Pritshmëria matematikore (Mesatarja e popullsisë) është. Pritshmëria matematikore është shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme Pritshmëria matematikore x y

pritjeështë vlera mesatare e ndryshores së rastit.

Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të saj të mundshme dhe probabiliteteve të tyre:

Shembull.

X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5

Zgjidhja: Pritja matematikore është e barabartë me shumën e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme të X dhe probabilitetet e tyre:

M (X) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6.

Për të llogaritur pritshmërinë matematikore, është e përshtatshme për të kryer llogaritjet në Excel (veçanërisht kur ka shumë të dhëna), ne sugjerojmë të përdorni shabllon i gatshëm ().

Shembull për vendim i pavarur(mund të përdorni një kalkulator).
Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje diskrete të rastësishme X të dhënë nga ligji i shpërndarjes:

X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4

Pritja matematikore ka vetitë e mëposhtme.

Vetia 1. Pritshmëria matematikore vlerë konstante e barabartë me më konstanten: M(C)=C.

Vetia 2. Faktori konstant mund të nxirret si shenjë e pritjes matematikore: M(CX)=CM(X).

Vetia 3. Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të rastit reciprokisht të pavarura është e barabartë me prodhimin e pritjeve matematikore të faktorëve: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

Vetia 4. Pritja matematikore e shumës së ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

Problemi 189. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme Z nëse dihen pritjet matematikore të X dhe Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Zgjidhja: Duke përdorur vetitë e pritshmërisë matematikore (pritja matematikore e shumës është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave; faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore), marrim M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Duke përdorur vetitë e pritshmërisë matematikore, vërtetoni se: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) pritshmëria matematikore e devijimit X-M(X) është e barabartë me zero.

191. Një ndryshore diskrete e rastësishme X merr tre vlera të mundshme: x1= 4 Me probabilitet p1 = 0,5; xЗ = 6 Me probabilitet P2 = 0,3 dhe x3 me probabilitet p3. Gjeni: x3 dhe p3, duke ditur se M(X)=8.

192. Është dhënë një listë e vlerave të mundshme të një ndryshoreje diskrete të rastësishme X: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1 janë të njohura edhe pritjet matematikore të kësaj vlere dhe katrorit të saj: M(X) = 0.1; , M(X^2) = 0,9. Gjeni probabilitetet p1, p2, p3 që korrespondojnë me vlerat e mundshme të xi

194. Një grup prej 10 pjesësh përmban tre pjesë jo standarde. Dy pjesë u zgjodhën në mënyrë të rastësishme. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje diskrete të rastësishme X - numri i pjesëve jo standarde midis dy të zgjedhurve.

196. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje diskrete të rastësishme X-numri i hedhjeve të tilla prej pesë zare, në secilën prej të cilave një pikë do të shfaqet në dy zare, nëse numri i përgjithshëm i hedhjeve është njëzet.

pritje shpërndarja binomialeështë e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit që një ngjarje të ndodhë në një provë:

Ndryshore e rastësishme Një variabël quhet një variabël që, si rezultat i çdo testi, merr një vlerë të panjohur më parë, në varësi të arsyeve të rastësishme. Variabla të rastësishme shënohen me shkronja të mëdha latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Sipas llojit të tyre, variablat e rastësishëm mund të jenë diskrete Dhe të vazhdueshme.

Ndryshore diskrete e rastësishme- kjo është një ndryshore e rastësishme, vlerat e së cilës nuk mund të jenë më shumë se të numërueshme, domethënë të fundme ose të numërueshme. Me numërueshmëri nënkuptojmë që vlerat e një ndryshoreje të rastësishme mund të numërohen.

Shembulli 1 . Këtu janë shembuj të ndryshoreve të rastësishme diskrete:

a) numri i goditjeve në objektiv me $n$ goditje, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

b) numri i emblemave të rënë gjatë hedhjes së një monedhe, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

c) numrin e anijeve që mbërrijnë në bord (një grup vlerash të numërueshme).

d) numrin e thirrjeve që mbërrijnë në PBX (bashkësi vlerash e numërueshme).

1. Ligji i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ mund të marrë vlerat $x_1,\dots,\ x_n$ me probabilitete $p\left(x_1\djathtas),\ \dots,\ p\left(x_n\djathtas)$. Korrespondenca midis këtyre vlerave dhe probabiliteteve të tyre quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Si rregull, kjo korrespondencë specifikohet duke përdorur një tabelë, rreshti i parë i së cilës tregon vlerat $x_1,\dots,\ x_n$, dhe rreshti i dytë përmban probabilitetet $p_1,\dots,\ p_n$ që korrespondojnë me këto vlera.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pika & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\fund (array)$

Shembulli 2 . Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të jetë numri i pikëve të rrokullisur kur hidhet një peshore. Një variabël i tillë i rastësishëm $X$ mund të marrë vlerat e mëposhtme: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitetet e të gjitha këtyre vlerave janë të barabarta me 1/6$. Pastaj ligji i shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\fund (array)$

Koment. Meqenëse në ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme $X$, ngjarjet $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ formojnë një grup të plotë ngjarjesh, atëherë shuma e probabiliteteve duhet të jetë e barabartë me një, domethënë $ \sum(p_i)=1$.

2. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme vendos kuptimin e tij “qendror”. Për një ndryshore diskrete të rastësishme, pritshmëria matematikore llogaritet si shuma e produkteve të vlerave $x_1,\dots,\ x_n$ dhe probabiliteteve $p_1,\dots,\ p_n$ që korrespondojnë me këto vlera, d.m.th. : $M\majtas(X\djathtas)=\shuma ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Në literaturën në gjuhën angleze, përdoret një shënim tjetër $E\left(X\right)$.

Vetitë e pritjes matematikore$M\majtas(X\djathtas)$:

1. $M\left(X\djathtas)$ gjendet midis më të voglës dhe vlerat më të larta ndryshore e rastësishme $X$.
2. Pritja matematikore e një konstante është e barabartë me vetë konstanten, d.m.th. $M\majtas(C\djathtas)=C$.
3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Pritshmëria matematikore e shumës së variablave të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\djathtas)+M\left(Y\djathtas)$.
5. Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të pavarura të rastësishme është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Shembulli 3 . Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$$M\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\mbi (6))+2\cdot ((1)\mbi (6) )+3\cdot ((1)\mbi (6))+4\cdot ((1)\mbi (6))+5\cdot ((1)\mbi (6))+6\cdot ((1 )\mbi (6))=3.5.$$

Mund të vërejmë se $M\left(X\right)$ shtrihet midis vlerave më të vogla ($1$) dhe më të mëdha ($6$) të ndryshores së rastësishme $X$.

Shembulli 4 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=2$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $3X+5$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\djathtas)+M\left(5\djathtas)=3M\majtas(X\djathtas)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Shembulli 5 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=4$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $2X-9$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\djathtas)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Vlerat e mundshme të variablave të rastësishëm me pritshmëri të barabarta matematikore mund të shpërndahen ndryshe rreth vlerave të tyre mesatare. Për shembull, në dy grupe studentore GPA për provimin në teorinë e probabilitetit rezultoi i barabartë me 4, por në një grup dolën të gjithë studentë të mirë, dhe në grupin tjetër kishte vetëm studentë C dhe studentë të shkëlqyer. Prandaj, ekziston nevoja për një karakteristikë numerike të një ndryshoreje të rastësishme që do të tregonte përhapjen e vlerave të ndryshores së rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Kjo karakteristikë është dispersioni.

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete$X$ është e barabartë me:

$$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2).\ $$

Në literaturën angleze përdoret shënimi $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Shumë shpesh varianca $D\left(X\right)$ llogaritet duke përdorur formulën $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ majtas(X \djathtas)\djathtas))^2$.

Vetitë e dispersionit$D\majtas(X\djathtas)$:

1. Varianca është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me zero, d.m.th. $D\majtas(X\djathtas)\ge 0$.
2. Varianca e konstantës është zero, d.m.th. $D\majtas(C\djathtas)=0$.
3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e dispersionit me kusht që të jetë në katror, ​​d.m.th. $D\left(CX\djathtas)=C^2D\majtas(X\djathtas)$.
4. Varianca e shumës së variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X+Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.
5. Varianca e diferencës ndërmjet ndryshoreve të pavarura të rastit është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X-Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.

Shembulli 6 . Le të llogarisim variancën e ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2)=((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(1-3,5\djathtas))^2+((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(2-3,5\djathtas))^2+ \pika +( (1)\mbi (6))\cdot (\majtas(6-3,5\djathtas))^2=((35)\mbi (12))\afërsisht 2,92.$$

Shembulli 7 . Dihet se varianca e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=2$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $4X+1$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(4X+1\djathtas)=D\majtas(4X\djathtas)+D\left(1\djathtas)=4^2D\majtas(X\djathtas)+0= 16D\ majtas(X\djathtas)=16\cdot 2=32$.

Shembulli 8 . Dihet se varianca e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=3$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $3-2X$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(3-2X\right)=D\left(3\djathtas)+D\left(2X\djathtas)=0+2^2D\left(X\djathtas)= 4D\ majtas(X\djathtas)=4\cdot 3=12$.

4. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Metoda e paraqitjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete në formën e një serie shpërndarjeje nuk është e vetmja, dhe më e rëndësishmja, nuk është universale, pasi një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme nuk mund të specifikohet duke përdorur një seri shpërndarjeje. Ekziston një mënyrë tjetër për të paraqitur një ndryshore të rastësishme - funksioni i shpërndarjes.

Funksioni i shpërndarjes ndryshorja e rastësishme $X$ quhet një funksion $F\left(x\right)$, i cili përcakton probabilitetin që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë një vlerë më të vogël se një vlerë fikse $x$, domethënë $F\ majtas(x\djathtas)=P\majtas(X< x\right)$

Vetitë e funksionit të shpërndarjes:

1. $0\le F\majtas(x\djathtas)\le 1$.
2. Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlera nga intervali $\left(\alpha ;\ \beta \djathtas)$ është e barabartë me diferencën midis vlerave të funksionit të shpërndarjes në fund të këtij intervali: $P\majtas(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\djathtas)$ - jo në rënie.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \djathtas)=1\ )$.

Shembulli 9 . Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes $F\left(x\right)$ për ligjin e shpërndarjes së ndryshores diskrete të rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\fund (array)$

Nëse $x\le 1$, atëherë, padyshim, $F\left(x\right)=0$ (duke përfshirë për $x=1$ $F\left(1\djathtas)=P\majtas(X< 1\right)=0$).

Nëse $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Nëse 2 dollarë< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Nëse 3 dollarë< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Nëse 4 dollarë< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Nëse 5 dollarë< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Nëse $x > 6$, atëherë $F\majtas(x\djathtas)=P\majtas(X=1\djathtas)+P\majtas(X=2\djathtas)+P\majtas(X=3\djathtas) +P\majtas(X=4\djathtas)+P\majtas(X=5\djathtas)+P\majtas(X=6\djathtas)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Pra, $F(x)=\majtas\(\fillimi(matrica)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, në \ 1< x\le 2,\\
1/3, \ në \ 2< x\le 3,\\
1/2, në \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ në\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ për\ x > 6.
\fund(matricë)\djathtas.$

1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetë konstantën M(S)=C .
2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore: M(CX)=CM(X)
3. Pritja matematikore e prodhimit të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Pritja matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Teorema. Pritshmëria matematikore M(x) e numrit të ndodhive të ngjarjeve A në n prova të pavarura është e barabartë me produktin e këtyre provave nga probabiliteti i ndodhjes së ngjarjeve në çdo provë: M(x) = np.

Le X - ndryshore e rastit dhe M(X) – pritshmëria e tij matematikore. Le të konsiderojmë si një ndryshore të re të rastësishme diferencën X - M (X).

Devijimi është ndryshimi midis një ndryshoreje të rastësishme dhe pritshmërisë së saj matematikore.

Devijimi ka ligjin e mëposhtëm të shpërndarjes:

Zgjidhja: Le të gjejmë pritshmërinë matematikore:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së devijimit në katror:

Zgjidhje: Të gjejmë pritshmërinë matematikore të M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X 2

X 2
P	0.1	0.6	0.3

Le të gjejmë pritshmërinë matematikore M(x 2): M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Varianca e kërkuar është D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05

Karakteristikat e shpërndarjes:

1. Varianca e një vlere konstante ME e barabartë me zero: D(C)=0
2. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Varianca e shumës së variablave të pavarur të rastit është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Varianca e shpërndarjes binomiale është e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabiliteteve të ndodhjes dhe mosndodhjes së një ngjarjeje në një provë. D(X)=npq

Për të vlerësuar shpërndarjen e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës mesatare të saj, përveç shpërndarjes, përdoren edhe disa karakteristika të tjera. Këto përfshijnë devijimin standard.

Devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës:

σ(X) = √D(X) (4)

Shembull. Ndryshorja e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes

X
P	0.1	0.4	0.5

Gjeni devijimin standard σ(x)

Zgjidhje: Të gjejmë pritshmërinë matematikore të X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Le të gjejmë variancën: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
Devijimi standard i kërkuar σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

Teorema. Devijimi standard i shumës së një numri të kufizuar të ndryshoreve të rastësishme reciprokisht të pavarura është i barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të devijimeve standarde të këtyre variablave:

Shembull. Në një raft me 6 libra, 3 libra për matematikë dhe 3 për fizikë. Tre libra zgjidhen në mënyrë të rastësishme. Gjeni ligjin e shpërndarjes së numrit të librave në matematikë midis librave të zgjedhur. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e kësaj ndryshoreje të rastësishme.

D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45

Siç dihet tashmë, ligji i shpërndarjes karakterizon plotësisht një ndryshore të rastësishme. Megjithatë, shpesh ligji i shpërndarjes është i panjohur dhe njeriu duhet të kufizohet në më pak informacion. Ndonjëherë është edhe më fitimprurëse të përdoren numra që përshkruajnë variablin e rastësishëm në total; numra të tillë quhen karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme.

Ndër të rëndësishmet karakteristikat numerike i referohet pritshmërisë matematikore.

Pritshmëria matematikore është afërsisht e barabartë me vlerën mesatare të ndryshores së rastësishme.

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskreteështë shuma e produkteve të të gjitha vlerave të tij të mundshme dhe probabiliteteve të tyre.

Nëse një ndryshore e rastësishme karakterizohet nga një seri e fundme shpërndarjeje:

X	x 1	x 2	x 3	…	x n
R	f 1	f 2	f 3	…	r fq

pastaj pritshmëria matematikore M(X) përcaktohet nga formula:

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme përcaktohet nga barazia:

ku është dendësia e probabilitetit të ndryshores së rastit X.

Shembulli 4.7. Gjeni pritshmërinë matematikore të numrit të pikëve që shfaqen gjatë hedhjes së një zari.

Zgjidhja:

Ndryshore e rastësishme X merr vlerat 1, 2, 3, 4, 5, 6. Le të krijojmë ligjin e shpërndarjes së tij:

X
R

Atëherë pritshmëria matematikore është:

Vetitë e pritjes matematikore:

1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetë konstantën:

M (S) = S.

2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore:

M (CX) = CM (X).

3. Pritja matematikore e produktit të dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore:

M(XY) = M(X)M(Y).

Shembulli 4.8. Variabla të rastësishme të pavarura X Dhe Y jepen nga ligjet e mëposhtme të shpërndarjes:

X					Y
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme XY.

Zgjidhje.

Le të gjejmë pritshmëritë matematikore të secilës prej këtyre sasive:

Variabla të rastësishme X Dhe Y e pavarur, prandaj pritshmëria e kërkuar matematikore është:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Pasoja. Pritja matematikore e produktit të disa variablave të rastësishme të pavarura reciprokisht është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore.

4. Pritshmëria matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Pasoja. Pritshmëria matematikore e shumës së disa ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave.

Shembulli 4.9. Janë lëshuar 3 të shtëna me probabilitet të barabartë për të goditur objektivin f 1 = 0,4; p2= 0,3 dhe f 3= 0.6. Gjeni pritshmërinë matematikore të numrit të përgjithshëm të goditjeve.

Zgjidhje.

Numri i goditjeve në goditjen e parë është një ndryshore e rastësishme X 1, e cila mund të marrë vetëm dy vlera: 1 (goditje) me probabilitet f 1= 0.4 dhe 0 (humbje) me probabilitet q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Pritja matematikore e numrit të goditjeve në goditjen e parë është e barabartë me probabilitetin e një goditjeje:

Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë pritjet matematikore të numrit të goditjeve për goditjet e dyta dhe të treta:

M(X 2)= 0,3 dhe M(X 3)= 0,6.

Numri total hits është gjithashtu një ndryshore e rastësishme e përbërë nga shuma e goditjeve në secilën nga tre goditjet:

X = X 1 + X 2 + X 3.

Pritshmëria e kërkuar matematikore X E gjejmë duke përdorur teoremën mbi pritshmërinë matematikore të shumës.