Doğrusal eşitsizlikler. Örneklerle ayrıntılı teori

Eşitsizlik simgeleri hakkında bilmeniz gerekenler? Simgeli eşitsizlikler Daha (> ), veya az (< ) arandı sıkı. Simgelerle daha fazla veya eşit (≥ ), daha az veya eşit (≤ ) arandı sıkı değil. Simge eşit değil (≠ ) ayrı duruyor, ancak aynı zamanda her zaman bu simgeye sahip örnekleri de çözmeniz gerekiyor. Ve biz karar vereceğiz.)

Simgenin kendisinin çözüm süreci üzerinde pek bir etkisi yoktur. Ancak kararın sonunda, nihai cevabı seçerken simgenin anlamı tüm gücüyle ortaya çıkıyor! Aşağıda örneklerde göreceğimiz şey budur. Orada bazı şakalar var...

Eşitlikler gibi eşitsizlikler de mevcuttur sadık ve sadakatsiz. Burada her şey basit, hile yok. 5 diyelim > 2 gerçek bir eşitsizliktir. 5 < 2 - yanlış.

Bu hazırlık eşitsizlikler için işe yarıyor herhangi bir tür ve dehşet derecesinde basit.) Sadece iki (sadece iki!) temel eylemi doğru bir şekilde gerçekleştirmeniz gerekiyor. Bu eylemler herkese tanıdık geliyor. Ama karakteristik olarak bu eylemlerdeki hatalar eşitsizliklerin çözümündeki temel hatadır, evet... Dolayısıyla bu eylemlerin tekrarlanması gerekiyor. Bu eylemler şu şekilde adlandırılır:

Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri.

Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri, denklemlerin özdeş dönüşümlerine çok benzer. Aslında asıl sorun bu. Farklılıklar sizi aşar ve... geldik.) Bu nedenle bu farklılıkları özellikle vurgulayacağım. Yani eşitsizliklerin ilk özdeş dönüşümü:

1. Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı veya ifade eklenebilir (çıkarılabilir). Herhangi. Bu eşitsizlik işaretini değiştirmeyecektir.

Uygulamada bu kural, terimlerin eşitsizliğin sol tarafından sağa (veya tam tersine) işaret değişikliği ile aktarılması şeklinde uygulanır. Eşitsizliğin değil, terimin işaretinin değişmesiyle! Bire-bir kuralı denklem kuralıyla aynıdır. Ancak eşitsizliklerdeki aşağıdaki özdeş dönüşümler denklemlerdekilerden önemli ölçüde farklıdır. Bu yüzden onları kırmızıyla vurguluyorum:

2. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı şeyle çarpılabilir (bölünebilir)pozitifsayı. Herhangipozitif Değişmeyecek.

3. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı şeyle çarpılabilir (bölünebilir)olumsuz sayı. Herhangiolumsuzsayı. Buradan eşitsizlik işaretitam tersi yönde değişecektir.

Denklemin herhangi bir şeyle çarpılabileceğini/bölünebileceğini hatırlıyorsunuzdur (umarım...). Ve herhangi bir sayı için ve X'li bir ifade için. Keşke sıfır olmasaydı. Bu da onu ne sıcak ne de soğuk yapar.) Değişmez. Ancak eşitsizlikler çarpma/bölmeye daha duyarlıdır.

Uzun bir hafıza için net bir örnek. Şüphe uyandırmayacak bir eşitsizlik yazalım:

5 > 2

Her iki tarafı da çarpın +3, şunu elde ederiz:

15 > 6

Herhangi bir itiraz? Hiçbir itirazımız yok.) Ve orijinal eşitsizliğin her iki tarafını da şu şekilde çarparsak: -3, şunu elde ederiz:

15 > -6

Ve bu düpedüz yalan.) Tam bir yalan! Halkı aldatma! Ancak eşitsizlik işaretini tersiyle değiştirdiğiniz anda her şey yerine oturur:

15 < -6

Sadece yalan ve aldatma hakkında küfür etmiyorum.) "Eşittir işaretini değiştirmeyi unuttum..."- Bu Ev Eşitsizliklerin çözümünde hata. Bu önemsiz ve basit kural pek çok insana zarar verdi! Ki unuttular...) Yani yemin ediyorum. Belki hatırlarım...)

Özellikle dikkatli insanlar eşitsizliğin X'li bir ifadeyle çarpılamayacağını fark edeceklerdir. Dikkatli olanlara saygıyla!) Neden olmasın? Cevap basit. X'li bu ifadenin işaretini bilmiyoruz. Pozitif de olabilir, negatif de... Dolayısıyla çarpmadan sonra hangi eşitsizlik işaretini koyacağımızı bilmiyoruz. Değiştirmeli miyim değiştirmemeli miyim? Bilinmeyen. Elbette bu kısıtlama (bir eşitsizliği x'li bir ifadeyle çarpma/bölme yasağı) aşılabilir. Eğer gerçekten ihtiyacın varsa. Ancak bu diğer derslerin konusu.

Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri bunlar. için çalıştıklarını bir kez daha hatırlatayım. herhangi eşitsizlikler Artık belirli türlere geçebilirsiniz.

Doğrusal eşitsizlikler. Çözüm, örnekler.

Doğrusal eşitsizlikler, x'in birinci kuvvette olduğu ve x'e bölümün olmadığı eşitsizliklerdir. Tip:

x+3 > 5x-5

Bu tür eşitsizlikler nasıl çözülür? Bunları çözmek çok kolaydır! Yani: yardımıyla en kafa karıştırıcı doğrusal eşitsizliği azaltıyoruz doğrudan cevaba geçiyoruz.Çözüm bu. Kararın ana noktalarını vurgulayacağım. Aptalca hatalardan kaçınmak için.)

Bu eşitsizliği çözelim:

x+3 > 5x-5

Bunu tam olarak doğrusal denklemle aynı şekilde çözüyoruz. Tek farkla:

Eşitsizlik işaretini dikkatle izliyoruz!

İlk adım en yaygın olanıdır. X'li - sola, X'siz - sağa... Bu ilk özdeş dönüşümdür, basit ve sorunsuz.) Aktarılan terimlerin işaretlerini değiştirmeyi unutmayın.

Eşitsizlik işareti kalır:

x-5x > -5-3

İşte benzerleri.

Eşitsizlik işareti kalır:

4x > -8

Geriye son özdeş dönüşümü uygulamak kalıyor: her iki tarafı da -4'e bölün.

Bölünür olumsuz sayı.

Eşitsizlik işareti tersine değişecektir:

X < 2

Cevap bu.

Tüm doğrusal eşitsizlikler bu şekilde çözülür.

Dikkat! 2. nokta beyaz olarak çizilmiştir, yani. boyasız. İçerisi boş. Bu onun cevaba dahil olmadığı anlamına gelir! Onu bilerek bu kadar sağlıklı çizdim. Matematikte böyle bir noktaya (boş, sağlıklı değil!) delinmiş nokta.

Eksen üzerinde kalan sayılar işaretlenebilir ancak gerekli değildir. Eşitsizliğimizle ilgisi olmayan yabancı sayılar kafa karıştırıcı olabilir evet... Sadece sayıların ok yönünde arttığını unutmamanız gerekiyor, yani. sayılar 3, 4, 5 vb. öyle Sağa ikişerdir ve sayılar 1, 0, -1 vb.'dir. - Sola.

Eşitsizlik x < 2 - sıkı. X kesinlikle ikiden küçüktür. Şüpheniz varsa kontrol etmek basittir. Şüpheli sayıyı eşitsizliğin yerine koyuyoruz ve şöyle düşünüyoruz: "İki ikiden küçük mü?" Kesinlikle. Eşitsizlik 2 < 2 yanlış. Karşılığında iki uygun değil.

Biri iyi mi? Kesinlikle. Daha az... Ve sıfır iyidir ve -17 ve 0,34... Evet, ikiden küçük olan tüm sayılar iyidir! Ve hatta 1,9999... En azından biraz, ama daha az!

O halde tüm bu sayıları sayı ekseninde işaretleyelim. Nasıl? Burada seçenekler var. Birinci seçenek gölgelendirmedir. Fareyi resmin üzerine getiriyoruz (veya tabletteki resme dokunuyoruz) ve x koşulunu karşılayan tüm x'lerin alanının gölgeli olduğunu görüyoruz < 2 . Bu kadar.

İkinci örneği kullanarak ikinci seçeneğe bakalım:

X ≥ -0,5

Bir eksen çizin ve -0,5 sayısını işaretleyin. Bunun gibi:

Farkı fark ettiniz mi?) Evet, fark etmemek zor... Bu nokta siyah! Üzeri boyalı. Bu -0,5 anlamına gelir cevabın içinde yer alıyor. Bu arada, doğrulama birinin kafasını karıştırabilir. yerine koyalım:

-0,5 ≥ -0,5

Nasıl yani? -0,5, -0,5'ten fazla değil! Ve daha fazla simge var...

Önemli değil. Kesin olmayan bir eşitsizlikte simgeye uyan her şey uygundur. VE eşittir iyi ve Daha iyi. Bu nedenle cevaba -0,5 dahil edilmiştir.

Böylece eksende -0,5'i işaretledik; geriye -0,5'ten büyük tüm sayıları işaretlemek kalıyor. Bu sefer uygun x değerlerinin alanını işaretliyorum yay(kelimeden yay), gölgelendirmek yerine. İmleci çizimin üzerine getiriyoruz ve bu yayı görüyoruz.

Gölgeleme ve kollar arasında özel bir fark yoktur. Öğretmenin söylediğini yapın. Öğretmen yoksa kemerler çizin. Daha karmaşık görevlerde gölgeleme daha az belirgindir. Kafanız karışabilir.

Doğrusal eşitsizlikler bir eksen üzerinde bu şekilde çizilir. Eşitsizliklerin bir sonraki özelliğine geçelim.

Eşitsizliklerin cevabını yazıyorum.

Denklemler iyiydi.) X'i bulduk ve cevabı yazdık, örneğin: x=3. Eşitsizliklerde cevap yazmanın iki şekli vardır. Biri son eşitsizlik formundadır. Basit vakalar için iyi. Örneğin:

X< 2.

Bu tam bir cevaptır.

Bazen aynı şeyi farklı bir biçimde yazmanız gerekir. sayısal aralıklar. Daha sonra kayıt oldukça bilimsel görünmeye başlıyor):

x ∈ (-∞; 2)

Simgenin altında ∈ kelime gizli "aittir".

Giriş şu şekilde: x eksi sonsuzdan ikiye kadar olan aralığa aittir içermiyor. Oldukça mantıklı. X, eksi sonsuzdan ikiye kadar olası tüm sayılar arasından herhangi bir sayı olabilir. Kelimenin bize söylediği çift X olamaz "içermiyor".

Ve cevabın neresinde açıkça görülüyor ki "içermiyor"? Bu gerçek cevapta belirtilmiştir yuvarlak ikisinden hemen sonra parantez. İkisi dahil olsaydı, braket şu şekilde olurdu: kare.İşte burada:]. Aşağıdaki örnekte böyle bir parantez kullanılmaktadır.

Cevabı yazalım: x ≥ -0,5 aralıklarla:

x ∈ [-0,5; +∞)

Okumak: x eksi 0,5 aralığına aittir, içermek, artı sonsuza kadar.

Infinity asla açılamaz. Bu bir sayı değil, bir sembol. Dolayısıyla bu tür gösterimlerde sonsuzluk her zaman parantez yanında yer alır.

Bu kayıt biçimi, birkaç boşluktan oluşan karmaşık yanıtlar için uygundur. Ama - sadece son cevaplar için. Daha ileri bir çözümün beklendiği ara sonuçlarda, formdaki olağan formu kullanmak daha iyidir. basit eşitsizlik. Bunu ilgili konularda ele alacağız.

Eşitsizliklerle ilgili popüler görevler.

Doğrusal eşitsizliklerin kendisi basittir. Bu nedenle görevler çoğu zaman daha da zorlaşır. Bu yüzden düşünmek gerekiyordu. Bu, eğer alışkın değilseniz, pek hoş değildir.) Ama faydalıdır. Bu tür görevlerin örneklerini göstereceğim. Bunları öğrenmeniz doğru değil, gereksiz. Ve bu tür örneklerle karşılaştığınızda korkmamak için. Biraz düşünün - ve çok basit!)

1. 3x - 3 eşitsizliğinin herhangi iki çözümünü bulun< 0

Ne yapacağınız çok açık değilse matematiğin ana kuralını hatırlayın:

Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın!)

X < 1

Ve ne? Özel birşey yok. Bize ne soruyorlar? Bir eşitsizliğin çözümü olan iki spesifik sayıyı bulmamız isteniyor. Onlar. cevaba uyuyor. İki herhangi sayılar. Aslında bu kafa karıştırıcı.) Birkaç 0 ve 0,5 uygundur. Bir çift -3 ve -8. Bu çiftlerden sonsuz sayıda var! Hangi cevap doğrudur?

Cevap veriyorum: her şey! Her biri birden küçük olan herhangi bir sayı çifti, doğru cevap olacaktır. Hangisini istediğinizi yazın. Hadi devam edelim.

2. Eşitsizliği çözün:

4x - 3 ≠ 0

Bu formdaki görevler nadirdir. Ancak yardımcı eşitsizlikler olarak, örneğin ODZ bulunurken veya bir fonksiyonun tanım tanım kümesi bulunurken bunlar her zaman ortaya çıkar. Böyle bir doğrusal eşitsizlik sıradan bir doğrusal denklem olarak çözülebilir. Yalnızca "=" işareti dışında her yerde ( eşittir) bir işaret koy " ≠ " (eşit değil). Eşitsizlik işaretiyle cevaba şu şekilde yaklaşırsınız:

X ≠ 0,75

Daha fazlası karmaşık örnekler, işleri farklı yapmak daha iyidir. Eşitlikten eşitsizliği çıkarın. Bunun gibi:

4x - 3 = 0

Bunu öğretildiği gibi sakince çözün ve cevabı alın:

x = 0,75

Önemli olan, en sonunda, son cevabı yazarken x'i bulduğumuzu unutmayın. eşitlik. Ve ihtiyacımız var - eşitsizlik. Dolayısıyla bu X'e aslında ihtiyacımız yok.) Ve onu doğru sembolle yazmamız gerekiyor:

X ≠ 0,75

Bu yaklaşım daha az hatayla sonuçlanır. Denklemleri otomatik olarak çözenler. Ve denklemleri çözemeyenler için eşitsizliklerin aslında hiçbir faydası yok...) Popüler bir göreve bir başka örnek:

3. Eşitsizliğin en küçük tamsayı çözümünü bulun:

3(x - 1) < 5x + 9

Öncelikle eşitsizliği çözüyoruz. Parantezleri açıyoruz, hareket ettiriyoruz, benzerlerini getiriyoruz... Elde ediyoruz:

X > - 6

Bu şekilde yürümedi mi? İşaretleri takip ettin mi? Ve üye işaretlerinin arkasında, eşitsizlik işaretinin arkasında...

Tekrar düşünelim. Hem cevap hem de koşulla eşleşen belirli bir sayı bulmamız gerekiyor "en küçük tam sayı". Eğer hemen aklınıza gelmezse, herhangi bir sayıyı alıp çözebilirsiniz. İki bölü eksi altı mı? Kesinlikle! Uygun daha küçük bir sayı var mı? Elbette. Örneğin sıfır -6'dan büyüktür. Ve hatta daha az mı? Mümkün olan en küçük şeye ihtiyacımız var! Eksi üç eksi altıdan fazladır! Zaten modeli yakalayabilir ve aptalca sayıların üzerinden geçmeyi bırakabilirsiniz, değil mi?)

-6'ya yakın bir sayı alalım. Örneğin -5. Cevap yerine getirildi, -5 > - 6. -5'ten küçük, -6'dan büyük başka bir sayı bulmak mümkün müdür? Mesela -5.5... Dur! bize söylendi tümçözüm! -5.5 atmıyor! Peki ya eksi altı? Uh-uh! Eşitsizlik kesindir, eksi 6 hiçbir şekilde eksi 6'dan küçük değildir!

Bu nedenle doğru cevap -5'tir.

Umarım bir dizi değerle genel çözüm temiz. Başka bir örnek:

4. Eşitsizliği çözün:

7 < 3x+1 < 13

Vay! Bu ifade denir üçlü eşitsizlik Aslına bakılırsa bu, eşitsizlikler sisteminin kısaltılmış bir şeklidir. Ancak bu tür üçlü eşitsizliklerin hala bazı görevlerde çözülmesi gerekiyor... Herhangi bir sistem olmadan çözülebilir. Aynı özdeş dönüşümlere göre.

Bu eşitsizliği basitleştirmemiz, saf X'e getirmemiz gerekiyor. Ama... Neyi nereye aktarmalı?! Burası sola ve sağa hareket etmenin önemli olduğunu hatırlamanın zamanı geldi kısaltılmış formİlk kimlik dönüşümü.

Ve tam form şöyle görünür: Denklemin her iki tarafına da herhangi bir sayı veya ifade eklenebilir/çıkarılabilir (eşitsizlik).

Burada üç bölüm var. Yani her üç parçaya da aynı dönüşümleri uygulayacağız!

O halde eşitsizliğin orta kısmındaki birimden kurtulalım. Orta kısmın tamamından bir çıkaralım. Eşitsizliğin değişmemesi için kalan iki kısımdan bir çıkarıyoruz. Bunun gibi:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Bu daha iyi, değil mi?) Geriye kalan tek şey üç parçayı da üçe bölmek:

2 < X < 4

Bu kadar. Cevap bu. X, ikiden (dahil değil) dörde (dahil değil) kadar herhangi bir sayı olabilir. Bu cevap da aralıklarla yazılır; bu tür girişler ikinci dereceden eşitsizliklerde olacaktır. İşte bunlar en yaygın olanlardır.

Dersin sonunda en önemli şeyi tekrarlayacağım. Çözümde başarı doğrusal eşitsizlikler doğrusal denklemleri dönüştürme ve basitleştirme yeteneğine bağlıdır. Eğer aynı zamanda eşitsizlik işaretine dikkat edin, herhangi bir sorun olmayacak. Senin için dilediğim şey bu. Sorun yok.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Eşitsizlik sayıların, değişkenlerin veya ifadelerin bir işaretle bağlandığı bir kayıttır<, >, veya . Yani eşitsizlik sayıların, değişkenlerin veya ifadelerin karşılaştırılması olarak adlandırılabilir. İşaretler < , > , ⩽ Ve ⩾ arandı eşitsizlik işaretleri.

Eşitsizlik türleri ve nasıl okundukları:

Örneklerden görülebileceği gibi, tüm eşitsizlikler iki bölümden oluşur: eşitsizlik işaretlerinden biriyle birbirine bağlanan sol ve sağ. Eşitsizliklerin parçalarını bağlayan işarete bağlı olarak katı ve katı olmayan olarak ayrılırlar.

Katı eşitsizlikler- parçaları bir işaretle birbirine bağlanan eşitsizlikler< или >. Katı olmayan eşitsizlikler- parçaların veya işaretiyle bağlandığı eşitsizlikler.

Cebirde karşılaştırmanın temel kurallarını ele alalım:

• Sıfırdan büyük herhangi bir pozitif sayı.
• Herhangi bir negatif sayı sıfırdan küçüktür.
• İki negatif sayıdan mutlak değeri küçük olan daha büyüktür. Örneğin, -1 > -7.
• A Ve B pozitif:

  A - B > 0,

  O A Daha B (A > B).

• İki eşit olmayan sayının farkı ise A Ve B olumsuz:

  A - B < 0,

  O A az B (A < B).

• Sayı sıfırdan büyükse pozitiftir:

  A> 0, bunun anlamı A- pozitif sayı.

• Sayı sıfırdan küçükse negatiftir:

  A < 0, значит A- negatif bir sayı.

Eşdeğer eşitsizlikler- diğer eşitsizliklerin sonucu olan eşitsizlikler. Örneğin, eğer A az B, O B Daha A:

A < B Ve B > A- eşdeğer eşitsizlikler

Eşitsizliklerin özellikleri

1. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı eklerseniz veya her iki taraftan da aynı sayıyı çıkarırsanız eşdeğer bir eşitsizlik elde edersiniz;

   Eğer A > B, O A + C > B + C Ve A - C > B - C

   Bundan, eşitsizlik terimlerini bir kısımdan diğerine zıt işaretle aktarmanın mümkün olduğu sonucu çıkmaktadır. Örneğin eşitsizliğin her iki tarafına da eklersek A - B > C - D İle D, şunu elde ederiz:

   A - B > C - D

   A - B + D > C - D + D

   A - B + D > C

2. Eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılır veya bölünürse eşdeğer bir eşitsizlik elde edilir;
3. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı negatif sayı ile çarpılır veya bölünürse, verilenin tersi eşitsizlik elde edilecektir, yani, Bu nedenle, eşitsizliğin her iki kısmını da negatif bir sayı ile çarparken veya bölerken, işareti eşitsizliğin tersine değiştirilmesi gerekir.

   Bu özellik, her iki tarafı -1 ile çarparak ve eşitsizliğin işaretini ters çevirerek bir eşitsizliğin tüm terimlerinin işaretlerini değiştirmek için kullanılabilir:

   -A + B > -C

   (-A + B) · -1< (-C) · -1

   A - B < C

   Eşitsizlik -A + B > -C eşitsizlikle eşdeğer A - B < C

Örneğin eşitsizlik \(x>5\) ifadesidir.

Eşitsizlik türleri:

Eğer \(a\) ve \(b\) sayılar veya ise eşitsizliğe denir sayısal. Aslında bu sadece iki sayıyı karşılaştırmaktır. Bu tür eşitsizlikler şu şekilde ayrılır: sadık Ve vefasız.

Örneğin:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) yanlış bir sayısal eşitsizliktir, çünkü \(17+3=20\) ve \(20\) \(115\)'ten küçüktür (ve ondan büyük veya ona eşit değildir) .

Eğer \(a\) ve \(b\) bir değişken içeren ifadelerse, o zaman elimizde değişkenli eşitsizlik. Bu tür eşitsizlikler içeriğe bağlı olarak türlere ayrılır:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Yalnızca birinci kuvvete göre değişken
\(3x^2-x+5>0\)				İkinci kuvvette (kare) bir değişken vardır, ancak daha yüksek kuvvetler (üçüncü, dördüncü vb.) yoktur.
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... ve benzeri.

Eşitsizliğin çözümü nedir?

Bir eşitsizliğin yerine bir değişken yerine bir sayı koyarsanız, eşitsizlik sayısal bir eşitliğe dönüşecektir.

Eğer x için verilen bir değer orijinal eşitsizliği gerçek sayısal eşitsizliğe çeviriyorsa buna denir. eşitsizliğin çözümü. Aksi takdirde bu değer bir çözüm değildir. Ve eşitsizliği çöz– tüm çözümlerini bulmanız (veya hiçbir çözüm olmadığını göstermeniz) gerekir.

Örneğin,\(7\) sayısını doğrusal eşitsizlik \(x+6>10\) yerine koyarsak, doğru sayısal eşitsizliği elde ederiz: \(13>10\). Ve eğer \(2\) yerine koyarsak, yanlış bir sayısal eşitsizlik \(8>10\) olacaktır. Yani, \(7\) orijinal eşitsizliğin bir çözümüdür, ancak \(2\) değildir.

Ancak \(x+6>10\) eşitsizliğinin başka çözümleri de vardır. Aslında, \(5\), \(12\) ve \(138\)'i yerine koyarken doğru sayısal eşitsizlikleri elde edeceğiz... Peki tüm olası çözümleri nasıl bulabiliriz? Bunun için kullanıyorlar. Bizim durumumuz için elimizde:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Yani dörtten büyük herhangi bir sayı bize yakışacaktır. Şimdi cevabı yazmanız gerekiyor. Eşitsizliklerin çözümleri genellikle sayısal olarak yazılır ve ayrıca gölgelendirmeyle sayı ekseninde işaretlenir. Bizim durumumuz için elimizde:

Cevap: \(x\in(4;+\infty)\)

Bir eşitsizliğin işareti ne zaman değişir?

Eşitsizliklerde öğrencilerin düşmeyi gerçekten "sevdiği" büyük bir tuzak var:

Bir eşitsizlik negatif bir sayıyla çarpıldığında (veya bölündüğünde) ters çevrilir ("daha fazla" "daha az", "daha fazla veya eşit" "küçük veya eşit" vb.)

Bu neden oluyor? Bunu anlamak için, \(3>1\) sayısal eşitsizliğinin dönüşümlerine bakalım. Doğrudur, üç gerçekten de birden büyüktür. Öncelikle bunu herhangi bir pozitif sayıyla, örneğin ikiyle çarpmaya çalışalım:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Gördüğümüz gibi çarpma sonrasında eşitsizlik aynı kalıyor. Ve hangi pozitif sayıyla çarparsak çarpalım her zaman doğru eşitsizliği elde ederiz. Şimdi negatif bir sayıyla, örneğin eksi üçle çarpmayı deneyelim:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Sonuç yanlış bir eşitsizliktir çünkü eksi dokuz eksi üçten küçüktür! Yani eşitsizliğin doğru olması için (ve dolayısıyla çarpmanın negatife dönüşümü “yasaldı”), karşılaştırma işaretini şu şekilde tersine çevirmeniz gerekir: \(−9<− 3\).
Bölme işleminde de aynı şekilde çalışacaktır, kendiniz kontrol edebilirsiniz.

Yukarıda yazılan kural sadece sayısal eşitsizlikler için değil, her türlü eşitsizlik için geçerlidir.

Örnek: \(2(x+1)-1) eşitsizliğini çözün<7+8x\)
Çözüm:

\(2x+2-1<7+8x\)	İşaretleri değiştirmeyi unutmadan \(8x\)'i sola, \(2\) ve \(-1\)'i sağa taşıyalım.
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Eşitsizliğin her iki tarafını da \(-6\)'ya bölelim, “daha ​​az”dan “çok”a geçmeyi unutmayalım
	Eksen üzerinde sayısal bir aralık işaretleyelim. Eşitsizlik, bu nedenle \(-1\) değerinin kendisini "çıkarıyoruz" ve onu cevap olarak kabul etmiyoruz
	Cevabı aralık olarak yazalım

Cevap: \(x\in(-1;\infty)\)

Eşitsizlikler ve engellilik

Eşitsizliklerin de tıpkı denklemler gibi, yani x'in değerleri üzerinde kısıtlamaları olabilir. Buna göre DZ'ye göre kabul edilemez olan değerlerin çözüm aralığının dışında tutulması gerekir.

Örnek: \(\sqrt(x+1) eşitsizliğini çözün<3\)

Çözüm: Sol tarafın \(3\)'ten küçük olması için radikal ifadenin \(9\)'dan küçük olması gerektiği açıktır (sonuçta \(9\)'dan sadece \(3\)). Şunu elde ederiz:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Tüm? \(8\)'den küçük herhangi bir x değeri bize uyar mı? HAYIR! Çünkü örneğin gereksinime uygun görünen \(-5\) değerini alırsak, bu bizi negatif bir sayının kökünü hesaplamaya götüreceği için orijinal eşitsizliğin çözümü olmayacaktır.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Bu nedenle, X'in değerine ilişkin kısıtlamaları da dikkate almalıyız - kökün altında negatif bir sayı olacak şekilde olamaz. Böylece x için ikinci şartımız var:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Ve x'in nihai çözüm olması için, her iki gereksinimi de aynı anda karşılaması gerekir: \(8\)'den küçük (çözüm olması için) ve \(-1\)'den büyük olması gerekir (prensipte kabul edilebilir olması için). Bunu sayı doğrusunda çizersek son cevabı buluruz:

Cevap: \(\sol[-1;8\sağ)\)

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Eşitsizliklerin tanımı ve temel özellikleri.

Tanımlar:

Eşitsizlikler formun ifadeleri denir A ≤ b) ,a>b(a ≥ b) ,

Nerede A Ve B sayılar veya işlevler olabilir.

Semboller<(≤ ) , >( ≥ ) arandıeşitsizlik işaretlerive buna göre okuyun:

küçük (küçük veya eşit), büyük (büyük veya eşit).

> ve işaretleri kullanılarak yazılan eşitsizlikler< ,называются sıkı,

ve işaretleri içeren eşitsizlikler≥ ve ≤,- sıkı değil.

Form eşitsizlikleri A arandıçift ​​eşitsizlikler

ve buna göre okuyun: X Daha A, Ama daha az B (X daha fazla veya eşit A, ancak küçüktür veya eşittir B ).

İki tür eşitsizlik vardır: sayısal ( 2>0,7 ;½<6 ) Vedeğişkenli eşitsizlikler (5 x-40>0 ; x²-2x<0 ) .

Sayısal eşitsizliklerin özellikleri:

• Eğer a>b, O B ; Eğer A , O b>a .
• Eğer A Ve B , O A .
• Eğer A Ve C- herhangi bir sayı o zaman a+c .
• Eğer A Ve c>0, O AC Eğer A ve C<0, то ac>bc.
• Eğer A Ve C , O a+c .
• Eğer A Ve C a, b, c, d pozitif sayılar olmak üzere, o zaman AC .

Sayısal aralıklar

Eşitsizlik	Sayısal aralık	İsim açıklık	Geometrik tercüme
		uçları a ve b,a olan kapalı aralık (bölüm)
		a ve b,a uçları olan açık açıklık (aralık)
		a ve b,a uçları olan yarı açık aralıklar (yarım aralıklar)
		sonsuz aralıklar (ışınlar)
		sonsuz aralıklar (açık ışınlar)
		sonsuz aralık (sayı doğrusu)

HAKKINDA Temel tanımlar ve özellikler.

Tanımlar :

Eşitsizliği çözmek bir değişken varsa değişkenin değeri çağrılır,

kedi Bu onu gerçek bir sayısal eşitsizliğe dönüştürür.

Eşitsizliği çözün- tüm çözümlerini bulmak veya hiçbir çözümün olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.

Çözümleri aynı olan eşitsizliklere denireş değer.

Çözümü olmayan eşitsizlikler de eşdeğer kabul edilir.

Eşitsizlikleri çözerken aşağıdakiler kullanılır:özellikler :

1) Eşitsizliğin bir kısmından diğerine geçersek

zıt işaretli başka bir terim,

2) Eşitsizliğin her iki tarafı çarpılırsa veya

aynı pozitif sayıya böleriz,

o zaman buna eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz.

3) Eşitsizliğin her iki tarafı çarpılırsa veya

aynı negatif sayıya böleriz,

eşitsizlik işaretini değiştirerek zıt,

o zaman buna eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz.

Dönüşüm sürecindeki birçok eşitsizlik doğrusal eşitsizliklere indirgenir.

Nformun eşitlikleri ah> B(Ah , NeredeA VeB - bazı sayılar

İsminde tek değişkenli doğrusal eşitsizlikler.

Eğer a>0 , o zaman eşitsizlik balta>beş değereşitsizlik

ve birçok çözümeşitsizlikler arasında bir boşluk var

Eğer A<0 , o zaman eşitsizlik balta>beşitsizlikle eşdeğer

ve birçok çözümeşitsizlikler arasında bir boşluk var

eşitsizlik şu şekli alacak 0∙ x>b, yani hiçbir çözümü yok , Eğer b≥0,

ve herhangi biri için doğru X,Eğer B<0 .

Tek değişkenli eşitsizliklerin çözümü için analitik yöntem.

Tek değişkenli eşitsizlikleri çözmek için algoritma

• Eşitsizliğin her iki tarafını da dönüştürün.
• Benzer terimler verin.
• Eşitsizliklerin özelliklerine dayanarak eşitsizlikleri en basit biçimine indirin.
• Cevabı yazın.

Eşitsizliklerin çözümüne örnekler verelim .

Örnek 1. Karar vermek 3x≤ 15 eşitsizliği var.

Çözüm:

HAKKINDAeşitsizliğin parçası yok

Rhadi bölelim pozitif sayı 3'e(özellik 2): x ≤ 5.

Eşitsizliğin çözüm kümesi sayısal aralık (-∞;5] ile temsil edilir.

Cevap:(- ∞;5]

Örnek 2 . Karar vermek -10 x≥34 eşitsizliği vardır.

Çözüm:

HAKKINDAeşitsizliğin parçası yokRhadi bölelim negatif bir sayıya -10,

bu durumda eşitsizlik işaretini tersine değiştiririz(özellik 3) : x ≤ - 3,4.

Eşitsizliğin çözüm kümesi (-∞;-3,4] aralığıyla temsil edilir.

Cevap : (-∞;-3,4] .

Örnek 3. Karar vermek 18+6x>0 eşitsizliği var.

Çözüm:

18. terimi ters işaretli olarak eşitsizliğin sol tarafına taşıyalım.(özellik 1): 6x>-18.

Her iki tarafı da 6'ya bölelim (özellik 2):

x>-3.

Eşitsizliğin çözüm kümesi (-3;+∞) aralığıyla temsil edilir.

Cevap: (-3;+∞ ).

Örnek 4.Karar vermek 3 (x-2)-4(x+2) eşitsizliği var<2(x-3)-2.

Çözüm:

Parantezleri açalım: 3x-6-4x-8<2x-6-2 .

Bilinmeyeni içeren terimleri sol tarafa taşıyalım,

ve bilinmeyeni içermeyen terimler, sağ tarafta (özellik 1) :

3x-4x-2x<6+8-6-2.

İşte bazı benzer terimler:-3x<6.

Her iki tarafı da -3'e böl (özellik 3) :

x>-2.

Eşitsizliğin çözüm kümesi (-2;+∞) aralığıyla temsil edilir.

Cevap: (-2;+∞ ).

Örnek 5 . Karar vermek eşitsizlik var

Çözüm:

Eşitsizliğin her iki tarafını kesirlerin en küçük ortak paydasıyla çarpalım,

eşitsizliğe dahil, yani 6'ya kadar(özellik 2).

Şunu elde ederiz:

,

2x-3x≤12.

Buradan, - x≤12,x≥-12 .

Cevap: [ -12;+∞ ).

Örnek 6 . Karar vermek 3(2-x)-2>5-3x eşitsizliği vardır.

Çözüm:

6-3x-2>5-3x, 4-3x>5-3x,-3x+3x>5-4.

Eşitsizliğin sol tarafında da benzer terimleri sunalım ve sonucu 0 şeklinde yazalım.∙ x>1.

Ortaya çıkan eşitsizliğin çözümü yoktur, çünkü herhangi bir x değeri için

sayısal eşitsizlik 0'a dönüşür< 1, не являющееся верным.

Bu, verilen eşitsizliğin kendisine eşdeğer hiçbir çözümü olmadığı anlamına gelir.

Cevap:hiçbir çözüm yok.

Örnek 7 . Karar vermek 2(x+1)+5>3-(1-2x) eşitsizliği var.

Çözüm:

Parantezleri açarak eşitsizliği basitleştirelim:

2x+2+5>3-1+2x, 2x+7>2+2x,2x-2x>2-7, 0∙ x>-5.

Ortaya çıkan eşitsizlik herhangi bir x değeri için doğrudur,

çünkü sol taraf herhangi bir x için sıfıra eşittir ve 0>-5.

Eşitsizliğin çözüm kümesi (-∞;+∞) aralığıdır.

Cevap:(-∞;+∞ ).

Örnek 8 . İfade hangi x değerlerinde anlamlıdır:

B)

Çözüm:

a) Aritmetik karekök tanımı gereği

aşağıdaki eşitsizlik sağlanmalıdır 5x-3 ≥0.

Çözdüğümüzde 5x≥3, x≥0,6 elde ederiz.

Dolayısıyla bu ifade, aralıktaki tüm x'ler için anlamlıdır.)