Në një paralelogram drejtkëndor. Llogaritni shumën e këndeve dhe sipërfaqes së një paralelogrami: vetitë dhe karakteristikat

Fjala e përbërë "paralelogram"? Dhe pas saj qëndron një figurë shumë e thjeshtë.

Epo, domethënë, morëm dy rreshta paralelë:

Kalohet nga dy të tjerë:

Dhe brenda ka një paralelogram!

Çfarë veti ka një paralelogram?

Vetitë e një paralelogrami.

Domethënë, çfarë mund të përdorni nëse problemit i jepet një paralelogram?

Teorema e mëposhtme i përgjigjet kësaj pyetjeje:

Le të vizatojmë gjithçka në detaje.

Çfarë do të thotë pika e parë e teoremës? Dhe fakti është se nëse keni një paralelogram, atëherë me siguri do ta keni

Pika e dytë do të thotë se nëse ka një paralelogram, atëherë, përsëri, sigurisht:

Epo, dhe së fundi, pika e tretë do të thotë që nëse keni një paralelogram, atëherë sigurohuni që:

A e shihni se çfarë pasurie zgjedhjesh ka? Çfarë duhet përdorur në problem? Mundohuni të përqendroheni në çështjen e detyrës, ose thjesht provoni gjithçka një nga një - një "çelës" do të bëjë.

Tani le t'i bëjmë vetes një pyetje tjetër: si mund ta njohim një paralelogram "me shikim"? Çfarë duhet të ndodhë me një katërkëndësh që të kemi të drejtën t'i japim atij "titullin" e një paralelogrami?

Disa shenja të një paralelogrami i përgjigjen kësaj pyetjeje.

Shenjat e një paralelogrami.

Kujdes! Filloni.

Paralelogrami.

Ju lutemi vini re: nëse keni gjetur të paktën një shenjë në problemin tuaj, atëherë patjetër që keni një paralelogram dhe mund të përdorni të gjitha vetitë e një paralelogrami.

2. Drejtkëndësh

Unë mendoj se kjo nuk do të jetë aspak lajm për ju

Pyetja e parë: a është një drejtkëndësh paralelogram?

Sigurisht që është! Në fund të fundit, ai ka - mbani mend, shenja jonë 3?

Dhe nga këtu, natyrisht, rrjedh se në një drejtkëndësh, si në çdo paralelogram, diagonalet ndahen në gjysmë nga pika e kryqëzimit.

Por drejtkëndëshi ka gjithashtu një veti dalluese.

Vetia drejtkëndëshe

Pse është e veçantë kjo pronë? Sepse asnjë paralelogram tjetër nuk ka diagonale të barabarta. Le ta formulojmë më qartë.

Ju lutemi vini re: në mënyrë që të bëhet një drejtkëndësh, një katërkëndësh duhet së pari të bëhet një paralelogram, dhe më pas të demonstrojë barazinë e diagonaleve.

3. Diamant

Dhe përsëri pyetja: a është një romb paralelogram apo jo?

Me të drejtë të plotë - një paralelogram, sepse ka dhe (kujtoni veçorinë tonë 2).

Dhe përsëri, meqenëse një romb është një paralelogram, atëherë ai duhet të ketë të gjitha vetitë e një paralelogrami. Kjo do të thotë se në një romb, këndet e kundërta janë të barabarta, anët e kundërta janë paralele dhe diagonalet përgjysmohen në pikën e kryqëzimit.

Vetitë e rombit

Shikoni foton:

Ashtu si në rastin e një drejtkëndëshi, këto veti janë të dallueshme, domethënë, për secilën nga këto veti mund të konkludojmë se ky nuk është thjesht një paralelogram, por një romb.

Shenjat e një diamanti

Dhe përsëri, kushtojini vëmendje: nuk duhet të ketë vetëm një katërkëndësh, diagonalet e të cilit janë pingul, por një paralelogram. Sigurohuni:

Jo, sigurisht, megjithëse diagonalet e saj janë pingule, dhe diagonalja është përgjysmuesja e këndeve dhe. Por... diagonalet nuk ndahen në gjysmë nga pika e kryqëzimit, prandaj - NUK një paralelogram, dhe për rrjedhojë JO një romb.

Kjo do të thotë, një katror është një drejtkëndësh dhe një romb në të njëjtën kohë. Le të shohim se çfarë ndodh.

A është e qartë pse? - romb është përgjysmues i këndit A, i cili është i barabartë me. Kjo do të thotë se ndahet (dhe gjithashtu) në dy kënde përgjatë.

Epo, është mjaft e qartë: diagonalet e një drejtkëndëshi janë të barabarta; Diagonalet e një rombi janë pingul, dhe në përgjithësi, një paralelogram i diagonaleve ndahet në gjysmë me pikën e kryqëzimit.

NIVELI MESATAR

Vetitë e katërkëndëshave. Paralelogrami

Vetitë e një paralelogrami

Kujdes! fjalë " vetitë e një paralelogrami"do të thotë se nëse në detyrën tuaj ka paralelogram, atëherë mund të përdoren të gjitha sa vijon.

Teorema mbi vetitë e një paralelogrami.

Në çdo paralelogram:

Le të kuptojmë pse e gjithë kjo është e vërtetë, me fjalë të tjera NE DO TË VËRMOJMË teorema.

Pra, pse është 1) e vërtetë?

Nëse është një paralelogram, atëherë:

i shtrirë kryq
shtrirë si kryqe.

Kjo do të thotë (sipas kriterit II: dhe - e përgjithshme.)

Epo, kjo është ajo, kjo është ajo! - vërtetoi.

Por meqë ra fjala! Ne gjithashtu vërtetuam 2)!

Pse? Por (shikoni foton), domethënë, pikërisht sepse.

Kanë mbetur vetëm 3).

Për ta bërë këtë, ju ende duhet të vizatoni një diagonale të dytë.

Dhe tani ne e shohim atë - sipas karakteristikës II (këndet dhe anët "midis tyre").

Vetitë e vërtetuara! Le të kalojmë te shenjat.

Shenjat e një paralelogrami

Kujtoni që shenja e paralelogramit i përgjigjet pyetjes "si e dini?" se një figurë është një paralelogram.

Në ikonat është kështu:

Pse? Do të ishte mirë të kuptonim pse - mjafton. Por shikoni:

Epo, ne kuptuam pse shenja 1 është e vërtetë.

Epo, është edhe më e lehtë! Le të vizatojmë përsëri një diagonale.

Që do të thotë:

DHEËshtë gjithashtu e lehtë. Por... ndryshe!

Do të thotë, . Uau! Por edhe - e brendshme e njëanshme me një sekant!

Prandaj fakti që do të thotë se.

Dhe nëse shikoni nga ana tjetër, atëherë - e brendshme e njëanshme me një sekant! Dhe për këtë arsye.

E shihni sa e mrekullueshme është?!

Dhe përsëri e thjeshtë:

Pikërisht e njëjta gjë, dhe.

Kushtojini vëmendje: nëse keni gjetur të paktën një shenjë të një paralelogrami në problemin tuaj, atëherë ju keni pikërisht paralelogram dhe mund ta përdorni të gjithë vetitë e një paralelogrami.

Për qartësi të plotë, shikoni diagramin:

Vetitë e katërkëndëshave. Drejtkëndësh.

Karakteristikat e drejtkëndëshit:

Pika 1) është mjaft e qartë - në fund të fundit, shenja 3 () thjesht përmbushet

Dhe pika 2) - shume e rendesishme. Pra, le ta vërtetojmë këtë

Kjo do të thotë në dy anët (dhe - të përgjithshme).

Epo, meqenëse trekëndëshat janë të barabartë, atëherë edhe hipotenuset e tyre janë të barabarta.

E vërtetoi këtë!

Dhe imagjinoni, barazia e diagonaleve është një veti dalluese e një drejtkëndëshi midis të gjithë paralelogrameve. Kjo do të thotë, kjo deklaratë është e vërtetë^

Le të kuptojmë pse?

Kjo do të thotë (nënkupton këndet e një paralelogrami). Por le të kujtojmë edhe një herë se është një paralelogram, prandaj.

Do të thotë, . Epo, natyrisht, rrjedh se secili prej tyre! Në fund të fundit, ata duhet të japin në total!

Kështu ata vërtetuan se nëse paralelogrami papritmas (!) diagonalet rezultojnë të barabarta, atëherë kjo saktësisht një drejtkëndësh.

Por! Kushtojini vëmendje! Kjo është rreth paralelogramet! Jo vetëm kushdo një katërkëndësh me diagonale të barabarta është një drejtkëndësh dhe vetëm paralelogram!

Vetitë e katërkëndëshave. Rombi

Dhe përsëri pyetja: a është një romb paralelogram apo jo?

Me të drejtë të plotë - një paralelogram, sepse ka (Mos harroni veçorinë tonë 2).

Dhe përsëri, duke qenë se një romb është një paralelogram, ai duhet të ketë të gjitha vetitë e një paralelogrami. Kjo do të thotë se në një romb, këndet e kundërta janë të barabarta, anët e kundërta janë paralele dhe diagonalet përgjysmohen në pikën e kryqëzimit.

Por ka edhe veti të veçanta. Le ta formulojmë.

Vetitë e rombit

Pse? Epo, meqenëse një romb është një paralelogram, atëherë diagonalet e tij ndahen në gjysmë.

Pse? Po, kjo është arsyeja pse!

Me fjalë të tjera, diagonalet rezultuan të ishin përgjysmues të qosheve të rombit.

Ashtu si në rastin e një drejtkëndëshi, këto veti janë dallues, secila prej tyre është gjithashtu një shenjë e një rombi.

Shenjat e një diamanti.

Pse eshte kjo? Dhe shiko,

Kjo do të thotë të dyja Këta trekëndësha janë dykëndësh.

Për të qenë një romb, një katërkëndësh duhet së pari të "bëhet" një paralelogram dhe më pas të shfaqë tiparin 1 ose tiparin 2.

Vetitë e katërkëndëshave. Sheshi

Kjo do të thotë, një katror është një drejtkëndësh dhe një romb në të njëjtën kohë. Le të shohim se çfarë ndodh.

A është e qartë pse? Një katror - një romb - është përgjysmues i një këndi që është i barabartë me. Kjo do të thotë se ndahet (dhe gjithashtu) në dy kënde përgjatë.

Pse? Epo, le të zbatojmë teoremën e Pitagorës për...

PËRMBLEDHJE DHE FORMULA BAZË

Vetitë e një paralelogrami:

Brinjët e kundërta janë të barabarta: , .
Këndet e kundërta janë të barabarta: , .
Këndet në njërën anë mblidhen në: , .
Diagonalet ndahen përgjysmë me pikën e prerjes: .

Karakteristikat e drejtkëndëshit:

Diagonalet e drejtkëndëshit janë të barabarta: .
Një drejtkëndësh është një paralelogram (për një drejtkëndësh plotësohen të gjitha vetitë e një paralelogrami).

Vetitë e rombit:

Diagonalet e rombit janë pingule: .
Diagonalet e rombit janë përgjysmuesit e këndeve të tij: ; ; ; .
Një romb është një paralelogram (për një romb plotësohen të gjitha vetitë e një paralelogrami).

Vetitë e një katrori:

Një katror është një romb dhe një drejtkëndësh në të njëjtën kohë, prandaj, për një katror plotësohen të gjitha vetitë e një drejtkëndëshi dhe një rombi. Dhe:

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të dëshironi, detyrimisht me zgjidhje, analiza të hollësishme dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 899 RUR

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çifte (Fig. 233).

Për një paralelogram arbitrar vlejnë vetitë e mëposhtme:

1. Brinjët e kundërta të një paralelogrami janë të barabarta.

Dëshmi. Në paralelogramin ABCD vizatojmë diagonalen AC. Trekëndëshat ACD dhe AC B janë të barabartë, pasi kanë një anë të përbashkët AC dhe dy palë kënde të barabarta ngjitur me të:

(si kënde tërthore me drejtëza paralele AD dhe BC). Kjo do të thotë, dhe si brinjët e trekëndëshave të barabartë që shtrihen përballë këndeve të barabarta, gjë që duhej vërtetuar.

2. Këndet e kundërta të një paralelogrami janë të barabartë:

3. Këndet ngjitur të një paralelogrami, d.m.th., këndet ngjitur me njërën anë, mblidhen etj.

Vërtetimi i vetive 2 dhe 3 merret menjëherë nga vetitë e këndeve për drejtëza paralele.

4. Diagonalet e një paralelogrami përgjysmojnë njëra-tjetrën në pikën e tyre të kryqëzimit. Me fjale te tjera,

Dëshmi. Trekëndëshat AOD dhe BOC janë kongruentë, pasi brinjët e tyre AD dhe BC janë të barabarta (vetia 1) dhe këndet ngjitur me ta (si kënde tërthore për drejtëzat paralele). Nga këtu del se brinjët përkatëse të këtyre trekëndëshave janë të barabarta: AO, që është ajo që duhej vërtetuar.

Secila nga këto katër veti karakterizon një paralelogram, ose, siç thonë ata, është vetia e tij karakteristike, d.m.th., çdo katërkëndësh që ka të paktën një nga këto veti është një paralelogram (dhe, për rrjedhojë, ka të tre vetitë e tjera).

Le të bëjmë vërtetimin për secilën pronë veç e veç.

1". Nëse anët e kundërta të një katërkëndëshi janë të barabarta në çifte, atëherë ai është paralelogram.

Dëshmi. Le të ketë katërkëndëshi ABCD brinjët AD dhe BC, përkatësisht AB dhe CD të barabarta (Fig. 233). Le të vizatojmë diagonalen AC. Trekëndëshat ABC dhe CDA do të jenë kongruentë pasi kanë tre palë brinjë të barabarta.

Por atëherë këndet BAC dhe DCA janë të barabarta dhe . Paralelizmi i brinjëve BC dhe AD rrjedh nga barazia e këndeve CAD dhe ACB.

2. Nëse një katërkëndësh ka dy palë kënde të kundërta të barabarta, atëherë ai është paralelogram.

Dëshmi. Le . Që atëherë të dyja anët AD dhe BC janë paralele (bazuar në paralelizmin e drejtëzave).

3. Formulimin dhe provën ia lëmë lexuesit.

4. Nëse diagonalet e një katërkëndëshi përgjysmojnë njëra-tjetrën në pikën e prerjes, atëherë katërkëndëshi është paralelogram.

Dëshmi. Nëse AO = OS, BO = OD (Fig. 233), atëherë trekëndëshat AOD dhe BOC janë të barabartë, pasi kanë kënde të barabarta (vertikale!) në kulmin O, të mbyllur midis çifteve të brinjëve të barabarta AO dhe CO, BO dhe DO. Nga barazia e trekëndëshave konkludojmë se brinjët AD dhe BC janë të barabarta. Brinjët AB dhe CD janë gjithashtu të barabarta, dhe katërkëndëshi rezulton të jetë paralelogram sipas vetive karakteristike G.

Kështu, për të vërtetuar se një katërkëndësh i dhënë është paralelogram, mjafton të verifikohet vlefshmëria e njërës prej katër vetive. Lexuesi ftohet të provojë në mënyrë të pavarur një veçori tjetër karakteristike të një paralelogrami.

5. Nëse një katërkëndësh ka një palë brinjë të barabarta paralele, atëherë ai është paralelogram.

Ndonjëherë çdo palë brinjë paralele të një paralelogrami quhet baza e tij, atëherë dy të tjerat quhen brinjë anësore. Një segment i drejtëz pingul me dy anët e një paralelogrami, i mbyllur midis tyre, quhet lartësia e paralelogramit. Paralelogrami në Fig. 234 ka një lartësi h të tërhequr në anët AD dhe BC, lartësia e tij e dytë përfaqësohet nga segmenti .

Përmbledhja e mësimit.

Algjebër klasa e 8-të

Mësues Sysoy A.K.

Shkolla 1828

Tema e mësimit: "Paralelogrami dhe vetitë e tij"

Lloji i mësimit: i kombinuar

Objektivat e mësimit:

1) Siguroni asimilimin e një koncepti të ri - një paralelogram dhe vetitë e tij

2) Vazhdoni të zhvilloni aftësitë dhe aftësitë për zgjidhjen e problemeve gjeometrike;

3) Zhvillimi i një kulture të të folurit matematikor

Plani i mësimit:

1. Momenti organizativ

(Rrëshqitja 1)

Sllajdi tregon një deklaratë nga Lewis Carroll. Nxënësit informohen për qëllimin e orës së mësimit. Kontrollohet gatishmëria e nxënësve për mësim.

2. Përditësimi i njohurive

(Rrëshqitja 2)

Në tabelë janë detyrat për punë me gojë. Mësuesi/ja fton nxënësit të mendojnë për këto probleme dhe të ngrenë duart drejt atyre që kuptojnë se si ta zgjidhin problemin. Pas zgjidhjes së dy problemave, një nxënës thirret në tabelë për të vërtetuar teoremën mbi shumën e këndeve, i cili në mënyrë të pavarur bën ndërtime shtesë në vizatim dhe e vërteton teoremën me gojë.

Nxënësit përdorin formulën për shumën e këndeve të një shumëkëndëshi:

3. Pjesa kryesore

(Rrëshqitja 3)

Përkufizimi i një paralelogrami në tabelë. Mësuesi/ja flet për një figurë të re dhe formulon një përkufizim, duke bërë shpjegimet e nevojshme duke përdorur një vizatim. Më pas, në pjesën me kuadrate të prezantimit, duke përdorur një shënues dhe një vizore, ai tregon se si të vizatoni një paralelogram (janë të mundshme disa raste)

(Rrëshqitja 4)

Mësuesi/ja formulon vetinë e parë të paralelogramit. Fton studentët të tregojnë nga vizatimi se çfarë është dhënë dhe çfarë duhet të vërtetohet. Pas kësaj, detyra e dhënë shfaqet në tabelë. Nxënësit hamendësojnë (ndoshta me ndihmën e mësuesit) se barazitë e kërkuara duhet të vërtetohen përmes barazive të trekëndëshave, të cilat mund të përftohen duke vizatuar një diagonale (në tabelë shfaqet një diagonale). Më pas, nxënësit hamendësojnë pse trekëndëshat janë të barabartë dhe emërtojnë shenjën që trekëndëshat janë të barabartë (shfaqet forma përkatëse). Ata komunikojnë verbalisht faktet që janë të nevojshme për t'i bërë trekëndëshat të barabartë (siç i emërtojnë ata, shfaqet një vizualizimi përkatës). Më pas, studentët formulojnë vetinë e trekëndëshave kongruentë, ajo shfaqet si pika 3 e vërtetimit dhe më pas plotësojnë në mënyrë të pavarur vërtetimin e teoremës me gojë.

(Rrëshqitja 5)

Mësuesi/ja formulon vetinë e dytë të paralelogramit. Një vizatim i një paralelogrami shfaqet në tabelë. Mësuesi sugjeron përdorimin e figurës për të treguar atë që jepet dhe çfarë duhet të vërtetohet. Pasi nxënësit raportojnë saktë atë që është dhënë dhe çfarë duhet të vërtetohet, shfaqet kushti i teoremës. Nxënësit hamendësojnë se barazia e pjesëve të diagonaleve mund të vërtetohet nëpërmjet barazisë së trekëndëshaveAOB Dhe C.O.D.. Duke përdorur vetinë e mëparshme të një paralelogrami, merret me mend se brinjët janë të barabartaAB Dhe CD. Pastaj ata kuptojnë se duhet të gjejnë kënde të barabarta dhe, duke përdorur vetitë e drejtëzave paralele, të provojnë barazinë e këndeve ngjitur me brinjët e barabarta. Këto faza vizualizohen në rrëshqitje. E vërteta e teoremës rrjedh nga barazia e trekëndëshave - nxënësit e thonë atë dhe një vizualizimi përkatës shfaqet në rrëshqitje.

(Rrëshqitja 6)

Mësuesi/ja formulon vetinë e tretë të paralelogramit. Në varësi të kohës së mbetur deri në fund të orës së mësimit, mësuesi mund t'u japë nxënësve mundësinë që ta vërtetojnë vetë këtë veti ose të kufizohen në formulimin e saj dhe t'ua lërë vetë provën nxënësve si detyrë shtëpie. Vërtetimi mund të bazohet në shumën e këndeve të një shumëkëndëshi të brendashkruar, që u përsërit në fillim të mësimit, ose në shumën e këndeve të brendshme të njëanshme të dy drejtëzave paralele.pas Krishtit Dhe B.C., dhe një sekant, për shembullAB.

4. Fiksimi i materialit

Në këtë fazë, nxënësit përdorin teorema të mësuara më parë për zgjidhjen e problemave. Nxënësit përzgjedhin idetë për zgjidhjen e problemit në mënyrë të pavarur. Meqenëse ka shumë opsione të mundshme të projektimit dhe të gjitha varen nga mënyra se si studentët do të kërkojnë një zgjidhje për problemin, nuk ka vizualizim të zgjidhjes së problemeve, dhe studentët në mënyrë të pavarur hartojnë secilën fazë të zgjidhjes në një tabelë të veçantë. me regjistrimin e zgjidhjes në një fletore.

(Rrëshqitja 7)

Shfaqet kushti i detyrës. Mësuesi/ja sugjeron të formulohet “Dhënet” sipas kushtit. Pasi studentët të shkruajnë saktë një thënie të shkurtër të kushtit, në tabelë shfaqet "Dhënë". Procesi për zgjidhjen e problemit mund të duket si ky:

Le të vizatojmë lartësinë BH (të vizualizuar)

Trekëndëshi AHB është një trekëndësh kënddrejtë. Këndi A është i barabartë me këndin C dhe është i barabartë me 30 0 (sipas vetive të këndeve të kundërta në një paralelogram). 2BH =AB (nga vetia e këmbës që shtrihet përballë këndit 30 0 në një trekëndësh kënddrejtë). Pra AB = 13 cm.

AB = CD, BC = AD (sipas vetive të brinjëve të kundërta në një paralelogram) Pra AB = CD = 13 cm. Meqenëse perimetri i paralelogramit është 50 cm, atëherë BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 cm.

Përgjigje: AB = CD = 13 cm, BC = AD = 12 cm.

(Rrëshqitja 8)

Shfaqet kushti i detyrës. Mësuesi/ja sugjeron të formulohet “Dhënet” sipas kushtit. Më pas në ekran shfaqet "Given". Duke përdorur vija të kuqe, theksohet një katërkëndësh, për të cilin duhet të vërtetoni se është një paralelogram. Procesi për zgjidhjen e problemit mund të duket si ky:

Sepse BK dhe MD janë pingul me një drejtëz, atëherë drejtëzat BK dhe MD janë paralele.

Përmes këndeve ngjitur mund të tregohet se shuma e këndeve të brendshme të njëanshme në drejtëzat BM dhe KD dhe sekanti MD është e barabartë me 180 0. Prandaj, këto linja janë paralele.

Meqenëse katërkëndëshi BMDK ka brinjë të kundërta paralele në çift, atëherë ky katërkëndësh është paralelogram.

5. Fundi i orës së mësimit. Sjellja e rezultateve.

(Rrëshqitja 8)

Në sllajd shfaqen pyetjet për temën e re, të cilave nxënësit përgjigjen.

Dëshmi

Para së gjithash, le të vizatojmë diagonalen AC. Marrim dy trekëndësha: ABC dhe ADC.

Meqenëse ABCD është një paralelogram, sa vijon është e vërtetë:

pas Krishtit || BC \Shigjeta djathtas \këndi 1 = \këndi 2 si gënjeshtër kryq.

AB || CD\Rightarrow\angle3 =\angle 4 si gënjeshtër kryq.

Prandaj, \trekëndëshi ABC = \trekëndëshi ADC (sipas kriterit të dytë: dhe AC është i zakonshëm).

Prandaj, \trekëndëshi ABC = \trekëndësh ADC, pastaj AB = CD dhe AD = BC.

E provuar!

2. Këndet e kundërta janë identike.

Dëshmi

Sipas provës vetitë 1 Ne e dimë atë \këndi 1 = \këndi 2, \këndi 3 = \këndi 4. Kështu, shuma e këndeve të kundërta është: \këndi 1 + \këndi 3 = \këndi 2 + \këndi 4. Duke marrë parasysh që \trekëndëshi ABC = \trekëndëshi ADC marrim \kënd A = \këndi C , \këndi B = \këndi D .

E provuar!

3. Diagonalet ndahen përgjysmë me pikën e kryqëzimit.

Dëshmi

Le të vizatojmë një diagonale tjetër.

Nga pronë 1 ne e dimë se anët e kundërta janë identike: AB = CD. Edhe një herë, vini re këndet e barabarta të shtrira në mënyrë tërthore.

Kështu, është e qartë se \trekëndësh AOB = \trekëndësh COD sipas kriterit të dytë për barazinë e trekëndëshave (dy kënde dhe brinja ndërmjet tyre). Kjo do të thotë, BO = OD (përballë këndeve \këndi 2 dhe \këndi 1) dhe AO = OC (përballë këndeve \këndi 3 dhe \këndi 4, respektivisht).

E provuar!

Shenjat e një paralelogrami

Nëse vetëm një veçori është e pranishme në problemin tuaj, atëherë figura është një paralelogram dhe ju mund të përdorni të gjitha vetitë e kësaj figure.

Për memorizimin më të mirë, vini re se shenja paralelogrami do t'i përgjigjet pyetjes së mëposhtme - "si ta zbuloni?". Kjo do të thotë, si të zbuloni se një figurë e dhënë është një paralelogram.

1. Paralelogrami është katërkëndëshi, dy brinjët e të cilit janë të barabarta dhe paralele.

AB = CD; AB || CD\Rightarrow ABCD është një paralelogram.

Dëshmi

Le të hedhim një vështrim më të afërt. Pse AD || para Krishtit?

\trekëndëshi ABC = \trekëndëshi ADC nga pronë 1: AB = CD, AC - e zakonshme dhe \këndi 1 = \këndi 2 shtrirë në mënyrë tërthore me AB dhe CD paralele dhe AC sekante.

Por nëse \trekëndëshi ABC = \trekëndëshi ADC , atëherë \këndi 3 = \këndi 4 (shtrihet përkatësisht përballë AB dhe CD). Dhe prandaj pas Krishtit || BC (\këndi 3 dhe \këndi 4 - ato që shtrihen në mënyrë tërthore janë gjithashtu të barabarta).

Shenja e parë është e saktë.

2. Paralelogrami është katërkëndëshi, brinjët e kundërta të të cilit janë të barabarta.

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD është një paralelogram.

Dëshmi

Le ta konsiderojmë këtë shenjë. Le të vizatojmë përsëri diagonalen AC.

Nga pronë 1\trekëndësh ABC = \trekëndësh ACD .

Nga kjo rrjedh se: \këndi 1 = \këndi 2 \Rightarrow AD || B.C. Dhe \këndi 3 = \këndi 4 \Djathtas shigjetë AB || CD, domethënë, ABCD është një paralelogram.

Shenja e dytë është e saktë.

3. Paralelogrami është katërkëndëshi, këndet e kundërta të të cilit janë të barabartë.

\këndi A = \këndi C, \këndi B = \këndi D \Djathtas ABCD- paralelogram.

Dëshmi

2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ)(pasi ABCD është katërkëndësh, dhe \këndi A = \këndi C , \këndi B = \këndi D sipas kushtit).

Rezulton se \alfa + \beta = 180^(\circ) . Por \alfa dhe \beta janë të brendshme të njëanshme në sekantin AB.

Dhe fakti që \alfa + \beta = 180^(\circ) do të thotë gjithashtu se AD || B.C.

Për më tepër, \alfa dhe \beta janë të brendshme të njëanshme në AD sekante. Dhe kjo do të thotë AB || CD.

Shenja e tretë është e saktë.

4. Paralelogrami është një katërkëndësh, diagonalet e të cilit ndahen përgjysmë me pikën e prerjes.

AO = OC; BO = OD\paralelogram me shigjetë djathtas.

Dëshmi

BO = OD; AO = OC , \këndi 1 = \këndi 2 si vertikal \Shigjeta djathtas \trekëndëshi AOB = \trekëndëshi COD, \Shigjeta djathtas \këndi 3 = \këndi 4, dhe \Rightarrow AB || CD.

Në mënyrë të ngjashme BO = OD; AO = OC, \këndi 5 = \këndi 6 \Shigjeta djathtas \trekëndëshi AOD = \trekëndëshi BOC \Shigjeta djathtas \këndi 7 = \këndi 8, dhe \Rightarrow AD || B.C.

Shenja e katërt është e saktë.