P. Maupertuis ) в 1744 году , сразу же указав на его универсальную природу и считая его приложимым к оптике и механике. Из данного принципа он вывел законы отражения и преломления света.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Математическое исследование и развитие принципа Ферма провёл Христиан Гюйгенс , после чего тему активно обсуждали крупнейшие учёные XVII века. Лейбниц в 1669 году ввёл в физику фундаментальное понятие действия : «Формальные действия движения пропорциональны… произведению количества материи, расстояний, на которые они передвигаются, и скорости».

  Параллельно с анализом основ механики развивались методы решения вариационных задач. Исаак Ньютон в своих «Математических началах натуральной философии » (1687 год) поставил и решил первую вариационную задачу: найти такую форму тела вращения, движущегося в сопротивляющейся среде вдоль своей оси, для которой испытываемое сопротивление было бы наименьшим. Почти одновременно появились и другие вариационные проблемы: задача о брахистохроне (1696), форма цепной линии и др.

  Решающие события произошли в 1744 году. Леонард Эйлер опубликовал первую общую работу по вариационному исчислению («Метод нахождения кривых, обладающих свойствами максимума либо минимума»), а Пьер Луи де Мопертюи в трактате «Согласование различных законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми» дал первую формулировку принципа наименьшего действия: «путь, которого придерживается свет, является путём, для которого количество действия будет наименьшим». Он продемонстрировал выполнение этого закона как для отражения, так и для преломления света. В ответ на статью Мопертюи Эйлер опубликовал (в том же 1744 году) работу «Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов», и в этом труде он придал принципу Мопертюи общемеханический характер: «Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, когда на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума. Далее Эйлер сформулировал этот закон: траектория тела осуществляет минимум ∫ m v d s {\displaystyle \int mv\ ds} . Затем он применил его, выведя законы движения в однородном поле тяжести и в нескольких других случаях.

  В 1746 году Мопертюи в новой работе согласился с мнением Эйлера и провозгласил самую общую версию своего принципа: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Количество действия есть произведение массы тел на их скорость и на расстояние, которое они пробегают». В развернувшейся широкой дискуссии Эйлер поддержал приоритет Мопертюи и аргументировал всеобщий характер нового закона: «вся динамика и гидродинамика могут быть с удивительной легкостью раскрыты посредством одного только метода максимумов и минимумов».

  Новый этап начался в 1760-1761 годах, когда Жозеф Луи Лагранж ввёл строгое понятие вариации функции, придал вариационному исчислению современный вид и распространил принцип наименьшего действия на произвольную механическую систему (то есть не только на свободные материальные точки). Тем самым было положено начало аналитической механике. Дальнейшее обобщение принципа осуществил Карл Густав Якоб Якоби в 1837 году - он рассмотрел проблему геометрически, как нахождение экстремалей вариационной задачи в конфигурационном пространстве с неевклидовой метрикой. В частности, Якоби указал, что при отсутствии внешних сил траектория системы представляет собой геодезическую линию в конфигурационном пространстве.

  Подход Гамильтона оказался универсальным и высокоэффективным в математических моделях физики, особенно для квантовой механики . Его эвристическая сила была подтверждена при создании Общей теории относительности , когда Давид Гильберт применил гамильтонов принцип для вывода окончательных уравнений гравитационного поля (1915 год).

  В классической механике

  Принцип наименьшего действия служит фундаментальной и стандартной основой лагранжевой и гамильтоновой формулировок механики.

  Вначале рассмотрим построение таким образом лагранжевой механики . На примере физической системы с одной степенью свободы , напомним, что действие - это функционал относительно (обобщённых) координат (в случае одной степени свободы - одной координаты ), то есть оно выражается через q (t) {\displaystyle q(t)} так, что каждому мыслимому варианту функции q (t) {\displaystyle q(t)} сопоставляется некоторое число - действие (в этом смысле можно сказать, что действие как функционал есть правило, позволяющее для любой заданной функции q (t) {\displaystyle q(t)} вычислить вполне определённое число - также называемое действием). Действие имеет вид:

  S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , {\displaystyle S[q]=\int {\mathcal {L}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt,}

  где L (q (t) , q ˙ (t) , t) {\displaystyle {\mathcal {L}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)} есть лагранжиан системы, зависящий от обобщённой координаты q {\displaystyle q} , её первой производной по времени q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} , а также, возможно, и явным образом от времени t {\displaystyle t} . Если система имеет большее число степеней свободы n {\displaystyle n} , то лагранжиан зависит от большего числа обобщённых координат q i (t) , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle q_{i}(t),\ i=1,2,\dots ,n} и их первых производных по времени. Таким образом, действие является скалярным функционалом, зависящим от траектории тела.

  То, что действие является скаляром, позволяет легко записать его в любых обобщённых координатах, главное только, чтобы положение (конфигурация) системы однозначно ими характеризовалось (например, вместо декартовых это могут быть полярные координаты, расстояния между точками системы, углы или их функции и т. д.).

  Действие можно вычислить для совершенно произвольной траектории q (t) {\displaystyle q(t)} , какой бы «дикой» и «неестественной» она бы ни была. Однако в классической механике среди всего набора возможных траекторий существует одна-единственная, по которой тело действительно пойдёт. Принцип стационарности действия как раз и даёт ответ на вопрос, как действительно будет двигаться тело:

  Это значит, что если задан лагранжиан системы, то мы с помощью вариационного исчисления можем установить, как именно будет двигаться тело, сначала получив уравнения движения - уравнения Эйлера - Лагранжа , а затем решив их. Это позволяет не только серьёзно обобщить формулировку механики, но и выбирать наиболее удобные координаты для каждой определённой задачи, не ограничиваясь декартовыми, что может быть очень полезно для получения наиболее простых и легко решаемых уравнений.

  S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , {\displaystyle S=\int {\big (}\sum _{i}p_{i}dq_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t)dt{\big)}=\int {\big (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t){\big)}dt,}

  где H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) {\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p,t)\equiv {\mathcal {H}}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},p_{1},p_{2},\dots ,p_{N},t)} - функция Гамильтона данной системы; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N {\displaystyle q\equiv q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}} - (обобщённые) координаты, p ≡ p 1 , p 2 , … , p N {\displaystyle p\equiv p_{1},p_{2},\dots ,p_{N}} - сопряжённые им (обобщённые) импульсы, характеризующие вместе в каждый данный момент времени динамическое состояние системы и, являясь каждое функцией времени, характеризуя, таким образом, эволюцию (движение) системы. В этом случае для получения уравнений движения системы в форме канонических уравнений Гамильтона надо проварьировать записанное так действие независимо по всем q i {\displaystyle q_{i}} и p i {\displaystyle p_{i}} .

  Необходимо заметить, что если из условий задачи принципиально можно найти закон движения, то это автоматически не означает, что можно построить функционал, принимающий стационарное значение при истинном движении. Примером может служить совместное движение электрических зарядов и монополей - магнитных зарядов - в электромагнитном поле . Их уравнения движения невозможно вывести из принципа стационарности действия. Аналогично некоторые гамильтоновы системы имеют уравнения движения, не выводимые из этого принципа.

  Примеры

  Тривиальные примеры помогают оценивать использование принципа действия через уравнения Эйлера-Лагранжа. Свободная частица (масса m и скорость v ) в евклидовом пространстве перемещается по прямой линии. Используя уравнения Эйлера-Лагранжа, это можно показать в полярных координатах следующим образом. В отсутствие потенциала функция Лагранжа просто равна кинетической энергии

  1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)} ψ = ∫ [ D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . {\displaystyle \psi =\int e^{({iS[x]}/{\hbar })}\,.}

  Здесь ∫ [ D x ] {\displaystyle \int } - это условная запись бесконечнократного функционального интегрирования по всем траекториям x(t), а ℏ {\displaystyle \hbar } - постоянная Планка . Подчеркнём, что в принципе действие в экспоненте появляется (или может появляться) само, при изучении оператора эволюции в квантовой механике, однако для систем, имеющих точный классический (неквантовый) аналог, оно в точности равно обычному классическому действию.

  Математический анализ этого выражения в классическом пределе - при достаточно больших S / ℏ {\displaystyle S/\hbar } , то есть при очень быстрых осцилляциях мнимой экспоненты - показывает, что подавляющее большинство всевозможных траекторий в этом интеграле взаимосокращаются при этом в пределе (формально при S / ℏ → ∞ {\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty } ). Для почти любого пути найдется такой путь, на котором набег фазы будет в точности противоположным, и они в сумме дадут нулевой вклад. Не сокращаются лишь те траектории, для которых действие близко к экстремальному значению (для большинства систем - минимуму). Это - чисто математический факт из

  Принцип наименьшего действия, впервые точно сформулированный Якоби, аналогичен принципу Гамильтона, но менее общ и более труден для доказательства. Этот принцип применим только к тому случаю, когда связи и силовая функция не зависят от времени и когда, следовательно, существует интеграл живой силы.

  Этот интеграл имеет вид:

  Принцип Гамильтона, изложенный выше, утверждает, что вариация интеграла

  

  равна нулю при переходе действительного движения ко всякому другому бесконечно близкому движению, которое переводит систему из того же начального положения в то же конечное положение за тот же промежуток времени.

  Принцип Якоби, наоборот, выражает свойство, движения, не зависящее от времени. Якоби рассматривает интеграл

  определяющий действие. Установленный им принцип утверждает, что вариация этого интеграла равна нулю, когда мы сравниваем действительное движение системы со всяким другим бесконечно близким движением, переводящим систему из того же начального положения в то же конечное положение. При этом мы не обращаем внимания на затрачиваемый промежуток времени, но соблюдаем уравнение (1), т. е. уравнение живой силы с тем же значением постоянной h, что и в действительном движении.

  Это необходимое условие экстремума приводит, вообще говоря, к минимуму интеграла (2), откуда и происходит название принцип наименьшего действия. Условие минимума представляется наиболее естественным, так как величина Т существенно положительна, и потому интеграл (2) необходимо должен иметь минимум. Существование минимума может быть строго доказано, если только промежуток времени - достаточно мал. Доказательство этого положения можно найти в известном курсе Дарбу по теории поверхностей. Мы, однако, не будем приводить его здесь и ограничимся выводом условия

  432. Доказательство принципа наименьшего действия.

  При действительном вычислении мы встречаемся с одним затруднением, которого нет в доказательстве теоремы Гамильтона. Переменная t не остается более независимой от вариаций; поэтому вариации q i и q. связаны с вариацией t сложным соотношением, которое следует из уравнения (1). Самый простой способ обойти это затруднение заключается в том, чтобы изменить независимую переменную, выбрав такую, значения которой располагались бы между постоянными пределами, не зависящими от времени. Пусть к есть новая независимая переменная, пределы которой и предполагаются не зависящими от t. При перемещении системы параметры и t будут функциями от этой переменной

  Пусть буквы со штрихами q будут обозначать производные от параметров q по времени.

  Так как связи, по предположению, не зависят от времени, то декартовы координаты х, у, z являются функциями от q, не содержащими время. Поэтому их производные будут линейными однородными функциями от q и 7 будет однородной квадратичной формой от q, коэффициенты которой суть функции от q. Имеем

  

  Чтобы отличать производные q по времени, обозначим при помощи скобок, (q), производные от q, взятые по и положим в соответствии с этим

  

  тогда будем иметь

  

  и интеграл (2), выраженный через новую независимую переменную А, примет вид;

  

  Производную можно исключить при помощи теоремы живой силы. Действительно, интеграл живой силы будет

  

  

  Подставив это выражение в формулу для приведем интеграл (2) к виду

  

  Интеграл, определяющий действие, принял, таким образом, окончательный вид (3). Подинтегральная функция есть квадратный корень из квадратичной формы от величин

  Покажем, что дифференциальные уравнения экстремалей интеграла (3) представляют собой в точности уравнения Лагранжа. Уравнения экстремалей, на основании общих формул вариационного исчисления, будут:

  

  Умножим уравнения на 2 и выполним частные дифференцирования, принимая во внимание, что не содержит тогда получим, если не писать индекса ,

  Это уравнения экстремалей, выраженные через независимую переменную Задача заключается теперь в том, чтобы возвратиться к независимой переменной

  Так как Г есть однородная функция второй степени от и - однородная функция первой степени, то имеем

  С другой стороны, к множителям при производных в уравнениях экстремалей можно применить теорему живой силы, которая приводит, как мы видели выше, к подстановке

  

  В результате всех подстановок уравнения экстремалей приводятся к виду

  

  

  Мы пришли, таким образом, к уравнениям Лагранжа.

  433. Случай, когда нет движущих сил.

  В случае, когда движущих сил нет, уравнение живой силы есть и мы имеем

  

  Условие, что интеграл есть минимум, заключается в данном случае в том, что соответствующее значение -10 должно быть наименьшим. Таким образом, когда движущих сил нет, то среди всех движений, при которых живая сила сохраняет одно и то же данное значение, действительное движение есть то, которое переводит систему из ее начального положения в конечное положение в кратчайшее время.

  Если система сводится к одной точке, движущейся по неподвижной поверхности, то действительное движение, среди всех движений по поверхности, совершающихся с той же скоростью, есть такое движение, при котором точка переходит из своего начального положения в конечное положение в кратчайший

  промежуток времени. Иначе говоря, точка описывает на поверхности кратчайшую линию между двумя ее положениями, т. е. геодезическую линию.

  434. Замечание.

  Принцип наименьшего действия предполагает, что система имеет несколько степеней свободы, так как если бы имелась лишь одна степень свободы, то одного уравнения было бы достаточно для определения движения. Так как движение может быть в данном случае вполне определено уравнением живой силы, то действительное движение будет единственным, удовлетворяющим этому уравнению, и потому не может быть сравниваемо с каким-либо другим движением.

  
  

  «В 1740 году математик Пьер Луи Моро де Мопертюи , критически анализируя принцип Ферма и следуя теологическим мотивам о совершенстве и наиболее экономном устройстве Вселенной, провозгласил […] принцип наименьшего действия. Мопертюи отказался от наименьшего времени Ферма и ввёл новое понятие - действие. Действие равняется произведению импульса тела (количества движения Р = mV) на пройденный телом путь».

  Голубинцев О., Концепции современного естествознания, Ростов-на-Дону, «Феникс»,2007 г., с.144-147.

  «Количество действия, необходимое для того, чтобы произвести некоторое изменение в природе, является наименьшим возможным».

  Пьер Мопертюи, Соотношения между общими принципами покоя и движения / в Сб. статей классиков науки. Под редакцией Полака Л.С., М., «Физматгиз», 1959 г., с. 5.

  «Мемуар вызвал среди учёных того времени ожесточенную полемику, далеко выходящую за рамки механики. Главным предметом спора было: являются ли события, происходящие в мире, причинно обусловленными или они телеологически направляются неким высшим разумом посредством «конечных причин», то есть, целей?

  Сам Мопертюи подчёркивал и отстаивал телеологический характер своего принципа и прямо утверждал, что «экономия действия» в природе доказывает существование Бога. Последний тезис вызвал резкий отпор со стороны материалистически настроенных учёных и публицистов того времени (Д’Аламбер , Дарси, Вольтер).

  Дискуссия велась и по другим направлениям, в частности, критиковалось определение действия, предложенное Мопертюи. Ряд авторов отрицал универсальный характер этого принципа, некоторые приводили примеры «истинных» движений, в которых «действие» не минимально, а наоборот, максимально. Велись споры и по вопросу о приоритете».

  Голицын Г.А., Информация и творчество: на пути к интегральной культуре, М., «Русский мир», 1997 г., с. 20.

• 3.1.Научные революции в истории естествознания
• 3.2. Первая научная революция. Гелиоцентрическая система мира. Учение о множественности миров
• 3.3. Вторая научная революция. Создание классической механики и экспериментального естествознания. Механическая картина мира
• 3.4. Химия в механистическом мире
• 3.5. Естествознание Нового времени и проблема философского метода
• 3.6. Третья научная революция. Диалектизация естествознания
• 3.7. Очищение естествознания
• 3.8. Исследования в области электромагнитного поля и начало крушения механистической картины мира
• I Естествознание XX века
• 4.1.Четвертая научная революция. Проникновение в глубь материи. Теория относительности и квантовая механика. Окончательное крушение механистической картины мира
• 4.2. Научно-техническая революция, ее естественнонаучная составляющая и исторические этапы
• 4.3. Панорама современного естествознания 4.3.1. Особенности развития науки в XX столетии
• 4.3.2. Физика микромира и мегамира. Атомная физика
• 4.3.3. Достижения в основных направлениях современной химии
• 4.3.4. Биология XX века: познание молекулярного уровня жизни. Предпосылки современной биологии.
• 4.3.5. Кибернетика и синергетика
• Раздел III
• I Пространство и время
• 1.1.Развитие представлений о пространстве и времени в доньютоновский период
• 1. 2. Пространство и время
• 1.3. Дальнедействиеи близкодействие. Развитие понятия «поля»
• 2.1.Принцип относительности Галилея
• 2.2. Принцип наименьшего действия
• 2.3. Специальная теория относительности а. Эйнштейна
• 1. Принцип относительности: все законы природы оди­ наковы во всех инерциальных системах отсчета.
• 2.4. Элементы общей теории относительности
• 3. Закон сохранения энергии в макроскопических процессах
• 3.1. «Живая сила»
• 3.2. Работа в механике. Закон сохранения и превращения энергии в механике
• 3.3. Внутренняя энергия
• 3.4. Взаимопревращения различных видов энергии друг в друга
• 4. Принцип возрастания энтропии
• 4.1. Идеальный цикл Карно
• 4.2. Понятие энтропии
• 4.3. Энтропия и вероятность
• 4.4. Порядок и хаос. Стрела времени
• 4.5. «Демон Максвелла»
• 4.6. Проблема тепловой смерти Вселенной. Флуктуационная гипотеза Больцмана
• 4.7. Синергетика. Рождение порядка из хаоса
• I Элементы квантовой физики
• 5.1. Развитие взглядов на природу света. Формула Планка
• 5.2. Энергия, масса и импульс фотона
• 5.3. Гипотеза де Бройля. Волновые свойства вещества
• 5.4. Принцип неопределенности Гейзенберга
• 5.5. Принцип дополнительности Бора
• 5.6. Концепция целостности в квантовой физике. Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена
• 5.7. Волны вероятности. Уравнение Шредингера. Принцип причинности в квантовой механике
• 5.8. Состояния физической системы. Динамические и статистические закономерности в природе
• 5.9. Релятивистская квантовая физика. Мир античастиц. Квантовая теория поля
• I На пути построения единой теории поля 6.1. Теорема Нетер и законы сохранения
• 6.2. Понятие симметрии
• 6.3. Калибровочные симметрии
• 6.4. Взаимодействия. Классификация элементарных частиц
• 6.5. На пути к единой теории поля. Идея спонтанного нарушения симметрии вакуума
• 6.6. Синергетическое видение эволюции Вселенной. Историзм физических объектов. Физический вакуум как исходная абстракция в физике
• 6.7. Антропный принцип. «Тонкая подстройка» Вселенной
• Раздел IV
• 1. Химия в системе "общество-природа"
• I Химические обозначения
• Раздел V
• I Теории возникновения жизни
• 1.1. Креационизм
• 1.2. Самопроизвольное (спонтанное) зарождение
• 1.3. Теория стационарного состояния
• 1.4. Теория панспермии
• 1.5. Биохимическая эволюция
• 2.1. Теория эволюции Ламарка
• 2.2. Дарвин, Уоллес и происхождение видов в результате естественного отбора
• 2.3. Современное представление об эволюции
• 3.1. Палеонтология
• 3.2. Географическое распространение
• 3.3. Классификация
• 3.4. Селекция растений и животных
• 3.5. Сравнительная анатомия
• 3.6. Адаптивная радиация
• 3.7. Сравнительная эмбриология
• 3.8. Сравнительная биохимия
• 3.9. Эволюция и генетика
• Раздел VI. Человек
• I Происхождение человека и цивилизации
• 1.1.Возникновение человека
• 1.2. Проблема этногенеза
• 1.3. Культурогенез
• 1.4. Появление цивилизации
• I Человек и биосфера
• 7.1.Концепция в.И. Вернадского о биосфере и феномен человека
• 7.2. Космические циклы
• 7.3. Цикличность эволюции. Человек как космическое существо
• I оглавление
• Раздел I. Научный метод 7
• Раздел II. История естествознания 42
• Раздел III. Элементы современной физики 120
• Раздел IV. Основные понятия и представления химии246
• Раздел V.. Возникновение и эволюция жизни 266
• Раздел VI. Человек 307
• 344007, Г. Ростов-на-Дону,
• 344019, Г. Ростов-на-Дону, ул. Советская, 57. Качество печати соответствует предоставленным диапозитивам.

2.2. Принцип наименьшего действия

В XVIII веке происходит дальнейшее накопление и систематизация научных результатов, отмеченные тенден­цией объединения отдельных научных достижений в стро­го упорядоченную, связную картину мира с помощью систематического применения методов математическо­го анализа к исследованию физических явлений. Рабо­та многих блестящих умов в этом направлении привела к созданию базисной теории механистической исследова­тельской программы - аналитической механики, на осно­ве положений которой были созданы различные фунда­ментальные теории, описывающие конкретный класс конк-

ретных явлений: гидродинамика, теория упругости, аэро­динамика и т. д. Одним из важнейших результатов ана­литической механики является принцип наименьшего действия (вариационный принцип), имеющий важное зна­чение для понимания процессов, происходящих в физике конца XX века.

Корни возникновения вариационных принципов в на­уке уходят в Древнюю Грецию и связаны с именем Геро-на из Александрии. Идея любого вариационного принци­па состоит в том, чтобы варьировать (изменять) некоторую величину, характеризующую данный процесс, и отбирать из всех возможных процессов тот, для которого данная вели­чина принимает экстремальное (максимальное или мини­мальное) значение. Герон попытался объяснить законы отражения света, варьируя величину, характеризующую длину пути, проходимым лучом света от источника к на­блюдателю при отражении его от зеркала. Он пришел к выводу, что из всех возможных путей луч света выбирает кратчайший (из всех геометрически возможных).

В XVII веке, спустя две тысячи лет, французский мате­матик Ферма обратил внимание на принцип Герона, распро­странил его для сред с различными показателями прелом­ления, переформулировав его в связи с этим в терминах времени. Принцип Ферма гласит: в преломляющей среде, свойства которой не зависят от времени, световой луч, про­ходя через две точки, выбирает себе такой путь, чтобы вре­мя, необходимое ему для прохождения от первой точки ко второй, было минимальным. Принцип Герона оказывается частным случаем принципа Ферма для сред с постоянным коэффициентом преломления.

Принцип Ферма привлек пристальное внимание со­временников. С одной стороны, он как нельзя лучше сви­детельствовал о «принципе экономии» в природе, о ра­циональном божественном замысле, реализованном в уст­ройстве мира, с другой - он противоречил ньютоновской корпускулярной теории света. Согласно Ньютону получа­лось, что в более плотных средах скорость света должна быть больше, в то время как из принципа Ферма вытека­ло, что в таких средах скорость света становится меньшей.

В 1740 году математик Пьер Луи Моро де Мопертюи, критически анализируя принцип Ферма и следуя теоло-

гическим мотивам о совершенстве и наиболее экономном устройстве Вселенной, провозгласил в работе «О различ­ных законах природы, казавшихся несовместимыми» принцип наименьшего действия. Мопертюи отказался от наименьшего времени Ферма и ввел новое понятие - дей­ствие. Действие равняется произведению импульса тела (количества движения Р = mV) на пройденный телом путь. Время не имеет какого-либо преимущества перед простран­ством, равно как и наоборот. Поэтому свет выбирает не кратчайший путь и не наименьшее время для его прохож­дения, а согласно Мопертюи, «выбирает путь, дающий бо­лее реальную экономию: путь, по которому он следует, - это путь, на котором величина действия минимальна». Принцип наименьшего действия в дальнейшем был развит в работах Эйлера и Лагранжа; он явился основой, на ко­торой Лагранж развил новую область математического анализа - вариационное исчисление. Дальнейшее обобще­ние и завершенную форму этот принцип получил в рабо­тах Гамильтона. В обобщенном виде принцип наименьше­го действия использует понятие действия, выраженного не через импульс, а через функцию Лагранжа. Для случая од­ной частицы, движущейся в некотором потенциальном поле, функция Лагранжа может быть представлена как разность кинетическойи потенциальной энергии:

(Понятие «энергия» подробно обсуждается в главе 3 настоящего раздела.)

Произведениеназывается элементарным действи­ем. Полным действием называется сумма всех значений на всем рассматриваемом интервале времен, иными словами, полное действие А:



Уравнения движения частицы могут быть получены с помощью принципа наименьшего действия, согласно которо­му реальное движение происходит так, что действие оказы­вается экстремальным, то есть его вариация обращается в 0:



Вариационный принцип Лагранжа-Гамильтона легко допускает распространение на системы, состоящие из не-

скольких (множества) частиц. Движение таких систем обыч­но рассматривают в абстрактном пространстве (удобный ма­тематический прием) большого числа измерений. Скажем, для N точек вводят некоторое абстрактное пространство 3N координат N частиц, образующих систему, называемую конфи­гурационным пространством. Последовательность различных состояний системы изображается кривой в этом конфигу­рационном пространстве - траекторией. Рассматривая все возможные пути, соединяющие две заданные точки это­го 3N-Mepнoгo пространства, можно убедиться, что реаль­ное движение системы происходит в соответствии с прин­ципом наименьшего действия: среди всех возможных тра­екторий реализуется та, для которой действие экстремально по всему интервалу времени движения.

При минимизации действия в классической механике получают уравнения Эйлера-Лагранжа, связь которых с законами Ньютона хорошо известна. Уравнения Эйлера-Лагранжа для лагранжиана классического электромагнит­ного поля оказываются уравнениями Максвелла. Таким образом, мы видим, что использование лагранжиана и прин­ципа наименьшего действия позволяет задавать динамику частиц. Однако лагранжиан обладает еще одной важной особенностью, что и сделало лагранжев формализм основ­ным в решении практически всех задач современной фи­зики. Дело в том, что наряду с ньютоновской механикой в физике уже в XIX веке были сформулированы законы со­хранения для некоторых физических величин: закон со­хранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохра­нения момента импульса, закон сохранения электрическо­го заряда. Число законов сохранения в связи с развитием квантовой физики и физики элементарных частиц в на­шем столетии стало еще больше. Возникает вопрос, как найти общую основу для записи как уравнений движения (скажем, законов Ньютона или уравнений Максвелла), так и сохраняющихся во времени величин. Оказалось, что та­кой основой является использование лагранжева форма­лизма, ибо лагранжиан конкретной теории оказывается инвариантным (неизменным) относительно преобразований, соответствующих конкретному рассматриваемому в данной теории абстрактному пространству, следствием чего и яв­ляются законы сохранения. Эти особенности лагранжиа-

на привели к целесообразности формулировки физических теорий на языке лагранжианов. Осознание этого обстоя­тельства пришло в физику благодаря возникновению тео­рии относительности Эйнштейна.

5. Принцип наименьшего действия

Уравнения динамики материальной точки в поле сил, обладающих потенциалом, можно получить, исходя из принципа, который в общем виде носит название принципа Гамильтона, или принципа стационарного действия. Согласно этому принципу, из всех движений материальной точки, которые она может совершить между теми же начальной и конечной точками за тот же самый промежуток времени t2…t1 в действительности осуществляется то движение, для которого интеграл по времени от t1 до t2 от разности кинетической и потенциальной энергий этой материальной точки принимает экстремальное, т е. минимальное или максимальное значение. Пользуясь известными методами вариационного исчисления, легко показать, что из этого принципа вытекают классические уравнения движения.

Особенно простую форму принимает принцип стационарного действия в частном, но важном случае статических силовых полей. В этом случае он совпадает с принципом наименьшего действия Мопертюи, согласно которому для действительного пути материальной точки в консервативном (т е. не зависящем явно от времени) силовом поле интеграл от импульса частицы, взятый по отрезку траектории между какими-либо двумя ее точками A и B, минимален по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых, проведенных через точки A и B. Принцип Мопертюи может быть выведен из принципа Гамильтона. Его можно связать также с теорией Якоби.

Мы видели, что в случае статических полей траектории в этой теории можно рассматривать как кривые, ортогональные некоторому семейству поверхностей. Простые рассуждения показывают, что эти траектории могут быть получены из условия минимальности интеграла, совпадающего с действием по Мопертюи, т е. криволинейного интеграла от количества движения вдоль траектории. Вывод этот весьма интересен, так как он указывает на связь, существующую между принципом наименьшего действия и принципом минимального времени Ферма.

Действительно, мы уже говорили о том, что траектории в теории Якоби можно рассматривать как аналог световых лучей в геометрической оптике. Анализ же доводов, приводимых в доказательство принципа наименьшего действия, показывает, что они полностью идентичны тем, которые в геометрической оптике приводятся для обоснования принципа минимального времени, или принципа Ферма. Вот его формулировка: в преломляющей среде, свойства которой не зависят от времени, световой луч, проходящий через точки A и B, выбирает себе такой путь, чтобы время, необходимое ему для прохождения от точки A до точки B, было минимальным, т е. следует по кривой, которая обращает в минимум криволинейный интеграл от величины обратной фазовой скорости распространения света. Теперь сходство между принципом Мопертюи и принципом Ферма очевидно.

Однако между ними существует и важное различие. В принципе наименьшего действия подынтегральное выражение совпадает с импульсом частицы и, таким образом, интеграл имеет размерность действия (произведения энергии на время или импульса на путь). В принципе же Ферма подынтегральное выражение, наоборот, обратно пропорционально скорости распространения. Именно по этой причине аналогия между этими двумя принципами в течение длительного времени рассматривалась как чисто формальная, не имеющая под собой никакого глубокого физического обоснования. Более того, казалось даже, что с физической точки зрения между ними имеется существенное различие, поскольку импульс прямо пропорционален скорости и, следовательно, подынтегральное выражение в принципе Мопертюи содержит скорость в числителе, тогда как в принципе Ферма она в знаменателе. Это обстоятельство сыграло важную роль в эпоху, когда волновая теория света, вызванная к жизни гением Френеля, завершала свою победу над теорией истечения. Полагали как раз, что, исходя из различной зависимости от скорости подынтегральных выражений, входящих в интегралы Мопертюи и Ферма, можно сделать вывод, что известные эксперименты Фуко и Физо, согласно которым скорость распространения света в воде меньше скорости света в пустоте, дают неопровержимые и решающие аргументы в пользу волновой теории. Однако, опираясь на это различие и объясняя опыты Фуко и Физо как подтверждение факта существования световых волн, предполагали, что вполне законно отождествлять скорость материальной точки, фигурирующую в принципе Мопертюи, со скоростью распространения волн, входящей в интеграл Ферма, Волновая механика показала, что всякой движущейся материальной точке соответствует волна, скорость распространенная которой меняется обратно пропорционально скорости частицы. Только волновая механика действительно пролила свет на природу глубокого родства между двумя фундаментальными принципами и вскрыла его физический смысл. Она показала также, что эксперимент Физо не столь решающий, как это считалось раньше. Хотя он и доказывает, что распространение света есть распространение волн и что показатель преломления необходимо определять через скорость распространения, но он совсем не исключает возможности корпускулярной структуры света при условии, конечно, соответствующей связи между волнами и частицами света. Однако это уже относится к кругу вопросов, которые мы будем обсуждать ниже.

Сравнивая движение материальной точки в поле сил, не зависящем от времени, с распространением волн в преломляющих средах, состояние которых также не зависит от времени, мы показали, что между принципами Мопертюи и Ферма существует определенная аналогия. Сравнивая движение материальной точки в переменных во времени силовых полях с распространением волн в преломляющих средах с параметрами, меняющимися во времени, замечаем, что аналогия между принципом наименьшего действия в его общем виде, предложенном Гамильтоном, и принципом Ферма, обобщенном на случай преломляющих сред, состояние которых зависит от времени, сохраняется и в этом, более общем случае. Не будем останавливаться на этом вопросе. Для нас достаточно будет лишь, что эта аналогия между двумя основными принципами механики и геометрической оптики имеет место не только в рассмотренном нами выше, хотя и очень важном, но все же частном случае постоянных полей, но и в более общем случае переменных полей.

Принцип стационарного действия справедлив и для систем материальных точек. Для его формулировки нам удобно вести конфигурационное пространство, соответствующее рассматриваемой системе. В качестве примера ограничимся случаем, когда потенциальная энергия системы не зависит явно от времени. Таков, например, случай изолированной системы, на которую не действуют внешние силы, поскольку потенциальная энергия ее при этом сводится только к энергии взаимодействия и не зависит явно от времени. В этом случае, вводя 3N-мерное конфигурационное пространство и вектор в этом пространстве, 3N компонент которого совпадает с компонентами векторов количеств движения N материальных точек системы, принцип наименьшего действия в форме Мопертюи можно сформулировать следующим образом. Траектория изображающей точки системы, проходящая через две заданные точки A и B в конфигурационном пространстве, делает минимальным криволинейный интеграл от введенного выше 3N-мерного вектора, взятый по отрезку траектории между точками A и B, по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых в конфигурационном пространстве, проходящих через те же точки A и B. Этот принцип легко получить также из теории Якоби. Аналогия же его с принципом Ферма следует из возможности представления траекторий изображающей точки в конфигурационном пространстве в виде лучей волны, распространяющейся в этом пространстве. Итак, мы снова видим, что для систем материальных точек переход от классической механики к волновой можно осуществить лишь в рамках абстрактного конфигурационного пространства.

Из книги Революция в физике автора де Бройль Луи

1. Принцип относительности Прежде чем говорить о развитии наших представлений о квантах, нельзя не посвятить короткую главу теории относительности.Теория относительности и кванты – это два столпа современной теоретической физики, и, хотя эта книга посвящена теории

Из книги Тайны пространства и времени автора Комаров Виктор

2. Теория излучения черного тела. Квант действия Планка Начало развитию квантовой теории положили относящиеся к 1900 г. работы Макса Планка по теории излучения черного тела. Попытка построить теорию излучения черного тела на основе законов классической физики привела к

Из книги Молния и гром автора Стекольников И С

3. Развитие гипотезы Планка. Квант действия При построении своей теории равновесного теплового излучения Планк исходил из предположения, что вещество представляет собой совокупность электронных осцилляторов, при посредстве которых и происходит обмен энергией между

Из книги Теория относительности для миллионов автора Гарднер Мартин
Из книги Движение. Теплота автора Китайгородский Александр Исаакович

3. Прибор для наблюдения действия электричества - электроскоп Чтобы узнать, заряжен ли какой-нибудь предмет электричеством, пользуются простым прибором, который называется электроскопом. Электроскоп основан на том свойстве электричества, о котором только что

Из книги История лазера автора Бертолотти Марио

III. Действия, производимые молнией 1. Как часто возникает молния? Не везде на земле грозы бывают одинаково часто.В некоторых жарких, тропических местах грозы происходят круглый год - почти каждый день. В других же местах, расположенных в северных районах, грозы бывают

Из книги Атомная проблема автора Рэн Филипп
Из книги Новый ум короля [О компьютерах, мышлении и законах физики] автора Пенроуз Роджер

Принцип эквивалентности В предыдущей главе мы отыскали «разумную точку зрения» на движение. Правда, «разумных» точек зрения, которые мы назвали инерциальными системами, оказалось бесконечное множество.Теперь, вооруженные знанием законов движения, мы можем

Из книги 6. Электродинамика автора Фейнман Ричард Филлипс

Коэффициент полезного действия При помощи различных машин можно заставить источники энергии производить различную работу – поднимать грузы, двигать станки, перевозить грузы и людей.Можно подсчитать количество энергии, вложенной в машину, и значение полученной от нее

Из книги автора

Принцип исключения Несмотря на свои очевидные успехи, в 1924 г. «старая» квантовая теория, которая в течение нескольких предшествующих лет, казалось, дает методы и принципы, способные помочь, по крайней мере, представить основы атомной феноменологии, столкнулась с

Из книги автора

Глава II Принцип действия ядерных бомб Напомнив некоторые общие сведения из области ядерной физики, мы можем перейти к изложению принципа действия ядерных бомб.Все ядерные бомбы делятся на две большие группы: бомбы, основанные на реакции деления, называемые иногда

Из книги автора

II. Защита от поражающего действия ядерных бомб 1. Защита от светового излучения.Самая надежная защита от светового излучения заключается в том, чтобы не быть застигнутым вспышкой врасплох. Мы уже говорили, что световое излучение распространяется прямолинейно и

Из книги автора

Глава VIII Принцип действия и возможности ядерного реактора I. Устройство ядерного реактора Ядерный реактор состоит из следующих пяти основных элементов:1) ядерного горючего;2) замедлителя нейтронов;3) системы регулирования;4) системы охлаждения;5) защитного

Из книги автора
Из книги автора
Из книги автора

Глава 19 ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ Добавление, сделанное после лекцииКогда я учился в школе, наш учитель фи­зики, по фамилии Бадер, однажды зазвал меня к себе после урока и сказал: «У тебя вид такой, как будто тебе все страшно надоело; послу­шай-ка об одной интересной