Në shumë probleme që lidhen me variabla të rastësishme të shpërndara normalisht, është e nevojshme të përcaktohet probabiliteti që një ndryshore e rastësishme, që i nënshtrohet një ligji normal me parametra, të bjerë në segmentin nga deri në . Për të llogaritur këtë probabilitet ne përdorim formulën e përgjithshme

ku është funksioni i shpërndarjes së sasisë .

Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë sipas një ligji normal me parametra. Dendësia e shpërndarjes së vlerës është e barabartë me:

Nga këtu gjejmë funksionin e shpërndarjes

. (6.3.3)

Le të bëjmë një ndryshim të ndryshores në integral (6.3.3)

dhe le ta vendosim në këtë formë:

(6.3.4)

Integrali (6.3.4) nuk shprehet përmes funksioneve elementare, por mund të llogaritet përmes një funksioni të veçantë që shpreh integral i caktuar nga shprehja ose (i ashtuquajturi integral i probabilitetit) për të cilin janë përpiluar tabelat. Ka shumë lloje të funksioneve të tilla, për shembull:

;

etj. Cili nga këto funksione të përdoret është çështje shije. Ne do të zgjedhim si një funksion të tillë

. (6.3.5)

Është e lehtë të shihet se ky funksion nuk është gjë tjetër veçse një funksion shpërndarjeje për një ndryshore të rastësishme të shpërndarë normalisht me parametra.

Le të biem dakord ta quajmë funksionin funksion normal të shpërndarjes. Shtojca (Tabela 1) përmban tabela të vlerave të funksionit.

Le të shprehim funksionin e shpërndarjes (6.3.3) të sasisë me parametra dhe përmes funksionit të shpërndarjes normale. Natyrisht,

Tani le të gjejmë probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në seksionin nga në . Sipas formulës (6.3.1)

Kështu, ne shprehëm probabilitetin që një ndryshore e rastësishme, e shpërndarë sipas një ligji normal me çdo parametër, të futet në zonë përmes funksionit standard të shpërndarjes që korrespondon me ligjin normal më të thjeshtë me parametrat 0.1. Vini re se argumentet e funksionit në formulën (6.3.7) kanë një kuptim shumë të thjeshtë: ekziston distanca nga skaji i djathtë i seksionit deri në qendrën e shpërndarjes, e shprehur në devijime standarde; - e njëjta distancë për skajin e majtë të seksionit, dhe kjo distancë konsiderohet pozitive nëse fundi ndodhet në të djathtë të qendrës së shpërndarjes, dhe negative nëse në të majtë.

Ashtu si çdo funksion i shpërndarjes, funksioni ka vetitë e mëposhtme:

3. - funksion jozagonës.

Përveç kësaj, nga simetria e shpërndarjes normale me parametra në lidhje me origjinën, rrjedh se

Duke përdorur këtë pronë, në mënyrë rigoroze, do të ishte e mundur të kufizoheshin tabelat e funksioneve vetëm në vlerat e argumenteve pozitive, por për të shmangur një operacion të panevojshëm (zbritja nga një), Shtojca Tabela 1 jep vlera si për argumentet pozitive ashtu edhe për ato negative.

Në praktikë, ne shpesh hasim problemin e llogaritjes së probabilitetit që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht të bjerë në një zonë që është simetrike në lidhje me qendrën e shpërndarjes. Le të shqyrtojmë një seksion të tillë të gjatësisë (Fig. 6.3.1). Le të llogarisim probabilitetin e goditjes së kësaj zone duke përdorur formulën (6.3.7):

Duke marrë parasysh vetinë (6.3.8) të funksionit dhe duke i dhënë anës së majtë të formulës (6.3.9) një formë më kompakte, marrim një formulë për probabilitetin që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas ligjit normal të bjerë në një zona simetrike në lidhje me qendrën e shpërndarjes:

. (6.3.10)

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm. Le të vizatojmë segmente të njëpasnjëshme të gjatësisë nga qendra e dispersionit (Fig. 6.3.2) dhe të llogarisim probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në secilën prej tyre. Meqenëse kurba normale është simetrike, mjafton të vizatohen segmente të tilla vetëm në një drejtim.

Duke përdorur formulën (6.3.7) gjejmë:

(6.3.11)

Siç shihet nga këto të dhëna, probabilitetet e goditjes së secilit prej segmenteve të mëposhtëm (i pesti, i gjashti etj.) me saktësi 0,001 janë të barabarta me zero.

Duke rrumbullakosur probabilitetet e hyrjes në segmente në 0.01 (në 1%), marrim tre numra që janë të lehtë për t'u mbajtur mend:

0,34; 0,14; 0,02.

Shuma e këtyre tre vlerave është 0.5. Kjo do të thotë që për një ndryshore të rastësishme të shpërndarë normalisht, i gjithë shpërndarja (me një saktësi të fraksioneve të përqindjes) përshtatet brenda zonës .

Kjo lejon, duke ditur devijimin standard dhe pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme, të tregojë afërsisht gamën e vlerave praktikisht të mundshme të saj. Kjo metodë e vlerësimit të gamës së vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme është e njohur në statistika matematikore i quajtur "rregulli i tre sigmave". Rregulli i tre sigmës nënkupton gjithashtu një metodë të përafërt për përcaktimin e devijimit standard të një ndryshoreje të rastësishme: merrni devijimin maksimal praktikisht të mundshëm nga mesatarja dhe ndani atë me tre. Sigurisht, kjo teknikë e përafërt mund të rekomandohet vetëm nëse nuk ka metoda të tjera, më të sakta për përcaktimin.

Shembulli 1. Një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas një ligji normal paraqet një gabim në matjen e një distance të caktuar. Gjatë matjes, lejohet një gabim sistematik në drejtim të mbivlerësimit me 1.2 (m); Devijimi standard i gabimit të matjes është 0.8 (m). Gjeni probabilitetin që devijimi i vlerës së matur nga vlera e vërtetë të mos kalojë 1,6 (m) në vlerë absolute.

Zgjidhje. Gabimi i matjes është një ndryshore e rastësishme që i nënshtrohet ligjit normal me parametra dhe . Duhet të gjejmë probabilitetin që kjo sasi të bjerë në seksionin nga deri në . Sipas formulës (6.3.7) kemi:

Duke përdorur tabelat e funksioneve (Shtojca, Tabela 1), gjejmë:

; ,

Shembulli 2. Gjeni të njëjtin probabilitet si në shembullin e mëparshëm, por me kusht që të mos ketë gabim sistematik.

Zgjidhje. Duke përdorur formulën (6.3.10), duke supozuar , gjejmë:

Shembulli 3. Një objektiv që duket si një shirit (autostradë), gjerësia e të cilit është 20 m, gjuhet në drejtim pingul me autostradën. Synimi kryhet përgjatë vijës qendrore të autostradës. Devijimi standard në drejtimin e gjuajtjes është i barabartë me m. Ka një gabim sistematik në drejtimin e gjuajtjes: gjuajtja është 3 m. Gjeni probabilitetin e goditjes në autostradë.

Ligji më i famshëm dhe i përdorur shpesh në teorinë e probabilitetit është ligji i shpërndarjes normale ose Ligji i Gausit .

Karakteristika kryesore ligji normal i shpërndarjes është se është ligji përfundimtar për ligjet e tjera të shpërndarjes.

Vini re se për një shpërndarje normale funksioni integral ka formën:

.

Le të tregojmë tani se kuptimi probabilistik i parametrave është si vijon: A është pritshmëria matematikore, - devijimi standard (d.m.th.) i shpërndarjes normale:

a) sipas përcaktimit të pritshmërisë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, kemi

Vërtet

,

meqë nën shenjën integrale ka funksion tek, dhe kufijtë e integrimit janë simetrik në lidhje me origjinën;

- integral Poisson .

Pra, pritshmëria matematikore e një shpërndarjeje normale është e barabartë me parametrin A .

b) me përcaktimin e variancës së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme dhe, duke marrë parasysh se, ne mund të shkruajmë

.

Integrimi me pjesë, vendosja , le të gjejmë

Prandaj .

Pra, devijimi standard i shpërndarjes normale është i barabartë me parametrin.

Në rast dhe shpërndarje normale quhet shpërndarja e normalizuar (ose normale standarde). Pastaj, padyshim, densiteti i normalizuar (diferencial) dhe funksioni i shpërndarjes integrale të normalizuar do të shkruhen përkatësisht në formën:

(Funksioni, siç e dini, quhet funksioni Laplace (shih LEKTURA 5) ose integrali i probabilitetit. Të dy funksionet, d.m.th. , të tabelës dhe vlerat e tyre regjistrohen në tabelat përkatëse).

Vetitë e shpërndarjes normale (vetitë e kurbës normale):

1. Natyrisht, një funksion në të gjithë vijën numerike.

2. , pra kurba normale ndodhet mbi bosht Oh .

3. , pra boshti Oh shërben si asimptotë horizontale e grafikut.

4. Një kurbë normale është simetrike në lidhje me një vijë të drejtë x = a (sipas kësaj, grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me boshtin Oh ).

Prandaj, ne mund të shkruajmë: .

5. .

6. Është e lehtë të tregosh se pikat Dhe janë pika lakimi të lakores normale (vërtetojeni vetë).

7.Është e qartë se

por që kur , Kjo . Përveç kësaj , pra, të gjitha momentet tek janë të barabarta me zero.

Edhe për momente mund të shkruajmë:

8. .

9. .

10. , Ku.

11. Për vlerat negative të ndryshores së rastësishme: , ku .

13. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të bjerë në një seksion simetrik në lidhje me qendrën e shpërndarjes është e barabartë me:

SHEMBULL 3. Tregoni se një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht X devijon nga pritshmëria matematikore M(X) jo më shumë se .

Zgjidhje. Për shpërndarje normale: .

Me fjalë të tjera, probabiliteti që vlera absolute e devijimit do të tejkalojë trefishi i devijimit standard është shumë i vogël, përkatësisht i barabartë me 0.0027 Kjo do të thotë se vetëm në 0.27% të rasteve kjo mund të ndodhë. Ngjarje të tilla, bazuar në parimin e pamundësisë së ngjarjeve të pamundura, mund të konsiderohen praktikisht të pamundura.

Pra, një ngjarje me një probabilitet prej 0.9973 mund të konsiderohet praktikisht e besueshme, domethënë, ndryshorja e rastësishme devijon nga pritshmëria matematikore jo më shumë se .

SHEMBULL 4. Njohja e karakteristikave të shpërndarjes normale të një ndryshoreje të rastësishme X - Rezistenca në tërheqje e çelikut: kg/mm ​​2 dhe kg/mm ​​2, gjeni probabilitetin e marrjes së çelikut me rezistencë në tërheqje nga 31 kg/mm ​​2 deri në 35 kg/mm ​​2.

Zgjidhje.

3. Shpërndarja eksponenciale (ligji i shpërndarjes eksponenciale)

Eksponenciale është shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. X , i cili përshkruhet nga një funksion diferencial (densiteti i shpërndarjes)

ku është një vlerë konstante pozitive.

Përcaktohet shpërndarja eksponenciale një parametri. Kjo veçori e shpërndarjes eksponenciale tregon përparësinë e saj në krahasim me shpërndarjet që varen nga një numër më i madh parametrash. Zakonisht parametrat janë të panjohur dhe duhet të gjenden vlerësimet e tyre (vlerat e përafërta); Sigurisht, është më e lehtë të vlerësosh një parametër sesa dy, ose tre, etj.

Është e lehtë të shkruash funksionin integral të shpërndarjes eksponenciale:

Ne përcaktuam shpërndarjen eksponenciale duke përdorur një funksion diferencial; është e qartë se mund të përcaktohet duke përdorur funksionin integral.

Koment: Konsideroni një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme T - kohëzgjatja e funksionimit pa dështim të produktit. Vlerat e tij të pranuara shënohen me t , . Funksioni kumulativ i shpërndarjes përcakton probabiliteti i dështimit produkte gjatë një periudhe kohore t . Rrjedhimisht, probabiliteti i funksionimit pa dështim gjatë të njëjtës kohë, kohëzgjatje t , pra probabiliteti i ngjarjes së kundërt është i barabartë me

Shpërndarja normale ( shpërndarje normale) - luan një rol të rëndësishëm në analizën e të dhënave.

Ndonjëherë në vend të termit normale shpërndarja përdorni termin Shpërndarja Gaussian për nder të K. Gauss ( terma më të vjetër që praktikisht nuk përdoren në ditët e sotme: ligji i Gausit, shpërndarja e Gauss-Laplace).

Shpërndarja normale e njëanshme

Një shpërndarje normale ka një densitet:

Në këtë formulë, parametrat fiks janë mesatare, - standarde devijimi.

Janë dhënë grafikët e dendësisë për parametra të ndryshëm.

Funksioni karakteristik i shpërndarjes normale ka formën:

Diferencimi i funksionit dhe vendosjes karakteristike t = 0, marrim momente të çdo porosie.

Kurba e densitetit të shpërndarjes normale është simetrike në lidhje me dhe ka një maksimum të vetëm në këtë pikë, e barabartë me

Parametri i devijimit standard varion nga 0 në ∞.

Mesatare ndryshon nga -∞ në +∞.

Me rritjen e parametrit, kurba përhapet përgjatë boshtit X, ndërsa i afrohet 0, ajo tkurret rreth vlerës mesatare (parametri karakterizon përhapjen, shpërndarjen).

Kur ndryshoni lakorja zhvendoset përgjatë boshtit X(shih grafikët).

Duke ndryshuar parametrat dhe , ne marrim modele të ndryshme variablat e rastësishëm, që lindin në telefon.

Një aplikim tipik i ligjit normal në analizën, për shembull, të të dhënave të telekomunikacionit është modelimi i sinjaleve, përshkrimi i zhurmës, interferencës, gabimeve dhe trafikut.

Parcelat e shpërndarjes normale të njëndryshueshme

Figura 1. Grafiku i densitetit të shpërndarjes normale: mesatarja është 0, devijimi standard është 1

Figura 2. Grafiku i densitetit të shpërndarjes normale standarde me rajone që përmbajnë 68% dhe 95% të të gjitha vëzhgimeve

Figura 3. Grafikët e densitetit të shpërndarjeve normale me mesatare zero dhe devijime të ndryshme (=0.5, =1, =2)

Figura 4 Grafikët e dy shpërndarjeve normale N(-2,2) dhe N(3,2).

Vini re se qendra e shpërndarjes është zhvendosur kur ndryshoni parametrin.

Koment

Në program STATISTIKA Emërtimi N(3,2) i referohet ligjit normal ose Gaussian me parametrat: mesatarja = 3 dhe devijimi standard =2.

Në literaturë, ndonjëherë parametri i dytë interpretohet si dispersion, d.m.th. katrore devijimi standard.

Llogaritja e pikëve të përqindjes së shpërndarjes normale duke përdorur një kalkulator probabiliteti STATISTIKA

Duke përdorur një kalkulator probabiliteti STATISTIKA Ju mund të llogaritni karakteristika të ndryshme të shpërndarjeve pa përdorur tabelat e rënda të përdorura në librat e vjetër.

Hapi 1. Le të nisim Analiza / Llogaritësi i probabilitetit / Shpërndarjet.

Në seksionin e shpërndarjes, zgjidhni normale.

Figura 5. Lëshimi i kalkulatorit të shpërndarjes së probabilitetit

Hapi 2. Ne tregojmë parametrat që na interesojnë.

Për shembull, ne duam të llogarisim kuantilin 95% të një shpërndarjeje normale me një mesatare prej 0 dhe një devijim standard prej 1.

Le t'i tregojmë këto parametra në fushat e kalkulatorit (shihni fushat e llogaritësit mesatarja dhe devijimi standard).

Le të fusim parametrin p=0.95.

Kutia e kontrollit "Reverse f.r." do të shfaqet automatikisht. Kontrolloni kutinë "Orari".

Klikoni butonin "Llogarit" në këndin e sipërm të djathtë.

Figura 6. Vendosja e parametrave

Hapi 3. Në fushën Z marrim rezultatin: vlera kuantile është 1.64 (shih dritaren tjetër).

Figura 7. Shikimi i rezultatit të kalkulatorit

Figura 8. Grafikët e densitetit dhe funksionet e shpërndarjes. Vija e drejtë x=1,644485

Figura 9. Grafikët e funksionit të shpërndarjes normale. Vija vertikale me pika - x=-1,5, x=-1, x=-0,5, x=0

Figura 10. Grafikët e funksionit të shpërndarjes normale. Vija vertikale me pika - x=0.5, x=1, x=1.5, x=2

Vlerësimi i parametrave të shpërndarjes normale

Vlerat normale të shpërndarjes mund të llogariten duke përdorur kalkulator interaktiv.

Shpërndarja normale e dyfishtë

Shpërndarja normale njëdimensionale natyrisht përgjithësohet në dydimensionale shpërndarje normale.

Për shembull, nëse konsideroni një sinjal vetëm në një pikë, atëherë një shpërndarje njëdimensionale është e mjaftueshme për ju, në dy pika - dy-dimensionale, në tre pika - tre-dimensionale, etj.

Formula e përgjithshme për shpërndarjen normale të dyfishtë është:

Ku është korrelacioni në çift ndërmjet X 1 Dhe X 2;

X 1 përkatësisht;

Devijimi mesatar dhe standard i një ndryshoreje X 2 përkatësisht.

Nëse variablat e rastësishëm X 1 Dhe X 2 janë të pavarura, atëherë korrelacioni është 0, = 0, përkatësisht, termi i mesëm në eksponent zhduket, dhe kemi:

f(x 1,x 2) = f(x 1)*f(x 2)

Për sasi të pavarura, dendësia dydimensionale zbërthehet në produktin e dy densiteteve njëdimensionale.

Grafikët e densitetit të shpërndarjeve normale të dyfishta

Figura 11. Grafiku i densitetit të një shpërndarjeje normale dyvariante (vektori zero i mesatareve, matrica e kovariancës njësi)

Figura 12. Seksioni i grafikut të densitetit të një shpërndarjeje normale dydimensionale me rrafshin z=0.05

Figura 13. Grafiku i densitetit të një shpërndarjeje normale dy-dimensionale (vektori zero i vlerës së pritur, matrica e kovariancës me 1 në diagonalen kryesore dhe 0.5 në diagonalen anësore)

Figura 14. Seksioni i grafikut të densitetit të një shpërndarjeje normale dy-dimensionale (vektori zero i pritjes matematikore, matrica e kovariancës me 1 në diagonalen kryesore dhe 0.5 në diagonalen anësore) sipas planit z= 0.05

Figura 15. Grafiku i densitetit të një shpërndarjeje normale dy-dimensionale (vektori zero i vlerës së pritur, matrica e kovariancës me 1 në diagonalen kryesore dhe -0.5 në diagonalen anësore)

Figura 16. Seksioni i grafikut të densitetit të një shpërndarjeje normale dydimensionale (vektori zero i pritjes matematikore, matrica e kovariancës me 1 në diagonalen kryesore dhe -0,5 në diagonalen anësore) sipas planit z=0,05

Figura 17. Seksionet e grafikëve të densitetit të një shpërndarjeje normale dydimensionale me një plan z=0.05

Për të kuptuar më mirë shpërndarjen normale me dy variacione, provoni të zgjidhni problemin e mëposhtëm.

Detyrë. Shihni grafikun e shpërndarjes normale të dyndryshueshme. Mendo pak, a mund të paraqitet si një rrotullim i grafikut të një shpërndarjeje normale njëdimensionale? Kur duhet të përdorni teknikën e deformimit?

Në praktikë, shumica e variablave të rastësishëm ndikohen nga numër i madh Faktorët e rastësishëm i nënshtrohen ligjit normal të shpërndarjes së probabilitetit. Prandaj, në aplikime të ndryshme të teorisë së probabilitetit, ky ligj ka një rëndësi të veçantë.

Ndryshorja e rastësishme $X$ i bindet ligjit normal të shpërndarjes së probabilitetit nëse densiteti i shpërndarjes së probabilitetit ka formën e mëposhtme

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\djathtas))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Grafiku i funksionit $f\left(x\right)$ është paraqitur skematikisht në figurë dhe quhet “Kurba Gaussian”. Në të djathtë të këtij grafiku është kartëmonedha gjermane me 10 marka, e cila është përdorur para hyrjes në treg të euros. Nëse shikoni nga afër, mund të shihni në këtë kartëmonedhë kurbën Gaussian dhe zbuluesin e saj, matematikanin më të madh Carl Friedrich Gauss.

Le të kthehemi te funksioni ynë i densitetit $f\left(x\right)$ dhe të japim disa shpjegime në lidhje me parametrat e shpërndarjes $a,\ (\sigma )^2$. Parametri $a$ karakterizon qendrën e shpërndarjes së vlerave të një ndryshoreje të rastësishme, domethënë ka kuptimin e një pritshmërie matematikore. Kur parametri $a$ ndryshon dhe parametri $(\sigma )^2$ mbetet i pandryshuar, ne mund të vëzhgojmë një zhvendosje në grafikun e funksionit $f\left(x\right)$ përgjatë abshisës, ndërsa grafiku i densitetit vetë nuk e ndryshon formën e saj.

Parametri $(\sigma )^2$ është varianca dhe karakterizon formën e kurbës së grafikut të densitetit $f\left(x\right)$. Kur ndryshojmë parametrin $(\sigma )^2$ me parametrin $a$ të pandryshuar, mund të vëzhgojmë se si grafiku i densitetit ndryshon formën e tij, duke u ngjeshur ose shtrirë, pa lëvizur përgjatë boshtit të abshisë.

Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht të bjerë në një interval të caktuar

Siç dihet, probabiliteti që një ndryshore e rastësishme $X$ të bjerë në intervalin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ mund të llogaritet $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\majtas(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Këtu funksioni $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ është Funksioni Laplace . Vlerat e këtij funksioni janë marrë nga . Mund të vihen re vetitë e mëposhtme të funksionit $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, domethënë, funksioni $\Phi \left(x\right)$ është tek.

2 . $\Phi \left(x\right)$ është një funksion në rritje monotonike.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ majtas(x\djathtas)\ )=-0,5$.

Për të llogaritur vlerat e funksionit $\Phi \left(x\right)$, mund të përdorni edhe magjistarin e funksionit $f_x$ në Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\djathtas )-0,5$. Për shembull, le të llogarisim vlerat e funksionit $\Phi \left(x\right)$ për $x=2$.

Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\djathtas)$ të bjerë në një interval simetrik në lidhje me pritshmërinë matematikore $a$ mund të llogaritet duke përdorur formulën

$$P\left(\majtas|X-a\djathtas|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Rregulli tre sigma. Është pothuajse e sigurt që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht $X$ do të bjerë në intervalin $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \djathtas)$.

Shembulli 1 . Ndryshorja e rastësishme $X$ i nënshtrohet ligjit normal të shpërndarjes së probabilitetit me parametrat $a=2,\ \sigma =3$. Gjeni probabilitetin që $X$ të bjerë në intervalin $\left(0.5;1\djathtas)$ dhe probabilitetin e pabarazisë $\left|X-a\right|< 0,2$.

Duke përdorur formulën

$$P\majtas(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

gjejmë $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ mbi (3 ))\djathtas)=\Phi \left(-0,33\djathtas)-\Phi \left(-0,5\djathtas)=\Phi \left(0,5\djathtas)-\Phi \ majtas(0,33\djathtas)=0,191- 0,129 = 0,062 dollarë.

$$P\left(\majtas|X-a\djathtas|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Shembulli 2 . Supozojmë se gjatë vitit çmimi i aksioneve të një shoqërie të caktuar është një variabël rastësor i shpërndarë sipas ligjit normal me një pritje matematikore të barabartë me 50 njësi monetare konvencionale dhe një devijim standard të barabartë me 10. Sa është probabiliteti që në një të zgjedhur rastësisht dita e periudhës në diskutim çmimi për promovimin do të jetë:

a) më shumë se 70 njësi monetare konvencionale?

b) nën 50 për aksion?

c) ndërmjet 45 dhe 58 njësi monetare konvencionale për aksion?

Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të jetë çmimi i aksioneve të disa kompanive. Sipas kushtit, $X$ i nënshtrohet një shpërndarjeje normale me parametrat $a=50$ - pritshmëri matematikore, $\sigma =10$ - devijimi standard. Probabiliteti $P\majtas(\alfa< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\majtas(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$a)\ P\left(X>70\djathtas)=\Phi \left(((\infty -50)\mbi (10))\djathtas)-\Phi \left(((70-50)\ mbi (10))\djathtas)=0.5-\Phi \majtas(2\djathtas)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\P\majtas(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\majtas(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Ligji normal i shpërndarjes së probabilitetit

Pa ekzagjerim, mund të quhet një ligj filozofik. Duke vëzhguar objekte dhe procese të ndryshme në botën përreth nesh, shpesh hasim në faktin se diçka nuk mjafton dhe se ekziston një normë:


Këtu është një pamje themelore funksionet e densitetit Shpërndarja normale e probabilitetit, dhe ju mirëpres në këtë mësim interesant.

Çfarë shembujsh mund të jepni? Ka thjesht errësirë ​​prej tyre. Kjo është, për shembull, lartësia, pesha e njerëzve (dhe jo vetëm), forca e tyre fizike, aftësitë mendore, etj. Ekziston një "masë kryesore" (për një arsye ose një tjetër) dhe ka devijime në të dy drejtimet.

Këto janë karakteristika të ndryshme të objekteve të pajetë (të njëjtën madhësi, peshë). Kjo është një kohëzgjatje e rastësishme e proceseve, për shembull, koha e një gare prej njëqind metrash ose shndërrimi i rrëshirës në qelibar. Nga fizika, m'u kujtuan molekulat e ajrit: disa prej tyre janë të ngadalta, disa të shpejta, por shumica lëvizin me shpejtësi "standarde".

Tjetra, ne devijojmë nga qendra me një devijim standard tjetër dhe llogarisim lartësinë:

Shënimi i pikave në vizatim (jeshile) dhe ne shohim se kjo është mjaft e mjaftueshme.

Në fazën përfundimtare, vizatoni me kujdes një grafik dhe veçanërisht me kujdes pasqyrojnë atë konveks / konkave! Epo, me siguri e keni kuptuar shumë kohë më parë se boshti x është asimptotë horizontale, dhe është absolutisht e ndaluar “ngjitja” pas saj!

Kur depozitoni një zgjidhje në mënyrë elektronike, është e lehtë të krijoni një grafik në Excel, dhe papritur për veten time, madje regjistrova një video të shkurtër për këtë temë. Por së pari, le të flasim se si ndryshon forma e kurbës normale në varësi të vlerave të dhe.

Kur rritet ose zvogëlohet "a" (me “sigma” konstante) grafiku ruan formën e tij dhe lëviz djathtas/majtas përkatësisht. Kështu, për shembull, kur funksioni merr formën dhe grafiku ynë "lëviz" 3 njësi në të majtë - saktësisht në origjinën e koordinatave:


Një sasi e shpërndarë normalisht me pritshmëri matematikore zero mori një emër krejtësisht natyror - të përqendruar; funksioni i densitetit të tij është madje, dhe grafiku është simetrik ndaj ordinatës.

Në rast të ndryshimit të "sigmës" (me konstante "a"), grafiku “qëndron i njëjtë”, por ndryshon formë. Kur zmadhohet, ai bëhet më i ulët dhe i zgjatur, si një oktapod që shtrin tentakulat e tij. Dhe, anasjelltas, kur zvogëlohet grafiku bëhet më i ngushtë dhe më i gjatë- rezulton të jetë një "oktapod i befasuar". Po, kur zvogëlohet"sigma" dy herë: grafiku i mëparshëm ngushtohet dhe shtrihet dy herë:

Gjithçka është në përputhje të plotë me shndërrimet gjeometrike të grafikëve.

Një shpërndarje normale me një vlerë sigma njësi quhet normalizuar, dhe nëse është gjithashtu të përqendruar(rasti ynë), atëherë quhet një shpërndarje e tillë standarde. Ka edhe më shumë funksion i thjeshtë dendësia, e cila tashmë është hasur në Teorema lokale e Laplace: . Shpërndarja standarde ka gjetur zbatim të gjerë në praktikë dhe shumë shpejt do ta kuptojmë më në fund qëllimin e saj.

Epo, tani le të shikojmë filmin:

Po, absolutisht e drejtë - disi në mënyrë të pamerituar mbeti në hije funksioni i shpërndarjes së probabilitetit. Le ta kujtojmë atë përkufizimi:
– probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë MË MË MË TË VOGËL se ndryshorja që “përshkon” të gjitha vlerat reale deri në “plus” pafundësi.

Brenda integralit, zakonisht përdoret një shkronjë e ndryshme në mënyrë që të mos ketë "mbivendosje" me shënimin, sepse këtu çdo vlerë shoqërohet me integral jo i duhur, e cila është e barabartë me disa numri nga intervali.

Pothuajse të gjitha vlerat nuk mund të llogariten me saktësi, por siç e kemi parë, me fuqinë moderne kompjuterike kjo nuk është e vështirë. Kështu, për funksionin standard të shpërndarjes, funksioni përkatës i Excel në përgjithësi përmban një argument:

=NORMSDIST(z)

Një, dy - dhe keni mbaruar:

Vizatimi tregon qartë zbatimin e të gjithëve vetitë e funksionit të shpërndarjes, dhe nga nuancat teknike këtu duhet t'i kushtoni vëmendje asimptota horizontale dhe pika e lakimit.

Tani le të kujtojmë një nga detyrat kryesore të temës, domethënë, të zbulojmë se si të gjejmë probabilitetin që një ndryshore normale e rastësishme do të marrë vlerën nga intervali. Gjeometrikisht, ky probabilitet është i barabartë me zonë ndërmjet lakores normale dhe boshtit x në seksionin përkatës:

por sa herë që përpiqem të marr një vlerë të përafërt është e paarsyeshme, dhe për këtë arsye është më racionale të përdoret formula "e lehtë".:
.

! Gjithashtu kujton , Çfarë

Këtu mund të përdorni përsëri Excel, por ka disa "por" domethënëse: së pari, nuk është gjithmonë pranë, dhe së dyti, vlerat "të gatshme" me shumë mundësi do të ngrenë pyetje nga mësuesi. Pse?

Unë kam folur për këtë shumë herë më parë: në një kohë (dhe jo shumë kohë më parë) një kalkulator i rregullt ishte një luks, dhe në literaturë edukative Metoda "manuale" e zgjidhjes së problemit në shqyrtim është ruajtur ende. Thelbi i saj është që standardizoj vlerat "alfa" dhe "beta", domethënë, zvogëlojnë zgjidhjen në shpërndarjen standarde:

Shënim : funksioni është i lehtë për t'u marrë nga rasti i përgjithshëmduke përdorur lineare zëvendësimet. Pastaj gjithashtu:

dhe nga zëvendësimi i kryer saktësisht vijon formula e kalimit nga vlerat e një shpërndarje arbitrare në vlerat përkatëse të shpërndarjes standarde.

Pse është e nevojshme kjo? Fakti është se vlerat u llogaritën me përpikëri nga paraardhësit tanë dhe u përpiluan në një tabelë të veçantë, e cila gjendet në shumë libra në terwer. Por edhe më shpesh ekziston një tabelë vlerash, të cilën e kemi trajtuar tashmë Teorema integrale e Laplasit:

Nëse kemi në dispozicion një tabelë vlerash të funksionit Laplace , pastaj zgjidhim përmes tij:

Vlerat thyesore tradicionalisht rrumbullakosen në 4 shifra dhjetore, siç bëhet në tabelën standarde. Dhe për kontroll ka Pika 5 faqosje.

Ju kujtoj këtë, dhe për të shmangur konfuzionin gjithmonë kontroll, një tabelë e funksionit WHAT është para syve tuaj.

Përgjigju kërkohet të jepet si përqindje, kështu që probabiliteti i llogaritur duhet të shumëzohet me 100 dhe rezultati të jepet me një koment kuptimplotë:

– me një fluturim nga 5 në 70 m, afërsisht 15.87% e predhave do të bien

Ne stërvitemi vetë:

Shembulli 3

Diametri i kushinetave të prodhuara në fabrikë është një variabël i rastësishëm, i shpërndarë normalisht me një pritje matematikore prej 1,5 cm dhe një devijim standard prej 0,04 cm.

Në zgjidhjen e mostrës dhe më poshtë, unë do të përdor funksionin Laplace si opsionin më të zakonshëm. Nga rruga, vini re se sipas formulimit, skajet e intervalit mund të përfshihen në shqyrtim këtu. Megjithatë, kjo nuk është kritike.

Dhe tashmë në këtë shembull kemi hasur në një rast të veçantë - kur intervali është simetrik në lidhje me pritjen matematikore. Në një situatë të tillë, mund të shkruhet në formë dhe, duke përdorur çuditshmërinë e funksionit Laplace, të thjeshtoni formulën e punës:

Parametri delta quhet devijimi nga pritshmëria matematikore, dhe pabarazia e dyfishtë mund të “paketohet” duke përdorur modul:

– probabiliteti që vlera e një ndryshoreje të rastësishme të devijojë nga pritshmëria matematikore me më pak se .

Është mirë që zgjidhja përshtatet në një rresht :)
– probabiliteti që diametri i një kushinete të marrë rastësisht të ndryshojë nga 1,5 cm me jo më shumë se 0,1 cm.

Rezultati i kësaj detyre doli të ishte afër unitetit, por unë do të doja një besueshmëri edhe më të madhe - domethënë, të zbuloja kufijtë brenda të cilëve ndodhet diametri pothuajse të gjithë kushinetat. A ka ndonjë kriter për këtë? Ekziston! Pyetjes së shtruar i përgjigjen të ashtuquajturit

rregulli tre sigma

Thelbi i saj është se praktikisht i besueshëm është fakti që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht do të marrë një vlerë nga intervali .

Në të vërtetë, probabiliteti i devijimit nga vlera e pritur është më pak se:
ose 99.73%

Për sa i përket kushinetës, këto janë 9973 copë me diametër nga 1.38 në 1.62 cm dhe vetëm 27 kopje "nën standarde".

NË hulumtim praktik Rregulli tre sigma zakonisht zbatohet në drejtim të kundërt: nëse statistikisht U konstatua se pothuajse të gjitha vlerat variabli i rastësishëm në studim bien brenda një intervali prej 6 devijimesh standarde, atëherë ka arsye bindëse për të besuar se kjo vlerë shpërndahet sipas një ligji normal. Verifikimi kryhet duke përdorur teorinë hipoteza statistikore.

Ne vazhdojmë të zgjidhim problemet e ashpra sovjetike:

Shembulli 4

Vlera e rastësishme e gabimit të peshimit shpërndahet sipas ligjit normal me pritshmëri matematikore zero dhe një devijim standard prej 3 gram. Gjeni probabilitetin që peshimi tjetër të kryhet me një gabim jo më shumë se 5 gram në vlerë absolute.

Zgjidhje shumë e thjeshtë. Me kusht, vërejmë menjëherë se në peshimin tjetër (diçka ose dikush) ne do të marrim pothuajse 100% rezultatin me një saktësi prej 9 gram. Por problemi përfshin një devijim më të ngushtë dhe sipas formulës:

– probabiliteti që peshimi i radhës të kryhet me një gabim jo më shumë se 5 gram.

Përgjigju:

Problemi i zgjidhur është thelbësisht i ndryshëm nga një problem në dukje i ngjashëm. Shembulli 3 mësim rreth shpërndarje uniforme. Pati një gabim rrumbullakimi rezultatet e matjeve, këtu po flasim për gabimin e rastësishëm të vetë matjeve. Gabime të tilla lindin për shkak të karakteristikave teknike të vetë pajisjes. (gama e gabimeve të pranueshme zakonisht tregohet në pasaportën e tij), dhe gjithashtu për fajin e eksperimentuesit - kur ne, për shembull, "me sy" marrim lexime nga gjilpëra e të njëjtave peshore.

Ndër të tjera ka edhe të ashtuquajturat sistematike gabimet e matjes. Është tashmë jo të rastësishme gabime që ndodhin për shkak të konfigurimit ose funksionimit të gabuar të pajisjes. Për shembull, peshoret e parregulluara të dyshemesë mund të "shtojnë" vazhdimisht kilogramë dhe shitësi rëndon sistematikisht klientët. Ose mund të llogaritet jo sistematikisht. Sidoqoftë, në çdo rast, një gabim i tillë nuk do të jetë i rastësishëm dhe pritshmëria e tij është e ndryshme nga zero.

…Po zhvilloj urgjentisht një kurs trajnimi për shitje =)

Le ta zgjidhim vetë problemin e anasjelltë:

Shembulli 5

Diametri i rulit është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht, devijimi standard i tij është i barabartë me mm. Gjeni gjatësinë e intervalit, simetrik në lidhje me pritjen matematikore, në të cilën gjatësia e diametrit të rulit ka të ngjarë të bjerë.

Pika 5* paraqitjen e dizajnit për të ndihmuar. Ju lutemi vini re se pritshmëria matematikore nuk dihet këtu, por kjo nuk na pengon aspak të zgjidhim problemin.

DHE detyrë provimi, të cilin e rekomandoj shumë për konsolidimin e materialit:

Shembulli 6

Një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht përcaktohet nga parametrat e saj (pritshmëria matematikore) dhe (devijimi standard). Kërkohet:

a) shkruani densitetin e probabilitetit dhe përshkruani skematikisht grafikun e tij;
b) gjeni probabilitetin që do të marrë një vlerë nga intervali ;
c) gjeni probabilitetin që vlera absolute të devijojë nga jo më shumë se ;
d) duke përdorur rregullin "tre sigma", gjeni vlerat e ndryshores së rastit.

Probleme të tilla ofrohen kudo dhe gjatë viteve të praktikës kam zgjidhur qindra e qindra të tilla. Sigurohuni që të praktikoni të vizatoni një vizatim me dorë dhe duke përdorur tabela letre;)

Epo, unë do të shikoj një shembull të kompleksitetit të shtuar:

Shembulli 7

Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme ka formën . Gjeni, pritjet matematikore, dispersionin, funksionin e shpërndarjes, ndërtoni grafikët e densitetit dhe funksionet e shpërndarjes, gjeni.

Zgjidhje: Së pari, le të vërejmë se kushti nuk thotë asgjë për natyrën e ndryshores së rastit. Prania e një eksponenti në vetvete nuk do të thotë asgjë: mund të rezultojë, për shembull, tregues apo edhe arbitrare shpërndarja e vazhdueshme. Dhe për këtë arsye "normaliteti" i shpërndarjes ende duhet të justifikohet:

Që nga funksioni përcaktuar në ndonjë vlera reale, dhe mund të reduktohet në formën, atëherë ndryshorja e rastësishme shpërndahet sipas ligjit normal.

Ja ku shkojmë. Për këtë zgjidhni një katror të plotë dhe të organizojnë thyesë trekatëshe:


Sigurohuni që të kontrolloni, duke e kthyer treguesin në formën e tij origjinale:

, që është ajo që ne donim të shihnim.

Kështu:
- Nga rregulli i operacioneve me kompetenca"hiq" Dhe këtu mund të shkruani menjëherë karakteristikat e dukshme numerike:

Tani le të gjejmë vlerën e parametrit. Meqenëse shumëzuesi i shpërndarjes normale ka formën dhe , atëherë:
, nga ku shprehemi dhe zëvendësojmë në funksionin tonë:
, pas së cilës do të kalojmë përsëri regjistrimin me sytë tanë dhe do të sigurohemi që funksioni që rezulton të ketë formën .

Le të ndërtojmë një grafik densiteti:

dhe grafiku i funksionit të shpërndarjes :

Nëse nuk keni Excel apo edhe një kalkulator të rregullt në dorë, atëherë grafiku i fundit mund të ndërtohet lehtësisht me dorë! Në një pikë, funksioni i shpërndarjes merr një vlerë dhe gjendet këtu