Fonksiyonun azalan olduğunu kanıtlayın. Ders konusu: "Artan ve azalan fonksiyonlar"

Günümüzde lise öğrencilerinin yaratıcılık, etkinlik, bağımsızlık, kendini gerçekleştirme ihtiyaçları ile matematik derslerinde bunun için ayrılan zamanın sınırlı olması arasında bir çelişki bulunmaktadır. 2006 yılından bu yana, öğrenciler tarafından bilinçli bir seçim yapabilmek için matematik derslerinde Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov'un derinlemesine matematik çalışmasını içeren “Cebir 7, 8, 9” ders kitaplarını kullanıyorum. Eğitim profilinin geliştirilmesi, öğrencilere artan matematik gereksinimleri düzeyinde çalışma fırsatı sağlanması, öğrenme motivasyonlarının geliştirilmesi.
Öğrencileri, kendilerinin yeni özellikleri ve ilişkileri "keşfetmeleri" ve bunları öğretmenden hazır bir biçimde almamaları için bağımsız araştırma faaliyetlerine nasıl dahil edebiliriz? Uzun yıllara dayanan iş deneyimi ve öğretimle ilgili geleneksel fikirleri değiştirme isteği, beni matematik derslerimde araştırma etkinliklerini kullanmaya itti. Elbette çalışma yöntemini, dersin yapısını değiştirmek ve öğrenme sürecinin düzenleyicisi işlevini üstlenmek, entelektüel düzeyi ne olursa olsun her öğrencinin temel etkinliklere sistematik olarak dahil edilmesini sağlayan bir işlev üstlenmek beni gerektirdi. Kendini geliştirmeye yönelik belirli bilgi ve hazırlığa sahip olmak.
Öğrencinin etkinliklere katılımının hem bilgi edinme derinliğini ve gücünü hem de değer sisteminin oluşumunu yani kendi kendini eğitmesini etkilediğini düşünüyorum. Öğrencilerin kendini geliştirme ve kendi kendine eğitim yeteneği, toplumla çatışmaya girmeden sürekli değişen dış koşullara başarılı bir şekilde uyum sağlamalarına olanak sağlayacaktır.

Bölüm konusu:"Fonksiyonların özellikleri".

Ders konusu:"Artan ve azalan fonksiyonlar."

Ders türü: yeni materyallerin incelenmesi ve başlangıçta uygulanmasıyla ilgili bir ders.

Ana hedefler:

Öğrencilerde yeni bir monotonik fonksiyon kavramının oluşumunu teşvik etmek;
Bilgiye, çiftler halinde çalışma yeteneğine karşı olumlu bir tutum geliştirmek;
Analitik düşüncenin gelişimini, kısmi arama bilişsel aktivite becerilerini teşvik etmek.

DERSİN İLERLEMESİ

I. Referans bilgilerinin güncellenmesi

– Fonksiyonu tanımlayın.
– Çizimde grafikleri gösterilen fonksiyonları hangi formül tanımlar? (Ek 2)

II. Yeni bilginin oluşumu

İşlev f(x) argümanın herhangi iki değeri için X kümesinde artan denir X 1 ve X 2 set X öyle ki X 2 > X f(x 2 ) > f(x 1 ) .
İşlev (X) argümanın herhangi iki değeri için X kümesinde azalan denir X 1 ve X 2 set X öyle ki X 2 > X 1, eşitsizlik geçerli f(x 2 ) <f(x 1 ) .
Bir X kümesinde artan veya bir X kümesinde azalan fonksiyona X kümesinde monoton denir.

Bazı fonksiyon türlerinin monotonluğunun doğasını öğrenelim: (Ek 4)
İşlev f(x)= – artıyor. Hadi kanıtlayalım.
Bu ifade ancak şu durumlarda anlamlıdır: X > 0. Bu nedenle D (F)= . Tek n için fonksiyon f(x) = x n tanımın tüm alanı boyunca, yani (- ; +) aralığı boyunca artar. (Ek 7)
Ters orantı, yani fonksiyon f(x)= (– ; 0) ve (0; + ) aralıklarının her birinde k> 0 azalır ve ne zaman k < 0 возрастает. (Приложение 8)

Monoton fonksiyonların bazı özelliklerini ele alalım (Ek 9):

IV. Pratik becerilerin oluşumu

Monoton fonksiyonların özelliklerini kullanma örnekleri:

Düz çizginin kaç noktada olduğunu bulalım en= 9 fonksiyonun grafiğiyle kesişir f(x) = + + .

Çözüm:

Fonksiyonlar en= , у = ve у = artan fonksiyonlardır (özellik 4). Artan fonksiyonların toplamı artan bir fonksiyondur (özellik 3). Ve artan bir fonksiyon, değerlerinin her birini yalnızca bir argüman değeri (özellik 1) için alır. Bu nedenle, eğer y = 9 düz çizgisi ortak noktalar fonksiyon grafiği ile f(x)= ++ , o zaman yalnızca bir nokta.
Seçim yaparak bunu bulabilirsiniz f(x)= 9 saat X= 3. Yani düzdür en= 9 fonksiyonun grafiğiyle kesişir f(x)= ++ M(3; 9) noktasında.

Denklemi çözelim X 3 – + = 0.

Çözüm:

Bunu görmek kolaydır X= 1 – denklemin kökü. Bu denklemin başka köklerinin olmadığını gösterelim. Aslında, fonksiyonun tanım alanı y = x 3 – + – pozitif sayılar kümesi. Bu kümede fonksiyon artar, çünkü fonksiyonların her biri en = X 3 , en= – ve en= (0; +) aralığında artar. Dolayısıyla bu denklemin kökleri X= 1, yok.

Artan ve azalan fonksiyonlar

işlev sen = F(X) [ aralığında artan olarak adlandırılır A, B], eğer herhangi bir nokta çifti içinse X Ve X", a ≤ x eşitsizliği geçerlidir F(X) ≤ F (X") ve kesinlikle artıyor - eğer eşitsizlik F (X) F(X"). Azalan ve tam olarak azalan fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır. Örneğin, fonksiyon en = X 2 (pirinç. , a) segmentte kesinlikle artar ve

(pirinç. , b) bu segmentte kesinlikle azalır. F (X Artan fonksiyonlar belirlendi F (X) ve azalan F (X)↓. Türevlenebilir bir fonksiyon için ) segmentte artıyordu [, B A F"(X], türevinin olması gerekli ve yeterlidir ) segmentte artıyordu [, B].

) [ üzerinde negatif değildi en = F (X Bir fonksiyondaki artış ve azalışın yanı sıra, bir fonksiyonun bir noktadaki artış ve azalışını da dikkate alıyoruz. İşlev X Noktayı içeren bir aralık (α, β) varsa 0 X 0, herhangi bir nokta için X(α, β), x> X 0 , eşitsizlik geçerli F (X 0) ≤ F (X) ve herhangi bir nokta için X(α, β), x 0, eşitsizlik geçerli F (X) ≤ f (X 0). Bir fonksiyonun noktadaki kesin artışı benzer şekilde tanımlanır. X 0. Eğer F"(X 0) > 0, ardından işlev F(X) noktada kesinlikle artar X 0. Eğer F (X) aralığın her noktasında artar ( A, B), sonra bu aralıkta artar.

S. B. Stechkin.

Büyük Sovyet ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .

Diğer sözlüklerde “Artan ve azalan fonksiyonlar”ın neler olduğuna bakın:

Matematiksel analiz kavramları. f(x) fonksiyonuna, NÜFUSUN YAŞ YAPISI segmentindeki farklı sayıların oranının arttırılması denir. yaş grupları nüfus. Doğum ve ölüm oranlarına, insanların yaşam beklentisine bağlı... Büyük Ansiklopedik Sözlük

Matematiksel analiz kavramları. Herhangi bir x1 ve x2 nokta çifti için a≤x1 ... ise, f(x) fonksiyonunun parça üzerinde artan olduğu söylenir. Ansiklopedik Sözlük

Matematik kavramları. analiz. f(x) fonksiyonu çağrılır. herhangi bir x1 ve x2 noktası çifti için [a, b] segmentinde artan ve<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük

Fonksiyonların türevlerini ve diferansiyellerini ve bunların fonksiyon çalışmalarına uygulamalarını inceleyen bir matematik dalı. D. ve. Bağımsız bir matematik disiplinine dönüşmesi I. Newton ve G. Leibniz'in (17. yüzyılın ikinci yarısı) isimleriyle ilişkilidir. Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Türev ve diferansiyel kavramlarının ve bunların fonksiyon çalışmalarına nasıl uygulandığının incelendiği bir matematik dalı. D.'nin gelişimi ve. İntegral hesabının gelişimiyle yakından ilgilidir. İçerikleri de ayrılamaz. Birlikte temeli oluştururlar... ... Matematik Ansiklopedisi

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. işlevi. "Görüntüleme" isteği buraya yönlendirilir; diğer anlamlara da bakın... Vikipedi

Aristoteles ve Peripatetikler- Aristoteles Sorusu Aristoteles'in Hayatı Aristoteles 384/383 yılında doğmuştur. M.Ö. e. Makedonya sınırındaki Stagira'da. Nikomakhos adındaki babası, Philip'in babası Makedon kralı Amyntas'ın hizmetinde bir doktordu. Ailesi ile birlikte genç Aristoteles... ... Kökeninden günümüze Batı felsefesi

- (QCD), kuantum görüntüsünde yerleşik kuarklar ve gluonların güçlü etkileşiminin kuantum alan teorisi. "renk" gösterge simetrisine dayanan elektrodinamik (QED). QED'den farklı olarak QCD'deki fermiyonlar tamamlayıcı özelliklere sahiptir. serbestlik derecesi kuantumu. sayı,… … Fiziksel ansiklopedi

I Heart Kalp (Latince cor, Yunanca kardia), pompa görevi görerek dolaşım sistemindeki kanın hareketini sağlayan içi boş bir fibromüsküler organdır. Anatomi Kalp, Perikardın ön mediasteninde (Mediastinum) bulunur. Tıp ansiklopedisi

Bir bitkinin yaşamı, diğer canlı organizmalar gibi, birbiriyle ilişkili karmaşık süreçlerden oluşur; Bunlardan en önemlisi bilindiği gibi çevreyle madde alışverişidir. Çevre, kaynağı olan... ... Biyolojik ansiklopedi

Artan bir fonksiyonun tanımı.

İşlev y=f(x) aralıkta artar X, eğer varsa ve eşitsizlik devam ediyor. Başka bir deyişle, daha büyük bir argüman değeri, daha büyük bir fonksiyon değerine karşılık gelir.

Azalan fonksiyonun tanımı.

İşlev y=f(x) aralıkta azalır X, eğer varsa ve eşitsizlik geçerli . Başka bir deyişle, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir.

NOT: Eğer fonksiyon artan veya azalan aralığın sonunda tanımlı ve sürekli ise (a;b) yani ne zaman x=a Ve x=b, bu noktalar artan veya azalan aralığına dahil edilir. Bu, aralıkta artan ve azalan fonksiyonun tanımlarıyla çelişmez X.

Örneğin, temel temel fonksiyonların özelliklerinden şunu biliyoruz: y=sinx argümanın tüm gerçek değerleri için tanımlanmış ve süreklidir. Dolayısıyla sinüs fonksiyonunun aralıktaki artışından, aralıkta arttığını söyleyebiliriz.

Ekstrem noktalar, bir fonksiyonun ekstremumları.

Nokta denir maksimum nokta işlevler y=f(x) eğer herkes içinse X komşuluğundan eşitsizlik geçerlidir. Fonksiyonun maksimum noktasındaki değerine denir. fonksiyonun maksimumu ve belirtir.

Nokta denir minimum puan işlevler y=f(x) eğer herkes içinse X komşuluğundan eşitsizlik geçerlidir. Fonksiyonun minimum noktasındaki değerine denir. minimum fonksiyon ve belirtir.

Bir noktanın komşuluğu aralık olarak anlaşılır , burada yeterince küçük bir pozitif sayı var.

Minimum ve maksimum noktalara denir ekstrem noktalar ve ekstrem noktalara karşılık gelen fonksiyonun değerleri denir fonksiyonun ekstremum değeri.

Bir fonksiyonun ekstremumlarını, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleriyle karıştırmayın.

İlk şekilde fonksiyonun segment üzerindeki en büyük değeri maksimum noktaya ulaşılır ve fonksiyonun maksimumuna eşit olur ve ikinci şekilde - fonksiyonun en yüksek değerine o noktada ulaşılır x=b Bu bir maksimum nokta değildir.

Artan ve azalan fonksiyonlar için yeterli koşullar.

Bir fonksiyonun artması ve azalması için yeterli koşullar (işaretler) esas alınarak fonksiyonun artış ve azalış aralıkları bulunur.

Bir aralıkta artan ve azalan fonksiyonların işaretlerinin formülasyonları şunlardır:

fonksiyonun türevi ise y=f(x) herkes için olumlu X aralıktan X, o zaman fonksiyon artar X;

fonksiyonun türevi ise y=f(x) herkes için olumsuz X aralıktan X, o zaman fonksiyon azalır X.

Dolayısıyla bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için şunlar gereklidir:

Algoritmayı açıklamak için artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulma örneğini ele alalım.

Örnek.

Artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulun.

Çözüm.

İlk adım fonksiyonun tanımını bulmaktır. Örneğimizde paydadaki ifadenin sıfıra gitmemesi gerekir, dolayısıyla .

Fonksiyonun türevini bulmaya geçelim:

Yeterli bir kritere dayanarak bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için tanım alanındaki eşitsizlikleri çözeriz. Aralık yönteminin bir genellemesini kullanalım. Payın tek gerçek kökü x = 2 ve payda sıfıra gider x=0. Bu noktalar tanım alanını, fonksiyonun türevinin işaretini koruduğu aralıklara böler. Bu noktaları sayı doğrusunda işaretleyelim. Türevin pozitif veya negatif olduğu aralıkları geleneksel olarak artılar ve eksilerle belirtiriz. Aşağıdaki oklar şematik olarak fonksiyonun karşılık gelen aralıktaki artışını veya azalmasını göstermektedir.

Böylece, Ve .

bu noktada x=2 fonksiyon tanımlı ve sürekli olduğundan hem artan hem de azalan aralıklara eklenmelidir. bu noktada x=0 fonksiyon tanımlı olmadığından bu noktayı gerekli aralıklara dahil etmiyoruz.

Elde edilen sonuçları karşılaştırmak için fonksiyonun bir grafiğini sunuyoruz.

Cevap:

fonksiyon artar , aralıkta azalır (0;2] .

Artan ve azalan aralıklar, bir fonksiyonun davranışı hakkında çok önemli bilgiler sağlar. Bunları bulmak, fonksiyonu inceleme ve grafiği çizme sürecinin bir parçasıdır. Ayrıca fonksiyonun belirli bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri bulunurken, artandan azalan veya azalandan artana değişimin olduğu uç noktalara özellikle dikkat edilir.

Bu yazıda gerekli tanımları vereceğiz, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta artması ve azalması için yeterli bir kriter ve bir ekstremun varlığı için yeterli koşulları formüle edeceğiz ve bu teorinin tamamını örnek ve problemlerin çözümüne uygulayacağız.

Sayfada gezinme.

Belirli bir aralıkta artan ve azalan fonksiyon.

Artan bir fonksiyonun tanımı.

y=f(x) fonksiyonu herhangi biri için X aralığında artar ve eşitsizlik devam ediyor. Başka bir deyişle, daha büyük bir argüman değeri, daha büyük bir fonksiyon değerine karşılık gelir.

Azalan fonksiyonun tanımı.

y=f(x) fonksiyonu herhangi biri için X aralığında azalır ve eşitsizlik geçerli . Başka bir deyişle, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir.

NOT: Eğer fonksiyon artan veya azalan aralığın (a;b) uçlarında, yani x=a ve x=b'de tanımlı ve sürekli ise bu noktalar artan veya azalan aralığına dahil edilir. Bu, X aralığında artan ve azalan bir fonksiyonun tanımlarıyla çelişmez.

Örneğin, temel temel fonksiyonların özelliklerinden, argümanın tüm gerçek değerleri için y=sinx'in tanımlı ve sürekli olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla sinüs fonksiyonunun aralıktaki artışından, aralıkta arttığını söyleyebiliriz.

Ekstrem noktalar, bir fonksiyonun ekstremumları.

Nokta denir maksimum nokta Eşitsizlik komşuluğundaki tüm x'ler için doğruysa y=f(x) işlevi. Fonksiyonun maksimum noktasındaki değerine denir. fonksiyonun maksimumu ve belirtir.

Nokta denir minimum puan Eşitsizlik komşuluğundaki tüm x'ler için doğruysa y=f(x) işlevi. Fonksiyonun minimum noktasındaki değerine denir. minimum fonksiyon ve belirtir.

Bir noktanın komşuluğu aralık olarak anlaşılır , burada yeterince küçük bir pozitif sayıdır.

Minimum ve maksimum noktalara denir ekstrem noktalar ve ekstremum noktalara karşılık gelen fonksiyon değerlerine denir fonksiyonun ekstremum değeri.

Bir fonksiyonun ekstremumlarını, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleriyle karıştırmayın.

Birinci şekilde fonksiyonun segment üzerindeki en büyük değeri maksimum noktasında elde edilmiş ve fonksiyonun maksimumuna eşit olup, ikinci şekilde fonksiyonun en büyük değeri x=b noktasında elde edilmiştir. , bu maksimum nokta değil.

Artan ve azalan fonksiyonlar için yeterli koşullar.

Bir fonksiyonun artması ve azalması için yeterli koşullar (işaretler) esas alınarak fonksiyonun artış ve azalış aralıkları bulunur.

Bir aralıkta artan ve azalan fonksiyonların işaretlerinin formülasyonları şunlardır:

y=f(x) fonksiyonunun türevi X aralığındaki herhangi bir x için pozitifse, bu durumda fonksiyon X kadar artar;
y=f(x) fonksiyonunun türevi X aralığındaki herhangi bir x için negatifse, bu durumda fonksiyon X üzerinde azalır.

Dolayısıyla bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için şunlar gereklidir:

Algoritmayı açıklamak için artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulma örneğini ele alalım.

Örnek.

Artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulun.

Çözüm.

İlk adım, fonksiyonun tanım tanım kümesini bulmaktır. Örneğimizde paydadaki ifadenin sıfıra gitmemesi gerekir, dolayısıyla .

Fonksiyonun türevini bulmaya geçelim:

Yeterli bir kritere dayanarak bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için tanım alanındaki eşitsizlikleri çözeriz. Aralık yönteminin bir genellemesini kullanalım. Payın tek gerçek kökü x = 2'dir ve payda x=0'da sıfıra gider. Bu noktalar tanım alanını, fonksiyonun türevinin işaretini koruduğu aralıklara böler. Bu noktaları sayı doğrusunda işaretleyelim. Türevin pozitif veya negatif olduğu aralıkları geleneksel olarak artılar ve eksilerle belirtiriz. Aşağıdaki oklar şematik olarak fonksiyonun karşılık gelen aralıktaki artışını veya azalmasını göstermektedir.

Böylece, Ve .

bu noktada x=2 fonksiyonu tanımlı ve sürekli olduğundan hem artan hem de azalan aralıklara eklenmelidir. x=0 noktasında fonksiyon tanımlı olmadığından bu noktayı gerekli aralıklara dahil etmiyoruz.

Elde edilen sonuçları karşılaştırmak için fonksiyonun bir grafiğini sunuyoruz.

Cevap:

Fonksiyon şu şekilde artar: , (0;2] aralığında azalır.

Bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşullar.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimumlarını bulmak için, eğer fonksiyon koşulları sağlıyorsa, ekstremumun üç işaretinden herhangi birini kullanabilirsiniz. Bunlardan en yaygın ve kullanışlı olanı ilkidir.

Bir ekstremum için ilk yeterli koşul.

y=f(x) fonksiyonu noktanın -komşuluğunda türevlenebilir ve noktanın kendisinde sürekli olsun.

Başka bir deyişle:

Bir fonksiyonun ekstremumunun ilk işaretine dayanarak ekstremum noktalarını bulmaya yönelik algoritma.

Fonksiyonun tanım tanım kümesini buluyoruz.
Fonksiyonun türevini tanım tanım kümesinde buluyoruz.
Payın sıfırlarını, türevin paydasının sıfırlarını ve türevin bulunmadığı tanım alanının noktalarını belirleriz (listelenen tüm noktalara denir) olası ekstrem noktalar türev bu noktalardan geçerek işaretini değiştirebilir).
Bu noktalar fonksiyonun tanım bölgesini türevin işaretini koruduğu aralıklara böler. Her bir aralıktaki türevin işaretlerini belirleriz (örneğin, bir fonksiyonun türevinin belirli bir aralıktaki herhangi bir noktadaki değerini hesaplayarak).
Fonksiyonun sürekli olduğu ve türevin işaret değiştirdiği noktaları seçiyoruz - bunlar uç noktalardır.

Çok fazla kelime var, bir fonksiyonun ekstremumunun ilk yeterli koşulunu kullanarak ekstremum noktalarını ve ekstremumlarını bulma konusunda birkaç örneğe bakalım.

Örnek.

Fonksiyonun ekstremumunu bulun.

Çözüm.

Bir fonksiyonun tanım kümesi, x=2 dışındaki gerçek sayılar kümesinin tamamıdır.

Türevi bulma:

Payın sıfırları x=-1 ve x=5 noktalarıdır, x=2 noktasında payda sıfıra gider. Bu noktaları sayı ekseninde işaretleyin

Her aralıkta türevin işaretlerini belirleriz; bunu yapmak için her aralığın herhangi bir noktasında, örneğin x=-2, x=0, x=3 noktalarında türevin değerini hesaplarız. x=6.

Bu nedenle aralıkta türev pozitiftir (şekilde bu aralığın üzerine artı işareti koyduk). Aynı şekilde

Bu nedenle ikinci aralığın üstüne bir eksi, üçüncünün üstüne bir eksi ve dördüncünün üstüne bir artı koyarız.

Geriye fonksiyonun sürekli olduğu ve türevinin işaret değiştirdiği noktaları seçmek kalıyor. Bunlar ekstrem noktalardır.

bu noktada x=-1 fonksiyon süreklidir ve türevi artıdan eksiye işaret değiştirir, dolayısıyla ekstremun ilk işaretine göre x=-1 maksimum noktadır, fonksiyonun maksimumu buna karşılık gelir .

bu noktada x=5 fonksiyon süreklidir ve türevi eksiden artıya işaret değiştirir, dolayısıyla x=-1 minimum noktadır, fonksiyonun minimumu buna karşılık gelir .

Grafik illüstrasyon.

Cevap:

LÜTFEN DİKKAT EDİN: Bir ekstremum için ilk yeterli kriter, fonksiyonun noktanın kendisinde türevlenebilirliğini gerektirmez.

Örnek.

Fonksiyonun ekstremum noktalarını ve ekstremumlarını bulun .

Çözüm.

Bir fonksiyonun tanım kümesi gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. Fonksiyonun kendisi şu şekilde yazılabilir:

Fonksiyonun türevini bulalım:

bu noktada x=0 türevi mevcut değildir, çünkü argüman sıfıra yaklaştığında tek taraflı limitlerin değerleri çakışmaz:

Aynı zamanda, orijinal fonksiyon x=0 noktasında süreklidir (fonksiyonun süreklilik açısından incelenmesi bölümüne bakınız):

Türevin sıfıra gittiği argümanın değerini bulalım:

Elde edilen tüm noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim ve her bir aralıktaki türevin işaretini belirleyelim. Bunu yapmak için, türevin değerlerini her aralığın isteğe bağlı noktalarında hesaplıyoruz, örneğin x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.