Mekanik bir sistemin dengesi için gerekli koşullar. Statik

Mekanik denge

Mekanik denge- Parçacıkların her birine etki eden tüm kuvvetlerin toplamının sıfıra eşit olduğu ve herhangi bir dönme eksenine göre gövdeye uygulanan tüm kuvvetlerin momentlerinin toplamının da sıfır olduğu mekanik bir sistem durumu.

Denge durumunda, cisim seçilen referans çerçevesinde hareketsizdir (hız vektörü sıfırdır), ya düz bir çizgide düzgün bir şekilde hareket eder ya da teğetsel ivme olmadan döner.

Sistem enerjisi aracılığıyla tanımlama

Enerji ve kuvvetler temel ilişkilerle ilişkili olduğundan bu tanım birinciye eşdeğerdir. Ancak enerji açısından tanım, denge konumunun kararlılığı hakkında bilgi sağlayacak şekilde genişletilebilir.

Denge türleri

Tek serbestlik dereceli bir sisteme örnek verelim. Bu durumda denge konumu için yeterli koşul, incelenen noktada yerel bir ekstremun varlığı olacaktır. Bilindiği gibi türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremumunun koşulu, birinci türevinin sıfıra eşit olmasıdır. Bu noktanın ne zaman minimum veya maksimum olduğunu belirlemek için ikinci türevini analiz etmeniz gerekir. Denge pozisyonunun stabilitesi aşağıdaki seçeneklerle karakterize edilir:

• kararsız denge;
• istikrarlı denge;
• kayıtsız denge.

Kararsız denge

İkinci türevin negatif olması durumunda sistemin potansiyel enerjisi yerel maksimum durumundadır. Bu, denge pozisyonunun dengesiz. Sistem küçük bir mesafe yer değiştirirse, sisteme etki eden kuvvetler nedeniyle hareketine devam edecektir.

Kararlı denge

İkinci türev > 0: yerel minimumda potansiyel enerji, denge konumu sürdürülebilir(bkz. Lagrange'ın denge kararlılığı teoremi). Sistem küçük bir mesafe yer değiştirirse denge durumuna geri dönecektir. Vücudun ağırlık merkezi tüm olası komşu konumlara kıyasla en düşük konumda bulunuyorsa denge stabildir.

Kayıtsız Denge

İkinci türev = 0: bu bölgede enerji değişmez ve denge konumu kayıtsız. Sistem küçük bir mesafe hareket ettirilirse yeni konumunda kalacaktır.

Çok sayıda serbestlik derecesine sahip sistemlerde kararlılık

Eğer bir sistem birkaç serbestlik derecesine sahipse, o zaman bazı yönlerdeki kaymalarda dengenin istikrarlı olduğu, diğerlerinde ise kararsız olduğu ortaya çıkabilir. Böyle bir durumun en basit örneği “eyer” veya “geçiş”tir (bu yere bir resim koymak iyi olur).

Birkaç serbestlik derecesine sahip bir sistemin dengesi ancak kararlı olması durumunda kararlı olacaktır Her yönden.

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde “Mekanik dengenin” ne olduğuna bakın:

mekanik denge- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. mekanik denge vok. mekanizmalar Gleichgewicht, n rusya. mekanik denge, n pranc. équilibre mécanique, m … Fizikos terminų žodynas

- ... Vikipedi

Faz geçişleri Madde I ... Vikipedi

Bir termodinamik sistemin, izolasyon koşulları altında yeterince uzun bir süre sonra kendiliğinden geldiği durum. çevre bundan sonra sistem durumu parametreleri artık zaman içinde değişmez. İzolasyon... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

DENGE- (1) üzerine etki eden R. kuvvetlerinin bir sonucu olan bir cismin mekanik hareketsizlik durumu (vücuda etki eden tüm kuvvetlerin toplamı sıfıra eşit olduğunda, yani ivme kazandırmaz) . R. ayırt edilir: a) kararlı, ...'dan sapıldığında ... ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi

Mekanik durum Verilen referans sistemine göre tüm noktalarının hareketsiz olduğu sistem. Bu referans sistemi eylemsizse, R.M. çağrılır. mutlak, aksi takdirde göreceli. Vücudun davranışına bağlı olarak... Büyük Ansiklopedik Politeknik Sözlüğü

Termodinamik denge, tüm kimyasal, difüzyon, nükleer ve diğer işlemler için her noktada ileri reaksiyonun hızının ters reaksiyonun hızına eşit olduğu izole bir termodinamik sistemin durumudur. Termodinamik... ... Vikipedi

Denge- değişkenlerin seçimden bağımsız olarak sistemin tam bir açıklamasıyla sabit kaldığı bir maddenin en olası makro durumu. Denge ayırt edilir: mekanik, termodinamik, kimyasal, faz vb.: Bakın... ... ansiklopedik sözlük metalurjide

İçindekiler 1 Klasik tanım 2 Sistemin enerjisi aracılığıyla tanım 3 Denge türleri ... Wikipedia

Faz geçişleri Bu makale Termodinamik serisinin bir parçasıdır. Faz kavramı Faz dengesi Kuantum faz geçişi Termodinamiğin bölümleri Termodinamiğin ilkeleri Durum denklemi ... Wikipedia

Mekanik bir sistemin dengesi- Bu, mekanik sistemin tüm noktalarının, söz konusu referans sisteme göre hareketsiz olduğu durumdur. Referans çerçevesi eylemsizse denge denir mutlak eylemsiz değilse - akraba.

Denge koşullarını mutlak olarak bulmak sağlam onu zihinsel olarak çok sayıda oldukça küçük öğelere ayırmak gerekir ve bunların her biri maddi bir nokta ile temsil edilebilir. Tüm bu unsurlar birbirleriyle etkileşime girer - bu etkileşim kuvvetlerine denir. dahili. Ayrıca dış kuvvetler vücudun birçok noktasına etki edebilir.

Newton'un ikinci yasasına göre, bir noktanın ivmesinin sıfır olması (ve duran bir noktanın ivmesinin sıfır olması) için o noktaya etki eden kuvvetlerin geometrik toplamının sıfır olması gerekir. Bir cisim hareketsizse, o zaman onun tüm noktaları (elementleri) de hareketsizdir. Bu nedenle vücudun herhangi bir noktası için şunu yazabiliriz:

etki eden tüm dış ve iç kuvvetlerin geometrik toplamı nerede Ben Vücudun inci elemanı.

Denklem, bir cismin dengede olması için, bu cismin herhangi bir elemanına etki eden tüm kuvvetlerin geometrik toplamının sıfıra eşit olmasının gerekli ve yeterli olduğu anlamına gelir.

Bundan bir cismin (cisimler sisteminin) dengesi için ilk koşulu elde etmek kolaydır. Bunu yapmak için vücudun tüm elemanları için denklemi özetlemek yeterlidir:

.

Newton'un üçüncü yasasına göre ikinci toplam sıfıra eşittir: Sistemin tüm iç kuvvetlerinin vektör toplamı sıfıra eşittir, çünkü herhangi bir iç kuvvet eşit büyüklükte ve zıt yönde bir kuvvete karşılık gelir.

Buradan,

.

Katı bir cismin dengesi için ilk koşul(vücut sistemleri) cisme uygulanan tüm dış kuvvetlerin geometrik toplamının sıfıra eşitliğidir.

Bu koşul gereklidir ancak yeterli değildir. Geometrik toplamı da sıfır olan bir kuvvet çiftinin dönme hareketini hatırlayarak bunu doğrulamak kolaydır.

Katı bir cismin dengesi için ikinci koşul herhangi bir eksene göre cisme etki eden tüm dış kuvvetlerin momentlerinin toplamının sıfıra eşitliğidir.

Dolayısıyla, keyfi sayıda dış kuvvet durumunda katı bir cismin denge koşulları şöyle görünür:

.

dikkate alacağım maddi nokta Hareketi yalnızca bir serbestlik derecesine sahip olacak şekilde sınırlıdır.

Bu, konumunun x koordinatı gibi tek bir miktar kullanılarak belirlenebileceği anlamına gelir. Bir örnek, dikey bir düzlemde bükülmüş sabit bir tel boyunca sürtünme olmadan kayan bir toptur (Şekil 26.1a).

Başka bir örnek, bir yayın ucuna tutturulmuş, sürtünme olmadan yatay bir kılavuza doğru kayan bir toptur (Şekil 26.2, a).

Topa korunumlu bir kuvvet etki eder: ilk durumda bu yerçekimi kuvvetidir, ikinci durumda ise deforme olmuş bir yayın elastik kuvvetidir. Potansiyel enerji grafikleri Şekil 2'de gösterilmektedir. 26.1,b ve 26.2,b.

Toplar tel boyunca sürtünme olmadan hareket ettiğinden, telin topa uyguladığı kuvvet her iki durumda da topun hızına diktir ve dolayısıyla top üzerinde herhangi bir iş yapmaz. Bu nedenle enerji tasarrufu gerçekleşir:

(26.1)'den şu sonuç çıkar: kinetik enerji ancak eğlenceli enerjinin azalması nedeniyle artabilir. Dolayısıyla top, hızı sıfır olacak ve potansiyel enerjisi minimum değere sahip olacak bir durumdaysa, dış etki olmadan hareket edemeyecek, yani dengede olacaktır.

U'nun minimumları grafiklerdeki eşit değerlere karşılık gelir (Şekil 26.2'de deforme olmayan takımın uzunluğu vardır) Minimum potansiyel enerjinin koşulu şu şekildedir:

t(22.4)'e göre, (26.2) koşulu şuna eşdeğerdir:

(U'nun yalnızca bir değişkenin fonksiyonu olduğu durumda). Böylece minimum potansiyel enerjiye karşılık gelen konum, cisme etki eden kuvvetin sıfır olması özelliğine sahiptir.

Şekil 2'de gösterilen durumda. 26.1'de, (26.2) ve (26.3) koşulları da x'in eşit olması için (yani U'nun maksimumu için) karşılanmıştır. Bu değere göre belirlenen topun konumu da dengede olacaktır. Ancak bu denge, 'deki dengeden farklı olarak kararsız olacaktır: Topu bu konumdan hafifçe kaldırmak yeterlidir ve topu konumdan uzaklaştıracak bir kuvvet ortaya çıkacaktır. Top sabit bir denge konumundan (bunun için) yer değiştirdiğinde ortaya çıkan kuvvetler, topu denge konumuna geri döndürme eğiliminde olacak şekilde yönlendirilir.

Potansiyel enerjiyi ifade eden t fonksiyonunun türünü bildiğimizde, parçacığın hareketinin doğası hakkında bir takım sonuçlara varabiliriz. Bunu Şekil 2'de gösterilen grafiği kullanarak açıklayalım. 26.1, b. Toplam enerji şekilde gösterilen değere sahipse, parçacık ya ila sonsuz aralığında ya da aralığında hareket edebilir. Potansiyel enerji toplam enerjiden büyük olamayacağı için parçacık bölgeye nüfuz edemez (bu gerçekleşirse kinetik enerji negatif olur). Dolayısıyla bölge, belirli miktarda toplam enerji verildiğinde bir parçacığın içinden geçemeyeceği potansiyel bir bariyeri temsil eder. Bu alana potansiyel kuyusu denir.

Bir parçacık hareketi sırasında sonsuza uzaklaşamıyorsa harekete sonlu denir. Parçacık istenilen mesafeye gidebiliyorsa harekete sonsuz denir. Potansiyel kuyusundaki bir parçacık sonlu harekete maruz kalır. Negatif yüklü bir parçacığın hareketi tam Enerjiçekici kuvvetlerin merkezi alanında (potansiyel enerjinin sonsuza kadar yok olduğu varsayılmaktadır).

İdeal bağlantılara sahip bir sistemin dengesi için veya'nın gerekli ve yeterli olduğu bilinmektedir. (7)

Genelleştirilmiş koordinatların değişimleri birbirinden bağımsız olduğundan ve genel olarak sıfıra eşit olmadığından,
,
,…,
.

Holonomik sınırlamalı, durağan, ideal kısıtlara sahip bir sistemin dengesi için, seçilen genelleştirilmiş koordinatlara karşılık gelen tüm genelleştirilmiş kuvvetlerin sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Potansiyel kuvvetler durumu:

Sistem potansiyel bir kuvvet alanı içerisindeyse, o zaman

,
,…,

,
,…,

Yani, sistemin denge konumları yalnızca kuvvet fonksiyonunun geçerli olduğu genelleştirilmiş koordinatların değerleri için olabilir. sen ve potansiyel enerji P aşırı değerlere sahip ( maksimum veya dk.).

Denge kararlılığı kavramı.

Sistemin dengede olabileceği konumları belirledikten sonra bu konumlardan hangilerinin gerçekleştirilebilir, hangilerinin gerçekleştirilemez olduğunu yani hangi konumun kararlı, hangisinin kararsız olduğunu tespit etmek mümkündür.

Genel olarak gerekli denge kararlılığının işareti Lyapunov'a göre şu şekilde formüle edilebilir:

Genelleştirilmiş koordinatların küçük modül değerlerini ve hızlarını vererek sistemi denge konumundan çıkaralım. Sistemin daha ayrıntılı incelenmesi üzerine, genelleştirilmiş koordinatlar ve hızları büyüklük olarak küçük kalıyorsa, yani sistem denge konumundan çok fazla sapmıyorsa, o zaman böyle bir denge konumu kararlıdır.

Denge kararlılığı için yeterli koşul sistem belirlendi Lagrange-Dirichlet teoremi :

İdeal bağlantılara sahip bir mekanik sistemin denge konumunda potansiyel enerji minimum bir değere sahipse, o zaman böyle bir denge konumu kararlıdır.

,
- sürdürülebilir.

§ 107 ve (35) veya (38)'deki denklemleri (16) şu şekilde sunalım:

Madde 74'te belirtilen yasaların sonuçları olan bu denklemlerden statiğin tüm başlangıç ​​sonuçlarının elde edildiğini gösterelim.

1. Mekanik bir sistem hareketsizse, tüm noktalarının hızları sıfıra eşittir ve dolayısıyla O herhangi bir noktadır. O zaman denklemler (40) şunu verir:

Dolayısıyla koşullar (40), herhangi bir mekanik sistemin dengesi için gerekli koşullardır. Bu sonuç özellikle § 2'de formüle edilen katılaşma ilkesini içerir.

Ancak herhangi bir sistem için (40) koşullarının yeterli denge koşulları olmadığı açıktır. Örneğin, Şekil 2'de gösteriliyorsa. 274 nokta serbesttir, daha sonra kuvvetlerin etkisi altında birbirlerine doğru hareket edebilirler, ancak bu kuvvetler için koşullar (40) karşılanacaktır.

Mekanik bir sistemin dengesi için gerekli ve yeterli koşullar § 139 ve 144'te sunulacaktır.

2. Mutlak rijit bir cisme etki eden kuvvetler için (40) koşullarının sadece gerekli değil aynı zamanda yeterli denge koşulları olduğunu kanıtlayalım. İstirahat halindeki serbest katı bir cismin (40) koşullarını karşılayan bir kuvvetler sistemi tarafından etki edilmeye başladığını varsayalım; burada O herhangi bir noktadır, yani özellikle C noktasıdır. O zaman denklemler (40) verir ve cisim başlangıçta hareketsizdi, sonra C noktasında hareketsizdir ve cisim yalnızca belirli bir anlık eksen etrafında c açısal hızıyla dönebilir (bkz. § 60). Daha sonra formül (33)'e göre vücut . Ancak vektörün eksen üzerine bir izdüşümü vardır ve o zamandan beri ve buradan itibaren bunu takip eder, yani koşullar (40) karşılandığında vücut hareketsiz kalır.

3. Önceki sonuçlardan, özellikle § 2'de formüle edilen ilk hükümler 1 ve 2 takip etmektedir, çünkü Şekil 2'de gösterilen iki kuvvetin birbirine eşit olduğu açıktır. 2, koşulları (40) karşılar ve dengelidir ve eğer vücuda etki eden kuvvetlere dengeli bir kuvvetler sistemi eklersek (veya onlardan çıkarırsak), yani koşulları (40) karşılarsak, o zaman ne bu koşullar ne de denklemler ( 40), vücudun hareketinin belirlenmesi değişmeyecektir.