Özellikle ilgi çekici olan, matematiksel istatistik yöntemleri kullanılarak iş riskinin niceliksel değerlendirmesidir. Bu değerlendirme yönteminin ana araçları şunlardır:

§ rastgele bir değişkenin ortaya çıkma olasılığı,

§ incelenen rastgele değişkenin matematiksel beklentisi veya ortalama değeri,

§ dağılım,

§ standart (ortalama kare) sapma,

§ varyasyon katsayısı,

§ incelenmekte olan rastgele değişkenin olasılık dağılımı.

Bir karar vermek için iki kriterle ölçülen riskin büyüklüğünü (derecesini) bilmeniz gerekir:

1) ortalama beklenen değer (matematiksel beklenti),

2) olası sonucun dalgalanmaları (değişkenliği).

Ortalama Beklenen Değer bu, durumun belirsizliğiyle ilişkili olan bir rastgele değişkenin ağırlıklı ortalamasıdır:

,

rastgele değişkenin değeri nerede.

Ortalama beklenen değer, ortalama olarak beklediğimiz sonucu ölçer.

Ortalama değer genelleştirilmiş niteliksel bir özelliktir ve rastgele bir değişkenin herhangi bir özel değeri lehine karar verilmesine izin vermez.

Karar vermek için göstergelerdeki dalgalanmaları ölçmek, yani olası bir sonucun değişkenliğinin ölçüsünü belirlemek gerekir.

Olası bir sonuçtaki değişiklik, beklenen değerin ortalama değerden sapma derecesidir.

Bu amaçla pratikte genellikle birbiriyle yakından ilişkili iki kriter kullanılır: "dağılım" ve "standart sapma".

Dağılım – beklenen ortalamadan gerçek sonuçların karelerinin ağırlıklı ortalaması:

Standart sapma varyansın kareköküdür. Boyutsal bir niceliktir ve incelenen rastgele değişkenin ölçüldüğü aynı birimlerle ölçülür:

.

Varyans ve standart sapma mutlak varyasyonun bir ölçüsünü sağlar. Değişim katsayısı genellikle analiz için kullanılır.

Değişim katsayısı standart sapmanın ortalama beklenen değere oranını %100 ile çarparak temsil eder

veya .

Değişim katsayısı, çalışılan göstergenin mutlak değerlerinden etkilenmez.

Değişim katsayısını kullanarak, farklı ölçü birimleriyle ifade edilen özelliklerdeki dalgalanmaları bile karşılaştırabilirsiniz. Değişim katsayısı %0 ile %100 arasında değişebilir. Katsayı ne kadar yüksek olursa dalgalanmalar da o kadar büyük olur.

Ekonomik istatistiklerde, varyasyon katsayısının farklı değerlerinin aşağıdaki değerlendirmesi yapılmıştır:

%10'a kadar - zayıf dalgalanma, %10 – 25 - orta, %25'in üzerinde - yüksek.

Buna göre dalgalanmalar ne kadar yüksek olursa risk de o kadar büyük olur.

Örnek. Küçük bir dükkânın sahibi, her günün başında, satışa sunulmak üzere bozulabilir bir ürün satın alıyor. Bu ürünün bir biriminin fiyatı 200 UAH'tır. Satış fiyatı – 300 UAH. bir birim için. Gözlemlerden, gün içerisinde bu ürüne olan talebin 4, 5, 6 veya 7 birim olabileceği ve bunlara karşılık gelen olasılıkların 0,1 olduğu bilinmektedir; 0,3; 0,5; 0.1. Ürün gün içinde satılmazsa gün sonunda her zaman 150 UAH fiyattan satın alınacaktır. bir birim için. Mağaza sahibi günün başında bu üründen kaç adet satın almalıdır?

Çözüm. Mağaza sahibi için bir kar matrisi oluşturalım. Örneğin mal sahibi bir üründen 7 adet alıp, 6. gün ve gün sonunda bir adet satarsa ​​elde edeceği karı hesaplayalım. Gün içinde satılan her birim ürün 100 UAH kar sağlar ve günün sonunda 200 - 150 = 50 UAH zarar eder. Böylece, bu durumda kar şöyle olacaktır:

Hesaplamalar diğer arz ve talep kombinasyonları için de benzer şekilde yapılır.

Beklenen kar, ilgili olasılıklar dikkate alınarak oluşturulan matrisin her satırı için olası kar değerlerinin matematiksel beklentisi olarak hesaplanır. Gördüğünüz gibi beklenen kârlar arasında en büyüğü 525 UAH. Söz konusu ürünün 6 adet tutarında satın alınmasına karşılık gelmektedir.

Ürünün gerekli sayıda birimini satın almaya yönelik nihai öneriyi doğrulamak için, ürüne yönelik her olası arz ve talep kombinasyonu için varyansı, standart sapmayı ve varyasyon katsayısını hesaplıyoruz (kar matrisinin her satırı):

400	0,1	40	16000
400	0,3	120	48000
400	0,5	200	80000
400	0,1	40	16000
	1,0	400	160000

350	0,1	35	12250
500	0,3	150	75000
500	0,5	250	125000
500	0,1	50	25000
	1,0	485	2372500

300	0,1	30	9000
450	0,3	135	60750
600	0,5	300	180000
600	0,1	60	36000
	1,0	525	285750

Mağaza sahibi için 5 ve 4 üniteye kıyasla 6 ünite ürün satın alırken bu çok açık değildir, çünkü 6 ünite (%19,2) ürün alırken risk 5 ünite (%9,3) satın alırken olduğundan daha fazladır ve hatta daha da fazladır. 4 birim (%0) satın alırken olduğundan daha fazla.

Böylece beklenen karlar ve riskler hakkında tüm bilgilere sahibiz. Mağaza sahibi de tecrübesini ve risk iştahını dikkate alarak her sabah kaç adet ürün alması gerektiğine karar veriyor.

Bizce mağaza sahibine her sabah 5 adet ürün alması tavsiye edilmeli ve ortalama beklenen karı 485 UAH olacaktır. ve bunu ortalama beklenen kârın 525 UAH yani 40 UAH olduğu 6 birimlik ürün alımıyla karşılaştırırsanız. daha fazla, ancak bu durumda risk 2,06 kat daha fazla olacaktır.

3.5.1. Olasılıksal-istatistiksel araştırma yöntemi.

Çoğu durumda, yalnızca deterministik değil, aynı zamanda rastgele olasılıksal (istatistiksel) süreçleri de incelemek gerekir. Bu süreçler olasılık teorisi temelinde ele alınmaktadır.

Rastgele değişken x kümesi birincil matematiksel materyali oluşturur. Bir küme, bir dizi homojen olay olarak anlaşılmaktadır. Bir kitle olgusunun en çeşitli varyantlarını içeren bir kümeye genel popülasyon denir veya büyük örnek N. Genellikle nüfusun yalnızca bir kısmı incelenir; Seçilmiş popülasyon veya küçük örneklem.

Olasılık P(x) olaylar X vaka sayısının oranı denir N(x), bir olayın meydana gelmesine neden olan X, olası vakaların toplam sayısına göre N:

P(x)=N(x)/N.

Olasılık teorisi Rasgele değişkenlerin teorik dağılımlarını ve özelliklerini inceler.

Matematik istatistikleri ampirik olayları işleme ve analiz etme yollarını ele alır.

Bu iki ilgili bilim, bilimsel araştırmaları analiz etmek için yaygın olarak kullanılan, kütlesel rastgele süreçlerin tek bir matematiksel teorisini oluşturur.

Bilim ve teknolojinin çeşitli dallarında yaygın olarak kullanılan güvenilirlik, hayatta kalma ve güvenlik teorisinde olasılık ve matematiksel istatistik yöntemleri çok sık kullanılmaktadır.

3.5.2. İstatistiksel modelleme veya istatistiksel test yöntemi (Monte Carlo yöntemi).

Bu yöntem, karmaşık problemleri çözmeye yönelik sayısal bir yöntemdir ve olasılıksal süreçleri simüle eden rastgele sayıların kullanımına dayanmaktadır. Bu yöntemi çözmenin sonuçları, incelenen süreçlerin bağımlılıklarını ampirik olarak belirlemeyi mümkün kılar.

Monte Carlo yöntemini kullanarak problemlerin çözülmesi yalnızca yüksek hızlı bilgisayarların kullanılmasıyla etkilidir. Monte Carlo yöntemini kullanarak problemleri çözmek için istatistiksel bir seriye sahip olmanız, dağılım yasasını, ortalama değeri ve matematiksel beklentiyi bilmeniz gerekir. t(x), standart sapma.

Bu yöntemi kullanarak çözümün keyfi olarak belirlenmiş bir doğruluğunu elde edebilirsiniz;

-> t(x)

3.5.3. Sistem analiz yöntemi.

Sistem analizi, karmaşık etkileşimli öğeler kümesi olan karmaşık sistemleri incelemek için bir dizi teknik ve yöntem olarak anlaşılmaktadır. Sistem elemanlarının etkileşimi doğrudan ve geri beslemeli bağlantılarla karakterize edilir.

Sistem analizinin özü, bu bağlantıları tanımlamak ve bunların bir bütün olarak tüm sistemin davranışı üzerindeki etkilerini belirlemektir. En eksiksiz ve derinlemesine sistem analizi, optimizasyon ve kontrol amacıyla bilgiyi algılama, saklama ve işleme yeteneğine sahip karmaşık dinamik sistemlerin bilimi olan sibernetik yöntemleri kullanılarak gerçekleştirilebilir.

Sistem analizi dört aşamadan oluşur.

İlk aşama sorunun belirlenmesidir: çalışmanın amacı, amaçları ve hedefleri ile nesneyi incelemek ve onu yönetmek için kriterler belirlenir.

İkinci aşamada incelenen sistemin sınırları belirlenerek yapısı belirlenir. Hedefle ilgili tüm nesneler ve süreçler iki sınıfa ayrılır - incelenen sistemin kendisi ve dış ortam. Ayırt etmek kapalı Ve açık sistemler. Kapalı sistemleri incelerken dış ortamın davranışları üzerindeki etkisi ihmal edilir. Daha sonra sistemin bireysel bileşenleri - unsurları - tanımlanır ve bunlar ile dış çevre arasındaki etkileşim kurulur.

Sistem analizinin üçüncü aşaması, incelenen sistemin matematiksel bir modelini derlemektir. Öncelikle sistem parametrelendirilir, sistemin ana unsurları ve sistem üzerindeki temel etkiler belirli parametreler kullanılarak tanımlanır. Aynı zamanda sürekli ve ayrık, deterministik ve olasılıksal süreçleri karakterize eden parametreler de ayırt edilir. Süreçlerin özelliklerine bağlı olarak şu veya bu matematiksel aparat kullanılır.

Sistem analizinin üçüncü aşamasının bir sonucu olarak, sistemin resmi, örneğin algoritmik bir dilde tanımlanan tam matematiksel modelleri oluşturulur.

Dördüncü aşamada, ortaya çıkan matematiksel model analiz edilir, süreçleri ve kontrol sistemlerini optimize etmek ve sonuçları formüle etmek için aşırı koşulları bulunur. Optimizasyon, bu durumda uç değerler (minimum, maksimum, minimummaks) alan optimizasyon kriterine göre değerlendirilir.

Genellikle bir kriter seçilir ve diğerleri için izin verilen maksimum eşik değerleri belirlenir. Bazen birincil parametrelerin bir fonksiyonu olan karma kriterler kullanılır.

Seçilen optimizasyon kriterine dayanarak, optimizasyon kriterinin incelenen nesnenin (sürecin) modelinin parametrelerine bağımlılığı hazırlanır.

İncelenen modellerin optimize edilmesine yönelik çeşitli matematiksel yöntemler bilinmektedir: doğrusal, doğrusal olmayan veya dinamik programlama yöntemleri; kuyruk teorisine dayalı olasılıksal-istatistiksel yöntemler; Süreçlerin gelişimini rastgele durumlar olarak ele alan oyun teorisi.

Bilginin öz kontrolüne yönelik sorular

Teorik araştırma metodolojisi.

Bilimsel araştırmanın teorik gelişim aşamasının ana bölümleri.

Araştırma nesnesinin model türleri ve modelleme türleri.

Analitik araştırma yöntemleri.

Deney kullanarak analitik araştırma yöntemleri.

Olasılıksal-analitik araştırma yöntemi.

Statik modelleme yöntemleri (Monte Carlo yöntemi).

Sistem analiz yöntemi.

“Matematiksel istatistik” nedir

Matematiksel istatistik, “istatistiksel verilerin toplanması, sistemleştirilmesi, işlenmesi ve yorumlanmasının yanı sıra bunların bilimsel veya pratik sonuçlar için kullanılmasına yönelik matematiksel yöntemlere adanmış bir matematik dalı” olarak anlaşılmaktadır. Matematiksel istatistiğin kuralları ve prosedürleri, mevcut istatistiksel materyale dayanarak her problemde elde edilen sonuçların doğruluğunu ve güvenilirliğini değerlendirmemize olanak tanıyan olasılık teorisine dayanmaktadır. Bu durumda istatistiksel veriler, az ya da çok kapsamlı bir koleksiyondaki belirli özelliklere sahip nesnelerin sayısı hakkındaki bilgileri ifade eder.

Çözülen problemlerin türüne bağlı olarak matematiksel istatistikler genellikle üç bölüme ayrılır: veri açıklaması, tahmin ve hipotez testi.

İşlenen istatistiksel verinin türüne göre matematiksel istatistik dört alana ayrılır:

• - bir gözlemin sonucunun gerçek bir sayı ile tanımlandığı tek boyutlu istatistikler (rastgele değişkenlerin istatistikleri);
• - bir nesnenin gözlemlenmesinin sonucunun birkaç sayıyla (vektör) tanımlandığı çok değişkenli istatistiksel analiz;
• - gözlem sonucunun bir fonksiyon olduğu rastgele süreçlerin ve zaman serilerinin istatistikleri;
• - bir gözlemin sonucunun sayısal olmayan nitelikte olduğu, örneğin bir küme (geometrik şekil), bir sıralama veya bir ölçüme dayalı olarak elde edilen sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin istatistikleri niteliksel bir kritere göre.

Tarihsel olarak, sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin istatistiğinin bazı alanları (özellikle kusurların oranını tahmin etme ve bununla ilgili hipotezleri test etme sorunları) ve tek boyutlu istatistikler ilk ortaya çıkanlardı. Matematiksel aparat onlar için daha basittir, bu nedenle örnekleri genellikle matematiksel istatistiğin temel fikirlerini göstermek için kullanılır.

Yalnızca bu veri işleme yöntemleri, yani. matematiksel istatistikler kanıta dayalıdır ve ilgili gerçek olay ve süreçlerin olasılıksal modellerine dayanmaktadır. Tüketici davranışı modellerinden, risklerin ortaya çıkmasından, teknolojik ekipmanların işleyişinden, deneysel sonuçların elde edilmesinden, hastalığın seyrinden vb. bahsediyoruz. Gerçek bir olgunun olasılıksal modeli, eğer dikkate alınan miktarlar ve aralarındaki bağlantılar olasılık teorisi açısından ifade edilirse oluşturulmuş kabul edilmelidir. Gerçekliğin olasılıksal modeline uygunluk, yani. yeterliliği özellikle hipotezleri test etmek için istatistiksel yöntemler kullanılarak kanıtlanmıştır.

Olasılıksal olmayan veri işleme yöntemleri keşif amaçlıdır; sınırlı istatistiksel materyale dayanarak elde edilen sonuçların doğruluğunu ve güvenilirliğini değerlendirmeyi mümkün kılmadıkları için yalnızca ön veri analizinde kullanılabilirler.

Olasılıksal ve istatistiksel yöntemler, bir olgunun veya sürecin olasılıksal bir modelini oluşturmanın ve doğrulamanın mümkün olduğu her yerde uygulanabilir. Numune verilerinden elde edilen sonuçların popülasyonun tamamına (örneğin bir numuneden tüm ürün grubuna) aktarıldığı durumlarda bunların kullanılması zorunludur.

Belirli uygulama alanlarında, genel uygulama ve özel uygulamaların hem olasılıksal hem de istatistiksel yöntemleri kullanılır. Örneğin, ürün kalitesi yönetiminin istatistiksel yöntemlerine ayrılan üretim yönetimi bölümünde, uygulamalı matematiksel istatistikler (deney tasarımı dahil) kullanılır. Yöntemlerini kullanarak, teknolojik süreçlerin doğruluğunun ve istikrarının istatistiksel analizi ve istatistiksel kalite değerlendirmesi gerçekleştirilir. Spesifik yöntemler arasında ürün kalitesinin istatistiksel kabul kontrolü, teknolojik süreçlerin istatistiksel düzenlenmesi, güvenilirlik değerlendirmesi ve kontrolü vb. yöntemler yer alır.

Güvenilirlik teorisi ve kuyruk teorisi gibi uygulamalı olasılık ve istatistiksel disiplinler yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunlardan ilkinin içeriği isminden de bellidir, ikincisi ise çağrıları rastgele zamanlarda alan telefon santrali gibi sistemlerin (abonelerin telefon setlerinden numara çevirme gereksinimleri) incelenmesiyle ilgilidir. Bu gereksinimlerin karşılanma süresi, ör. konuşmaların süresi de rastgele değişkenlerle modellenmektedir. Bu disiplinlerin gelişimine büyük katkı SSCB Bilimler Akademisi Sorumlu Üyesi A.Ya. Khinchin (1894-1959), Ukrayna SSR B.V. Bilimler Akademisi Akademisyeni Gnedenko (1912-1995) ve diğer yerli bilim adamları.

Madencilik bilimindeki birçok durumda yalnızca deterministik değil aynı zamanda rastgele süreçleri de incelemek gerekir. Tüm jeomekanik süreçler, belirli olayların meydana gelebileceği veya gelmeyebileceği, sürekli değişen koşullar altında meydana gelir. Bu durumda rastgele bağlantıların analiz edilmesi gerekli hale gelir.

Olayların rastgele doğasına rağmen, belirli kalıplara tabidirler. olasılık teorisi Rastgele değişkenlerin teorik dağılımlarını ve özelliklerini inceleyen. Matematiksel istatistik olarak adlandırılan başka bir bilim, rastgele ampirik olayların işlenmesi ve analiz edilmesi yöntemleriyle ilgilenir. Bu iki ilgili bilim, bilimsel araştırmalarda yaygın olarak kullanılan, kütlesel rastgele süreçlerin birleşik bir matematiksel teorisini oluşturur.

Olasılık teorisinin ve matematiksel istatistiğin unsurları. Altında bütünlük Rastgele bir değişkenin homojen olaylar kümesini anlamak X, birincil istatistiksel materyali oluşturur. Popülasyon genel olabilir (büyük örnek N), kitlesel bir fenomen için çok çeşitli seçenekler içeren ve seçici (küçük örnek N 1), genel nüfusun yalnızca bir kısmını temsil eder.

Olasılık R(X) olaylar X vaka sayısının oranı denir N(X) bir olayın meydana gelmesine yol açan X, olası vakaların toplam sayısına göre N:

Matematiksel istatistiklerde olasılığın bir analoğu, olayın meydana geldiği vaka sayısının toplam olay sayısına oranı olan olay sıklığı kavramıdır:

Olayların sayısındaki sınırsız artışla sıklık olasılığa yönelir R(X).

Diyelim ki Şekil 2'de dağılım serisi (histogram) şeklinde sunulan bazı istatistiksel veriler var. 4.11'de frekans, aralıkta rastgele bir değişkenin ortaya çıkma olasılığını karakterize eder. і ve düzgün eğriye dağılım fonksiyonu denir.

Rastgele bir değişkenin olasılığı, onun ortaya çıkma olasılığının niceliksel bir değerlendirmesidir. Güvenilir bir olay R=1, imkansız olay – R=0. Bu nedenle rastgele bir olay için, tüm olası değerlerin olasılıklarının toplamı.

Araştırmada bir dağılım eğrisine sahip olmak yeterli değildir, aynı zamanda onun özelliklerini de bilmeniz gerekir:

a) aritmetik ortalama –; (4.53)

b) kapsam – R= X maksimum – X min , olayların çeşitliliğini kabaca tahmin etmek için kullanılabilir; X maksimum ve X min – ölçülen değerin aşırı değerleri;

c) matematiksel beklenti – . (4.54)

Sürekli rastgele değişkenler için matematiksel beklenti şu şekilde yazılır:

, (4.55)

onlar. gözlemlenen olayların gerçek değerine eşit X beklentiye karşılık gelen apsise dağılımın merkezi denir.

d) dağılım – , (4.56)

matematiksel beklentiye göre rastgele bir değişkenin dağılımını karakterize eder. Rastgele bir değişkenin varyansına aynı zamanda ikinci dereceden merkezi moment de denir.

Sürekli bir rastgele değişken için varyans eşittir

; (4.57)

e) standart sapma veya standart –

e) varyasyon katsayısı (göreceli dağılım) –

, (4.59)

farklı popülasyonlardaki saçılmanın yoğunluğunu karakterize eden ve bunları karşılaştırmak için kullanılan.

Dağılım eğrisinin altındaki alan birliğe karşılık gelir, bu da eğrinin rastgele değişkenlerin tüm değerlerini kapsadığı anlamına gelir. Bununla birlikte, birliğe eşit bir alana sahip olacak bu tür çok sayıda eğri oluşturulabilir; farklı saçılmalara sahip olabilirler. Dağılımın ölçüsü dağılım veya standart sapmadır (Şekil 4.12).

Yukarıda olasılık teorisi ile analiz edilen teorik dağılım eğrisinin temel özelliklerini inceledik. İstatistikte ampirik dağılımlarla çalışırlar ve istatistiğin asıl görevi mevcut ampirik dağılım yasasına göre teorik eğrilerin seçilmesidir.

Bir rastgele değişkenin n ölçümünün sonucu olarak bir varyasyon serisi elde edilsin X 1 , X 2 , X 3 , …xn. Bu tür serilerin işlenmesi aşağıdaki işlemlere indirgenmiştir:

– grup x ben aralıkta ve her biri için mutlak ve göreceli frekansları ayarlayın;

– değerlere göre bir adım histogramı oluşturulur (Şekil 4.11);

– ampirik dağılım eğrisinin özelliklerini hesaplayın: aritmetik ortalama, varyans D= ; standart sapma.

Değerler D Ve S ampirik dağılım değerlere karşılık gelir, D(X) Ve S(X) teorik dağılım.

Temel teorik dağılım eğrilerine bakalım. Çoğu zaman araştırmada, denklemi şu şekilde olan normal dağılım yasası kullanılır (Şekil 4.13):

(4.60)

Koordinat eksenini noktayla birleştirirseniz M yani kabul etmek M(X)=0 ve kabul et, normal dağılım yasası daha basit bir denklemle açıklanacaktır:

Saçılmayı tahmin etmek için genellikle miktar kullanılır . Daha az S,daha az saçılma, yani. gözlemler birbirinden çok az farklılık gösterir. Artışla S saçılma artar, hata olasılığı artar ve eşit olan eğrinin (ordinat) maksimumu azalır. Bu nedenle değer en=1/ at 1'e doğruluk ölçüsü denir. Standart sapmalar, dağılım eğrisinin bükülme noktalarına (Şekil 4.12'deki gölgeli alan) karşılık gelir.

Birçok rastgele ayrık süreci analiz ederken Poisson dağılımı (birim zamanda meydana gelen kısa vadeli olaylar) kullanılır. Çok sayıda nadir olayın meydana gelme olasılığı X=1, 2, ... belirli bir süre için Poisson yasasıyla ifade edilir (bkz. Şekil 4.14):

, (4.62)

Nerede X– belirli bir zaman dilimindeki olayların sayısı T;

λ – yoğunluk, yani birim zaman başına ortalama olay sayısı;

– zaman içindeki ortalama olay sayısı T;

Poisson yasasına göre varyans, olayların zaman içinde meydana gelme sayısının matematiksel beklentisine eşittir. T yani .

Bazı süreçlerin niceliksel özelliklerini (makine arızalarının süresi vb.) incelemek için, dağıtım yoğunluğu bağımlılıkla ifade edilen üstel bir dağılım yasası kullanılır (Şekil 4.15).

Nerede λ – birim zaman başına olayların yoğunluğu (ortalama sayısı).

Üstel dağılımda yoğunluk λ matematiksel beklentinin tersidir λ = 1/M(X). Ayrıca ilişki geçerlidir.

Weibull dağıtım yasası çeşitli araştırma alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır (Şekil 4.16):

, (4.64)

Nerede N, μ , – yasanın parametreleri; X– tartışma, çoğunlukla zaman.

Parametrelerdeki kademeli bir düşüşle (zamanla kaya mukavemetinde azalma vb.) İlgili süreçleri incelerken, gama dağılım yasası uygulanır (Şekil 4.17):

, (4.65)

Nerede λ , A- seçenekler. Eğer A=1 ise gama fonksiyonu üstel yasaya dönüşür.

Yukarıdaki yasalara ek olarak başka dağıtım türleri de kullanılır: Pearson, Rayleigh, beta dağıtımı vb.

Varyans analizi. Araştırmalarda sıklıkla şu soru ortaya çıkar: Şu veya bu rastgele faktör, incelenen süreci ne ölçüde etkiliyor? Ana faktörleri belirleme yöntemleri ve bunların incelenen süreç üzerindeki etkileri, olasılık teorisi ve matematiksel istatistik - varyans analizinin özel bir bölümünde tartışılmaktadır. Tek faktörlü ve çok faktörlü analiz arasında bir fark vardır. Varyans analizi normal dağılım yasasının kullanımına ve rastgele değişkenlerin normal dağılım merkezlerinin eşit olduğu hipotezine dayanmaktadır. Bu nedenle tüm ölçümler aynı normal popülasyondan alınan bir örnek olarak kabul edilebilir.

Güvenilirlik teorisi. Bilim ve teknolojinin çeşitli dallarında yaygın olarak kullanılan güvenilirlik teorisinde olasılık teorisi ve matematiksel istatistik yöntemlerinden sıklıkla yararlanılmaktadır. Güvenilirlik, bir nesnenin gerekli süre boyunca belirli işlevleri yerine getirme (yerleşik performans göstergelerini sürdürme) özelliği olarak anlaşılmaktadır. Güvenilirlik teorisinde başarısızlıklar rastgele olaylar olarak kabul edilir. Arızaların niceliksel bir açıklaması için matematiksel modeller kullanılır - zaman aralıklarının dağılım fonksiyonları (normal ve üstel dağılım, Weibull, gama dağılımları). Görev, çeşitli göstergelerin olasılıklarını bulmaktır.

Monte Carlo yöntemi. Olasılıksal nitelikteki karmaşık süreçleri incelemek için Monte Carlo yöntemi kullanılır.Bu yöntemi kullanarak, söz konusu çeşitli seçeneklerden en iyi çözümü bulma sorunları çözülür.

Monte Carlo yöntemi aynı zamanda istatistiksel modelleme yöntemi olarak da adlandırılmaktadır. Bu sayısal bir yöntemdir, olasılıksal süreçleri simüle eden rastgele sayıların kullanımına dayanır. Yöntemin matematiksel temeli, aşağıdaki gibi formüle edilen büyük sayılar yasasıdır: Çok sayıda istatistiksel testle, bir rastgele değişkenin aritmetik ortalamasının matematiksel beklentisine yönelme olasılığı, 1'e eşittir:

, (4.64)

burada ε herhangi bir küçük pozitif sayıdır.

Monte Carlo yöntemini kullanarak problem çözme sırası:

– istatistiksel gözlemlerin toplanması, işlenmesi ve analizi;

– ana faktörlerin seçimi ve ikincil faktörlerin çıkarılması ve matematiksel bir modelin oluşturulması;

– bilgisayarda algoritmalar oluşturmak ve problemleri çözmek.

Monte Carlo yöntemini kullanarak problemleri çözmek için istatistiksel bir seriye sahip olmanız, dağılım yasasını, ortalama değeri, matematiksel beklentiyi ve standart sapmayı bilmeniz gerekir. Çözüm yalnızca bilgisayar kullanımıyla etkilidir.

Bu ders yerli ve yabancı yöntem ve risk analizi modellerinin sistemleştirilmesini sunmaktadır. Aşağıdaki risk analizi yöntemleri ayırt edilir (Şekil 3): deterministik; olasılıksal-istatistiksel (istatistiksel, teorik-olasılıksal ve olasılıksal-sezgisel); istatistiksel olmayan nitelikteki belirsizlik koşullarında (bulanık ve sinir ağı); Yukarıdaki yöntemlerin çeşitli kombinasyonları dahil olmak üzere birleştirilmiş (deterministik ve olasılıksal; olasılıksal ve bulanık; deterministik ve istatistiksel).

Deterministik Yöntemlerİlk olaydan başlayıp, beklenen arızalar dizisine ve kararlı durum son durumuna kadar, kaza gelişiminin aşamalarının bir analizini sağlar. Acil durum sürecinin gidişatı matematiksel simülasyon modelleri kullanılarak incelenir ve tahmin edilir. Yöntemin dezavantajları şunlardır: Nadiren fark edilen ancak önemli kaza gelişimi zincirlerini gözden kaçırma potansiyeli; yeterince yeterli matematiksel modeller oluşturmanın zorluğu; karmaşık ve pahalı deneysel çalışmaların yapılması ihtiyacı.

Olasılıksal-istatistiksel yöntemler Risk analizi, hem bir kazanın meydana gelme olasılığının değerlendirilmesini hem de süreçlerin bir veya başka bir gelişim yolunun göreceli olasılıklarının hesaplanmasını içerir. Bu durumda dallanmış olay ve arıza zincirleri analiz edilir, uygun bir matematiksel aparat seçilir ve kazanın tam olasılığı değerlendirilir. Bu durumda hesaplamalı matematiksel modeller, deterministik yöntemlere kıyasla önemli ölçüde basitleştirilebilir. Yöntemin ana sınırlamaları, ekipman arızalarına ilişkin istatistiklerin yetersiz olmasıyla ilgilidir. Ayrıca, basitleştirilmiş hesaplama şemalarının kullanılması ciddi kazalar için ortaya çıkan risk tahminlerinin güvenilirliğini azaltır. Bununla birlikte, olasılıksal yöntem şu anda en umut verici yöntemlerden biri olarak kabul edilmektedir. Çeşitli risk değerlendirme teknikleri Mevcut başlangıç ​​bilgilerine bağlı olarak aşağıdakilere ayrılır:

Olasılıklar mevcut istatistiksel verilerden (varsa) belirlendiğinde istatistiksel;

Olasılık-teorik, istatistiklerin pratikte bulunmadığı nadir olaylardan kaynaklanan riskleri değerlendirmek için kullanılır;

Olasılıksal-sezgisel, uzman değerlendirmesi yoluyla elde edilen öznel olasılıkların kullanımına dayanır. Yalnızca istatistiksel verilerin değil, aynı zamanda matematiksel modellerin de eksik olduğu (veya doğruluklarının çok düşük olduğu) tehlikelerin birleşiminden kaynaklanan karmaşık riskleri değerlendirirken kullanılırlar.

Belirsizlik koşullarında risk analizi yöntemleri istatistiksel olmayan doğa kazanın meydana gelme ve gelişme süreçleri hakkındaki bilgilerin yokluğu veya eksikliği ile ilişkili risk - kimyasal atık kaynağına ilişkin belirsizlikleri tanımlamayı amaçlamaktadır; insan hataları; Acil durum sürecinin gelişimini tanımlamak için kullanılan modellerin varsayımları.

Yukarıdaki risk analizi yöntemlerinin tümü, başlangıçtaki ve sonuçta ortaya çıkan bilgilerin niteliğine göre sınıflandırılır. kalite Ve nicel.

Pirinç. 3. Risk analizi yöntemlerinin sınıflandırılması

Niceliksel risk analizi yöntemleri, risk göstergelerinin hesaplanmasıyla karakterize edilir. Kantitatif bir analizin gerçekleştirilmesi, yüksek vasıflı uygulayıcılar, kaza oranları, ekipman güvenilirliği, çevredeki alanın özellikleri, hava koşulları, insanların bölgede ve tesisin yakınında harcadığı zaman, nüfus yoğunluğu ve diğer hususların dikkate alınmasıyla ilgili büyük miktarda bilgi gerektirir. faktörler.

Karmaşık ve pahalı hesaplamalar sıklıkla çok doğru olmayan bir risk değeri üretir. Tehlikeli üretim tesisleri için, gerekli tüm bilgiler mevcut olsa bile bireysel risk hesaplamalarının doğruluğu bir kattan fazla değildir. Ancak niceliksel bir risk değerlendirmesi yapmak, bir tesisin güvenlik düzeyi hakkında bir sonuca varmaktan ziyade farklı seçenekleri (örneğin, ekipman yerleşimi) karşılaştırmak için daha faydalıdır. Yabancı deneyimler, en büyük hacimli güvenlik önerilerinin, daha az bilgi ve işçilik maliyeti kullanan yüksek kaliteli risk analizi yöntemleri kullanılarak geliştirildiğini göstermektedir. Bununla birlikte, niceliksel risk değerlendirme yöntemleri her zaman çok faydalıdır ve bazı durumlarda farklı nitelikteki tehlikelerin karşılaştırılmasında ve tehlikeli üretim tesislerinin incelenmesi sırasında kabul edilebilir tek yöntemler bunlardır.

İLE deterministik yöntemler aşağıdakileri içerir:

- kalite(Kontrol listesi); “Ne - Eğer?”; Ön tehlike analizi (Proses Tehlikesi ve Analizi) (PHA); “Arıza Modu ve Etkileri Analizi” (Arıza Modu ve Etkileri Analizi) ) (FMEA), Eylem Hataları Analizi (AEA) ), Konsept Tehlike Analizi (CHA), Konsept Güvenlik İncelemesi (CSR), İnsan Tehlikesi ve İşletilebilirlik (HumanHAZOP), İnsan Güvenilirliği Analizi (HRA) ve İnsan Hataları veya Etkileşimleri (HEI), Mantıksal analiz;

- nicel(Örnek tanımaya dayalı yöntemler (küme analizi); Sıralama (uzman değerlendirmeleri); Riski belirleme ve sıralama metodolojisi (Tehlike Tanımlama ve Sıralama Analizi) (HIRA); Arıza Modu, Etkileri ve Kritiklik Analizi (Arıza Modu, Etkileri ve Kritik Analiz () FMECA);Domino etkileri analizi metodolojisi;Potansiyel risk belirleme ve değerlendirme yöntemleri); İnsan güvenilirliği üzerindeki etkinin ölçülmesi (İnsan Güvenilirliği Ölçümü) (HRQ).

İLE olasılıksal-istatistiksel yöntemler şunları içerir:

İstatistik: kalite yöntemler (akış haritaları) ve nicel yöntemler (kontrol grafikleri).

Olasılık-teorik yöntemler şunları içerir:

-kalite(Kaza Dizileri Öncüsü (ASP));

- nicel(Olay Ağacı Analizi) (ADS) (Olay Ağacı Analizi) (ETA); Hata Ağacı Analizi (FTA); Kısa Yol Risk Değerlendirmesi (SCRA); Karar ağacı; CWO'nun olasılıksal risk değerlendirmesi.

Olasılıksal buluşsal yöntemler şunları içerir:

- kalite– uzman değerlendirmesi, analoji yöntemi;

- nicel– puanlama, tehlikeli koşulları değerlendirmenin öznel olasılıkları, grup değerlendirmelerinin koordinasyonu vb.

Olasılıksal-sezgisel yöntemler, istatistiksel veri eksikliği olduğunda ve nadir olaylar durumunda, güvenilirlik göstergeleri ve sistemlerin teknik özellikleri hakkında yeterli istatistiksel bilgi eksikliği nedeniyle kesin matematiksel yöntemleri kullanma olanaklarının sınırlı olduğu durumlarda kullanılır. gerçek durum sistemlerini tanımlayan güvenilir matematiksel modellerin bulunmamasından kaynaklanmaktadır. Olasılıksal buluşsal yöntemler, uzman değerlendirmesi yoluyla elde edilen öznel olasılıkların kullanımına dayanmaktadır.

Uzman değerlendirmelerini kullanmanın iki düzeyi vardır: niteliksel ve niceliksel. Niteliksel düzeyde, sistem arızası nedeniyle tehlikeli bir durumun gelişmesi, nihai çözümün seçimi vb. için olası senaryolar belirlenir.Niceliksel (puan) değerlendirmelerin doğruluğu uzmanların bilimsel niteliklerine, yeteneklerine bağlıdır. belirli koşulları, olayları ve durumu geliştirmenin yollarını değerlendirmek. Bu nedenle, risk analizi ve değerlendirme sorunlarını çözmek için uzman anketleri yaparken, uyum katsayılarına dayalı olarak grup kararlarını koordine etmeye yönelik yöntemlerin kullanılması gerekir; ikili karşılaştırmalar ve diğerleri yöntemini kullanarak uzmanların bireysel sıralamalarına dayalı genelleştirilmiş sıralamaların oluşturulması. Kimyasal üretimindeki çeşitli tehlike kaynaklarını analiz etmek için, teknik araç, ekipman ve kurulum arızalarıyla ilişkili kazaların geliştirilmesine yönelik senaryolar oluşturmak amacıyla uzman değerlendirmelerine dayalı yöntemler kullanılabilir; Tehlike kaynaklarını sıralamak.

Risk analizi yöntemlerine doğru istatistiksel olmayan nitelikteki belirsizlik koşullarında ilgili olmak:

-bulanık niteliksel(Tehlike ve İşletilebilirlik Çalışması (HAZOP) ve Örüntü tanımaya dayalı yöntemler (bulanık mantık));

- sinir ağı teknik araç ve sistemlerin arızalarını, teknolojik ihlalleri ve süreçlerin teknolojik parametrelerinin durumlarındaki sapmaları tahmin etme yöntemleri; Kimyasal açıdan tehlikeli tesislerde acil durumların önlenmesini ve acil durum öncesi durumların belirlenmesini amaçlayan kontrol eylemlerinin araştırılması.

Risk değerlendirme sürecindeki belirsizlik analizinin, riskin değerlendirilmesinde kullanılan başlangıç ​​parametrelerinin ve varsayımların belirsizliğinin sonuçların belirsizliğine çevrilmesi olduğuna dikkat edin.

Disiplinde uzmanlaşmanın istenen sonucunu elde etmek için, pratik derslerde aşağıdaki CMMM STO'ları ayrıntılı olarak tartışılacaktır:

1. SS'nin olasılıksal analiz ve modelleme yöntemlerinin temelleri;

2. İstatistiksel matematiksel yöntemler ve karmaşık sistemlerin modelleri;

3. Bilgi teorisinin temelleri;

4. Optimizasyon yöntemleri;

Son bölüm.(Son bölümde dersin kısa bir özeti sunulur ve bu konudaki bilgilerin derinleştirilmesi, genişletilmesi ve pratik olarak uygulanması için bağımsız çalışma önerileri sunulur).

Böylece teknosferin temel kavramları ve tanımları, karmaşık sistemlerin sistem analizi ve karmaşık teknosfer sistem ve nesnelerinin tasarlanması problemlerinin çözümü için çeşitli yöntemler ele alınmıştır.

Bu konuyla ilgili pratik bir ders, sistematik ve olasılıksal yaklaşımlar kullanan karmaşık sistem projelerinin örneklerine ayrılacaktır.

Dersin sonunda öğretmen ders materyaliyle ilgili soruları yanıtlar ve kendi kendine çalışma görevini duyurur:

2) ders notlarını büyük ölçekli sistem örnekleriyle zenginleştirin: ulaşım, iletişim, sanayi, ticaret, video gözetim sistemleri ve orman yangınlarına yönelik küresel kontrol sistemleri.

Tarafından geliştirilmiş:

Bölüm Doçenti O.M. Medvedev

Kayıt sayfasını değiştir