Alt uzayın tabanını ve boyutunu bulun. Doğrusal uzaylar
Doğrusal uzay V denir n boyutlu, eğer içinde n tane doğrusal bağımsız vektörden oluşan bir sistem varsa ve daha fazla vektörden oluşan herhangi bir sistem doğrusal olarak bağımlıysa. n sayısına denir boyut (boyut sayısı) doğrusal uzay V ve gösterilir \operatöradı(dim)V. Başka bir deyişle, bir uzayın boyutu, bu uzayın doğrusal bağımsız vektörlerinin maksimum sayısıdır. Böyle bir sayı mevcutsa uzaya sonlu boyutlu denir. Herhangi bir n doğal sayısı için, V uzayında n doğrusal bağımsız vektörden oluşan bir sistem varsa, o zaman böyle bir uzaya sonsuz boyutlu denir (yazın: \operatöradı(dim)V=\infty). Aşağıda aksi belirtilmedikçe sonlu boyutlu uzaylar ele alınacaktır.
Temel N boyutlu bir doğrusal uzay, n adet doğrusal olarak bağımsız vektörün sıralı bir koleksiyonudur ( temel vektörleri).
Bir vektörün bir tabana göre genişletilmesine ilişkin Teorem 8.1. Eğer n boyutlu bir doğrusal uzayın temeli V ise, o zaman herhangi bir \mathbf(v)\in V vektörü, temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
ve dahası, tek yolla, yani. ihtimaller \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n açık bir şekilde belirlenir. Başka bir deyişle, uzayın herhangi bir vektörü bir tabana ve dahası benzersiz bir şekilde genişletilebilir.
Aslında V uzayının boyutu n'ye eşittir. Vektör sistemi \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n doğrusal olarak bağımsız (bu bir temeldir). Tabana herhangi bir \mathbf(v) vektörünü ekledikten sonra doğrusal bağımlı bir sistem elde ederiz \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(çünkü bu sistem n boyutlu uzayın (n+1) vektöründen oluşur). 7 doğrusal bağımlı ve doğrusal bağımsız vektörün özelliğini kullanarak teoremin sonucunu elde ederiz.
Sonuç 1. Eğer \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n V uzayının temeli ise, o zaman V=\operatöradı(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) yani doğrusal uzay, temel vektörlerin doğrusal aralığıdır.
Aslında eşitliği kanıtlamak için V=\operatöradı(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) iki set, kapanımların olduğunu göstermek için yeterlidir V\subset \operatöradı(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) ve aynı anda yürütülür. Aslında, bir yandan, doğrusal bir uzaydaki vektörlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonu, doğrusal uzayın kendisine aittir; \operatöradı(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. Öte yandan, Teorem 8.1'e göre uzayın herhangi bir vektörü, temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir; V\subset \operatöradı(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Bu, söz konusu kümelerin eşitliği anlamına gelir.
Sonuç 2. Eğer \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- V doğrusal uzayının vektörlerinden ve V'deki herhangi bir \mathbf(v)\ vektöründen oluşan doğrusal olarak bağımsız bir vektör sistemi, doğrusal bir kombinasyon (8.4) olarak temsil edilebilir: \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, o zaman V uzayının boyutu n'dir ve sistem \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n onun temelidir.
Gerçekte, V uzayında n tane doğrusal bağımsız vektörden oluşan bir sistem vardır ve herhangi bir sistem \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n Daha fazla sayıda vektörün (k>n) toplamı doğrusal olarak bağımlıdır, çünkü bu sistemdeki her bir vektör, vektörler cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Araç, \operatöradı(dim) V=n Ve \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- temel V.
Bir vektör sisteminin bir tabana eklenmesine ilişkin Teorem 8.2. N boyutlu doğrusal uzayın k vektörlerinden oluşan herhangi bir doğrusal bağımsız sistem (1\leqslant k Aslında, n boyutlu uzayda doğrusal olarak bağımsız bir vektör sistemi olsun V~(1\leqslant k Notlar 8.4 1. Doğrusal bir uzayın temeli belirsiz bir şekilde belirlenir. Örneğin, eğer \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n V uzayının temeli, ardından vektörler sistemi \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_n herhangi bir \lambda\ne0 için aynı zamanda V'nin de temelidir. Aynı sonlu boyutlu uzayın farklı tabanlarındaki temel vektörlerin sayısı elbette aynıdır, çünkü bu sayı uzayın boyutuna eşittir. 2. Uygulamalarda sıklıkla karşılaşılan bazı alanlarda, pratik açıdan en uygun olan olası tabanlardan birine standart denir. 3. Teorem 8.1, uzayın herhangi bir vektörünün taban vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmesi anlamında, bir tabanın doğrusal bir uzayın elemanlarından oluşan tam bir sistem olduğunu söylememize izin verir. 4. Eğer \mathbb(L) kümesi doğrusal bir açıklık ise \operatöradı(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), sonra vektörler \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k\mathbb(L) kümesinin üreteçleri denir. Eşitlik nedeniyle Teorem 8.1'in Sonuç 1'i V=\operatöradı(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) temel olduğunu söylememizi sağlar. minimal jeneratör sistemi doğrusal uzay V, üreteçlerin sayısını azaltmak mümkün olmadığından (kümeden en az bir vektörü çıkarın) \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) eşitliği ihlal etmeden V=\operatöradı(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Teorem 8.2 temelin şu olduğunu söylememizi sağlar: maksimum doğrusal bağımsız vektör sistemi doğrusal uzay, çünkü temel doğrusal olarak bağımsız bir vektör sistemidir ve doğrusal bağımsızlığını kaybetmeden herhangi bir vektörle tamamlanamaz. 6. Teorem 8.1'in Sonuç 2'sinin, doğrusal bir uzayın tabanını ve boyutunu bulmak için kullanılması uygundur. Bazı ders kitaplarında temeli tanımlamak için alınır: doğrusal bağımsız sistem \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n Doğrusal bir uzayın vektörlerinin toplamı, eğer uzayın herhangi bir vektörü vektörler cinsinden doğrusal olarak ifade ediliyorsa buna taban denir. \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Temel vektörlerin sayısı uzayın boyutunu belirler. Elbette bu tanımlar yukarıda verilenlere eşdeğerdir. Yukarıda tartıştığımız doğrusal uzay örneklerinin boyutunu ve temelini belirtelim. 1. Sıfır doğrusal uzayı \(\mathbf(o)\) doğrusal olarak bağımsız vektörler içermez. Bu nedenle bu uzayın boyutunun sıfır olduğu varsayılır: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Bu uzayın temeli yoktur. 2. V_1,\,V_2,\,V_3 uzaylarının boyutları sırasıyla 1, 2, 3'tür. Gerçekte, V_1 uzayının sıfır olmayan herhangi bir vektörü doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturur (bkz. Açıklamalar 8.2, 1. nokta) ve V_1 uzayının sıfır olmayan herhangi iki vektörü eşdoğrusaldır, yani; doğrusal bağımlı (bkz. örnek 8.1). Sonuç olarak \dim(V_1)=1 olur ve V_1 uzayının temeli sıfırdan farklı herhangi bir vektördür. Benzer şekilde \dim(V_2)=2 ve \dim(V_3)=3 olduğu kanıtlanmıştır. V_2 uzayının temeli, belirli bir sırayla alınan, doğrusal olmayan herhangi iki vektördür (bunlardan biri birinci temel vektör, diğeri ikinci olarak kabul edilir). V_3 uzayının temeli, belirli bir sırayla alınan, aynı düzlemde olmayan (aynı veya paralel düzlemlerde bulunmayan) herhangi üç vektördür. V_1'deki standart temel, doğru üzerindeki \vec(i) birim vektörüdür. V_2'deki standart temel temeldir \vec(i),\,\vec(j) düzlemin birbirine dik iki birim vektöründen oluşan. V_3 alanındaki standart temel, temel olarak kabul edilir \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), bir dik üçlü oluşturan, birbirine dik olan üç birim vektörden oluşur. 3. \mathbb(R)^n uzayı n'den fazla doğrusal bağımsız vektör içermez. Aslında, \mathbb(R)^n'den k sütun alalım ve bunlardan n\time k boyutunda bir matris oluşturalım. Eğer k>n ise sütunlar Teorem 3.4'e göre matrisin rütbesine doğrusal olarak bağımlıdır. Buradan, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. \mathbb(R)^n uzayında n adet doğrusal bağımsız sütun bulmak zor değildir. Örneğin birim matrisin sütunları \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. Doğrusal bağımsız. Buradan, \dim(\mathbb(R)^n)=n. \mathbb(R)^n uzayına denir n boyutlu gerçek aritmetik uzay. Belirtilen vektör kümesi, \mathbb(R)^n uzayının standart temeli olarak kabul edilir. Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki \dim(\mathbb(C)^n)=n, bu nedenle \mathbb(C)^n uzayına denir n boyutlu karmaşık aritmetik uzay. 4. Ax=o homojen sisteminin herhangi bir çözümünün şu şekilde temsil edilebileceğini hatırlayın: x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Nerede r=\operatöradı(rg)A,A \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- temel çözüm sistemi. Buradan, \(Ax=o\)=\operatöradı(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)) yani homojen bir sistemin çözüm uzayının temeli, onun temel çözüm sistemidir ve \dim\(Ax=o\)=n-r uzayının boyutudur; burada n, bilinmeyenlerin sayısıdır ve r, sistem matrisinin sırasıdır. 5. Boyutu 2\times3 olan matrislerin M_(2\times3) uzayında 6 matris seçebilirsiniz: \begin(toplandı)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(toplandı) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) yalnızca önemsiz durumda sıfır matrisine eşit \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Eşitliği (8.5) sağdan sola okuduktan sonra, M_(2\times3)'ten herhangi bir matrisin seçilen 6 matris aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiği sonucuna varırız; M_(2\times)= \operatöradı(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Buradan, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6 ve matrisler \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 bu alanın temelidir (standarttır). Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki \dim(M_(m\times n))=m\cdot n. 6. Karmaşık katsayılı polinomların P(\mathbb(C)) uzayındaki herhangi bir n doğal sayısı için, n doğrusal bağımsız eleman bulunabilir. Örneğin polinomlar \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) doğrusal kombinasyonları nedeniyle doğrusal olarak bağımsızdırlar a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) sıfır polinomuna (o(z)\equiv0) yalnızca önemsiz durumda eşittir a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Bu polinom sistemi herhangi bir l doğal sayısı için doğrusal olarak bağımsız olduğundan, P(\mathbb(C)) uzayı sonsuz boyutludur. Benzer şekilde, gerçek katsayılı polinomların P(\mathbb(R)) uzayının sonsuz bir boyuta sahip olduğu sonucuna varırız. Derecesi n'den yüksek olmayan polinomların P_n(\mathbb(R)) uzayı sonlu boyutludur. Aslında, \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, vektörleri \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^n doğrusal olarak bağımsız olduklarından ve P_n(\mathbb(R))'den herhangi bir polinom bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebildiğinden, bu uzayın (standart) bir temelini oluşturur: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Doğrusal uzayların tabanlarına örnekler
bunlar doğrusal olarak bağımsızdır. Aslında bunların doğrusal birleşimi
7. Sürekli fonksiyonların C(\mathbb(R)) uzayı sonsuz boyutludur. Aslında, herhangi bir n doğal sayısı için polinomlar 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1) Sürekli fonksiyonlar olarak kabul edilenler doğrusal olarak bağımsız sistemler oluşturur (önceki örneğe bakın).
Boşlukta T_(\omega)(\mathbb(R)) Tek terimlileri oluşturan gerçek katsayılara sahip trigonometrik binomlar (frekans \omega\ne0) \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Eşitlik eşit olduğundan doğrusal olarak bağımsızdırlar. a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 yalnızca önemsiz durumda mümkündür (a=b=0). Formun herhangi bir işlevi f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t temel olanlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. X kümesi üzerinde tanımlanan gerçel fonksiyonların \mathbb(R)^X uzayı, X'in tanım bölgesine bağlı olarak sonlu boyutlu veya sonsuz boyutlu olabilir. Eğer X sonlu bir küme ise, o zaman \mathbb(R)^X uzayı sonlu boyutludur (örneğin, X=\(1,2,\ldots,n\)). Eğer X sonsuz bir küme ise, o zaman \mathbb(R)^X uzayı sonsuz boyutludur (örneğin dizilerin \mathbb(R)^N uzayı).
9. \mathbb(R)^(+) uzayında, bire eşit olmayan herhangi bir pozitif \mathbf(e)_1 sayısı temel görevi görebilir. Örneğin \mathbf(e)_1=2 sayısını alalım. Herhangi bir pozitif sayı r \mathbf(e)_1 aracılığıyla ifade edilebilir, yani. formda temsil etmek \alpha\cdot \mathbf(e)_1\iki nokta üst üste r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, burada \alpha_1=\log_2r . Dolayısıyla bu uzayın boyutu 1'dir ve \mathbf(e)_1=2 sayısı tabandır.
10. İzin ver \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n gerçek doğrusal uzay V'nin temelidir. V üzerinde doğrusal skaler fonksiyonları aşağıdakileri ayarlayarak tanımlayalım:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)
Bu durumda, \mathcal(E)_i fonksiyonunun doğrusallığından dolayı, keyfi bir vektör için şunu elde ederiz: \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
Yani, n eleman (kovektör) tanımlanır \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n eşlenik uzay V^(\ast) . Hadi bunu kanıtlayalım \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- temel V^(\ast) .
Öncelikle sistemi gösteriyoruz. \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n Doğrusal bağımsız. Aslında bu kovektörlerin doğrusal bir kombinasyonunu alalım. (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= ve bunu sıfır fonksiyonuna eşitleyin
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\V'de.
Bu eşitliği yerine koyarsak \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, alıyoruz \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Bu nedenle elementler sistemi \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n uzay V^(\ast) doğrusal olarak bağımsızdır, çünkü eşitlik \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) yalnızca önemsiz bir durumda mümkündür.
İkinci olarak, herhangi bir f\in V^(\ast) doğrusal fonksiyonunun, ortak vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebileceğini kanıtlıyoruz. \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Aslında herhangi bir vektör için \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n f fonksiyonunun doğrusallığından dolayı şunu elde ederiz:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v))),\end(aligned)
onlar. f fonksiyonu doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilir f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n işlevler \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(sayılar \beta_i=f(\mathbf(e)_i)- doğrusal kombinasyon katsayıları). Bu nedenle kovektör sistemi \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n V^(\ast) ikili uzayının temelidir ve \dim(V^(\ast))=\dim(V)(sonlu boyutlu bir uzay için V ).
Bir hata, yazım hatası fark ederseniz veya herhangi bir öneriniz varsa yorumlara yazın.
N boyutlu vektör kavramlarını incelediğimizde ve vektörler üzerinde işlemlere başladığımızda, tüm n boyutlu vektörler kümesinin doğrusal bir uzay oluşturduğunu gördük. Bu yazıda ilgili en önemli kavramlardan, yani bir vektör uzayının boyutu ve tabanından bahsedeceğiz. Ayrıca keyfi bir vektörün bir tabana genişlemesi ve n boyutlu uzayın çeşitli tabanları arasındaki bağlantı hakkındaki teoremi de ele alacağız. Tipik örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak inceleyelim.
Sayfada gezinme.
Vektör uzayının boyut kavramı ve tabanı.
Bir vektör uzayının boyut ve temeli kavramları doğrudan doğrusal bağımsız bir vektör sistemi kavramıyla ilgilidir, bu nedenle gerekirse bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı, doğrusal bağımlılık ve bağımsızlık özellikleri makalesine başvurmanızı öneririz. .
Tanım.
Vektör uzayının boyutu bu uzaydaki doğrusal bağımsız vektörlerin maksimum sayısına eşit bir sayıdır.
Tanım.
Vektör uzayı temeli sayısı uzayın boyutuna eşit olan, bu uzayın doğrusal olarak bağımsız vektörlerinin sıralı bir kümesidir.
Bu tanımlara dayanarak bazı gerekçeler sunalım.
N boyutlu vektörlerin uzayını düşünün.
Bu uzayın boyutunun n olduğunu gösterelim.
şeklinde n birim vektörden oluşan bir sistem alalım.
Bu vektörleri A matrisinin satırları olarak alalım. Bu durumda, A matrisi n'ye n boyutunda bir birim matris olacaktır. Bu matrisin sıralaması n'dir (gerekirse makaleye bakın). Bu nedenle vektör sistemi 
doğrusal olarak bağımsızdır ve doğrusal bağımsızlığını ihlal etmeden bu sisteme tek bir vektör eklenemez. Sistemdeki vektörlerin sayısı nedeniyle n'ye eşitse, o zaman n boyutlu vektörlerin uzayının boyutu n'dir ve birim vektörler bu alanın temeli.
Son ifadeden ve temelin tanımından şu sonuca varabiliriz: vektörlerin sayısı n'den küçük olan herhangi bir n boyutlu vektör sistemi temel değildir.
Şimdi sistemin birinci ve ikinci vektörlerini yer değiştirelim . Ortaya çıkan vektör sisteminin olduğunu göstermek kolaydır. 
aynı zamanda n boyutlu bir vektör uzayının da temelidir. Bu sistemin vektörlerini satır olarak alarak bir matris oluşturalım. Bu matris birim matristen birinci ve ikinci satırların değiştirilmesiyle elde edilebilir, dolayısıyla sıralaması n olacaktır. Böylece, n vektörden oluşan bir sistem doğrusal olarak bağımsızdır ve n boyutlu bir vektör uzayının temelidir.
Sistemin diğer vektörlerini yeniden düzenlersek , sonra başka bir temel elde ederiz.
Birim olmayan vektörlerden oluşan doğrusal olarak bağımsız bir sistem alırsak, bu aynı zamanda n boyutlu bir vektör uzayının da temelidir.
Böylece, n boyutlu bir vektör uzayının, doğrusal olarak bağımsız n n boyutlu vektör sistemlerinin sayısı kadar tabanı vardır.
İki boyutlu bir vektör uzayından (yani bir düzlemden) bahsedersek, o zaman onun temeli doğrusal olmayan herhangi iki vektördür. Üç boyutlu uzayın temeli eş düzlemli olmayan herhangi üç vektördür.
Birkaç örneğe bakalım.
Örnek.
Vektörler üç boyutlu vektör uzayının temeli midir?
Çözüm.
Bu vektör sistemini doğrusal bağımlılık açısından inceleyelim. Bunu yapmak için satırları vektörlerin koordinatları olacak bir matris oluşturalım ve rütbesini bulalım: 
Dolayısıyla a, b ve c vektörleri doğrusal olarak bağımsızdır ve sayıları vektör uzayının boyutuna eşittir, dolayısıyla bu uzayın temelini oluştururlar.
Cevap:
Evet onlar.
Örnek.
Bir vektör sistemi bir vektör uzayının temeli olabilir mi?
Çözüm.
Bu vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır, çünkü doğrusal olarak bağımsız üç boyutlu vektörlerin maksimum sayısı üçtür. Sonuç olarak, bu vektör sistemi üç boyutlu bir vektör uzayının temeli olamaz (her ne kadar orijinal vektörler sisteminin bir alt sistemi bir temel olsa da).
Cevap:
Hayır yapamaz.
Örnek.
Vektörlerden emin olun 
dört boyutlu bir vektör uzayının temeli olabilir.
Çözüm.
Orijinal vektörleri satır olarak alarak bir matris oluşturalım: 
Bulalım: 
Dolayısıyla a, b, c, d vektörleri sistemi doğrusal olarak bağımsızdır ve sayıları vektör uzayının boyutuna eşittir, dolayısıyla a, b, c, d onun temelidir.
Cevap:
Orijinal vektörler aslında dört boyutlu uzayın temelidir.
Örnek.
Vektörler 4 boyutlu bir vektör uzayının temelini oluşturur mu?
Çözüm.
Orijinal vektör sistemi doğrusal olarak bağımsız olsa bile, içindeki vektörlerin sayısı dört boyutlu bir uzayın temeli olmaya yeterli değildir (böyle bir uzayın temeli 4 vektörden oluşur).
Cevap:
Hayır, öyle değil.
Bir vektörün vektör uzayı esasına göre ayrıştırılması.
Keyfi vektörlere izin ver n boyutlu bir vektör uzayının temelidir. Onlara n boyutlu bir x vektörü eklersek, ortaya çıkan vektör sistemi doğrusal olarak bağımlı olacaktır. Doğrusal bağımlılığın özelliklerinden, doğrusal bağımlı bir sistemin en az bir vektörünün diğerleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiğini biliyoruz. Başka bir deyişle, doğrusal bağımlı bir sistemin vektörlerinden en az biri, kalan vektörlere genişletilir.
Bu bizi çok önemli bir teoreme getiriyor.
Teorem.
N boyutlu bir vektör uzayının herhangi bir vektörü benzersiz bir şekilde bir tabana ayrıştırılabilir.
Kanıt.
İzin vermek - n boyutlu vektör uzayının temeli. Bu vektörlere n boyutlu bir x vektörü ekleyelim. Daha sonra ortaya çıkan vektör sistemi doğrusal olarak bağımlı olacaktır ve x vektörü, vektörler cinsinden doğrusal olarak ifade edilebilecektir. : , bazı sayılar nerede? x vektörünün tabana göre açılımını bu şekilde elde ettik. Geriye bu ayrışmanın benzersiz olduğunu kanıtlamak kalıyor.
Başka bir ayrışmanın daha olduğunu varsayalım. 
- bazı sayılar. Son eşitliğin sol ve sağ taraflarından sırasıyla eşitliğin sol ve sağ taraflarını çıkaralım:
Temel vektörler sisteminden beri doğrusal olarak bağımsızsa, bir vektörler sisteminin doğrusal bağımsızlığının tanımına göre, ortaya çıkan eşitlik ancak tüm katsayılar sıfıra eşit olduğunda mümkündür. Dolayısıyla vektör ayrışımının tabana göre tekliğini kanıtlar.
Tanım.
Katsayılar denir x vektörünün tabandaki koordinatları .
Bir vektörün bir tabana ayrıştırılmasıyla ilgili teoremi öğrendikten sonra, "bize n boyutlu bir vektör veriliyor" ifadesinin özünü anlamaya başlarız. 
" Bu ifade, koordinatları bazı temellerde belirtilen x n boyutlu vektör uzayının bir vektörünü düşündüğümüz anlamına gelir. Aynı zamanda, n boyutlu vektör uzayının başka bir tabanındaki aynı x vektörünün koordinatlarından farklı olacağını anlıyoruz.
Aşağıdaki problemi ele alalım.
Bize n boyutlu vektör uzayının bir bazında doğrusal olarak bağımsız n vektörden oluşan bir sistem verilsin 
ve vektör . Daha sonra vektörler aynı zamanda bu vektör uzayının da temelidir.
Tabanda x vektörünün koordinatlarını bulmamız gerekiyor. . Bu koordinatları şu şekilde gösterelim: .
Temelde vektör x bir fikri var. Bu eşitliği koordinat formunda yazalım:
Bu eşitlik, n bilinmeyen değişkenli n doğrusal cebirsel denklem sistemine eşdeğerdir. :
Bu sistemin ana matrisi şu şekildedir: 
A harfiyle gösterelim. A matrisinin sütunları doğrusal olarak bağımsız bir vektör sisteminin vektörlerini temsil eder yani bu matrisin rütbesi n'dir, dolayısıyla determinantı sıfır değildir. Bu gerçek, denklem sisteminin herhangi bir yöntemle bulunabilecek benzersiz bir çözüme sahip olduğunu gösterir; örneğin veya.
Bu şekilde gerekli koordinatlar bulunacaktır. tabanda x vektörü .
Örnekleri kullanarak teoriye bakalım.
Örnek.
Üç boyutlu vektör uzayının bazı temelinde, vektörler 
Vektörler sisteminin de bu uzayın tabanı olduğundan emin olun ve bu tabandaki x vektörünün koordinatlarını bulun.
Çözüm.
Bir vektör sisteminin üç boyutlu bir vektör uzayının temeli olması için doğrusal olarak bağımsız olması gerekir. Satırları vektör olan A matrisinin rütbesini belirleyerek bunu bulalım. Gauss yöntemini kullanarak sıralamayı bulalım 
dolayısıyla Rank(A) = 3, vektörler sisteminin doğrusal bağımsızlığını gösterir.
Yani vektörler temeldir. X vektörünün bu temelde koordinatları olsun. Daha sonra yukarıda gösterdiğimiz gibi bu vektörün koordinatları arasındaki ilişki denklem sistemi ile verilmektedir. 
Koşuldan bilinen değerleri onun yerine koyarsak, şunu elde ederiz: 
Cramer yöntemini kullanarak çözelim: 
Böylece, tabandaki x vektörünün koordinatları vardır 
.
Cevap:
Örnek.
Bazı temellerde 
dört boyutlu bir vektör uzayının doğrusal bağımsız bir vektör sistemi verilir 
biliniyor ki 
. x vektörünün koordinatlarını tabanda bulun .
Çözüm.
Vektörler sisteminden beri 
koşula göre doğrusal olarak bağımsızsa, dört boyutlu uzayın temelidir. O zaman eşitlik tabandaki x vektörünün olduğu anlamına gelir koordinatları vardır. x vektörünün koordinatlarını tabanda gösterelim. Nasıl .
Tabanlarda x vektörünün koordinatları arasındaki ilişkiyi tanımlayan denklem sistemi Ve benziyor 
Bilinen değerleri yerine koyarız ve gerekli koordinatları buluruz: 
Cevap:
.
Bazlar arasındaki ilişki.
N boyutlu bir vektör uzayının bir bazında doğrusal olarak bağımsız iki vektör sistemi verilsin 
Ve
yani onlar aynı zamanda bu mekanın da temelleridir.
Eğer 
- temeldeki vektörün koordinatları , ardından koordinat bağlantısı 
Ve bir doğrusal denklem sistemi tarafından verilir (bunun hakkında önceki paragrafta konuştuk): 
matris formunda şu şekilde yazılabilir: 
Benzer şekilde bir vektör için şunu yazabiliriz: 
Önceki matris eşitlikleri, esas olarak iki farklı tabanın vektörleri arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir matriste birleştirilebilir. 
Benzer şekilde tüm temel vektörleri ifade edebiliriz. esas yoluyla 
:
Tanım.
Matris 
isminde temelden geçiş matrisi üsse o zaman eşitlik doğrudur 
Bu eşitliğin her iki tarafını sağdan çarparsak
aldık 
Geçiş matrisini bulalım, ancak ters matrisi bulma ve matrisleri çarpma üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız (gerekirse makalelere bakın): 
Verilen bazlarda x vektörünün koordinatları arasındaki ilişkiyi bulmak için kalır.
X vektörünün tabanda koordinatları olsun, o zaman 
ve x vektörünün temelinde koordinatlar var, o zaman 
Son iki eşitliğin sol tarafları aynı olduğundan sağ tarafları eşitleyebiliriz: 
Sağdaki her iki tarafı da çarparsak
o zaman alırız 
Diğer tarafta 
(ters matrisi kendiniz bulun).
Son iki eşitlik bize x vektörünün tabanlardaki ve x vektörünün koordinatları arasında gerekli ilişkiyi verir.
Cevap:
Temelden tabana geçiş matrisi şu şekildedir: 
;
x vektörünün tabanlardaki koordinatları ve ilişkilerle ilişkilidir 
veya .
Bir vektör uzayının boyut ve tabanı kavramlarını inceledik, bir vektörü tabana ayırmayı öğrendik ve geçiş matrisi aracılığıyla n boyutlu vektör uzayının farklı tabanları arasındaki bağlantıyı keşfettik.
P Ve A- alt kümesi L. Eğer A kendisi alan üzerinde doğrusal bir alan oluşturur P Aynı operasyonlarla ilgili L, O A uzayın alt uzayı denir L.Doğrusal uzayın tanımına göre, A bir altuzay olsaydı fizibiliteyi kontrol etmek gerekirdi A operasyonlar:
1) : 
;
2) 
: 
;
ve işlemlerin yürütülüp yürütülmediğini kontrol edin A sekiz aksiyoma tabidir. Bununla birlikte, ikincisi gereksiz olacaktır (bu aksiyomların L'de geçerli olması nedeniyle), yani. aşağıdakiler doğrudur
Teorem. L, P alanı üzerinde doğrusal bir uzay olsun ve 
. Bir A kümesi L'nin bir alt uzayıdır ancak ve ancak aşağıdaki koşullar sağlanırsa:
İfade. Eğer L – N boyutlu doğrusal uzay ve A o zaman onun alt uzayı A aynı zamanda sonlu boyutlu doğrusal bir uzaydır ve boyutu şunu aşmaz: N.
P 
örnek 1.
V 2 segment vektörlerinin uzayının bir alt uzayı, her biri 0x veya 0y koordinat eksenlerinden birinde yer alan tüm düzlem vektörlerin S kümesi midir?
Çözüm: İzin vermek 
, 
Ve 
, 
. Daha sonra 
. Bu nedenle S bir altuzay değildir 
.
Örnek 2. Doğrusal bir uzayın doğrusal bir alt uzayıdır V 2 birçok düzlem parçası vektörü var S başlangıçları ve bitişleri belirli bir doğru üzerinde bulunan tüm düzlem vektörleri ben bu uçak?
Çözüm.
e 
kayma vektörü 
gerçek sayıyla çarpın k, sonra vektörü elde ederiz 
, aynı zamanda S.'ye aittir. 
Ve 
S'den iki vektördür, o zaman 
(vektörlerin düz bir çizgiye eklenmesi kuralına göre). Bu nedenle S bir altuzaydır 
.
Örnek 3. Doğrusal bir uzayın doğrusal bir alt uzayıdır V 2 bir demet A uçları belirli bir doğru üzerinde bulunan tüm düzlem vektörleri ben, (herhangi bir vektörün orijininin koordinatların orijini ile çakıştığını varsayalım)?
R 
karar.
Düz çizginin olduğu durumda ben küme orijinden geçmiyor A uzayın doğrusal alt uzayı V 2
değil çünkü 
.
Düz çizginin olduğu durumda ben
orijinden geçer, set A uzayın doğrusal bir alt uzayıdır V 2
,
Çünkü 
ve herhangi bir vektörü çarparken 
gerçek bir sayıya α
Sahadan R aldık 
. Böylece, bir küme için doğrusal alan gereksinimleri A tamamlanmış.
Örnek 4. Bir vektör sistemi verilsin 
doğrusal uzaydan L alanın üzerinde P. Mümkün olan tüm doğrusal kombinasyonların kümesinin olduğunu kanıtlayın 
ihtimalli 
itibaren P bir alt uzaydır L(bu bir altuzaydır A bir vektörler sistemi tarafından oluşturulan alt uzaya denir veya doğrusal kabuk bu vektör sistemi, ve aşağıdaki gibi gösterilir: 
veya 
).
Çözüm. Aslında, o zamandan beri herhangi bir element için X,
sen
A sahibiz: 
, 
, Nerede 
, 
. Daha sonra
O zamandan beri 
, Bu yüzden 
.
Teoremin ikinci koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim. Eğer X– herhangi bir vektör A Ve T– herhangi bir numara P, O . Çünkü 
Ve 
,, O 
, , Bu yüzden 
. Böylece teoreme göre küme A– doğrusal uzayın alt uzayı L.
Sonlu boyutlu doğrusal uzaylar için bunun tersi de doğrudur.
Teorem. Herhangi bir alt uzay A doğrusal uzay L alanın üzerinde 
bazı vektör sistemlerinin doğrusal açıklığıdır.
Doğrusal bir kabuğun tabanını ve boyutunu bulma problemini çözerken aşağıdaki teorem kullanılır.
Teorem. Doğrusal kabuk temeli 
vektör sisteminin temeli ile örtüşmektedir. Doğrusal kabuğun boyutu, vektörler sisteminin sıralamasıyla çakışır.
Örnek 4. Alt uzayın tabanını ve boyutunu bulun 
doğrusal uzay R 3
[
X]
, Eğer 
, 
, 
, 
.
Çözüm. Vektörlerin ve bunların koordinat satırlarının (sütunlarının) aynı özelliklere (doğrusal bağımlılığa göre) sahip olduğu bilinmektedir. Matris yapmak A=
vektörlerin koordinat sütunlarından 
temelde 
.
Matrisin rütbesini bulalım A.
. M 3
=
. 
.
Bu nedenle sıralama R(A)=
3. Yani vektör sisteminin rütbesi 3'tür. Bu, S alt uzayının boyutunun 3 olduğu ve tabanının üç vektörden oluştuğu anlamına gelir. 
(çünkü temel minörde 
yalnızca bu vektörlerin koordinatları dahil edilmiştir).
Örnek 5. küme olduğunu kanıtlayın H aritmetik uzay vektörleri 
İlk ve son koordinatları 0 olan doğrusal bir alt uzay oluşturur. Temelini ve boyutunu bulun.
Çözüm. İzin vermek 
.
Sonra ve . Buradan, 
herhangi . Eğer 
, 
, O . Böylece doğrusal altuzay teoremine göre küme H uzayın doğrusal bir alt uzayıdır. Hadi temeli bulalım H. Aşağıdaki vektörleri göz önünde bulundurun H: 
, 
, . Bu vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızdır. Gerçekten öyle olsun.
Doğrusal homojen denklem sistemleri
Sorunun formülasyonu. Bir temel bulun ve sistemin doğrusal çözüm uzayının boyutunu belirleyin
Çözüm planı.
1. Sistem matrisini yazın:
ve temel dönüşümleri kullanarak matrisi üçgen forma dönüştürüyoruz, yani. ana köşegenin altındaki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir forma. Sistem matrisinin sıralaması doğrusal olarak bağımsız satırların sayısına, yani bizim durumumuzda sıfır olmayan elemanların kaldığı satırların sayısına eşittir:
Çözüm uzayının boyutu. Eğer ise homojen bir sistemin tek bir sıfır çözümü vardır, eğer ise sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.
2. Temel ve serbest değişkenleri seçin. Serbest değişkenler ile gösterilir. Daha sonra temel değişkenleri serbest olanlar cinsinden ifade ederiz, böylece homojen bir doğrusal denklem sistemine genel bir çözüm elde ederiz.
3. Serbest değişkenlerden birini sırayla bire, geri kalanını sıfıra eşitleyerek sistemin çözüm uzayının temelini yazıyoruz. Sistemin doğrusal çözüm uzayının boyutu temel vektörlerin sayısına eşittir.
Not. Temel matris dönüşümleri şunları içerir:
1. bir diziyi sıfır olmayan bir faktörle çarpmak (bölmek);
2. herhangi bir sayıyla çarpılarak herhangi bir satıra başka bir satır eklemek;
3. hatların yeniden düzenlenmesi;
4. Sütunlar için 1-3 dönüşümleri (doğrusal denklem sistemlerinin çözümü durumunda, sütunların temel dönüşümleri kullanılmaz).
Görev 3. Bir temel bulun ve sistemin doğrusal çözüm uzayının boyutunu belirleyin.
Sistemin matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu üçgen forma indiriyoruz:
O zaman varsayıyoruz
1. Alt uzaya izin ver L = L(A 1 , A 2 , …, ve M) , yani L– sistemin doğrusal kabuğu A 1 , A 2 , …, ve M; vektörler A 1 , A 2 , …, ve M– bu alt uzayın jeneratör sistemi. Daha sonra temel L vektörler sisteminin temelidir A 1 , A 2 , …, ve M yani jeneratör sisteminin temeli. Boyut L jeneratör sisteminin rütbesine eşittir.
2. Alt uzaya izin ver L alt uzayların toplamıdır L 1 ve L 2. Bir toplam için alt uzaylar üreten bir sistem, alt uzaylar üreten sistemlerin birleştirilmesiyle elde edilebilir, ardından toplamın temeli bulunur. Tutarın boyutu aşağıdaki formülle belirlenir:
loş(L 1 + L 2) = loşL 1 + loşL 2 – loş(L 1Ç L 2).
3. Alt uzayların toplamı olsun L 1 ve L 2 düz yani L = L 1 A L 2. burada L 1Ç L 2 = {Ö) Ve loş(L 1Ç L 2) = 0. Direkt toplamın tabanı, terimlerin tabanlarının birliğine eşittir. Doğrudan toplamın boyutu, terimlerin boyutlarının toplamına eşittir.
4. Bir altuzay ve doğrusal manifolda önemli bir örnek verelim.
Homojen bir sistem düşünün M ile doğrusal denklemler N Bilinmeyen. Birçok çözüm M Bu sistemin 0'ı bu kümenin bir alt kümesidir Rn ve vektörlerin toplanması ve bir gerçek sayı ile çarpılması durumunda kapatılır. Bu, çok sayıda olduğu anlamına gelir M 0 – uzayın alt uzayı Rn. Alt uzayın temeli, homojen bir sistemin temel çözüm kümesidir; alt uzayın boyutu, sistemin temel çözüm kümesindeki vektörlerin sayısına eşittir.
Bir demet M ortak sistem çözümleri M ile doğrusal denklemler N bilinmeyenler aynı zamanda kümenin bir alt kümesidir Rn ve kümenin toplamına eşit M 0 ve vektör A, Nerede A orijinal sistemin belirli bir çözümüdür ve küme M 0 – bu sisteme eşlik eden homojen bir doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesi (orijinalinden yalnızca serbest terimlerle farklıdır),
M = A + M 0 = {A = M, M Î M 0 }.
Bu şu anlama geliyor: birçok M uzayın doğrusal bir manifoldudur Rn kaydırma vektörü ile A ve yön M 0 .
Örnek 8.6. Homojen bir doğrusal denklem sistemi tarafından tanımlanan alt uzayın tabanını ve boyutunu bulun:
Çözüm. Bu sisteme ve onun temel çözümlerine genel bir çözüm bulalım: 
İle 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), İle 2 = (12, –8, 0, 1, 0), İle 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
Alt uzayın temeli vektörlerden oluşur İle 1 , İle 2 , İle 3, boyutu üçtür.
İş bitimi -
Bu konu şu bölüme aittir:
Lineer Cebir
N. Nekrasov'un adını taşıyan Kostroma Devlet Üniversitesi..
Bu konuyla ilgili ek materyale ihtiyacınız varsa veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:
Alınan materyalle ne yapacağız:
Bu materyal sizin için yararlı olduysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz:
| Cıvıldamak |
Bu bölümdeki tüm konular:
BBK 22.174ya73-5
M350 KSU'nun yayın ve yayın kurulu kararıyla yayınlandı. N. A. Nekrasova Yorumcu A. V. Cherednikov
BBK 22.174ya73-5
》 T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 、 KSU adını almıştır. N. A. Nekrasova, 2013
Birlik (veya toplam)
Tanım 1.9.A ve B kümelerinin birleşimi, yalnızca ait olan öğelerden oluşan bir A È B kümesidir.
Kesişme (veya ürün)
Tanım 1.10. A ve B kümelerinin kesişimi, yalnızca aynı kümeye ait olanlardan oluşan bir A Ç B kümesidir.
Fark
Tanım 1.11.A ve B kümeleri arasındaki fark, yalnızca A kümesine ait olanlardan oluşan A B kümesidir.
Kartezyen çarpım (veya doğrudan çarpım)
Tanım 1.14. Sıralı bir çift (veya çift) (a, b), belirli bir sırayla alınan iki a, b elemanıdır. Çiftler (a1
Küme işlemlerinin özellikleri
Birleşim, kesişim ve tümleyen işlemlerinin özelliklerine bazen küme cebiri yasaları denir. Kümelerdeki işlemlerin temel özelliklerini sıralayalım. Bir evrensel U kümesi verilsin
Matematiksel tümevarım yöntemi
Matematiksel tümevarım yöntemi, formülasyonunda doğal parametre n'nin yer aldığı ifadeleri kanıtlamak için kullanılır. Matematiksel tümevarım yöntemi - matematiğin kanıtlanma yöntemi
Karışık sayılar
Sayı kavramı, insan kültürünün temel başarılarından biridir. Önce N = (1, 2, 3, …, n, …) doğal sayıları ortaya çıktı, ardından Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rasyonel Q tam sayıları ortaya çıktı
Karmaşık sayıların geometrik yorumu
Tek değişkenli doğrusal denklemlerin çözümüyle bağlantılı olarak negatif sayıların tanıtıldığı bilinmektedir. Belirli görevlerde olumsuz bir cevap, yön miktarının değeri olarak yorumlandı (
Karmaşık bir sayının trigonometrik formu
Bir vektör yalnızca dikdörtgen koordinat sistemindeki koordinatlarla değil aynı zamanda uzunluk ve
Trigonometrik formda karmaşık sayılarla ilgili işlemler
Cebirsel formda karmaşık sayılarla toplama ve çıkarma, trigonometrik formda çarpma ve bölme işlemleri yapmak daha uygundur. 1. Çarpmalar: İki k verilsin
Üs alma
Eğer z = r(cosj + i×sinj), o zaman zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj))), burada n Î
Karmaşık bir sayının üstel formu
Matematiksel analizlerden e = , e'nin irrasyonel bir sayı olduğu bilinmektedir. Eile
İlişki kavramı
Tanım 2.1. A1, A2, … kümeleri üzerindeki n-ary (veya n-ary) ilişkisi P, herhangi bir alt kümedir
İkili ilişkilerin özellikleri
Boş olmayan bir A kümesi, yani P Í A2 üzerinde bir ikili ilişki P tanımlansın. Tanım 2.9 Bir küme üzerinde P ikili ilişkisi
Denklik ilişkisi
Tanım 2.15. Bir A kümesi üzerindeki ikili ilişki, yansımalı, simetrik ve geçişli ise eşdeğerlik ilişkisi olarak adlandırılır. Oran eşdeğeri
Fonksiyonlar
Tanım 2.20.Bir ikili bağıntı olan ƒ Í A ´ B, herhangi bir x için A kümesinden B kümesine giden bir fonksiyon olarak adlandırılır.
Genel konseptler
Tanım 3.1. Matris, m satır ve n sütun içeren dikdörtgen bir sayı tablosudur. M ve n sayılarına sıra denir (veya
Aynı türdeki matrislerin toplanması
Yalnızca aynı türden matrisler toplanabilir. Tanım 3.12. A = (aij) ve B = (bij) adlı iki matrisin toplamı, burada i = 1,
Matris toplamanın özellikleri
1) değişme: "A, B: A + B = B + A; 2) birleşme: "A, B, C: (A + B) + C = A
Bir matrisi bir sayıyla çarpmak
Tanım 3.13. A = (aij) matrisinin k gerçek sayısıyla çarpımı bir C = (сij) matrisidir; bunun için
Bir matrisi bir sayıyla çarpmanın özellikleri
1) " A: 1×A = A; 2) " α, β О R, " A: (αβ)×A = α×(β×A) = β×
Matris çarpımı
İki matrisin çarpımını tanımlayalım; Bunu yapmak için bazı ek kavramları tanıtmak gerekir. Tanım 3.14. A ve B matrislerine tutarlı denir
Matris çarpımının özellikleri
1) Matris çarpımı değişmeli değildir: A×B ≠ B×A. Bu özellik örneklerle gösterilebilir. Örnek 3.6. A)
Matrislerin transpoze edilmesi
Tanım 3.16. Belirli bir matristen, her satırının aynı sayıdaki bir sütunla değiştirilmesiyle elde edilen At matrisine, verilen A matrisine aktarılmış denir.
İkinci ve üçüncü dereceden matrislerin determinantları
n mertebesindeki her A kare matrisi, bu matrisin determinantı adı verilen bir sayıyla ilişkilidir. Tanım: D, |A|, det A,
Tanım 4.6.
1. n = 1 için A matrisi bir sayıdan oluşur: |A| = a11. 2. (n – 1) mertebeli bir matrisin determinantının bilinmesine izin verin. 3. Tanımlayın
Belirleyicilerin özellikleri
3'ten büyük mertebelerin determinantlarını hesaplamak için determinantların özellikleri ve Laplace teoremi kullanılır. Teorem 4.1 (Laplace). Bir kare matrisin determinantı
Belirleyicilerin pratik hesaplanması
Üçün üzerindeki sıranın determinantlarını hesaplamanın bir yolu, onu bazı sütun veya satırlara genişletmektir. Örnek 4.4 Determinantını hesaplayın D =
Matris sıralaması kavramı
A, m ` n boyutlu bir matris olsun. 1 ≤ k ≤ min(m, n) olmak üzere bu matriste keyfi olarak k satır ve k sütun seçelim.
Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulma
Bir matrisin rütbesini bulma yöntemlerinden biri de küçükleri numaralandırma yöntemidir. Bu yöntem matrisin rütbesinin belirlenmesine dayanmaktadır. Yöntemin özü aşağıdaki gibidir. En az bir element ma varsa
Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini bulma
Bir matrisin rütbesini bulmanın başka bir yolunu düşünelim. Tanım 5.4. Aşağıdaki dönüşümlere bir matrisin temel dönüşümleri denir: 1. çarpma
Ters matris kavramı ve onu bulma yöntemleri
Bir A kare matrisi verilsin Tanım 5.7. A×A–1 ise A–1 matrisine A matrisinin tersi denir
Ters matrisi bulmak için algoritma
Cebirsel toplamaları kullanarak belirli bir matrisin ters matrisini bulmanın yollarından birini düşünelim. Bir A kare matrisi verilsin 1. |A| matrisinin determinantını bulun. AB
Temel dönüşümleri kullanarak ters matrisi bulma
Temel dönüşümleri kullanarak ters matrisi bulmanın başka bir yolunu düşünelim. Gerekli kavram ve teoremleri formüle edelim. Tanım 5.11.Matris Ada göre
Cramer yöntemi
Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu, yani m = n ve sistemin şu şekilde olduğu bir doğrusal denklem sistemi düşünelim:
Ters matris yöntemi
Ters matris yöntemi, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu ve ana matrisin determinantının sıfıra eşit olmadığı doğrusal denklem sistemlerine uygulanabilir. Sistem gösteriminin matris formu
Gauss yöntemi
Rastgele lineer denklem sistemlerinin çözümüne uygun olan bu yöntemin açıklanabilmesi için bazı yeni kavramlara ihtiyaç duyulmaktadır. Tanım 6.7. Formun denklemi 0×
Gauss yönteminin açıklaması
Bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasına yönelik bir yöntem olan Gauss yöntemi, temel dönüşümlerin yardımıyla orijinal sistemin kademeli veya t eşdeğer bir sisteme indirgenmesi gerçeğinden oluşur.
Doğrusal denklem sisteminin incelenmesi
Bir doğrusal denklem sistemini incelemek, sistemi çözmeden şu soruyu yanıtlamak anlamına gelir: sistem tutarlı mı değil mi ve tutarlıysa kaç çözümü var? Buna cevap ver
Homojen doğrusal denklem sistemleri
Tanım 6.11 Serbest terimleri sıfıra eşit olan bir doğrusal denklem sistemine homojen denir. Homojen m doğrusal denklem sistemi
Homojen bir doğrusal denklem sisteminin çözümlerinin özellikleri
1. Eğer a = (a1, a2, …, an) vektörü homojen bir sistemin çözümü ise, k×a = (k×a1, k&t) vektörü
Homojen bir doğrusal denklem sisteminin temel çözüm kümesi
M0 homojen lineer denklem sisteminin (4) çözüm kümesi olsun. Tanım 6.12.C1, c2, ..., c vektörleri
Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı
a1, a2, …, аm m n boyutlu vektörlerden oluşan bir küme olsun ve buna genellikle vektörler sistemi adı verilir ve k1
Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığının özellikleri
1) Sıfır vektörünü içeren vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır. 2) Bir vektör sistemi, alt sistemlerinden herhangi birinin doğrusal olarak bağımlı olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır. Sonuçlar. eğer öyleyse
Birim vektör sistemi
Tanım 7.13. Rn uzayındaki birim vektörlerden oluşan bir sistem, e1, e2, …, en vektörlerinden oluşan bir sistemdir
Doğrusal bağımlılıkla ilgili iki teorem
Teorem 7.1. Daha büyük bir vektör sistemi daha küçük bir vektör sistemi aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilirse, daha büyük sistem doğrusal olarak bağımlıdır. Bu teoremi daha ayrıntılı olarak formüle edelim: a1 olsun
Vektör sisteminin temeli ve sıralaması
S, Rn uzayındaki bir vektörler sistemi olsun; sonlu ya da sonsuz olabilir. S", S, S" Ì S sisteminin bir alt sistemidir. İki tane verelim
Vektör sistemi sıralaması
Bir vektörler sisteminin rütbesinin iki eşdeğer tanımını verelim. Tanım 7.16. Bir vektörler sisteminin derecesi, bu sistemin herhangi bir tabanındaki vektörlerin sayısıdır.
Bir vektör sisteminin rütbesinin ve tabanının pratik olarak belirlenmesi
Bu vektör sisteminden, vektörleri bu matrisin satırları olarak düzenleyerek bir matris oluşturuyoruz. Bu matrisin satırları üzerinde temel dönüşümler kullanarak matrisi basamak formuna indirgeyebiliriz. Şu tarihte:
Rastgele bir alan üzerinde vektör uzayının tanımı
P keyfi bir alan olsun. Bildiğimiz alanlara örnek olarak rasyonel, gerçek ve karmaşık sayılar alanı verilebilir. Tanım 8.1. V kümesi çağrılır
Vektör uzaylarının en basit özellikleri
1) o – sıfır vektör (eleman), alan üzerinde rastgele bir vektör uzayında benzersiz şekilde tanımlanır. 2) Herhangi bir О V vektörü için benzersiz bir değer vardır.
Alt uzaylar. Doğrusal manifoldlar
V bir vektör uzayı olsun, LМ V (L, V'nin bir alt kümesidir). Tanım 8.2. Vektör pro'nun alt kümesi L
Alt uzayların kesişimi ve toplamı
V, P, L1 ve L2 alanının alt uzayları üzerinde bir vektör uzayı olsun. Tanım 8.3. Alt soruyu geçerek
Doğrusal manifoldlar
V bir vektör uzayı, L bir altuzay, V uzayından gelen isteğe bağlı bir vektör olsun. Tanım 8.6.Doğrusal manifold
Sonlu boyutlu vektör uzayları
Tanım 8.7 Bir V vektör uzayı, n vektörden oluşan doğrusal olarak bağımsız bir vektörler sistemi içeriyorsa n boyutlu olarak adlandırılır ve
Sonlu boyutlu vektör uzayının temeli
V, P alanı üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayıdır, S bir vektörler sistemidir (sonlu veya sonsuz). Tanım 8.10. S sisteminin temeli
Belirli bir temele göre vektör koordinatları
N boyutunda sonlu boyutlu bir vektör uzayı V düşünün; e1, e2, …, en vektörleri onun temelini oluşturur. a bir ürün olsun
Çeşitli tabanlarda vektör koordinatları
V, iki tabanın verildiği n boyutlu bir vektör uzayı olsun: e1, e2, …, en – eski taban, e"1, e
Öklid vektör uzayları
Gerçel sayılar alanı üzerinde bir V vektör uzayı verildiğinde. Bu uzay ya n boyutunda sonlu boyutlu bir vektör uzayı ya da sonsuz boyutlu bir uzay olabilir.
Koordinatlarda nokta çarpımı
N boyutlu Öklid vektör uzayında, e1, e2, …, en tabanı verilmiştir. x ve y vektörleri vektörlere ayrıştırılır
Metrik kavramlar
Öklid vektör uzaylarında tanıtılan skaler çarpımdan, vektör normu ve vektörler arasındaki açı kavramlarına geçebiliriz. Tanım 8.16. Norma (
Normun özellikleri
1) ||bir|| = 0 Û a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, çünkü ||la|| =
Öklid vektör uzayının ortonormal temeli
Tanım 8.21. Bir Öklid vektör uzayının tabanı, eğer taban vektörleri ikili dik ise, yani a1, a ise dik olarak adlandırılır.
Ortogonalleştirme süreci
Teorem 8.12. Her n boyutlu Öklid uzayında bir ortonormal taban vardır. Kanıt. a1, a2 olsun
Ortonormal temelde nokta çarpım
Öklid uzayı V'nin ortonormal temeli e1, e2, …, en verildiğinde. i için (ei, ej) = 0 olduğundan
Alt uzayın ortogonal tamamlayıcısı
V bir Öklid vektör uzayıdır, L ise onun alt uzayıdır. Tanım 8.23. Bir vektör a'nın L alt uzayına dik olduğu söylenir, eğer vektör
Bir vektörün koordinatları ile görüntüsünün koordinatları arasındaki ilişki
V uzayında doğrusal bir j operatörü verilmiştir ve M(j) matrisi e1, e2, …, en bazında bulunur. Bu temel olsun
Benzer matrisler
Rastgele bir P alanından elemanlar içeren n mertebesinden kare matrislerin Рn'n kümesini ele alalım. Bu küme üzerinde şu ilişkiyi tanıtıyoruz:
Matris benzerlik ilişkilerinin özellikleri
1. Yansıma. Herhangi bir matris kendine benzer, yani A ~ A. 2. Simetri. A matrisi B'ye benzerse, o zaman B A'ya benzer, yani.
Özvektörlerin özellikleri
1. Her özvektör yalnızca bir özdeğere aittir. Kanıt. x iki özdeğere sahip bir özvektör olsun
Bir matrisin karakteristik polinomu
A О Рn´n (veya A О Rn´n) matrisi verildiğinde. Tanımlamak
Bir matrisin köşegen matrise benzer olduğu koşullar
A bir kare matris olsun. Bunun bazı temellerde tanımlanan bazı doğrusal operatörlerin matrisi olduğunu varsayabiliriz. Başka bir temelde doğrusal operatörün matrisinin olduğu bilinmektedir.
Ürdün normal formu
Tanım 10.5. l0 sayısıyla ilişkili k mertebesindeki bir Jordan hücresi k mertebesinden bir matristir, 1 ≤ k ≤ n,
Bir matrisin Jordan (normal) forma indirgenmesi
Teorem 10.3. Jordan normal formu, Jordan hücrelerinin ana köşegen üzerindeki düzenlenme sırasına kadar bir matris için benzersiz bir şekilde belirlenir. Vesaire
Çift doğrusal formlar
Tanım 11.1. Çift doğrusal form bir fonksiyondur (harita) f: V ´ V ® R (veya C), burada V isteğe bağlı bir vektördür
Çift doğrusal formların özellikleri
Herhangi bir çift doğrusal form, simetrik ve çarpık simetrik formların toplamı olarak temsil edilebilir. Vektörde seçilen e1, e2,…, en bazında
Yeni bir temele geçerken çift doğrusal formun matrisinin dönüşümü. Çift doğrusal formun sıralaması
İki baz e = (e1, e2, …, en) ve f = (f1, f2,
İkinci dereceden şekiller
A(x, y) V vektör uzayında tanımlanan simetrik çift doğrusal bir form olsun. Tanım 11.6 İkinci dereceden form
İkinci dereceden bir formun kanonik forma indirgenmesi
İkinci dereceden (2) A(x, x) = formu verildiğinde, burada x = (x1
İkinci dereceden formların eylemsizlik yasası
İkinci dereceden bir formun sıfır olmayan kanonik katsayılarının sayısının rütbesine eşit olduğu ve A(x) formunun yardımıyla dejenere olmayan bir dönüşümün seçimine bağlı olmadığı tespit edilmiştir.
İkinci dereceden bir formun işareti için gerekli ve yeterli koşul
Açıklama 11.1. N boyutlu vektör uzayı V'de tanımlanan ikinci dereceden A(x, x) formunun işaret tanımlı olması için,
Yarı alternatif ikinci dereceden form için gerekli ve yeterli koşul
Açıklama 11.3. N boyutlu vektör uzayı V'de tanımlanan ikinci dereceden A(x, x) formunun yarı-işaret-alternatif olması için (yani,
İkinci dereceden bir formun kesin işareti için Sylvester kriteri
e = (e1, e2, …, en) temelinde A(x, x) formunun A(e) = (aij) matrisi tarafından belirlenmesine izin verin.
Çözüm
Doğrusal cebir herhangi bir yüksek matematik programının zorunlu bir parçasıdır. Diğer herhangi bir bölüm, bu disiplinin öğretilmesi sırasında geliştirilen bilgi, beceri ve yeteneklerin varlığını varsayar.
Kaynakça
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Analitik geometri unsurları içeren doğrusal cebir. – M.: HSE Yayınevi, 2007. Beklemishev D.V. Analitik geometri ve doğrusal cebir dersi.
Lineer Cebir
Eğitimsel ve metodolojik kılavuz Editör ve düzeltmen G. D. Neganova Bilgisayar yazımı, T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina
Sunum - Büyük Vatanseverlik Savaşı sırasında Sovyet arkası
Peri masalı G üzerine bir ders sunumu
Alexander Nevsky neden Tatar Han'ın arkadaşı oldu ve kalabalıkla ittifaka girdi?