Düz bir piramidin yan yüzey alanı eşittir. Farklı piramitlerin yan yüzey alanı

Hangi şekle piramit diyoruz? İlk olarak, bu bir çokyüzlüdür. İkincisi, bu polihedronun tabanında rastgele bir çokgen vardır ve piramidin yanları (yan yüzler) zorunlu olarak ortak bir tepe noktasında birleşen üçgenler şeklindedir. Şimdi terimi anladıktan sonra piramidin yüzey alanını nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Böyle bir geometrik cismin yüzey alanının, taban alanları ile tüm yan yüzeyinin toplamından oluştuğu açıktır.

Bir piramidin tabanının alanının hesaplanması

Hesaplama formülünün seçimi piramidimizin altında yatan çokgenin şekline bağlıdır. Düzenli, yani kenarları aynı uzunlukta veya düzensiz olabilir. Her iki seçeneği de ele alalım.

Taban düzgün bir çokgendir

Okul kursundan biliyoruz:

• karenin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşit olacaktır;
• Eşkenar üçgenin alanı, kenarının karesinin 4'e bölünmesi ve üçün karekökü ile çarpılmasına eşittir.

Ama aynı zamanda var genel formül Herhangi bir normal çokgenin (Sn) alanını hesaplamak için: bu çokgenin çevresini (P), içinde yazılı dairenin yarıçapı (r) ile çarpmanız ve ardından sonucu ikiye bölmeniz gerekir: Sn= 1/2P*r.

Tabanda düzensiz bir çokgen var

Alanını bulma şeması, önce tüm çokgeni üçgenlere bölmek, her birinin alanını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplamaktır: 1/2a*h (burada a, üçgenin tabanıdır, h, indirilen yüksekliktir) bu taban), tüm sonuçları toplayın.

Piramidin yan yüzey alanı

Şimdi piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplayalım, yani. tüm yan kenarlarının alanlarının toplamı. Burada da 2 seçenek var.

1. Keyfi bir piramidimiz olsun, yani. tabanında düzensiz bir çokgen bulunan bir tane. Daha sonra her yüzün alanını ayrı ayrı hesaplayıp sonuçları eklemelisiniz. Bir piramidin kenarları tanım gereği yalnızca üçgen olabileceğinden, hesaplama yukarıda belirtilen formül kullanılarak gerçekleştirilir: S=1/2a*h.
2. Piramidimizin doğru olmasına izin verin, yani. tabanında düzenli bir çokgen bulunur ve piramidin tepesinin izdüşümü merkezdedir. Daha sonra, yan yüzeyin alanını (Sb) hesaplamak için, taban poligonun (P) çevresinin çarpımının yarısını ve yan tarafın yüksekliğini (h) (tüm yüzler için aynı) bulmak yeterlidir. ): Sb = 1/2 P*h. Bir çokgenin çevresi tüm kenarlarının uzunlukları toplanarak belirlenir.

Düzenli bir piramidin toplam yüzey alanı, tabanının alanı ile tüm yan yüzeyin alanı toplanarak bulunur.

Örnekler

Örneğin, birkaç piramidin yüzey alanlarını cebirsel olarak hesaplayalım.

Üçgen piramidin yüzey alanı

Böyle bir piramidin tabanında bir üçgen bulunur. So=1/2a*h formülünü kullanarak tabanın alanını buluyoruz. Yine üçgen şekle sahip olan piramidin her yüzünün alanını bulmak için aynı formülü kullanırız ve 3 alan elde ederiz: S1, S2 ve S3. Piramidin yan yüzeyinin alanı tüm alanların toplamıdır: Sb = S1+ S2+ S3. Kenarların ve tabanın alanlarını toplayarak istenilen piramidin toplam yüzey alanını elde ederiz: Sp= So+ Sb.

Dörtgen piramidin yüzey alanı

Yan yüzeyin alanı 4 terimin toplamıdır: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, bunların her biri üçgenin alanı formülü kullanılarak hesaplanır. Ve dörtgenin şekline bağlı olarak - düzenli veya düzensiz - tabanın alanının aranması gerekecektir. Piramidin toplam yüzey alanı yine taban alanı ile verilen piramidin toplam yüzey alanının eklenmesiyle elde edilir.

tabanı çokgen olan çok yönlü bir şekildir ve geri kalan yüzler ortak köşeli üçgenlerle temsil edilir.

Taban kare ise piramit denir dörtgen, eğer bir üçgense – o zaman üçgen. Piramidin yüksekliği, üst kısmından tabana dik olarak çizilir. Alanı hesaplamak için de kullanılır özlü söz– üst kısmından alçaltılmış yan yüzün yüksekliği.
Bir piramidin yan yüzeyinin alanı formülü, yan yüzlerinin birbirine eşit alanlarının toplamıdır. Ancak bu hesaplama yöntemi çok nadir kullanılmaktadır. Temel olarak piramidin alanı, tabanın çevresi ve apothem aracılığıyla hesaplanır:

Bir piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Tabanı ABCDE ve tepesi F olan bir piramit verilsin. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Çevresini bulalım. Tabanın tüm kenarları eşit olduğundan beşgenin çevresi şuna eşit olacaktır:
Artık piramidin yan alanını bulabilirsiniz:

Düzenli bir üçgen piramidin alanı

Düzenli bir üçgen piramit, düzenli bir üçgenin bulunduğu bir taban ve eşit alana sahip üç yan yüzden oluşur.
Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanı formülü farklı şekillerde hesaplanabilir. Çevre ve özdeyimi kullanarak olağan hesaplama formülünü uygulayabilir veya bir yüzün alanını bulup üçle çarpabilirsiniz. Piramidin yüzü üçgen olduğundan üçgenin alan formülünü uyguluyoruz. Bir öz ve tabanın uzunluğunu gerektirecektir. Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

A = 4 cm ve taban yüzü b = 2 cm olan bir piramit verildiğinde piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Öncelikle yan yüzlerden birinin alanını bulun. Bu durumda şöyle olacaktır:
Değerleri formülde değiştirin:
Düzenli bir piramitte tüm kenarlar aynı olduğundan piramidin yan yüzeyinin alanı üç yüzün alanlarının toplamına eşit olacaktır. Sırasıyla:

Kesilmiş bir piramidin alanı

Kesilmiş Bir piramit, bir piramit ve onun enine kesiti tabana paralel olarak oluşturulan bir çokyüzlüdür.
Kesik bir piramidin yan yüzey alanı formülü çok basittir. Alan, tabanların çevreleri ile apothemin toplamının yarısının çarpımına eşittir:

Bu geometrik şekil ve özellikleriyle ilgili soruları incelemeden önce bazı terimleri anlamalısınız. İnsan piramidi duyduğunda aklına Mısır'daki devasa binalar gelir. En basitleri böyle görünüyor. Ama oluyorlar farklı türler ve şekiller, yani geometrik şekillerin hesaplama formülleri farklı olacaktır.

Şekil türleri

Piramit – geometrik şekil , çeşitli yüzleri belirtir ve temsil eder. Özünde, bu, tabanında bir çokgen bulunan aynı çokyüzlüdür ve yanlarda bir noktada - tepe noktasında bağlanan üçgenler vardır. Şekil iki ana tipte gelir:

• doğru;
• kesilmiş.

İlk durumda taban normal bir çokgendir. Burada tüm yan yüzeyler eşittir kendi aralarında ve figürün kendisi arasında bir mükemmeliyetçinin gözünü memnun edecektir.

İkinci durumda, iki taban vardır - en altta büyük ve üst arasında küçük olan, ana tabanın şeklini tekrarlayan. Başka bir deyişle, kesik bir piramit, tabana paralel oluşturulmuş bir kesite sahip bir çokyüzlüdür.

Terimler ve semboller

Anahtar terimler:

• Düzenli (eşkenar) üçgen- üç eşit açıya ve eşit kenarlara sahip bir şekil. Bu durumda tüm açılar 60 derecedir. Şekil, normal çokyüzlülerin en basitidir. Bu şekil tabanda yer alıyorsa, böyle bir çokyüzlüye normal üçgen adı verilecektir. Taban kare ise, piramite düzenli dörtgen piramit adı verilecektir.
• Tepe noktası– kenarların buluştuğu en yüksek nokta. Tepe noktasının yüksekliği, tepe noktasından piramidin tabanına kadar uzanan düz bir çizgiyle oluşturulur.
• Kenar– çokgenin düzlemlerinden biri. Üçgen piramit durumunda üçgen şeklinde veya kesik piramit için yamuk şeklinde olabilir.
• Bölüm – düz şekil diseksiyon sonucu oluşmuştur. Bölüm aynı zamanda bölümün arkasında ne olduğunu da gösterdiğinden bölümle karıştırılmamalıdır.
• Özlem- piramidin tepesinden tabanına kadar çizilen bir bölüm. Aynı zamanda ikinci yükseklik noktasının bulunduğu yüzün yüksekliğidir. Bu tanım yalnızca normal bir çokyüzlü için geçerlidir. Örneğin, bu kesik bir piramit değilse, yüz bir üçgen olacaktır. Bu durumda bu üçgenin yüksekliği apothem olacaktır.

Alan formülleri

Piramidin yan yüzey alanını bulun herhangi bir tür birkaç yolla yapılabilir. Şekil simetrik değilse ve farklı kenarları olan bir çokgen ise, bu durumda toplam yüzey alanını tüm yüzeylerin toplamı üzerinden hesaplamak daha kolaydır. Yani her bir yüzün alanını hesaplayıp bunları birbirine eklemeniz gerekiyor.

Hangi parametrelerin bilindiğine bağlı olarak, kare, yamuk, isteğe bağlı dörtgen vb. hesaplama formülleri gerekebilir. Farklı durumlarda formüllerin kendisi farklılıkları da olacaktır.

Düzenli bir şekil olması durumunda alanı bulmak çok daha kolaydır. Sadece birkaç temel parametreyi bilmek yeterlidir. Çoğu durumda, bu tür rakamlar için özel olarak hesaplamalar yapılması gerekir. Bu nedenle ilgili formüller aşağıda verilecektir. Aksi takdirde, her şeyi birkaç sayfaya yazmak zorunda kalırsınız, bu da yalnızca kafanızı karıştırır ve kafanızı karıştırır.

Hesaplama için temel formül Düzenli bir piramidin yan yüzey alanı aşağıdaki forma sahip olacaktır:

S=½ Pa (P tabanın çevresidir ve apothemdir)

Bir örneğe bakalım. Çokyüzlünün A1, A2, A3, A4, A5 segmentlerinden oluşan bir tabanı vardır ve hepsi 10 cm'ye eşittir. İlk önce çevreyi bulmanız gerekir. Tabanın beş yüzü de aynı olduğundan şu şekilde bulabilirsiniz: P = 5 * 10 = 50 cm. Daha sonra temel formülü uyguluyoruz: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm kare.

Düzenli üçgen piramidin yan yüzey alanı hesaplaması en kolayı. Formül şuna benzer:

S =½* ab *3, burada a özdeyiş, b tabanın yüzüdür. Buradaki üç faktörü, tabanın yüz sayısı anlamına gelir ve ilk kısım, yan yüzeyin alanıdır. Bir örneğe bakalım. Apothemi 5 cm ve taban kenarı 8 cm olan bir şekil verildiğinde S = 1/2*5*8*3=60 cm kareyi hesaplıyoruz.

Kesilmiş bir piramidin yan yüzey alanı Hesaplaması biraz daha zor. Formül şuna benzer: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, burada p_01 ve p_02 tabanların çevreleridir ve apothemdir. Bir örneğe bakalım. Dörtgen bir şekil için tabanların kenarlarının boyutlarının 3 ve 6 cm, özünün 4 cm olduğunu varsayalım.

Burada öncelikle tabanların çevrelerini bulmanız gerekiyor: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Geriye kalan değerleri ana formülde değiştirmek kalıyor ve şunu elde ediyoruz: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm kare.

Böylece herhangi bir karmaşıklıktaki düzenli bir piramidin yan yüzey alanını bulabilirsiniz. Dikkatli olmalısın ve kafanı karıştırmamalısın bu hesaplamalar tüm polihedronun toplam alanıyla yapılır. Ve yine de bunu yapmanız gerekiyorsa, polihedronun en büyük tabanının alanını hesaplayın ve bunu polihedronun yan yüzeyinin alanına ekleyin.

Video

Bu video, farklı piramitlerin yan yüzey alanını nasıl bulacağınızla ilgili bilgileri birleştirmenize yardımcı olacaktır.

Düzenli bir üçgen piramitte SABC R- kaburganın ortası AB, S- tepe.
biliniyor ki SR = 6 ve yan yüzey alanı eşittir 36 .
Segmentin uzunluğunu bulun M.Ö..

Bir çizim yapalım. Düzenli bir piramidin yan yüzleri ikizkenar üçgenlerdir.

Segment S.R.- refüj tabana indirildi ve dolayısıyla yan yüzün yüksekliği.

Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanı, alanların toplamına eşittir
üç eşit yan yüz S tarafı = 3S ABS. Buradan ABS = 36: 3 = 12- yüzün alanı.

Bir üçgenin alanı taban ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir
S ABS = 0,5 AB SR. Alanı ve yüksekliği bilerek tabanın kenarını buluyoruz AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Cevap: 4

Soruna diğer taraftan yaklaşabilirsiniz. Taban tarafı olsun AB = BC = bir.
Daha sonra yüzün alanı S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Üç yüzün her birinin alanı eşittir 3aüç yüzün alanı eşittir 9a.
Problemin koşullarına göre piramidin yan yüzeyinin alanı 36'dır.
S tarafı = 9a = 36.
Buradan bir = 4.

Tanım. Yan kenar- bu, bir açının piramidin tepesinde yer aldığı ve karşı tarafın tabanın (çokgen) tarafıyla çakıştığı bir üçgendir.

Tanım. Yan kaburgalar- bunlar yan yüzlerin ortak kenarlarıdır. Bir piramidin çokgenin açı sayısı kadar kenarı vardır.

Tanım. Piramit yüksekliği- bu, piramidin tepesinden tabanına indirilen dikey bir çizgidir.

Tanım. Özlem- bu, piramidin tepesinden tabanın yan tarafına indirilen piramidin yan yüzüne diktir.

Tanım. Çapraz bölüm- bu, piramidin tepesinden ve tabanın köşegeninden geçen bir düzlemin piramidin bir bölümüdür.

Tanım. Doğru piramit tabanı düzgün bir çokgen olan ve yüksekliği tabanın merkezine doğru inen bir piramittir.

Piramidin hacmi ve yüzey alanı

Formül. Piramidin hacmi taban alanı ve yükseklik boyunca:

Piramidin özellikleri

Tüm yan kenarlar eşitse, piramidin tabanının etrafına bir daire çizilebilir ve tabanın merkezi dairenin merkezine denk gelir. Ayrıca üstten düşen dikey bir çizgi tabanın (daire) ortasından geçer.

Tüm yan kenarlar eşitse, taban düzlemine aynı açılarda eğimlidirler.

Yan kaburgalar taban düzlemi ile oluştuklarında eşittir eşit açılar veya piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa.

Yan yüzler taban düzlemine aynı açıda eğimliyse, piramidin tabanına bir daire yazılabilir ve piramidin tepesi merkeze yansıtılır.

Yan yüzler taban düzlemine aynı açıyla eğimliyse, yan yüzlerin özleri eşittir.

Düzenli bir piramidin özellikleri

1. Piramidin tepesi tabanın tüm köşelerine eşit mesafededir.

2. Tüm yan kenarlar eşittir.

3. Tüm yan kaburgalar tabana eşit açılarda eğimlidir.

4. Tüm yan yüzlerin özleri eşittir.

5. Tüm yan yüzlerin alanları eşittir.

6. Tüm yüzler aynı dihedral (düz) açılara sahiptir.

7. Piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. Çevreleyen kürenin merkezi, kenarların ortasından geçen diklerin kesişme noktası olacaktır.

8. Bir piramidin içine bir küre sığdırabilirsiniz. Yazılı kürenin merkezi, kenar ile taban arasındaki açıdan çıkan açıortayların kesişme noktası olacaktır.

9. Yazılı kürenin merkezi çevrelenen kürenin merkeziyle çakışıyorsa, tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı π'ye eşit olur veya bunun tersi de geçerlidir, bir açı π/n'ye eşittir, burada n sayıdır Piramidin tabanındaki açılar.

Piramit ve küre arasındaki bağlantı

Piramidin tabanında, etrafında bir dairenin tanımlanabileceği bir çokyüzlü olduğunda (gerekli ve yeterli bir koşul), bir piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. Kürenin merkezi, piramidin yan kenarlarının orta noktalarından dik olarak geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır.

Herhangi bir üçgen veya düzgün piramidin etrafında bir küre tanımlamak her zaman mümkündür.

Piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri bir noktada kesişiyorsa (gerekli ve yeterli bir koşul), bir piramite küre yazılabilir. Bu nokta kürenin merkezi olacaktır.

Bir piramidin koni ile bağlantısı

Eğer köşeleri çakışıyorsa ve koninin tabanı piramidin tabanına yazılmışsa, koninin piramite yazılı olduğu söylenir.

Piramidin özleri birbirine eşitse, bir piramite bir koni yazılabilir.

Eğer köşeleri çakışıyorsa ve koninin tabanı piramidin tabanı etrafında çevreleniyorsa, bir koninin bir piramidin etrafında çevrelendiği söylenir.

Piramidin tüm yan kenarları birbirine eşitse, bir piramidin etrafında bir koni tanımlanabilir.

Piramit ile silindir arasındaki ilişki

Piramidin tepesi silindirin bir tabanında yer alıyorsa ve piramidin tabanı silindirin başka bir tabanında yazılıysa, silindire yazılı piramit denir.

Piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa, bir piramidin etrafında bir silindir de tanımlanabilir.

Tanım. Kesilmiş piramit (piramidal prizma) piramidin tabanı ile tabana paralel kesit düzlemi arasında yer alan bir çokyüzlüdür. Böylece piramidin büyük bir tabanı ve büyük tabana benzeyen daha küçük bir tabanı vardır. Yan yüzler trapez şeklindedir.

Tanım. Üçgen piramit (dört yüzlü)üç yüzü ve tabanı keyfi üçgenlerden oluşan bir piramittir.

Bir tetrahedronun dört yüzü, dört köşesi ve altı kenarı vardır; burada herhangi iki kenar ortak köşelere sahip değildir ancak birbirine değmez.

Her köşe, üç yüz ve kenardan oluşur. üçgen açı.

Bir tetrahedronun tepe noktası ile karşı yüzün merkezini birleştiren parçaya ne ad verilir? tetrahedronun ortancası(GM).

Bimedyen Birbirine değmeyen karşıt kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına (KL) denir.

Bir tetrahedronun tüm bimedyenleri ve medyanları bir noktada (S) kesişir. Bu durumda bimedyanlar ikiye bölünür ve ortancalar üstten başlayarak 3:1 oranında bölünür.

Tanım. Eğimli piramit Kenarlarından birinin tabanla geniş bir açı (β) oluşturduğu bir piramittir.

Tanım. Dikdörtgen piramit yan yüzlerinden birinin tabana dik olduğu bir piramittir.

Tanım. Akut açılı piramit- Apothem'in tabanın yan uzunluğunun yarısından fazla olduğu bir piramit.

Tanım. Geniş piramit- Apothem'in tabanın yan uzunluğunun yarısından daha az olduğu bir piramit.

Tanım. Düzenli tetrahedron- dört yüzün de eşkenar üçgen olduğu bir tetrahedron. O beş kişiden biri düzenli çokgenler. İÇİNDE düzenli tetrahedron tüm dihedral açılar (yüzler arasında) ve trihedral açılar (tepe noktasında) eşittir.

Tanım. Dikdörtgen tetrahedron tepedeki üç kenar arasında dik bir açı bulunan (kenarlar dik) tetrahedron olarak adlandırılır. Üç yüz formu dikdörtgen üçgen açı ve kenarlar dik üçgenler ve tabanı keyfi bir üçgendir. Herhangi bir yüzün özdeyişi, özünün düştüğü tabanın kenarının yarısına eşittir.

Tanım. İzohedral tetrahedron Tabanı düzgün üçgen olan, yan yüzleri birbirine eşit olana tetrahedron denir. Böyle bir tetrahedronun ikizkenar üçgen olan yüzleri vardır.

Tanım. Ortosentrik tetrahedron Yukarıdan karşı yüze indirilen tüm yüksekliklerin (diklerin) bir noktada kesiştiği tetrahedron denir.

Tanım. Yıldız piramidi Tabanı yıldız olan çokyüzlüye denir.

Tanım. Bipiramit- iki farklı piramitten oluşan bir çokyüzlü (piramitler de kesilebilir) ortak zemin ve köşeler taban düzleminin karşıt taraflarında yer alır.