Derivati ​​2 4. Si gjendet derivati? Shembuj zgjidhjesh

Nxjerrja e formulës për derivatin e një funksioni fuqie (x në fuqinë e a). Derivatet nga rrënjët e x janë konsideruar. Formula për derivatin e një funksioni fuqie rendit më të lartë. Shembuj të llogaritjes së derivateve.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Funksioni i fuqisë dhe rrënjët, formula dhe grafiku
Grafikët e funksionit të fuqisë

Formulat bazë

Derivati ​​i x me fuqinë e a është i barabartë me një herë x me fuqinë e një minus një:
(1) .

Derivati ​​i rrënjës së n-të të x me fuqinë mth është:
(2) .

Nxjerrja e formulës për derivatin e një funksioni fuqie

Rasti x > 0

Konsideroni një funksion fuqie të ndryshores x me eksponent a:
(3) .
Këtu a është arbitrare numër real. Le të shqyrtojmë së pari rastin.

Për të gjetur derivatin e funksionit (3), ne përdorim vetitë e një funksioni fuqie dhe e transformojmë atë në formën e mëposhtme:
.

Tani gjejmë derivatin duke përdorur:
;
.
Këtu.

Formula (1) është vërtetuar.

Nxjerrja e formulës për derivatin e një rrënjë të shkallës n të x në shkallën m

Tani merrni parasysh një funksion që është rrënja e formës së mëposhtme:
(4) .

Për të gjetur derivatin, ne e transformojmë rrënjën në një funksion fuqie:
.
Duke krahasuar me formulën (3) shohim se
.
Pastaj
.

Duke përdorur formulën (1) gjejmë derivatin:
(1) ;
;
(2) .

Në praktikë, nuk ka nevojë të mësoni përmendësh formulën (2). Është shumë më e përshtatshme që fillimisht të transformohen rrënjët në funksione të fuqisë, dhe më pas të gjenden derivatet e tyre duke përdorur formulën (1) (shih shembujt në fund të faqes).

Rasti x = 0

Nëse , atëherë funksioni i fuqisë përcaktohet për vlerën e ndryshores x = 0 . Le të gjejmë derivatin e funksionit (3) në x = 0 . Për ta bërë këtë, ne përdorim përkufizimin e një derivati:
.

Le të zëvendësojmë x = 0 :
.
Në këtë rast, me derivat kuptojmë kufirin e djathtë për të cilin .

Kështu gjetëm:
.
Nga kjo është e qartë se për , .
Në , .
Në , .
Ky rezultat është marrë gjithashtu nga formula (1):
(1) .
Prandaj, formula (1) është gjithashtu e vlefshme për x = 0 .

Rasti x< 0

Konsideroni përsëri funksionin (3):
(3) .
Për vlera të caktuara të konstantës a, ajo përcaktohet edhe për vlerat negative të ndryshores x. Domethënë, le të jetë a një numër racional. Atëherë mund të përfaqësohet si një fraksion i pakalueshëm:
,
ku m dhe n janë numra të plotë që nuk kanë pjesëtues të përbashkët.

Nëse n është tek, atëherë funksioni i fuqisë përcaktohet edhe për vlerat negative të ndryshores x. Për shembull, kur n = 3 dhe m = 1 ne kemi rrënjën kubike të x:
.
Është përcaktuar edhe për vlerat negative të ndryshores x.

Le të gjejmë derivatin e funksionit të fuqisë (3) për dhe për vlerat racionale të konstantës a për të cilën është përcaktuar. Për ta bërë këtë, le të përfaqësojmë x në formën e mëposhtme:
.
Pastaj,
.
Derivatin e gjejmë duke vendosur konstanten jashtë shenjës së derivatit dhe duke zbatuar rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks:

.
Këtu. Por
.
Që atëherë
.
Pastaj
.
Kjo do të thotë, formula (1) është gjithashtu e vlefshme për:
(1) .

Derivatet e rendit më të lartë

Tani le të gjejmë derivate të rendit më të lartë të funksionit të fuqisë
(3) .
Ne kemi gjetur tashmë derivatin e rendit të parë:
.

Duke marrë konstanten a jashtë shenjës së derivatit, gjejmë derivatin e rendit të dytë:
.
Në mënyrë të ngjashme, gjejmë derivate të rendit të tretë dhe të katërt:
;

.

Nga kjo është e qartë se derivat i rendit të n-të arbitrar ka formën e mëposhtme:
.

vini re, se nëse a është numri natyror , atëherë derivati ​​i n-të është konstant:
.
Atëherë të gjithë derivatet e mëpasshëm janë të barabartë me zero:
,
në .

Shembuj të llogaritjes së derivateve

Shembull

Gjeni derivatin e funksionit:
.

Le t'i kthejmë rrënjët në fuqi:
;
.
Pastaj funksioni origjinal merr formën:
.

Gjetja e derivateve të fuqive:
;
.
Derivati ​​i konstantës është zero:
.

Derivat

Llogaritja e derivatit të një funksioni matematikor (diferencimi) është një problem shumë i zakonshëm kur zgjidhet matematika e lartë. Për funksionet e thjeshta (elementare) matematikore, kjo është një çështje mjaft e thjeshtë, pasi tabelat e derivateve për funksionet elementare janë përpiluar prej kohësh dhe janë lehtësisht të arritshme. Megjithatë, gjetja e derivatit të një funksioni kompleks matematikor nuk është një detyrë e parëndësishme dhe shpesh kërkon përpjekje dhe kohë të konsiderueshme.

Gjeni derivatin në internet

Shërbimi ynë në internet ju lejon të heqni qafe llogaritjet e gjata të pakuptimta dhe gjeni derivatin në internet në një moment. Për më tepër, duke përdorur shërbimin tonë të vendosur në faqen e internetit www.site, mund të llogarisni derivat në internet si nga një funksion elementar ashtu edhe nga një shumë kompleks që nuk ka zgjidhje analitike. Përparësitë kryesore të faqes sonë në krahasim me të tjerët janë: 1) nuk ka kërkesa strikte për metodën e futjes së një funksioni matematikor për llogaritjen e derivatit (për shembull, kur futni funksionin sine x, mund ta futni atë si sin x ose sin (x) ose mëkat[x], etj. d.); 2) llogaritja e derivateve në internet ndodh menjëherë në modalitet online dhe absolutisht falas; 3) ne ju lejojmë të gjeni derivatin e një funksioni ndonjë porosi, ndryshimi i renditjes së derivatit është shumë i lehtë dhe i kuptueshëm; 4) ne ju lejojmë të gjeni derivatin e pothuajse çdo funksioni matematikor në internet, madje edhe ato shumë komplekse që nuk mund të zgjidhen nga shërbime të tjera. Përgjigja e dhënë është gjithmonë e saktë dhe nuk mund të përmbajë gabime.

Përdorimi i serverit tonë do t'ju lejojë të 1) llogarisni derivatin në internet për ju, duke eliminuar llogaritjet që kërkojnë kohë dhe të lodhshme gjatë të cilave mund të bëni një gabim ose gabim shtypi; 2) nëse e llogaritni vetë derivatin e një funksioni matematikor, atëherë ne ju ofrojmë mundësinë të krahasoni rezultatin e marrë me llogaritjet e shërbimit tonë dhe të siguroheni që zgjidhja është e saktë ose të gjeni një gabim që ka depërtuar; 3) përdorni shërbimin tonë në vend të përdorimit të tabelave të derivateve të funksioneve të thjeshta, ku shpesh kërkon kohë për të gjetur funksionin e dëshiruar.

E tëra çfarë ju duhet të bëni është gjeni derivatin në internet- është për të përdorur shërbimin tonë në

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le ta shohim menjëherë funksioni i anasjelltë. Cili funksion është inversi i funksionit eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? Sigurisht, .

Derivati ​​i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit.
2. Cili është derivati ​​i funksionit?

Përgjigjet: Logaritmi eksponencial dhe natyror janë funksione unike të thjeshta nga një këndvështrim derivat. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo eshte e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Matematikanët e quajnë diferencialin të njëjtën rritje të një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - një numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

1. në një pikë;
2. në një pikë;
3. në një pikë;
4. në pikën.

Zgjidhjet:

1. (derivati ​​është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi kjo funksion linear, mbani mend?);

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të prezantojmë një funksion të ri dhe të gjejmë rritjen e tij:

Derivat:

Shembuj:

1. Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
2. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta reduktojmë funksionin tonë në një bazë të re:

Për ta bërë këtë, ne do të përdorim një rregull të thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

Ka ndodhur?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet më në formë të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.

Vini re se këtu është herësi i dy funksioneve, kështu që ne zbatojmë rregullin përkatës të diferencimit:

Në këtë shembull, produkti i dy funksioneve:

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati ​​merret shumë thjesht:

Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike nuk gjenden pothuajse kurrë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.

Derivat i një funksioni kompleks.

Cfare ndodhi " funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë me një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt në rend të kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Cfare ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Me fjale te tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin tonë,.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: fillimisht ju e vendosni në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Një tipar i rëndësishëm i funksioneve komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

1. Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
   Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
2. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
3. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
4. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
5. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembullin origjinal, duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë më në fund rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky është tashmë një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne ende do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë radhe do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksioni përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati ​​i shumës:

Derivati ​​i produktit:

Derivati ​​i herësit:

Derivati ​​i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

1. Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
2. Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
3. Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Vërtetimi dhe nxjerrja e formulave për derivatin e eksponencialit (e në fuqinë x) dhe funksionin eksponencial (a në fuqinë x). Shembuj të llogaritjes së derivateve të e^2x, e^3x dhe e^nx. Formulat për derivatet e rendit më të lartë.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Funksioni eksponencial - vetitë, formulat, grafiku
Eksponenti, e në fuqinë x - vetitë, formulat, grafiku

Formulat bazë

Derivati ​​i një eksponenti është i barabartë me vetë eksponentin (derivati ​​i e në fuqinë x është i barabartë me e me fuqinë x):
(1) (e x )′ = e x.

Derivati ​​i një funksioni eksponencial me bazë a është i barabartë me vetë funksionin e shumëzuar me logaritmin natyror të a:
(2) .

Një eksponencial është një funksion eksponencial, baza e të cilit është e barabartë me numrin e, i cili është kufiri i mëposhtëm:
.
Këtu mund të jetë ose një numër natyror ose një numër real. Më pas, nxjerrim formulën (1) për derivatin e eksponencialit.

Nxjerrja e formulës së derivatit eksponencial

Konsideroni eksponencialin, e ndaj fuqisë x:
y = e x.
Ky funksion është i përcaktuar për të gjithë. Le të gjejmë derivatin e tij në lidhje me ndryshoren x. Sipas përkufizimit, derivati ​​është kufiri i mëposhtëm:
(3) .

Le ta transformojmë këtë shprehje për ta reduktuar në të njohurat vetitë matematikore dhe rregullat. Për ta bërë këtë na duhen faktet e mëposhtme:
A) Vetia e eksponentit:
(4) ;
B) Vetia e logaritmit:
(5) ;
NË) Vazhdimësia e logaritmit dhe vetia e kufijve për një funksion të vazhdueshëm:
(6) .
Këtu është një funksion që ka një kufi dhe ky kufi është pozitiv.
G) Kuptimi i kufirit të dytë të shquar:
(7) .

Le t'i zbatojmë këto fakte në kufirin tonë (3). Ne përdorim pronën (4):
;
.

Le të bëjmë një zëvendësim. Pastaj; .
Për shkak të vazhdimësisë së eksponencialit,
.
Prandaj, kur ,. Si rezultat marrim:
.

Le të bëjmë një zëvendësim. Pastaj . Në , . Dhe ne kemi:
.

Le të zbatojmë vetinë e logaritmit (5):
. Pastaj
.

Le të aplikojmë pronën (6). Meqenëse ekziston një kufi pozitiv dhe logaritmi është i vazhdueshëm, atëherë:
.
Këtu kemi përdorur edhe të dytën kufi i shquar(7). Pastaj
.

Kështu, kemi marrë formulën (1) për derivatin e eksponencialit.

Nxjerrja e formulës për derivatin e një funksioni eksponencial

Tani nxjerrim formulën (2) për derivatin e funksionit eksponencial me një bazë të shkallës a. Ne besojmë se dhe. Pastaj funksioni eksponencial
(8)
Përcaktuar për të gjithë.

Le të transformojmë formulën (8). Për ta bërë këtë, ne do të përdorim vetitë e funksionit eksponencial dhe logaritmit.
;
.
Pra, ne e transformuam formulën (8) në formën e mëposhtme:
.

Derivatet e rendit më të lartë të e në fuqinë x

Tani le të gjejmë derivatet e rendit më të lartë. Le të shohim së pari eksponentin:
(14) .
(1) .

Shohim që derivati ​​i funksionit (14) është i barabartë me vetë funksionin (14). Duke diferencuar (1), marrim derivate të rendit të dytë dhe të tretë:
;
.

Kjo tregon se derivati ​​i rendit n është gjithashtu i barabartë me funksionin origjinal:
.

Derivatet e rendit më të lartë të funksionit eksponencial

Tani merrni parasysh një funksion eksponencial me një bazë të shkallës a:
.
Ne gjetëm derivatin e tij të rendit të parë:
(15) .

Duke diferencuar (15), marrim derivate të rendit të dytë dhe të tretë:
;
.

Shohim se çdo diferencim çon në shumëzimin e funksionit origjinal me . Prandaj, derivati ​​i rendit të n-të ka formën e mëposhtme:
.

Shiko gjithashtu:

Nëse ndiqni përkufizimin, atëherë derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit Δ y tek rritja e argumentit Δ x:

Gjithçka duket se është e qartë. Por provoni të përdorni këtë formulë për të llogaritur, të themi, derivatin e funksionit f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x mëkat x. Nëse bëni gjithçka sipas definicionit, atëherë pas nja dy faqesh llogaritje thjesht do të bini në gjumë. Prandaj, ka mënyra më të thjeshta dhe më efektive.

Për të filluar, vërejmë se nga e gjithë shumëllojshmëria e funksioneve mund të dallojmë të ashtuquajturat funksione elementare. Këto janë shprehje relativisht të thjeshta, derivatet e të cilave janë llogaritur dhe renditur prej kohësh. Funksione të tilla janë mjaft të lehta për t'u mbajtur mend - së bashku me derivatet e tyre.

Derivatet e funksioneve elementare

Funksionet elementare janë të gjitha ato të listuara më poshtë. Derivatet e këtyre funksioneve duhet të njihen përmendësh. Për më tepër, nuk është aspak e vështirë t'i mësosh përmendësh - kjo është arsyeja pse ato janë elementare.

Pra, derivatet e funksioneve elementare:

Emri	Funksioni	Derivat
Konstante	f(x) = C, C ∈ R	0 (po, zero!)
Fuqia me eksponent racional	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = mëkat x	cos x
Kosinusi	f(x) = cos x	−mëkat x(minus sinus)
Tangjente	f(x) = tg x	1/ko 2 x
Kotangjente	f(x) = ctg x	− 1/mëkati 2 x
Logaritmi natyror	f(x) = log x	1/x
Logaritmi arbitrar	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Funksioni eksponencial	f(x) = e x	e x(asgje nuk ka ndryshuar)

Nëse një funksion elementar shumëzohet me një konstante arbitrare, atëherë derivati ​​i funksionit të ri gjithashtu llogaritet lehtësisht:

(C · f)’ = C · f ’.

Në përgjithësi, konstantet mund të hiqen nga shenja e derivatit. Për shembull:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natyrisht, funksionet elementare mund t'i shtohen njëri-tjetrit, të shumëzohen, të ndahen - dhe shumë më tepër. Kështu do të shfaqen funksione të reja, jo më veçanërisht elementare, por edhe të diferencuara sipas rregullave të caktuara. Këto rregulla diskutohen më poshtë.

Derivati ​​i shumës dhe diferencës

Le të jepen funksionet f(x) Dhe g(x), derivatet e të cilave janë të njohura për ne. Për shembull, mund të merrni funksionet elementare të diskutuara më sipër. Atëherë mund të gjeni derivatin e shumës dhe ndryshimit të këtyre funksioneve:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Pra, derivati ​​i shumës (diferencës) i dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve. Mund të ketë më shumë terma. Për shembull, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Në mënyrë të rreptë, nuk ka asnjë koncept të "zbritjes" në algjebër. Ekziston një koncept i "elementit negativ". Prandaj dallimi f − g mund të rishkruhet si shumë f+ (−1) g, dhe pastaj mbetet vetëm një formulë - derivati ​​i shumës.

f(x) = x 2 + mëkat x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksioni f(x) është shuma e dy funksioneve elementare, pra:

f ’(x) = (x 2 + mëkat x)’ = (x 2)’ + (mëkat x)’ = 2x+ cos x;

Ne arsyetojmë në mënyrë të ngjashme për funksionin g(x). Vetëm ka tashmë tre terma (nga pikëpamja e algjebrës):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Përgjigje:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat i produktit

Matematika është një shkencë logjike, kështu që shumë njerëz besojnë se nëse derivati ​​i një shume është i barabartë me shumën e derivateve, atëherë derivati ​​i produktit grevë">i barabartë me produktin e derivateve. Por vidhosni! Derivati ​​i një produkti llogaritet duke përdorur një formulë krejtësisht të ndryshme. Domethënë:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula është e thjeshtë, por shpesh harrohet. Dhe jo vetëm nxënësit e shkollës, por edhe studentët. Rezultati është problemet e zgjidhura gabimisht.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksioni f(x) është produkt i dy funksioneve elementare, kështu që gjithçka është e thjeshtë:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (ko x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− mëkat x) = x 2 (3 cos x − x mëkat x)

Funksioni g(x) shumëzuesi i parë është pak më i ndërlikuar, por skema e përgjithshme nuk ndryshon. Natyrisht, faktori i parë i funksionit g(x) është një polinom dhe derivati ​​i tij është derivati ​​i shumës. Ne kemi:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Përgjigje:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x mëkat x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Ju lutemi vini re se në hapin e fundit derivati ​​faktorizohet. Formalisht, kjo nuk ka nevojë të bëhet, por shumica e derivateve nuk llogariten më vete, por për të ekzaminuar funksionin. Kjo do të thotë që më tej derivati ​​do të barazohet me zero, do të përcaktohen shenjat e tij etj. Për një rast të tillë, është më mirë të faktorizohet një shprehje.

Nëse ka dy funksione f(x) Dhe g(x), dhe g(x) ≠ 0 në grupin që na intereson, mund të përcaktojmë një funksion të ri h(x) = f(x)/g(x). Për një funksion të tillë mund të gjeni edhe derivatin:

Jo i dobët, a? Nga erdhi minusi? Pse g 2? Dhe si kjo! Kjo është një nga formulat më komplekse - nuk mund ta kuptoni pa një shishe. Prandaj, është më mirë ta studiojmë atë me shembuj specifik.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve:

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese përmbajnë funksione elementare, kështu që gjithçka që na nevojitet është formula për derivatin e herësit:

Sipas traditës, le të faktorizojmë numëruesin - kjo do ta thjeshtojë shumë përgjigjen:

Një funksion kompleks nuk është domosdoshmërisht një formulë gjysmë kilometër e gjatë. Për shembull, mjafton të marrësh funksionin f(x) = mëkat x dhe zëvendësoni variablin x, të themi, në x 2 + ln x. Do të funksionojë f(x) = mëkat ( x 2 + ln x) - ky është një funksion kompleks. Ai gjithashtu ka një derivat, por nuk do të jetë e mundur ta gjesh atë duke përdorur rregullat e diskutuara më sipër.

Cfare duhet te bej? Në raste të tilla, zëvendësimi i një ndryshoreje dhe formule për derivatin e një funksioni kompleks ndihmon:

f ’(x) = f ’(t) · t', Nëse x zëvendësohet nga t(x).

Si rregull, situata me të kuptuarit e kësaj formule është edhe më e trishtuar sesa me derivatin e herësit. Prandaj, është gjithashtu më mirë të shpjegohet me shembuj specifikë, me pershkrim i detajuarçdo hap.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = mëkat ( x 2 + ln x)

Vini re se nëse në funksion f(x) në vend të shprehjes 2 x+ 3 do të jetë e lehtë x, atëherë marrim një funksion elementar f(x) = e x. Prandaj, ne bëjmë një zëvendësim: le 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Ne kërkojmë derivatin e një funksioni kompleks duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dhe tani - vëmendje! Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt: t = 2x+ 3. Ne marrim:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Tani le të shohim funksionin g(x). Është e qartë se ajo duhet të zëvendësohet x 2 + ln x = t. Ne kemi:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (mëkat t)’ · t’ = cos t · t ’

Zëvendësimi i kundërt: t = x 2 + ln x. Pastaj:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = kosto ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Kjo eshte e gjitha! Siç shihet nga shprehja e fundit, i gjithë problemi është reduktuar në llogaritjen e shumës derivative.

Përgjigje:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) si ( x 2 + ln x).

Shumë shpesh në mësimet e mia, në vend të termit "derivativ", përdor fjalën "prim". Për shembull, goditja e shumës është e barabartë me shumën e goditjeve. A është kjo më e qartë? Epo, kjo është mirë.

Kështu, llogaritja e derivatit zbret në heqjen e të njëjtave goditje sipas rregullave të diskutuara më sipër. Si shembull i fundit, le të kthehemi te fuqia derivatore me një eksponent racional:

(x n)’ = n · x n − 1

Pak njerëz e dinë këtë në rol n mund të jetë një numër thyesor. Për shembull, rrënja është x 0.5. Po sikur të ketë diçka të zbukuruar nën rrënjë? Përsëri, rezultati do të jetë një funksion kompleks - atyre u pëlqen t'u japin ndërtime të tilla testet dhe provimet.

Detyrë. Gjeni derivatin e funksionit:

Së pari, le të rishkruajmë rrënjën si një fuqi me një eksponent racional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Tani bëjmë një zëvendësim: le x 2 + 8x − 7 = t. Derivatin e gjejmë duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Le të bëjmë zëvendësimin e kundërt: t = x 2 + 8x− 7. Kemi:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Më në fund, kthehemi te rrënjët: