Birinci türevin geometrik ve mekanik anlamı. Türevin mekanik anlamı İkinci türevin fiziksel veya mekanik anlamı

20 numaralı talimat kartı

Takyryby/Ders: « İkinci türev ve fiziksel anlamı».

Maksaty/ Amaç:

Teğet denklemini ve teğetin OX eksenine eğim açısının tanjantını bulabilme. Bir fonksiyonun değişim hızını ve ivmesini bulabilme.

Çalışılan gerçekleri ve kavramları karşılaştırma ve sınıflandırma becerilerinin oluşması için koşullar yaratın.

Teğet denklemi bulmanın yanı sıra bir fonksiyonun ve ivmenin değişim oranını bulmada nihai sonuçlara ulaşmak için eğitim çalışmalarına karşı sorumlu bir tutum, irade ve azim geliştirmek.

Teorik materyal:

(Geometrik anlam türetilmiştir)

Bir fonksiyonun grafiğinin teğet denklemi:

Örnek 1: Fonksiyonun grafiğinin müstehcenlik 2 noktasındaki teğet denklemini bulalım.

Cevap: y = 4x-7

Fonksiyonun grafiğine apsis x o'nun bulunduğu noktadaki teğetin açısal katsayısı k, f / (x o)'ya eşittir (k= f / (x o)). Belirli bir noktada fonksiyonun grafiğine teğetin eğim açısı eşittir

arctg k = arctg f / (xo), yani. k= f / (x o)= tg

Örnek 2: Sinüs dalgası hangi açıda x eksenini orijinde kesiyor mu?

Belirli bir fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği açı, f(x) fonksiyonunun grafiğine bu noktada çizilen teğetin a eğimine eşittir. Türevi bulalım: Türevin geometrik anlamını hesaba katarsak: ve a = 60°. Cevap: =60 0 .

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her noktada bir türevi varsa, o zaman türevi bir fonksiyondur. Fonksiyonun da bir türevi olabilir, buna da denir ikinci dereceden türev işlevler (veya ikinci türev) ve sembolüyle gösterilirler.

Örnek 3: Fonksiyonun ikinci türevini bulun: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Öncelikle bu fonksiyonun birinci türevini bulalım f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2,

Daha sonra elde edilen birinci türevin ikinci türevini buluyoruz

f""x)=(3x 2 -8x+2)’’=6x-8. Cevap: f""x) = 6x-8.

(İkinci türevin mekanik anlamı)

Bir nokta doğrusal olarak hareket ediyorsa ve hareket yasası verilmişse, o zaman noktanın ivmesi yolun zamana göre ikinci türevine eşittir:

Maddi bir cismin hızı yolun birinci türevine eşittir:

Maddi bir cismin ivmesi hızın birinci türevine eşittir, yani:

Örnek 4: Vücut s (t) = 3 + 2t + t 2 (m) yasasına göre doğrusal olarak hareket eder. t = 3 s anındaki hızını ve ivmesini belirleyin. (Mesafe metre cinsinden, süre ise saniye cinsinden ölçülür).
Çözüm
v (T) = S (T) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
A (T) = v΄ (T) =(2+2t)’= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/sn). Cevap: 8 m/s; 2 m/s2 .

Pratik kısım:

1 seçenek	seçenek 2	Seçenek 3	Seçenek 4	Seçenek 5
Verilen M noktasından geçen teğetin x eksenine olan eğim açısının teğetini bulun fonksiyonun grafiği f.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
f fonksiyonunun grafiğine apsis x 0 olan noktadaki teğetin denklemini yazın.
f(x)=x 3 -1, x 0 =2	f(x)=x 2 +1, x 0 =1	f(x)= 2x-x 2, x 0 = -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
Apsis x 0 olan noktada f fonksiyonuna teğetin eğimini bulun.
Fonksiyonun ikinci türevini bulun:
			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
Vücut x (t) yasasına göre doğrusal olarak hareket eder. Şu andaki hızını ve ivmesini belirleyin zaman t. (Yer değiştirme metre cinsinden, süre ise saniye cinsinden ölçülür).
x(t)=t 2 -3t, t=4	x(t)=t 3 +2t, t=1	x(t)=2t 3 -t 2 , t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x(t)=t 4 -0,5t 2 =2, t=0,5

Kontrol soruları:

Türevin fiziksel anlamını ne düşünüyorsunuz - anlık hız mı yoksa ortalama hız mı?

Bir fonksiyonun grafiğine herhangi bir noktadan çizilen teğet ile türev kavramı arasındaki bağlantı nedir?

M(x 0 ;f(x 0)) noktasındaki bir fonksiyonun grafiğine teğetin tanımı nedir?

İkinci türevin mekanik anlamı nedir?

Türev(bir noktadaki fonksiyonlar) - bir fonksiyonun (belirli bir noktada) değişim oranını karakterize eden temel diferansiyel hesaplama kavramı. Eğer böyle bir limit mevcutsa, argümanın artışı sıfıra yaklaşırken, bir fonksiyonun artışının argümanının artışına oranının limiti olarak tanımlanır. Sonlu bir türevi olan (bir noktada) bir fonksiyona diferansiyellenebilir (o noktada) denir.

Türev. Biraz fonksiyon düşünelim sen = F (X ) iki noktada X 0 ve X 0 + : F (X 0) ve F (X 0+). Burada through, argümandaki bazı küçük değişiklikleri belirtir. argüman artışı; buna göre iki fonksiyon değeri arasındaki fark: F (X 0 + )  F (X 0 ) denir fonksiyon artışı.Türev işlevler sen = F (X ) noktada X 0 limit denir:

Bu limit mevcutsa fonksiyon F (X ) denir türevlenebilir noktada X 0. Bir fonksiyonun türevi F (X ) aşağıdaki gibi gösterilir:

Türevin geometrik anlamı. Fonksiyonun grafiğini düşünün sen = F (X ):

Şekil 1'den fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki A ve B noktası için açıkça görülmektedir:

AB sekantının eğim açısı nerede.

Dolayısıyla fark oranı sekantın eğimine eşittir. A noktasını sabitleyip B noktasını ona doğru hareket ettirirseniz, sınırsız olarak azalır ve 0'a yaklaşır ve AB sekantı AC teğetine yaklaşır. Bu nedenle fark oranının limiti, A noktasındaki teğetin eğimine eşittir. Şöyle olur: Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, bu fonksiyonun grafiğinin o noktadaki teğetinin eğimidir. Bu nedir geometrik anlamı türev.

Teğet denklemi. Fonksiyonun A noktasındaki grafiğine teğet denklemini türetelim ( X 0 , F (X 0 )). Genel olarak bir doğrunun eğim katsayılı denklemi F ’(X 0 ) şu forma sahiptir:

sen = F ’(X 0 ) · x + b .

Bulmak B, Teğetin A noktasından geçmesi gerçeğinden yararlanalım:

F (X 0 ) = F ’(X 0 ) · X 0 + b ,

buradan, B = F (X 0 ) – F ’(X 0 ) · X 0 ve bunun yerine bu ifadeyi kullanarak B, alacağız teğet denklem:

sen =F (X 0 ) + F ’(X 0 ) · ( x – x 0 ) .

Türevin mekanik anlamı. En basit durumu ele alalım: maddi bir noktanın koordinat ekseni boyunca hareketi ve hareket yasası verilmiştir: koordinat X hareket noktası - bilinen fonksiyon X (T) zaman T. Şu andan itibaren zaman aralığı boyunca T 0 ila T 0 + nokta bir mesafe hareket eder: X (T 0 + )  X (T 0) = ve o ortalama sürat eşittir: v A =  . 0'da, ortalama hız belirli bir değere yönelir; buna anlık hız v ( T 0 ) zamanın maddi noktası T 0. Ancak türevin tanımı gereği elimizde:

buradan, v (T 0 ) = x' (T 0 ), yani hız koordinatın türevidir İle zaman. Bu nedir mekanik anlamda türev . Aynı şekilde, ivme, hızın zamana göre türevidir: A = v' (T).

8. Türevler ve türev alma kuralları tablosu

Türevin ne olduğundan “Türevin geometrik anlamı” yazımızda bahsetmiştik. Bir fonksiyon bir grafikle veriliyorsa, her noktadaki türevi, fonksiyonun grafiğine olan teğetinin tanjantına eşittir. Ve eğer fonksiyon bir formülle verilmişse, türev tablosu ve türev alma kuralları, yani türevi bulma kuralları size yardımcı olacaktır.

Düzlem üzerinde maddi bir nokta verilsin. Koordinat ekseni boyunca hareketinin yasası, $ x(t) $ yasasıyla tanımlanır; burada $ t $, zamanı belirtir. Daha sonra $ t_0 $ ile $ t_0 + \Delta t $ arasındaki süre boyunca nokta $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $ yolunu geçer. Şekline dönüştü ortalama sürat böyle bir nokta şu formülle bulunur: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Eğer $ \Delta t $ sıfıra yaklaşıyorsa, o zaman ortalama hızın değeri adı verilen bir değere yönelecektir. anlık hız$t_0$ noktasında:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Türevi limit yoluyla tanımlayarak, maddi bir noktanın yolunun hızı ile hareket kanunu arasında bir bağlantı elde ederiz:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Çözüm örnekleri

örnek 1

$ x(t) = t^2+3t-1 $ yasasına göre hareket ederek, $ t_0 = 1 $ zamanında maddi bir noktanın anlık hızını hesaplayın.

Çözüm

Türevin mekanik anlamını tanımlayarak maddi bir noktanın hız yasasını elde ederiz: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ Sorun koşullarından $ t_0 = 1 $ zaman anını bildiğimizde, zamanın bu andaki hızını buluyoruz: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ $ t_0 = 1 $ anındaki noktanın anlık hızının $ v = 5 $'a eşit olduğunu bulduk. Sorununuzu çözemezseniz bize gönderin. Detaylı çözüm sunacağız. Hesaplamanın ilerlemesini görüntüleyebilecek ve bilgi alabileceksiniz. Bu, öğretmeninizden notunuzu zamanında almanıza yardımcı olacaktır!

Cevap

$$ v(t_0) = 5 $$

Örnek 2

Maddi bir noktanın hareketi $ x(t)=t^2-t+3 $ yasasıyla verilmektedir. Zamanın hangi noktasında $ t_0 $ bu noktanın hızının sıfır olacağını bulun.

Çözüm

Hız, hareket yolu yasasının bir türevi olduğundan:

Türevin mekanik anlamı

Türevin mekanik yorumu ilk kez I. Newton tarafından yapılmıştır. Şöyledir: Maddi bir noktanın belirli bir andaki hareket hızı, yolun zamana göre türevine eşittir, yani. Dolayısıyla, maddi bir noktanın hareket yasası bir denklemle veriliyorsa, o zaman noktanın herhangi bir belirli andaki anlık hızını bulmak için türevi bulmanız ve buna karşılık gelen t değerini yerine koymanız gerekir.

İkinci Dereceden Türev ve Mekanik Anlamı

Elde ediyoruz (Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. “matematik” s. 240 ders kitabında yapılanlardan denklem):

Böylece, Belirli bir anda bir cismin doğrusal hareketinin ivmesi, belirli bir an için hesaplanan yolun zamana göre ikinci türevine eşittir. Bu, ikinci türevin mekanik anlamıdır.

Diferansiyelin tanımı ve geometrik anlamı

Tanım 4. Bir fonksiyonun artışının, fonksiyonun artışına göre doğrusal, bağımsız değişkenin artışına göre doğrusal olan ana kısmına denir. diferansiyel fonksiyon ve d ile gösterilir, yani. .

Bir fonksiyonun diferansiyeli, verilen x ve?x değerleri için M(x; y) noktasında çizilen tanjantın ordinatının artmasıyla geometrik olarak temsil edilir.

Hesaplama diferansiyel - .

Diferansiyelin yaklaşık hesaplamalarda uygulanması - , fonksiyon artışının yaklaşık değeri diferansiyeliyle çakışır.

Teorem 1.Türevlenebilir fonksiyon belirli bir aralıkta artarsa ​​(azalırsa), bu fonksiyonun türevi bu aralıkta negatif (pozitif değil) değildir.

Teorem 2.Türev fonksiyonu ise belirli bir aralıkta pozitif (negatif) ise bu aralıktaki fonksiyon monoton olarak artar (monoton olarak azalır).

Şimdi fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulma kuralını formüle edelim

1. Bu fonksiyonun türevini hesaplayın.

2. Sıfır olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun. Bu noktalara denir kritik fonksiyon için

3. Bulunan noktaları kullanarak, fonksiyonun tanım alanı, her birinde türevin işaretini koruduğu aralıklara bölünür. Bu aralıklar monotonluk aralıklarıdır.

4. Bulunan aralıkların her birindeki işareti inceleyin. Söz konusu aralıkta ise, bu aralıkta artar; eğer öyleyse, böyle bir aralıkta azalır.

Sorunun koşullarına bağlı olarak monotonluk aralıklarını bulma kuralı basitleştirilebilir.

Tanım 5. Eşitsizlik noktanın herhangi bir komşuluğundaki herhangi bir x için geçerliyse, noktaya bir fonksiyonun maksimum (minimum) noktası denir.

Fonksiyonun maksimum (minimum) noktası ise, o zaman şunu söylerler: (minimum) noktada. Maksimum ve minimum işlevler adı birleştirir ekstremum fonksiyonlarda maksimum ve minimum noktalarına denir. ekstrem noktalar (ekstrem noktalar).

Teorem 3.(bir ekstremun gerekli işareti). Bir fonksiyonun uç noktası ise ve türevi bu noktada mevcutsa sıfıra eşittir: .

Teorem 4.(bir ekstremumun yeterli işareti). Eğer x a'dan geçerken türev işaret değiştiriyorsa a, fonksiyonun ekstrem noktasıdır.

Türev araştırmasında önemli noktalar:

1. Türevi bulun.

2. Fonksiyonun tanım kümesindeki tüm kritik noktaları bulun.

3. Fonksiyonun kritik noktalardan geçerken türevinin işaretlerini ayarlayın ve ekstremum noktaları yazın.

4. Her uç noktadaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.

Maddi noktayı gösterelim M kanuna göre düz bir çizgide hareket eder S = f(t). Bilindiği üzere türev S t ' belirli bir zamanda noktanın hızına eşittir: S t '= V.

Bir anda izin ver T noktanın hızı V'ye eşittir ve şu anda t +Dt – hız V+DV yani belirli bir süre boyunca Dt miktara göre hız değişti D.V..

Oran, bir noktanın zaman içindeki hareketinin ortalama ivmesini ifade eder Dt. Bu oranın sınırı Dt®0 noktanın ivmesi denir MŞu anda T ve harfle belirtilir A: Bu yüzden, yolun zamana göre ikinci türevi, noktanın doğrusal hareketinin ivmesinin büyüklüğüdür, yani. .

Daha yüksek dereceli diferansiyeller

İzin vermek y=f(x) diferansiyellenebilir fonksiyon ve argümanı X- bağımsız değişken. O zaman ilk diferansiyeli de bir fonksiyondur X, bu fonksiyonun diferansiyelini bulabilirsiniz.

Bir fonksiyonun diferansiyelinin diferansiyeline ikinci diferansiyeli (veya ikinci dereceden diferansiyel) denir ve şu şekilde gösterilir: .

Belirli bir fonksiyonun ikinci dereceden diferansiyeli, bu fonksiyonun ikinci dereceden çarpımına, bağımsız değişkenin diferansiyelinin karesine eşittir: .

Diferansiyel hesabın uygulanması

Fonksiyon çağrılır artan (azalan)) aralıkta ( A; B), herhangi iki nokta için isex 1 Vex 2 eşitsizliği sağlayan belirtilen aralıktan eşitsizlik sağlanır ().

Artma (azalma) için gerekli koşul: Aralıkta türevi alınacak fonksiyon ise ( a, b) artarsa ​​(azalırsa), bu fonksiyonun türevi bu aralıkta negatif değildir (pozitif değildir)() .

Artma (azalma) için yeterli koşul:Türevlenebilir bir fonksiyonun türevi belirli bir aralıkta pozitif (negatif) ise, bu aralıkta fonksiyon artar (azalır).

İşlev f(x) noktada x 1 Var maksimum, eğer herhangi biri için X f(x 1)>f(x), en X ¹x 1 .

İşlev f(x) noktada x 1 Var minimum, eğer herhangi biri için X noktanın bazı mahallelerinden aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir: f(x1) , en X ¹x 1 .

Bir fonksiyonun ekstremumuna yerel ekstremum denir, çünkü ekstremum kavramı yalnızca x 1 noktasının yeterince küçük bir komşuluğuyla ilişkilidir. Yani bir aralıkta bir fonksiyon birden fazla ekstrema sahip olabilir ve bir noktadaki minimum, diğer noktadaki maksimumdan daha büyük olabilir. Aralığın belirli bir noktasında bir maksimum veya minimumun varlığı, bu noktada fonksiyonun geçerli olduğu anlamına gelmez. f(x) bu aralıktaki en büyük veya en küçük değeri alır.

Bir ekstremum için gerekli koşul: Türevlenebilir bir fonksiyonun ekstremum noktasında türevi sıfıra eşittir.

Bir ekstremum için yeterli koşul: Türevlenebilir bir fonksiyonun x 0 noktasındaki türevi sıfıra eşitse ve bu değerden geçerken işaretini değiştiriyorsa, o zaman f (x 0) sayısı fonksiyonun bir ekstremudur ve eğer işareti artıdan eksiye değişir, ardından maksimum, eksiden artıya, ardından minimuma değişir.

Sürekli bir fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara kritik denir.

Bir fonksiyonu bir ekstremum açısından incelemek, onun tüm ekstremumlarını bulmak anlamına gelir. Bir ekstremum için bir fonksiyonu incelemenin kuralı:

1). Bir fonksiyonun kritik noktalarını bulma y = f(x) ve bunlardan yalnızca işlevin tanım alanının iç noktaları olan noktaları seçin;

2). Türevin işaretini inceleyin f"(x) seçilen kritik noktaların her birinin solunda ve sağında;

3). Bir ekstremum için yeterli koşula dayanarak, ekstremum noktalarını (varsa) yazın ve fonksiyonun değerlerini hesaplayın.

Bulmak için en yüksek ve en düşük değer Bir segmentte işlev görmek için birkaç aşamanın gerçekleştirilmesi gerekir:

1). f’(x)=0 denklemini çözerek fonksiyonun kritik akımlarını bulun.

2). Kritik noktalar bir segmente düşüyorsa kritik noktalardaki ve aralığın sınırlarındaki değerleri bulmak gerekir. Kritik noktalar segmentin üzerine düşmüyorsa (veya yoksa), o zaman fonksiyon değerleri yalnızca segmentin sınırlarında bulunur.

3). Elde edilen fonksiyon değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin ve cevabı örneğin şu şekilde yazın: ; .

Problem çözme

Örnek 2.1. Fonksiyonun diferansiyelini bulun: .

Çözüm. Bir fonksiyonun diferansiyelinin Özelliği 2'ye ve bir diferansiyelin tanımına dayanarak şunları elde ederiz:

Örnek 2.2. Fonksiyonun diferansiyelini bulun:

Çözüm. Fonksiyon şu şekilde yazılabilir: , . O zaman elimizde:

Örnek 2.3. Fonksiyonun ikinci türevini bulun:

Çözüm. Fonksiyonu dönüştürelim.

Birinci türevi bulalım:

ikinci türevi bulalım:

.

Örnek 2.4. Fonksiyonun ikinci dereceden diferansiyelini bulun .

Çözüm. Hesaplama ifadesine dayanarak ikinci dereceden diferansiyeli bulalım:

Önce birinci türevi bulalım:

; ikinci türevi bulalım: .

Örnek 2.5. Apsisli noktada çizilen eğrinin teğetinin açısal katsayısını bulun x=2 .

Çözüm. Türevin geometrik anlamına dayanarak, eğimin fonksiyonun apsisinin eşit olduğu noktadaki türevine eşit olduğunu elde ederiz. X . Bulacağız .

Fonksiyonun grafiğine teğetin açısal katsayısını hesaplayalım.

Örnek 2.6. Belirli bir zamanda bakteri popülasyonu T (T saat cinsinden ölçülen) toplamlar bireyler. Bakterilerin büyüme hızını bulun. Belirli bir zamanda bakterilerin büyüme hızını bulun t=5 saat.

Çözüm. Bakteri popülasyonunun büyüme hızı zamana göre birinci türevdir T: .

Eğer t=5 o zaman saatler. Dolayısıyla bakterilerin çoğalma hızı saatte 1000 birey olacaktır.

Örnek 2.7. Vücudun uygulanan ilaca tepkisi, kan basıncında bir artış, vücut ısısında bir azalma, kalp atış hızında bir değişiklik veya diğer fizyolojik göstergelerle ifade edilebilir. Reaksiyonun derecesi reçete edilen ilaç dozuna bağlıdır. Eğer X Reçete edilen ilacın dozunu ve reaksiyonun derecesini gösterir en fonksiyon tarafından açıklanan . Hangi değerde X Tepki maksimum mu?

Çözüm. Türevini bulalım .

Kritik noktaları bulalım: ⇒ . ⇒ Sonuç olarak iki kritik noktamız var: . Değer görev koşullarını karşılamıyor.

İkinci türevi bulalım . İkinci türevin değerini hesaplayalım. . Bu, maksimum tepkiyi veren doz seviyesi anlamına gelir.

Kendi kendine çözüm örnekleri

Fonksiyonun diferansiyelini bulun:

1. .

2. .

3. .

4.

Aşağıdaki fonksiyonların ikinci türevlerini bulun:

6. .

Aşağıdaki fonksiyonlar için ikinci dereceden türevleri bulun ve ikinci dereceden diferansiyelleri yazın:

9. .

11. Ekstremum fonksiyonunu inceleyiniz.

12. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun segmentte.

13. Fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını, maksimum ve minimum noktalarını ve eksenlerle kesişme noktalarını bulun:

14. Bir noktanın hareket yasası şu şekildedir: . Bu noktanın hız ve ivme yasasını belirleyiniz.

15. Bir noktanın hareket denklemi (m) biçimindedir. 1) noktanın s ve s zamanlarındaki konumunu bulun; 2) zaman içinde bu noktalar arasında geçen sürenin ortalama hızı; 3) belirli zamanlarda anlık hızlar; 4) belirli bir süre boyunca ortalama ivme; 5) belirli zamanlarda anlık ivmelenmeler.

Ev ödevi.

Pratik:

Fonksiyonun diferansiyelini bulun:

1. ;

2. ;

Fonksiyonun ikinci dereceden türevlerini bulun:

4.

5.

İkinci dereceden diferansiyelleri bulun

6. .

7. Nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket ediyor. Zamanlardaki hız ve ivmeyi hesaplayın ve .

Artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulun:

9. .

10. Glikoz infüze edildiğinde, insan kanındaki içeriği uygun birimlerle ifade edilir. T saatler olacak . a) noktasında kan şekerindeki değişim oranını bulun. t =1 H; B) t =2 H.

Teori.

1. “Birkaç argümanın fonksiyonlarının türevleri ve diferansiyelleri” konulu ders anlatımı. Çeşitli argümanların diferansiyel fonksiyonunun uygulanması."

2. Bu kılavuzdaki 3. Ders.

3. Pavlushkov I.V. ve diğerleri s. 101-113, 118-121.

Ders 3. Çok Argümanlı Bir Fonksiyonun Türevleri ve Diferansiyelleri

Konunun alaka düzeyi: Matematiğin bu bölümü bir dizi uygulamalı problemin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır, çünkü birçok fiziksel, biyolojik ve kimyasal olay bir değil, birkaç değişkene (faktörlere) bağımlılıkla karakterize edilir.

Dersin amacı: Çok değişkenli fonksiyonların kısmi türevlerini ve diferansiyellerini bulmayı öğrenmek.

Hedef görevler:

biliyorum: iki değişkenli fonksiyon kavramı; iki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri kavramı; çok değişkenli bir fonksiyonun tam ve kısmi diferansiyelleri kavramı;

Çok değişkenli fonksiyonların türevlerini ve diferansiyellerini bulabilmek.

Teorik dersten kısa bilgi

Temel konseptler

Bir z değişkenine, bazı değer çiftlerine bazı kural veya yasalara göre belirli bir z değeri atanırsa, x ve y iki bağımsız değişkeninin bir fonksiyonu denir. İki argümanlı bir fonksiyon ile gösterilir.

Fonksiyon uzayda dikdörtgen koordinat sistemindeki bir yüzey olarak belirtilir. İki değişkenli bir fonksiyonun grafiği, üç boyutlu uzay x'teki bir nokta kümesidir

İş denir kısmi diferansiyel fonksiyon z=f(x,y)by X ve belirlenir.

Tam diferansiyel fonksiyon

Bir fonksiyonun diferansiyeli, bu fonksiyonun kısmi türevlerinin çarpımlarının ve karşılık gelen bağımsız değişkenlerin artışının toplamıdır; . Çünkü Ve o zaman şunu yazabiliriz: veya .