………..12

3.2 Cebir….……………………………..……………………..14

3.3.Fizik….…………………………………..………………………..14

3.4.Tıp, biyoloji ve bioritimler…..…………………………..15

3.5.Müzik…………………………….…..……………………..19

3.6.Bilişim..…………………….…..…………………….21

3.7.İnşaat sektörü ve jeodezi.…………………………...22

3.8 Sanat ve mimaride trigonometri………………..…..22

Çözüm. ……………………………..…………………………..…..25

Referanslar.………………………….…………….……………27

Ek 1.………………………………….…………….……………29

giriiş

Modern dünyada matematik alanlarından biri olarak büyük önem verilmektedir. bilimsel aktivite ve çalışma. Bildiğimiz gibi matematiğin bileşenlerinden biri trigonometridir. Trigonometri, trigonometrik fonksiyonları inceleyen matematik dalıdır. Bu konunun öncelikle pratik açıdan alakalı olduğuna inanıyorum. Okuldaki eğitimimizi bitiriyoruz ve birçok meslek için trigonometri bilgisinin kesinlikle gerekli olduğunu anlıyoruz, çünkü... astronomide yakındaki yıldızlara olan mesafeleri, coğrafyada önemli noktalar arasındaki mesafeleri ölçmenize ve uydu navigasyon sistemlerini kontrol etmenize olanak tanır. Trigonometri ilkeleri ayrıca müzik teorisi, akustik, optik, finansal piyasa analizi, elektronik, olasılık teorisi, istatistik, biyoloji, tıp (ultrason ve bilgisayarlı tomografi dahil), eczacılık, kimya, sayı teorisi (ve benzeri) gibi alanlarda da kullanılmaktadır. bir sonuç, kriptografi), sismoloji, meteoroloji, oşinoloji, haritacılık, fiziğin birçok dalı, topografya ve jeodezi, mimari, fonetik, ekonomi, elektronik mühendisliği, makine mühendisliği, bilgisayar grafikleri, kristalografi.

İkincisi, alaka"Gerçek Hayatta Trigonometri" teması, trigonometri bilgisinin birçok bilim alanındaki çeşitli problemleri çözmenin yeni yollarını açacağı ve çeşitli bilimlerin belirli yönlerinin anlaşılmasını kolaylaştıracağıdır.

Okul çocuklarının trigonometriyle üç kez karşılaşması uzun zamandır yerleşik bir uygulamadır. Yani trigonometrinin üç bölümden oluştuğunu söyleyebiliriz. Bu parçalar birbirine bağlıdır ve zamana bağlıdır. Aynı zamanda tamamen farklıdırlar, hem temel kavramları açıklarken ortaya konan anlam açısından hem de işlevler açısından benzer özelliklere sahip değildirler.

İlk tanışma 8. sınıfta gerçekleşir. Bu, okul çocuklarının şunu öğrendiği dönemdir: “Dik üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiler.” Trigonometri çalışması sürecinde kosinüs, sinüs ve tanjant kavramları verilmektedir.

Bir sonraki adım 9. sınıfta trigonometriyi öğrenmeye devam etmektir. Karmaşıklık düzeyi artar, örnekleri çözmenin yolları ve yöntemleri değişir. Şimdi kosinüsler ve teğetlerin yerine daire ve onun yetenekleri geliyor.

Son aşama, trigonometrinin daha karmaşık hale geldiği ve problem çözme yollarının değiştiği 10. sınıftır. Radyan açı ölçüsü kavramı tanıtıldı. Trigonometrik fonksiyonların grafikleri tanıtılmaktadır. Açık bu aşamadaÖğrenciler çözmeye ve çalışmaya başlar trigonometrik denklemler. Ama geometri değil. Trigonometriyi tam olarak anlamak için kökeninin ve gelişiminin tarihini bilmek gerekir. Toplantıdan sonra tarihi bilgi ve büyük şahsiyetlerin, matematikçilerin ve bilim adamlarının çalışmalarını inceleyerek trigonometrinin hayatımızı nasıl etkilediğini, yeni nesneler yaratmaya ve keşifler yapmaya nasıl yardımcı olduğunu anlayabiliriz.

Amaç Projem trigonometrinin insan yaşamındaki etkisini incelemek ve ona olan ilgiyi geliştirmek. Bu amacı çözdükten sonra trigonometrinin dünyamızda nasıl bir yer kapladığını, hangi pratik sorunları çözdüğünü anlayabileceğiz.

Bu hedefe ulaşmak için aşağıdakileri belirledik görevler:

1. Trigonometrinin oluşum ve gelişim tarihi hakkında bilgi sahibi olun;

2. Trigonometrinin çeşitli faaliyet alanlarındaki pratik etkisinin örneklerini düşünün;

3. Trigonometrinin olanaklarını ve insan yaşamındaki uygulamasını örneklerle gösterin.

Yöntemler: Bilgi arama ve toplama.

1. Trigonometri ve gelişim tarihi

Trigonometri nedir? Bu terim, farklı açı boyutları arasındaki ilişkiyi inceleyen, bir üçgenin kenarlarının uzunluklarını ve trigonometrik fonksiyonların cebirsel kimliklerini inceleyen bir matematik dalını ifade eder. Matematiğin bu alanının bizimle buluştuğunu hayal etmek zor Gündelik Yaşam.

1.1 Trigonometri ve oluşum aşamaları

Gelişiminin tarihine, oluşum aşamalarına dönelim. Antik çağlardan beri trigonometri temellerini kazanmış, gelişmiş ve ilk sonuçlarını göstermiştir. Bu alanın ortaya çıkışı ve gelişimi ile ilgili ilk bilgileri M.Ö. Antik Mısır Babil, Antik Çin. Rhinda papirüsündeki (MÖ 2. binyıl) 56. problemi inceledikten sonra, yüksekliği 250 arşın olan bir piramidin eğimini bulmayı önerdiği görülebilir. Piramidin tabanının kenar uzunluğu 360 arşındır (Şek. 1). Mısırlıların bu sorunu çözerken aynı anda iki ölçüm sistemini - "dirsekler" ve "avuç içi" kullanması ilginçtir. Bugün bu problemi çözerken açının tanjantını bulacağız: tabanın yarısını ve özdeyişini bilerek (Şekil 1).

Bir sonraki adım, MÖ 3. yüzyılda yaşayan Samoslu gökbilimci Aristarchus'la ilişkilendirilen bilimin gelişme aşamasıydı. e. Güneş ve Ay'ın büyüklüğü ve uzaklığı dikkate alınarak yapılan inceleme, kendisine özel bir görev yükledi. Her gök cismine olan mesafenin belirlenmesi gerektiği ifade edildi. Bu tür hesaplamaları yapabilmek için, bir dik üçgenin kenarlarının, açılardan birinin bilinen değeri ile oranını hesaplamak gerekiyordu. Aristarchus, bir kareleme sırasında Güneş, Ay ve Dünya'nın oluşturduğu dik üçgeni düşündü. Dünya'dan Güneş'e olan mesafeye temel olan hipotenüs değerini, Dünya'dan Ay'a olan mesafeye temel olan bacağı kullanarak, komşu açının bilinen değeri ile hesaplamak (87°), bu değerin hesaplanmasına eşdeğerdir açının günahı 3. Aristarchus'a göre bu değer 1/20 ile 1/18 arasında değişmektedir. Bu, Güneş'ten Dünya'ya olan mesafenin, Ay'dan Dünya'ya olan mesafenin yirmi katı olduğunu göstermektedir. Ancak Güneş'in Ay'ın konumundan 400 kat daha uzakta olduğunu biliyoruz. Yargı hatası, açının ölçülmesindeki yanlışlıktan kaynaklanmıştır.

Birkaç on yıl sonra Claudius Ptolemy, Ethnocoğrafya, Analemma ve Planispherium adlı kendi eserlerinde haritacılık, astronomi ve mekaniğe yapılan trigonometrik eklemelerin ayrıntılı bir açıklamasını sunar. Diğer şeylerin yanı sıra, stereografik bir projeksiyon tasvir ediliyor, bir dizi olgusal konu inceleniyor, örneğin: gök cismin yüksekliğini ve açısını, eğimine ve saat açısına göre belirlemek. Trigonometri açısından bakıldığında bu, küresel üçgenin kenarını diğer 2 yüze ve karşı açıya göre bulmanın gerekli olduğu anlamına gelir (Şekil 2).

Birlikte ele alındığında trigonometrinin şu amaçlarla kullanıldığı belirtilebilir:

Günün saatini açıkça belirlemek;

Gök cisimlerinin yaklaşan konumlarının hesaplanması, onların doğuş ve batış bölümleri, Güneş ve Ay tutulmaları;

Mevcut konumun coğrafi koordinatlarını bulma;

Coğrafi koordinatları bilinen mega şehirler arasındaki mesafenin hesaplanması.

Gnomon, öğlen gölgesinin en kısa uzunluğunu kullanarak güneşin açısal yüksekliğini belirlemeye olanak tanıyan dikey bir nesne (stel, sütun, direk) olan eski bir astronomik mekanizmadır (Şekil 3).

Böylece kotanjant bize yüksekliği 12 (bazen 7) birim olan dikey bir güneş saati milinden gelen gölgenin uzunluğu olarak temsil edildi. Orijinal versiyonda bu tanımların güneş saatlerini hesaplamak için kullanıldığını unutmayın. Teğet, yatay bir güneş saati milinden düşen bir gölgeyle temsil ediliyordu. Kosekant ve sekant, dik üçgenlere karşılık gelen hipotenüsler olarak anlaşılır.

1.2 Terim olarak trigonometri. karakteristik

Belirli bir terim olan “trigonometri” ilk kez 1505 yılında ortaya çıktı. Alman ilahiyatçı ve matematikçi Bartholomeus Pitiscus tarafından yayımlandı ve bir kitapta kullanıldı. O zamanlar bilim, astronomik ve mimari sorunları çözmek için zaten kullanılıyordu.

Trigonometri terimi Yunan kökleriyle karakterize edilir. Ve iki bölümden oluşur: “üçgen” ve “ölçü”. Çeviriyi inceleyerek karşımızda üçgenlerin değişimlerini inceleyen bir bilim olduğunu söyleyebiliriz. Trigonometrinin ortaya çıkışı arazi etüdü, astronomi ve inşaat süreci ile ilişkilidir. Adı nispeten yakın zamanda ortaya çıkmasına rağmen, şu anda trigonometri olarak sınıflandırılan birçok tanım ve veri 2000'den önce biliniyordu.

1.3. Sinüs oluşumu

Sinüs gösteriminin uzun bir geçmişi vardır. Aslında, bir üçgenin ve bir dairenin parçaları (ve aslında trigonometrik fonksiyonlar) arasındaki çeşitli ilişkiler 3. yüzyılın başlarında keşfedilmişti. M.Ö. Antik Yunanistan'ın ünlü matematikçilerinin eserlerinde - Öklid, Arşimet, Pergalı Apollonius. Roma döneminde bu ilişkiler Menelaus (MS 1. yüzyıl) tarafından oldukça düzenli bir şekilde incelenmiştir, ancak özel bir isim almamışlardır. Örneğin, α açısının modern sinüsü, α büyüklüğünün merkezi açısının dayandığı yarım kiriş veya çift yayın kirişi olarak incelenir.

Sonraki dönemde matematik uzun bir süre en hızlı şekilde Hintli ve Arap bilim adamları tarafından oluşturuldu. Özellikle 4.-5. yüzyıllarda, Dünya'nın ilk Hindu uydusuna adını veren ünlü Hintli bilim adamı Aryabhata'nın (476-c. 550) astronomi konusundaki çalışmalarında daha önce özel bir terim ortaya çıktı. Segmenti ardhajiva (ardha-yarım, jiva-string, eksene benzeyen bir kırılma) olarak adlandırdı. Daha sonra daha kısaltılmış isim olan jiva benimsendi. 9. yüzyılda Arap matematikçiler. jiva (veya jiba) teriminin yerini Arapça jaib (içbükeylik) kelimesi aldı. Arapça matematik metinlerinin 12. yüzyıla geçişi sırasında. bu kelimenin yerini Latince sinüs (sinüs kıvrımı) almıştır (Şekil 4).

1.4. Kosinüsün görünümü

“Kosinüs” teriminin tanımı ve kökeni doğası gereği daha kısa vadeli ve kısa vadelidir. Kosinüs derken "ek sinüs"ü kastediyoruz (ya da başka bir deyişle "ek yayın sinüsü"; cosα= sin(90° - a)'yı hatırlayın). İlginç gerçekÜçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiye dayanan üçgen çözme yöntemlerinin ilki, M.Ö. 2. yüzyılda Antik Yunanlı astronom Hipparchus tarafından bulunmuş olmasıdır. Bu çalışma aynı zamanda Claudius Ptolemy tarafından da gerçekleştirilmiştir. Yavaş yavaş, bir üçgenin kenarlarının oranları ile açıları arasındaki ilişki hakkında yeni gerçekler ortaya çıktı ve yeni bir tanım uygulanmaya başlandı - trigonometrik fonksiyon.

Trigonometri oluşumuna önemli bir katkı, 10' hassasiyetini kullanarak sinüs ve teğet tablolarını toplayan Arap uzmanlar Al-Batani (850-929) ve Abu-l-Wafa, Muhamed bin Muhamed (940-998) tarafından yapılmıştır. 1/604'e kadar. Sinüs teoremi daha önce Hintli profesör Bhaskara (d. 1114, ölüm yılı bilinmiyor) ve Azerbaycanlı astrolog ve bilim adamı Nasireddin Tusi Muhamed (1201-1274) tarafından biliniyordu. Ayrıca Nasıreddin Tusi, “Tam Dörtgen Üzerinde Çalışma” adlı kendi çalışmasında doğrudan ve küresel trigonometriyi bağımsız bir disiplin olarak tanımlamıştır (Şekil 4).

1.5. Teğet ve kotanjantın ortaya çıkışı

Teğetler, gölgenin uzunluğunu belirleme probleminin sonuçlanmasıyla bağlantılı olarak ortaya çıktı. Teğet (ve ayrıca kotanjant), 10. yüzyılda teğetleri ve kotanjantları bulmak için ilk tabloları derleyen Arap aritmetikçi Abu-l-Wafa tarafından kuruldu. Ancak bu keşifler Avrupalı bilim adamları tarafından uzun süre bilinmiyordu ve teğetler ancak 14. yüzyılda Alman aritmetikçi ve gökbilimci Regimontanus (1467) tarafından yeniden keşfedildi. Teğet teoremini savundu. Regiomontanus ayrıca ayrıntılı trigonometrik tablolar derledi; Onun çalışmaları sayesinde düzlem ve küresel trigonometri Avrupa'da bağımsız bir disiplin haline geldi.

Latince tanger'den (dokunmak) gelen "teğet" tanımı 1583'te ortaya çıktı. Tangens "dokunmak" olarak çevrilir (teğet çizgisi teğettir) birim çember).
Trigonometri, seçkin astrologlar Nicolaus Copernicus (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601) ve Johannes Kepler'in (1571-1630) çalışmalarında ve ayrıca matematikçi Francois Vieta'nın (1540-1603) çalışmalarında daha da geliştirildi. Düz veya küresel bir üçgenin tüm bileşenlerini üç veri kullanarak kesinlikle belirleme sorununu tamamen çözen kişi (Şekil 4).

1.6 Trigonometrinin daha da geliştirilmesi

Uzun bir süre boyunca trigonometri yalnızca geometrik bir forma sahipti, yani şu anda trigonometrik fonksiyonların tanımlarında formüle ettiğimiz veriler geometrik kavram ve ifadelerin desteğiyle formüle edilmiş ve tartışılmıştır. Bu şekilde Orta Çağ'da da mevcuttu, ancak özellikle logaritmanın ortaya çıkmasından sonra bazen analitik yöntemler de kullanıldı. Belki de trigonometri oluşumuna yönelik maksimum teşvikler, astronomi problemlerinin çözümüyle bağlantılı olarak ortaya çıktı ve bu da çok büyük olumlu ilgi uyandırdı (örneğin, bir geminin yerini belirleme, elektrik kesintisini tahmin etme vb. Sorunları çözmek için). Astrologlar küresel üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkilerle ilgileniyorlardı. Ve antik çağın aritmetikçileri sorulan sorularla başarılı bir şekilde başa çıktılar.

17. yüzyıldan itibaren trigonometrik fonksiyonlar denklemleri, mekanik, optik, elektrik, radyo mühendisliği sorularını çözmek, salınım eylemlerini, dalga yayılımını, çeşitli elemanların hareketini görüntülemek, alternatif galvanik akımı incelemek vb. için kullanılmaya başlandı. Bu nedenle trigonometrik fonksiyonlar kapsamlı ve derinlemesine incelenmiş ve matematiğin tamamı için büyük önem kazanmıştır.

Trigonometrik fonksiyonların analitik teorisi esas olarak St. Petersburg Bilimler Akademisi'nin bir üyesi olan 18. yüzyılın seçkin matematikçisi Leonhard Euler (1707-1783) tarafından yaratıldı. Euler'in muazzam bilimsel mirası; matematiksel analiz, geometri, sayılar teorisi, mekanik ve matematiğin diğer uygulamalarıyla ilgili parlak sonuçları içerir. Trigonometrik fonksiyonların iyi bilinen tanımlarını ilk kez ortaya koyan, keyfi açılı fonksiyonları düşünmeye başlayan ve indirgeme formülleri elde eden ilk kişi Euler'di. Euler'den sonra trigonometri hesap biçimini aldı: trigonometri formüllerinin resmi uygulamasıyla çeşitli gerçekler kanıtlanmaya başlandı, kanıtlar çok daha kompakt ve basit hale geldi,

Böylece, üçgen çözme bilimi olarak ortaya çıkan trigonometri, zamanla trigonometrik fonksiyonlar bilimine dönüştü.

Daha sonra, trigonometrik fonksiyonların özelliklerini ve aralarındaki bağımlılıkları inceleyen trigonometri kısmına gonyometri (Yunanca gwnia - açı, metrew - ölçtüm kelimesinden açıları ölçme bilimi olarak tercüme edilir) adı verilmeye başlandı. Gonyometri terimi son zamanlarda neredeyse hiç kullanılmamaktadır.

2. Trigonometri ve gerçek hayat

Modern toplum sürekli değişimler, keşifler ve yaşamlarımızı iyileştiren yüksek teknolojili icatların yaratılmasıyla karakterize edilir. Trigonometri fizik, biyoloji, matematik, tıp, jeofizik, navigasyon, bilgisayar bilimi ile buluşur ve etkileşime girer.

Her sektördeki etkileşimlere sırasıyla bir göz atalım.

2.1.Navigasyon

Trigonometrinin kullanımını ve faydalarını bize açıklayan ilk nokta, onun navigasyonla olan bağlantısıdır. Navigasyon derken, amacı navigasyonun en kullanışlı ve kullanışlı yollarını araştırmak ve yaratmak olan bir bilimi kastediyoruz. Böylece bilim adamları, bir noktadan diğerine bir rota oluşturmayı, onu değerlendirmeyi ve önerilen tüm seçenekler arasından en iyi seçeneği seçmeyi içeren basit navigasyon geliştiriyorlar. Bu rotalar, yolculukları sırasında birçok zorlukla, engellerle ve yolculuğun gidişatına ilişkin sorularla karşılaşan denizciler için gereklidir. Navigasyon da gereklidir: Karmaşık, yüksek teknolojili uçaklarla uçan pilotlar, bazen çok aşırı durumlar; Çalışmaları hayati tehlike içeren, karmaşık rota inşaatı ve geliştirilmesini içeren kozmonotlar. Aşağıdaki kavramları ve görevleri daha ayrıntılı olarak inceleyelim. Sorun olarak şu durumu hayal edebiliriz: Coğrafi koordinatları biliyoruz: Dünya yüzeyindeki A ve B noktaları arasındaki enlem ve boylam. En fazlasını bulmak lazım kısayol dünya yüzeyi boyunca A ve B noktaları arasında (dünyanın yarıçapının bilindiği kabul edilir: R = 6371 km).

Bu soruna bir çözüm de hayal edebiliriz: İlk olarak, dünya yüzeyindeki bir M noktasının enleminin, O'nun Dünyanın merkezi olduğu OM yarıçapının ekvator ile oluşturduğu açının değeri olduğunu açıklığa kavuşturalım. düzlem: ≤ ve ekvatorun kuzeyinde enlem pozitif, güneyde ise negatif kabul edilir. M noktasının boylamı için COM ve SON düzlemlerinden geçen dihedral açının değerini alacağız. C derken şunu kastediyoruz Kuzey Kutbu Toprak. H olarak Greenwich Gözlemevi'ne karşılık gelen noktayı anlıyoruz: ≤ (Greenwich meridyeninin doğusunda, boylam pozitif, batıda - negatif olarak kabul edilir). Bildiğimiz gibi dünya yüzeyinde A ve B noktaları arasındaki en kısa mesafe, A ve B'yi birleştiren büyük dairenin en küçük yayının uzunluğu ile temsil edilir. Bu yay tipine ortodrom diyebiliriz. Yunancadan tercüme edilen bu terim dik açı olarak anlaşılmaktadır. Bu nedenle görevimiz, C'nin kuzey polisini ifade ettiği ABC küresel üçgeninin AB kenarının uzunluğunu belirlemektir.

İlginç bir örnek aşağıdaki gibi tarif edilebilir. Denizcilerin rota oluştururken hassas ve özenli bir çalışma yapması gerekmektedir. Bu nedenle, Gerhard Mercator'un 1569'daki projeksiyonunda yapılan haritada geminin rotasını çizmek için acilen enlemin belirlenmesine ihtiyaç vardı. Ancak 17. yüzyıla kadar bazı yerlerde denizciler denize açılırken enlemi göstermiyorlardı. Edmond Gunther (1623), navigasyonda trigonometrik hesaplamaları kullanan ilk kişiydi.

Trigonometri yardımıyla pilotlar, uçağın en doğru ve güvenli kontrolü için rüzgar hatalarını hesaplayabildi. Bu hesaplamaları yapabilmek için hız üçgenini kullanıyoruz. Bu üçgen, sonuçta ortaya çıkan hava hızını (V), rüzgar vektörünü (W) ve yer hızı vektörünü (Vp) ifade eder. PU yön açısıdır, UV rüzgar açısıdır, KUV rüzgar yön açısıdır (Şekil 5).

Hızların gezinme üçgeninin unsurları arasındaki ilişkinin türünü öğrenmek için aşağıya bakmanız gerekir:

Vp =V cos US + W cos UV; sin CV = * sin CV, tg CV

Hızların gezinme üçgenini çözmek için, bir gezinme cetveli ve zihinsel hesaplamalar kullanan hesaplama cihazları kullanılır.

2.2.Cebir

Trigonometri arasındaki bir sonraki etkileşim alanı cebirdir. Trigonometrik fonksiyonlar sayesinde çok karmaşık denklemler ve büyük hesaplamalar gerektiren problemler çözülür.

Bildiğimiz gibi periyodik süreçler ve salınımlarla etkileşime girmenin gerekli olduğu tüm durumlarda trigonometrik fonksiyonların kullanımına geliyoruz. Ne olduğu önemli değil: akustik, optik veya sarkacın salınımı.

2.3.Fizik

Navigasyon ve cebirin yanı sıra trigonometrinin fizikte doğrudan etkisi ve etkisi vardır. Nesneler suya daldırıldığında hiçbir şekilde şekli veya hacmi değişmez. İşin sırrı, görüşümüzü bir nesneyi farklı algılamaya zorlayan görsel bir efekttir. Basit trigonometrik formüller ve yarım çizginin geliş açısı ve kırılma açısının sinüs değerleri, bir ışık ışını küreden küreye geçtiğinde sabit kırılma indisinin hesaplanması olasılığını sağlar. Örneğin, kırılma yasasına göre güneş ışığının havada asılı kalan su damlacıklarında kırılması nedeniyle bir gökkuşağı ortaya çıkar:

günah α / günah β = n1 / n2

burada: n1, birinci ortamın kırılma indisidir; n2, ikinci ortamın kırılma indisidir; α-geliş açısı, β-ışığın kırılma açısı.

Gezegenlerin üst atmosferine giren yüklü elementler Güneş rüzgarı etkileşimle belirlenir manyetik alan güneş rüzgarı ile dünya.

Manyetik bir bölgede hareket eden yüklü bir parçacığa etki eden kuvvete Lorentz kuvveti denir. Parçacığın yükü, alanın vektör çarpımı ve parçacığın hızıyla orantılıdır.

Trigonometrinin fizikte kullanımının pratik yönlerini ortaya çıkararak bir örnek vereceğiz. Bu problemin trigonometrik formüller ve çözüm yöntemleri kullanılarak çözülmesi gerekir. Sorun koşulları: 90 kg ağırlığındaki bir cisim 24,5° açıyla eğik bir düzlem üzerinde yer almaktadır. Eğimli düzlemde vücudun hangi kuvvete baskı uyguladığını (yani vücudun bu düzleme ne kadar basınç uyguladığını) bulmak gerekir (Şekil 6).

X ve Y eksenlerini belirledikten sonra, önce şu formülü kullanarak eksen üzerindeki kuvvetlerin projeksiyonlarını oluşturmaya başlıyoruz:

ma = N + mg, sonra şekle bakın,

X: ma = 0 + mg sin24,50

Y: 0 = N – mg cos24,50

Kütleyi yerine koyarsak kuvvetin 819 N olduğunu buluruz.

Cevap: 819N

2.4.Tıp, biyoloji ve biyoritimler

Trigonometrinin büyük bir etkiye ve yardıma sahip olduğu dördüncü alan iki alandır: tıp ve biyoloji.

Canlı doğanın temel özelliklerinden biri, içinde meydana gelen çoğu sürecin döngüsel doğasıdır. Gök cisimlerinin hareketleri ile Dünya üzerindeki canlı organizmalar arasında bir bağlantı vardır. Canlı organizmalar yalnızca Güneş ve Ay'ın ışığını ve ısısını yakalamakla kalmaz, aynı zamanda Güneş'in konumunu doğru bir şekilde belirleyen, gelgit ritmine, Ay'ın evrelerine ve gezegenimizin hareketine tepki veren çeşitli mekanizmalara da sahiptir.

Biyolojik ritimler, biyoritimler, biyolojik süreçlerin doğasında ve yoğunluğunda az çok düzenli değişikliklerdir. Yaşam aktivitesinde bu tür değişiklikler yapma yeteneği kalıtsaldır ve neredeyse tüm canlı organizmalarda bulunur. Bireysel hücrelerde, dokularda ve organlarda, tüm organizmalarda ve popülasyonlarda gözlemlenebilirler. Bioritimler ikiye ayrılır fizyolojik, saniyenin kesirlerinden birkaç dakikaya kadar olan sürelere sahiptir ve çevresel, herhangi bir ritimle çakışan süre çevre. Bunlar günlük, mevsimsel, yıllık, gelgit ve ay ritimlerini içerir. Ana dünyevi ritim günlüktür ve Dünyanın kendi ekseni etrafında dönmesiyle belirlenir, bu nedenle canlı bir organizmadaki hemen hemen tüm süreçlerin günlük bir periyodikliği vardır.

Bir demet çevresel faktörler Gezegenimizde öncelikle ışık rejimi, sıcaklık, hava basıncı ve nem, atmosferik ve elektromanyetik alan, deniz gelgitleri bu dönmenin etkisiyle doğal olarak değişmektedir.

Yüzde yetmiş beşimiz sudur ve eğer dolunay anında dünya okyanuslarının suları deniz seviyesinden 19 metre yükselip gelgit başlarsa o zaman vücudumuzdaki su da vücudumuzun üst kısımlarına doğru hücum eder. Ve yüksek tansiyonu olan kişiler genellikle bu dönemlerde hastalığın alevlenmelerini yaşarlar ve şifalı otlar toplayan doğa bilimciler, ayın hangi aşamasında "üst kısımları - (meyveler)" ve hangi "kökleri" toplayacağını tam olarak bilirler.

Hayatınızın belirli dönemlerde açıklanamaz sıçramalar yaptığını fark ettiniz mi? Aniden, birdenbire duygular taşar. Duyarlılık artar ve bu durum aniden tamamen ilgisizliğe yol açabilir. Yaratıcı ve sonuçsuz günler, mutlu ve mutsuz anlar, ani ruh hali değişimleri. İnsan vücudunun yeteneklerinin periyodik olarak değiştiği kaydedilmiştir. Bu bilgi “üç biyoritim teorisinin” temelini oluşturur.

Fiziksel bioritm – fiziksel aktiviteyi düzenler. Fiziksel döngünün ilk yarısında kişi enerjiktir ve faaliyetlerinde daha iyi sonuçlar elde eder (ikinci yarı - enerji yerini tembelliğe bırakır).

Duygusal ritim - faaliyet dönemlerinde hassasiyet artar ve ruh hali iyileşir. Bir kişi çeşitli dış felaketlere karşı heyecanlanır hale gelir. Ruh hali iyiyse havada kaleler kurar, aşık olmayı hayal eder ve aşık olur. Duygusal biyoritm azaldığında zihinsel güç azalır, arzu ve neşeli ruh hali kaybolur.

Entelektüel biyoritm - hafızayı, öğrenme yeteneğini ve mantıksal düşünmeyi kontrol eder. Etkinlik aşamasında bir artış var, ikinci aşamada ise yaratıcı etkinlikte bir düşüş var, şans ve başarı yok.

Üç Ritim Teorisi:

· Fiziksel döngü - 23 gün. Hareketin enerjisini, gücünü, dayanıklılığını ve koordinasyonunu belirler

· Duygusal döngü – 28 gün. Durum gergin sistem ve ruh hali

· Entelektüel döngü - 33 gün. Bireyin yaratıcı yeteneğini belirler

Trigonometri doğada da bulunur. Balığın sudaki hareketi, kuyruktaki bir noktayı sabitlerseniz ve ardından hareketin yörüngesini dikkate alırsanız sinüs veya kosinüs kanununa göre gerçekleşir. Balığın vücudu yüzerken y=tgx fonksiyonunun grafiğine benzeyen bir eğri şeklini alır.

Bir kuş uçarken, çırpan kanatların yörüngesi bir sinüzoid oluşturur.

Tıpta trigonometri. İran Şiraz Üniversitesi öğrencisi Vahid-Rıza Abbasi'nin yaptığı araştırma sonucunda doktorlar ilk kez sağlıkla ilgili bilgileri organize edebildi. elektriksel aktivite kalp veya başka bir deyişle elektrokardiyografi.

Tahran adı verilen formül, Hollanda'da düzenlenen 14. Coğrafi Tıp Konferansı'nda ve ardından 28. Bilgisayar Teknolojisinin Kardiyolojide Kullanımı Konferansı'nda genel bilim camiasına sunuldu.

Bu formül, aritmi durumlarında hesaplamalar için birkaç ek parametre de dahil olmak üzere 8 ifade, 32 katsayı ve 33 ana parametreden oluşan karmaşık bir cebirsel-trigonometrik denklemdir. Doktorlara göre bu formül, kalp aktivitesinin ana parametrelerini tanımlama sürecini büyük ölçüde kolaylaştırıyor, böylece tanıyı ve tedavinin başlamasını hızlandırıyor.

Birçok kişi kalbin kardiyogramını yapmak zorundadır, ancak çok az kişi insan kalbinin kardiyogramının sinüs veya kosinüs grafiği olduğunu bilir.

Trigonometri beynimizin nesnelere olan mesafeleri belirlemesine yardımcı olur. Amerikalı bilim insanları, beynin dünya düzlemi ile görüş düzlemi arasındaki açıyı ölçerek nesnelere olan mesafeyi tahmin ettiğini iddia ediyor. Bu sonuca, katılımcılardan aşağıdakilere bakmalarının istendiği bir dizi deney sonrasında ulaşıldı. Dünya bu açıyı artıran prizmalar aracılığıyla.

Bu çarpıtma, deneysel prizma taşıyıcılarının uzaktaki nesneleri daha yakın algılamasına ve en basit testlerle baş edememesine neden oldu. Hatta deneylere katılanlardan bazıları öne doğru eğilerek vücutlarını dünyanın yanlış hayal edilen yüzeyine dik olarak hizalamaya çalıştı. Ancak 20 dakika sonra çarpık algıya alıştılar ve tüm sorunlar ortadan kalktı. Bu durum, beynin görsel sistemi değişen dış koşullara uyarlamasını sağlayan mekanizmanın esnekliğini göstermektedir. Prizmalar çıkarıldıktan sonra bir süre gözlemlenmesi ilginçtir. ters etki- mesafenin fazla tahmin edilmesi.

Yeni çalışmanın sonuçları, tahmin edilebileceği gibi, robotlar için navigasyon sistemleri tasarlayan mühendislerin yanı sıra en gerçekçi sanal modelleri oluşturmaya çalışan uzmanların da ilgisini çekecek. Beynin belirli bölgelerinde hasar olan hastaların rehabilitasyonunda tıp alanında da uygulamalar mümkündür.

2.5.Müzik

Müzik alanı aynı zamanda trigonometri ile de etkileşime girer.

Trigonometri ile müzik arasındaki bağlantıyı doğru bir şekilde sağlayan belirli bir yöntem hakkında ilginç bilgileri dikkatinize sunuyorum.

Müzik eserlerini analiz etmenin bu yöntemine "geometrik müzik teorisi" denir. Onun yardımıyla temel müzikal yapılar ve dönüşümler modern geometri diline çevriliyor.

İçindeki her nota yeni teori karşılık gelen sesin frekansının logaritması olarak temsil edilir (örneğin, ilk oktavın “C” notası 60 sayısına, oktav 12 sayısına karşılık gelir). Kiriş böylece geometrik uzayda belirli koordinatlara sahip bir nokta olarak temsil edilir. Akorlar, farklı geometrik uzay türlerine karşılık gelen farklı "ailelere" gruplandırılmıştır.

Yeni bir yöntem geliştirirken yazarlar, ses dizilerini sınıflandırırken daha önce müzik teorisinde dikkate alınmayan bilinen 5 müzikal dönüşüm türünü kullandılar - oktav permütasyon (O), permütasyon (P), transpozisyon (T), ters çevirme (I) ve kardinalitedeki değişiklik (C) . Yazarların yazdığı gibi tüm bu dönüşümler, n boyutlu uzayda OPTİK simetriler olarak adlandırılan formlar oluşturur ve akor hakkında müzikal bilgileri depolar - notaların hangi oktavda yer aldığı, hangi sırayla çalındıkları, kaç kez tekrarlandıkları, vesaire. OPTIC simetrileri kullanılarak benzer fakat aynı olmayan akorlar ve bunların dizileri sınıflandırılır.

Makalenin yazarları, bu 5 simetrinin çeşitli kombinasyonlarının, bazılarının müzik teorisinde zaten bilindiği (örneğin bir akor dizisi, OPC olarak yeni terimlerle ifade edilecek), diğerlerinin ise temelde bilindiği birçok farklı müzik yapısı oluşturduğunu göstermektedir. belki de geleceğin bestecileri tarafından benimsenecek yeni kavramlar.

Örnek olarak yazarlar, dört sesin (bir tetrahedron) çeşitli akor türlerinin geometrik bir temsilini veriyorlar. Grafikteki küreler akor türlerini temsil eder, kürelerin renkleri akor sesleri arasındaki aralıkların boyutuna karşılık gelir: mavi - küçük aralıklar, daha sıcak tonlar - akorun daha "seyrek" sesleri. Kırmızı küre, 19. yüzyıl bestecileri arasında popüler olan, notalar arasında eşit aralıklarla en uyumlu akordur.

Çalışmanın yazarlarına göre müzik analizinin "geometrik" yöntemi, temelde yeni müzik enstrümanlarının ve müziği görselleştirmenin yeni yollarının yaratılmasına yol açabilir, ayrıca modern müzik öğretme yöntemlerinde ve çeşitli çalışma yollarında değişiklikler yapabilir. müzik tarzları (klasik, pop, rock), müzik vb.). Yeni terminoloji aynı zamanda farklı dönemlerdeki bestecilerin müzik eserlerinin daha derinlemesine karşılaştırılmasına ve araştırma sonuçlarının daha uygun bir matematiksel formda sunulmasına da yardımcı olacak. Başka bir deyişle matematiksel özlerinin müzik eserlerinden izole edilmesi önerilmektedir.

Birinci, ikinci vb.de aynı notaya karşılık gelen frekanslar. oktavlar, 1:2:4:8 şeklinde anlatılır... Antik çağlardan günümüze gelen efsanelere göre, bunu yapmaya çalışan ilk kişiler Pisagor ve öğrencileri olmuştur.

Diatonik ölçek 2:3:5 (Şek. 8).

2.6.Bilişim

Trigonometri, etkisiyle bilgisayar bilimini atlamadı. Bu nedenle fonksiyonları doğru hesaplamalar için geçerlidir. Bu nokta sayesinde herhangi bir (bir anlamda “iyi”) fonksiyonu Fourier serisine genişleterek yaklaşık olarak tahmin edebiliriz:

a0 + a1 çünkü x + b1 günah x + a2 çünkü 2x + b2 günah 2x + a3 çünkü 3x + b3 günah 3x + ...

Bir sayının en uygun şekilde seçilmesi işlemi, a0, a1, b1, a2, b2, ... sayıları, bilgisayardaki hemen hemen her fonksiyonla böyle (sonsuz) bir toplam şeklinde temsil edilebilir. gerekli doğruluk.

Trigonometri, grafik bilgilerle çalışmanın geliştirilmesinde ve sürecinde ciddi bir rol ve yardım oynar. Belirli bir nesnenin belirli bir eksen etrafında dönmesiyle elektronik formdaki bir açıklamayla bir süreci simüle etmeniz gerekiyorsa. Belirli bir açıda bir dönüş meydana gelir. Noktaların koordinatlarını belirlemek için sinüs ve kosinüslerle çarpmanız gerekir.

Yani Google Grafika Lab'da çalışan programcı ve tasarımcı Justin Windell'i örnek verebiliriz. Dinamik animasyon oluşturmak için trigonometrik fonksiyonları kullanmanın bir örneğini gösteren bir demo yayınladı.

2.7. İnşaat ve jeodezi alanı

Trigonometri ile etkileşime giren ilginç bir dal inşaat ve jeodezi alanıdır. Düzlemdeki rastgele bir üçgenin kenarlarının uzunlukları ve açılarının değerleri, en önemlileri kosinüs ve sinüs teoremleri olarak adlandırılan belirli ilişkilerle birbirleriyle ilişkilidir. a, b, c'yi içeren formüller, harflerin sırasıyla A, B, C açılarının karşısında bulunan üçgenin kenarları tarafından temsil edildiğini ima eder. Bu formüller üçgenin üç elemanına izin verir: kenarların uzunlukları ve açılar - kalan üç unsuru geri yüklemek için. Jeodezi gibi pratik problemlerin çözümünde kullanılırlar.

Tüm “klasik” jeodezi trigonometriye dayanmaktadır. Aslında çok eski zamanlardan beri araştırmacılar üçgenleri “çözmekle” ilgileniyorlardı.

Binaların, yolların, köprülerin ve diğer binaların inşası süreci araştırma ve inceleme ile başlar. tasarım çalışması. Bir inşaat sahasındaki istisnasız tüm ölçümler, total station ve trigonometrik seviye gibi jeodezik cihazların desteğiyle gerçekleştirilir. Trigonometrik tesviye yapılırken dünya yüzeyindeki birkaç nokta arasındaki yükseklik farkı belirlenir.

2.8 Sanat ve mimaride trigonometri

İnsanın yeryüzünde var olmaya başlamasından bu yana bilim, günlük yaşamın ve yaşamın diğer alanlarının iyileştirilmesinin temeli haline gelmiştir. İnsanın yarattığı her şeyin temeli doğa bilimleri ve matematik bilimlerinin çeşitli alanlarıdır. Bunlardan biri geometridir. Trigonometrik formüllerin kullanıldığı tek bilim alanı mimarlık değildir. Kompozisyon kararlarının ve çizimlerin yapımının çoğu, tam olarak geometrinin yardımıyla gerçekleşti. Ancak teorik veriler çok az şey ifade ediyor. Altın Çağ sanatının Fransız ustası tarafından bir heykelin yapımına bir örnek verelim.

Heykelin yapımında orantısal ilişki idealdi. Ancak heykel yüksek bir kaide üzerine kaldırıldığında çirkin görünüyordu. Heykeltıraş, perspektifte ufka doğru birçok detayın azaldığını ve aşağıdan yukarıya bakıldığında artık ideallik izleniminin yaratılmadığını hesaba katmadı. Bu rakamın elde edilebilmesi için birçok hesaplama yapıldı. yüksek irtifa orantılı görünüyordu. Esas olarak görme yöntemine, yani gözle yaklaşık ölçüme dayanıyorlardı. Ancak belirli oranların fark katsayısı rakamın ideale yaklaşmasını mümkün kıldı. Böylece heykelin bakış açısına yani heykelin tepesinden kişinin gözlerine olan yaklaşık mesafesini ve heykelin yüksekliğini bilerek, bir tablo kullanarak görüş açısının sinüsünü hesaplayabiliriz, böylece bakış açısını bulursunuz (Şek. 9).

Şekil 10'da durum değişir, heykel AC yüksekliğine kaldırıldığı ve NS arttığı için C açısının kosinüs değerlerini hesaplayabiliriz ve tablodan bakışın geliş açısını bulacağız. Bu süreçte, temel trigonometrik özdeşliği kullanarak sonuçları kontrol etmenize olanak tanıyan AN'nin yanı sıra C açısının sinüsünü de hesaplayabilirsiniz. çünkü 2 a+ günah 2 bir = 1.

Birinci ve ikinci durumdaki AN ölçümleri karşılaştırılarak orantı katsayısı bulunabilir. Daha sonra bir çizim alacağız ve ardından bir heykel alacağız, kaldırıldığında figür görsel olarak ideale daha yakın olacak

Dünyanın her yerindeki ikonik yapılar, mimarlığın dehası sayılabilecek matematik sayesinde tasarlandı. Bu tür binaların bazı ünlü örnekleri: Barselona'daki Gaudi Çocuk Okulu, Londra'daki Mary Axe Gökdeleni, İspanya'daki Bodegas Isios Şaraphanesi, Arjantin'deki Los Manantiales'deki Restoran. Bu binaları tasarlarken trigonometri dahil edildi.

Çözüm

Teorik eğitim almış ve uygulanan yönler trigonometri, bu dalın birçok bilimle yakından ilişkili olduğunu fark ettim. Başlangıçta açılar oluşturmak ve aralarında ölçüm yapmak için trigonometriye ihtiyaç duyuldu. Ancak daha sonra açıların basit ölçümü, trigonometrik fonksiyonları inceleyen tam teşekküllü bir bilime dönüştü. Trigonometri ile mimarlık fiziği, doğa, tıp ve biyoloji arasında yakın bağlantının olduğu aşağıdaki alanları tespit edebiliriz.

Böylece tıptaki trigonometrik fonksiyonlar sayesinde, aritmi oluştuğunda ek hesaplamalar yapma olanağı da dahil olmak üzere 8 ifade, 32 katsayı ve 33 temel parametreden oluşan karmaşık bir cebirsel-trigonometrik eşitlik olan kalp formülü keşfedildi. Bu keşif, doktorların daha nitelikli ve kaliteli tıbbi bakım sağlamasına yardımcı oluyor.

Ayrıca şunu da not edelim. tüm klasik jeodezi trigonometriye dayanmaktadır. Aslında eski çağlardan beri araştırmacılar üçgenleri “çözmekle” meşgul olmuşlardır. Bina, yol, köprü ve diğer yapıların inşası süreci etüt ve tasarım çalışmaları ile başlar. Bir inşaat sahasındaki tüm ölçümler teodolit ve trigonometrik seviye gibi ölçüm aletleri kullanılarak yapılır. Trigonometrik tesviye ile dünya yüzeyindeki birkaç nokta arasındaki yükseklik farkı belirlenir.

Diğer alanlardaki etkisini tanıyarak trigonometrinin insan yaşamını aktif olarak etkilediği sonucuna varabiliriz. Matematik ile dış dünya arasındaki bağlantı, okul çocuklarının bilgilerini “gerçekleştirmemize” olanak tanır. Bu sayede okulda bize öğretilen bilgi ve bilgileri daha iyi algılayıp özümseyebiliyoruz.

Projemin hedefi başarıyla tamamlandı. Trigonometrinin yaşamdaki etkisini ve ona olan ilginin gelişimini inceledim.

Bu hedefe ulaşmak için aşağıdaki görevleri tamamladık:

1. Trigonometrinin oluşum ve gelişim tarihi hakkında bilgi sahibi olduk;

2. Trigonometrinin çeşitli faaliyet alanlarındaki pratik etkisinin dikkate alınan örnekleri;

3. Trigonometrinin olanaklarını ve insan yaşamındaki uygulamasını örneklerle gösterdi.

Bu endüstrinin ortaya çıkış tarihini incelemek, okul çocukları arasında ilgi uyandırmaya, doğru dünya görüşünü oluşturmaya ve artışa yardımcı olacaktır. Genel Kültür lise öğrencisi.

Bu çalışma, trigonometrinin güzelliğini henüz görmemiş ve çevrelerindeki yaşamdaki uygulama alanlarına aşina olmayan lise öğrencileri için faydalı olacaktır.

Kaynakça

Glazer G.I.

Rybnikov K.A.

Kaynakça

BİR. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsin ve diğerleri "Cebir ve analiz ilkeleri" 10-11. Sınıflar için Ders Kitabı Eğitim Kurumları, M., Eğitim, 2013.

Glazer G.I. Okulda matematik tarihi: VII-VIII. - M.: Eğitim, 2012.

Glazer G.I. Okulda matematik tarihi: IX-X notları. - M.: Eğitim, 2013.

Rybnikov K.A. Matematik tarihi: Ders kitabı. - M .: Moskova Devlet Üniversitesi Yayınevi, 1994. Cebir, trigonometri ve temel fonksiyonlarda Olehnik Sorunları / Olehnik, S.N. Ve. - M.: Yüksek Lisans, 2016. - 134 s.

Olehnik, S.N. Cebir, trigonometri ve temel fonksiyonlardaki problemler / S.N. Olehnik. - M.: Yüksekokul, 2013. - 645 s.

Potapov, M.K. Cebir, trigonometri ve temel fonksiyonlar / M.K. Potapov. - M.: Yüksekokul, 2014. - 586 s.

Potapov, M.K. Cebir. Trigonometri ve temel fonksiyonlar / M.K. Potapov, V.V. Alexandrov, P.I. Pasichenko. - M.: [belirtilmedi], 2015. - 762 s.

Ek 1

Şekil 1Piramit görüntüsü. Eğim hesaplaması B / H.

Açıölçer Seked

İÇİNDE Genel görünüm Piramidin sekedasını hesaplamak için kullanılan Mısır formülü şuna benzer:

Bu yüzden:.

Eski Mısır terimi " ikinci" eğim açısını gösterdi. Tabanın yarısına bölünmüş yükseklikte bulunuyordu.

"Piramitin doğu tarafındaki uzunluğu 360 (arşın), yüksekliği 250 (arşın). Doğu tarafının eğimini hesaplamanız gerekiyor. Bunun için 360'ın yarısını yani 180'i alın. 180'i bölün. 250. Şunları alacaksınız: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 dirsek. Bir arşının 7 avuç genişliğine eşit olduğunu unutmayın. Şimdi ortaya çıkan sayıları aşağıdaki gibi 7 ile çarpın: "

İncir. 2Güneş saati mili

Şekil 3 Güneşin açısal yüksekliğinin belirlenmesi

Şekil 4 Trigonometrinin temel formülleri

Şekil 5 Trigonometride gezinme

Şekil 6 Trigonometride Fizik

Şekil 7 Üç ritim teorisi

( Fiziksel döngü - 23 gün. Hareketin enerjisini, gücünü, dayanıklılığını ve koordinasyonunu belirler; Duygusal döngü 28 gündür. Sinir sisteminin durumu ve ruh hali; Entelektüel döngü - 33 gün. Bireyin yaratıcı yeteneğini belirler)

Pirinç. 8 Müzikte trigonometri

Şekil 9, 10 Mimarlıkta trigonometri

MBOU Tselinnaya Ortaokulu

Trigonometriyi gerçek hayatta rapor edin

Hazırlandı ve gerçekleştirildi

matematik öğretmeni

yeterlilik kategorisi

Ilyina V.P.

Tselinny köyü Mart 2014

İçindekiler.

1. Giriş .

2. Trigonometrinin yaratılış tarihi:

Erken yüzyıllar.

Antik Yunan.

Ortaçağ.

Yeni zaman.

Küresel geometrinin gelişim tarihinden.

3.Trigonometri ve gerçek hayat:

Trigonometrinin navigasyona uygulanması.

Cebirde trigonometri.

Fizikte trigonometri.

Tıp ve biyolojide trigonometri.

Müzikte trigonometri.

Bilgisayar biliminde trigonometri

İnşaat ve jeodezide trigonometri.

4. Sonuç .

5. Referansların listesi.

giriiş

Biz öğrencilerin sistematik olarak matematik çalışırken trigonometriyle üç kez karşılaşmak zorunda kalması uzun süredir matematikte yerleşmiş bir uygulamadır. Buna göre içeriğinin üç bölümden oluştuğu görülmektedir. Eğitim sırasında bu parçalar zamanla birbirinden ayrılır ve hem temel kavramların açıklanmasına yüklenen anlam hem de geliştirilmekte olan aparat ve hizmet işlevleri (uygulamalar) açısından birbirine benzemez.

Nitekim trigonometri materyaliyle ilk kez 8. sınıfta “Dik Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişkiler” konusunu çalışırken karşılaştık. Böylece sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu öğrendik ve düzlem üçgenleri çözmeyi öğrendik.

Ancak aradan biraz zaman geçti ve 9. sınıfta tekrar trigonometriye döndük. Ancak bu trigonometri daha önce çalışılanlara benzemiyor. İlişkileri artık dik üçgen yerine daire (birim yarım daire) kullanılarak belirleniyor. Hala açıların fonksiyonları olarak tanımlansalar da, bu açılar zaten keyfi olarak büyüktür.

10. sınıfa geçtikten sonra tekrar trigonometriyle karşılaştık ve bunun daha da karmaşık hale geldiğini, radyan açı ölçüsü kavramının tanıtıldığını ve trigonometrik özdeşliklerin, problemlerin formülasyonunun ve çözümlerinin yorumunun farklı göründüğünü gördük. . Trigonometrik fonksiyonların grafikleri tanıtılmaktadır. Son olarak trigonometrik denklemler ortaya çıkıyor. Ve tüm bu materyaller önümüze geometri olarak değil cebirin bir parçası olarak çıktı. Ve trigonometrinin tarihini, günlük yaşamdaki uygulamasını incelemekle çok ilgilenmeye başladık, çünkü bir matematik öğretmeninin ders materyali sunarken tarihsel bilgilerin kullanılması zorunlu değildir. Ancak K. A. Malygin'in belirttiği gibi, "... tarihi geçmişe yapılan geziler dersi canlandırır, zihinsel stresten kurtulmayı sağlar, çalışılan materyale olan ilgiyi artırır ve onun sağlam bir şekilde özümsenmesine katkıda bulunur." Üstelik matematiğin gelişimi, medeniyetin varlığının her döneminde ortaya çıkan acil sorunların çözümüyle yakından bağlantılı olduğundan, matematik tarihine ilişkin materyal çok kapsamlı ve ilginçtir.

Trigonometrinin ortaya çıkışının tarihsel nedenlerini öğrendikten ve büyük bilim adamlarının çalışmalarının meyvelerinin bu matematik alanının gelişimini ve belirli problemlerin çözümünü nasıl etkilediğini inceledikten sonra biz okul çocukları konuya olan ilgiyi artırıyoruz. inceleniyor ve bunun pratik önemini göreceğiz.

Projenin amacı - Cebir dersinde “Trigonometri” konusunu incelemeye ilginin geliştirilmesi ve prizma yoluyla analizin başlaması uygulanan değer incelenen materyal; trigonometrik fonksiyonları içeren grafiksel gösterimlerin genişletilmesi; trigonometrinin fizik, biyoloji vb. bilimlerde kullanımı.

Trigonometrinin dış dünyayla bağlantısı, trigonometrinin birçok pratik problemin çözümündeki önemi ve trigonometrik fonksiyonların grafiksel yetenekleri, okul çocuklarının bilgilerinin "gerçekleştirilmesini" mümkün kılar. Bu, trigonometri çalışmasıyla edinilen bilgilerin hayati gerekliliğini daha iyi anlamanızı sağlar ve bu konunun incelenmesine olan ilgiyi artırır.

Araştırma hedefleri:

1. Trigonometrinin ortaya çıkışı ve gelişiminin tarihini düşünün.

2. Trigonometrinin çeşitli bilimlerdeki pratik uygulamalarını spesifik örneklerle gösterin.

3. Belirli örnekler kullanarak, "biraz ilginç" fonksiyonları, grafikleri çok orijinal bir görünüme sahip fonksiyonlara dönüştürmeye olanak tanıyan trigonometrik fonksiyonları kullanma olanaklarını ortaya çıkarın.

"Bir şey açık: Dünya tehditkar ve güzel bir şekilde yapılandırılmış."

N. Rubtsov

Trigonometri - açıların değerleri ile üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkilerin ve ayrıca trigonometrik fonksiyonların cebirsel kimliklerinin incelendiği bir matematik dalıdır. Hayal etmesi zor ama bu bilimle sadece matematik derslerinde değil, günlük yaşamımızda da karşılaşıyoruz. Bundan şüphelenmemiş olabiliriz ama trigonometri fizik, biyoloji gibi bilimlerde bulunur, tıpta önemli bir rol oynar ve en ilginci, müzik ve mimari bile onsuz yapamaz. Pratik içerikli problemler, matematik çalışmasında edinilen teorik bilgilerin pratikte uygulanmasına yönelik becerilerin geliştirilmesinde önemli bir rol oynamaktadır. Her matematik öğrencisi edinilen bilginin nasıl ve nerede uygulandığıyla ilgilenir. Bu çalışma bu sorunun cevabını veriyor.

Trigonometrinin yaratılış tarihi

Erken yüzyıllar

Açıların derece, dakika ve saniye cinsinden bilinen ölçümü Babil matematiğinden kaynaklanmaktadır (bu birimlerin eski Yunan matematiğine girişi genellikle MÖ 2. yüzyıla atfedilir).

Bu dönemin ana başarısı, daha sonra adını alan dik üçgende bacaklar ile hipotenüs arasındaki ilişkiydi.

Antik Yunan

Antik Yunan geometrisinde trigonometrik ilişkilerin genel ve mantıksal olarak tutarlı bir sunumu ortaya çıktı. Yunan matematikçiler henüz trigonometriyi ayrı bir bilim olarak tanımlamamışlardı; onlara göre trigonometri astronominin bir parçasıydı.
Antik trigonometri teorisinin ana başarısı, genel olarak "üçgenleri çözme" probleminin çözümüydü, yani bir üçgenin bilinmeyen elemanlarını, verilen üç elemanına (en az biri kenardır) dayanarak bulmaktı.

Ortaçağ

4. yüzyılda antik bilimin ölümünden sonra matematiğin gelişim merkezi Hindistan'a taşındı. Bazı trigonometri kavramlarını değiştirerek onları modern olanlara yaklaştırdılar: örneğin, kosinüsü kullanıma sokan ilk kişiler onlardı.
Trigonometri üzerine ilk özel inceleme, Orta Asyalı bilim adamının (X-XI yüzyıllar) “Astronomi Biliminin Anahtarları Kitabı” (995-996) adlı eseriydi. Bütün bir trigonometri kursu, Al-Biruni'nin ana eseri olan “Mes'ud'un Kanunu” (Kitap III) içeriyordu. Sinüs tablolarına (15" artışlarla) ek olarak Al-Biruni, teğet tablolarını da (1° artışlarla) verdi.

12.-13. yüzyıllarda Arapça eserlerin Latinceye çevrilmesinden sonra, Hint ve İranlı matematikçilerin birçok fikri Avrupa biliminin malı haline geldi. Görünüşe göre Avrupalıların trigonometriyle ilk tanışması 12. yüzyılda iki çevirisi yapılan zij sayesinde gerçekleşti.

Tamamen trigonometriye adanmış ilk Avrupa eseri, bir İngiliz gökbilimci tarafından (yaklaşık 1320) genellikle "Düz ve Ters Akorlar Üzerine Dört İnceleme" olarak adlandırılır. Genellikle Arapça'dan tercüme edilen, ancak bazen orijinal olan trigonometrik tablolar, 14.-15. yüzyılların diğer bazı yazarlarının eserlerinde yer almaktadır. Aynı zamanda trigonometri üniversite dersleri arasında da yerini aldı.

Yeni zaman

Trigonometri kelimesi ilk kez Alman ilahiyatçı ve matematikçi Pitiscus'un bir kitabının başlığında (1505) karşımıza çıkar.Bu kelimenin kökeni Yunancadır: üçgen, ölçü. Başka bir deyişle trigonometri, üçgenleri ölçme bilimidir. Adı nispeten yakın zamanda ortaya çıkmış olsa da, trigonometriyle ilgili artık birçok kavram ve gerçek iki bin yıl önce zaten biliniyordu.

Sinüs kavramının uzun bir geçmişi vardır. Aslında, bir üçgenin ve bir dairenin parçalarının (ve özünde trigonometrik fonksiyonların) çeşitli oranları 8. yüzyılda zaten bulunmuştur. M.Ö Antik Yunan'ın büyük matematikçilerinin - Öklid, Arşimet, Pergalı Apollonius'un - eserlerinde. Roma döneminde bu ilişkiler Menelaus (M.Ö. 1. yüzyıl) tarafından oldukça sistematik bir şekilde incelenmiştir, ancak özel bir isim almamışlardır. Örneğin modern eksi açı, merkezi açının dayandığı yarım kirişin çarpımı veya çift yayın kirişi olarak incelenmiştir.

Sonraki dönemde matematik uzun süre en aktif şekilde Hintli ve Arap bilim adamları tarafından geliştirildi. Ö'deV- Vyüzyıllar Özellikle, Dünya'nın ilk Hint uydusuna adını veren büyük Hintli bilim adamı Aryabhata'nın (476-c. 550) astronomi konusundaki çalışmalarında özel bir terim ortaya çıktı.

Daha sonra daha kısa olan jiva adı benimsendi. Ι'deki Arap matematikçilerXV. Jiva (veya jiba) kelimesinin yerini Arapça jaib (dışbükeylik) kelimesi aldı. Arapça matematik metinlerini tercüme ederkenXΙΙV. bu kelimenin yerini Latince sinüs (sinüs-bükülme, eğrilik)

Kosinüs kelimesi çok daha genç. Kosinüs Latince ifadenin kısaltmasıdırTamamlayıcısinüs, yani "ek sinüs" (veya başka türlü "ek yayın sinüsü"; unutmayınçünküA= günah(90°- A)).

Trigonometrik fonksiyonlarla uğraşırken “üçgenleri ölçme” görevinin çok ötesine geçiyoruz. Bu nedenle, ünlü matematikçi F. Klein (1849-1925) “trigonometrik” fonksiyonlar doktrinini farklı bir şekilde - gonyometri (açı) olarak adlandırmayı önerdi. Ancak bu isim pek tutulmadı.

Teğetler, bir gölgenin uzunluğunu belirleme probleminin çözümüyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. Teğet (kotanjant, sekant ve kosekantın yanı sıra) tanıtıldıXV. Teğetleri ve kotanjantları bulmaya yönelik ilk tabloları derleyen Arap matematikçi Abu-l-Wafa. Ancak bu keşifler Avrupalı bilim adamları tarafından uzun süre bilinmiyordu ve teğetler 19. yüzyılda yeniden keşfedildi.XΙVV. önce İngiliz bilim adamı T. Braverdin, daha sonra Alman matematikçi ve gökbilimci Regiomontanus (1467) tarafından. "Teğet" adı Latince'den gelir.tuhaflık(dokunma), 1583'te ortaya çıktıTeğetler"teğetsel" olarak çevrilmiştir (unutmayın: teğet doğru birim çembere teğettir)

Modern tanımlamalararksin Ve arktg1772'de Viyanalı matematikçi Scherfer ve ünlü Fransız bilim adamı J.L. Lagrange'ın çalışmalarında ortaya çıktı, ancak biraz daha önce farklı sembolizm kullanan J. Bernoulli tarafından zaten düşünülmüştü. Ancak bu semboller ancak sonunda genel olarak kabul edildi.XVΙΙΙyüzyıllar. "Yay" öneki Latince'den gelirarkusXÖrneğin, sinüsü şuna eşit olan bir açıdır (ve bir yay da diyebiliriz).X.

Uzun zamandır trigonometri geometrinin bir parçası olarak geliştirildi. şimdi trigonometrik fonksiyonlar cinsinden formüle ettiğimiz gerçekler, geometrik kavramlar ve ifadeler kullanılarak formüle edildi ve kanıtlandı. Belki de trigonometrinin geliştirilmesine yönelik en büyük teşvikler, pratik açıdan büyük ilgi çeken astronomi problemlerinin çözümüyle bağlantılı olarak ortaya çıktı (örneğin, bir geminin konumunu belirleme, tutulmaları tahmin etme vb. sorunları çözmek için).

Gökbilimciler, bir küre üzerinde yer alan büyük dairelerden oluşan küresel üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkilerle ilgileniyorlardı. Ve eski matematikçilerin düzlem üçgen problemlerini çözmekten önemli ölçüde daha zor olan problemlerle başarılı bir şekilde başa çıktıklarını da belirtmek gerekir.

Her durumda, geometrik şekil Bildiğimiz birçok trigonometri formülü eski Yunan, Hint ve Arap matematikçiler tarafından keşfedildi ve yeniden keşfedildi (ancak trigonometrik fonksiyonların farkının formülleri yalnızca 1950'lerde biliniyordu).XVΙԀ v. - onları dışarı çıkardı İngiliz matematikçi Trigonometrik fonksiyonlarla hesaplamaları basitleştirmek için Neper. Ve sinüs dalgasının ilk çizimi 1634'te ortaya çıktı)

İlk sinüs tablosunun C. Ptolemy tarafından derlenmesi (uzun bir süre akor tablosu olarak adlandırıldı) temel öneme sahipti: bir dizi uygulamalı problemi ve öncelikle astronomi problemlerini çözmenin pratik bir yolu ortaya çıktı.

Hazır tablolarla uğraşırken veya hesap makinesi kullanırken, tabloların henüz icat edilmediği bir zamanın olduğu gerçeğini çoğu zaman düşünmüyoruz. Bunları derlemek için yalnızca büyük miktarda hesaplama yapmak değil, aynı zamanda tabloları derlemenin bir yolunu bulmak da gerekiyordu. Ptolemy'nin tabloları beş ondalık basamak dahil doğrudur.

Modern görünüm Trigonometri en büyük matematikçi tarafından tanıtıldıXV2. yüzyıl L. Euler (1707-1783), İsviçre doğumlu, uzun yıllar Rusya'da çalışmış ve St. Petersburg Bilimler Akademisi üyesiydi. Trigonometrik fonksiyonların iyi bilinen tanımlarını ilk kez ortaya koyan, keyfi açılı fonksiyonları düşünmeye başlayan ve indirgeme formülleri elde eden ilk kişi Euler'di. Bütün bunlar, Euler'in uzun yaşamı boyunca matematikte yapmayı başardığı şeylerin küçük bir kısmıdır: 800'den fazla eser bıraktı ve matematiğin çeşitli alanlarıyla ilgili klasik hale gelen birçok teoremi kanıtladı. Ancak trigonometrik fonksiyonlarla geometrik formda işlem yapmaya çalışırsanız, yani Euler'den önce birçok nesil matematikçinin yaptığı gibi, Euler'in trigonometriyi sistemleştirme konusundaki erdemlerini takdir edebileceksiniz. Euler'den sonra trigonometri yeni bir hesap biçimi kazandı: trigonometri formüllerinin resmi uygulamasıyla çeşitli gerçekler kanıtlanmaya başlandı, kanıtlar çok daha kompakt ve basit hale geldi.

Küresel geometrinin gelişim tarihinden .

Öklid geometrisinin en eski bilimlerden biri olduğu yaygın olarak bilinmektedir.IIIMÖ yüzyıl Öklid'in klasik eseri Elementler ortaya çıktı. Daha az bilinen ise küresel geometrinin sadece biraz daha genç olduğudur. İlk sistematik sunumu şu anlama gelir:BEN- IIyüzyıllar. Yunan matematikçi Menelaus'un yazdığı "Küresel" kitabında (BENc.), küresel üçgenlerin özellikleri incelendi; Özellikle küresel bir üçgenin açılarının toplamının 180 dereceden büyük olduğu kanıtlandı. Başka bir Yunan matematikçi Claudius Ptolemy (IIV.). Esasen trigonometrik fonksiyon tablolarını derleyen ve stereografik projeksiyonu tanıtan ilk kişi oydu.

Tıpkı Öklid geometrisi gibi, küresel geometri de pratik nitelikteki problemlerin ve öncelikle astronomi problemlerinin çözümünde ortaya çıktı. Bu görevler, örneğin yıldızlara göre yön değiştiren gezginler ve denizciler için gerekliydi. Ve astronomik gözlemlerde Güneş'in, Ay'ın ve yıldızların tasvir edilenler boyunca hareket ettiğini varsaymak uygun olduğu için " Gök küresi", o zaman onların hareketlerini incelemek için kürenin geometrisi hakkında bilgiye ihtiyaç duyulması doğaldır. Bu nedenle Ptolemy'nin en ünlü eserinin "13 Kitapta Astronominin Büyük Matematiksel Yapısı" başlığını taşıması tesadüf değildir.

Küresel trigonometri tarihinin en önemli dönemi Orta Doğu'daki bilim adamlarının faaliyetleriyle ilişkilidir. Hintli bilim adamları küresel trigonometri problemlerini başarıyla çözdüler. Ancak Ptolemy'nin tarif ettiği ve Menelaus'un tam dörtgen teoremine dayanan yöntem onlar tarafından kullanılmadı. Ve küresel trigonometride Ptolemy'nin Analemma'sındaki yöntemlere karşılık gelen projektif yöntemler kullandılar. Sonuç olarak, küresel astronomideki hemen hemen her problemi çözmeyi mümkün kılan bir dizi özel hesaplama kuralı elde ettiler. Onların yardımıyla, böyle bir görev sonuçta benzer düz düzlemleri birbirleriyle karşılaştırmaya indirgendi. dik üçgenler. Sorunları çözerken, ikinci dereceden denklemler teorisi ve ardışık yaklaşımlar yöntemi sıklıkla kullanıldı. Hintli bilim adamlarının geliştirdiği kuralların yardımıyla çözdüğü astronomik problemin bir örneği Varahamihira'nın "Panga Siddhantika" adlı eserinde ele alınan problemdir (V- VI). Bulunduğu yerin enlemi, Güneş'in eğimi ve saat açısı biliniyorsa Güneş'in yüksekliğini bulmaktan ibarettir. Bu problemin çözülmesinin bir sonucu olarak, bir dizi inşa sonrasında küresel bir üçgen için modern kosinüs teoremine eşdeğer bir ilişki kurulur. Ancak bu ilişki ve sinüs teoreminin başka bir eşdeğeri, herhangi bir küresel üçgene uygulanabilecek kurallar olarak genelleştirilmemiştir.

Menelaus teoremini tartışmak için dönen ilk doğulu bilim adamları arasında, Bağdat'ta çalışan ve matematik, astronomi ve mekanik okuyan Musa ibn Şakir'in oğulları Banu Moussa - Muhammed, Hasan ve Ahmed kardeşler sayılmalıdır. Ancak Menelaus teoremi üzerine hayatta kalan en eski çalışma, öğrencileri Sabit ibn Qorra'nın (836-901) "Sekantların şekli üzerine incelemesi" dir.

Sâbit bin Kurra'nın risalesinin Arapça orijinali bize ulaştı. Ve Latince çevirideXIIV. Cremonalı Gerando'nun (1114-1187) bu tercümesi Orta Çağ Avrupa'sında yaygınlaştı.

Bir üçgenin açıları ve kenarları ile diğerleri arasındaki ilişkilerin bilimi olarak trigonometrinin tarihi geometrik şekiller, iki bin yıldan fazla bir süreyi kapsıyor. Bu ilişkilerin çoğu sıradan cebirsel işlemler kullanılarak ifade edilemez ve bu nedenle başlangıçta sayısal tablolar şeklinde sunulan özel trigonometrik fonksiyonların tanıtılması gerekliydi.
Tarihçiler trigonometrinin eski gökbilimciler tarafından yaratıldığına ve bir süre sonra mimaride kullanılmaya başlandığına inanıyor. Zamanla trigonometrinin kapsamı sürekli genişledi; bugün neredeyse tüm doğa bilimlerini, teknolojiyi ve bir dizi diğer faaliyet alanını kapsamaktadır.

Uygulamalı trigonometrik problemler çok çeşitlidir; örneğin, listelenen miktarlardaki eylemlerin pratik olarak ölçülebilir sonuçları (örneğin, açıların toplamı veya kenar uzunluklarının oranı) belirtilebilir.

Düzlem trigonometrinin gelişmesine paralel olarak Yunanlılar astronominin etkisi altında küresel trigonometriyi büyük ölçüde geliştirdiler. Öklid'in Elementleri'nde bu konuyla ilgili sadece farklı çaplardaki kürelerin hacimlerinin oranıyla ilgili bir teorem vardır, ancak astronomi ve haritacılığın ihtiyaçları buna neden olmuştur. hızlı gelişme küresel trigonometri ve ilgili alanlar - sistemler göksel koordinatlar, harita projeksiyonları teorisi, astronomik aletlerin teknolojisi.

dersler.

Trigonometri ve gerçek hayat

Trigonometrik fonksiyonlar matematiksel analiz, fizik, bilgisayar bilimi, jeodezi, tıp, müzik, jeofizik ve navigasyon alanlarında uygulama bulmuştur.

Trigonometrinin navigasyona uygulanması

Navigasyon (bu kelime Latince'den gelir)navigasyon- bir gemide yelken açmak) en eski bilimlerden biridir. En kısa rotayı belirlemek ve seyahat yönünü seçmek gibi en basit navigasyon görevleri ilk gezginlerle karşı karşıya kaldı. Şu anda bu ve benzeri sorunların sadece denizciler tarafından değil aynı zamanda pilotlar ve astronotlar tarafından da çözülmesi gerekiyor. Bazı gezinme kavramlarına ve görevlerine daha ayrıntılı olarak bakalım.

Görev. Coğrafi koordinatlar bilinmektedir - dünya yüzeyindeki A ve B noktalarının enlem ve boylamı:, Ve, . Bulmak gerek en kısa mesafe Dünya yüzeyi boyunca A ve B noktaları arasında (dünyanın yarıçapının bilindiği kabul edilir:R= 6371 kilometre)

Çözüm. Öncelikle, dünya yüzeyindeki bir M noktasının enleminin, O'nun Dünya'nın merkezi olduğu OM yarıçapının ekvator düzlemi: ≤ ile oluşturduğu açının ve kuzeydeki enlemin oluşturduğu açının değeri olduğunu hatırlayalım. ekvator pozitif, güney ise negatif kabul edilir (Şekil 1)

M noktasının boylamı, COM ve SON düzlemleri arasındaki dihedral açının değeridir; burada C, Dünyanın Kuzey Kutbu ve H, Greenwich Gözlemevi'ne karşılık gelen noktadır: ≤ (Greenwich meridyeninin doğusunda, boylam pozitif, batıya doğru - negatif olarak kabul edilir).

Zaten bilindiği gibi, dünya yüzeyindeki A ve B noktaları arasındaki en kısa mesafe, A ve B'yi birbirine bağlayan büyük dairenin yaylarından daha küçük olanın uzunluğudur (böyle bir yaya ortodrom denir - Yunancadan çevrilmiş "düz koşu" anlamına gelir) ). Bu nedenle görevimiz ABC küresel üçgeninin (C kuzey kutbu) AB kenarının uzunluğunu belirlemektir.

ABC üçgeninin elemanları için standart notasyonu ve karşılık gelen OABC üçgen açısını kullanarak problem koşullarından şunları buluruz: α = = - , β = (Şekil 2).

C açısını A ve B noktalarının koordinatları aracılığıyla ifade etmek de zor değildir. Bu nedenle tanım gereği ≤, ≤ ise ya C = ya da - ise. Bilmek = kosinüs teoremini kullanarak: = + (-). Açıyı ve dolayısıyla açıyı bilerek gerekli mesafeyi buluruz: =.

Navigasyonda trigonometri 2.

Gerhard Mercator'un (1569) projeksiyonunda yapılan bir harita üzerinde geminin rotasını çizmek için enlemin belirlenmesi gerekiyordu. Akdeniz'de yönlere doğru seyrederkenXVIIV. enlem belirtilmedi. Edmond Gunther (1623), navigasyonda trigonometrik hesaplamaları kullanan ilk kişiydi.

Trigonometri, rüzgarın uçağın uçuşu üzerindeki etkisini hesaplamaya yardımcı olur. Hız üçgeni, hava hızı vektörünün oluşturduğu üçgendir (V), rüzgar vektörü (W), yer hızı vektörü (V P ). PU – yön açısı, UL – rüzgar açısı, KUV – rüzgar yönü açısı.

Navigasyon hız üçgeninin unsurları arasındaki ilişki şu şekildedir:

V P = V çünkü DC + W çünkü UV; günah DC = * günah UV, tg HC =

Hızların navigasyon üçgeni, hesaplama cihazları kullanılarak, bir navigasyon cetveli üzerinde ve yaklaşık olarak akılda çözülür.

Cebirde trigonometri.

Trigonometrik ikameyi kullanarak karmaşık bir denklemi çözmenin bir örneğini burada bulabilirsiniz.

Denklem göz önüne alındığında

İzin vermek , aldık

;

Neresi: veya

Aldığımız kısıtlamaları dikkate alarak:

Fizikte trigonometri

Periyodik süreçler ve salınımlarla uğraşmamız gereken her yerde (ister akustik, ister optik, isterse bir sarkacın salınımı olsun), trigonometrik fonksiyonlarla uğraşırız. Salınım formülleri:

Nerede A– salınımın genliği, - salınımın açısal frekansı, - başlangıç aşaması dalgalanmalar

Salınım aşaması.

Nesneler suya daldırıldığında şekli veya boyutu değişmez. Bütün sır, görüşümüzün bir nesneyi farklı algılamasını sağlayan optik bir etkidir. En basit trigonometrik formüller ve bir ışının geliş açısı ve kırılma açısının sinüs değerleri, bir ışık ışınının ortamdan ortama geçtiğinde sabit kırılma indisinin hesaplanmasını mümkün kılar. Örneğin gökkuşağı, güneş ışığının kırılma yasasına göre havada asılı kalan su damlacıkları tarafından kırılması nedeniyle oluşur:

günah α /günah β = n 1 /N 2

Nerede:

n 1 - birinci ortamın kırılma indisi
n 2 - ikinci ortamın kırılma indisi

α -geliş açısı, β - ışığın kırılma açısı.

Yüklü güneş rüzgarı parçacıklarının gezegenlerin üst atmosferine nüfuz etmesi, gezegenin manyetik alanının güneş rüzgarı ile etkileşimi ile belirlenir.

Manyetik alanda hareket eden yüklü bir parçacığa etki eden kuvvete Lorentz kuvveti denir. Parçacığın yükü, alanın vektör çarpımı ve parçacığın hızıyla orantılıdır.

Pratik bir örnek olarak trigonometri kullanılarak çözülebilecek fiziksel bir problemi düşünün.

Görev. Ufukla 24,5 derecelik açı yapan eğik bir düzlemdeÖ 90 kg ağırlığında bir vücut var. Bu cismin eğik düzleme uyguladığı kuvveti bulun (yani cismin bu düzleme ne kadar basınç uyguladığını).

Çözüm:

X ve Y eksenlerini belirledikten sonra, önce şu formülü kullanarak eksen üzerindeki kuvvetlerin projeksiyonlarını oluşturmaya başlıyoruz:

anne = N + mg , ardından çizime bakın,

X : ma = 0 + mg sin24,5 0

Y: 0 = N – mg cos24,5 0

N = mg çünkü 24,5 0

Kütleyi yerine koyarsak kuvvetin 819 N olduğunu buluruz.

Cevap: 819N

Tıp ve biyolojide trigonometri

Biri temel özelliklercanlı doğa, içinde meydana gelen süreçlerin çoğunun döngüsel doğasıdır.

Biyolojik ritimler, biyoritimler– bunlar biyolojik süreçlerin doğasında ve yoğunluğunda az çok düzenli değişikliklerdir.

Temel dünya ritmi- Günlük ödenek.

Trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak bir biyoritim modeli oluşturulabilir.

Bir biyoritm modeli oluşturmak için kişinin doğum tarihini, referans tarihini (gün, ay, yıl) ve tahmin süresini (gün sayısı) girmelisiniz.

Beynin bazı bölgelerine bile sinüs denir.

Sinüslerin duvarları endotel ile kaplı dura mater tarafından oluşturulur. Diğer damarların aksine sinüslerin lümen boşlukları, kapakçıkları ve kas dokusu yoktur. Sinüs boşluğunda endotel ile kaplı fibröz septalar vardır. Sinüslerden kan iç şah damarlarına akar, ayrıca sinüsler ile kafatasının dış yüzeyindeki damarlar arasında yedek venöz çıkışlar yoluyla bir bağlantı vardır.

Balığın sudaki hareketi, kuyruktaki bir noktayı sabitlerseniz ve ardından hareketin yörüngesini dikkate alırsanız sinüs veya kosinüs kanununa göre gerçekleşir.

Balığın vücudu yüzerken grafiğe benzeyen bir eğri şeklini alır.

işlevler sen= tgx.

Müzikte trigonometri

Formatında müzik dinliyoruzmp3.

Ses sinyali bir dalgadır, işte onun “grafiği”.

Gördüğünüz gibi çok karmaşık olmasına rağmen trigonometri kanunlarına uyan bir sinüzoiddir.

2003 baharında Moskova Sanat Tiyatrosu, "Night Snipers" grubunun solisti Diana Arbenina'nın "Trigonometri" albümünün sunumuna ev sahipliği yaptı. Albümün içeriği, Dünya'nın ölçümü olan “trigonometri” kelimesinin orijinal anlamını ortaya koyuyor.

Bilgisayar biliminde trigonometri

Doğru hesaplamalar için trigonometrik fonksiyonlar kullanılabilir.

Trigonometrik fonksiyonları kullanarak herhangi bir değeri yaklaşık olarak hesaplayabilirsiniz.

(bir anlamda “iyi”) fonksiyonu, onu bir Fourier serisine genişletiyor:

A 0 + bir 1 çünkü x + b 1 günah x + a 2 çünkü 2x + b 2 günah 2x + a 3 çünkü 3x + b 3 günah 3x + ...

Sayıları uygun şekilde seçmek a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., Bir bilgisayardaki hemen hemen her fonksiyonu böyle (sonsuz) bir toplam şeklinde gerekli doğrulukla temsil etmek mümkündür.

Trigonometrik fonksiyonlar grafiksel bilgilerle çalışırken faydalıdır. Bazı nesnelerin belirli bir eksen etrafında dönüşünü simüle etmek (bir bilgisayarda tanımlamak) gerekir. Belirli bir açıda bir dönüş meydana gelir. Noktaların koordinatlarını belirlemek için sinüs ve kosinüslerle çarpmanız gerekecektir.

Justin Windell, programcı ve tasarımcıGoogle Grafik Laboratuvar , dinamik animasyon oluşturmak için trigonometrik fonksiyonların kullanımına ilişkin örnekleri gösteren bir demo yayınladı.

İnşaat ve jeodezide trigonometri

Düzlemdeki rastgele bir üçgenin kenarlarının uzunlukları ve açılarının değerleri, en önemlileri kosinüs ve sinüs teoremleri olarak adlandırılan belirli ilişkilerle birbirleriyle ilişkilidir.

2ab

= =

Bu formüllerde a,B, C- ABC üçgeninin, sırasıyla A, B, C açılarına zıt olan kenarlarının uzunlukları. Bu formüller, üçgenin üç öğesinden kalan üç öğeyi - kenarların uzunlukları ve açılar - yeniden oluşturmamızı sağlar. Jeodezi gibi pratik problemlerin çözümünde kullanılırlar.

Tüm “klasik” jeodezi trigonometriye dayanmaktadır. Aslında eski çağlardan beri araştırmacılar üçgenleri “çözmekle” meşgul olmuşlardır.

Bina, yol, köprü ve diğer yapıların inşası süreci etüt ve tasarım çalışmaları ile başlar. Bir inşaat sahasındaki tüm ölçümler teodolit ve trigonometrik seviye gibi ölçüm aletleri kullanılarak yapılır. Trigonometrik tesviye ile dünya yüzeyindeki birkaç nokta arasındaki yükseklik farkı belirlenir.

Çözüm

Trigonometri, açıları ölçme ihtiyacıyla hayata geçirildi, ancak zamanla trigonometrik fonksiyonlar bilimine dönüştü.

Trigonometri fizikle yakından ilgilidir ve doğada, müzikte, mimaride, tıpta ve teknolojide bulunur.

Trigonometri hayatımıza yansır ve önemli rol oynadığı alanlar genişler, dolayısıyla kanunları hakkında bilgi sahibi olmak herkes için gereklidir.

Matematik ile dış dünya arasındaki bağlantı, okul çocuklarının bilgilerini “gerçekleştirmemize” olanak tanır. Bu, okulda edinilen bilginin hayati gerekliliğini daha iyi anlamamıza yardımcı olur.

Pratik içeriğe sahip bir matematik problemi (uygulamalı nitelikteki bir problem), konusu matematiğin ilgili alanlardaki uygulamalarını ortaya koyan bir problemi kastediyoruz. akademik disiplin, teknoloji, günlük yaşamda.

Trigonometrinin ortaya çıkışının tarihsel nedenleri, gelişimi ve gelişimi hakkında bir hikaye pratik uygulama okul çocuklarımızın çalışılan konuya olan ilgisini teşvik eder, dünya görüşümüzü şekillendirir ve genel kültürü geliştirir.

Bu çalışma, trigonometrinin güzelliğini henüz görmemiş ve çevrelerindeki yaşamdaki uygulama alanlarına aşina olmayan lise öğrencileri için faydalı olacaktır.

Kaynakça:

giriiş

Çevremizdeki dünyadaki gerçek süreçler genellikle çok sayıda değişken ve bunlar arasındaki bağımlılıklarla ilişkilidir. Bu bağımlılıklar işlevler kullanılarak açıklanabilir. “İşlev” kavramı bilişte büyük bir rol oynamıştır ve hâlâ da oynamaktadır. gerçek dünya. Fonksiyonların özelliklerinin bilgisi, devam eden süreçlerin özünü anlamamıza, gelişimlerinin gidişatını tahmin etmemize ve onları yönetmemize olanak tanır. Öğrenme fonksiyonları ilgili Her zaman.

Hedef: Trigonometrik fonksiyonlar ile çevredeki dünyanın olayları arasındaki bağlantıyı tanımlar ve bu fonksiyonların yaşamda yaygın olarak kullanıldığını gösterir.

görevler:

1. Proje konusuyla ilgili literatürü ve uzaktan erişim kaynaklarını inceleyin.

2. Hangi doğa yasalarının trigonometrik fonksiyonlarla ifade edildiğini bulun.

3. Dış dünyada trigonometrik fonksiyonların kullanımına ilişkin örnekler bulun.

4. Mevcut materyali analiz edin ve sistematik hale getirin.

5. Tasarlanan materyali gereksinimlere uygun olarak hazırlayın bilgi projesi.

6. Projenin içeriğine uygun bir elektronik sunum geliştirin.

7. Yapılan çalışmanın sonuçlarıyla birlikte konferansta konuşun.

Hazırlık aşamasında Bu konuyla ilgili materyal buldum ve okudum, hipotezler ortaya koydum ve projemin hedefini formüle ettim. Gerekli bilgileri aramaya, konumla ilgili literatürü ve uzaktan erişim kaynaklarından materyaller incelemeye başladım.

Ana aşamada, konuyla ilgili bilgiler seçilip biriktirildi ve bulunan materyaller analiz edildi. Trigonometrik fonksiyonların ana uygulamalarını öğrendim. Tüm veriler özetlendi ve sistematik hale getirildi. Daha sonra bilgi projesinin kapsamlı bir son versiyonu geliştirildi ve araştırma konusuna ilişkin bir sunum derlendi.

Son aşamada Yarışma için eserin sunumu analiz edildi. Bu aşamada, faaliyetlerin aynı zamanda verilen tüm görevleri yerine getirmesi, sonuçları özetlemesi, yani kişinin faaliyetlerini değerlendirmesi de bekleniyordu.

Gün doğumu ve gün batımı, ayın evrelerindeki değişiklikler, mevsimlerin değişmesi, kalp atışı, vücudun yaşam döngüleri, tekerleğin dönüşü, denizdeki gelgitler ve akışlar - bu çeşitli süreçlerin modelleri trigonometrik fonksiyonlarla tanımlanır.

Fizikte trigonometri.

Teknolojide ve etrafımızdaki dünyada, sıklıkla düzenli aralıklarla tekrarlanan periyodik (veya neredeyse periyodik) süreçlerle uğraşmak zorunda kalıyoruz. Bu tür işlemlere salınımlı denir. Çeşitli fiziksel doğadaki salınım olayları genel yasalara tabidir. Örneğin bir elektrik devresindeki akım salınımları ile matematiksel bir sarkacın salınımları aynı denklemlerle açıklanabilir. Salınım modellerinin ortaklığı, çeşitli nitelikteki salınım süreçlerini tek bir bakış açısıyla değerlendirmemize olanak tanır. İlerleyen ve bununla birlikte dönme hareketleri Cisimlerin mekaniğinde salınım hareketleri de oldukça ilgi çekicidir.

Mekanik titreşimler eşit zaman aralıklarında tam olarak (veya yaklaşık olarak) tekrarlanan vücut hareketleridir. Salınım yapan bir cismin hareket kanunu, x = f(t) gibi belirli bir periyodik zaman fonksiyonu kullanılarak belirlenir. Bu fonksiyonun grafiksel temsili, salınım sürecinin zaman içindeki seyrinin görsel bir temsilini verir. Bu tür bir dalganın örneği, gerilmiş bir lastik bant veya bir ip boyunca ilerleyen dalgalardır.

Basit salınım sistemlerine örnek olarak bir yay üzerindeki yük veya matematiksel bir sarkaç verilebilir (Şekil 1).

Şekil 1. Mekanik salınım sistemleri.

Mekanik titreşimler diğer fiziksel nitelikteki salınımlı süreçler gibi, serbest ve zorlanmış olabilir. Sistem dengeden çıktıktan sonra sistemin iç kuvvetlerinin etkisi altında serbest titreşimler meydana gelir. Bir yayın üzerindeki ağırlığın salınımları veya bir sarkacın salınımları serbest salınımlardır. Periyodik olarak değişen dış kuvvetlerin etkisi altında meydana gelen salınımlara zorunlu denir.

Şekil 2, harmonik salınımlar gerçekleştiren bir cismin koordinatlarını, hızını ve ivmesini gösteren grafikleri göstermektedir.

Salınım sürecinin en basit türü, aşağıdaki denklemle tanımlanan basit harmonik salınımlardır:

x = m çünkü (ωt + f 0).

Şekil 2 - Koordinat grafikleri x(t), hız υ(t)

ve harmonik salınımlar gerçekleştiren bir cismin a(t) ivmesi.

Ses dalgaları ya da kısaca ses, insan kulağının algıladığı dalgalara verilen addır.

Katı, sıvı veya gaz halindeki bir ortamda parçacıkların titreşimleri herhangi bir yerde uyarılırsa, ortamdaki atom ve moleküllerin etkileşimi nedeniyle titreşimler bir noktadan diğerine sonlu bir hızla iletilmeye başlar. Titreşimlerin bir ortamda yayılma sürecine dalga denir.

Basit harmonik veya sinüs dalgaları pratikte büyük ilgi görmektedir. Parçacık titreşimlerinin genliği A, frekansı f ve dalga boyu λ ile karakterize edilirler. Sinüzoidal dalgalar homojen ortamda belirli bir sabit hızla yayılır.

Eğer insan görüşü sesi, elektromanyetik dalgaları ve radyo dalgalarını görme yeteneğine sahip olsaydı, etrafımızda her türden çok sayıda sinüzoid görürdük.

Elbette herkes, suya indirilen nesnelerin boyutlarını ve oranlarını anında değiştirmesi olgusunu birden fazla kez gözlemlemiştir. İlginç bir olay: Elinizi suya batırırsınız ve hemen başka birinin eline dönüşür. Bu neden oluyor? Bu sorunun cevabı ve bu fenomenin ayrıntılı bir açıklaması, her zaman olduğu gibi, bu dünyada bizi çevreleyen hemen hemen her şeyi açıklayabilen bir bilim olan fizik tarafından verilmektedir.

Yani aslında suya batırıldığında nesneler elbette ne boyutlarını ne de dış hatlarını değiştirmezler. Bu sadece optik bir etkidir, yani bu nesneyi görsel olarak farklı algılarız. Bu, ışık ışınının özelliklerinden dolayı olur. Işığın yayılma hızının, ortamın sözde optik yoğunluğundan büyük ölçüde etkilendiği ortaya çıktı. Bu optik ortam ne kadar yoğunsa, ışık huzmesi o kadar yavaş yayılır.

Ancak bir ışık ışınının hızındaki bir değişiklik bile, düşündüğümüz olguyu tam olarak açıklamıyor. Başka bir faktör daha var. Bu nedenle, bir ışık demeti, hava gibi daha az yoğun bir optik ortam ile su gibi daha yoğun bir optik ortam arasındaki sınırı geçtiğinde, ışık ışınının bir kısmı yeni ortama nüfuz etmez, ancak yüzeyinden yansıtılır. Işık ışınının diğer kısmı içeri girer ancak yön değiştirir.

Bu olguya ışığın kırılması denir ve bilim adamları uzun zamandır yalnızca gözlemlemekle kalmayıp aynı zamanda bu kırılmanın açısını da doğru bir şekilde hesaplayabildiler. En basit trigonometrik formüllerin ve gelme açısının sinüsü ve kırılma açısı hakkındaki bilginin, bir ışık ışınının belirli bir ortamdan diğerine geçişi için sabit kırılma indeksini bulmayı mümkün kıldığı ortaya çıktı. Örneğin, havanın kırılma indeksi son derece küçüktür ve 1.0002926'dır, suyun kırılma indeksi biraz daha yüksektir - 1.332986, elmas ışığı 2.419 katsayısıyla kırar ve silikon - 4.010.

Bu fenomen, sözde Gökkuşağı teorileri. Gökkuşağı teorisi ilk olarak 1637 yılında Rene Descartes tarafından ortaya atılmıştır. Gökkuşaklarını, ışığın yağmur damlalarında yansıması ve kırılmasıyla ilgili bir olay olarak açıkladı.

Gökkuşağı, güneş ışığının kırılma kanununa göre havada asılı kalan su damlacıkları tarafından kırılması nedeniyle oluşur:

burada n 1 =1, n 2 ≈1,33 sırasıyla hava ve suyun kırılma indisleridir, α geliş açısıdır ve β ışığın kırılma açısıdır.

Trigonometrinin sanat ve mimaride uygulanması.

Heykelin yapımında orantısal ilişki idealdi. Ancak heykel yüksek bir kaide üzerine kaldırıldığında çirkin görünüyordu. Heykeltıraş, perspektifte ufka doğru birçok detayın azaldığını ve aşağıdan yukarıya bakıldığında artık ideallik izleniminin yaratılmadığını hesaba katmadı. Büyük bir yükseklikten bakıldığında şeklin orantılı görünmesini sağlamak için birçok hesaplama yapıldı. Esas olarak görme yöntemine, yani gözle yaklaşık ölçüme dayanıyorlardı. Ancak belirli oranların fark katsayısı rakamın ideale yaklaşmasını mümkün kıldı. Böylece heykelin bakış açısına yani heykelin tepesinden kişinin gözlerine olan yaklaşık mesafesini ve heykelin yüksekliğini bilerek, bir tablo kullanarak görüş açısının sinüsünü hesaplayabiliriz, böylece bakış açısını bulursunuz (Şekil 4).

Şekil 5'te durum değişir, heykel AC yüksekliğine kaldırıldığı ve NS arttığı için C açısının kosinüs değerlerini hesaplayabiliriz ve tablodan bakışın geliş açısını bulacağız. Bu süreçte, temel trigonometrik özdeşliği kullanarak sonuçları kontrol etmenize olanak tanıyan AN'nin yanı sıra C açısının sinüsünü de hesaplayabilirsiniz. çünkü 2 a+ sin 2 a = 1.

Biyolojide trigonometri.

Biyolojik ritimler, biyoritimler, biyolojik süreçlerin doğasında ve yoğunluğunda az çok düzenli değişikliklerdir. Yaşam aktivitesinde bu tür değişiklikler yapma yeteneği kalıtsaldır ve neredeyse tüm canlı organizmalarda bulunur. Bireysel hücrelerde, dokularda ve organlarda, tüm organizmalarda ve popülasyonlarda gözlemlenebilirler. Bioritimler ikiye ayrılır fizyolojik, saniyenin kesirlerinden birkaç dakikaya kadar olan sürelere sahiptir ve çevresel, Ortamın herhangi bir ritmine uygun süre. Bunlar günlük, mevsimsel, yıllık, gelgit ve ay ritimlerini içerir. Ana dünyevi ritim günlüktür ve Dünyanın kendi ekseni etrafında dönmesiyle belirlenir, bu nedenle canlı bir organizmadaki hemen hemen tüm süreçlerin günlük bir periyodikliği vardır.

Gezegenimizdeki başta ışık koşulları, sıcaklık, hava basıncı ve nem, atmosferik ve elektromanyetik alanlar, deniz gelgitleri olmak üzere pek çok çevresel faktör bu dönmenin etkisiyle doğal olarak değişmektedir.

Fiziksel biyoritm– Fiziksel aktiviteyi düzenler. Fiziksel döngünün ilk yarısında kişi enerjiktir ve faaliyetlerinde daha iyi sonuçlar elde eder (ikinci yarı - enerji yerini tembelliğe bırakır).

Duygusal ritim– Faaliyet dönemlerinde hassasiyet artar ve ruh hali iyileşir. Bir kişi çeşitli dış felaketlere karşı heyecanlanır hale gelir. Ruh hali iyiyse havada kaleler kurar, aşık olmayı hayal eder ve aşık olur. Duygusal biyoritm azaldığında zihinsel güç azalır, arzu ve neşeli ruh hali kaybolur.

Entelektüel biyoritm - hafızayı, öğrenme yeteneğini ve mantıksal düşünmeyi kontrol eder. Etkinlik aşamasında bir artış var, ikinci aşamada ise yaratıcı etkinlikte bir düşüş var, şans ve başarı yok.

Üç ritim teorisi.

· Fiziksel döngü - 23 gün. Hareketin enerjisini, gücünü, dayanıklılığını ve koordinasyonunu belirler

· Duygusal döngü – 28 gün. Sinir sisteminin durumu ve ruh hali

· Entelektüel döngü - 33 gün. Bireyin yaratıcı yeteneğini belirler

Trigonometri doğada da bulunur. Balıkların sudaki hareketi Kuyruktaki bir noktayı sabitlerseniz ve ardından hareketin yörüngesini dikkate alırsanız sinüs veya kosinüs yasasına göre oluşur. Balığın vücudu yüzerken y=tgx fonksiyonunun grafiğine benzeyen bir eğri şeklini alır.

Bir kuş uçarken, çırpan kanatların yörüngesi bir sinüzoid oluşturur.

Tıpta trigonometri.

İranlı Şiraz Üniversitesi öğrencisi Vahid-Reza Abbasi'nin yaptığı çalışma sonucunda doktorlar ilk kez kalbin elektriksel aktivitesine, diğer bir deyişle elektrokardiyografiye ilişkin bilgileri organize edebildi.

Birçok kişi kalbin kardiyogramını yapmak zorundadır, ancak çok az kişi insan kalbinin kardiyogramının sinüs veya kosinüs grafiği olduğunu bilir.

Trigonometri beynimizin nesnelere olan mesafeleri belirlemesine yardımcı olur. Amerikalı bilim insanları, beynin dünya düzlemi ile görüş düzlemi arasındaki açıyı ölçerek nesnelere olan mesafeyi tahmin ettiğini iddia ediyor. Bu sonuca, katılımcılardan çevrelerindeki dünyaya bu açıyı artıran prizmalar aracılığıyla bakmalarının istendiği bir dizi deney sonrasında varıldı.

Bu çarpıtma, deneysel prizma taşıyıcılarının uzaktaki nesneleri daha yakın algılamasına ve en basit testlerle baş edememesine neden oldu. Hatta deneylere katılanlardan bazıları öne doğru eğilerek vücutlarını dünyanın yanlış hayal edilen yüzeyine dik olarak hizalamaya çalıştı. Ancak 20 dakika sonra çarpık algıya alıştılar ve tüm sorunlar ortadan kalktı. Bu durum, beynin görsel sistemi değişen dış koşullara uyarlamasını sağlayan mekanizmanın esnekliğini göstermektedir. Prizmalar çıkarıldıktan sonra bir süre ters etkinin (mesafenin fazla tahmin edilmesi) gözlemlendiğini belirtmek ilginçtir.

Çözüm

Günümüzde trigonometrik hesaplamalar geometri, fizik ve mühendisliğin hemen hemen tüm alanlarında kullanılmaktadır. Büyük önem astronomide yakındaki yıldızlara olan mesafeleri, coğrafyada yer işaretleri arasındaki mesafeleri ölçmenize ve uydu navigasyon sistemlerini kontrol etmenize olanak sağlayan bir üçgenleme tekniğine sahiptir. Trigonometrinin müzik teorisi, akustik, optik, finansal piyasa analizi, elektronik, olasılık teorisi, istatistik, tıp (ultrason ve bilgisayarlı tomografi dahil), ilaç, kimya, sayı teorisi, sismoloji, meteoroloji, okyanusoloji gibi alanlardaki uygulamaları da dikkate değerdir. , haritacılık, fiziğin birçok dalı, topografya ve jeodezi, mimarlık, ekonomi, elektronik mühendisliği, makine mühendisliği, bilgisayar grafikleri, kristalografi.

Sonuçlar:

· Trigonometrinin açı ölçme ihtiyacından ortaya çıktığını ancak zamanla trigonometrik fonksiyonlar bilimine dönüştüğünü öğrendik.

· Trigonometrinin fizikle, biyolojiyle yakından ilişkili olduğunu, doğada, mimaride ve tıpta bulunduğunu kanıtladık.

· Trigonometrinin hayatımıza girdiğini ve önemli rol oynadığı alanların genişlemeye devam edeceğini düşünüyoruz.

Edebiyat

1. Alimov S.A. ve diğerleri “Cebir ve analizin başlangıcı” Genel eğitim kurumlarının 10-11. Sınıfları için ders kitabı, M., Prosveshchenie, 2010.

2.Vilenkin N.Ya. Doğada ve teknolojide işlevler: Kitap. ders dışı için IX-XX notlarını okuyor. – 2. baskı, gözden geçirilmiş - M: Aydınlanma, 1985.

3. Glazer G.I. Okulda matematik tarihi: IX-X notları. - M.: Eğitim, 1983.

4. Maslova T.N. "Öğrenci Matematik Rehberi"

5. Rybnikov K.A. Matematik tarihi: Ders kitabı. - M .: Moskova Devlet Üniversitesi Yayınevi, 1994.

6. Ucheba.ru

7. Math.ru “kütüphanesi”

MKOU "Nenets Genel Eğitim lise- adını taşıyan yatılı okul AP Pyrerki"

Eğitim projesi

" "

Danilova Tatyana Vladimirovna

Matematik öğretmeni

2013

Projenin uygunluğunun gerekçesi.

Trigonometri, trigonometrik fonksiyonları inceleyen matematik dalıdır. Hayal etmesi zor ama bu bilimle sadece matematik derslerinde değil, günlük yaşamımızda da karşılaşıyoruz. Bundan şüphelenmemiş olabilirsiniz ama trigonometri fizik, biyoloji gibi bilimlerde bulunur, tıpta önemli bir rol oynar ve en ilginci, müzik ve mimari bile onsuz yapamaz.
Trigonometri kelimesi ilk kez 1505 yılında Alman matematikçi Pitiscus'un bir kitabının başlığında karşımıza çıkıyor.
Trigonometri Yunanca bir kelimedir ve kelimenin tam anlamıyla çevrildiğinde üçgenlerin ölçümü anlamına gelir (trigonan - üçgen, metreo - ölçerim).
Trigonometrinin ortaya çıkışı arazi etüdü, astronomi ve inşaatla yakından ilgiliydi.

14-15 yaşlarındaki bir okul çocuğu, nerede eğitim göreceğini ve nerede çalışacağını her zaman bilemez.
Bazı meslekler için bilgi gereklidir çünkü... astronomide yakındaki yıldızlara olan mesafeleri, coğrafyada önemli noktalar arasındaki mesafeleri ölçmenize ve uydu navigasyon sistemlerini kontrol etmenize olanak tanır. Trigonometri ilkeleri ayrıca müzik teorisi, akustik, optik, finansal piyasa analizi, elektronik, olasılık teorisi, istatistik, biyoloji, tıp (ultrason ve bilgisayarlı tomografi dahil), eczacılık, kimya, sayı teorisi (ve benzeri) gibi alanlarda da kullanılmaktadır. bir sonuç, kriptografi), sismoloji, meteoroloji, oşinoloji, haritacılık, fiziğin birçok dalı, topografya ve jeodezi, mimari, fonetik, ekonomi, elektronik mühendisliği, makine mühendisliği, bilgisayar grafikleri, kristalografi.

Araştırma konusunun tanımı

Trigonometri bilgisi neden gereklidir? modern adam?

3.Proje hedefleri.

Trigonometri ve gerçek hayat arasındaki bağlantı.

Sorunlu soru
1. Gerçek hayatta en sık hangi trigonometri kavramları kullanılır?
2. Trigonometrinin astronomi, fizik, biyoloji ve tıpta rolü nedir?
3. Mimarlık, müzik ve trigonometri arasında nasıl bir ilişki vardır?

Hipotez

Çoğunluk fiziksel olaylar doğa, fizyolojik süreçler, müzik ve sanattaki kalıplar trigonometri ve trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak açıklanabilir.

Hipotez testi

Trigonometri (Yunanca'dan trigonon - üçgen, metro – metrik) – Açıların değerleri ile üçgenlerin kenarlarının uzunlukları arasındaki ilişkilerin yanı sıra trigonometrik fonksiyonların cebirsel kimliklerini inceleyen matematiğin mikro bölümü.

Trigonometri bilgisinin başlangıcı eski çağlara dayanmaktadır. Erken bir aşamada trigonometri astronomi ile yakın bağlantılı olarak gelişti ve onun yardımcı bölümü oldu.

Trigonometrinin tarihi:

Trigonometrinin kökenleri 3000 yıl öncesine, eski Mısır'a, Babil'e ve İndus Vadisi'ne kadar uzanıyor.

Trigonometri kelimesi ilk kez 1505 yılında Alman matematikçi Pitiscus'un bir kitabının başlığında karşımıza çıkıyor.

İlk kez, üçgenin kenarları ve açıları arasındaki bağımlılıklara dayalı üçgen çözme yöntemleri eski Yunan gökbilimcileri Hipparchus ve Ptolemy tarafından bulundu.

Eski insanlar bir ağacın yüksekliğini, gölgesinin uzunluğunu, yüksekliği bilinen bir direğin gölgesinin uzunluğuyla karşılaştırarak hesaplardı. Yıldızlar, bir geminin denizdeki konumunu hesaplamak için kullanıldı.

Trigonometrinin gelişimindeki bir sonraki adım, 5. yüzyıldan 12. yüzyıla kadar olan dönemde Hintliler tarafından atıldı.

Kosinüs teriminin kendisi, Avrupalı bilim adamlarının çalışmalarında ilk kez 16. yüzyılın sonunda, sözde "tümleyenin sinüsü" nden, yani. Verilen açıyı 90°'ye tamamlayan açının sinüsü. “Sinüs of kompleman” veya (Latincede) sinüs komplemanı, sinüs co veya ko-sinüs olarak kısaltılmaya başlandı.

İÇİNDE XVII – XIX yüzyıllar trigonometri matematiksel analizin bölümlerinden biri haline gelir.

Özellikle salınımlı hareketler ve diğer periyodik süreçlerin incelenmesinde mekanik, fizik ve teknolojide geniş uygulama alanı bulur.

Jean Fourier, herhangi bir periyodik hareketin (herhangi bir doğruluk derecesiyle) basit harmonik salınımların toplamı olarak temsil edilebileceğini kanıtladı.

Trigonometrinin gelişim aşamaları:

Trigonometri, açıları ölçme ihtiyacıyla hayata geçirildi.

Trigonometrinin ilk adımları, açının büyüklüğü ile özel olarak oluşturulmuş düz çizgi parçalarının oranı arasında bağlantı kurmaktı. Sonuç, düzlemsel üçgenleri çözme yeteneğidir.

Girilen trigonometrik fonksiyonların değerlerini tablolaştırma ihtiyacı.

Trigonometrik fonksiyonlar bağımsız araştırma nesnelerine dönüştü.

18. yüzyılda trigonometrik fonksiyonlar dahil edildi

matematiksel analiz sistemine dahil edilmiştir.

Trigonometri nerede kullanılır?

Trigonometrik hesaplamalar insan yaşamının hemen her alanında kullanılmaktadır. Astronomi, fizik, doğa, biyoloji, müzik, tıp ve daha birçok alanda kullanıldığını belirtmek gerekir.

Astronomide trigonometri:

Üçgenleri çözme ihtiyacı ilk olarak astronomide keşfedildi; bu nedenle uzun süre trigonometri astronominin dallarından biri olarak geliştirildi ve incelendi.

Hipparchus tarafından derlenen Güneş ve Ay'ın konum tabloları, tutulmaların başlangıç anlarının (1-2 saatlik bir hatayla) önceden hesaplanmasını mümkün kıldı. Hipparchus, astronomide küresel trigonometri yöntemlerini ilk kullanan kişiydi. Armatürleri işaret etmek için gonyometrik cihazlarda (sekstantlar ve kadranlar) çapraz iplikler kullanarak gözlemlerin doğruluğunu arttırdı. Bilim adamı, o zamanlar için 850 yıldızın konumlarının büyük bir kataloğunu derledi ve bunları parlaklığa göre 6 dereceye (yıldız büyüklükleri) böldü. Hipparchus coğrafi koordinatları (enlem ve boylam) tanıttı ve matematiksel coğrafyanın kurucusu olarak kabul edilebilir. (MÖ 190 civarı - MÖ 120 civarı)

Vieta'nın trigonometrideki başarıları
Verilen üç elemandan bir düzlem veya küresel üçgenin tüm elemanlarını belirleme problemine tam bir çözüm, sinпх ve cosпх'un cos x ve sinx'in kuvvetleri cinsinden önemli açılımları. Çoklu yayın sinüs ve kosinüs formülünü bilmek, Viet'in matematikçi A. Roomen tarafından önerilen 45. derece denklemi çözmesini sağladı; Viète, bu denklemin çözümünün açının 45 eşit parçaya bölünmesine indirgendiğini ve bu denklemin 23 pozitif kökü olduğunu gösterdi. Vieth, Apollonius'un problemini bir cetvel ve pusula kullanarak çözdü.
Küresel üçgenleri çözmek astronominin problemlerinden biridir.Aşağıdaki teoremler, herhangi bir küresel üçgenin kenarlarını ve açılarını uygun şekilde belirlenmiş üç kenar veya açıdan hesaplamamızı sağlar: (sinüs teoremi) (açılar için kosinüs teoremi) (kenarlar için kosinüs teoremi) .

Fizikte trigonometri:

Çevremizdeki dünyada düzenli aralıklarla tekrarlanan periyodik süreçlerle uğraşmak zorundayız. Bu işlemlere salınımlı denir. Çeşitli fiziksel yapıdaki salınım olayları genel yasalara uyar ve aynı denklemlerle tanımlanır. Farklı var salınım olaylarının türleri.

Harmonik salınım- Argümana bağımlılığın sinüs veya kosinüs fonksiyonu karakterine sahip olduğu, herhangi bir miktardaki periyodik değişim olgusu. Örneğin, bir miktar uyumlu bir şekilde salınır ve zamanla aşağıdaki gibi değişir:

Burada x değişen miktarın değeridir, t zamandır, A salınımların genliğidir, ω salınımların döngüsel frekansıdır, salınımların tam fazıdır, r salınımların başlangıç fazıdır.

x'' + ω²x = 0 diferansiyel formunda genelleştirilmiş harmonik salınım.

Mekanik titreşimler . Mekanik titreşimler tam olarak eşit zaman aralıklarında tekrarlanan vücut hareketleridir. Bu fonksiyonun grafiksel temsili, salınım sürecinin zaman içindeki seyrinin görsel bir temsilini verir. Basit mekanik salınım sistemlerine örnek olarak yay üzerindeki ağırlık veya matematiksel sarkaç verilebilir.

Doğada trigonometri.

sorusunu sık sık soruyoruz “Neden bazen gerçekte olmayan şeyleri görüyoruz?”. Araştırma için şu sorular önerilmiştir: “Gökkuşağı nasıl ortaya çıkar? Kuzey Işıkları?”, “Optik illüzyonlar nedir?” "Trigonometri bu soruların yanıtlanmasına nasıl yardımcı olabilir?"

Gökkuşağı teorisi ilk olarak 1637 yılında Rene Descartes tarafından ortaya atılmıştır. Gökkuşaklarını, ışığın yağmur damlalarında yansıması ve kırılmasıyla ilgili bir olay olarak açıkladı.

Kuzey Işıkları Yüklü güneş rüzgarı parçacıklarının gezegenlerin atmosferinin üst katmanlarına nüfuz etmesi, gezegenin manyetik alanının güneş rüzgarı ile etkileşimi ile belirlenir.

Manyetik alanda hareket eden yüklü bir parçacığa etki eden kuvvete Lorentz kuvveti denir. Parçacığın yükü, alanın vektör çarpımı ve parçacığın hızıyla orantılıdır.

Çok fonksiyonlu trigonometri

Amerikalı bilim insanları, beynin dünya düzlemi ile görüş düzlemi arasındaki açıyı ölçerek nesnelere olan mesafeyi tahmin ettiğini iddia ediyor.

Ayrıca biyolojide karotis sinüs, karotis sinüs ve venöz veya kavernöz sinüs gibi kavramlar kullanılmaktadır.

Tıp ve biyolojide trigonometri ve trigonometrik fonksiyonlar.

Biri temel özellikler canlı doğa, içinde meydana gelen süreçlerin çoğunun döngüsel doğasıdır.

Biyolojik ritimler, biyoritimler– bunlar biyolojik süreçlerin doğasında ve yoğunluğunda az çok düzenli değişikliklerdir.

Temel dünya ritmi- Günlük ödenek.

Trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak bir biyoritim modeli oluşturulabilir.

Biyolojide trigonometri

Hangi biyolojik süreçler trigonometri ile ilgili mi?

Trigonometri tıpta önemli bir rol oynar. Onun yardımıyla İranlı bilim adamları, aritmi durumlarında hesaplamalar için birkaç ek parametre de dahil olmak üzere 8 ifade, 32 katsayı ve 33 temel parametreden oluşan karmaşık bir cebirsel-trigonometrik denklem olan kalp formülünü keşfettiler.

Biyolojik ritimler, bioritimler trigonometri ile ilişkilidir

Biyoritimler ve trigonometri arasındaki bağlantı

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri kullanılarak bir biyoritim modeli oluşturulabilir. Bunu yapmak için kişinin doğum tarihini (gün, ay, yıl) ve tahmin süresini girmeniz gerekir.

Balığın sudaki hareketi, kuyruktaki bir noktayı sabitlerseniz ve ardından hareketin yörüngesini dikkate alırsanız sinüs veya kosinüs kanununa göre gerçekleşir.

Bir kuş uçarken, çırpan kanatların yörüngesi bir sinüzoid oluşturur.

Müzikal uyumun ortaya çıkışı

Antik çağlardan günümüze gelen efsanelere göre bunu yapmaya ilk çalışanlar Pisagor ve öğrencileri olmuştur.

Birinci, ikinci vb.de aynı notaya karşılık gelen frekanslar. oktavlar 1:2:4:8 ile ilişkilidir...

diyatonik ölçek 2:3:5

Mimarlıkta trigonometri

Barselona'daki Gaudi Çocuk Okulu

Londra'daki Swiss Re Insurance Corporation

Los Manantiales'teki Felix Candela Restoranı

Tercüme

Trigonometrik fonksiyonların bulunabileceği yerlerin sadece küçük bir kısmını verdik.Trigonometrinin açı ölçme ihtiyacından dolayı hayat bulduğunu ancak zamanla trigonometrik fonksiyonlar bilimine dönüştüğünü öğrendik.

Trigonometrinin fizikle yakından ilişkili olduğunu, doğada ve tıpta bulunduğunu kanıtladık. Yaşamın ve yaşamın periyodik süreçlerine sonsuz sayıda örnek verilebilir. cansız doğa. Tüm periyodik süreçler trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak tanımlanabilir ve grafiklerle gösterilebilir.

Trigonometrinin hayatımıza ve kürelere yansıdığını düşünüyoruz.

önemli bir rol oynadığı alan genişleyecektir.

Çözüm

Bulundu Trigonometri, açıları ölçme ihtiyacıyla hayata geçirildi, ancak zamanla trigonometrik fonksiyonlar bilimine dönüştü.

Kanıtlanmış trigonometrinin doğada, müzikte, astronomide ve tıpta bulunan fizikle yakından ilişkili olduğu.

Düşünürüz Trigonometrinin hayatımıza yansıyacağını ve önemli rol oynadığı alanların genişleyeceğini düşünüyoruz.

7. Edebiyat.

Maslova T.N. "Öğrenci Matematik Rehberi"

Grafiklerin görüntüsünü uygulayan Maple6 programı

"Wikipedia"

Çalışmalar. ru

Math.ru "kütüphane"

Antik çağlardan 19. yüzyılın başlarına kadar matematik tarihi 3 ciltte // ed. A.P. Yuşkeviç. Moskova, 1970 – cilt 1-3 E. T. Bell Matematiğin Yaratıcıları.

Modern matematiğin öncülleri // ed. S. N. Niro. Moskova, 1983 A. N. Tikhonov, D.P. Kostomarov.

Uygulamalı matematikle ilgili hikayeler//Moskova, 1979. AV Voloshinov. Matematik ve sanat // Moskova, 1992. Gazete Matematiği. 1 Eylül 1998 tarihli gazetenin eki.

Astronomide trigonometri:

Üçgenleri çözme ihtiyacı ilk olarak astronomide keşfedildi; bu nedenle uzun süre trigonometri astronominin dallarından biri olarak geliştirildi ve incelendi.

Hipparchus tarafından derlenen Güneş ve Ay'ın konum tabloları, tutulmaların başlangıç anlarının (1-2 saatlik bir hatayla) önceden hesaplanmasını mümkün kıldı. Hipparchus, astronomide küresel trigonometri yöntemlerini ilk kullanan kişiydi. Aydınlatma armatürünü işaret etmek için gonyometrik cihazlarda (sekstantlar ve kadranlar) çapraz iplikler kullanarak gözlemlerinin doğruluğunu arttırdı. Bilim adamı, o zamanlar için 850 yıldızın konumlarının büyük bir kataloğunu derledi ve bunları parlaklığa göre 6 dereceye (yıldız büyüklükleri) böldü. Hipparchus coğrafi koordinatları (enlem ve boylam) tanıttı ve matematiksel coğrafyanın kurucusu olarak kabul edilebilir. (MÖ 190 civarı - MÖ 120 civarı)

Verilen üç elemandan bir düzlem veya küresel üçgenin tüm elemanlarını belirleme problemine tam bir çözüm, sinпх ve cosпх'un cos x ve sinx'in kuvvetleri cinsinden önemli açılımları. Çoklu yayın sinüs ve kosinüs formülünü bilmek, Viet'in matematikçi A. Roomen tarafından önerilen 45. derece denklemi çözmesini sağladı; Viète, bu denklemin çözümünün açının 45 eşit parçaya bölünmesine indirgendiğini ve bu denklemin 23 pozitif kökü olduğunu gösterdi. Vieth, Apollonius'un problemini bir cetvel ve pusula kullanarak çözdü.
Küresel üçgenleri çözmek astronominin problemlerinden biridir.Aşağıdaki teoremler, herhangi bir küresel üçgenin kenarlarını ve açılarını uygun şekilde belirlenmiş üç kenar veya açıdan hesaplamamızı sağlar: (sinüs teoremi) (açılar için kosinüs teoremi) (kenarlar için kosinüs teoremi) .

Fizikte trigonometri:

salınım olaylarının türleri.

Harmonik salınım, argümana bağımlılığın sinüs veya kosinüs fonksiyonu karakterine sahip olduğu, herhangi bir miktardaki periyodik değişim olgusudur. Örneğin, bir miktar uyumlu bir şekilde salınır ve zamanla aşağıdaki gibi değişir:

Mekanik titreşimler . Mekanik titreşimler

Doğada trigonometri.

sorusunu sık sık soruyoruz

Biri temel özellikler
- bunlar biyolojik süreçlerin doğasında ve yoğunluğundaki az çok düzenli değişikliklerdir.
Temel dünya ritmi- Günlük ödenek.

Biyolojide trigonometri

Trigonometri tıpta önemli bir rol oynar. Onun yardımıyla İranlı bilim adamları, aritmi durumlarında hesaplamalar için birkaç ek parametre de dahil olmak üzere 8 ifade, 32 katsayı ve 33 temel parametreden oluşan karmaşık bir cebirsel-trigonometrik denklem olan kalp formülünü keşfettiler.

diyatonik ölçek 2:3:5

Mimarlıkta trigonometri

Londra'daki Swiss Re Insurance Corporation

Tercüme

Trigonometrik fonksiyonları bulabileceğiniz yerlerin sadece küçük bir kısmını verdik.

Trigonometrinin fizikle yakından ilişkili olduğunu, doğada ve tıpta bulunduğunu kanıtladık. Canlı ve cansız doğanın periyodik süreçlerine sonsuz sayıda örnek verilebilir. Tüm periyodik süreçler trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak tanımlanabilir ve grafiklerle gösterilebilir.

Trigonometrinin hayatımıza ve kürelere yansıdığını düşünüyoruz.

önemli bir rol oynadığı alan genişleyecektir.

Bulundu Trigonometri, açıları ölçme ihtiyacıyla hayata geçirildi, ancak zamanla trigonometrik fonksiyonlar bilimine dönüştü.
Kanıtlanmış
Düşünürüz

Belge içeriğini görüntüle
"Danilova T.V.-senaryosu"

MKOU "Nenets ortaokulu - adını taşıyan yatılı okul. AP Pyrerki"

Eğitim projesi

" "

Danilova Tatyana Vladimirovna

Matematik öğretmeni

Projenin uygunluğunun gerekçesi.

Araştırma konusunun tanımı

3. Proje hedefleri.

Hipotez

Hipotez testi

Trigonometri (Yunanca'dantrigonon - üçgen,metro – metrik) –

Trigonometrinin tarihi:

Trigonometrinin gelişimindeki bir sonraki adım, 5. yüzyıldan 12. yüzyıla kadar olan dönemde Hintliler tarafından atıldı.

XVII - XIX yüzyıllarda. trigonometri matematiksel analizin bölümlerinden biri haline gelir.

Özellikle salınımlı hareketler ve diğer periyodik süreçlerin incelenmesinde mekanik, fizik ve teknolojide geniş uygulama alanı bulur.

Jean Fourier, herhangi bir periyodik hareketin (herhangi bir doğruluk derecesiyle) basit harmonik salınımların toplamı olarak temsil edilebileceğini kanıtladı.

matematiksel analiz sistemine dahil edilmiştir.

Trigonometri nerede kullanılır?

Trigonometrik hesaplamalar insan yaşamının hemen her alanında kullanılmaktadır. Astronomi, fizik, doğa, biyoloji, müzik, tıp ve daha birçok alanda kullanıldığını belirtmek gerekir.

Astronomide trigonometri:

Üçgenleri çözme ihtiyacı ilk olarak astronomide keşfedildi; bu nedenle uzun süre trigonometri astronominin dallarından biri olarak geliştirildi ve incelendi.

Fizikte trigonometri:

x'' + ω²x = 0 diferansiyel formunda genelleştirilmiş harmonik salınım.

Doğada trigonometri.

Manyetik alanda hareket eden yüklü bir parçacığa etki eden kuvvete Lorentz kuvveti denir. Parçacığın yükü, alanın vektör çarpımı ve parçacığın hızıyla orantılıdır.

Amerikalı bilim insanları, beynin dünya düzlemi ile görüş düzlemi arasındaki açıyı ölçerek nesnelere olan mesafeyi tahmin ettiğini iddia ediyor.

Ayrıca biyolojide karotis sinüs, karotis sinüs ve venöz veya kavernöz sinüs gibi kavramlar kullanılmaktadır.

Biri temel özellikler canlı doğa, içinde meydana gelen süreçlerin çoğunun döngüsel doğasıdır.

Biyolojik ritimler, biyoritimler

Temel dünya ritmi- Günlük ödenek.

Trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak bir biyoritim modeli oluşturulabilir.

Biyolojide trigonometri

Trigonometri ile hangi biyolojik süreçler ilişkilidir?

Biyolojik ritimler, bioritimler trigonometri ile ilişkilidir

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri kullanılarak bir biyoritim modeli oluşturulabilir. Bunu yapmak için kişinin doğum tarihini (gün, ay, yıl) ve tahmin süresini girmeniz gerekir.

Balığın sudaki hareketi, kuyruktaki bir noktayı sabitlerseniz ve ardından hareketin yörüngesini dikkate alırsanız sinüs veya kosinüs kanununa göre gerçekleşir.

Müzikal uyumun ortaya çıkışı

Antik çağlardan günümüze gelen efsanelere göre bunu yapmaya ilk çalışanlar Pisagor ve öğrencileri olmuştur.

Birinci, ikinci vb.de aynı notaya karşılık gelen frekanslar. oktavlar 1:2:4:8 ile ilişkilidir...

diyatonik ölçek 2:3:5

Mimarlıkta trigonometri

Barselona'daki Gaudi Çocuk Okulu

Londra'daki Swiss Re Insurance Corporation

Los Manantiales'teki Felix Candela Restoranı

Tercüme

Trigonometrinin hayatımıza ve kürelere yansıdığını düşünüyoruz.

önemli bir rol oynadığı alan genişleyecektir.

Bulundu Trigonometri, açıları ölçme ihtiyacıyla hayata geçirildi, ancak zamanla trigonometrik fonksiyonlar bilimine dönüştü.

Kanıtlanmış trigonometrinin doğada, müzikte, astronomide ve tıpta bulunan fizikle yakından ilişkili olduğu.

Düşünürüz Trigonometrinin hayatımıza yansıyacağını ve önemli rol oynadığı alanların genişleyeceğini düşünüyoruz.

7. Edebiyat.

Grafiklerin görüntüsünü uygulayan Maple6 programı

"Wikipedia"

Ucheba.ru

Math.ru "kütüphane"

Sunum içeriğini görüntüle
"Danilova T.V."

" Çevremizdeki dünyada ve insan yaşamında trigonometri "

Araştırma hedefleri:

Trigonometri ve gerçek hayat arasındaki bağlantı.

Sorunlu soru 1. Gerçek hayatta en sık hangi trigonometri kavramları kullanılır? 2. Trigonometrinin astronomi, fizik, biyoloji ve tıpta rolü nedir? 3. Mimarlık, müzik ve trigonometri arasında nasıl bir ilişki vardır?

Hipotez

Doğanın çoğu fiziksel olgusu, fizyolojik süreçler, müzik ve sanattaki modeller trigonometri ve trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak açıklanabilir.

Trigonometri nedir???

Trigonometri (Yunanca trigonon - üçgen, metro - metrik kelimesinden) - Açıların değerleri ile üçgenlerin kenarlarının uzunlukları arasındaki ilişkilerin yanı sıra trigonometrik fonksiyonların cebirsel kimliklerini inceleyen matematiğin mikro bölümü.

Trigonometrinin tarihi

Trigonometrinin kökenleri 3000 yıl öncesine, eski Mısır'a, Babil'e ve İndus Vadisi'ne kadar uzanıyor.

Trigonometri kelimesi ilk kez 1505 yılında Alman matematikçi Pitiscus'un bir kitabının başlığında karşımıza çıkıyor.

İlk kez, üçgenin kenarları ve açıları arasındaki bağımlılıklara dayalı üçgen çözme yöntemleri eski Yunan gökbilimcileri Hipparchus ve Ptolemy tarafından bulundu.

Eski insanlar bir ağacın yüksekliğini, gölgesinin uzunluğunu, yüksekliği bilinen bir direğin gölgesinin uzunluğuyla karşılaştırarak hesaplardı.

Yıldızlar, bir geminin denizdeki konumunu hesaplamak için kullanıldı.

Trigonometrinin gelişimindeki bir sonraki adım, 5. yüzyıldan 12. yüzyıla kadar olan dönemde Hintliler tarafından atıldı.

İÇİNDE Yunanlılardan farkı yianlar artık MM'nin tüm akorunu dikkate almaya ve hesaplamalarda kullanmaya başladı  karşılık gelen merkez açı, ancak yalnızca yarısı MR, yani sinüs  - merkez açının yarısı.

Kosinüs teriminin kendisi, Avrupalı bilim adamlarının çalışmalarında ilk kez 16. yüzyılın sonlarında sözde sözde çok daha sonra ortaya çıktı. « sinüsün tamamlayıcısı » yani Verilen açıyı 90'a tamamlayan açının sinüsü  . « Sinüs tamamlayıcısı » veya (Latince) sinüs tamamlayıcısı sinüs co veya co-sinus olarak kısaltılmaya başlandı.

Hintliler sinüsle birlikte trigonometriyi de tanıttılar kosinüs daha doğrusu hesaplamalarında kosinüs çizgisini kullanmaya başladılar. İlişkileri de biliyorlardı çünkü  =günah(90  -  ) ve günah 2  +çünkü 2  =r 2 ve ayrıca iki açının toplamının sinüsü ve farkı için formüller.

XVII - XIX yüzyıllarda. trigonometri olur

matematiksel analizin bölümlerinden biri.

Mekanikte geniş uygulama alanı bulur,

fizik ve teknoloji, özellikle ders çalışırken

salınım hareketleri ve diğerleri

periyodik süreçler.

Trigonometri ile ilgili ilk matematiksel çalışmaları olan Viète, trigonometrik fonksiyonların periyodiklik özelliklerini biliyordu.

Her periyodik olarak kanıtlandı

hareket olabilir

sunulan (herhangi bir dereceyle

doğruluk) asal sayıların toplamı şeklinde

harmonik titreşimler.

Kurucu analitik

teoriler

trigonometrik işlevler .

Leonard Euler

"Sonsuzların Analizine Giriş" (1748)

Sinüs, kosinüs vb.'yi yorumlar. gibi değil

trigonometrik çizgiler gerekli

çemberle ilgili ve nasıl

trigonometrik fonksiyonlar

taraflar arasında bir ilişki olarak görülüyor

sayılar gibi dik üçgen

miktarları.

Formüllerimden hariç tutuldu

R – tam sinüs, alma

R = 1 ve bunu şu şekilde basitleştirdik

kayıt ve hesaplama yöntemi.

Doktrini geliştirir

trigonometrik fonksiyonlar hakkında

herhangi bir argüman.

19. yüzyılda devam etti

teori geliştirme

trigonometrik

işlevler.

N.I. Lobaçevski

Lobaçevski şöyle yazıyor: "Geometrik değerlendirmeler, trigonometrinin başlangıcına kadar, trigonometrik fonksiyonların ayırt edici özelliklerini keşfetmeye hizmet edene kadar gereklidir... Buradan itibaren trigonometri, geometriden tamamen bağımsız hale gelir ve analizin tüm avantajlarına sahip olur."

Trigonometrinin gelişim aşamaları:

Trigonometri, açıları ölçme ihtiyacıyla hayata geçirildi.

Trigonometrinin ilk adımları, açının büyüklüğü ile özel olarak oluşturulmuş düz çizgi parçalarının oranı arasında bağlantı kurmaktı. Sonuç, düzlemsel üçgenleri çözme yeteneğidir.

Girilen trigonometrik fonksiyonların değerlerini tablolaştırma ihtiyacı.

Trigonometrik fonksiyonlar bağımsız araştırma nesnelerine dönüştü.

18. yüzyılda trigonometrik fonksiyonlar dahil edildi

matematiksel analiz sistemine dahil edilmiştir.

Trigonometri nerede kullanılır?

Trigonometrik hesaplamalar insan yaşamının hemen her alanında kullanılmaktadır. Astronomi, fizik, doğa, biyoloji, müzik, tıp ve daha birçok alanda kullanıldığını belirtmek gerekir.

Astronomide trigonometri

Üçgenleri çözme ihtiyacı ilk olarak astronomide keşfedildi; bu nedenle uzun süre trigonometri astronominin dallarından biri olarak geliştirildi ve incelendi.

Trigonometri, Hintli ortaçağ gökbilimcileri arasında da önemli boyutlara ulaştı.

Hintli gökbilimcilerin asıl başarısı akorların değiştirilmesiydi

ile ilgili çeşitli işlevleri tanıtmayı mümkün kılan sinüsler

dik üçgenin kenarları ve açıları ile.

Böylece Hindistan'da trigonometrinin başlangıcı atıldı.

trigonometrik büyüklüklerin incelenmesi olarak.

Hipparkhos

Fizikte trigonometri

Mekanik titreşimler

Harmonik titreşimler

Harmonik titreşimler

Harmonik salınım - Argümana bağımlılığın sinüs veya kosinüs fonksiyonu karakterine sahip olduğu, herhangi bir miktardaki periyodik değişim olgusu. Örneğin, bir miktar uyumlu bir şekilde salınır ve zamanla aşağıdaki gibi değişir:

veya

x'' + ω²x = 0 diferansiyel formunda genelleştirilmiş harmonik salınım.

Mekanik titreşimler

Mekanik titreşimler tam olarak eşit zaman aralıklarında tekrarlanan vücut hareketleridir. Bu fonksiyonun grafiksel temsili, salınım sürecinin zaman içindeki seyrinin görsel bir temsilini verir.

Basit mekanik salınım sistemlerine örnek olarak yay üzerindeki ağırlık veya matematiksel sarkaç verilebilir.

Matematik sarkaç

Şekil bir sarkacın salınımlarını göstermektedir; kosinüs adı verilen bir eğri boyunca hareket eder.

X ve Y eksenlerinde mermi yörüngesi ve vektör projeksiyonları

Şekil, vektörlerin X ve Y eksenlerindeki izdüşümlerinin sırasıyla eşit olduğunu göstermektedir.

υ x = υ o çünkü α

υ y = υ o sin α

Doğada trigonometri

Göz yanılması

doğal

yapay

karışık

Gökkuşağı teorisi

Gökkuşağı, güneş ışığının havada asılı kalan su damlacıkları tarafından kırılması sonucu ortaya çıkar. kırılma kanunu:

günah α /günah β = n 1 /N 2

burada n 1 =1, n 2 ≈1,33 sırasıyla hava ve suyun kırılma indisleridir, α geliş açısıdır ve β ışığın kırılma açısıdır.

Kuzey ışıkları

Yüklü güneş rüzgarı parçacıklarının gezegenlerin üst atmosferine nüfuz etmesi, gezegenin manyetik alanının güneş rüzgarı ile etkileşimi ile belirlenir.

Manyetik alanda hareket eden yüklü bir parçacığa etki eden kuvvete Lorentz kuvveti denir. Parçacığın yükü, alanın vektör çarpımı ve parçacığın hızıyla orantılıdır.

Amerikalı bilim insanları, beynin dünya düzlemi ile görüş düzlemi arasındaki açıyı ölçerek nesnelere olan mesafeyi tahmin ettiğini iddia ediyor.

Ayrıca biyolojide karotis sinüs, karotis sinüs ve venöz veya kavernöz sinüs gibi kavramlar kullanılmaktadır.

Trigonometri tıpta önemli bir rol oynar. Onun yardımıyla İranlı bilim adamları, aritmi durumlarında hesaplamalar için birkaç ek parametre de dahil olmak üzere 8 ifade, 32 katsayı ve 33 temel parametreden oluşan karmaşık bir cebirsel-trigonometrik denklem olan kalp formülünü keşfettiler.

Biri temel özellikler canlı doğa, içinde meydana gelen süreçlerin çoğunun döngüsel doğasıdır.

Biyolojik ritimler, biyoritimler– bunlar biyolojik süreçlerin doğasında ve yoğunluğunda az çok düzenli değişikliklerdir.

Temel dünya ritmi- Günlük ödenek.

Trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak bir biyoritim modeli oluşturulabilir.

Biyolojide trigonometri

Trigonometri ile hangi biyolojik süreçler ilişkilidir?

Trigonometri tıpta önemli bir rol oynar. Onun yardımıyla İranlı bilim adamları, aritmi durumlarında hesaplamalar için birkaç ek parametre de dahil olmak üzere 8 ifade, 32 katsayı ve 33 temel parametreden oluşan karmaşık bir cebirsel-trigonometrik denklem olan kalp formülünü keşfettiler.
Biyolojik ritimler, bioritimler trigonometri ile ilişkilidir.

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri kullanılarak bir biyoritim modeli oluşturulabilir.

Bunu yapmak için kişinin doğum tarihini (gün, ay, yıl) ve tahminin süresini girmeniz gerekir.

Biyolojide trigonometri

Balığın sudaki hareketi, kuyruktaki bir noktayı sabitlerseniz ve ardından hareketin yörüngesini dikkate alırsanız sinüs veya kosinüs kanununa göre gerçekleşir.

Balığın vücudu yüzerken y=tgx fonksiyonunun grafiğine benzeyen bir eğri şeklini alır.

Müzikal uyumun ortaya çıkışı

Antik çağlardan günümüze gelen efsanelere göre bunu yapmaya ilk çalışanlar Pisagor ve öğrencileri olmuştur.

Karşılık gelen frekanslar

birinci, ikinci vb.de aynı nota. oktavlar 1:2:4:8 ile ilişkilidir...

diyatonik ölçek 2:3:5

Müziğin kendine has bir geometrisi vardır

Dört sesin farklı akor türlerinden tetrahedron:

mavi – küçük aralıklar;

daha sıcak tonlar - daha fazla “boşalmış” akor sesi; Kırmızı küre, notalar arasında eşit aralıklarla en uyumlu akordur.

çünkü 2 C + günah 2 C = 1

AC– heykelin tepesinden kişinin gözlerine kadar olan mesafe,

BİR– heykelin yüksekliği,

günah C- bakış açısının sinüsü.

Mimarlıkta trigonometri

Barselona'daki Gaudi Çocuk Okulu

İsviçre Re Sigorta Şirketi Londrada

y = f (λ)çünkü θ

z = f (λ)sin θ

Felix Candela Los Manantiales'te Restoran

Bulundu Trigonometri, açıları ölçme ihtiyacıyla hayata geçirildi, ancak zamanla trigonometrik fonksiyonlar bilimine dönüştü.

Kanıtlanmış trigonometrinin doğada, müzikte, astronomide ve tıpta bulunan fizikle yakından ilişkili olduğu.

Düşünürüz Trigonometrinin hayatımıza yansıyacağını ve önemli rol oynadığı alanların genişleyeceğini düşünüyoruz.

Trigonometri gelişimde uzun bir yol kat etti. Ve şimdi trigonometrinin diğer bilimlere bağlı olmadığını ve diğer bilimlerin trigonometriye bağlı olduğunu güvenle söyleyebiliriz.

Maslova T.N. "Öğrenci Matematik Rehberi"
Grafiklerin görüntüsünü uygulayan Maple6 programı
"Wikipedia"
Ucheba.ru
Math.ru "kütüphane"
Antik çağlardan 19. yüzyılın başlarına kadar matematik tarihi 3 ciltte // ed. A.P. Yuşkeviç. Moskova, 1970 – cilt 1-3 E. T. Bell Matematiğin Yaratıcıları.
Modern matematiğin öncülleri // ed. S. N. Niro. Moskova, 1983 A. N. Tikhonov, D.P. Kostomarov.
Uygulamalı matematikle ilgili hikayeler//Moskova, 1979. AV Voloshinov. Matematik ve sanat // Moskova, 1992. Gazete Matematiği. 1 Eylül 1998 tarihli gazetenin eki.

Ters trigonometrik fonksiyonların hayatta uygulanması. Trigonometrinin tarihi: ortaya çıkışı ve gelişimi

Belge içeriğini görüntüle "Danilova T.V.-senaryosu"

Sunum içeriğini görüntüle "Danilova T.V."

Belge içeriğini görüntüle
"Danilova T.V.-senaryosu"

Sunum içeriğini görüntüle
"Danilova T.V."