Si të shënojmë numrat me pi në rrethin e numrave? Mësimi "Përkufizimi i sinusit dhe kosinusit në rrethin njësi" Përmbledhje dhe formula themelore.

Mësim dhe prezantim me temën: "Rrethi i numrave në planin koordinativ"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Manualë dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 10 nga 1C
Probleme algjebrike me parametra, klasat 9–11
Ne zgjidhim probleme në gjeometri. Detyrat ndërvepruese të ndërtimit për klasat 7-10

Çfarë do të studiojmë:
1. Përkufizimi.
2. Koordinata të rëndësishme të rrethit numerik.
3. Si gjendet koordinata e rrethit numerik?
4. Tabela e koordinatave kryesore të rrethit numerik.
5. Shembuj të zgjidhjes së problemeve.

Përkufizimi i rrethit të numrave në planin koordinativ

Le të vendosim rrethin numerik në planin koordinativ në mënyrë që qendra e rrethit të përputhet me origjinën e koordinatave dhe rrezja e tij të merret si segment njësi. Pika e fillimit të rrethit numerik A është rreshtuar me pikën (1;0).

Çdo pikë në rrethin e numrave ka koordinatat e veta x dhe y në planin koordinativ dhe:
1) për $x > 0$, $y > 0$ - në tremujorin e parë;
2) për $x 0$ - në tremujorin e dytë;
3) për $x 4) për $x > 0$, $y
Për çdo pikë $M(x; y)$ në rrethin e numrave plotësohen pabarazitë e mëposhtme: $-1
Mbani mend ekuacionin e rrethit të numrave: $x^2 + y^2 = 1$.

Është e rëndësishme që ne të mësojmë se si të gjejmë koordinatat e pikave në rrethin numerik të paraqitur në figurë.

Le të gjejmë koordinatat e pikës $\frac(π)(4)$

Pika $M(\frac(π)(4))$ është mesi i tremujorit të parë. Le të hedhim MR pingul nga pika M në drejtëzën OA dhe të marrim parasysh trekëndëshin OMP meqenëse harku AM është gjysma e harkut AB, atëherë $∠MOP=45°$.
Pra, trekëndëshi OMP është dykëndësh trekëndësh kënddrejtë dhe $OP=MP$, d.m.th. në pikën M abshisa dhe ordinata janë të barabarta: $x = y$.
Meqenëse koordinatat e pikës $M(x;y)$ plotësojnë ekuacionin e rrethit të numrave, atëherë për t'i gjetur ato duhet të zgjidhni sistemin e ekuacioneve:
$\fillojnë (rastet) x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \fund (rastet)$
Pasi e kemi zgjidhur këtë sistem, marrim: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Kjo do të thotë që koordinatat e pikës M që i korrespondon numrit $\frac(π)(4)$ do të jenë $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Në mënyrë të ngjashme llogariten koordinatat e pikave të paraqitura në figurën e mëparshme.

Koordinatat e pikave në rrethin numerik

Le të shohim shembuj

Shembulli 1.
Gjeni koordinatat e një pike në rrethin numerik: $P(45\frac(π)(4))$.

Zgjidhja:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Kjo do të thotë se numri $45\frac(π)(4)$ korrespondon me të njëjtën pikë në rrethin numerik si numri $\frac(5π)(4)$. Duke parë vlerën e pikës $\frac(5π)(4)$ në tabelë, marrim: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Shembulli 2.
Gjeni koordinatat e një pike në rrethin numerik: $P(-\frac(37π)(3))$.

Zgjidhja:

Sepse numrat $t$ dhe $t+2π*k$, ku k është një numër i plotë, korrespondojnë me të njëjtën pikë në rrethin e numrave, atëherë:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Kjo do të thotë që numri $-\frac(37π)(3)$ korrespondon me të njëjtën pikë në rrethin e numrave si numri $–\frac(π)(3)$ dhe numri –$\frac(π) (3)$ korrespondon me të njëjtën pikë si $\frac(5π)(3)$. Duke parë vlerën e pikës $\frac(5π)(3)$ në tabelë, marrim:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Shembulli 3.
Gjeni pika në rrethin e numrave me ordinatë $y =\frac(1)(2)$ dhe shkruani me cilët numra $t$ korrespondojnë?

Zgjidhja:
Drejtëza $y =\frac(1)(2)$ pret rrethin numerik në pikat M dhe P. Pika M korrespondon me numrin $\frac(π)(6)$ (nga të dhënat e tabelës). Kjo do të thotë çdo numër i formës: $\frac(π)(6)+2π*k$. Pika P i korrespondon numrit $\frac(5π)(6)$, dhe rrjedhimisht çdo numri të formës $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Ne morëm, siç thuhet shpesh në raste të tilla, dy seri vlerash:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ dhe $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Përgjigje: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ dhe $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Shembulli 4.
Gjeni pika në rrethin numerik me abshisë $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ dhe shkruani se me cilët numra $t$ korrespondojnë.

Zgjidhja:

Drejtëza $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ pret rrethin numerik në pikat M dhe P. Pabarazia $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ korrespondon te pikat e harkut PM. Pika M korrespondon me numrin $3\frac(π)(4)$ (nga të dhënat e tabelës). Kjo do të thotë çdo numër i formës $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Pika P i korrespondon numrit $-\frac(3π)(4)$, dhe rrjedhimisht çdo numri të formës $-\frac(3π)(4) +2π*k$.

Pastaj marrim $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Përgjigje: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

1) Gjeni koordinatat e një pike në rrethin numerik: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Gjeni koordinatat e një pike në rrethin numerik: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Gjeni pika në rrethin e numrave me ordinatë $y = -\frac(1)(2)$ dhe shkruani se me cilët numra korrespondojnë $t$.
4) Gjeni pika në rrethin numerik me ordinatë $y ≥ -\frac(1)(2)$ dhe shkruani se me cilët numra $t$ korrespondojnë.
5) Gjeni pika në rrethin numerik me abshisën $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ dhe shkruani se me cilët numra korrespondojnë $t$.

Kur studion trigonometrinë në shkollë, çdo nxënës përballet me konceptin shumë interesant të "rrethit të numrave". Nga aftësia mësues shkolle Shpjegimi se çfarë është dhe pse nevojitet varet nga sa mirë studenti do ta bëjë trigonometrinë më vonë. Fatkeqësisht, jo çdo mësues mund ta shpjegojë qartë këtë material. Si rezultat, shumë studentë janë të hutuar edhe për mënyrën e shënimit pika në rrethin e numrave. Nëse e lexoni këtë artikull deri në fund, do të mësoni se si ta bëni këtë pa asnjë problem.

Pra, le të fillojmë. Le të vizatojmë një rreth rrezja e të cilit është 1. Le të shënojmë pikën "më të djathtë" të këtij rrethi me shkronjën O:

Urime, sapo keni vizatuar një rreth njësi. Meqenëse rrezja e këtij rrethi është 1, gjatësia e tij është .

Për të gjithë numër real ju mund të përputheni me gjatësinë e trajektores përgjatë rrethit të numrave nga pika O. Drejtimi pozitiv merret si drejtimi i lëvizjes në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Për negative - në drejtim të akrepave të orës:

Vendndodhja e pikave në rrethin numerik

Siç e kemi vërejtur tashmë, gjatësia e rrethit të numrave (rrethi njësi) është e barabartë me . Atëherë ku do të vendoset numri në këtë rreth? Natyrisht, nga pika O Në të kundërt të akrepave të orës duhet të kalojmë gjysmën e gjatësisë së rrethit dhe do të gjejmë veten në pikën e dëshiruar. Le ta shënojmë me shkronjë B:

Vini re se e njëjta pikë mund të arrihet duke ecur një gjysmërreth në drejtim negativ. Më pas do ta vizatojmë numrin në rrethin e njësisë. Kjo do të thotë, numrat korrespondojnë me të njëjtën pikë.

Për më tepër, kjo pikë e njëjtë korrespondon edhe me numrat , , , dhe, në përgjithësi, me një grup të pafund numrash që mund të shkruhet në formën , ku , që është, i takon grupit të numrave të plotë. E gjithë kjo sepse nga pika B ju mund të bëni një udhëtim "rreth botës" në çdo drejtim (shtoni ose zbrisni perimetrin) dhe të arrini në të njëjtën pikë. Ne marrim një përfundim të rëndësishëm që ju duhet të kuptoni dhe mbani mend.

Çdo numër korrespondon me një pikë të vetme në rrethin e numrave. Por çdo pikë në rrethin e numrave korrespondon me një numër të pafund numrash.

Tani le ta ndajmë gjysmërrethin e sipërm të rrethit të numrave në harqe me gjatësi të barabartë me një pikë C. Është e lehtë të shihet se gjatësia e harkut O.C. e barabartë me . Tani le të shtyjmë nga pika C një hark me të njëjtën gjatësi në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Si rezultat, ne do të arrijmë në pikën B. Rezultati është mjaft i pritshëm, pasi. Le ta vendosim përsëri këtë hark në të njëjtin drejtim, por tani nga pika B. Si rezultat, ne do të arrijmë në pikën D, e cila tashmë do të korrespondojë me numrin:

Vini re përsëri se kjo pikë korrespondon jo vetëm me numrin, por edhe, për shembull, me numrin, sepse kjo pikë mund të arrihet duke u larguar nga pika. Oçerek rrethi në drejtim të akrepave të orës (drejtimi negativ).

Dhe, në përgjithësi, vërejmë përsëri se kjo pikë korrespondon me pafundësisht shumë numra që mund të shkruhen në formë . Por ato mund të shkruhen edhe në formën . Ose, nëse preferoni, në formën e . Të gjitha këto regjistrime janë absolutisht ekuivalente dhe ato mund të merren nga njëri-tjetri.

Tani le ta ndajmë harkun në O.C. gjysmë pikë M. Tani kuptoni se sa është gjatësia e harkut OM? Kjo është e drejtë, gjysma e harkut O.C.. Kjo është . Me cilët numra korrespondon pika? M në rrethin e numrave? Jam i sigurt se tani do të kuptoni se këta numra mund të shkruhen si .

Por mund të bëhet ndryshe. Le të marrim. Atëherë e marrim atë . Kjo do të thotë, këta numra mund të shkruhen në formë . I njëjti rezultat mund të merret duke përdorur rrethin e numrave. Siç thashë tashmë, të dy regjistrimet janë ekuivalente dhe ato mund të merren nga njëri-tjetri.

Tani mund të jepni lehtësisht një shembull të numrave me të cilët korrespondojnë pikat N, P Dhe K në rrethin e numrave. Për shembull, numrat dhe:

Shpesh janë numrat minimalë pozitivë që merren për të përcaktuar pikat përkatëse në rrethin e numrave. Edhe pse kjo nuk është aspak e nevojshme, pika N, siç e dini tashmë, korrespondon me një numër të pafund numrash të tjerë. Përfshirë, për shembull, numrin.

Nëse e thyeni harkun O.C. në tre harqe të barabarta me pika S Dhe L, pra kjo është çështja S do të shtrihet midis pikave O Dhe L, pastaj gjatësia e harkut OS do të jetë e barabartë me , dhe gjatësia e harkut OL do të jetë e barabartë me . Duke përdorur njohuritë që keni marrë në pjesën e mëparshme të mësimit, mund të kuptoni lehtësisht se si dolën pikat e mbetura në rrethin e numrave:

Numra jo shumëfish të π në rrethin numerik

Tani le t'i bëjmë vetes pyetjen: ku duhet të shënojmë në vijën numerike pikën që i përgjigjet numrit 1? Për ta bërë këtë, duhet të filloni nga pika më "e duhur" e rrethit të njësisë O vizatoni një hark gjatësia e të cilit do të ishte e barabartë me 1. Mund të tregojmë vetëm afërsisht vendndodhjen e pikës së dëshiruar. Le të vazhdojmë si më poshtë.

Shpresoj se keni lexuar tashmë për rrethin e numrave dhe e dini pse quhet rreth numëror, ku është origjina e koordinatave në të dhe cila anë është drejtimi pozitiv. Nëse jo, atëherë vraponi! Përveç nëse, sigurisht, do të gjeni pika në rrethin e numrave.

Shënojmë numrat \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) (2)\)

Siç e dini nga artikulli i mëparshëm, rrezja e rrethit të numrave është \(1\). Kjo do të thotë se perimetri është i barabartë me \(2π\) (llogaritur duke përdorur formulën \(l=2πR\)). Duke marrë parasysh këtë, ne shënojmë \(2π\) në rrethin e numrave. Për të shënuar këtë numër, duhet të shkojmë nga \(0\) përgjatë rrethit të numrave në një distancë të barabartë me \(2π\) në drejtim pozitiv, dhe meqenëse gjatësia e rrethit është \(2π\), ai kthehet se ne do të bëjmë kthesë e plotë. Kjo do të thotë, numri \(2π\) dhe \(0\) korrespondojnë me të njëjtën pikë. Mos u shqetësoni, vlera të shumta për një pikë janë normale për një rreth numrash.

Tani le të shënojmë numrin \(π\) në rrethin e numrave. \(π\) është gjysma e \(2π\). Kështu, për të shënuar këtë numër dhe pikën përkatëse, duhet të kaloni gjysmë rrethi nga \(0\) në drejtim pozitiv.

Le të shënojmë pikën \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) është gjysma e \(π\), prandaj, për të shënuar këtë numër, duhet të shkoni nga \(0\) në drejtim pozitiv një distancë të barabartë me gjysmën e \( π\), që është çerek rrethi.

Le të shënojmë pikat në rrethin \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Ne lëvizim të njëjtën distancë si herën e kaluar, por në një drejtim negativ.

Le të vendosim \(-π\). Për ta bërë këtë, le të ecim një distancë të barabartë me gjysmë rrethi në drejtim negativ.

Tani le të shohim një shembull më të ndërlikuar. Le të shënojmë numrin \(\frac(3π)(2)\) në rreth. Për ta bërë këtë, ne përkthejmë fraksionin \(\frac(3)(2)\) në \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ), d.m.th. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Kjo do të thotë që ju duhet të shkoni nga \(0\) në drejtim pozitiv një distancë prej gjysmë rrethi dhe një çerek tjetër.

Detyra 1. Shënoni pikat \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) në rrethin e numrave.

Shënojmë numrat \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\)

Më sipër gjetëm vlerat në pikat e kryqëzimit të rrethit të numrave me boshtet \(x\) dhe \(y\). Tani le të përcaktojmë pozicionin e pikave të ndërmjetme. Së pari, le të vizatojmë pikat \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) dhe \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) është gjysma e \(\frac(π)(2)\) (që është, \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , pra distanca \(\frac(π)(4)\) është gjysmë e një çerek rrethi.

\(\frac(π)(4)\) është një e treta e \(π\) (me fjalë të tjera, \(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), kështu që distanca \ (\frac(π)(3)\) është një e treta e gjysmërrethit.

\(\frac(π)(6)\) është gjysma e \(\frac(π)(3)\) (në fund të fundit, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) pra distanca \(\frac(π)(6)\) është gjysma e distancës \(\frac(π)(3)\) .

Kështu janë vendosur ato në lidhje me njëri-tjetrin:

Koment: Vendndodhja e pikave me vlerë \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) është më mirë të mbani mend. Pa to, rrethi i numrave, si një kompjuter pa monitor, duket të jetë një gjë e dobishme, por është jashtëzakonisht e papërshtatshme për t'u përdorur.

Distancat e ndryshme në rreth tregohen qartë:

Ne shënojmë numrat \(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

Le të shënojmë pikën në rrethin \(\frac(7π)(6)\) , për ta bërë këtë ne kryejmë transformimet e mëposhtme: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . Nga kjo mund të shohim se nga zero në drejtimin pozitiv duhet të udhëtojmë një distancë \(π\), dhe më pas një tjetër \(\frac(π)(6)\) .

Le të shënojmë pikën \(-\)\(\frac(4π)(3)\) në rreth. Transformimi: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Kjo do të thotë që nga \(0\) duhet të shkoni në drejtim negativ distancën \(π\) dhe gjithashtu \(\frac(π)(3)\) .

Le të vizatojmë pikën \(\frac(7π)(4)\) , për ta bërë këtë ne transformojmë \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4 )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π )(4) \) . Kjo do të thotë që për të vendosur një pikë me vlerën \(\frac(7π)(4)\), duhet të shkoni nga pika me vlerë \(2π\) në anën negative në një distancë \(\ frac(π)(4)\) .

Detyra 2. Shënoni pikat \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) në rrethi i numrave (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

Ne shënojmë numrat \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

Le të shkruajmë \(10π\) në formën \(5 \cdot 2π\). Kujtoni se \(2π\) është distanca e barabartë me gjatësinë rrathë, kështu që për të shënuar pikën \(10π\), duhet të shkoni nga zero në një distancë të barabartë me rrathët \(5\). Nuk është e vështirë të merret me mend se do ta gjejmë veten përsëri në pikën \(0\), thjesht bëjmë pesë revolucione.

Nga ky shembull mund të konkludojmë:

Numrat me një ndryshim prej \(2πn\), ku \(n∈Z\) (d.m.th., \(n\) është çdo numër i plotë) korrespondojnë me të njëjtën pikë.

Kjo do të thotë, për të vendosur një numër me një vlerë më të madhe se \(2π\) (ose më pak se \(-2π\)), duhet të nxirrni prej tij një numër çift \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) dhe hidhni. Kështu, ne do të heqim "revolucionet boshe" nga numrat që nuk ndikojnë në pozicionin e pikës.

Një përfundim tjetër:

Pika me të cilën korrespondon \(0\) korrespondon gjithashtu me të gjitha madhësitë çift \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Tani le të aplikojmë \(-3π\) në rreth. \(-3π=-π-2π\), që do të thotë \(-3π\) dhe \(–π\) janë në të njëjtin vend në rreth (pasi ato ndryshojnë nga një "kthesë e zbrazët" në \(-2π \)).

Nga rruga, të gjitha të çuditshme \(π\) do të jenë gjithashtu atje.

Pika me të cilën korrespondon \(π\) korrespondon gjithashtu me të gjitha sasitë tek \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Tani le të shënojmë numrin \(\frac(7π)(2)\) . Si zakonisht, ne transformojmë: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Ne hedhim dy pi, dhe rezulton se për të përcaktuar numrin \(\frac(7π)(2)\) ju duhet të shkoni nga zero në drejtim pozitiv në një distancë të barabartë me \(π+\)\(\ frac(π)(2)\ ) (d.m.th. një gjysmë rrethi dhe një çerek tjetër).

Nxënësit e shkollave të mesme nuk e dinë kurrë se kur mund të kenë probleme me studimet. Çdo lëndë e studiuar në shkollë, nga gjuha ruse deri te siguria e jetës, mund të shkaktojë vështirësi. Një nga disiplinat akademike Lënda që i bën nxënësit të djersiten rregullisht është algjebra. Shkenca algjebrike fillon të terrorizojë mendjet e fëmijëve që në klasën e shtatë dhe e vazhdon këtë biznes në vitet e dhjetë dhe të njëmbëdhjetë të studimit. Adoleshentët mund ta bëjnë jetën e tyre më të lehtë duke përdorur një sërë mjetesh, të cilat pa ndryshim përfshijnë zgjidhës.

Koleksioni i GDZ për klasat 10-11 në algjebër (Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva)është një shtesë e shkëlqyer për librin kryesor. Nëpërmjet informacion referencë nxënësi është i gatshëm të zgjidhë çdo ushtrim. Detyrat përfshijnë analizën e temave të mëposhtme:

• funksionet dhe ekuacionet trigonometrike;
• logaritme;
• gradë.

Përgjigjet dhe komentet e dhëna kanë shënimet e nevojshme të autorit që patjetër do ta ndihmojnë fëmijën.

Pse keni nevojë për një zgjidhës?

Publikimi u jep të gjithë nxënësve të shkollës mundësinë që të punojnë në mënyrë të pavarur materialin dhe në rast të keqkuptimit ose mungesës së një teme, ta kalojnë vetë atë pa cenuar cilësinë. Gjithashtu, të dhënat e referencës ju lejojnë të përgatiteni në mënyrë efektive për të ardhmen e pavarur dhe testet. Studentët më kureshtarë mund të ndjekin kurrikula përpara, e cila në të ardhmen do të ndikojë pozitivisht në asimilimin e njohurive dhe një rritje të notës mesatare.

Përveç nxënësve të klasës së dhjetë dhe të njëmbëdhjetë Manuali i Alimov për algjebër për klasat 10-11 prindërit dhe mësuesit mund ta përdorin lehtësisht: për të parët do të bëhet një mjet për monitorimin e njohurive të fëmijës dhe për të dytin do të bëhet bazë për zhvillimin e materialeve të tyre dhe detyrat e testimit për aktivitetet në klasë.

Si është organizuar koleksioni

Burimi ndjek plotësisht strukturën e tekstit shkollor. Brenda, përdoruesi ka mundësinë të shikojë përgjigjet e 1624 ushtrimeve, si dhe detyrat e seksionit "Testoni veten", të ndarë në trembëdhjetë kapituj. Çelësat janë të disponueshëm 24 orë në ditë, numri mund të gjendet përmes fushës së kërkimit ose përmes navigimit të përshtatshëm.

5. FUNKSIONET TRIGONOMETRIKE TË ÇDO ARGUMENTI

§ 20. RRETI NJËSISË

948. Cila është marrëdhënia midis gjatësisë së harkut të një rrethi njësi dhe masës së radianit të tij?

949. Në rrethin e njësive, ndërtoni pika që u korrespondojnë numrave: 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... A mund të përkojë ndonjë nga këto pika? Pse?

950. Numrat jepen me formulën α = 1/2 k, Ku k= 0; ±1; ±2; ....
Ndërtoni pika në vijën numerike dhe në rrethin njësi që u korrespondojnë këtyre numrave. Sa pika të tilla do të ketë në vijën numerike dhe sa në rrethin njësi?

951. Shënoni pikat në rrethin e njësisë dhe në boshtin e numrave që korrespondojnë me numrat:
1) α = π k, k= 0; ±1, ±2, ...;
2) α = π / 2 (2k + 1), k= 0; ± 1; ±2; ...;
3) α = π k / 6 , k= 0; ±1; ±2; ....
Sa pika të tilla ka në vijën numerike dhe sa në rrethin njësi?

952. Si janë pikat që u korrespondojnë numrave të vendosura në boshtin e numrave dhe në rrethin e njësisë:
1) A Dhe - A; 2) A Dhe A±π; 3) A+ π dhe A- π; 4) A Dhe A+ 2π k, k= 0; ±1; ±2; ...?

953. Cili është ndryshimi themelor midis paraqitjes së numrave me pika në boshtin e numrave dhe paraqitjes së tyre me pika në rrethin njësi?

954. 1) Gjeni numrat më të vegjël jo negativë që u përgjigjen pikave të prerjes së rrethit njësi: a) me boshtet koordinative; b) me përgjysmues të këndeve koordinative.

2) Në çdo rast shkruani formulë e përgjithshme numrat që korrespondojnë me pikat e treguara të rrethit të njësisë.

955. Duke e ditur atë Aështë një nga numrat që i korrespondon një pike të caktuar në rrethin e njësisë, gjeni:
1) të gjithë numrat që korrespondojnë me një pikë të caktuar;
2) të gjithë numrat që korrespondojnë me një pikë në rrethin e njësisë simetrike me atë të dhënë:
a) në lidhje me boshtin x; b) në lidhje me boshtin e ordinatave; c) në lidhje me origjinën.
Zgjidheni problemin duke pranuar A = 0; π / 2 ; 1 ; 2 ; π / 6; - π / 4 .

956. Gjeni kushtin që plotësojnë numrat A, që korrespondon:
1) pikat e çerekut të parë të rrethit njësi;
2) pikat e tremujorit të 2-të të rrethit njësi;
3) pikat e çerekut të tretë të rrethit njësi;
4) pikat e çerekut të 4-të të rrethit njësi.

957. Kulmi A i një tetëkëndëshi të rregullt ABCDEFKL të brendashkruar në një rreth njësi ka koordinatat (1; 0) (Fig. 39).

1) Përcaktoni koordinatat e kulmeve të mbetura të tetëkëndëshit.
2) Krijoni një formulë të përgjithshme për harqet e rrethit të njësisë që përfundon:
a) në pikat A, C, E dhe K; b) në pikat B, D, F dhe L; c) në pikat A, B, C, D, E, F, K dhe L.

958. 1) Ndërtoni një pikë në rrethin njësi, ordinata e së cilës është 0,5. Sa pika në rrethin njësi kanë një ordinatë të dhënë? Si vendosen këto pika në lidhje me boshtin e ordinatave?

2) Matni me një raportor (me saktësi 1°) harkun më të vogël në vlerë absolute, fundi i të cilit ka një ordinatë 0,5 dhe bëni një formulë të përgjithshme për harqet e rrethit njësi që mbarojnë në pika me një ordinatë prej 0.5.

959. Zgjidh problemin 958, duke marrë ordinatën në e barabartë me:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) Ndërtoni një pikë në rrethin njësi, abshisa e së cilës është 0,5. Sa pika në rrethin njësi kanë një abshisë të dhënë? Si ndodhen këto pika në lidhje me boshtin x?

2) Matni me një raportor (me saktësi 1°) harkun më të vogël pozitiv, fundi i të cilit ka një abshisë të barabartë me 0,5 dhe hartoni një formulë të përgjithshme për harqet e rrethit njësi që përfundojnë në pika me abshisë 0,5.

961. Zgjidh problemin 960, duke marrë abshisën X e barabartë me:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. Përcaktoni koordinatat e skajeve të harqeve të rrethit të njësisë, dhënë nga formula (k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α = 30°(2 k+ 1); 2) α = π k / 3 .

963. Shprehni serinë e mëposhtme të këndeve ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α 1 = 180° k+ 120° dhe α 2 = 180° k+ 30°;

2) α 1 = π k + π / 6 dhe α 2 = π k - π / 3 ;

3) α 1 = 90° k dhe α 2 = 45° (2 k + 1);

4) α 1 = π k dhe α 2 = π / 3 (3k± 1);

5) α 1 = 120° k± 15° dhe α 2 = 120° k± 45°;

6) α 1 = π k; α2 = 2π k ± π / 3 dhe α 3 = 2l k± 2π / 3 ;

7) α 1 = 180° k+ 140°; α 2 = 180° k+ 80° dhe α 3 = 180° k+ 20°;

8) α 1 = 180° k + (-1)k 60° dhe α 2 = 180° k - (-1)k 60°.

964. Eliminoni këndet e dyfishta në formulat e mëposhtme ( k= 0-±1; ±2; ...):

1) α 1 = 90° k dhe α 2 = 60° k+ 30°;

2) α 1 = π k / 2 dhe α 2 = π k / 5 ;

3) α 1 = 1 / 4 π k dhe α 2 = 1 / 2 π k± 1/4 π;

4) α 1 = π (2 k+ 1) - π / 6 dhe α 2 = 2 / 5 π k+ 1 / 30 π;

5) α 1 = 72° k+ 36° dhe α 2 = 120° k+ 60°.