Llogaritja e sipërfaqes së një figure të kufizuar nga një kurbë e përcaktuar parametrikisht. Llogaritja e vëllimeve të trupave të rrotullimit duke përdorur një rrotullim të caktuar integral rreth boshtit të vëllimit

Seksionet: Matematika

Lloji i mësimit: i kombinuar.

Objektivi i mësimit: Mësoni të llogarisni vëllimet e trupave të rrotullimit duke përdorur integrale.

Detyrat:

të konsolidojë aftësinë për të identifikuar trapezoidët lakuar nga një numër figurash gjeometrike dhe të zhvillojë aftësinë e llogaritjes së zonave të trapezoidëve lakor;
të njihen me konceptin figurë vëllimore;
të mësojnë të llogaritin vëllimet e trupave të rrotullimit;
promovojnë zhvillimin e të menduarit logjik, fjalimin kompetent matematikor, saktësinë gjatë ndërtimit të vizatimeve;
për të kultivuar interes për lëndën, për të vepruar me koncepte dhe imazhe matematikore, për të kultivuar vullnet, pavarësi dhe këmbëngulje në arritjen e rezultatit përfundimtar.

Ecuria e mësimit

I. Momenti organizativ.

Pershendetje nga grupi. T'u komunikoni nxënësve objektivat e mësimit.

Reflektimi. Melodi e qetë.

– Do të doja ta nisja mësimin e sotëm me një shëmbëlltyrë. “Njëherë e një kohë jetonte një njeri i mençur që dinte gjithçka. Një burrë donte të provonte se i urti nuk di gjithçka. Duke mbajtur një flutur në duar, ai pyeti: "Më thuaj, i urtë, cila flutur është në duart e mia: e vdekur apo e gjallë?" Dhe ai vetë mendon: "Nëse i gjalli thotë, do ta vras i vdekuri, do ta liroj". I urti, pasi mendoi, u përgjigj: "Gjithçka është në duart tuaja." (Prezantimi.Rrëshqitje)

– Prandaj, le të punojmë me fryt sot, të fitojmë një depo të re njohurish dhe aftësitë dhe aftësitë e fituara do t'i zbatojmë në jetën e ardhshme dhe në aktivitetet praktike. "Gjithçka është në duart tuaja."

II. Përsëritja e materialit të studiuar më parë.

– Le të kujtojmë pikat kryesore të materialit të studiuar më parë. Për ta bërë këtë, le të përfundojmë detyrën "Eliminoni fjalën shtesë."(Rrëshqitje.)

(Nxënësi shkon në I.D. përdor një gomë për të hequr fjalën shtesë.)

- E drejta "Diferencial". Mundohuni të emërtoni fjalët e mbetura me një fjalë të përbashkët. (Llogaritja integrale.)

– Le të kujtojmë fazat dhe konceptet kryesore që lidhen me llogaritjen integrale..

"Grupi matematikor".

Ushtrimi. Rikuperoni boshllëqet. (Nxënësi del dhe shkruan me stilolaps fjalët e kërkuara.)

– Do të dëgjojmë një abstrakt për zbatimin e integraleve më vonë.

Puna në fletore.

– Formula Njuton-Leibniz është nxjerrë nga fizikani anglez Isaac Newton (1643-1727) dhe filozofi gjerman Gottfried Leibniz (1646-1716). Dhe kjo nuk është për t'u habitur, sepse matematika është gjuha e folur nga vetë natyra.

– Le të shqyrtojmë se si përdoret kjo formulë për të zgjidhur problemet praktike.

Shembulli 1: Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Zgjidhje: Të ndërtojmë grafikët e funksioneve në planin koordinativ . Le të zgjedhim zonën e figurës që duhet të gjendet.

III. Mësimi i materialit të ri.

– Kushtojini vëmendje ekranit. Çfarë tregohet në foton e parë? (Rrëshqitje) (Figura tregon një figurë të sheshtë.)

– Çfarë tregohet në foton e dytë? A është e sheshtë kjo shifër? (Rrëshqitje) (Figura tregon një figurë tre-dimensionale.)

– Në hapësirë, në tokë dhe në jetën e përditshme Nuk hasim vetëm figura të sheshta, por edhe tredimensionale, por si mund të llogarisim vëllimin e trupave të tillë? Për shembull, vëllimi i një planeti, komete, meteori, etj.

– Njerëzit mendojnë për vëllimin si kur ndërtojnë shtëpi ashtu edhe kur derdhin ujë nga një enë në tjetrën. Rregullat dhe teknikat për llogaritjen e vëllimeve duhej të dilnin sa të sakta dhe të arsyeshme janë një çështje tjetër.

Mesazh nga një student. (Tyurina Vera.)

Viti 1612 ishte shumë i frytshëm për banorët e qytetit austriak të Linzit, ku jetonte astronomi i njohur Johannes Kepler, veçanërisht për rrushin. Njerëzit po përgatisnin fuçi vere dhe donin të dinin se si të përcaktonin praktikisht vëllimet e tyre. (Rrëshqitja 2)

– Kështu, veprat e konsideruara të Keplerit hodhën themelet për një rrjedhë të tërë kërkimesh që kulmuan në çerekun e fundit të shekullit të 17-të. dizajni në veprat e I. Newton dhe G.V. Lajbnici i njehsimit diferencial dhe integral. Që nga ajo kohë, matematika e variablave zuri një vend kryesor në sistemin e njohurive matematikore.

– Sot ju dhe unë do të përfshihemi në aktivitete të tilla praktike, prandaj,

Tema e mësimit tonë: "Llogaritja e vëllimeve të trupave të rrotullimit duke përdorur një integral të caktuar". (Rrëshqitje)

– Do të mësoni përkufizimin e një trupi rrotullues duke kryer detyrën e mëposhtme.

"Labirinti".

Labyrinth (fjala greke) do të thotë të shkosh nën tokë. Një labirint është një rrjet i ndërlikuar i shtigjeve, kalimeve dhe dhomave të ndërlidhura.

Por përkufizimi ishte "i prishur", duke lënë të dhëna në formën e shigjetave.

Ushtrimi. Gjeni një rrugëdalje nga situata konfuze dhe shkruani përkufizimin.

Rrëshqitje. “Udhëzim hartash” Llogaritja e vëllimeve.

Me ndihmën integral i caktuar ju mund të llogarisni vëllimin e një trupi të caktuar, në veçanti, një trup rrotullues.

Një trup rrotullues është një trup i marrë duke rrotulluar një trapez të lakuar rreth bazës së tij (Fig. 1, 2)

Vëllimi i një trupi rrotullues llogaritet duke përdorur një nga formulat:

1. rreth boshtit OX.

2. , nëse rrotullimi i një trapezi të lakuar rreth boshtit të op-amp.

Çdo student merr një kartë udhëzimi. Mësuesi thekson pikat kryesore.

– Mësuesi/ja shpjegon zgjidhjet e shembujve në tabelë.

Le të shqyrtojmë një fragment nga përralla e famshme e A. S. Pushkin "Përralla e Car Saltan, djali i tij, heroi i lavdishëm dhe i fuqishëm Princi Guidon Saltanovich dhe Princesha e bukur Swan" (Rrëshqitja 4):

…..
Dhe solli një lajmëtar i dehur
Në të njëjtën ditë, rendi është si më poshtë:
"Mbreti urdhëron djemtë e tij,
Pa humbur kohë,
Dhe mbretëresha dhe pasardhësit
Hidhe fshehurazi në humnerën e ujit.”
Nuk ka asgjë për të bërë: djemtë,
Shqetësimi për sovranin
Dhe për mbretëreshën e re,
Një turmë erdhi në dhomën e saj të gjumit.
Ata deklaruan vullnetin e mbretit -
Ajo dhe djali i saj kanë një pjesë të keqe,
Ne e lexojmë dekretin me zë të lartë,
Dhe mbretëresha në të njëjtën orë
Më futën në një fuçi me djalin tim,
Katranin dhe u larguan
Dhe ata më lanë në okiyan -
Kështu urdhëroi Car Saltan.

Sa duhet të jetë vëllimi i fuçisë në mënyrë që mbretëresha dhe djali i saj të mund të futen në të?

– Merrni parasysh detyrat e mëposhtme

1. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit të ordinatave të një trapezi lakor të kufizuar me vija: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Përgjigje: 1163 cm 3 .

Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi i një trapezi parabolik rreth boshtit të abshisës y = , x = 4, y = 0.

IV. Konsolidimi i materialit të ri

Shembulli 2. Llogaritni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i petalit rreth boshtit x y = x 2, y 2 = x.

Le të ndërtojmë grafikët e funksionit. y = x 2, y 2 = x. Orari y2 = x konvertohet në formë y= .

ne kemi V = V 1 – V 2 Le të llogarisim vëllimin e secilit funksion

– Tani, le të shohim kullën e radiostacionit në Moskë në Shabolovka, e ndërtuar sipas projektit të inxhinierit të shquar rus, akademikut të nderit V. G. Shukhov. Ai përbëhet nga pjesë - hiperboloidet e rrotullimit. Për më tepër, secila prej tyre është bërë nga shufra metalike të drejta që lidhin rrathët ngjitur (Fig. 8, 9).

- Le të shqyrtojmë problemin.

Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi i harqeve të hiperbolës rreth boshtit të tij imagjinar, siç tregohet në Fig. 8, ku

kubik njësi

Detyrat në grup. Nxënësit hedhin short me detyra, vizatojnë vizatime në letër whatman dhe njëri nga përfaqësuesit e grupit mbron punën.

Grupi 1.

Goditi! Goditi! Një tjetër goditje!
Topi fluturon në portë - BALL!
Dhe ky është një top shalqi
E gjelbër, e rrumbullakët, e shijshme.
Hidhini një sy më mirë - çfarë topi!
Ai është bërë nga asgjë tjetër përveç rrathëve.
Pritini shalqinin në rrathë
Dhe shijoni ato.

Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit OX të funksionit të kufizuar

Gabim! Faqerojtësi nuk është i përcaktuar.

– Ju lutem më tregoni ku e takojmë këtë shifër?

Shtëpia. detyrë për 1 grup. CILINDRI (rrëshqitje) .

"Cilindër - çfarë është?" – e pyeta babin.
Babai qeshi: Kapela e sipërme është kapelë.
Për të pasur një ide të saktë,
Një cilindër, le të themi, është një kanaçe.
Tubi i varkës me avull - cilindër,
Tubi në çatinë tonë gjithashtu,

Të gjithë tubat janë të ngjashëm me një cilindër.
Dhe unë dhashë një shembull si ky -
Kaleidoskopi dashuria ime,
Nuk mund t'i heqësh sytë nga ai,
Dhe gjithashtu duket si një cilindër.

- Ushtrimi. Detyrë shtëpie: grafikoni funksionin dhe llogarisni vëllimin.

Grupi i 2-të. KONI (rrëshqitje).

Mami tha: Dhe tani
Historia ime do të jetë për konin.
Stargazer me një kapelë të lartë
Numëron yjet gjatë gjithë vitit.
KON - kapele e yjeve.
Kështu është ai. Kuptohet? Kjo është ajo.
Nëna qëndronte në tryezë,
Hidha vaj në shishe.
- Ku është hinka? Asnjë gyp.
Kërkoni atë. Mos qëndroni mënjanë.
- Mami, nuk do të lëviz.
Më trego më shumë për konin.
– Hinka është në formë koni për ujitje.
Hajde, gjeje atë për mua shpejt.
Nuk e gjeta hinkën
Por nëna bëri një çantë,
E mbështjella kartonin rreth gishtit tim
Dhe ajo e siguroi me shkathtësi me një kapëse letre.
Vaji po rrjedh, nëna është e lumtur,
Koni doli ashtu siç duhet.

Ushtrimi. Njehsoni vëllimin e një trupi që përftohet duke u rrotulluar rreth boshtit të abshisës

Shtëpia. detyrë për grupin e dytë. PIRAMIDA(rrëshqitje).

Unë pashë foton. Në këtë foto
Ka një PIRAMIdë në shkretëtirën ranore.
Gjithçka në piramidë është e jashtëzakonshme,
Ka një lloj misteri dhe misteri në të.
Dhe Kulla Spasskaya në Sheshin e Kuq
Është shumë e njohur si për fëmijët ashtu edhe për të rriturit.
Nëse shikoni kullën, duket e zakonshme,
Çfarë ka në krye të saj? Piramida!

Ushtrimi. Detyrë shtëpie: grafikoni funksionin dhe llogarisni vëllimin e piramidës

– Vëllimet trupa të ndryshëm kemi llogaritur në bazë të formulës bazë për vëllimet e trupave duke përdorur integralin.

Ky është një tjetër konfirmim se integrali i caktuar është një bazë për studimin e matematikës.

- Epo, tani le të pushojmë pak.

Gjeni një palë.

Luhet melodia matematikore e dominosë.

"Rruga që unë vetë kërkoja nuk do të harrohet kurrë..."

Punë kërkimore. Zbatimi i integralit në ekonomi dhe teknologji.

Teste për nxënës të fortë dhe futboll matematikor.

Simulator matematike.

2. Bashkësia e të gjithë antiderivave të një funksioni të caktuar quhet

A) një integral i pacaktuar,

B) funksioni,

B) diferencimi.

7. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit të abshisave të një trapezi lakor të kufizuar me vija:

D/Z. Llogaritni vëllimet e trupave të revolucionit.

Reflektimi.

Pritja e reflektimit në formë sinkronizoj(pesë rreshta).

Rreshti i parë - emri i temës (një emër).

Rreshti i dytë - përshkrimi i temës me dy fjalë, dy mbiemra.

Rreshti i tretë – përshkrimi i veprimit në këtë temë me tre fjalë.

Rreshti i 4-të është një frazë prej katër fjalësh, që tregon qëndrimin ndaj temës (një fjali e tërë).

Rreshti i 5-të është një sinonim që përsërit thelbin e temës.

Vëllimi.
Funksion integral i caktuar, i integrueshëm.
Ne ndërtojmë, rrotullojmë, llogarisim.
Trup i përftuar nga rrotullimi i një trapezi të lakuar (rreth bazës së tij).
Trupi i rrotullimit (trupi gjeometrik vëllimor).

konkluzioni (rrëshqitje).

Një integral i caktuar është një bazë e caktuar për studimin e matematikës, e cila jep një kontribut të pazëvendësueshëm në zgjidhjen e problemeve praktike.
Tema "Integral" tregon qartë lidhjen midis matematikës dhe fizikës, biologjisë, ekonomisë dhe teknologjisë.
Zhvillimi shkenca moderneështë e paimagjinueshme pa përdorur integralin. Në këtë drejtim, është e nevojshme të fillohet studimi i tij në kuadër të arsimit të mesëm të specializuar!

Notimi. (Me koment.)

I madhi Omar Khayyam - matematikan, poet, filozof. Ai na inkurajon që të jemi zotërues të fatit tonë. Le të dëgjojmë një fragment nga puna e tij:

Do të thuash, kjo jetë është një moment.
Vlerësoni atë, merrni frymëzim prej tij.
Si ta shpenzoni, ashtu do të kalojë.
Mos harroni: ajo është krijimi juaj.

Kur po e kuptonim kuptimi gjeometrik integral i caktuar, kemi një formulë me të cilën mund të gjejmë sipërfaqen e një trapezi lakor të kufizuar nga boshti x dhe vijat e drejta x = a, x = b, si dhe një funksion të vazhdueshëm (jo negativ ose jo pozitiv). y = f(x). Ndonjëherë është më e përshtatshme të specifikohet funksioni që kufizon figurën në formë parametrike, d.m.th. shprehin varësinë funksionale nëpërmjet parametrit t. Në këtë material, ne do të tregojmë se si mund të gjeni sipërfaqen e një figure nëse ajo është e kufizuar nga një kurbë e përcaktuar parametrikisht.

Pas shpjegimit të teorisë dhe nxjerrjes së formulës, do të shikojmë disa shembuj tipikë për të gjetur sipërfaqen e figurave të tilla.

Formula bazë për llogaritjen

Le të supozojmë se kemi një trapez lakor, kufijtë e të cilit janë drejtëzat x = a, x = b, boshti O x dhe një kurbë e përcaktuar parametrikisht x = φ (t) y = ψ (t), dhe funksionet x = φ (t) dhe y = ψ (t) janë të vazhdueshme në intervalin α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Përkufizimi 1

Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi në këto kushte, duhet të përdorni formulën S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ " (t) d t.

E kemi nxjerrë nga formula për sipërfaqen e një trapezi lakor S (G) = ∫ a b f (x) d x me metodën e zëvendësimit x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Përkufizimi 2

Duke marrë parasysh uljen monotonike të funksionit x = φ (t) në intervalin β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Nëse funksioni x = φ (t) nuk është një nga elementët bazë, atëherë do të na duhet të kujtojmë rregullat bazë për rritjen dhe zvogëlimin e një funksioni në një interval për të përcaktuar nëse ai do të jetë në rritje apo në ulje.

Në këtë paragraf do të analizojmë disa probleme duke përdorur formulën e nxjerrë më sipër.

Shembulli 1

gjendja: gjeni sipërfaqen e figurës së formuar nga drejtëza e dhënë nga ekuacionet e formës x = 2 cos t y = 3 sin t.

Zgjidhje

Kemi parametrikisht linjë e dhënë. Grafikisht mund të shfaqet si një elips me dy gjysmëboshte 2 dhe 3. Shih ilustrimin:

Le të përpiqemi të gjejmë sipërfaqen 1 4 të figurës që rezulton, e cila zë kuadrantin e parë. Rajoni është në intervalin x ∈ a; b = 0; 2. Tjetra, shumëzoni vlerën që rezulton me 4 dhe gjeni sipërfaqen e të gjithë figurës.

Këtu është ecuria e llogaritjeve tona:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Me k të barabartë me 0, marrim intervalin β; α = 0 ; π 2. Funksioni x = φ (t) = 2 cos t do të ulet në mënyrë monotonike mbi të (për më shumë detaje, shihni artikullin mbi kryesore funksionet elementare dhe vetitë e tyre). Kjo do të thotë që ju mund të aplikoni formulën për llogaritjen e sipërfaqes dhe të gjeni integralin e caktuar duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - mëkat 2 π 2 2 - 0 - mëkat 2 0 2 = 3 π 2

Kjo do të thotë që zona e figurës së dhënë nga kurba origjinale do të jetë e barabartë me S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π.

Përgjigje: S(G) = 6π

Le të sqarojmë se gjatë zgjidhjes së problemit të mësipërm, ishte e mundur të merrej jo vetëm një e katërta e elipsës, por edhe gjysma e saj - ajo e sipërme ose e poshtme. Njëra gjysmë do të vendoset në intervalin x ∈ a; b = -2; 2. Në këtë rast do të kishim:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

Kështu, me k të barabartë me 0, marrim β; α = 0 ; π. Funksioni x = φ (t) = 2 cos t do të ulet në mënyrë monotonike në këtë interval.

Pas kësaj, ne llogarisim sipërfaqen e gjysmës së elipsës:

- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - mëkat 2 0 2 = 3 π

Është e rëndësishme të theksohet se ju mund të merrni vetëm majën ose pjesa e poshtme, por djathtas ose majtas nuk lejohet.

Ju mund të krijoni një ekuacion parametrik për një elips të caktuar, qendra e së cilës do të jetë në origjinë. Do të duket si x = a · cos t y = b · sin t . Duke vazhduar në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mësipërm, marrim një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së elipsës S e l dhe p me a = πab.

Ju mund të përcaktoni një rreth, qendra e të cilit ndodhet në origjinë duke përdorur ekuacionin x = R · cos t y = R · sin t , ku t është një parametër dhe R është rrezja e këtij rrethi. Nëse menjëherë përdorim formulën për sipërfaqen e një elipsi, atëherë do të marrim një formulë me të cilën mund të llogarisim sipërfaqen e një rrethi me rreze R: S k r y r a = πR 2.

Le të shohim një problem tjetër.

Shembulli 2

Kushti: gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë sipërfaqja e figurës, e cila kufizohet nga një kurbë e përcaktuar parametrikisht x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Zgjidhje

Le të sqarojmë menjëherë se kjo kurbë ka formën e një astroidi të zgjatur. Në mënyrë tipike astroidi shprehet duke përdorur një ekuacion të formës x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

Tani le të shohim në detaje se si të ndërtojmë një kurbë të tillë. Le të ndërtojmë në bazë të pikave individuale. Kjo është metoda më e zakonshme dhe është e zbatueshme për shumicën e detyrave. Më shumë shembuj kompleks kërkojnë llogaritje diferenciale për të identifikuar një funksion të përcaktuar parametrikisht.

Kemi x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Këto funksione janë specifike për të gjithë vlerat reale t. Për sin dhe cos dihet se ato janë periodike dhe periudha e tyre është 2 pi. Pasi të kemi llogaritur vlerat e funksioneve x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t për disa t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, marrim pikë x 0; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Le të bëjmë një tabelë të vlerave totale:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Pas kësaj, shënoni pikat e kërkuara në aeroplan dhe lidhini ato me një vijë.

Tani duhet të gjejmë sipërfaqen e asaj pjese të figurës që ndodhet në tremujorin e parë të koordinatave. Për të x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Nëse k është e barabartë me 0, atëherë marrim intervalin β; α = 0 ; π 2 , dhe funksioni x = φ (t) = 3 cos 3 t do të ulet në mënyrë monotonike mbi të. Tani marrim formulën e sipërfaqes dhe llogarisim:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Ne kemi marrë integrale të përcaktuara që mund të llogariten duke përdorur formulën Newton-Leibniz. Antiderivativët për këtë formulë mund të gjenden duke përdorur formulën e përsëritur J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , ku J n (x) = ∫ mëkat n x d x.

∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Llogaritëm sipërfaqen e një të katërtës së një figure. Është e barabartë me 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Nëse e shumëzojmë këtë vlerë me 4, marrim sipërfaqen e të gjithë figurës - 9 π 4.

Në të njëjtën mënyrë, ne mund të vërtetojmë se zona e astroidit, e dhënë nga ekuacionet x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t, mund të gjendet me formulën S a stroid = 3 πa 2 8 , dhe zona e figurës, e cila kufizohet nga rreshti x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t, llogaritet duke përdorur formulën S = 3 πab 8.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Para se të kalojmë te formulat për sipërfaqen e një sipërfaqe revolucioni, do të japim një formulim të shkurtër të vetë sipërfaqes së revolucionit. Një sipërfaqe e rrotullimit, ose, çfarë është e njëjta gjë, një sipërfaqe e një trupi rrotullues është një figurë hapësinore e formuar nga rrotullimi i një segmenti AB kthesë rreth boshtit kau(foto më poshtë).

Le të imagjinojmë një trapez të lakuar të kufizuar nga lart nga segmenti i përmendur i kurbës. Një trup i formuar nga rrotullimi i këtij trapezi rreth të njëjtit bosht kau, dhe është një trup rrotullues. Dhe zona e sipërfaqes së rrotullimit ose sipërfaqja e një trupi rrotullues është guaska e saj e jashtme, pa llogaritur rrathët e formuar nga rrotullimi rreth boshtit të vijave të drejta x = a Dhe x = b .

Vini re se një trup rrotullues dhe, në përputhje me rrethanat, sipërfaqja e tij mund të formohet gjithashtu duke rrotulluar figurën jo rreth boshtit kau, dhe rreth boshtit Oy.

Llogaritja e sipërfaqes së sipërfaqes së rrotullimit të specifikuar në koordinatat drejtkëndore

Lëreni në koordinata drejtkëndëshe në rrafsh ekuacionin y = f(x) specifikohet një kurbë, rrotullimi i së cilës rreth boshtit koordinativ formon një trup rrotullimi.

Formula për llogaritjen e sipërfaqes së revolucionit është si më poshtë:

(1).

Shembulli 1. Gjeni sipërfaqen e paraboloidit të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të tij kau harku i një parabole që korrespondon me ndryshimin x nga x= 0 deri x = a .

Zgjidhje. Le të shprehim në mënyrë eksplicite funksionin që përcakton harkun e parabolës:

Le të gjejmë derivatin e këtij funksioni:

Përpara se të përdorim formulën për të gjetur sipërfaqen e një sipërfaqeje rrotullimi, le të shkruajmë atë pjesë të integrandit të saj që përfaqëson rrënjën dhe të zëvendësojmë derivatin që sapo gjetëm atje:

Përgjigje: Gjatësia e harkut të lakores është

Shembulli 2. Gjeni sipërfaqen e formuar nga rrotullimi rreth një boshti kau astroid.

Zgjidhje. Mjafton të llogarisim sipërfaqen që rezulton nga rrotullimi i një dege të astroidit, që ndodhet në tremujorin e parë, dhe ta shumëzojmë me 2. Nga ekuacioni i astroidit, do të shprehim qartë funksionin që do të na duhet të zëvendësojmë në formula për të gjetur sipërfaqen e rrotullimit:

Ne integrojmë nga 0 në a:

Llogaritja e sipërfaqes së sipërfaqes së rrotullimit të specifikuar në mënyrë parametrike

Le të shqyrtojmë rastin kur kurba që formon sipërfaqen e rrotullimit jepet me ekuacione parametrike

Pastaj sipërfaqja e rrotullimit llogaritet me formulë

(2).

Shembulli 3. Gjeni zonën e sipërfaqes së rrotullimit të formuar nga rrotullimi rreth një boshti Oy figurë e kufizuar nga një cikloide dhe një vijë e drejtë y = a. Cikloidi jepet me ekuacione parametrike

Zgjidhje. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të cikloidit dhe drejtëzës. Barazimi i ekuacionit të një cikloide dhe ekuacionit të një drejtëze y = a, le të gjejmë

Nga kjo rrjedh se kufijtë e integrimit korrespondojnë me

Tani mund të aplikojmë formulën (2). Le të gjejmë derivatet:

Le të shkruajmë shprehjen radikale në formulë, duke zëvendësuar derivatet e gjetur:

Le të gjejmë rrënjën e kësaj shprehjeje:

Le të zëvendësojmë atë që gjetëm në formulën (2):

Le të bëjmë një zëvendësim:

Dhe më në fund e gjejmë

Formulat trigonometrike u përdorën për të transformuar shprehjet

Përgjigje: Sipërfaqja e sipërfaqes së rrotullimit është .

Llogaritja e sipërfaqes së një sipërfaqe revolucioni të specifikuar në koordinatat polare

Lëreni kurbë, rrotullimi i së cilës formon sipërfaqen, të specifikohet në koordinata polare.

Le të shqyrtojmë shembuj të aplikimit të formulës që rezulton, e cila na lejon të llogarisim zonat e figurave të kufizuara nga linjat e specifikuara parametrikisht.

Shembull.

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga një vijë, ekuacionet parametrike të së cilës kanë formën .

Zgjidhje.

Në shembullin tonë, vija e përcaktuar parametrikisht është një elipsë me gjysmë boshte 2 dhe 3 njësi. Le ta ndërtojmë.

Le të gjejmë sipërfaqen e çerekut të elipsës që ndodhet në kuadrantin e parë. Kjo zonë shtrihet në interval . Ne llogarisim sipërfaqen e të gjithë figurës duke shumëzuar vlerën që rezulton me katër.

Ajo që kemi:

Për k = 0 marrim intervalin . Në këtë interval funksioni në rënie monotonike (shih pjesën). Ne aplikojmë formulën për të llogaritur sipërfaqen dhe për të gjetur integralin e caktuar duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

Kështu, sipërfaqja e figurës origjinale është e barabartë me .

Komentoni.

Lind një pyetje logjike: pse morëm një të katërtën e elipsës dhe jo gjysmën? Ishte e mundur të shihej gjysma e sipërme (ose e poshtme) e figurës. Ajo është në interval . Për këtë rast do të merrnim

Kjo do të thotë, për k = 0 marrim intervalin . Në këtë interval funksioni në rënie monotonike.

Pastaj sipërfaqja e gjysmës së elipsës gjendet si

Por ju nuk do të jeni në gjendje të merrni gjysmën e djathtë ose të majtë të elipsit.

Paraqitja parametrike e një elipse me qendër në origjinë dhe gjysmëboshtet a dhe b ka formën . Nëse veprojmë në të njëjtën mënyrë si në shembullin e analizuar, marrim formula për llogaritjen e sipërfaqes së një elipsi .

Një rreth me qendër në origjinën e rrezes R specifikohet përmes parametrit t nga një sistem ekuacionesh. Nëse përdorni formulën që rezulton për zonën e një elipsi, mund të shkruani menjëherë formula për gjetjen e sipërfaqes së një rrethi rrezja R: .

Le të zgjidhim edhe një shembull.

Shembull.

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga një kurbë e specifikuar në mënyrë parametrike.

Zgjidhje.

Duke parë pak përpara, kurba është një astroid "i zgjatur". (Astroidi ka paraqitjen parametrike të mëposhtme).

Le të ndalemi në detaje në ndërtimin e kurbës që kufizon figurën. Do ta ndërtojmë pikë për pikë. Në mënyrë tipike, një ndërtim i tillë është i mjaftueshëm për të zgjidhur shumicën e problemeve. Në raste më komplekse, do të kërkohet padyshim një studim i detajuar i një funksioni të përcaktuar parametrikisht duke përdorur llogaritjen diferenciale.

Në shembullin tonë.

Këto funksione janë të përcaktuara për të gjitha vlerat reale të parametrit t, dhe nga vetitë e sinusit dhe kosinusit dimë se ato janë periodike me një periodë prej dy pi. Kështu, duke llogaritur vlerat e funksionit për disa (Për shembull ), marrim një grup pikësh .

Për lehtësi, le të vendosim vlerat në tabelë:

I shënojmë pikat në rrafsh dhe i lidhim në mënyrë të vazhdueshme me një vijë.

Le të llogarisim sipërfaqen e rajonit të vendosur në kuadrantin e parë koordinativ. Për këtë zonë .

Në k=0 marrim intervalin , mbi të cilin funksioni zvogëlohet në mënyrë monotone. Zbatojmë formulën për të gjetur zonën:

Ne llogarisim integralet e përcaktuara që rezultojnë duke përdorur formulën Newton-Leibniz dhe gjejmë antiderivativët për formulën Newton-Leibniz duke përdorur një formulë të përsëritur të formës , Ku .

Prandaj, sipërfaqja e figurës së tremujorit është , atëherë sipërfaqja e të gjithë figurës është e barabartë me .

Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se zona astroid ndodhet si , dhe sipërfaqja e figurës së kufizuar nga rreshti llogaritet me formulë.