Ndërtimi i rrathëve tangjente në tangjente. Pozicioni relativ i dy rrathëve

Zakonisht në një problem të tillë ju jepet një rreth dhe një pikë. Kërkohet të ndërtohet një tangjente me një rreth, dhe tangjentja duhet të kalojë nëpër një pikë të caktuar.

Nëse vendndodhja e pikës nuk është e specifikuar, atëherë duhet të specifikohen veçmas tre raste të mundshme të vendndodhjes së pikës.

Nëse një pikë shtrihet brenda një rrethi të kufizuar nga një rreth i caktuar, atëherë një tangjente nuk mund të ndërtohet përmes tij.
Nëse një pikë shtrihet në një rreth, atëherë tangjentja ndërtohet duke ndërtuar një drejtëz pingul me rrezen e tërhequr në pikën e dhënë.
Nëse një pikë shtrihet jashtë rrethit të kufizuar nga një rreth, atëherë para se të ndërtohet një tangjente, kërkohet një pikë në rreth përmes së cilës duhet të kalojë.

Për të zgjidhur rastin e dytë, në vijën e drejtë në të cilën shtrihet rrezja, ndërtohet një segment që është i barabartë me rrezen dhe shtrihet në anën tjetër të pikës së rrethit. Kështu, një pikë në një rreth rezulton të jetë mesi i një segmenti të barabartë me dyfishin e rrezes. Më pas, ndërtohen dy rrathë, rrezet e të cilëve janë të barabartë me dyfishin e rrezes së rrethit origjinal, me qendra në skajet e segmentit të barabartë me dyfishin e rrezes. Një vijë e drejtë vizatohet nëpër çdo pikë të kryqëzimit të këtyre rrathëve dhe një pikë të specifikuar nga kushtet e problemit. Do të jetë mesatarja pingul me rrezen e rrethit origjinal, domethënë pingul me të, dhe për këtë arsye tangjent me rrethin.

Ju mund ta zgjidhni rastin e tretë, kur pika ndodhet jashtë rrethit të kufizuar nga rrethi, si më poshtë. Është e nevojshme të ndërtohet një segment që lidh qendrën e një rrethi të caktuar dhe një pikë të caktuar. Më pas, gjeni mesin e tij duke ndërtuar një pingul mesatar (përshkruar në paragrafin e mëparshëm). Pas kësaj, vizatoni një rreth (ose një pjesë të tij). Pika e kryqëzimit të rrethit të ndërtuar dhe asaj të përcaktuar nga kushtet problemore është pika nëpër të cilën kalon tangjentja, e cila kalon edhe në pikën e përcaktuar nga kushtet problemore. Një vijë tangjente vizatohet përmes dy pikave të njohura.

Për të vërtetuar se drejtëza e ndërtuar është një tangjente, duhet marrë parasysh këndi i formuar nga rrezja e rrethit të dhënë nga kushtet e problemit dhe segmenti që lidh pikën e kryqëzimit të rrathëve me pikën e dhënë nga kushtet e problem. Ky kënd mbështetet në një gjysmërreth (diametri i rrethit të ndërtuar), që do të thotë se është i drejtë. Kjo do të thotë, rrezja është pingul me vijën e ndërtuar. Prandaj, vija e ndërtuar është tangjente.

Objektivat e mësimit

Edukative – përsëritje, përgjithësim dhe testim i njohurive me temën: “Tangjentja e rrethit”; zhvillimi i aftësive bazë.
Zhvillimore - për të zhvilluar vëmendjen e studentëve, këmbënguljen, këmbënguljen, të menduarit logjik, të folurit matematikor.
Edukative - përmes mësimit, kultivoni një qëndrim të vëmendshëm ndaj njëri-tjetrit, rrënjosni aftësinë për të dëgjuar shokët, ndihmën e ndërsjellë dhe pavarësinë.
Prezantoni konceptin e një tangjente, një pikë kontakti.
Merrni parasysh vetinë e një tangjente dhe shenjën e saj dhe tregoni zbatimin e tyre në zgjidhjen e problemeve në natyrë dhe teknologji.

Objektivat e mësimit

Zhvilloni aftësi në ndërtimin e tangjentave duke përdorur një vizore shkallësh, raportor dhe trekëndësh vizatimi.
Testoni aftësitë e nxënësve për zgjidhjen e problemeve.
Sigurimi i zotërimit të teknikave bazë algoritmike për ndërtimin e një tangjente në një rreth.
Zhvilloni aftësinë për të zbatuar njohuritë teorike në zgjidhjen e problemeve.
Zhvilloni të menduarit dhe të folurit e nxënësve.
Punoni në zhvillimin e aftësive për të vëzhguar, vërejtur modelet, përgjithësuar dhe arsyetuar me analogji.
Rritja e një interesi për matematikën.

Plani i mësimit

Shfaqja e konceptit të tangjentes.
Historia e tangjentes.
Përkufizime gjeometrike.
Teorema themelore.
Ndërtimi i një tangjente në një rreth.
Konsolidimi.

Shfaqja e konceptit të tangjentes

Koncepti i një tangjente është një nga më të vjetrit në matematikë. Në gjeometri, një tangjente me një rreth përcaktohet si një vijë që ka saktësisht një pikë kryqëzimi me atë rreth. Të lashtët, duke përdorur busulla dhe vizore, ishin në gjendje të vizatonin tangjentet në një rreth, dhe më vonë në seksione konike: elipsat, hiperbolat dhe parabolat.

Historia e tangjentes

Interesi për tangjentet u ringjall në kohët moderne. Pastaj u zbuluan kthesa që ishin të panjohura për shkencëtarët e lashtë. Për shembull, Galileo prezantoi cikloidin, dhe Dekarti dhe Fermat ndërtuan një tangjente me të. Në të tretën e parë të shekullit të 17-të. Ata filluan të kuptojnë se një tangjente është një vijë e drejtë, "më afër" me një kurbë në një lagje të vogël të një pike të caktuar. Është e lehtë të imagjinohet një situatë ku është e pamundur të ndërtohet një tangjente ndaj kurbës në një pikë të caktuar (figura).

Përkufizime gjeometrike

Rretho- vendndodhja gjeometrike e pikave në rrafshin në distancë të barabartë nga një pikë e caktuar, e quajtur qendra e saj.

rrethi.

Përkufizime të ngjashme

Një segment që lidh qendrën e një rrethi me çdo pikë në të (si dhe gjatësinë e këtij segmenti) quhet rreze rrathët.
Pjesa e rrafshit e kufizuar me rreth quhet përreth.
Një segment që lidh dy pika në një rreth quhet i tij akord. Një akord që kalon në qendër të një rrethi quhet diametri.
Çdo dy pika divergjente në një rreth e ndajnë atë në dy pjesë. Secila prej këtyre pjesëve quhet hark rrathët. Masa e një harku mund të jetë masa e këndit qendror përkatës të tij. Një hark quhet gjysmërreth nëse segmenti që lidh skajet e tij është një diametër.
Një drejtëz që ka saktësisht një pikë të përbashkët me një rreth quhet tangjente në një rreth, dhe pika e tyre e përbashkët quhet pika tangjente e drejtëzës dhe rrethit.
Një drejtëz që kalon nëpër dy pika të një rrethi quhet sekant.
Një kënd qendror në një rreth është një kënd i rrafshët me një kulm në qendër.
Quhet një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe anët e të cilit e ndërpresin këtë rreth kënd i brendashkruar.
Quhen dy rrathë që kanë një qendër të përbashkët koncentrike.

Vija tangjente- një vijë e drejtë që kalon nëpër një pikë në një kurbë dhe që përkon me të në këtë pikë deri në rendin e parë.

Tangjent në një rrethështë një drejtëz që ka një pikë të përbashkët me një rreth.

Një vijë e drejtë që kalon nëpër një pikë në një rreth në të njëjtin rrafsh pingul me rrezen e tërhequr në këtë pikë quhet tangjente. Në këtë rast, kjo pikë në rreth quhet pika e tangjences.

Aty ku në rastet tona "a" është një drejtëz e cila është tangjente me një rreth të caktuar, pika "A" është pika e tangjencës. Në këtë rast, a⊥OA (vija e drejtë a është pingul me rrezen OA).

Ata thonë se preken dy rrathë, nëse kanë një pikë të vetme të përbashkët. Kjo pikë quhet pika e kontaktit të rrathëve. Nëpërmjet pikës së kontaktit, mund të vizatoni një tangjente me një nga rrathët, e cila është gjithashtu një tangjente me rrethin tjetër. Rrathët e prekur mund të jenë të brendshëm ose të jashtëm.

Tangjenca quhet e brendshme nëse qendrat e rrathëve shtrihen në të njëjtën anë të tangjentes.

Tangjenca quhet e jashtme nëse qendrat e rrathëve shtrihen në anët e kundërta të tangjentes

a është tangjentja e përbashkët me dy rrathët, K është pika e tangjences.

Teorema themelore

Teorema rreth tangjentes dhe sekantës

Nëse një tangjente dhe një sekante janë tërhequr nga një pikë që shtrihet jashtë rrethit, atëherë katrori i gjatësisë së tangjentës është i barabartë me prodhimin e sekantës dhe pjesës së jashtme të saj: MC 2 = MA MB.

Teorema. Rrezja e tërhequr në pikën e tangjencës së rrethit është pingul me tangjenten.

Teorema. Nëse rrezja është pingul me një vijë në pikën ku ajo pret një rreth, atëherë kjo drejtëz është tangjente me këtë rreth.

Dëshmi.

Për të vërtetuar këto teorema, duhet të kujtojmë se çfarë është një pingul nga një pikë në një drejtëz. Kjo është distanca më e shkurtër nga kjo pikë në këtë linjë. Le të supozojmë se OA nuk është pingul me tangjenten, por ka një OS të drejtë pingul me tangjenten. Gjatësia OS përfshin gjatësinë e rrezes dhe një segment të caktuar BC, i cili është sigurisht më i madh se rrezja. Kështu, dikush mund ta vërtetojë atë për çdo rresht. Përfundojmë se rrezja, rrezja e tërhequr në pikën e kontaktit, është distanca më e shkurtër me tangjenten nga pika O, d.m.th. OS është pingul me tangjenten. Në vërtetimin e teoremës së kundërt, do të vijojmë nga fakti se tangjentja ka vetëm një pikë të përbashkët me rrethin. Lëreni që kjo drejtëz të ketë një pikë më të përbashkët B me rrethin. Trekëndëshi AOB është drejtkëndor dhe dy brinjët e tij janë të barabarta si rreze, gjë që nuk mund të ndodhë. Kështu, konstatojmë se kjo drejtëz nuk ka më pika të përbashkëta me rrethin përveç pikës A, d.m.th. është tangjente.

Teorema. Segmentet tangjente të tërhequra nga një pikë në rreth janë të barabarta, dhe vija e drejtë që lidh këtë pikë me qendrën e rrethit ndan këndin midis tangjenteve.

Dëshmi.

Prova është shumë e thjeshtë. Duke përdorur teoremën e mëparshme, ne pohojmë se OB është pingul me AB, dhe OS është pingul me AC. Trekëndëshat kënddrejtë ABO dhe ACO janë të barabartë në këmbë dhe hipotenuzë (OB=OS - rreze, AO - total). Prandaj brinjët e tyre AB=AC dhe këndet OAC dhe OAB janë të barabarta.

Teorema. Madhësia e këndit të formuar nga një tangjente dhe një akord që ka një pikë të përbashkët në një rreth është e barabartë me gjysmën e madhësisë këndore të harkut të mbyllur midis anëve të tij.

Dëshmi.

Konsideroni këndin NAB të formuar nga një tangjente dhe një kordë. Le të vizatojmë diametrin e AC. Tangjentja është pingul me diametrin e tërhequr në pikën e kontaktit, pra, ∠CAN=90 o. Duke ditur teoremën, shohim se këndi alfa (a) është i barabartë me gjysmën e vlerës këndore të harkut BC ose gjysmën e këndit BOS. ∠NAB=90 o -a, prej këtu marrim ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB ose = gjysmën e vlerës këndore të harkut BA. etj.

Teorema. Nëse një tangjente dhe një sekante janë tërhequr nga një pikë në një rreth, atëherë katrori i segmentit tangjent nga një pikë e caktuar në pikën e tangjences është i barabartë me produktin e gjatësisë së segmenteve sekante nga një pikë e caktuar në pikat të kryqëzimit të tij me rrethin.

Dëshmi.

Në figurë, kjo teoremë duket kështu: MA 2 = MV * MC. Le ta vërtetojmë. Sipas teoremës së mëparshme, këndi MAC është i barabartë me gjysmën e vlerës këndore të harkut AC, por edhe këndi ABC është i barabartë me gjysmën e vlerës këndore të harkut AC sipas teoremës, prandaj, këto kënde janë të barabartë me secilin tjera. Duke marrë parasysh faktin se trekëndëshat AMC dhe BMA kanë një kënd të përbashkët në kulmin M, pohojmë ngjashmërinë e këtyre trekëndëshave në dy kënde (shenja e dytë). Nga ngjashmëria kemi: MA/MB=MC/MA, nga e cila marrim MA 2 =MB*MC

Ndërtimi i tangjentëve në një rreth

Tani le të përpiqemi ta kuptojmë dhe të zbulojmë se çfarë duhet bërë për të ndërtuar një tangjente me një rreth.

Në këtë rast, si rregull, problemi jep një rreth dhe një pikë. Dhe ju dhe unë duhet të ndërtojmë një tangjente me rrethin në mënyrë që kjo tangjente të kalojë nëpër një pikë të caktuar.

Në rast se nuk e dimë vendndodhjen e një pike, atëherë le të shqyrtojmë rastet e vendndodhjeve të mundshme të pikave.

Së pari, një pikë mund të jetë brenda një rrethi, i cili kufizohet nga një rreth i caktuar. Në këtë rast, nuk është e mundur të ndërtohet një tangjente përmes këtij rrethi.

Në rastin e dytë, pika ndodhet në një rreth dhe ne mund të ndërtojmë një tangjente duke tërhequr një vijë pingule në rreze, e cila është tërhequr në pikën e njohur për ne.

Së treti, le të supozojmë se pika ndodhet jashtë rrethit, i cili kufizohet nga rrethi. Në këtë rast, përpara se të ndërtohet një tangjente, është e nevojshme të gjendet një pikë në rreth përmes së cilës duhet të kalojë tangjentja.

Me rastin e parë, shpresoj se gjithçka është e qartë për ju, por për të zgjidhur opsionin e dytë duhet të ndërtojmë një segment në vijën e drejtë në të cilën shtrihet rrezja. Ky segment duhet të jetë i barabartë me rrezen dhe segmentin që shtrihet në rrethin në anën e kundërt.

Këtu shohim se një pikë në një rreth është mesi i një segmenti që është i barabartë me dyfishin e rrezes. Hapi tjetër do të jetë ndërtimi i dy rrathëve. Rrezet e këtyre rrathëve do të jenë të barabarta me dyfishin e rrezes së rrethit origjinal, me qendra në skajet e segmentit, që është e barabartë me dyfishin e rrezes. Tani mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes çdo pike të kryqëzimit të këtyre rrathëve dhe një pike të caktuar. Një vijë e tillë e drejtë është mesatarja pingul me rrezen e rrethit që u vizatua fillimisht. Kështu, shohim se kjo drejtëz është pingul me rrethin dhe nga kjo rezulton se është tangjente me rrethin.

Në opsionin e tretë, kemi një pikë të shtrirë jashtë rrethit, e cila është e kufizuar nga një rreth. Në këtë rast, fillimisht ndërtojmë një segment që do të lidhë qendrën e rrethit të dhënë dhe pikën e dhënë. Dhe pastaj gjejmë mesin e saj. Por për këtë është e nevojshme të ndërtohet një përgjysmues pingul. Dhe ju tashmë e dini se si ta ndërtoni atë. Pastaj duhet të vizatojmë një rreth, ose të paktën një pjesë të tij. Tani shohim se pika e prerjes së rrethit të dhënë dhe atij të sapondërtuar është pika nëpër të cilën kalon tangjentja. Ai kalon edhe në pikën që është përcaktuar sipas kushteve të problemit. Dhe së fundi, përmes dy pikave që njihni, mund të vizatoni një vijë tangjente.

Dhe së fundi, për të vërtetuar se vija e drejtë që ndërtuam është një tangjente, duhet t'i kushtojmë vëmendje këndit që është formuar nga rrezja e rrethit dhe segmenti i njohur nga gjendja dhe që lidh pikën e kryqëzimit të rrathëve. me pikën e dhënë nga gjendja e problemit. Tani shohim se këndi që rezulton mbështetet në një gjysmërreth. Dhe nga kjo rezulton se ky kënd është i drejtë. Rrjedhimisht, rrezja do të jetë pingul me vijën e sapondërtuar, dhe kjo vijë është tangjentja.

Ndërtimi i një tangjente.

Ndërtimi i vijave tangjente është një nga ato probleme që çuan në lindjen e llogaritjes diferenciale. Puna e parë e botuar në lidhje me llogaritjen diferenciale, e shkruar nga Leibniz, titullohej "Një metodë e re e maksimumeve dhe minimumeve, si dhe tangjentet, për të cilat nuk janë pengesë as sasitë fraksionale, as irracionale, as një lloj i veçantë llogaritjesh".

Njohuri gjeometrike të egjiptianëve të lashtë.

Nëse nuk marrim parasysh kontributin shumë modest të banorëve të lashtë të luginës midis Tigrit dhe Eufratit dhe Azisë së Vogël, atëherë gjeometria filloi në Egjiptin e Lashtë para vitit 1700 para Krishtit. Gjatë sezonit të shirave tropikal, Nili plotësoi rezervat e tij ujore dhe u tejmbush. Uji mbulonte sipërfaqet e tokës së kultivuar dhe për qëllime tatimore ishte e nevojshme të përcaktohej se sa tokë ishte humbur. Gjeodetët përdorën një litar të shtrirë fort si një mjet matës. Një tjetër nxitje për grumbullimin e njohurive gjeometrike nga egjiptianët ishin aktivitetet e tyre si ndërtimi i piramidave dhe artet e bukura.

Niveli i njohurive gjeometrike mund të gjykohet nga dorëshkrimet e lashta, të cilat i kushtohen posaçërisht matematikës dhe janë diçka si tekste shkollore, ose më mirë, libra me probleme, ku jepen zgjidhje për probleme të ndryshme praktike.

Dorëshkrimi më i vjetër matematikor i Egjiptianëve u kopjua nga një student i caktuar midis viteve 1800-1600. para Krishtit. nga një tekst i vjetër. Papirusi u gjet nga egjiptologu rus Vladimir Semenovich Golenishchev. Ruhet në Moskë - në Muzeun e Arteve të Bukura me emrin A.S. Pushkin, dhe quhet papirusi i Moskës.

Një tjetër papirus matematikor, i shkruar dy deri në treqind vjet më vonë se ai i Moskës, ruhet në Londër. Quhet: “Udhëzim se si të arrijmë njohuri për të gjitha gjërat e errëta, të gjitha sekretet që fshehin gjërat në vetvete... Sipas monumenteve të vjetra, shkruesi Ahmes e ka shkruar këtë.” Dorëshkrimi quhet “Papirusi i Ahmesit”, ose papirusi Rhind - sipas emrit të anglezit që gjeti dhe bleu këtë papirus në Egjipt. Papirusi Ahmes ofron zgjidhje për 84 probleme që përfshijnë llogaritje të ndryshme që mund të nevojiten në praktikë.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga organet qeveritare në Federatën Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse

Institucion arsimor buxhetor komunal

qyteti i Novosibirsk "Gjimnazi nr. 4"

Seksioni: matematikë

HULUMTIMI

në këtë temë:

VETITË E DY RRETHET PREKESËS

Nxënësit e klasës së 10-të:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgeniy Vladimirovich

Mbikëqyrësi:

L.L. Barinova

Mësues matematike

Kategoria më e lartë e kualifikimit

§ 1. Hyrja……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 1.1 Pozicioni relativ i dy rrathëve……………………………………………………………3

§ 2 Vetitë dhe provat e tyre……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 2.1 Pasuria 1…………………………………………………………………………………………….…4

§ 2.2 Pasuria 2………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 Pasuria 3…………………………………………………………………………………………………

§ 2.4 Pasuria 4……………………………………………………………………………………………………

§ 2.5 Pasuria 5………………………………………………………………………………………………

§ 2.6 Pasuria 6……………………………………………………………………………………………………9

§ 3 Detyrat…………………………………………………………………………………………………………………………………..

Referencat…………………………………………………………………………………………………….13

§ 1. Prezantimi

Shumë probleme që përfshijnë dy rrathë tangjentë mund të zgjidhen më shkurt dhe thjesht duke ditur disa nga vetitë që do të prezantohen më pas.

Pozicioni relativ i dy rrathëve

Për të filluar, le të përcaktojmë pozicionin e mundshëm relativ të dy rrathëve. Mund të ketë 4 raste të ndryshme.

1. Rrathët mund të mos kryqëzohen.

2. Ndërpritet.

3. Prekni në një pikë nga jashtë.

4. Prekni në një pikë brenda.

§ 2. Vetitë dhe provat e tyre

Le të kalojmë drejtpërdrejt në vërtetimin e vetive.

§ 2.1 Prona 1

Segmentet ndërmjet pikave të prerjes së tangjenteve me rrathët janë të barabartë me njëri-tjetrin dhe të barabartë me dy rreze mesatare gjeometrike të rrathëve të dhënë.

Dëshmi 1. O 1 A 1 dhe O 2 B 1 – rrezet e tërhequra në pikat e kontaktit.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (sipas pikës 1)

▲O 1 O 2 D – drejtkëndëshe, sepse О 2 D ┴ О 2 В 1
O 1 O 2 = R + r, O 2 D = R – r

Sipas teoremës së Pitagorës A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (vërtetuar në mënyrë të ngjashme)

1) Të vizatojmë rrezet në pikat e kryqëzimit të tangjentëve me rrathët.

2) Këto rreze do të jenë pingul me tangjentet dhe paralele me njëra-tjetrën.

3) Le të ulim një pingul nga qendra e rrethit më të vogël në rrezen e rrethit më të madh.

4) Hipotenuza e trekëndëshit kënddrejtë që rezulton është e barabartë me shumën e rrezeve të rrathëve. Këmba është e barabartë me ndryshimin e tyre.

5) Duke përdorur teoremën e Pitagorës marrim marrëdhënien e kërkuar.

§ 2.2 Pasuria 2

Pikat e kryqëzimit të një drejtëze që pret pikën tangjente të rrathëve dhe nuk shtrihet në asnjë prej tyre me tangjentet, ndajnë në gjysmë segmentet e tangjenteve të jashtme, të kufizuara nga pikat e tangjences, në pjesë, secila prej të cilave është e barabartë me mesataren gjeometrike të rrezeve të këtyre rrathëve.

Dëshmi 1.ZNJ= MA 1 (si segmente tangjente)

2.MC = MV 1 (si segmente tangjente)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (sipas pikave 1 dhe 2 )

Deklaratat e përdorura në provë Segmentet tangjente të tërhequra nga një pikë në një rreth të caktuar janë të barabarta. Ne e përdorim këtë pronë për të dy qarqet e dhëna.

§ 2.3 Prona 3

Gjatësia e segmentit të tangjentës së brendshme të mbyllur ndërmjet tangjentave të jashtme është e barabartë me gjatësinë e segmentit të tangjentës së jashtme ndërmjet pikave të kontaktit dhe është e barabartë me dy rrezet mesatare gjeometrike të rrathëve të dhënë.

Dëshmi Ky përfundim rrjedh nga prona e mëparshme.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Pasuria 4

Trekëndëshi i formuar nga qendrat e rrathëve tangjentë dhe mesi i segmentit tangjent midis rrezeve të tërhequra në pikat e kontaktit është drejtkëndor. Raporti i këmbëve të tij është i barabartë me herësin e rrënjëve të rrezeve të këtyre rrathëve.

Dëshmi 1.MO 1 është përgjysmues i këndit A 1 MS, MO 2 është përgjysmues i këndit B 1 MS, sepse Qendra e një rrethi të gdhendur në një kënd shtrihet në përgjysmuesin e këtij këndi.

2.Sipas pikes 1 РО 1 MS + РСМО 2 = 0,5(РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 – direkt. MC është lartësia e trekëndëshit O 1 MO 2, sepse tangjentja MN është pingul me rrezet e tërhequra në pikat e kontaktit → trekëndëshat O 1 MC dhe MO 2 C janë të ngjashëm.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (i ngjashëm)

Deklaratat e përdorura në provë 1) Qendra e një rrethi të gdhendur në një kënd shtrihet në përgjysmuesin e këtij këndi. Këmbët e një trekëndëshi janë përgjysmuesit e këndeve.

2) Duke shfrytëzuar faktin se këndet e formuara në këtë mënyrë janë të barabarta, gjejmë se këndi që kërkojmë është kënd i drejtë. Përfundojmë se ky trekëndësh është me të vërtetë kënddrejtë.

3) Vërtetojmë ngjashmërinë e trekëndëshave në të cilët lartësia (pasi tangjentja është pingule me rrezet e tërhequra me pikat e tangjences) ndan trekëndëshin kënddrejtë dhe me ngjashmëri fitojmë raportin e kërkuar.

§ 2.5 Prona 5

Trekëndëshi i formuar nga pika e kontaktit të rrathëve me njëri-tjetrin dhe pikat e prerjes së rrathëve me tangjenten është drejtkëndëshe. Raporti i këmbëve të tij është i barabartë me herësin e rrënjëve të rrezeve të këtyre rrathëve.

Dëshmi

▲A 1 MC dhe ▲SMV 1 janë dykëndësh → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

Por RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – direkt → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

▲A 1 MC dhe ▲CO 2 B 1 janë të ngjashme → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Deklaratat e përdorura në provë 1) Shkruajmë shumën e këndeve të trekëndëshave, duke përfituar nga fakti se janë dykëndësh. Njëzombështjellësi i trekëndëshave vërtetohet duke përdorur vetinë e barazisë së segmenteve tangjente.

2) Pasi e kemi shkruar në këtë mënyrë shumën e këndeve, gjejmë se trekëndëshi në fjalë ka kënd të drejtë, prandaj është drejtkëndor. Pjesa e parë e deklaratës është vërtetuar.

3) Duke përdorur ngjashmërinë e trekëndëshave (për ta justifikuar atë, përdorim shenjën e ngjashmërisë në dy kënde) gjejmë raportin e këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë.

§ 2.6 Prona 6

Katërkëndëshi i formuar nga pikat e kryqëzimit të rrathëve me tangjenten është një trapez në të cilin mund të brendashkrohet një rreth.

Dëshmi 1.▲A 1 RA 2 dhe ▲B 1 PB 2 janë izoscele sepse A 1 P = RA 2 dhe B 1 P = PB 2 si segmente tangjente → ▲A 1 RA 2 dhe ▲B 1 PB 2 - të ngjashme.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, sepse këndet përkatëse të formuara në kryqëzimin e sekantit A 1 B 1 janë të barabarta.

MN – vija e mesme sipas vetive 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → në trapez A 2 A 1 B 1 B 2 shuma e bazave është e barabartë në shumën e brinjëve dhe ky është kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për ekzistimin e një rrethi të brendashkruar.

Deklaratat e përdorura në provë 1) Le të përdorim përsëri vetinë e segmenteve tangjente. Me ndihmën e tij, ne do të vërtetojmë izosceles e trekëndëshave të formuar nga pika e kryqëzimit të tangjentave dhe pikave të tangjences.

2) Nga kjo do të rrjedhë se këta trekëndësha janë të ngjashëm dhe bazat e tyre janë paralele. Mbi këtë bazë arrijmë në përfundimin se ky katërkëndësh është një trapez.

3) Duke përdorur vetinë (2) që vërtetuam më parë, gjejmë vijën e mesit të trapezit. Është e barabartë me dy rreze mesatare gjeometrike të rrathëve. Në trapezin që rezulton, shuma e bazave është e barabartë me shumën e anëve, dhe ky është një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për ekzistencën e një rrethi të brendashkruar.

§ 3. Problemet

Le të shohim një shembull praktik se si mund të thjeshtoni zgjidhjen e një problemi duke përdorur vetitë e përshkruara më sipër.

Problemi 1

Në trekëndëshin ABC, brinja AC = 15 cm Në trekëndësh është brendashkruar një rreth. Rrethi i dytë prek të parën dhe anët AB dhe BC. Në anën AB, pika F zgjidhet, dhe në anën BC, pika M zgjidhet në mënyrë që segmenti FM të jetë një tangjente e përbashkët me rrathët. Gjeni raportin e sipërfaqeve të trekëndëshit BFM dhe katërkëndëshit AFMC, nëse FM është 4 cm, dhe pika M ndodhet dy herë më larg nga qendra e një rrethi sesa nga qendra e tjetrit.

E dhënë: FM-tangjentja totale AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

Gjeni S BFM / S AFMC

Zgjidhja:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0.5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P dhe ▲BO 2 Q janë të ngjashme → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM =r*P FBM =1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

Problemi 2

Dy rrathë tangjente me pikën e tyre të përbashkët D dhe një tangjente të përbashkët FK që kalojnë nëpër këtë pikë janë të brendashkruara në një trekëndësh dykëndësh ABC. Gjeni distancën midis qendrave të këtyre rrathëve nëse baza e trekëndëshit AC = 9 cm, dhe segmenti i brinjës së trekëndëshit i mbyllur midis pikave të tangjes së rrathëve është 4 cm.

E dhënë: ABC – trekëndëshi dykëndësh; FK – tangjente e përbashkët e rrathëve të brendashkruar. AC = 9 cm; NE = 4 cm

Zgjidhja:

Le të kryqëzohen drejtëzat AB dhe CD në pikën O. Pastaj OA = OD, OB = OC, pra CD = = AB = 2√Rr

Pikat O 1 dhe O 2 shtrihen në përgjysmuesin e këndit AOD. Përgjysmuesja e një trekëndëshi dykëndësh AOD është lartësia e tij, pra AD ┴ O 1 O 2 dhe BC ┴ O 1 O 2, që do të thotë

AD ║ BC dhe ABCD – trapezoid isosceles.

Segmenti MN është vija e mesme e tij, kështu që AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Prandaj, një rreth mund të jetë i gdhendur në këtë trapez.

Le të jetë AP lartësia e trapezit, trekëndëshat kënddrejtë ARB dhe O 1 FO 2 janë të ngjashëm, prandaj AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

Nga këtu e gjejmë atë

Bibliografi

Shtojcë e gazetës “I Shtatori” “Matematika” Nr.43, 2003
Provimi i Unifikuar i Shtetit 2010. Matematikë. Detyra C4. Gordin R.K.