Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale. Variabla të rastësishme dydimensionale

Një grup variablash të rastësishëm X 1 ,X 2 ,...,X f, të përcaktuara në format e hapësirës së probabilitetit (). P- ndryshore e rastit dimensionale ( X 1 ,X 2 ,...,X f). Nëse procesi ekonomik përshkruhet duke përdorur dy ndryshore të rastësishme X 1 dhe X 2, atëherë përcaktohet një ndryshore e rastësishme dydimensionale ( X 1 ,X 2) ose ( X,Y).

Funksioni i shpërndarjes sistemet e dy ndryshoreve të rastësishme ( X,Y), konsiderohet si funksion i variablave quhet probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje :

Vlerat e funksionit të shpërndarjes plotësojnë pabarazinë

Nga pikëpamja gjeometrike, funksioni i shpërndarjes F(x,y) përcakton probabilitetin që një pikë e rastësishme ( X,Y) do të bjerë në një kuadrant të pafund me kulmin në pikën ( X,në), që nga pika ( X,Y) do të jetë poshtë dhe në të majtë të kulmit të treguar (Fig. 9.1).

X,Y) në një gjysmë-shirit (Fig. 9.2) ose në një gjysmë-shirit (Fig. 9.3) shprehet me formulat:

përkatësisht. Probabiliteti i goditjes së vlerave X,Y) në një drejtkëndësh (Fig. 9.4) mund të gjendet duke përdorur formulën:

Fig.9.2 Fig.9.3 Fig.9.4

Diskret quhet një madhësi dydimensionale, përbërësit e së cilës janë diskrete.

Ligji i shpërndarjes ndryshore e rastit diskrete dydimensionale ( X,Y) është grupi i të gjitha vlerave të mundshme ( x i, y j), , variabla diskrete të rastësishme X Dhe Y dhe probabilitetet përkatëse të tyre , duke karakterizuar probabilitetin që komponenti X do të marrë vlerën x i dhe në të njëjtën kohë një komponent Y do të marrë vlerën y j, dhe

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete dy-dimensionale ( X,Y) jepen në formë tabele. 9.1.

Tabela 9.1

Ω X Ω Y	x 1	x 2	…	x i	…
y 1	fq(x 1 ,y 1)	fq(x 2 ,y 1)	…	p( x i,y 1)	…
y 2	fq(x 1 ,y 2)	fq(x 2 ,y 2)	…	p( x i,y 2)	…
…	…	…	…	…	…
y i	fq(x 1 ,y i)	fq(x 2 ,y i)	…	p( x i,y i)	…
…	…	…	…	…	…

E vazhdueshme quhet një ndryshore e rastësishme dydimensionale, përbërësit e së cilës janë të vazhdueshëm. Funksioni R(X,në), e barabartë me kufirin e raportit të probabilitetit për të goditur një ndryshore të rastësishme dy-dimensionale ( X,Y) në një drejtkëndësh me brinjë dhe në sipërfaqen e këtij drejtkëndëshi, kur të dyja anët e drejtkëndëshit priren në zero, quhet Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit:

Duke ditur densitetin e shpërndarjes, mund të gjeni funksionin e shpërndarjes duke përdorur formulën:

Në të gjitha pikat ku ka një derivat të përzier të rendit të dytë të funksionit të shpërndarjes , dendësia e shpërndarjes së probabilitetit mund të gjendet duke përdorur formulën:

Probabiliteti për të goditur një pikë të rastësishme ( X,në) në zonë D përcaktohet nga barazia:

Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X mori kuptimin X<х me kusht që ndryshorja e rastit Y mori një vlerë fikse Y=y, llogaritet me formulën:

Po kështu,

Formulat për llogaritjen e densitetit të shpërndarjes së probabilitetit të kushtëzuar të komponentëve X Dhe Y :

Grup probabilitetesh të kushtëzuara fq(x 1 |y i), fq(x 2 |y i), …, fq(x i |y i), … përmbushja e kushtit Y=y i, quhet shpërndarja e kushtëzuar e komponentit X në Y=y iX,Y), Ku

Në mënyrë të ngjashme, shpërndarja e kushtëzuar e komponentit Y në X=x i ndryshore e rastësishme diskrete dy-dimensionale ( X,Y) është një grup probabilitetesh të kushtëzuara që plotësojnë kushtin X=xi, Ku

Momenti fillestar i porosisëk+s ndryshore e rastësishme dydimensionale ( X,Y dhe , d.m.th. .

Nëse X Dhe Y - diskrete variabla të rastit, Kjo

Nëse X Dhe Y - variabla të rastësishme të vazhdueshme, atëherë

Momenti qendror urdhëroj k+s ndryshore e rastësishme dydimensionale ( X,Y) quhet pritshmëri matematikore e produkteve Dhe , ato.

Nëse sasitë përbërëse janë diskrete, atëherë

Nëse sasitë përbërëse janë të vazhdueshme, atëherë

Ku R(X,y) – dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale ( X,Y).

Pritshmëria matematikore e kushtëzuarY(X) në X=x(në Y=y) quhet shprehje e formës:

– për një ndryshore të rastësishme diskrete Y(X);

– për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme Y(X).

Pritjet matematikore të komponentëve X Dhe Y variablat e rastësishëm dydimensionale llogariten duke përdorur formulat:

Momenti i korrelacionit variabla të rastësishme të pavarura X Dhe Y përfshirë në variablin e rastësishëm dydimensional ( X,Y), quhet pritshmëria matematikore e produkteve të devijimeve të këtyre sasive:

Momenti i korrelacionit të dy variablave të rastësishëm të pavarur XX,Y), është e barabartë me zero.

Koeficienti i korrelacionit variabla të rastit X dhe Y të përfshira në variablin e rastësishëm dydimensional ( X,Y), quhet raporti i momentit të korrelacionit me produktin e devijimeve standarde të këtyre sasive:

Koeficienti i korrelacionit karakterizon shkallën (afërsinë) e korrelacionit linear ndërmjet X Dhe Y.Ndryshoret e rastësishme për të cilat , quhen të pakorreluara.

Koeficienti i korrelacionit plotëson vetitë e mëposhtme:

1. Koeficienti i korrelacionit nuk varet nga njësitë matëse të variablave të rastit.

2. Vlera absolute e koeficientit të korrelacionit nuk e kalon një:

3. Nëse atëherë ndërmjet komponentëve X Dhe Y ndryshore e rastit ( X, Y) ekziston një marrëdhënie funksionale lineare:

4. Nëse atëherë komponentët X Dhe Y variablat e rastësishëm dydimensionale janë të pakorreluara.

5. Nëse atëherë komponentët X Dhe Y variablat e rastësishëm dydimensionale janë të varura.

Ekuacionet M(X|Y=y)=φ( në) Dhe M(Y|X=x)=ψ( x) quhen ekuacione regresioni, kurse linjat e përcaktuara prej tyre quhen vija regresioni.

Detyrat

9.1. Ndryshore e rastësishme dydimensionale diskrete (X, Y) dhënë nga ligji i shpërndarjes:

Tabela 9.2

Ω x Ω y
	0,2	0,15	0,08	0,05
	0,1	0,05	0,05	0,1
	0,05	0,07	0,08	0,02

Gjeni: a) ligjet e shpërndarjes së komponentëve X Dhe Y;

b) ligji i kushtëzuar i shpërndarjes së vlerës Y në X =1;

c) funksionin e shpërndarjes.

Zbuloni nëse sasitë janë të pavarura X Dhe Y. Llogarit probabilitetin dhe karakteristikat bazë numerike M(X),M(Y),D(X),D(Y),R(X,Y), .

Zgjidhje. a) Variabla të rastësishme X dhe Y përcaktohen në një grup të përbërë nga rezultate elementare, i cili ka formën:

Ngjarja ( X= 1) korrespondon me një grup rezultatesh, komponenti i parë i të cilave është i barabartë me 1: (1;0), (1;1), (1;2). Këto rezultate janë të papajtueshme. Probabiliteti që X do të marrë vlerën x i, sipas aksiomës 3 të Kolmogorov, është e barabartë me:

Po kështu

Prandaj, shpërndarja margjinale e komponentit X, mund të specifikohet në formën e një tabele. 9.3.

Tabela 9.3

b) Bashkësia e gjasave të kushtëzuara R(1;0), R(1;1), R(1;2) plotësimi i kushtit X=1, quhet shpërndarja e kushtëzuar e komponentit Y në X=1. Probabiliteti i vlerave të vlerës Y në X=1 gjejmë duke përdorur formulën:

Që atëherë, duke zëvendësuar vlerat e probabiliteteve përkatëse, marrim

Pra, shpërndarja e kushtëzuar e komponentit Y në X=1 ka formën:

Tabela 9.5

y j
	0,48	0,30	0,22

Meqenëse ligjet e shpërndarjes së kushtëzuar dhe të pakushtëzuar nuk përkojnë (shih Tabelat 9.4 dhe 9.5), vlerat X Dhe Y i varur. Ky konkluzion vërtetohet nga fakti se barazia

për çdo çift vlerash të mundshme X Dhe Y.

Për shembull,

c) Funksioni i shpërndarjes F(x,y) ndryshore e rastësishme dydimensionale (X,Y) ka formën:

ku shuma kryhet mbi të gjitha pikat (), për të cilat pabarazitë plotësohen në të njëjtën kohë x i Dhe y j . Pastaj për një ligj të caktuar të shpërndarjes, marrim:

Është më e përshtatshme të paraqitet rezultati në formën e tabelës 9.6.

Tabela 9.6

X y

0,20 0,35 0,43 0,48
0,30 0,5 0,63 0,78
0,35 0,62 0,83
Le të përdorim formulat për momentet fillestare dhe rezultatet e tabelave 9.3 dhe 9.4 dhe të llogarisim pritshmëritë matematikore të komponentëve X Dhe Y:

Ne llogarisim variancat duke përdorur momentin e dytë fillestar dhe rezultatet e tabelës. 9.3 dhe 9.4:

Për të llogaritur kovariancën TE(X, Y) ne përdorim një formulë të ngjashme gjatë momentit fillestar:

Koeficienti i korrelacionit përcaktohet nga formula:

Probabiliteti i kërkuar përcaktohet si probabiliteti i rënies në një rajon në rrafshin e përcaktuar nga pabarazia përkatëse:

9.2. Anija transmeton një mesazh "SOS", i cili mund të merret nga dy stacione radio. Ky sinjal mund të merret nga një stacion radio në mënyrë të pavarur nga tjetri. Probabiliteti që sinjali të merret nga radiostacioni i parë është 0,95; probabiliteti që sinjali të merret nga radiostacioni i dytë është 0.85. Gjeni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale që karakterizon marrjen e një sinjali nga dy stacione radio. Shkruani funksionin e shpërndarjes.

Zgjidhja: Le X– një ngjarje që konsiston në faktin se sinjali merret nga stacioni i parë i radios. Y– ngjarja është se sinjali merret nga një stacion i dytë radio.

Kuptime të shumta .

X=1 – sinjali i marrë nga radiostacioni i parë;

X=0 – sinjali nuk u mor nga radiostacioni i parë.

Kuptime të shumta .

Y=l – sinjali i marrë nga radiostacioni i dytë,

Y=0 – sinjali nuk merret nga radiostacioni i dytë.

Probabiliteti që sinjali të mos merret as nga radiostacioni i parë dhe as i dyti është:

Probabiliteti i marrjes së sinjalit nga stacioni i parë i radios:

Probabiliteti që sinjali të merret nga stacioni i dytë i radios:

Probabiliteti që sinjali të merret si nga radiostacioni i parë ashtu edhe nga i dyti është i barabartë me: .

Atëherë ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale është i barabartë me:

y x
0,007 0,142
0,042 0,807
X,y) kuptimi F(X,y) është e barabartë me shumën e probabiliteteve të atyre vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme ( X,Y), të cilat bien brenda drejtkëndëshit të specifikuar.

Atëherë funksioni i shpërndarjes do të duket si ky:

9.3. Dy kompani prodhojnë produkte të njëjta. Secili, pavarësisht nga tjetri, mund të vendosë të modernizojë prodhimin. Probabiliteti që firma e parë të ketë marrë një vendim të tillë është 0.6. Probabiliteti për të marrë një vendim të tillë nga firma e dytë është 0.65. Shkruani ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale që karakterizon vendimin për modernizimin e prodhimit të dy firmave. Shkruani funksionin e shpërndarjes.

Përgjigje: Ligji i shpërndarjes:

0,14 0,21
0,26 0,39
Për çdo vlerë fikse të një pike me koordinata ( x,y) vlera është e barabartë me shumën e probabiliteteve të atyre vlerave të mundshme që bien brenda drejtkëndëshit të specifikuar .

9.4. Unazat e pistonit për motorët e makinave bëhen në një torno automatike. Matet trashësia e unazës (vlera e rastësishme X) dhe diametri i vrimës (vlera e rastësishme Y). Dihet se rreth 5% e të gjitha unazave të pistonit janë me defekt. Për më tepër, 3% e defekteve shkaktohen nga diametra jo standarde të vrimave, 1% - nga trashësia jo standarde dhe 1% - refuzohen për të dyja arsyet. Gjeni: shpërndarjen e përbashkët të një ndryshoreje të rastësishme dy-dimensionale ( X,Y); shpërndarjet njëdimensionale të komponentëve X Dhe Y;pritshmëritë matematikore të komponentëve X Dhe Y; momenti i korrelacionit dhe koeficienti i korrelacionit ndërmjet komponentëve X Dhe Y ndryshore e rastësishme dydimensionale ( X,Y).

Përgjigje: Ligji i shpërndarjes:

0,01 0,03
0,01 0,95
; ; ; ; ; .

9.5. Produktet e fabrikës janë me defekt për shkak të defekteve Aështë 4%, dhe për shkak të një defekti NË– 3.5%. Prodhimi standard është 96%. Përcaktoni se sa përqind e të gjitha produkteve kanë të dy llojet e defekteve.

9.6. Vlera e rastësishme ( X,Y)shpërndarë me dendësi konstante brenda sheshit R, kulmet e të cilit kanë koordinata (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Përcaktoni densitetin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme ( X,Y) dhe dendësitë e shpërndarjes së kushtëzuar R(X\në), R(në\X).

Zgjidhje. Le të ndërtojmë në një aeroplan x 0y katror i dhënë (Fig. 9.5) dhe përcaktoni ekuacionet e brinjëve të katrorit ABCD, duke përdorur ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna: Zëvendësimi i koordinatave të kulmeve A Dhe NË marrim në mënyrë sekuenciale ekuacionin e anës AB: ose .

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë ekuacionin e anës dielli: ;anët CD: dhe anët D.A.: . : .D X, Y) është një hemisferë me qendër në origjinën e rrezes R.Gjeni densitetin e shpërndarjes së probabilitetit.

Përgjigje:

9.10. Jepet një ndryshore e rastësishme dydimensionale diskrete:

0,25 0,10
0,15 0,05
0,32 0,13
Gjeni: a) ligjin e shpërndarjes së kushtëzuar X, me kusht që y= 10;

b) ligji i shpërndarjes me kusht Y, me kusht që x =10;

c) pritshmëria matematikore, dispersioni, koeficienti i korrelacionit.

9.11. Ndryshore e vazhdueshme dydimensionale e rastësishme ( X,Y)shpërndarë në mënyrë të barabartë brenda një trekëndëshi kënddrejtë me kulme RRETH(0;0), A(0;8), NË(8,0).

Gjeni: a) dendësinë e shpërndarjes së probabilitetit;

Le të jepet një ndryshore e rastësishme dydimensionale $(X,Y)$.
Përkufizimi 1

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale $(X,Y)$ është bashkësia e çifteve të mundshme të numrave $(x_i,\ y_j)$ (ku $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) dhe të tyre probabilitetet $p_(ij)$ .
Më shpesh, ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dy-dimensionale shkruhet në formën e një tabele (Tabela 1).
Figura 1. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale.
Le të kujtojmë tani teorema mbi mbledhjen e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura.
Teorema 1

Probabiliteti i shumës së një numri të kufizuar ngjarjesh të pavarura $(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ llogaritet me formulën:
Duke përdorur këtë formulë, ju mund të merrni ligjet e shpërndarjes për çdo komponent të një ndryshoreje të rastësishme dy-dimensionale, që është:
Nga kjo do të rrjedhë se shuma e të gjitha probabiliteteve të një sistemi dydimensional ka formën e mëposhtme:
Le të shqyrtojmë në detaje (hap pas hapi) problemin që lidhet me konceptin e ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale.

Shembulli 1

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale jepet nga tabela e mëposhtme:

Figura 2.

Gjeni ligjet e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme $X,\ Y$, $X+Y$ dhe kontrolloni në secilin rast që shuma totale e probabiliteteve është e barabartë me një.

Le të gjejmë fillimisht shpërndarjen e ndryshores së rastësishme $X$. Ndryshorja e rastësishme $X$ mund të marrë vlerat $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. Për të gjetur shpërndarjen do të përdorim teoremën 1.

Le të gjejmë së pari shumën e probabiliteteve $x_1$ si më poshtë:

Figura 3.
Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë $P\left(x_2\right)$ dhe $P\left(x_3\djathtas)$:
\ \

Figura 4.

Le të gjejmë tani shpërndarjen e ndryshores së rastësishme $Y$. Ndryshorja e rastësishme $Y$ mund të marrë vlerat $x_1=1,$ $x_2=3$, $x_3=4$. Për të gjetur shpërndarjen do të përdorim teoremën 1.

Le të gjejmë së pari shumën e probabiliteteve $y_1$ si më poshtë:

Figura 5.
Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë $P\left(y_2\djathtas)$ dhe $P\left(y_3\djathtas)$:
\ \
Kjo do të thotë se ligji i shpërndarjes së vlerës $X$ ka formën e mëposhtme:

Figura 6.

Le të kontrollojmë barazinë e shumës totale të probabiliteteve:
Mbetet për të gjetur ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $X+Y$.

Për lehtësi, le ta shënojmë me $Z$: $Z=X+Y$.

Së pari, le të gjejmë se çfarë vlerash mund të marrë kjo sasi. Për ta bërë këtë, ne do të shtojmë vlerat e $X$ dhe $Y$ në çifte. Ne marrim vlerat e mëposhtme: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Tani, duke hedhur poshtë vlerat që përputhen, gjejmë se ndryshorja e rastësishme $X+Y$ mund të marrë vlerat $z_1 =3,\ z_2=4 ,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

Le të gjejmë fillimisht $P(z_1)$. Meqenëse vlera e $z_1$ është një, ajo gjendet si më poshtë:

Figura 7.
Të gjitha probabilitetet përveç $P(z_4)$ gjenden në mënyrë të ngjashme:
Le të gjejmë tani $P(z_4)$ si më poshtë:

Figura 8.
Kjo do të thotë se ligji i shpërndarjes së vlerës $Z$ ka formën e mëposhtme:

Figura 9.

Le të kontrollojmë barazinë e shumës totale të probabiliteteve:

Një çift i renditur (X, Y) i ndryshoreve të rastësishme X dhe Y quhet një ndryshore e rastësishme dydimensionale, ose një vektor i rastësishëm në hapësirën dy-dimensionale. Një ndryshore e rastësishme dydimensionale (X,Y) quhet gjithashtu një sistem i ndryshoreve të rastësishme X dhe Y. Grupi i të gjitha vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete me probabilitetet e tyre quhet ligji i shpërndarjes së kësaj ndryshoreje të rastësishme. Një ndryshore e rastësishme dydimensionale diskrete (X, Y) konsiderohet e dhënë nëse ligji i shpërndarjes së tij është i njohur:
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m

Qëllimi i shërbimit. Duke përdorur shërbimin, sipas një ligji të caktuar të shpërndarjes, mund të gjeni:
seritë e shpërndarjes X dhe Y, pritshmëria matematikore M[X], M[Y], varianca D[X], D[Y];
kovarianca cov(x,y), koeficienti i korrelacionit r x,y, seria e shpërndarjes së kushtëzuar X, pritshmëria e kushtëzuar M;

Për më tepër, është dhënë përgjigjja e pyetjes "a varen variablat e rastësishëm X dhe Y?"
Udhëzimet. Specifikoni dimensionin e matricës së shpërndarjes së probabilitetit (numrin e rreshtave dhe kolonave) dhe llojin e saj. Zgjidhja që rezulton ruhet në një skedar Word.

Shembulli nr. 1. Një ndryshore e rastësishme diskrete dydimensionale ka një tabelë shpërndarjeje:
Y/X 1 2 3 4
10 0 0,11 0,12 0,03
20 0 0,13 0,09 0,02
30 0,02 0,11 0,08 0,01
40 0,03 0,11 0,05 q
Gjeni vlerën e q dhe koeficientin e korrelacionit të kësaj ndryshoreje të rastësishme.
Zgjidhje. Vlerën e q e gjejmë nga kushti Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. Nga vjen q = 0,09?

Duke përdorur formulën ∑P(x i, y j) = fq i(j=1..n), gjejmë serinë e shpërndarjes X.
Pritshmëria M[Y].
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
Varianca D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Devijimi standardσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801
Kovarianca cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 ·20·0,02 + 1·30·0,02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 ·0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Koeficienti i korrelacionit r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736
Shembulli 2. Të dhënat nga përpunimi statistikor i informacionit për dy treguesit X dhe Y janë pasqyruar në tabelën e korrelacionit. Kërkohet:
shkruani seritë e shpërndarjes për X dhe Y dhe llogaritni mesataret e mostrës dhe mostrën e devijimeve standarde për to;
shkruani seritë e shpërndarjes së kushtëzuar Y/x dhe llogaritni mesataret e kushtëzuara Y/x;
të përshkruajë grafikisht varësinë e mesatareve të kushtëzuara Y/x nga vlerat X;
llogarit koeficientin e korrelacionit të mostrës Y mbi X;
shkruani një mostër ekuacioni të regresionit përpara;
të paraqesin gjeometrikisht të dhënat e tabelës së korrelacionit dhe të ndërtojnë një vijë regresioni.

Zgjidhje. Një çift i renditur (X,Y) i ndryshoreve të rastësishme X dhe Y quhet një ndryshore e rastësishme dydimensionale, ose një vektor i rastësishëm në hapësirën dy-dimensionale. Një ndryshore e rastësishme dydimensionale (X,Y) quhet gjithashtu një sistem i ndryshoreve të rastësishme X dhe Y.
Bashkësia e të gjitha vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete me probabilitetet e tyre quhet ligji i shpërndarjes së kësaj ndryshoreje të rastësishme.
Një ndryshore e rastësishme dydimensionale diskrete (X,Y) konsiderohet e dhënë nëse ligji i shpërndarjes së tij është i njohur:
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2..,m
X/Y 20 30 40 50 60
11 2 0 0 0 0
16 4 6 0 0 0
21 0 3 6 2 0
26 0 0 45 8 4
31 0 0 4 6 7
36 0 0 0 0 3
Ngjarjet (X=x i, Y=y j) formojnë një grup të plotë ngjarjesh, prandaj shuma e të gjitha probabiliteteve p ij ( i=1,2...,n, j=1,2..,m) e treguar në tabelë është e barabartë me 1.
1. Varësia e variablave të rastësishëm X dhe Y.
Gjeni seritë e shpërndarjes X dhe Y.
Duke përdorur formulën ∑P(x i, y j) = fq i(j=1..n), gjejmë serinë e shpërndarjes X. Pritshmëria M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42.3
Varianca D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42.3 2 = 99.71
Devijimi standard σ(y).

Meqenëse P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, atëherë ndryshoret e rastësishme X dhe Y i varur.
2. Ligji i shpërndarjes me kusht X.
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Varianca e kushtëzuar D = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Varianca e kushtëzuar D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Varianca e kushtëzuar D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Varianca e kushtëzuar D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Varianca e kushtëzuar D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. Ligji i shpërndarjes me kusht Y.
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Varianca e kushtëzuar D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Varianca e kushtëzuar D = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Varianca e kushtëzuar D = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Varianca e kushtëzuar D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Varianca e kushtëzuar D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Varianca e kushtëzuar D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Kovarianca.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Nëse variablat e rastësishëm janë të pavarur, atëherë kovarianca e tyre është zero. Në rastin tonë, cov(X,Y) ≠ 0.
Koeficienti i korrelacionit.

Ekuacioni i regresionit linear nga y në x është:

Ekuacioni i regresionit linear nga x në y është:

Le të gjejmë karakteristikat e nevojshme numerike.
Mesatarja e mostrës:
x = (20(2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Ndryshimet:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Nga i marrim devijimet standarde:
σ x = 9,99 dhe σ y = 4,9
dhe kovarianca:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Le të përcaktojmë koeficientin e korrelacionit:

Le të shkruajmë ekuacionet e vijave të regresionit y(x):

dhe duke llogaritur, marrim:
y x = 0,38 x + 9,14
Le të shkruajmë ekuacionet e vijave të regresionit x(y):

dhe duke llogaritur, marrim:
x y = 1,59 y + 2,15
Nëse vizatojmë pikat e përcaktuara nga tabela dhe vijat e regresionit, do të shohim se të dy drejtëzat kalojnë nëpër pikën me koordinata (42.3; 25.3) dhe pikat janë të vendosura afër vijave të regresionit.
Rëndësia e koeficientit të korrelacionit.

Duke përdorur tabelën e Studentit me një nivel të rëndësisë α=0.05 dhe shkallë lirie k=100-m-1 = 98, gjejmë t krit:
t krit (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
ku m = 1 është numri i variablave shpjegues.
Nëse t vëzhgohet > t kritike, atëherë vlera rezultuese e koeficientit të korrelacionit konsiderohet e rëndësishme (hipoteza zero që thotë se koeficienti i korrelacionit është i barabartë me zero refuzohet).
Meqenëse t obs > t crit, ne hedhim poshtë hipotezën se koeficienti i korrelacionit është i barabartë me 0. Me fjalë të tjera, koeficienti i korrelacionit është statistikisht i rëndësishëm.
Ushtrimi. Numri i goditjeve të çifteve të vlerave të ndryshoreve të rastësishme X dhe Y në intervalet përkatëse është dhënë në tabelë. Duke përdorur këto të dhëna, gjeni koeficientin e korrelacionit të mostrës dhe ekuacionet e mostrës së linjave të drejta të regresionit të Y në X dhe X në Y.
Zgjidhje
Shembull. Shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale (X, Y) jepet nga një tabelë. Gjeni ligjet e shpërndarjes së madhësive përbërëse X, Y dhe koeficientin e korrelacionit p(X, Y).
Shkarko zgjidhje
Ushtrimi. Një sasi diskrete dydimensionale (X, Y) jepet nga një ligj i shpërndarjes. Gjeni ligjet e shpërndarjes së komponentëve X dhe Y, kovariancën dhe koeficientin e korrelacionit.

Një çift i renditur (X, Y) i ndryshoreve të rastësishme X dhe Y quhet një ndryshore e rastësishme dydimensionale, ose një vektor i rastësishëm në hapësirën dy-dimensionale. Një ndryshore e rastësishme dydimensionale (X,Y) quhet gjithashtu një sistem i ndryshoreve të rastësishme X dhe Y. Grupi i të gjitha vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete me probabilitetet e tyre quhet ligji i shpërndarjes së kësaj ndryshoreje të rastësishme. Një ndryshore e rastësishme dydimensionale diskrete (X, Y) konsiderohet e dhënë nëse ligji i shpërndarjes së tij është i njohur:
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m

Qëllimi i shërbimit. Duke përdorur shërbimin, sipas një ligji të caktuar të shpërndarjes, mund të gjeni:
seritë e shpërndarjes X dhe Y, pritshmëria matematikore M[X], M[Y], varianca D[X], D[Y];
kovarianca cov(x,y), koeficienti i korrelacionit r x,y, seria e shpërndarjes së kushtëzuar X, pritshmëria e kushtëzuar M;

Për më tepër, është dhënë përgjigjja e pyetjes "a varen variablat e rastësishëm X dhe Y?"
Udhëzimet. Specifikoni dimensionin e matricës së shpërndarjes së probabilitetit (numrin e rreshtave dhe kolonave) dhe llojin e saj. Zgjidhja që rezulton ruhet në një skedar Word.

Shembulli nr. 1. Një ndryshore e rastësishme diskrete dydimensionale ka një tabelë shpërndarjeje:
Y/X 1 2 3 4
10 0 0,11 0,12 0,03
20 0 0,13 0,09 0,02
30 0,02 0,11 0,08 0,01
40 0,03 0,11 0,05 q
Gjeni vlerën e q dhe koeficientin e korrelacionit të kësaj ndryshoreje të rastësishme.
Zgjidhje. Vlerën e q e gjejmë nga kushti Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. Nga vjen q = 0,09?

Duke përdorur formulën ∑P(x i, y j) = fq i(j=1..n), gjejmë serinë e shpërndarjes X.
Pritshmëria M[Y].
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
Varianca D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Devijimi standardσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801
Kovarianca cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 ·20·0,02 + 1·30·0,02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 ·0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Koeficienti i korrelacionit r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736
Shembulli 2. Të dhënat nga përpunimi statistikor i informacionit për dy treguesit X dhe Y janë pasqyruar në tabelën e korrelacionit. Kërkohet:
shkruani seritë e shpërndarjes për X dhe Y dhe llogaritni mesataret e mostrës dhe mostrën e devijimeve standarde për to;
shkruani seritë e shpërndarjes së kushtëzuar Y/x dhe llogaritni mesataret e kushtëzuara Y/x;
të përshkruajë grafikisht varësinë e mesatareve të kushtëzuara Y/x nga vlerat X;
llogarit koeficientin e korrelacionit të mostrës Y mbi X;
shkruani një mostër ekuacioni të regresionit përpara;
të paraqesin gjeometrikisht të dhënat e tabelës së korrelacionit dhe të ndërtojnë një vijë regresioni.

Zgjidhje. Një çift i renditur (X,Y) i ndryshoreve të rastësishme X dhe Y quhet një ndryshore e rastësishme dydimensionale, ose një vektor i rastësishëm në hapësirën dy-dimensionale. Një ndryshore e rastësishme dydimensionale (X,Y) quhet gjithashtu një sistem i ndryshoreve të rastësishme X dhe Y.
Bashkësia e të gjitha vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete me probabilitetet e tyre quhet ligji i shpërndarjes së kësaj ndryshoreje të rastësishme.
Një ndryshore e rastësishme dydimensionale diskrete (X,Y) konsiderohet e dhënë nëse ligji i shpërndarjes së tij është i njohur:
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2..,m
X/Y 20 30 40 50 60
11 2 0 0 0 0
16 4 6 0 0 0
21 0 3 6 2 0
26 0 0 45 8 4
31 0 0 4 6 7
36 0 0 0 0 3
Ngjarjet (X=x i, Y=y j) formojnë një grup të plotë ngjarjesh, prandaj shuma e të gjitha probabiliteteve p ij ( i=1,2...,n, j=1,2..,m) e treguar në tabelë është e barabartë me 1.
1. Varësia e variablave të rastësishëm X dhe Y.
Gjeni seritë e shpërndarjes X dhe Y.
Duke përdorur formulën ∑P(x i, y j) = fq i(j=1..n), gjejmë serinë e shpërndarjes X. Pritshmëria M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42.3
Varianca D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42.3 2 = 99.71
Devijimi standard σ(y).

Meqenëse P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, atëherë ndryshoret e rastësishme X dhe Y i varur.
2. Ligji i shpërndarjes me kusht X.
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Varianca e kushtëzuar D = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Varianca e kushtëzuar D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Varianca e kushtëzuar D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Varianca e kushtëzuar D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Varianca e kushtëzuar D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. Ligji i shpërndarjes me kusht Y.
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Varianca e kushtëzuar D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Varianca e kushtëzuar D = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Varianca e kushtëzuar D = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Varianca e kushtëzuar D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Varianca e kushtëzuar D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Pritshmëria matematikore e kushtëzuar M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Varianca e kushtëzuar D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Kovarianca.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Nëse variablat e rastësishëm janë të pavarur, atëherë kovarianca e tyre është zero. Në rastin tonë, cov(X,Y) ≠ 0.
Koeficienti i korrelacionit.

Ekuacioni i regresionit linear nga y në x është:

Ekuacioni i regresionit linear nga x në y është:

Le të gjejmë karakteristikat e nevojshme numerike.
Mesatarja e mostrës:
x = (20(2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Ndryshimet:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Nga i marrim devijimet standarde:
σ x = 9,99 dhe σ y = 4,9
dhe kovarianca:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Le të përcaktojmë koeficientin e korrelacionit:

Le të shkruajmë ekuacionet e vijave të regresionit y(x):

dhe duke llogaritur, marrim:
y x = 0,38 x + 9,14
Le të shkruajmë ekuacionet e vijave të regresionit x(y):

dhe duke llogaritur, marrim:
x y = 1,59 y + 2,15
Nëse vizatojmë pikat e përcaktuara nga tabela dhe vijat e regresionit, do të shohim se të dy drejtëzat kalojnë nëpër pikën me koordinata (42.3; 25.3) dhe pikat janë të vendosura afër vijave të regresionit.
Rëndësia e koeficientit të korrelacionit.

Duke përdorur tabelën e Studentit me një nivel të rëndësisë α=0.05 dhe shkallë lirie k=100-m-1 = 98, gjejmë t krit:
t krit (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
ku m = 1 është numri i variablave shpjegues.
Nëse t vëzhgohet > t kritike, atëherë vlera rezultuese e koeficientit të korrelacionit konsiderohet e rëndësishme (hipoteza zero që thotë se koeficienti i korrelacionit është i barabartë me zero refuzohet).
Meqenëse t obs > t crit, ne hedhim poshtë hipotezën se koeficienti i korrelacionit është i barabartë me 0. Me fjalë të tjera, koeficienti i korrelacionit është statistikisht i rëndësishëm.
Ushtrimi. Numri i goditjeve të çifteve të vlerave të ndryshoreve të rastësishme X dhe Y në intervalet përkatëse është dhënë në tabelë. Duke përdorur këto të dhëna, gjeni koeficientin e korrelacionit të mostrës dhe ekuacionet e mostrës së linjave të drejta të regresionit të Y në X dhe X në Y.
Zgjidhje
Shembull. Shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale (X, Y) jepet nga një tabelë. Gjeni ligjet e shpërndarjes së madhësive përbërëse X, Y dhe koeficientin e korrelacionit p(X, Y).
Shkarko zgjidhje
Ushtrimi. Një sasi diskrete dydimensionale (X, Y) jepet nga një ligj i shpërndarjes. Gjeni ligjet e shpërndarjes së komponentëve X dhe Y, kovariancën dhe koeficientin e korrelacionit.

dy dimensionale shpërndarje diskrete të rastësishme

Shpesh rezultati i një eksperimenti përshkruhet nga disa ndryshore të rastësishme: . Për shembull, moti në ky vend në një kohë të caktuar të ditës mund të karakterizohet nga variablat e mëposhtëm të rastësishëm: X 1 - temperatura, X 2 - presioni, X 3 - lagështia e ajrit, X 4 - shpejtësia e erës.

Në këtë rast, flasim për një ndryshore të rastësishme shumëdimensionale ose për një sistem variablash të rastësishëm.

Konsideroni një ndryshore të rastësishme dydimensionale, vlerat e mundshme të së cilës janë çifte numrash. Gjeometrikisht, një ndryshore e rastësishme dydimensionale mund të interpretohet si një pikë e rastësishme në një plan.

Nëse komponentët X Dhe Y janë variabla të rastësishme diskrete, atëherë është një ndryshore e rastësishme diskrete dy-dimensionale, dhe nëse X Dhe Y janë të vazhdueshme, atëherë është një ndryshore e rastësishme dydimensionale e vazhdueshme.

Ligji i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale është korrespondenca midis vlerave të mundshme dhe probabiliteteve të tyre.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete dydimensionale mund të specifikohet në formën e një tabele me një hyrje të dyfishtë (shih tabelën 6.1), ku është probabiliteti që komponenti X mori kuptimin x i, dhe komponentin Y- kuptimi y j .

Tabela 6.1.1.

y 1

y 2

y j

y m

x 1

fq 11

fq 12

fq 1j

fq 1 m

x 2

fq 21

fq 22

fq 2j

fq 2 m

x i

fq i1

fq i2

fq ij

fq une jam

x n

fq n1

fq n2

fq nj

fq nm

Meqenëse ngjarjet përbëjnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift, shuma e probabiliteteve është e barabartë me 1, d.m.th.

Nga tabela 6.1 mund të gjeni ligjet e shpërndarjes së komponentëve njëdimensionale X Dhe Y.

Shembull 6.1.1 . Gjeni ligjet e shpërndarjes së komponentëve X Dhe Y, nëse shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale jepet në formën e tabelës 6.1.2.

Tabela 6.1.2.

Nëse rregullojmë vlerën e njërit prej argumenteve, për shembull, atëherë shpërndarja rezultuese e vlerës X quhet shpërndarje e kushtëzuar. Shpërndarja e kushtëzuar përcaktohet në mënyrë të ngjashme Y.

Shembull 6.1.2 . Sipas shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale të dhënë në tabelë. 6.1.2, gjeni: a) ligjin e shpërndarjes së kushtëzuar të përbërësit X duke pasur parasysh se; b) ligji i shpërndarjes me kusht Y me kusht që.

Zgjidhje. Probabilitetet e kushtëzuara komponentët X Dhe Y llogaritur duke përdorur formula

Ligji i shpërndarjes me kusht X me kusht që të ketë formën
Kontrolli:.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale mund të specifikohet në formë funksionet e shpërndarjes, e cila përcakton për çdo çift numrash probabilitetin që X do të marrë një vlerë më të vogël se X, dhe ku Y do të marrë një vlerë më të vogël se y:

Gjeometrikisht, funksioni nënkupton probabilitetin që një pikë e rastësishme të bjerë në një katror të pafund me kulmin e saj në pikë (Fig. 6.1.1).

Le të shënojmë vetitë.

1. Gama e vlerave të funksionit është , d.m.th. .

2. Funksioni - një funksion jo-zvogëlues për çdo argument.

3. Ekzistojnë marrëdhënie kufizuese:

Kur funksioni i shpërndarjes së sistemit bëhet i barabartë me funksionin e shpërndarjes së komponentit X, d.m.th. .

Po kështu,.

Duke e ditur këtë, ju mund të gjeni probabilitetin që një pikë e rastësishme të bjerë brenda drejtkëndëshit ABCD.

Domethënë,

Shembulli 6.1.3. Një ndryshore e rastësishme diskrete dydimensionale specifikohet nga një tabelë shpërndarjeje

Gjeni funksionin e shpërndarjes.

Zgjidhje. Vlera në rastin e komponentëve diskrete X Dhe Y gjendet duke mbledhur të gjitha probabilitetet me indekse i Dhe j, per cilin, . Pastaj, nëse dhe, atëherë (ngjarjet dhe janë të pamundura). Në mënyrë të ngjashme marrim:

nëse dhe, atëherë;

nëse dhe, atëherë;

nëse dhe, atëherë;

nëse dhe, atëherë;

nëse dhe, atëherë;

nëse dhe, atëherë;

nëse dhe, atëherë;

nëse dhe, atëherë;

nëse dhe, atëherë.

Le t'i paraqesim rezultatet e marra në formën e një tabele (6.1.3) të vlerave:

Për dydimensionale të vazhdueshme ndryshore e rastësishme, prezantohet koncepti i densitetit të probabilitetit

Dendësia e probabilitetit gjeometrik është një sipërfaqe e shpërndarjes në hapësirë

Dendësia dydimensionale e probabilitetit ka këto veti:

3. Funksioni i shpërndarjes mund të shprehet përmes formulës

4. Probabiliteti që një variabël i rastësishëm i vazhdueshëm të bjerë në rajon është

5. Në përputhje me vetinë (4) të funksionit, vlejnë formulat e mëposhtme:

Shembulli 6.1.4.Është dhënë funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale

Y/X	1	2	3	4
10	0	0,11	0,12	0,03
20	0	0,13	0,09	0,02
30	0,02	0,11	0,08	0,01
40	0,03	0,11	0,05	q

	y 1	y 2	y j	y m
x 1	fq 11	fq 12	fq 1j	fq 1 m
x 2	fq 21	fq 22	fq 2j	fq 2 m

x i	fq i1	fq i2	fq ij	fq une jam

x n	fq n1	fq n2	fq nj	fq nm