Bilimsel elektronik kütüphane. Bir düzlemin bir doğru ile kesişme noktasını oluşturma Bir doğrunun bir düzlemle 3 kesişme noktası

Bir çizginin bir düzlemle kesişme noktasını belirlemek için aşağıdaki algoritmayı kullanırız: çizgiyi yardımcı bir düzlem içine alırız, bu iki düzlemin (verilen ve yardımcı) kesişme çizgisini ve düzlemin kesişme çizgisini buluruz. verilen doğrunun kesişimindeki düzlemler istenilen noktayı verecektir. İnşaattaki son adım, yarışan noktaları kullanarak hattın görünürlüğünü belirlemektir.

Örnek 1. Düzlem izlerle tanımlanır (Şek. 70)

1. Bir doğrunun kesişme noktasını oluşturmak ben bir düzlemle, belirli bir konuma sahip bir yardımcı düzlemin düz bir çizgi boyunca çizilmesi gerekir, örneğin önden çıkıntı yapan β π 2, ben"" f oβ , f oβ – iz toplama, h oβ x (Şekil 71).

2. Kesişme hattının oluşturulması MN verilen ve yardımcı düzlem M"=hoα ∩ h oβ, N""= f oβ ∩ f oα (Şekil 72).

3. Kesişme noktasını belirleyin İLE verilen düz çizgi ben kesişme çizgisi ile MN. K"=M"N"∩l ", K""– çizilen projeksiyon bağlantı hattının kesiştiği yerde K" ve ben".

4. Doğrudan görünürlük ben Bir düzlemin belirtilmesi durumunda onu izlerle tanımlamayız.

Örnek 2. Düz bir çizginin çıkıntı yapan bir düzlemle kesişimi (Şekil 73).

Düz bir çizginin çıkıntılı bir düzlemle kesişme noktasını oluştururken görev basitleştirilir, çünkü İstenilen noktanın projeksiyonlarından biri toplama izinin üzerinde yer alacaktır. Şekil 73 yatay olarak çıkıntı yapan bir düzlemi göstermektedir. Aranan nokta İLE aynı anda α düzlemine ve doğruya ait olacaktır A.

Örnek 3 . Düzlem düz bir şekil ile tanımlanır (Şekil 74).

Doğrudan yoluyla ben belirli bir konumda yardımcı bir düzlem çizeriz, örneğin yatay olarak çıkıntı yapan bir β π 1 . ben"hoβ, hoβ – iz toplama, f oβ x (Şekil 75).

2. Kesişme hattının oluşturulması MN verilen ve yardımcı düzlemler. M"=A"C"∩ hoβ M"" A""C"" ve N"=B"C"∩ hoβ N"" B""C""(Şek. 76).

3. Kesişme noktasının oluşturulması İLE verilen düz çizgi ben kesişme çizgisi ile MN. K""= M""N""∩l"". İLE"çizilen projeksiyon bağlantı hattının kesiştiği noktada yer alır. K"" ve M"N".

4. Δ'ya göre çizginin görünürlüğünü belirleyin ABC rakip noktaları kullanmak.

Uçağa göre görünürlüğün belirlenmesi π2.Önden projeksiyona dikkat edin 1"" ile çakışıyor 2"" . Yatay projeksiyon 2" üzerine not Bir "C", A 1" Açık ben". Yatay projeksiyon 1" önde yatıyor 2" 2"" nispeten görünmez π2. Nokta 1 l düz çizgisi üzerinde yer alır, görülebilir π2 bu nedenle önden projeksiyon ben" 1"2""den İLE"" noktada görülebilir İLE"" görünürlük tersine döndü.

Çizginin görünürlüğünü belirleyelim ben uçağa göre π 1. Yatay projeksiyona dikkat edin 3" yatay projeksiyonla çakışan M.M"" A""C"" zaten işaretlenmiş 3""ben"". Önden projeksiyon M""ön projeksiyonun üzerinde yer alır 3"" bu nedenle nokta M görünür akraba π 1. Nokta 3 yatıyor ben bu nedenle, M"≡3" ile İLE" yatay projeksiyon ben" görünmez. Yatay projeksiyonda İLE" görünürlük tersine döndü. Δ'nın ötesinde ABC dümdüz ben her yerde görülebilir.

Bu bölümde bir doğrunun bir düzlemle kesişme noktasının koordinatlarının, bu düzlemi tanımlayan denklemler verildiğinde nasıl bulunacağı anlatılmaktadır. Bir doğrunun bir düzlemle kesişme noktası kavramı ve bir doğrunun bir düzlemle kesişme noktasının koordinatlarını bulmanın iki yolu ele alınacaktır.

Teorinin derinlemesine incelenmesi için nokta, düz çizgi, düzlem kavramıyla düşünmeye başlamak gerekir. Nokta ve düz çizgi kavramı hem düzlemde hem de uzayda ele alınır. Ayrıntılı bir değerlendirme için uzayda düz çizgiler ve düzlemler konusuna dönmek gerekir.

Düzlem ve uzaya göre çizginin konumunda çeşitli farklılıklar vardır:

• düz bir çizgi bir düzlemde yer alır;
• düz bir çizgi bir düzleme paraleldir;
• düz bir çizgi bir düzlemle kesişir.

Üçüncü durumu ele alırsak, bir doğru ile bir düzlem kesiştiğinde, bunların ortak bir nokta oluşturduğunu, buna da doğru ile düzlemin kesişme noktası adını verdiklerini açıkça görebiliriz. Bir örnek kullanarak bu duruma bakalım.

Bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulma

Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sistemi O x y z tanıtıldı. Her düz çizginin kendi denklemi vardır ve her düzlem kendi verilen denklemine karşılık gelir, her noktanın belirli sayıda gerçek sayısı - koordinatları vardır.

Kesişme koordinatları konusunu ayrıntılı olarak anlamak için uzay ve düzlem denklemlerindeki her türlü düz çizgi denklemini bilmeniz gerekir. bu durumda bir denklem türünden diğerine geçiş hakkında bilgi sahibi olmak faydalı olacaktır.

Bir doğru ile bir düzlemin belirli bir kesişimine dayanan bir problem düşünün. kavşakların koordinatlarını bulmaktır.

Örnek 1

Koordinatları - 2, 3, - 5 olan M 0 noktasının, x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 düz çizgisinin x - 2 y - z + 3 = düzlemiyle kesişme noktası olup olamayacağını hesaplayın. 0.

Çözüm

Bir nokta belirli bir doğruya ait olduğunda kesişim noktasının koordinatları her iki denklemin çözümüdür. Tanımdan, kesişme noktasında ortak bir noktanın oluştuğunu anlıyoruz. Sorunu çözmek için M 0 noktasının koordinatlarını her iki denklemde de yerine koyup hesaplamanız gerekir. Eğer kesişme noktası ise, o zaman her iki denklem de karşılık gelecektir.

- 2, 3, - 5 noktasının koordinatlarını hayal edelim ve şunu elde edelim:

2 + 3 - 1 = 3 - 3 = - 5 + 2 3 ⇔ - 1 = - 1 = - 1 - 2 - 2 3 - (- 5) + 3 = 0 ⇔ 0 = 0

Doğru eşitlikleri elde ettiğimiz için M 0 noktasının verilen doğrunun düzlemle kesişme noktası olduğu sonucuna varırız.

Cevap: Koordinatlarla verilen nokta kesişim noktasıdır.

Kesişme noktasının koordinatları her iki denklemin çözümü ise kesişirler.

İlk yöntem, bir doğru ile bir düzlemin kesişim yerinin koordinatlarını bulmaktır.

Dikdörtgen koordinat sisteminin bir α düzlemi ile bir düz çizgi belirtildiğinde, bunların M 0 noktasında kesiştiği bilinmektedir. Öncelikle, A 1 x düzlemlerinin kesişimi olan bir düz çizgi ile A x + B y + C z + D = 0 formundaki belirli bir düzlem denklemi için belirli bir kesişme noktasının koordinatlarını arayalım. + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ve A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Uzayda bir çizgiyi tanımlamanın bu yöntemi, bir çizginin denklemleri ve kesişen iki düzlemin denklemleri makalesinde tartışılmaktadır.

İhtiyacımız olan a düz çizgisinin ve α düzleminin koordinatları her iki denklemi de sağlamalıdır. Böylece, forma sahip bir doğrusal denklem sistemi belirtilir.

A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Sistemi çözmek, her kimliği gerçek bir eşitliğe dönüştürmek anlamına gelir. Bu çözümle A x + B y + C z + D = 0, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 formundaki 3 düzlemin kesişme koordinatlarını belirlediğimize dikkat edilmelidir. , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Malzemeyi pekiştirmek için bu sorunları çözmeyi düşüneceğiz.

Örnek 2

Düz çizgi, kesişen iki düzlem x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 denklemiyle tanımlanır ve başka bir 3 x - z + 7 = 0 ile kesişir. Kesişme noktasının koordinatlarını bulmak gerekir.

Çözüm

x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 3 x - z + 7 = 0 formundaki bir sistemi derleyip çözerek gerekli koordinatları elde ederiz.

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü konusuna dikkat etmelisiniz.

X - y = - 3 5 x + 2 z = - 8 3 x - z = - 7 formundaki bir denklem sistemini alalım ve sistemin ana matrisinin determinantını kullanarak hesaplamalar yapalım. Bunu anlıyoruz

∆ = 1 - 1 0 5 0 2 3 0 - 1 = 1 0 (- 1) + (- 1) 2 3 + 0 5 0 - 0 0 3 - 1 2 0 - (- 1) · 5 · (- 1 ) = - 11

Matrisin determinantı sıfıra eşit olmadığından sistemin tek çözümü vardır. Bunu yapmak için Cramer'in yöntemini kullanacağız. Bu durum için çok uygun ve uygun kabul edilir.

∆ x = - 3 - 1 0 - 8 0 2 - 7 0 - 1 = (- 3) 0 (- 1) + (- 1) 2 (- 7) + 0 (- 8) 0 - - 0 0 (- 7) - (- 3) 2 0 - (- 1) (- 8) (- 1) = 22 ⇒ x = ∆ x ∆ = 22 - 11 = - 2 ∆ y = 1 - 3 0 5 - 8 2 3 - 7 - 1 = 1 · (- 8) · (- 1) + (- 3) · 2 · 3 + 0 · 5 · (- 7) - - 0 · ( - 8) 3 - 1 2 (- 7) - (- 3) 5 (- 1) = - 11 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 11 - 11 = 1 ∆ z = 1 - 1 - 3 5 0 - 8 3 0 - 7 = 1 0 (- 7) + ( - 1) (- 8) 3 + (- 3) 5 0 - - (- 3) 0 3 - 1 · (- 8) · 0 - (- 1) · 5 · (- 7) = - 11 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 11 - 11 = 1

Belirli bir doğru ile düzlemin kesişme noktasının koordinatlarının (-2, 1, 1) değerine sahip olduğu sonucu çıkar.

Cevap: (- 2 , 1 , 1) .

A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = formundaki bir denklem sistemi 0'ın tek çözümü vardır. a çizgisi A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 gibi denklemlerle tanımlandığında ve α düzlemi A tarafından verildiğinde x + B y + C z + D = 0 ise kesişirler. Düz bir çizgi bir düzlemde yer aldığında sistem sonsuz sayıda çözüm üretir. Eğer paralellerse ortak kesişme noktaları olmadığından denklemin çözümü yoktur.

Örnek 3

z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 düz çizgisi ile 2 x - y - 3 z + 1 = 0 düzleminin kesişme noktasını bulun.

Çözüm

Verilen denklemlerin z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 2 x - y - 3 z + 1 = 0 sistemine dönüştürülmesi gerekmektedir. Tek bir çözümü olduğu zaman noktada gerekli kesişim koordinatlarını elde etmiş olacağız. Çözüm yoksa paralel olmaları veya düz çizginin aynı düzlemde olması şartıyla.

Sistemin ana matrisinin A = 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3, genişletilmiş matrisinin ise T = 0 0 1 1 2 - 1 0 2 2 - 1 - 3 - 1 olduğunu elde ederiz. Gauss yöntemini kullanarak A ve T matrisinin sırasını belirlememiz gerekiyor:

1 = 1 ≠ 0 , 0 1 - 1 0 = 1 ≠ 0 , 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 = 0 , 0 1 1 - 1 0 2 - 1 - 3 - 1 = 0

Daha sonra ana matrisin sıralamasının genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit olduğunu görüyoruz. Sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu gösteren Kronecker-Capelli teoremini uygulayalım. Z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 düz çizgisinin 2 x - y - 3 z + 1 = 0 düzlemine ait olduğunu, bunların kesişmelerinin imkansızlığını ve ortak bir noktanın varlığını gösterir.

Cevap: kesişme noktasının koordinatları yoktur.

Örnek 4

x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 düz çizgisinin ve x + 4 y - 7 z + 2 = 0 düzleminin kesişimi verildiğinde, kesişme noktasının koordinatlarını bulun.

Çözüm

Verilen denklemleri x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 formundaki bir sistemde birleştirmek gereklidir. Çözmek için Gauss yöntemini kullanıyoruz. Onun yardımıyla mevcut tüm çözümleri kısa sürede belirleyeceğiz. Bunu yapmak için yazalım

x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 ⇔ x + z = - 1 2 x + y = 4 x + 4 y - 7 z = - 2 ⇔ ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 4 y - 8 z = - 1 ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 0 = - 25

Gauss yöntemini uyguladıktan sonra denklem sisteminin çözümü olmadığı için eşitliğin yanlış olduğu ortaya çıktı.

x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 düz çizgisi ile x + 4 y - 7 z + 2 = 0 düzleminin kesişme noktası olmadığı sonucuna varırız. Kesişmedikleri için noktanın koordinatlarını bulmanın imkansız olduğu sonucu çıkıyor.

Cevap: Doğru düzleme paralel olduğundan kesişme noktası yoktur.

Parametrik veya kanonik bir denklemle düz bir çizgi verildiğinde, buradan a düz çizgisini tanımlayan kesişen düzlemlerin denklemini bulabilir ve ardından kesişme noktasının gerekli koordinatlarını arayabilirsiniz. Bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için kullanılan başka bir yöntem daha vardır.

Bir nokta bulmanın ikinci yöntemi, α ​​düzlemini M 0 noktasında kesen bir düz çizginin belirlenmesiyle başlar. Belirli bir düzlem denklemi A x + B y + C z + D = 0 için belirli bir kesişme noktasının koordinatlarını bulmak gerekir. Düz çizgi a'yı x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, λ ∈ R formundaki parametrik denklemlerle tanımlarız.

A x + B y + C z + D = 0 x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ denkleminde ikame yapıldığında, ifade şunu alır: bilinmeyen λ'lı bir denklem formu. Bunu λ'ya göre çözmek gerekir, sonra kesiştikleri noktanın koordinatlarına karşılık gelen λ = λ 0'ı elde ederiz. Noktanın koordinatları x = x 1 + a x · λ 0 y = y 1 + a y · λ 0 z = z 1 + a z · λ 0'dan hesaplanır.

Bu yöntem aşağıda verilen örnekler kullanılarak daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Örnek 5

x = - 1 + 4 · λ y = 7 - 7 · λ z = 2 - 3 · λ, λ ∈ R çizgisinin x + 4 y + z - 2 = 0 düzlemiyle kesişme noktasının koordinatlarını bulun .

Çözüm

Sistemi çözmek için bir değişiklik yapmak gerekir. O zaman bunu anlıyoruz

1 + 4 λ + 4 7 - 7 λ + 2 - 3 λ - 2 = 0 ⇔ - 27 λ + 27 = 0 ⇔ λ = 1

Düzlemin doğru ile kesiştiği noktanın koordinatlarını λ = 1 değerindeki parametrik denklemleri kullanarak bulalım.

x = - 1 + 4 1 y = 7 - 7 1 z = 2 - 3 1 ⇔ x = 3 y = 0 z = - 1

Cevap: (3 , 0 , - 1) .

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, λ ∈ R formundaki bir çizgi A x + B y + C z + D = 0 düzlemine ait olduğunda , o zaman x = x 1 + a x · λ, y = y 1 + a y · λ, z = z 1 + a z · λ ifade düzleminin denklemini oraya koymak gerekir, o zaman bu formda bir özdeşlik elde ederiz 0 ≡ 0. Düzlem ve doğru paralelse kesişme noktası olmadığından yanlış eşitlik elde ederiz.

Bir çizgi, şu şekilde olan kanonik bir denklemle verilirse x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z , o zaman noktanın koordinatlarını ararken kanonikten parametriğe geçmek gerekir. doğrunun A x + B y + C z + D = 0 düzlemiyle kesişimi, yani x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ve Uzayda verilen bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için gerekli yöntemi uygulayacağız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bir doğru bir düzlemde yer almıyorsa ve ona paralel değilse düzlemle kesişir.
Bir çizginin bir düzlemle kesişme noktasını belirleme görevi aşağıdakilere iner:
1) yardımcı bir düzlem çizmek ( Soruna en basit grafiksel çözümü verecek yardımcı düzlemin seçilmesi önerilir.) bu hat üzerinden;
2) yardımcı düzlemin verilen düzlemle kesişme çizgisinin bulunması;
3) belirli bir düz çizginin düzlemlerin kesişme çizgisiyle ve dolayısıyla belirli bir düzlemle kesişme noktasının belirlenmesi.

Örnek 1. (Şekil 250, a)'da δ (δ 1 ) düzlemi ve AB düz çizgisi (A 1 B 1 ve A 2 B 2 ) verilmiştir; kesiştikleri noktayı belirlemek gerekir.

Bu durumda, yardımcı bir düzleme başvurmaya gerek yoktur, çünkü bu düzlem δ yatay çıkıntılıdır. Projeksiyon düzlemlerinin özelliğine göre, δ düzleminde yer alan kesişme noktasının yatay izdüşümü, yatay izdüşüm δ 1 ile birleşir.
Bu nedenle, AB düzlüğünün A 1 B 1 yatay çıkıntısının yatay çıkıntı δ 1 ile kesiştiği K 1 noktası, K kesişme noktasının yatay izdüşümüdür; ön projeksiyon K 2, ön projeksiyon A 2 B 2 ile kesişene kadar dikey bir iletişim hattı çizilerek belirlenir.
Örnek 2. Şekil 250b, AB düz çizgisinin önden çıkıntı yapan 8 düzlemiyle kesişme örneğini göstermektedir.

Örnek 1. Verilenler: a genel konumundaki bir düzlem ve AB genel konumundaki bir çizgi (A 1 B 1 A 2 B 2); kesişme noktasını bulmanız gerekir (Şekil 251, a).
Örneğin AB düz çizgisi boyunca bir yardımcı düzlem çiziyoruz. yatay olarak - çıkıntılıδ düzlemi (δ1), (Şekil 251, b)'de gösterildiği gibi; a düzlemini NM (N 1 M 1, N 2 M 2) düz çizgisi boyunca kesecek ve bu da C (C 1 C 2) noktasında AB (A 1 B 1 A 2 B 2) düz çizgisiyle kesişecektir. , üzerinde görülebilir (Şek. 251, c). C noktası AB doğrusu ile a düzleminin kesişme noktasıdır.

Örnek 2. (Şekil 252), yatay h'yi kullanarak AB düz çizgisinin genel bir düzlemle kesişme noktasının izdüşümlerini bulmanın bir örneğini gösterir.
Örnek 3. Verilenler: ABC üçgeni ve NM doğrusu; kesişme noktalarını belirlemek gerekir (Şekil 253, a).
Yatay projeksiyon düzlemini δ yardımcı düzlem olarak alalım, o zaman yatay projeksiyon og, NM düz çizgisinin yatay projeksiyonu N 1 M 1 ile birleşecek ve üçgenin kenarlarının projeksiyonlarını E 1 ve F 1 noktalarında kesecektir. (Şekil 253, b). E 1 F 1 segmenti kesişme çizgisinin yatay izdüşümü olacaktır. Daha sonra kesişme çizgisinin ön izdüşümünü buluyoruz: dikey iletişim çizgilerini kullanarak E 2 ve F 2 noktalarını elde ediyoruz, bunların içinden kesişme çizgisinin önden izdüşümü olacak düz bir E 2 F 2 çizgisi çiziyoruz.
E 2 F 2 doğrusu N 2 M 2 doğrusu ile K 2 noktasında kesişiyor. K2 noktası, MN düz çizgisinin EF düz çizgisiyle kesişme noktasının önden izdüşümü olacaktır; bu noktanın yatay izdüşümü K 1 dikey bir iletişim hattı kullanılarak belirlenir.
K noktası (K 1, K 2), bu MN çizgisinin bu ABC üçgeniyle kesişme noktası olacaktır, çünkü aynı anda onlara aittir, çünkü MN düz çizgisi, üçgenin düzleminde yatan EF çizgisiyle kesişir. ABC.

Alıştırma 1
Verilen köşe koordinatlarını kullanarak ABC üçgeninin karmaşık bir çizimini oluşturun. Üçgenin kenarlarının gerçek boyutunu bulun ve onu tam boyutta oluşturun. Aynı koordinatları kullanarak görsel bir görüntü oluşturun
Alıştırma 2
Çokgenin önden izdüşümü ve iki bitişik tarafının yatay izdüşümlerinden elde edilen verilere dayanarak, çokgenin yatay izdüşümünü tamamlayın.
Çokgen düzleminde rastgele bir üçgenin izdüşümlerini oluşturun. Çokgenin dışında fakat onunla aynı düzlemde yer alan bir nokta oluşturun (

Bu yazımızda “Doğruyu ve düzlemi tanımlayan denklemler verilmişse, doğru ile düzlemin kesişme noktasının koordinatları nasıl bulunur?” sorusuna cevap vereceğiz. Bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktası kavramıyla başlayalım. Daha sonra bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulmanın iki yolunu göstereceğiz. Materyali pekiştirmek için örneklere ayrıntılı çözümler düşünün.

Sayfada gezinme.

Bir çizgi ile düzlemin kesişme noktası - tanım.

Düz çizginin ve düzlemin uzaydaki göreceli konumu için üç olası seçenek vardır:

• düz bir çizgi bir düzlemde yer alır;
• düz bir çizgi bir düzleme paraleldir;
• düz bir çizgi bir düzlemle kesişir.

Üçüncü durumla ilgileniyoruz. “Düz bir çizgi ile bir düzlemin kesişmesi” ifadesinin ne anlama geldiğini hatırlayalım. Bir doğru ve bir düzlemin yalnızca bir ortak noktası varsa kesiştiği söylenir. Doğru ile düzlemin kesiştiği bu ortak noktaya denir. bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktası.

Grafiksel bir örnek verelim.

Bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulma.

Oxyz'i üç boyutlu uzayda tanıtalım. Şimdi, her çizgi bir tür düz çizgi denklemine karşılık gelir (makale onlara ayrılmıştır: uzaydaki bir çizginin denklem türleri), her düzlem bir düzlemin denklemine karşılık gelir (makaleyi okuyabilirsiniz: denklem türleri Bir düzlemin koordinatları) ve her nokta, sıralı bir sayı üçlüsüne (noktanın koordinatları) karşılık gelir. Daha fazla sunum, uzaydaki bir çizginin her türlü denklemi ve bir düzlemin her türlü denklemi hakkında bilgi sahibi olmanın yanı sıra bir denklem türünden diğerine geçme yeteneğini de içerir. Ancak paniğe kapılmayın, metin boyunca gerekli teoriye bağlantılar sunacağız.

Düz bir çizgi ile düzlemin kesişme noktasının belirlenmesine dayanarak çözümünü elde edebileceğimiz problemi öncelikle detaylı olarak inceleyelim. Bu görev bizi bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulmaya hazırlayacaktır.

Örnek.

Koordinatları olan M 0 noktası doğrunun kesişme noktası mıdır? ve uçaklar .

Çözüm.

Bir nokta belirli bir doğruya aitse, o zaman noktanın koordinatlarının doğrunun denklemlerini karşıladığını biliyoruz. Benzer şekilde, eğer bir nokta belirli bir düzlemde yer alıyorsa, o zaman noktanın koordinatları bu düzlemin denklemini karşılar. Tanım gereği, bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktası, doğru ile düzlemin ortak noktasıdır, bu durumda kesişme noktasının koordinatları hem doğrunun denklemlerini hem de düzlemin denklemini karşılar.

Dolayısıyla sorunu çözmek için, M 0 noktasının koordinatlarını verilen düz çizgi denklemlerine ve düzlem denklemine koymalıyız. Bu durumda tüm denklemler doğru eşitliğe dönüşürse, M 0 noktası verilen doğru ile düzlemin kesişme noktasıdır, aksi durumda M 0 noktası doğru ile düzlemin kesişme noktası değildir.

Noktanın koordinatlarını değiştirin :

Tüm denklemler gerçek eşitliklere dönüştü, bu nedenle M 0 noktası da düz çizgiye ait ve uçaklar yani M 0 belirtilen düz çizgi ile düzlemin kesişme noktasıdır.

Cevap:

Evet, dönem çizginin kesişme noktasıdır ve uçaklar .

Yani bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasının koordinatları hem doğrunun denklemlerini hem de düzlemin denklemini sağlar. Bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulurken bu gerçeği kullanacağız.

İlk yöntem, bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulmaktır.

Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde bir a düz çizgisi ve bir düzlem verilse, a düzü ile düzlemin M 0 noktasında kesiştiği bilinmektedir.

A doğrusu ile düzlemin kesişme noktasının gerekli koordinatları, daha önce de söylediğimiz gibi, hem a doğrusu denklemlerini hem de düzlem denklemini karşılar, dolayısıyla bir sistemin çözümü olarak bulunabilirler. formun doğrusal denklemleri . Bu doğrudur, çünkü bir doğrusal denklem sistemini çözmek sistemin her denklemini bir kimliğe dönüştürür.

Sorunun bu formülasyonuyla, aslında ve denklemleriyle belirtilen üç düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulduğumuzu unutmayın.

Malzemeyi pekiştirmek için bir örnek çözelim.

Örnek.

Kesişen iki düzlemin denklemleriyle verilen düz bir çizgi: , düzlemle kesişiyor . Doğrunun ve düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulun.

Çözüm.

Doğrunun ve düzlemin kesişme noktasının gerekli koordinatlarını formdaki bir denklem sistemini çözerek elde ederiz. . Bu durumda makaledeki bilgilere güveneceğiz.

Öncelikle denklem sistemini formda yeniden yazalım. ve sistemin ana matrisinin determinantını hesaplayın (gerekirse makaleye bakın):

Sistemin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğundan denklem sisteminin tek bir çözümü vardır. Bulmak için herhangi bir yöntemi kullanabilirsiniz. Kullanıyoruz:

Doğru ile düzlemin kesişme noktasının (-2, 1, 1) koordinatlarını bu şekilde elde ettik.

Cevap:

(-2, 1, 1) .

Denklem sisteminin dikkate alınması gerekir. a çizgisi denklemlerle tanımlanıyorsa benzersiz bir çözüme sahiptir ve denklemle tanımlanan düzlem kesişiyor. Eğer a düz çizgisi düzlemde yer alıyorsa sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Düzlem a'ya paralel ise denklem sisteminin çözümü yoktur.

Örnek.

Doğrunun kesişme noktasını bulun ve uçaklar mümkünse.

Çözüm.

“Mümkünse” cümlesi doğru ile düzlemin kesişemeyeceği anlamına gelir.

. Eğer bu denklem sisteminin tek bir çözümü varsa, o zaman bize doğru ile düzlemin kesişme noktasının istenen koordinatlarını verecektir. Eğer bu sistemin çözümü yoksa veya sonsuz sayıda çözümü varsa, o zaman kesişme noktasının koordinatlarını bulmak söz konusu olamaz çünkü düz çizgi ya düzleme paraleldir ya da bu düzlemde yer alır.

Sistemin ana matrisi şu şekildedir: ve genişletilmiş matris . A'yı ve T matrisinin rütbesini tanımlayalım:
. Yani ana matrisin rütbesi sistemin genişletilmiş matrisinin rütbesine eşittir ve ikiye eşittir. Dolayısıyla Kronecker-Capelli teoremine dayanarak denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü olduğu ileri sürülebilir.

Böylece düz bir uçakta yatıyor doğru ile düzlemin kesiştiği noktanın koordinatlarını bulmaktan söz edemeyiz.

Cevap:

Bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulmak imkansızdır.

Örnek.

Düz ise düzlemle kesişiyor ve kesişme noktalarının koordinatlarını buluyoruz.

Çözüm.

Verilen denklemlerden bir sistem oluşturalım . Çözümünü bulmak için kullanıyoruz. Gauss yöntemi, yazılı denklem sisteminin tek bir çözümü olup olmadığını, sonsuz sayıda çözümü olup olmadığını veya herhangi bir çözümü olmadığını belirlememize, aynı zamanda varsa çözüm bulmamıza da olanak sağlayacaktır.

Gauss yönteminin doğrudan geçişinden sonra sistemin son denklemi yanlış bir eşitlik haline geldi, bu nedenle denklem sisteminin çözümü yok. Buradan şu sonuca varıyoruz: düz çizgi ve uçağın ortak noktaları yoktur. Dolayısıyla kesişme noktalarının koordinatlarını bulmaktan söz edemeyiz.

Cevap:

Doğru düzleme paraleldir ve kesişme noktaları yoktur.

A çizgisi, uzaydaki bir doğrunun parametrik denklemlerine veya uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemlerine karşılık geliyorsa, o zaman a doğrusunu tanımlayan kesişen iki düzlemin denklemlerini elde edebileceğimizi ve daha sonra doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını bulabileceğimizi unutmayın. a ve düzlem ayrıştırılmış bir şekilde. Ancak şimdi anlatacağımız başka bir yöntemi kullanmak daha kolaydır.

77*. AB düz çizgisinin CDE üçgeniyle tanımlanan düzlemle kesişme noktasını bulun (Şekil 75, a).

Çözüm. Bilindiği gibi, bir düz çizginin genel bir düzlemle kesişme noktasını bulmak için, düz çizgi boyunca bir yardımcı düzlem (R) çizilmeli, bu düzlemin belirli bir düzlemle (1-2) kesişme çizgisi oluşturulmalıdır. ve bul

verilen ve inşa edilen çizgilerin kesişme noktası (K). K noktası, çizginin düzlemle istenen kesişme noktasıdır (Şekil 75, b). Yardımcı düzlem olarak genellikle yatay veya ön projeksiyon düzlemi kullanılır.

Şek. Şekil 75'te, c'de önden çıkıntı yapan bir R düzlemi AB düz çizgisi boyunca çizilir ve bunun R ϑ izi bir "c" ile çakışır. ufuk. Bu problemde düzlemin izine gerek yoktur ve bu nedenle gösterilmemiştir.

R düzlemi ile CDE üçgeni tarafından tanımlanan düzlemin kesişme çizgisini oluşturuyoruz (böyle bir yapının örneği için bkz. Problem 67). 1-2 çizgisini oluşturduktan sonra (Şekil 75, c), bunun AB düz çizgisi - K noktası (k, k") ile kesişme noktasını buluyoruz.

AB çizgisinin bir üçgen tarafından kaplanacak bölümlerini belirlemek için kesişen çizgiler üzerindeki noktaların konumunun analizini kullanmalısınız.

Örneğin, 1 ve 3 noktaları kesişen (sırasıyla) ED ve AB doğruları üzerindedir. Bu noktaların önden izdüşümleri çakışıyor, yani. 1. ve 3. noktalar kareden eşit uzaklıkta. N. Ama kareye olan uzaklıkları. V farklıdır: 3. nokta kareden daha uzaktadır. 1 noktasından V. Bu nedenle pl ile ilgili olarak. V noktası 3, nokta 1'i kapsar (görüş yönü S okuyla gösterilir). Sonuç olarak, AB düz çizgisi CDE üçgeninin önünden K noktasına geçer. K noktasından sola doğru AB düz çizgisi bir üçgen tarafından kaplanmıştır ve bu nedenle düz çizginin bu bölümü kesikli çizgiyle gösterilmiştir.

Ufuktaki görünmez bir alanı tanımlamak. AB düz çizgisinin izdüşümleri için sırasıyla AB ve CD düz çizgileri üzerinde yer alan 4 ve 5 noktalarını düşünün.

Bu noktalara s 1 yönünde baktığımızda ilk önce 5 noktasını görürüz. 4 noktası 5 noktası tarafından kapsanmıştır. Sonuç olarak buradaki AB doğrusu CDE üçgeni tarafından kapsanmakta ve bunun k noktasından noktasına olan izdüşümünün kesiti 4 kesikli çizgi ile gösterilmelidir. Bu durumda K noktası CDE üçgeninin konturunun içindeydi.

Kesişen elemanların göreceli konumu farklıysa, K noktasının üçgenin dışında olması mümkündür (Şekil 75, d). Bu, AB çizgisinin CDE üçgeni tarafından tanımlanan düzlemi bu üçgenin konturunun dışında kestiği anlamına gelir. AB, K noktasının arkasında (solda) görünmez hale gelir.

78. AB düz çizgisinin piramidin yüzleriyle kesişme noktalarını bulun (Şekil 76). Piramidin yüzleri üçgenlerle tanımlanan düzlemler olarak düşünülmelidir.

79. AB düz çizgisinin prizmanın yüzleriyle kesişme noktalarını bulun (Şekil 77). Prizmanın yüzleri paralel düz çizgilerle tanımlanan düzlemler olarak düşünülmelidir.

80*. AB düz çizgisinin P düzlemiyle kesişme noktalarını bulun (Şekil 78, a).

Çözüm. Önden çıkıntı yapan R düzlemini AB düz çizgisi boyunca çizeriz (Şekil 78, biv) (R ϑ izi "b" ile çakışır) ve AB boyunca verilen ve çizilen her iki düzlemin kesişiminin MN çizgisini oluştururuz (Şekil 78, biv) inşaat problem 70'de yapılana benzer). AB düz çizgisinin P düzlemiyle kesiştiği gerekli K(k, k") noktası, MN'nin AB ile kesişme noktasında bulunur.

Bu problemde A noktasından K noktasına kadar olan düz kesitin görünürlüğü açıktır; ancak daha karmaşık durumlarda düz çizginin görünür kısmı aşağıdakilere göre belirlenmelidir:

noktaların konumunun analizi. Örneğin, 1 noktasını (AB doğrusu üzerinde) ve N noktasını (P ϑ izi üzerinde) alarak. 1 noktasının kareye göre daha uzakta olduğunu görüyoruz. N noktasından V. Sonuç olarak, K noktasına kadar AB düz çizgisi görülebilir. K noktasının ötesinde düz çizgi kesikli çizgi olarak gösterilir ve görünmez. Ufkun görünürlüğü de benzer şekilde belirlenir. projeksiyonlar.

81. AB düz çizgisinin P düzlemiyle kesişme noktasını bulun (Şekil 79).

82*. AB düz çizgisinin P düzlemi ile kesişme noktasını bulun (Şekil 80, a).

Çözüm. AB düz çizgisi boyunca yatay olarak çıkıntı yapan bir R düzlemi çizeriz (R h'nin izi ab ile çakışır) ve P ve R düzlemlerinin kesişme çizgisini oluştururuz,

aynı isimli izlerinin kesişimindeki M ve N noktalarını kullanarak (Şekil 80, b ve c). İstenilen nokta (k", k), MN'nin AB ile kesişme noktasında bulunur. Şekil 80, d'de, K noktası W grafiği kullanılarak oluşturulur. P noktası profil çıkıntılı olduğundan (Şekil 80, b).

bu durumda k" profil izdüşümü, P ω izinin a"b" ile kesişme noktasında yer alır. k"'yi bilerek, k"'yi a"b" üzerinde ve k'yi ab üzerinde oluştururuz. AB düz çizgisinin görünür bölümleri şöyledir: 77 ve 80. problemlerdekiyle aynı şekilde belirlenir.

83. AB düz çizgisinin P düzlemiyle kesişme noktasını bulun (Şekil 81).

84*. AB düz çizgisinin CDE üçgeniyle tanımlanan düzlemle kesişme noktasını bulun (Şekil 82, a).

Çözüm. AB düz çizgisi boyunca (Şekil 82, b ve c) kareyi çiziyoruz. R, kareye paralel W. Verilen düzlemi MN düz çizgisi boyunca keser (m", n", m ve n noktaları, karşılık gelen tarafların aynı çıkıntılarıyla R ϑ ve R h izlerinin kesişme noktasında bulunur)

CDE üçgeni). AB ve MN doğruları profil olduğundan, bunların kesişme noktasını (K) bulmak için a"b" ve m"n" profil izdüşümlerini oluştururuz. k" projeksiyonu a"b" ile m"m"nin kesişiminde bulunur. k" kullanarak k"yi a"b" üzerine ve k'yi ab üzerinde oluştururuz.

85. EF düz çizgisinin ABCD dörtgeni tarafından tanımlanan düzlemle kesişme noktasını bulun (Şekil 83).