Tabela e derivateve të funksioneve elementare algjebrike me përfundime. Gjeni derivatin: algoritmin dhe shembujt e zgjidhjeve

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le të shqyrtojmë menjëherë funksionin e anasjelltë. Cili funksion është inversi i funksionit eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? sigurisht.

Derivati ​​i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit.
2. Cili është derivati ​​i funksionit?

Përgjigjet: Logaritmi eksponencial dhe natyror janë funksione unike të thjeshta nga një këndvështrim derivat. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo është e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Matematikanët e quajnë diferencialin të njëjtën rritje të një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja differentia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - një numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

1. në një pikë;
2. në një pikë;
3. në një pikë;
4. në pikën.

Zgjidhjet:

1. (derivati ​​është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi është funksion linear, mbani mend?);

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të prezantojmë një funksion të ri dhe të gjejmë rritjen e tij:

Derivat:

Shembuj:

1. Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
2. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta reduktojmë funksionin tonë në një bazë të re:

Për ta bërë këtë, ne do të përdorim një rregull të thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

A funksionoi?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet në një formë më të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.

Vini re se këtu është herësi i dy funksioneve, kështu që ne zbatojmë rregullin përkatës të diferencimit:

Në këtë shembull, produkti i dy funksioneve:

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati ​​merret shumë thjesht:

Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike nuk gjenden pothuajse kurrë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.

Derivat i një funksioni kompleks.

Çfarë është një "funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë me një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt në rend të kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Çfarë ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Me fjalë të tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin tonë,.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: fillimisht ju e vendosni në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Një tipar i rëndësishëm i funksioneve komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

1. Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
   Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
2. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
3. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
4. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
5. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembullin origjinal, duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë përfundimisht rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky është tashmë një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne ende do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj ne i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë radhe do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksioni përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rendin e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati ​​i shumës:

Derivati ​​i produktit:

Derivati ​​i herësit:

Derivati ​​i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

1. Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
2. Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
3. Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Pa prova, ne paraqesim formulat për derivatet e funksioneve elementare themelore:

1. Funksioni i fuqisë: (x n)` =nx n -1 .

2. Funksioni eksponencial: (a x)` =a x lna(në veçanti, (e x)` = e x).

3. Funksioni logaritmik: (në veçanti, (lnx)` = 1/x).

4. Funksionet trigonometrike:

(cosх)` = -sinx

(tgх)` = 1/cos 2 x

(ctgх)` = -1/sin 2 x

5. Funksionet trigonometrike të anasjellta:

Mund të vërtetohet se për të diferencuar një funksion eksponencial të fuqisë, është e nevojshme të përdoret formula për derivatin e një funksioni kompleks dy herë, domethënë, të diferencohet si funksion kompleks i fuqisë dhe si funksion kompleks eksponencial, dhe të shtohen rezultatet. : (f(x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  (x) *lnf(x)* (x)`.

Derivatet e rendit më të lartë

Meqenëse derivati ​​i një funksioni është në vetvete një funksion, ai gjithashtu mund të ketë një derivat. Koncepti i një derivati, i cili u diskutua më lart, i referohet një derivati ​​të rendit të parë.

Derivatn- urdhri quhet derivat i derivatit të rendit (n- 1). Për shembull, f``(x) = (f`(x))` - derivat i rendit të dytë (ose derivat i dytë), f```(x) = (f``(x))` - derivat i rendit të tretë ( ose derivat i tretë), etj. Ndonjëherë numrat arabë romakë në kllapa përdoren për të treguar derivatet e rendit më të lartë, për shembull, f (5) (x) ose f (V) (x) për një derivat të rendit të pestë.

Kuptimi fizik i derivateve të rendit më të lartë përcaktohet në të njëjtën mënyrë si për derivatin e parë: secili prej tyre përfaqëson shkallën e ndryshimit të derivatit të rendit të mëparshëm. Për shembull, derivati ​​i dytë paraqet shkallën e ndryshimit të të parit, d.m.th. shpejtësia e shpejtësisë. Për lëvizjen drejtvizore, do të thotë nxitimi i një pike në një moment në kohë.

Funksioni i elasticitetit

Funksioni i elasticitetit E x (y) është kufiri i raportit të rritjes relative të funksionit y ndaj rritjes relative të argumentit x pasi ky i fundit tenton në zero:
.

Elasticiteti i një funksioni tregon afërsisht sa për qind do të ndryshojë funksioni y = f(x) kur ndryshorja e pavarur x ndryshon me 1%.

Në kuptimin ekonomik, ndryshimi midis këtij treguesi dhe derivatit është se derivati ​​ka njësi matëse, dhe për këtë arsye vlera e tij varet nga njësitë në të cilat maten variablat. Për shembull, nëse varësia e vëllimit të prodhimit nga koha shprehet përkatësisht në ton dhe muaj, atëherë derivati ​​do të tregojë rritjen margjinale të vëllimit në ton në muaj; nëse i matim këta tregues, të themi, në kilogramë dhe ditë, atëherë si vetë funksioni ashtu edhe derivati ​​i tij do të jenë të ndryshëm. Elasticiteti është në thelb një sasi pa dimension (e matur në përqindje ose pjesë) dhe për këtë arsye nuk varet nga shkalla e treguesve.

Teorema themelore mbi funksionet e diferencishme dhe aplikimet e tyre

Teorema e Fermatit. Nëse një funksion i diferencueshëm në një interval arrin vlerën e tij më të madhe ose minimale në një pikë të brendshme të këtij intervali, atëherë derivati ​​i funksionit në këtë pikë është zero.

Asnjë provë.

Kuptimi gjeometrik i teoremës së Fermatit është se në pikën e vlerës më të madhe ose më të vogël të arritur brenda intervalit, tangjentja me grafikun e funksionit është paralele me boshtin e abshisës (Figura 3.3).

Teorema e Rolit. Le të plotësojmë funksionin y =f(x) kushtet e mëposhtme:

2) i diferencueshëm në intervalin (a, b);

3) në skajet e segmentit merr vlera të barabarta, d.m.th. f(a) =f(b).

Atëherë ka të paktën një pikë brenda segmentit në të cilin derivati ​​i funksionit është i barabartë me zero.

Asnjë provë.

Kuptimi gjeometrik i teoremës së Rolle është se ekziston të paktën një pikë në të cilën tangjentja me grafikun e funksionit do të jetë paralele me boshtin e abshisës (për shembull, në figurën 3.4 ka dy pika të tilla).

Nëse f(a) =f(b) = 0, atëherë teorema e Rolle-s mund të formulohet ndryshe: midis dy zerove të njëpasnjëshme të funksionit të diferencueshëm ka të paktën një zero të derivatit.

Teorema e Rolit është një rast i veçantë i teoremës së Lagranzhit.

Teorema e Lagranzhit. Le të plotësojmë funksionin y =f(x) kushtet e mëposhtme:

1) e vazhdueshme në intervalin [a, b];

2) i diferencueshëm në intervalin (a, b).

Pastaj brenda segmentit ka të paktën një pikë të tillë c, në të cilën derivati ​​është i barabartë me herësin e rritjes së funksionit të ndarë me rritjen e argumentit në këtë segment:
.

Asnjë provë.

Për të kuptuar kuptimin fizik të teoremës së Lagranzhit, vërejmë se
nuk është asgjë më shumë se shkalla mesatare e ndryshimit të funksionit gjatë gjithë intervalit [a, b]. Kështu, teorema thotë se brenda segmentit ekziston të paktën një pikë në të cilën shkalla "e menjëhershme" e ndryshimit të funksionit është e barabartë me shkallën mesatare të ndryshimit të tij në të gjithë segmentin.

Kuptimi gjeometrik i teoremës së Lagranzhit është ilustruar në figurën 3.5. Vini re se shprehja
paraqet koeficientin këndor të drejtëzës në të cilën shtrihet korda AB. Teorema thotë se në grafikun e një funksioni do të ketë të paktën një pikë në të cilën tangjentja ndaj tij do të jetë paralele me këtë kordë (d.m.th., pjerrësia e tangjentes - derivati ​​- do të jetë e njëjtë).

Përfundim: nëse derivati ​​i një funksioni është i barabartë me zero në një interval të caktuar, atëherë funksioni është identikisht konstant në këtë interval.

Në fakt, le të marrim intervalin. Sipas teoremës së Lagranzhit, në këtë interval ka një pikë c për të cilën
. Prandaj f(a) – f(x) = f `(с)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = konst.

Rregulli i L'Hopital. Kufiri i raportit të dy funksioneve pafundësisht të vogla ose pafundësisht të mëdha është i barabartë me kufirin e raportit të derivateve të tyre (i fundëm ose i pafund), nëse ky i fundit ekziston në kuptimin e treguar.

Me fjalë të tjera, nëse ka pasiguri të formës
, Kjo
.

Asnjë provë.

Zbatimi i rregullit të L'Hopital për të gjetur kufij do të diskutohet në klasa praktike.

Kusht i mjaftueshëm për një rritje (ulje) të një funksioni. Nëse derivati ​​i një funksioni të diferencueshëm është pozitiv (negativ) brenda një intervali të caktuar, atëherë funksioni rritet (zvogëlohet) në këtë interval.

Dëshmi. Konsideroni dy vlera x 1 dhe x 2 nga ky interval (le të x 2 > x 1). Nga teorema e Lagrandit në [x 1, x 2] ekziston një pikë c në të cilën
. Prandaj f(x 2) –f(x 1) =f`(c)(x 2 –x 1). Atëherë për f`(c) > 0 ana e majtë e pabarazisë është pozitive, pra f(x 2) >f(x 1), dhe funksioni është në rritje. Kurf`(c)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

Teorema është vërtetuar.

Interpretimi gjeometrik i kushtit për monotoninë e një funksioni: nëse tangjentet në kurbë në një interval të caktuar drejtohen në kënde akute ndaj boshtit të abshisës, atëherë funksioni rritet, dhe nëse në kënde të mprehta, atëherë zvogëlohet (shih Figurën 3.6 ).

Shënim: kushti i nevojshëm për monotoni është më i dobët. Nëse një funksion rritet (zvogëlohet) gjatë një intervali të caktuar, atëherë derivati ​​është jo-negativ (jo pozitiv) në këtë interval (d.m.th., në pika të veçanta derivati ​​i një funksioni monoton mund të jetë i barabartë me zero).

Provoni vetë formulat 3 dhe 5.

RREGULLAT THEMELORE TË DIFERENCIIMIT

Duke përdorur metodën e përgjithshme të gjetjes së derivatit duke përdorur kufirin, mund të merren formulat më të thjeshta të diferencimit. Le u=u(x),v=v(x)– dy funksione të diferencueshme të një ndryshoreje x.

Provoni vetë formulat 1 dhe 2.

Dëshmi e Formulës 3.

Le y = u(x) + v(x). Për vlerën e argumentit x+Δ x ne kemi y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).

Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.

Prandaj,

Vërtetimi i formulës 4.

Le y=u(x)·v(x). Pastaj y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), Kjo është arsyeja pse

Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).

Vini re se meqenëse secili prej funksioneve u Dhe v të diferencueshme në pikë x, atëherë ato janë të vazhdueshme në këtë pikë, që do të thotë u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), në Δ x→0.

Prandaj mund të shkruajmë

Bazuar në këtë veti, mund të merret një rregull për diferencimin e produktit të çdo numri funksionesh.

Le të, për shembull, y=u·v·w. Pastaj,

y " = u "·( v w) + u·( v·w) " = u "· v·w + u·( v"·w+ v·w ") = u "· v·w + u· v"·w+ u·v·w".

Vërtetimi i formulës 5.

Le . Pastaj

Në provë kemi përdorur faktin se v(x+Δ x)→v(x) në Δ x→0.

Shembuj.

TEOREMA MBI DERIVATIN E FUNKSIONIT KOMPLEKS

Le y = f(u), A u= u(x). Ne marrim funksionin y në varësi të argumentit x: y = f(u(x)). Funksioni i fundit quhet funksion i një funksioni ose funksion kompleks.

Domeni i përkufizimit të funksionit y = f(u(x))është ose i gjithë domeni i përkufizimit të funksionit u=u(x) ose ajo pjesë në të cilën përcaktohen vlerat u, duke mos lënë domenin e përcaktimit të funksionit y= f(u).

Operacioni funksion-nga-funksion mund të kryhet jo vetëm një herë, por çdo numër herë.

Le të vendosim një rregull për diferencimin e një funksioni kompleks.

Teorema. Nëse funksioni u= u(x) ka në një moment x 0 derivat dhe merr vlerën në këtë pikë u 0 = u(x 0), dhe funksionin y=f(u) ka në pikën u 0 derivat y"u = f "(u 0), pastaj një funksion kompleks y = f(u(x)) në pikën e caktuar x 0 gjithashtu ka një derivat, i cili është i barabartë me y"x = f "(u 0)· u "(x 0), ku në vend të u shprehja duhet të zëvendësohet u= u(x).

Kështu, derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të një funksioni të caktuar në lidhje me argumentin e ndërmjetëm u ndaj derivatit të argumentit të ndërmjetëm në lidhje me x.

Dëshmi. Për një vlerë fikse X 0 do të kemi u 0 =u(x 0), në 0 =f(u 0 ). Për një vlerë të re argumenti x 0+Δ x:

Δ u= u(x 0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(u 0+Δ u) – f(u 0).

Sepse u– i diferencueshëm në një pikë x 0, Kjo u– është e vazhdueshme në këtë pikë. Prandaj, në Δ x→0 Δ u→0. Në mënyrë të ngjashme për Δ u→0 Δ y→0.

Sipas kushteve . Nga kjo lidhje, duke përdorur përkufizimin e kufirit, marrim (në Δ u→0)

ku α→0 në Δ u→0, dhe, rrjedhimisht, në Δ x→0.

Le ta rishkruajmë këtë barazi si:

Δ y=y" uΔ u+α·Δ u.

Barazia që rezulton është gjithashtu e vlefshme për Δ u=0 për α arbitrare, pasi kthehet në identitet 0=0. Në Δ u=0 do të supozojmë α=0. Le të ndajmë të gjithë termat e barazisë që rezulton me Δ x

.

Sipas kushteve . Prandaj, duke kaluar në kufirin në Δ x→0, marrim y"x = y"u·u" x. Teorema është vërtetuar.

Pra, për të dalluar një funksion kompleks y = f(u(x)), ju duhet të merrni derivatin e funksionit "të jashtëm". f, duke e trajtuar argumentin e tij thjesht si një ndryshore dhe shumëzuar me derivatin e funksionit "të brendshëm" në lidhje me variablin e pavarur.

Nëse funksioni y=f(x) mund të paraqitet në formë y=f(u), u=u(v), v=v(x), atëherë gjetja e derivatit y " x kryhet me zbatimin sekuencial të teoremës së mëparshme.

Sipas rregullit të provuar, ne kemi y"x = y"ju u"x. Zbatimi i së njëjtës teoremë për u"x marrim, d.m.th.

y"x = y"x u"v v"x = f"u( u)· u"v ( v)· v"x ( x).

Shembuj.

KONCEPTI I NJË FUNKSIONI INVERS

Le të fillojmë me një shembull. Merrni parasysh funksionin y= x 3. Ne do të konsiderojmë barazinë y= x 3 si një ekuacion relativ x. Ky është ekuacioni për secilën vlerë në përcakton një vlerë të vetme x: . Gjeometrikisht, kjo do të thotë se çdo vijë e drejtë është paralele me boshtin kau pret grafikun e një funksioni y= x 3 vetëm në një moment. Prandaj mund të konsiderojmë x në funksion të y. Një funksion quhet inversi i një funksioni y= x 3.

Para se të kalojmë në rastin e përgjithshëm, ne prezantojmë përkufizimet.

Funksioni y = f(x) thirrur në rritje në një segment të caktuar, nëse vlera më e madhe e argumentit x nga ky segment i përgjigjet një vlerë më e madhe e funksionit, d.m.th. Nëse x 2 >x 1, atëherë f(x 2 ) > f(x 1 ).

Funksioni thirret në mënyrë të ngjashme në rënie, nëse një vlerë më e vogël e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit, d.m.th. Nëse X 2 < X 1, atëherë f(x 2 ) > f(x 1 ).

Pra, le të jepet një funksion rritës ose zvogëlues y=f(x), e përcaktuar në një interval [ a; b]. Për definicion, ne do të konsiderojmë një funksion në rritje (për një në rënie gjithçka është e ngjashme).

Konsideroni dy vlera të ndryshme X 1 dhe X 2. Le y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Nga përkufizimi i një funksioni rritës del se nëse x 1 <x 2, atëherë në 1 <në 2. Prandaj, dy vlera të ndryshme X 1 dhe X 2 korrespondon me dy vlera të ndryshme funksioni në 1 dhe në 2. Është e vërtetë edhe e kundërta, d.m.th. Nëse në 1 <në 2, atëherë nga përkufizimi i një funksioni rritës rrjedh se x 1 <x 2. ato. përsëri dy vlera të ndryshme në 1 dhe në 2 korrespondon me dy vlera të ndryshme x 1 dhe x 2. Kështu, midis vlerave x dhe vlerat e tyre përkatëse y krijohet një korrespondencë një me një, d.m.th. ekuacioni y=f(x) për të gjithë y(marrë nga diapazoni i funksionit y=f(x)) përcakton një vlerë të vetme x, dhe mund të themi se x ka një funksion argumenti y: x= g(y).

Ky funksion quhet e kundërta për funksion y=f(x). Natyrisht, funksioni y=f(x)është anasjellta e funksionit x=g(y).

Vini re se funksioni i anasjelltë x=g(y) gjetur duke zgjidhur ekuacionin y=f(x) relativisht X.

Shembull. Le të jepet funksioni y= e x. Ky funksion rritet në –∞< x <+∞. Она имеет обратную функцию x= log y. Domeni i funksionit të anasjelltë 0< y < + ∞.

Le të bëjmë disa komente.

Shënim 1. Nëse një funksion në rritje (ose në rënie). y=f(x)është e vazhdueshme në intervalin [ a; b], dhe f(a)=c, f(b)=d, atëherë funksioni i anasjelltë është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në intervalin [ c; d].

Shënim 2. Nëse funksioni y=f(x) nuk është as në rritje e as në rënie në një interval të caktuar, atëherë mund të ketë disa funksione të anasjellta.

Shembull. Funksioni y=x2 përcaktuar në –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x Funksioni ≤ 0 – zvogëlohet dhe anasjelltas i tij.

Shënim 3. Nëse funksionet y=f(x) Dhe x=g(y) janë reciprokisht të anasjellta, atëherë shprehin të njëjtën marrëdhënie midis variablave x Dhe y. Prandaj, grafiku i të dyjave është e njëjta kurbë. Por nëse argumentin e funksionit të anasjelltë e shënojmë sërish me x, dhe funksioni përmes y dhe i vizatojmë në të njëjtin sistem koordinativ, do të marrim dy grafikë të ndryshëm. Është e lehtë të vërehet se grafikët do të jenë simetrik në lidhje me përgjysmuesin e këndit të parë të koordinatave.

TEOREMA MBI FUNKSIONIN E INVERSIT DERIVATIV

Le të vërtetojmë një teoremë që na lejon të gjejmë derivatin e funksionit y=f(x), duke ditur derivatin e funksionit të anasjelltë.

Teorema. Nëse për funksionin y=f(x) ka një funksion të anasjelltë x=g(y), i cili në një moment në 0 ka një derivat g "(v 0), jo zero, pastaj në pikën përkatëse x 0=g(x 0) funksion y=f(x) ka një derivat f "(x 0), e barabartë me , d.m.th. formula është e saktë.

Dëshmi. Sepse x=g(y) i diferencueshëm në pikë y 0, Kjo x=g(y)është i vazhdueshëm në këtë pikë, pra funksioni y=f(x) e vazhdueshme në një pikë x 0=g(y 0). Prandaj, në Δ x→0 Δ y→0.

Le ta tregojmë atë .

Le . Pastaj, nga vetia e limitit . Le të kalojmë në këtë barazi në kufirin në Δ y→0. Pastaj Δ x→0 dhe α(Δx)→0, d.m.th. .

Prandaj,

,

Q.E.D.

Kjo formulë mund të shkruhet në formën .

Le të shohim zbatimin e kësaj teoreme duke përdorur shembuj.

Zgjidhja e problemeve fizike ose shembujve në matematikë është plotësisht e pamundur pa njohuri për derivatin dhe metodat e llogaritjes së tij. Derivati ​​është një nga konceptet më të rëndësishme në analizën matematikore. Ne vendosëm t'i kushtojmë artikullin e sotëm kësaj teme themelore. Çfarë është një derivat, cili është kuptimi fizik dhe gjeometrik i tij, si të llogaritet derivati ​​i një funksioni? Të gjitha këto pyetje mund të kombinohen në një: si ta kuptojmë derivatin?

Kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit

Le të ketë një funksion f(x) , të specifikuara në një interval të caktuar (a, b) . Pikat x dhe x0 i përkasin këtij intervali. Kur x ndryshon, vetë funksioni ndryshon. Ndryshimi i argumentit - ndryshimi në vlerat e tij x-x0 . Ky ndryshim shkruhet si delta x dhe quhet rritje e argumentit. Një ndryshim ose rritje e një funksioni është diferenca midis vlerave të një funksioni në dy pika. Përkufizimi i derivatit:

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit në një pikë të caktuar me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero.

Përndryshe mund të shkruhet kështu:

Çfarë kuptimi ka të gjesh një kufi të tillë? Dhe ja çfarë është:

derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit OX dhe tangjentes me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.

Kuptimi fizik i derivatit: derivati ​​i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore.

Në të vërtetë, që nga ditët e shkollës, të gjithë e dinë se shpejtësia është një rrugë e veçantë x=f(t) dhe koha t . Shpejtësia mesatare për një periudhë të caktuar kohore:

Për të gjetur shpejtësinë e lëvizjes në një moment në kohë t0 ju duhet të llogarisni kufirin:

Rregulli i parë: vendosni një konstante

Konstanta mund të hiqet nga shenja derivatore. Për më tepër, kjo duhet bërë. Kur zgjidhni shembuj në matematikë, merrni atë si rregull - Nëse mund të thjeshtoni një shprehje, sigurohuni që ta thjeshtoni atë .

Shembull. Le të llogarisim derivatin:

Rregulli i dytë: derivat i shumës së funksioneve

Derivati ​​i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve të këtyre funksioneve. E njëjta gjë vlen edhe për derivatin e diferencës së funksioneve.

Ne nuk do të japim një provë të kësaj teoreme, por do të shqyrtojmë një shembull praktik.

Gjeni derivatin e funksionit:

Rregulli i tretë: derivati ​​i produktit të funksioneve

Derivati ​​i produktit të dy funksioneve të diferencueshëm llogaritet me formulën:

Shembull: gjeni derivatin e një funksioni:

Zgjidhja:

Është e rëndësishme të flasim këtu për llogaritjen e derivateve të funksioneve komplekse. Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Në shembullin e mësipërm hasim shprehjen:

Në këtë rast, argumenti i ndërmjetëm është 8x me fuqinë e pestë. Për të llogaritur derivatin e një shprehjeje të tillë, së pari llogarisim derivatin e funksionit të jashtëm në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe më pas shumëzojmë me derivatin e vetë argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Rregulli i katërt: derivat i herësit të dy funksioneve

Formula për përcaktimin e derivatit të herësit të dy funksioneve:

Ne u përpoqëm të flisnim për derivatet për dummies nga e para. Kjo temë nuk është aq e thjeshtë sa duket, prandaj kini kujdes: shpesh ka gracka në shembuj, ndaj bëni kujdes kur llogaritni derivatet.

Për çdo pyetje mbi këtë dhe tema të tjera, mund të kontaktoni shërbimin e studentëve. Në një kohë të shkurtër, ne do t'ju ndihmojmë të zgjidhni testin më të vështirë dhe të kuptoni detyrat, edhe nëse nuk keni bërë kurrë më parë llogaritjet e derivateve.

Veprimi i gjetjes së derivatit quhet diferencim.

Si rezultat i zgjidhjes së problemeve të gjetjes së derivateve të funksioneve më të thjeshta (dhe jo shumë të thjeshta) duke përcaktuar derivatin si kufi të raportit të rritjes me rritjen e argumentit, u shfaq një tabelë e derivateve dhe rregulla të përcaktuara saktësisht të diferencimit. . Të parët që punuan në fushën e gjetjes së derivateve ishin Isak Njutoni (1643-1727) dhe Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prandaj, në kohën tonë, për të gjetur derivatin e ndonjë funksioni, nuk keni nevojë të llogaritni kufirin e lartpërmendur të raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, por duhet të përdorni vetëm tabelën e derivatet dhe rregullat e diferencimit. Algoritmi i mëposhtëm është i përshtatshëm për gjetjen e derivatit.

Për të gjetur derivatin, ju duhet një shprehje nën shenjën kryesore zbërthejnë funksionet e thjeshta në komponentë dhe përcaktoni se çfarë veprimesh (produkti, shuma, koeficienti) këto funksione janë të lidhura. Më pas, derivatet e funksioneve elementare i gjejmë në tabelën e derivateve, dhe formulat për derivatet e produktit, shumës dhe koeficientit - në rregullat e diferencimit. Tabela e derivateve dhe rregullat e diferencimit jepen pas dy shembujve të parë.

Shembulli 1. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Nga rregullat e diferencimit zbulojmë se derivati ​​i një shume funksionesh është shuma e derivateve të funksioneve, d.m.th.

Nga tabela e derivateve zbulojmë se derivati ​​i "X" është i barabartë me një, dhe derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin. Ne i zëvendësojmë këto vlera në shumën e derivateve dhe gjejmë derivatin e kërkuar nga kushti i problemit:

Shembulli 2. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Dallojmë si derivat të një shume në të cilën termi i dytë ka një faktor konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit;

Nëse ende lindin pyetje se nga vjen diçka, ato zakonisht zgjidhen pasi të njiheni me tabelën e derivateve dhe rregullat më të thjeshta të diferencimit. Ne po kalojmë drejt tyre tani.

Tabela e derivateve të funksioneve të thjeshta

1. Derivat i një konstante (numri). Çdo numër (1, 2, 5, 200...) që është në shprehjen e funksionit. Gjithmonë e barabartë me zero. Kjo është shumë e rëndësishme të mbahet mend, pasi kërkohet shumë shpesh
2. Derivat i ndryshores së pavarur. Më shpesh "X". Gjithmonë e barabartë me një. Kjo është gjithashtu e rëndësishme të mbahet mend për një kohë të gjatë
3. Derivat i gradës. Kur zgjidhni problemet, duhet të shndërroni rrënjët jo katrore në fuqi.
4. Derivati ​​i një ndryshoreje në fuqinë -1
5. Derivat i rrënjës katrore
6. Derivat i sinusit
7. Derivat i kosinusit
8. Derivat i tangjentes
9. Derivat i kotangjentes
10. Derivat i arksinës
11. Derivat i arkkosinës
12. Derivat i arktangjentit
13. Derivat i kotangjentes harkore
14. Derivat i logaritmit natyror
15. Derivat i një funksioni logaritmik
16. Derivati ​​i eksponentit
17. Derivat i një funksioni eksponencial

Rregullat e diferencimit

1. Derivat i shumës ose diferencës
2. Derivat i produktit
2a. Derivat i një shprehjeje të shumëzuar me një faktor konstant
3. Derivati ​​i herësit
4. Derivat i një funksioni kompleks

Rregulli 1.Nëse funksionet

janë të diferencueshëm në një moment, atëherë funksionet janë të diferencueshëm në të njëjtën pikë

dhe

ato. derivati ​​i shumës algjebrike të funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të këtyre funksioneve.

Pasoja. Nëse dy funksione të diferencueshëm ndryshojnë nga një term konstant, atëherë derivatet e tyre janë të barabartë, d.m.th.

Rregulli 2.Nëse funksionet

janë të diferencueshëm në një moment, atëherë produkti i tyre është i diferencueshëm në të njëjtën pikë

dhe

ato. Derivati ​​i prodhimit të dy funksioneve është i barabartë me shumën e produkteve të secilit prej këtyre funksioneve dhe derivatin e tjetrit.

Përfundimi 1. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit:

Përfundimi 2. Derivati ​​i produktit të disa funksioneve të diferencueshëm është i barabartë me shumën e produkteve të derivatit të secilit faktor dhe të gjithë të tjerëve.

Për shembull, për tre shumëzues:

Rregulli 3.Nëse funksionet

të diferencueshme në një moment Dhe , atëherë në këtë pikë herësi i tyre është gjithashtu i diferencueshëmu/v , dhe

ato. derivati ​​i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një thyesë, numëruesi i së cilës është diferenca midis produkteve të emëruesit dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit dhe derivatit të emëruesit, dhe emëruesi është katrori i numëruesi i mëparshëm.

Ku të kërkoni gjëra në faqet e tjera

Kur gjeni derivatin e një produkti dhe një herës në problemet reale, është gjithmonë e nevojshme të zbatohen disa rregulla diferencimi në të njëjtën kohë, kështu që ka më shumë shembuj për këto derivate në artikull."Derivati ​​i produktit dhe koeficienti i funksioneve".

Komentoni. Ju nuk duhet të ngatërroni një konstante (d.m.th., një numër) si një term në një shumë dhe si një faktor konstant! Në rastin e një termi, derivati ​​i tij është i barabartë me zero, dhe në rastin e një faktori konstant, ai hiqet nga shenja e derivateve. Ky është një gabim tipik që ndodh në fazën fillestare të studimit të derivateve, por ndërsa studenti mesatar zgjidh disa shembuj një dhe dypjesësh, ai nuk e bën më këtë gabim.

Dhe nëse, kur diferenconi një produkt ose koeficient, keni një term u"v, në të cilën u- një numër, për shembull, 2 ose 5, domethënë një konstante, atëherë derivati ​​i këtij numri do të jetë i barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, i gjithë termi do të jetë i barabartë me zero (ky rast diskutohet në shembullin 10).

Një gabim tjetër i zakonshëm është zgjidhja mekanike e derivatit të një funksioni kompleks si derivat i një funksioni të thjeshtë. Kjo është arsyeja pse derivat i një funksioni kompleks i kushtohet një artikull i veçantë. Por së pari do të mësojmë të gjejmë derivate të funksioneve të thjeshta.

Gjatë rrugës, nuk mund të bësh pa transformuar shprehjet. Për ta bërë këtë, mund t'ju duhet të hapni manualin në dritare të reja. Veprimet me fuqi dhe rrënjë Dhe Veprimet me thyesa .

Nëse jeni duke kërkuar zgjidhje për derivatet e thyesave me fuqi dhe rrënjë, domethënë kur funksioni duket si , më pas ndiqni mësimin “Derivati ​​i shumave të thyesave me fuqi dhe rrënjë”.

Nëse keni një detyrë si , më pas do të merrni mësimin “Derivatet e funksioneve të thjeshta trigonometrike”.

Shembuj hap pas hapi - si të gjeni derivatin

Shembulli 3. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Përcaktojmë pjesët e shprehjes së funksionit: e gjithë shprehja përfaqëson një produkt, dhe faktorët e saj janë shuma, në të dytin prej të cilëve njëri prej termave përmban një faktor konstant. Ne zbatojmë rregullin e diferencimit të produktit: derivati ​​i produktit të dy funksioneve është i barabartë me shumën e produkteve të secilit prej këtyre funksioneve nga derivati ​​i tjetrit:

Më pas, zbatojmë rregullin e diferencimit të shumës: derivati ​​i një shume algjebrike të funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të këtyre funksioneve. Në rastin tonë, në çdo shumë, termi i dytë ka një shenjë minus. Në çdo shumë shohim një variabël të pavarur, derivati ​​i së cilës është i barabartë me një, dhe një konstante (numër), derivati ​​i së cilës është i barabartë me zero. Pra, "X" kthehet në një, dhe minus 5 kthehet në zero. Në shprehjen e dytë, "x" shumëzohet me 2, kështu që ne shumëzojmë dy me të njëjtën njësi si derivati ​​i "x". Ne marrim vlerat e derivateve të mëposhtme:

Ne i zëvendësojmë derivatet e gjetura në shumën e produkteve dhe marrim derivatin e të gjithë funksionit të kërkuar nga kushti i problemit:

Dhe mund ta kontrolloni zgjidhjen e problemit të derivateve në.

Shembulli 4. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Na kërkohet të gjejmë derivatin e herësit. Zbatojmë formulën për diferencimin e herësit: derivati ​​i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një fraksion, numëruesi i së cilës është diferenca midis produkteve të emëruesit dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit dhe derivatit të emërues, dhe emëruesi është katrori i numëruesit të mëparshëm. Ne marrim:

Ne kemi gjetur tashmë derivatin e faktorëve në numërues në shembullin 2. Le të mos harrojmë gjithashtu se produkti, i cili është faktori i dytë në numërues në shembullin aktual, merret me një shenjë minus:

Nëse jeni duke kërkuar zgjidhje për problemet në të cilat ju duhet të gjeni derivatin e një funksioni, ku ka një grumbull të vazhdueshëm rrënjësh dhe fuqish, si p.sh. , atëherë mirë se vini në klasë "Derivati ​​i shumave të thyesave me fuqi dhe rrënjë" .

Nëse keni nevojë të mësoni më shumë rreth derivateve të sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe funksioneve të tjera trigonometrike, domethënë kur funksioni duket si , pastaj një mësim për ju "Derivatet e funksioneve të thjeshta trigonometrike" .

Shembulli 5. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Në këtë funksion shohim një produkt, një nga faktorët e të cilit është rrënja katrore e ndryshores së pavarur, derivatin e së cilës e kemi njohur në tabelën e derivateve. Duke përdorur rregullin për diferencimin e produktit dhe vlerën tabelare të derivatit të rrënjës katrore, marrim:

Zgjidhjen e problemit të derivatit mund ta kontrolloni në Llogaritësi i derivateve në internet .

Shembulli 6. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Në këtë funksion shohim një herës, dividenda e të cilit është rrënja katrore e ndryshores së pavarur. Duke përdorur rregullin e diferencimit të herësve, të cilin e përsëritëm dhe e zbatuam në shembullin 4, dhe vlerën në tabelë të derivatit të rrënjës katrore, marrim:

Për të hequr qafe një thyesë në numërues, shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin me .