Fark küpü ve küplerin farkı: Kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanmasına ilişkin kurallar. Kısaltılmış çarpma formülleri Küplerin farkının ters yönde uygulanması

Karelerin farkı

$a^2-b^2$ kareleri farkının formülünü türetelim.

Bunu yapmak için aşağıdaki kuralı unutmayın:

İfadeye herhangi bir tek terim eklersek ve aynı tek terimliyi çıkarırsak doğru özdeşliği elde ederiz.

İfademize $ab$ tek terimlisini ekleyelim ve ondan çıkaralım:

Toplamda şunu elde ederiz:

Yani iki monomiyalin kareleri arasındaki fark, farklarının ve toplamlarının çarpımına eşittir.

örnek 1

$(4x)^2-y^2$ ürünü olarak sunun

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Küplerin toplamı

$a^3+b^3$ küplerinin toplamının formülünü türetelim.

Ortak faktörleri parantezlerden çıkaralım:

$\left(a+b\right)$'ı parantezlerden çıkaralım:

Toplamda şunu elde ederiz:

Yani iki tek terimlinin küplerinin toplamı, toplamları ile farklarının kısmi karesinin çarpımına eşittir.

Örnek 2

$(8x)^3+y^3$ ürünü olarak sunun

Bu ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Kareler farkı formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Küplerin farkı

$a^3-b^3$ küp farkı formülünü türetelim.

Bunu yapmak için yukarıdaki kuralın aynısını kullanacağız.

İfademize $a^2b\ ve\ (ab)^2$ tek terimlerini ekleyip çıkaralım:

Ortak faktörleri parantezlerden çıkaralım:

$\left(a-b\right)$'ı parantezlerden çıkaralım:

Toplamda şunu elde ederiz:

Yani iki tek terimlinin küpleri farkı, farkları ile toplamlarının eksik karesinin çarpımına eşittir.

Örnek 3

$(8x)^3-y^3$ ürünü olarak sunun

Bu ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Kareler farkı formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Kareler farkı ve küplerin toplamı ve farkı için formüller kullanan problem örnekleri

Örnek 4

Bunu hesaba katın.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Çözüm:

a) $((a+5))^2-9$

\[((((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Kareler farkı formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Bu ifadeyi formda yazalım:

Küp formülünü uygulayalım:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Bu ifadeyi formda yazalım:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Küp formülünü uygulayalım:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\sağ)\]

Kısaltılmış çarpma formülleri.

Kısaltılmış çarpma formüllerinin incelenmesi: iki ifadenin toplamının karesi ve farkının karesi; iki ifadenin kareleri farkı; iki ifadenin toplamının küpü ve farkının küpü; iki ifadenin küplerinin toplamları ve farkları.

Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması.

İfadeleri basitleştirmek, polinomları çarpanlara ayırmak ve polinomları standart forma indirgemek için kısaltılmış çarpma formülleri kullanılır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin ezbere bilinmesi gerekir.

a, b R olsun. O halde:

1. İki ifadenin toplamının karesi eşittir birinci ifadenin karesi artı birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesi.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. İki ifadenin farkının karesi eşittir birinci ifadenin karesi eksi birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesi.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Karelerin farkı iki ifade, bu ifadelerin farkı ve toplamlarının çarpımına eşittir.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Toplamın küpü iki ifade, birinci ifadenin küpü artı birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımı ve ikincinin karesi artı ikinci ifadenin küpünün üç katıdır.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Fark küpü iki ifade, birinci ifadenin küpü eksi birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımının üç katı ve ikincinin karesi eksi ikinci ifadenin küpüne eşittir.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Küplerin toplamı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin toplamı ile bu ifadelerin farkının eksik karesinin çarpımına eşittir.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Küplerin farkı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin farkının, bu ifadelerin toplamının eksik karesinin çarpımına eşittir.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması.

Örnek 1.

Hesaplamak

a) İki ifadenin toplamının karesi formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) İki ifadenin farkının karesi formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Örnek 2.

Hesaplamak

İki ifadenin kareleri farkı formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 3.

Bir ifadeyi basitleştirme

(x - y) 2 + (x + y) 2

İki ifadenin toplamının karesi ve farkının karesi formüllerini kullanalım

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Kısaltılmış çarpma formülleri tek tabloda:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Önceki derslerde bir polinomu çarpanlara ayırmanın iki yoluna baktık: ortak çarpanı parantez dışına koymak Ve gruplama yöntemi.

Bu derste bir polinomu çarpanlara ayırmanın başka bir yoluna bakacağız kısaltılmış çarpma formüllerini kullanma.

Her formülü en az 12 kez yazmanızı öneririz. Daha iyi ezberlemek için, tüm kısaltılmış çarpma formüllerini kendiniz için küçük bir notla yazın. kopya kağıdı.

Küp formülünün farkının neye benzediğini hatırlayalım.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Küp formülünün farkını hatırlamak çok kolay değildir, bu nedenle kullanmanızı öneririz. özel yol onu hatırlamak için.

Herhangi bir kısaltılmış çarpma formülünün aynı zamanda işe yaradığını anlamak önemlidir. ters taraf.

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Bir örneğe bakalım. Küp farkını çarpanlara ayırmak gerekir.

Lütfen "27a 3"ün "(3a) 3" olduğunu unutmayın; bu, küp farkı formülü için "a" yerine "3a" kullandığımız anlamına gelir.

Küp farkı formülünü kullanıyoruz. "a 3" yerine "27a 3", "b 3" yerine ise formüldeki gibi "b 3" var.

Küp farkını ters yönde uygulamak

Başka bir örneğe bakalım. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak polinomların çarpımını küp farkına dönüştürmeniz gerekir.

Lütfen "(x − 1)(x 2 + x + 1)" polinomlarının çarpımının "" küp formülünün farkının sağ tarafına benzediğini, yalnızca "a" yerine "x" olduğunu ve yerinde olduğunu unutmayın. “b”nin “1”i var.

“(x − 1)(x 2 + x + 1)” için küp farkı formülünü ters yönde kullanırız.

Daha karmaşık bir örneğe bakalım. Polinomların çarpımını basitleştirmek gerekir.

“(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)” ifadesini küpler farkı formülünün sağ tarafıyla karşılaştırırsak
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)“, o zaman ilk parantezdeki “a” yerine “y 2”, “b” yerine “1” olduğunu anlayabilirsiniz.

Kısaltılmış çarpma formülleri veya kuralları, aritmetikte, daha spesifik olarak cebirde, büyük cebirsel ifadelerin değerlendirilme sürecini hızlandırmak için kullanılır. Formüllerin kendisi cebirde çeşitli polinomların çarpımı için mevcut kurallardan türetilmiştir.

Bu formüllerin kullanımı çeşitli matematik problemlerine oldukça hızlı bir çözüm sağlar ve aynı zamanda ifadelerin basitleştirilmesine de yardımcı olur. Cebirsel dönüşümlerin kuralları, ifadelerle bazı işlemler yapmanıza olanak tanır; bunu takiben eşitliğin sol tarafında sağ taraftaki ifadeyi elde edebilir veya eşitliğin sağ tarafını dönüştürebilirsiniz (sol taraftaki ifadeyi elde etmek için) eşittir işaretinden sonra).

Kısaltılmış çarpma için kullanılan formülleri, problemlerin ve denklemlerin çözümünde sıklıkla kullanıldıkları için hafızadan bilmek uygundur. Aşağıda bu listede yer alan ana formüller ve adları yer almaktadır.

Toplamın karesi

Toplamın karesini hesaplamak için, birinci terimin karesi, birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı ve ikinci terimin karesinden oluşan toplamı bulmanız gerekir. İfade şeklinde bu kural şu ​​şekilde yazılır: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Kare farkı

Farkın karesini hesaplamak için birinci sayının karesi, birinci sayı ile ikincinin çarpımının (karşı işaretle alınan) iki katı ve ikinci sayının karesinden oluşan toplamı hesaplamanız gerekir. Bir ifade biçiminde bu kural şu ​​şekilde görünür: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Karelerin farkı

İki sayının karesi farkının formülü, bu sayıların toplamı ile farklarının çarpımına eşittir. Bir ifade biçiminde bu kural şuna benzer: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Toplamın küpü

İki terimin toplamının küpünü hesaplamak için, ilk terimin küpünden oluşan toplamı hesaplamanız, birinci terim ile ikinci terimin karesinin çarpımının üç katını, birinci terim ile ikinci terimin çarpımının üç katını hesaplamanız gerekir. karesi ve ikinci terimin küpü. Bir ifade biçiminde bu kural şu ​​şekilde görünür: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Küplerin toplamı

Formüle göre bu terimlerin toplamı ile farkın eksik karesinin çarpımına eşittir. Bir ifade biçiminde bu kural şu ​​şekilde görünür: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Örnek.İki küpün eklenmesiyle oluşan şeklin hacmini hesaplamak gerekir. Sadece yanlarının boyutları bilinmektedir.

Yan değerler küçükse hesaplamalar basittir.

Kenarların uzunlukları hantal sayılarla ifade edilirse, bu durumda hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirecek olan “Küplerin Toplamı” formülünü kullanmak daha kolaydır.

Fark küpü

Kübik farkın ifadesi şu şekildedir: Birinci terimin üçüncü kuvvetinin toplamı olarak, birinci terimin karesinin negatif çarpımını ikinciyle üç katına çıkarın, birinci terimin çarpımını ikincinin karesiyle üç katına çıkarın. ve ikinci terimin negatif küpü. Matematiksel ifade biçiminde farkın küpü şu şekilde görünür: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Küplerin farkı

Küp farkı formülü, küp toplamından yalnızca bir işaret farklıdır. Dolayısıyla küplerin farkı, bu sayıların farkının ve toplamın eksik karesinin çarpımına eşit bir formüldür. Formda küplerin farkı şu şekilde görünür: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

Örnek. Mavi küpün hacminden çıkarıldıktan sonra kalacak rakamın hacmini hesaplamak gerekir. hacimsel şekil sarı renk, bu aynı zamanda bir küptür. Küçük ve büyük küpün yalnızca yan boyutları bilinmektedir.

Yan değerler küçükse hesaplamalar oldukça basittir. Ve kenarların uzunlukları önemli sayılarla ifade ediliyorsa, hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirecek olan "Küplerin farkı" (veya "Farkın küpü") adlı formülü uygulamaya değer.