Shuma e këndeve të një trekëndëshi. Teorema e shumës së trekëndëshit

Teorema. Shuma e këndeve të brendshme të një trekëndëshi është e barabartë me dy kënde të drejta.

Le të marrim një trekëndësh ABC (Fig. 208). Le t'i shënojmë këndet e tij të brendshme me numrat 1, 2 dhe 3. Le ta vërtetojmë këtë

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Le të vizatojmë përmes një kulmi të trekëndëshit, për shembull B, një vijë të drejtë MN paralele me AC.

Në kulmin B kemi tre kënde: ∠4, ∠2 dhe ∠5. Shuma e tyre është një kënd i drejtë, prandaj është e barabartë me 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Por ∠4 = ∠1 janë kënde të brendshme tërthore me drejtëza paralele MN dhe AC dhe sekant AB.

∠5 = ∠3 - këto janë kënde të brendshme tërthore me drejtëza paralele MN dhe AC dhe sekante BC.

Kjo do të thotë se ∠4 dhe ∠5 mund të zëvendësohen me barazimet e tyre ∠1 dhe ∠3.

Prandaj, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema është vërtetuar.

2. Veti e këndit të jashtëm të trekëndëshit.

Në fakt, në trekëndëshin ABC (Fig. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, por edhe ∠ВСD, këndi i jashtëm i këtij trekëndëshi, jo ngjitur me ∠1 dhe ∠2, është gjithashtu i barabartë me 180° - ∠3.

Kështu:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Prandaj, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Vetia e prejardhur e këndit të jashtëm të një trekëndëshi sqaron përmbajtjen e teoremës së provuar më parë mbi këndin e jashtëm të një trekëndëshi, e cila deklaroi vetëm se këndi i jashtëm i një trekëndëshi është më i madh se çdo kënd i brendshëm i një trekëndëshi jo ngjitur me të; tani është vërtetuar se këndi i jashtëm është i barabartë me shumën e të dy këndeve të brendshëm që nuk janë ngjitur me të.

3. Veti e trekëndëshit kënddrejtë me kënd 30°.

Le të jetë këndi B në trekëndëshin kënddrejtë ACB me 30° (Fig. 210). Atëherë këndi tjetër i tij akut do të jetë i barabartë me 60°.

Le të vërtetojmë se këmba AC është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës AB. Le të zgjasim këmbën AC përtej kulmit të këndit të drejtë C dhe të lëmë mënjanë një segment CM të barabartë me segmentin AC. Le të lidhim pikën M me pikën B. Trekëndëshi që rezulton ВСМ është i barabartë me trekëndëshin ACB. Shohim se çdo kënd i trekëndëshit ABM është i barabartë me 60°, prandaj ky trekëndësh është një trekëndësh barabrinjës.

Këmba AC është e barabartë me gjysmën e AM, dhe meqenëse AM është e barabartë me AB, këmba AC do të jetë e barabartë me gjysmën e hipotenuzës AB.

Në vazhdim nga dje:

Le të luajmë me një mozaik të bazuar në një përrallë gjeometrike:

Njëherë e një kohë kishte trekëndësha. Aq të ngjashme sa janë thjesht kopje të njëra-tjetrës.
Ata disi qëndronin krah për krah në një vijë të drejtë. Dhe meqenëse ata ishin të gjithë të njëjtën lartësi -
atëherë majat e tyre ishin në të njëjtin nivel, nën sundimtarin:

Trekëndëshat pëlqenin të bien dhe të qëndrojnë mbi kokat e tyre. Ata u ngjitën në rreshtin e sipërm dhe qëndruan në qoshe si akrobatë.
Dhe ne tashmë e dimë - kur ata qëndrojnë me majat e tyre saktësisht në një rresht,
atëherë edhe shputat e tyre ndjekin një vizore - sepse nëse dikush është me të njëjtën lartësi, atëherë edhe ata janë me të njëjtën lartësi kokëposhtë!

Ata ishin të njëjtë në gjithçka - të njëjtën lartësi dhe të njëjtat thembra,
dhe rrëshqitjet në anët - njëra më e pjerrët, tjetra më e sheshtë - janë të njëjta në gjatësi
dhe kanë të njëjtën pjerrësi. Epo, vetëm binjakë! (vetëm me rroba të ndryshme, secila me pjesën e vet të enigmës).

- Ku i kanë trekëndëshat brinjë të njëjta? Ku janë të njëjtat kënde?

Trekëndëshat qëndruan mbi kokat e tyre, qëndruan atje dhe më pas vendosën të rrëshqisnin dhe të shtriheshin në rreshtin e poshtëm.
Rrëshqitën e rrëshqitën nga një kodër; por sllajdet e tyre janë të njëjta!
Pra, ato përshtaten saktësisht midis trekëndëshave të poshtëm, pa boshllëqe dhe askush nuk e shtyu askënd mënjanë.

Ne shikuam rreth trekëndëshave dhe vumë re një veçori interesante.
Kudo që këndet e tyre bashkohen, të tre këndet me siguri do të takohen:
më i madhi është "këndi i kokës", këndi më i mprehtë dhe këndi i tretë, mesatar më i madh.
Ata madje lidhën shirita me ngjyra në mënyrë që të shihej menjëherë se cila ishte.

Dhe doli se tre këndet e trekëndëshit, nëse i kombinoni ato -
krijoni një kënd të madh, një "kënd të hapur" - si kopertina e një libri të hapur,

___________________________________

quhet kënd i kthyer.

Çdo trekëndësh është si një pasaportë: tre kënde së bashku janë të barabarta me këndin e shpalosur.
Dikush troket në derën tuaj: - trokitje-trokitje jam trekëndësh, më lër të kaloj natën!
Dhe ju i thoni atij - Më trego shumën e këndeve në formë të zgjeruar!
Dhe është menjëherë e qartë nëse ky është një trekëndësh i vërtetë apo një mashtrues.
Nuk e kalova testin - Kthehuni rreth njëqind e tetëdhjetë gradë dhe shkoni në shtëpi!

Kur thonë "kthehu 180°" do të thotë të kthehesh prapa dhe
shkoni në drejtim të kundërt.

E njëjta gjë në shprehjet më të njohura, pa "një herë e një kohë":

Le të kryejmë një përkthim paralel të trekëndëshit ABC përgjatë boshtit OX
te vektori AB e barabartë me gjatësinë e bazës AB.
Drejtëza DF që kalon nëpër kulmet C dhe C 1 të trekëndëshave
paralel me boshtin OX, për faktin se pingul me boshtin OX
segmentet h dhe h 1 (lartësitë e trekëndëshave të barabartë) janë të barabartë.
Kështu, baza e trekëndëshit A 2 B 2 C 2 është paralele me bazën AB
dhe e barabartë me të në gjatësi (pasi kulmi C 1 zhvendoset në raport me C me sasinë AB).
Trekëndëshat A 2 B 2 C 2 dhe ABC janë të barabartë në tre brinjë.
Prandaj, këndet ∠A 1 ∠B ∠C 2 që formojnë një kënd të drejtë janë të barabartë me këndet e trekëndëshit ABC.
=> Shuma e këndeve të një trekëndëshi është 180°

Me lëvizjet - "përkthime", e ashtuquajtura prova është më e shkurtër dhe më e qartë,
edhe një fëmijë mund të kuptojë pjesët e mozaikut.

Por shkolla tradicionale:

bazuar në barazinë e këndeve të brendshme të kryqëzuara të prera në vija paralele

e vlefshme në atë që jep një ide se pse është kështu,
Pse shuma e këndeve të një trekëndëshi është e barabartë me këndin e kundërt?

Sepse përndryshe linjat paralele nuk do të kishin vetitë e njohura për botën tonë.

Teoremat funksionojnë në të dyja mënyrat. Nga aksioma e drejtëzave paralele rrjedh
barazia e këndeve të shtrira tërthore dhe vertikale, dhe prej tyre - shuma e këndeve të një trekëndëshi.

Por është e vërtetë edhe e kundërta: për sa kohë që këndet e një trekëndëshi janë 180°, ka drejtëza paralele.
(i tillë që përmes një pike që nuk shtrihet në një vijë mund të vizatoni një vijë unike || të asaj të dhënë).
Nëse një ditë shfaqet një trekëndësh në botë, shuma e këndeve të të cilit nuk është e barabartë me këndin e shpalosur -
atëherë paralelet do të pushojnë së qeni paralele, e gjithë bota do të jetë e përkulur dhe e anuar.

Nëse vija me modele trekëndëshi vendosen njëra mbi tjetrën -
ju mund të mbuloni të gjithë fushën me një model të përsëritur, si një dysheme me pllaka:

ju mund të gjurmoni forma të ndryshme në një rrjet të tillë - gjashtëkëndësha, rombe,
poligone me yje dhe merrni një shumëllojshmëri parketesh

Veshja e një avioni me parket nuk është vetëm një lojë zbavitëse, por edhe një problem matematikor përkatës:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Meqenëse çdo katërkëndësh është një drejtkëndësh, katror, ​​romb, etj.
mund të përbëhet nga dy trekëndësha,
respektivisht shuma e këndeve të një katërkëndëshi: 180° + 180° = 360°

Trekëndëshat identikë dykëndësh janë palosur në katrorë në mënyra të ndryshme.
Një katror i vogël prej 2 pjesësh. Mesatarisht 4. Dhe më i madhi nga 8.
Sa figura ka në vizatim, i përbërë nga 6 trekëndësha?

A mund të vërtetoni se shuma e këndeve në një trekëndësh është e barabartë me 180 gradë? dhe mori përgjigjen më të mirë

Përgjigje nga Top_ed[guru]
Pse të provoni diçka që tashmë është vërtetuar shumë, shumë kohë më parë.
Teorema e shumës së këndit të trekëndëshit, një teoremë klasike e gjeometrisë Euklidiane, thotë se
Shuma e këndeve të një trekëndëshi është 180°.
Le të jetë ABC një trekëndësh arbitrar. Le të vizatojmë një vijë përmes kulmit B paralel me drejtëzën AC. Le të shënojmë pikën D në të në mënyrë që pikat A dhe D të shtrihen në anët e kundërta të drejtëzës BC.
Këndet DBC dhe ACB janë kongruentë si këndvështrime të brendshme të kryqëzuara të formuara nga BC transversal me vija paralele AC dhe BD. Prandaj, shuma e këndeve të një trekëndëshi në kulmet B dhe C është e barabartë me këndin ABD.
Shuma e të tre këndeve të një trekëndëshi është e barabartë me shumën e këndeve ABD dhe BAC. Meqenëse këto janë kënde të brendshme të njëanshme për AC dhe BD paralele dhe sekante AB, shuma e tyre është 180°. Teorema është vërtetuar.

Përgjigje nga Boriska (c)[guru]
Mundem, por nuk mbaj mend se si))

Përgjigje nga Murashkina[guru]
Mund. A është urgjente për ju? ? Jeni duke marrë provimin e klasës së pestë? ? :))

Përgjigje nga Oriy Semykin[guru]
1. Varet nga gjeometria e hapësirës. Në aeroplanin Riemann > 180, në shesh. Lobachevsky< 180. На Эвклидовой - равенство.
2. Vizatoni një vijë përmes kulmit paralel me njërën nga anët dhe shqyrtoni këndet e tërthorta të formuara nga dy anët dhe vija shtesë. Këndi që rezulton (180) është i barabartë me shumën e tre këndeve të trekëndëshit.

Prova në thelb mbështetet në faktin se mund të vizatohet vetëm një vijë paralele. Ka shumë gjeometri ku nuk është kështu.

Përgjigje nga Yuri[guru]
Pse të provoni atë që është vërtetuar?)) Pritini katrorin në dy pjesë nëse dëshironi diçka të re))

Përgjigje nga Nikolay Evgenievich[guru]
Nuk mundem.

Përgjigje nga Aleks Briçka[ekspert]
Po, nuk ka asgjë për të provuar këtu, ju vetëm duhet të shtoni kënde me njëri-tjetrin dhe kaq.

Përgjigje nga 2 pergjigje[guru]

Përshëndetje! Këtu është një përzgjedhje temash me përgjigje për pyetjen tuaj: A mund të vërtetoni se shuma e këndeve në një trekëndësh është e barabartë me 180 gradë?