Në këtë artikull do të flasim se si të shprehim zonën e një shumëkëndëshi në të cilin mund të futet një rreth, përmes rrezes së këtij rrethi. Vlen të përmendet menjëherë se jo çdo poligon mund të përshtatet me një rreth. Sidoqoftë, nëse kjo është e mundur, atëherë formula me të cilën llogaritet sipërfaqja e një poligoni të tillë bëhet shumë e thjeshtë. Lexoni këtë artikull deri në fund ose shikoni tutorialin e bashkangjitur video dhe do të mësoni se si të shprehni sipërfaqen e një shumëkëndëshi për sa i përket rrezes së rrethit të gdhendur në të.

Formula për sipërfaqen e një shumëkëndëshi për sa i përket rrezes së rrethit të brendashkruar

Le të vizatojmë një shumëkëndësh A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, jo domosdoshmërisht i saktë, por ai në të cilin mund të futet një rreth. Më lejoni t'ju kujtoj se një rreth i brendashkruar është një rreth që prek të gjitha anët e shumëkëndëshit. Në foto është një rreth i gjelbër me një qendër në pikë O:

Ne morëm 5-gon si shembull këtu. Por në fakt, kjo nuk ka një rëndësi të madhe, pasi prova e mëtejshme është e vlefshme si për një 6-gon ashtu edhe për një 8-gon, dhe në përgjithësi për çdo "gon" arbitrar.

Nëse qendrën e rrethit të brendashkruar e lidhni me të gjitha kulmet e shumëkëndëshit, atëherë ai do të ndahet në aq trekëndësha sa ka kulme në shumëkëndëshin e dhënë. Në rastin tonë: për 5 trekëndësha. Nëse lidhim pikën O me të gjitha pikat e tangjences së rrethit të brendashkruar me anët e poligonit, atëherë ju merrni 5 segmente (në figurën më poshtë këto janë segmente Oh 1 , Oh 2 , Oh 3 , Oh 4 dhe Oh 5), të cilat janë të barabarta me rrezen e rrethit dhe pingul me anët e shumëkëndëshit në të cilin janë tërhequr. Kjo e fundit është e vërtetë, pasi rrezja e tërhequr në pikën e kontaktit është pingul me tangjenten:

Si të gjejmë zonën e poligonit tonë të rrethuar? Përgjigja është e thjeshtë. Ju duhet të shtoni zonat e të gjithë trekëndëshave që rezultojnë:

Le të shqyrtojmë se sa është sipërfaqja e një trekëndëshi. Në foton më poshtë është theksuar me të verdhë:

Është e barabartë me gjysmën e produktit të bazës A 1 A 2 në lartësi Oh 1 tërhequr në këtë bazë. Por, siç kemi zbuluar tashmë, kjo lartësi është e barabartë me rrezen e rrethit të brendashkruar. Kjo do të thotë, formula për sipërfaqen e një trekëndëshi merr formën: , Ku r- rrezja e rrethit të brendashkruar. Zonat e të gjithë trekëndëshave të mbetur gjenden në mënyrë të ngjashme. Si rezultat, zona e kërkuar e poligonit është e barabartë me:

Mund të shihet se në të gjitha termat e kësaj shume ka një faktor të përbashkët që mund të hiqet nga kllapa. Rezultati do të jetë shprehja e mëposhtme:

Kjo do të thotë, ajo që mbetet në kllapa është thjesht shuma e të gjitha anëve të poligonit, domethënë perimetri i tij P. Më shpesh në këtë formulë shprehja zëvendësohet thjesht me fq dhe këtë shkronjë e quajnë “gjysmë-perimetër”. Si rezultat, formula përfundimtare merr formën:

Kjo do të thotë, zona e një shumëkëndëshi në të cilën është gdhendur një rreth me rreze të njohur është e barabartë me produktin e kësaj rreze dhe gjysmën e perimetrit të poligonit. Ky është rezultati që synonim.

Së fundi, ai do të vërejë se një rreth mund të jetë gjithmonë i gdhendur në një trekëndësh, i cili është një rast i veçantë i një shumëkëndëshi. Prandaj, për një trekëndësh kjo formulë mund të zbatohet gjithmonë. Për shumëkëndëshat e tjerë me më shumë se 3 anë, fillimisht duhet të siguroheni që një rreth mund të jetë i gdhendur në to. Nëse po, mund ta përdorni me siguri formulë e thjeshtë dhe përdorni atë për të gjetur sipërfaqen e këtij shumëkëndëshi.

Materiali i përgatitur nga Sergey Valerievich

Kushdo që ka studiuar matematikë dhe gjeometri në shkollë i njeh këto shkenca të paktën sipërfaqësisht. Por me kalimin e kohës, nëse nuk i praktikoni ato, dija harrohet. Madje shumë besojnë se thjesht e humbën kohën duke studiuar llogaritjet gjeometrike. Megjithatë, ata e kanë gabim. Punonjësit teknikë kryejnë punë të përditshme në lidhje me llogaritjet gjeometrike. Për sa i përket llogaritjes së sipërfaqes së një shumëkëndëshi, kjo njohuri gjen zbatim edhe në jetë. Ato do të nevojiten të paktën për të llogaritur sipërfaqen e tokës. Pra, le të mësojmë se si të gjejmë sipërfaqen e një shumëkëndëshi.

Përkufizimi i shumëkëndëshit

Së pari, le të përcaktojmë se çfarë është një shumëkëndësh. Është e sheshtë figura gjeometrike, e cila u formua si rezultat i kryqëzimit të tre ose më shumë vijave të drejta. Një përkufizim tjetër i thjeshtë: një shumëkëndësh është një polivijë e mbyllur. Natyrisht, kur vijat ndërpriten, formohen pikat e kryqëzimit, numri i tyre është i barabartë me numrin e vijave që formojnë shumëkëndëshin. Pikat e kryqëzimit quhen kulme, dhe segmentet e formuara nga vijat e drejta quhen anët e shumëkëndëshit. Segmentet ngjitur të një shumëkëndëshi nuk janë në të njëjtën drejtëz. Segmentet e linjës që nuk janë ngjitur janë ato që nuk kalojnë pikat e përbashkëta.

Shuma e sipërfaqeve të trekëndëshave

Si të gjeni sipërfaqen e një shumëkëndëshi? Zona e një shumëkëndëshi është pjesa e brendshme e rrafshit që formohet nga kryqëzimi i segmenteve ose anëve të poligonit. Meqenëse një shumëkëndësh është një kombinim i figurave të tilla si një trekëndësh, romb, katror, ​​trapezoid, thjesht nuk ka një formulë universale për llogaritjen e sipërfaqes së tij. Në praktikë, më universale është metoda e ndarjes së një shumëkëndëshi në figura më të thjeshta, zona e së cilës nuk është e vështirë të gjendet. Duke shtuar shumat e sipërfaqeve të këtyre figurave të thjeshta, fitohet sipërfaqja e shumëkëndëshit.

Përmes zonës së një rrethi

Në shumicën e rasteve, një shumëkëndësh ka një formë të rregullt dhe formon një figurë me brinjë dhe kënde të barabarta ndërmjet tyre. Në këtë rast, llogaritja e sipërfaqes është shumë e thjeshtë duke përdorur një rreth të brendashkruar ose të rrethuar. Nëse zona e një rrethi dihet, atëherë ajo duhet të shumëzohet me perimetrin e shumëkëndëshit, dhe më pas produkti që rezulton pjesëtohet me 2. Rezultati është një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së një poligoni të tillë: S = ½∙P∙r., ku P është sipërfaqja e rrethit dhe r është perimetri i shumëkëndëshit.

Metoda e ndarjes së një shumëkëndëshi në forma "të përshtatshme" është më e popullarizuara në gjeometri, e cila ju lejon të gjeni shpejt dhe saktë zonën e një shumëkëndëshi. Klasa e katërt e shkollës së mesme zakonisht studion metoda të tilla.

Problemet e gjeometrisë shpesh kërkojnë llogaritjen e sipërfaqes së një shumëkëndëshi. Për më tepër, ai mund të ketë një formë mjaft të larmishme - nga trekëndëshi i njohur në disa n-gon me një numër të paimagjinueshëm kulmesh. Përveç kësaj, këto poligone mund të jenë konveks ose konkavë. Në secilin situatë specifike supozohet të fillojë nga pamjen shifrat. Në këtë mënyrë ju mund të zgjidhni mënyrën optimale për të zgjidhur problemin. Shifra mund të dalë e saktë, gjë që do të thjeshtojë shumë zgjidhjen e problemit.

Një teori e vogël për shumëkëndëshat

Nëse vizatoni tre ose më shumë vija kryqëzuese, ato formojnë një figurë të caktuar. Është ajo që është shumëkëndëshi. Bazuar në numrin e pikave të kryqëzimit, bëhet e qartë se sa kulme do të ketë. Ata i japin emrin figurës që rezulton. Mund të jetë:

Një figurë e tillë sigurisht që do të karakterizohet nga dy pozicione:

1. Anët ngjitur nuk i përkasin të njëjtës vijë të drejtë.
2. Ato jo ngjitur nuk kanë pika të përbashkëta, domethënë nuk kryqëzohen.

Për të kuptuar se cilat kulme janë fqinje, do t'ju duhet të shihni nëse i përkasin të njëjtës anë. Nëse po, atëherë ato fqinje. Përndryshe, ato mund të lidhen me një segment, i cili duhet të quhet diagonal. Ato mund të kryhen vetëm në shumëkëndësha që kanë më shumë se tre kulme.

Cilat lloje të tyre ekzistojnë?

Një shumëkëndësh me më shumë se katër qoshe mund të jetë konveks ose konkav. Dallimi midis kësaj të fundit është se disa nga kulmet e saj mund të shtrihen në anët e kundërta të një vije të drejtë të tërhequr përmes një ane arbitrare të shumëkëndëshit. Në një rast konveks, të gjitha kulmet shtrihen gjithmonë në të njëjtën anë të një vije të tillë të drejtë.

Në një kurs të gjeometrisë shkollore, shumica e kohës i kushtohet figurave konvekse. Prandaj, problemet kërkojnë gjetjen e zonës së një poligoni konveks. Pastaj ekziston një formulë për sa i përket rrezes së rrethit të rrethuar, e cila ju lejon të gjeni vlerën e dëshiruar për çdo figurë. Në raste të tjera, nuk ka zgjidhje të qartë. Për një trekëndësh formula është një, por për një katror ose trapez është krejtësisht e ndryshme. Në situatat kur figura është e parregullt ose ka shumë kulme, është e zakonshme t'i ndajmë ato në të thjeshta dhe të njohura.

Çfarë duhet të bëni nëse figura ka tre ose katër kulme?

Në rastin e parë, do të rezultojë të jetë një trekëndësh dhe mund të përdorni një nga formulat:

• S = 1/2 * a * n, ku a është ana, n është lartësia ndaj saj;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), ku a, b janë brinjët e trekëndëshit, A është këndi ndërmjet brinjëve të njohura;
• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), ku c është ana e trekëndëshit, për dy të treguara tashmë, p është gjysmëperimetri, domethënë, shuma e të tre brinjëve pjesëtuar me dy.

Një figurë me katër kulme mund të rezultojë të jetë një paralelogram:

• S = a * n;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), ku d 1 dhe d 2 janë diagonale, α është këndi ndërmjet tyre;
• S = a * në * sin(α).

Formula për sipërfaqen e një trapezi: S = n * (a + b) / 2, ku a dhe b janë gjatësitë e bazave.

Çfarë duhet bërë me një shumëkëndësh të rregullt që ka më shumë se katër kulme?

Për të filluar, një figurë e tillë karakterizohet nga fakti se të gjitha anët janë të barabarta. Plus, shumëkëndëshi ka kënde të barabarta.

Nëse vizatoni një rreth rreth një figure të tillë, atëherë rrezja e tij do të përkojë me segmentin nga qendra e poligonit në një nga kulmet. Prandaj, për të llogaritur sipërfaqen shumëkëndëshi i rregullt me një numër arbitrar kulmesh, do t'ju duhet formula e mëposhtme:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), ku n është numri i kulmeve të shumëkëndëshit.

Prej tij është e lehtë të merret një që është i dobishëm për raste të veçanta:

1. trekëndësh: S = (3√3)/4 * R 2 ;
2. katror: S = 2 * R 2 ;
3. gjashtëkëndësh: S = (3√3)/2 * R 2.

Situata me figurën e gabuar

Zgjidhja se si të zbuloni zonën e një shumëkëndëshi nëse nuk është i rregullt dhe nuk mund t'i atribuohet ndonjë prej figurave të njohura më parë është algoritmi:

• thyejeni në forma të thjeshta, për shembull, trekëndësha, në mënyrë që të mos kryqëzohen;
• llogaritni sipërfaqet e tyre duke përdorur çdo formulë;
• shtoni të gjitha rezultatet.

Çfarë duhet bërë nëse problemi jep koordinatat e kulmeve të një shumëkëndëshi?

Kjo do të thotë, një grup çiftesh numrash dihet për secilën pikë që kufizojnë anët e figurës. Zakonisht ato shkruhen si (x 1 ; y 1) për të parën, (x 2 ; y 2) për të dytën, dhe kulmi i n-të ka vlerat e mëposhtme (x n ; y n). Pastaj sipërfaqja e poligonit përcaktohet si shuma e n termave. Secila prej tyre duket kështu: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). Në këtë shprehje, i ndryshon nga një në n.

Vlen të përmendet se shenja e rezultatit do të varet nga kalimi i figurës. Kur përdorni formulën e mësipërme dhe lëvizni në drejtim të akrepave të orës, përgjigja do të jetë negative.

Shembull i detyrës

gjendja. Koordinatat e kulmeve përcaktohen nga vlerat e mëposhtme (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Ju duhet të llogarisni sipërfaqen e një shumëkëndëshi.

Zgjidhje. Sipas formulës së mësipërme, termi i parë do të jetë i barabartë me (1.8 + 0.6) / 2 * (3.6 - 2.1). Këtu ju vetëm duhet të merrni vlerat për Y dhe X nga pikat e dyta dhe të para. Një llogaritje e thjeshtë do të çojë në rezultatin 1.8.

Termi i dytë fitohet në mënyrë të ngjashme: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. Kur zgjidhni probleme të tilla, mos kini frikë nga sasitë negative. Gjithçka po shkon ashtu siç duhet. Kjo është planifikuar.

Vlerat për termat e tretë (0.29), të katërt (-6.365) dhe të pestë (2.96) janë marrë në mënyrë të ngjashme. Atëherë zona përfundimtare është: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Këshilla për zgjidhjen e një problemi ku një shumëkëndësh vizatohet në letër me kuadrate

Ajo që është më shpesh e çuditshme është se të dhënat përmbajnë vetëm madhësinë e qelizës. Por rezulton se nuk ka nevojë për më shumë informacion. Një rekomandim për zgjidhjen e këtij problemi është ndarja e figurës në shumë trekëndësha dhe drejtkëndësha. Zonat e tyre janë mjaft të lehta për t'u llogaritur nga gjatësia e anëve, të cilat më pas mund të shtohen lehtësisht.

Por shpesh ka një qasje më të thjeshtë. Ai konsiston në tërheqjen e një figure në një drejtkëndësh dhe llogaritjen e sipërfaqes së saj. Pastaj llogarisni zonat e atyre elementeve që doli të ishin të tepërta. Zbrisni ato nga vlera totale. Ky opsion ndonjëherë përfshin një numër pak më të vogël veprimesh.

\[(\Large(\tekst(Fakte themelore rreth zonës)))\]

Mund të themi se sipërfaqja e një shumëkëndëshi është një vlerë që tregon pjesën e rrafshit që zë një shumëkëndësh i caktuar. Njësia e matjes së sipërfaqes është sipërfaqja e një katrori me brinjë \(1\) cm, \(1\) mm, etj. (njësi katror). Pastaj sipërfaqja do të matet përkatësisht në cm\(^2\), mm\(^2\).

Me fjalë të tjera, mund të themi se sipërfaqja e një figure është një sasi, vlera numerike e së cilës tregon se sa herë përshtatet një katror njësi në një figurë të caktuar.

Vetitë e zonës

1. Sipërfaqja e çdo shumëkëndëshi është një sasi pozitive.

2. Shumëkëndëshat e barabartë kanë sipërfaqe të barabarta.

3. Nëse një shumëkëndësh përbëhet nga disa shumëkëndësha, atëherë sipërfaqja e tij është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të këtyre shumëkëndëshave.

4. Sipërfaqja e një katrori me brinjë \(a\) është e barabartë me \(a^2\) .

\[(\Large(\tekst(Sipërfaqja e një drejtkëndëshi dhe paralelogrami)))\]

Teorema: Sipërfaqja e një drejtkëndëshi

Sipërfaqja e një drejtkëndëshi me brinjë \(a\) dhe \(b\) është e barabartë me \(S=ab\) .

Dëshmi

Le të ndërtojmë drejtkëndëshin \(ABCD\) në një katror me brinjë \(a+b\), siç tregohet në figurë:

Ky katror përbëhet nga një drejtkëndësh \(ABCD\), një drejtkëndësh tjetër i barabartë dhe dy katrorë me brinjë \(a\) dhe \(b\) . Kështu,

\(\fillimi(shumë linjë*) S_(a+b)=2S_(\tekst(pr-k))+S_a+S_b \Shigjeta e majta e djathtë (a+b)^2=2S_(\tekst(pr-k))+ a^2+b^2 \Shigjeta djathtas\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\tekst(pr-k))+a^2+b^2 \Shigjeta djathtas S_(\tekst(pr-k) )=ab \end(shumë linjë*)\)

Përkufizimi

Lartësia e një paralelogrami është pingulja e tërhequr nga kulmi i paralelogramit në anën (ose në shtrirjen e brinjës) që nuk e përmban këtë kulm.
Për shembull, lartësia \(BK\) bie në anën \(AD\) , dhe lartësia \(BH\) bie në vazhdimin e anës \(CD\) :

Teorema: Sipërfaqja e një paralelogrami

Sipërfaqja e një paralelogrami është e barabartë me produktin e lartësisë dhe anës në të cilën është tërhequr kjo lartësi.

Dëshmi

Le të vizatojmë pingulet \(AB"\) dhe \(DC"\) siç tregohet në figurë. Vini re se këto pingule janë të barabarta me lartësinë e paralelogramit \(ABCD\) .

Atëherë \(AB"C"D\) është një drejtkëndësh, pra, \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Vini re se trekëndëshat kënddrejtë \(ABB"\) dhe \(DCC"\) janë kongruentë. Kështu,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\tekst(Sipërfaqja e trekëndëshit)))\]

Përkufizimi

Brinjën në të cilën është tërhequr lartësia në trekëndësh do ta quajmë bazën e trekëndëshit.

Teorema

Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të bazës së tij dhe lartësisë së tërhequr në këtë bazë.

Dëshmi

Le të jetë \(S\) zona e trekëndëshit \(ABC\) . Le të marrim brinjën \(AB\) si bazë të trekëndëshit dhe të vizatojmë lartësinë \(CH\) . Le ta vërtetojmë këtë \ Le të ndërtojmë trekëndëshin \(ABC\) në paralelogramin \(ABDC\) siç tregohet në figurë:

Trekëndëshat \(ABC\) dhe \(DCB\) janë të barabartë në tre anët (\(BC\) është ana e tyre e përbashkët, \(AB = CD\) dhe \(AC = BD\) si anët e kundërta të paralelogramit \ (ABDC\ )), pra sipërfaqet e tyre janë të barabarta. Prandaj, zona \(S\) e trekëndëshit \(ABC\) është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së paralelogramit \(ABDC\), d.m.th. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

Teorema

Nëse dy trekëndësha \(\trekëndësh ABC\) dhe \(\trekëndësh A_1B_1C_1\) kanë lartësi të barabarta, atëherë sipërfaqet e tyre lidhen me bazat në të cilat janë tërhequr këto lartësi.

Pasoja

Mediana e një trekëndëshi e ndan atë në dy trekëndësha me sipërfaqe të barabartë.

Teorema

Nëse dy trekëndësha \(\trekëndësh ABC\) dhe \(\trekëndësh A_2B_2C_2\) kanë secili kënd të barabartë, atëherë zonat e tyre lidhen si prodhim i brinjëve që formojnë këtë kënd.

Dëshmi

Le të \(\këndi A=\këndi A_2\) . Le t'i kombinojmë këto kënde siç tregohet në figurë (pika \(A\) në linjë me pikën \(A_2\)):

Le të gjejmë lartësitë \(BH\) dhe \(C_2K\) .

Trekëndëshat \(AB_2C_2\) dhe \(ABC_2\) kanë të njëjtën lartësi \(C_2K\) , prandaj: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Trekëndëshat \(ABC_2\) dhe \(ABC\) kanë të njëjtën lartësi \(BH\), prandaj: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Duke shumëzuar dy barazitë e fundit, marrim: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text(ose ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Teorema e Pitagorës

Në një trekëndësh kënddrejtë, katrori i gjatësisë së hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësisë së këmbëve:

E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse në një trekëndësh katrori i gjatësisë së njërës anë është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësive të dy brinjëve të tjera, atëherë një trekëndësh i tillë është kënddrejtë.

Teorema

Sheshi trekëndësh kënddrejtë e barabartë me gjysmën e produktit të këmbëve.

Teorema: formula e Heronit

Le të jetë \(p\) gjysmëperimetri i trekëndëshit, \(a\) , \(b\) , \(c\) të jetë gjatësia e brinjëve të tij, atëherë sipërfaqja e tij është \

\[(\Large(\tekst(Sipërfaqja e rombit dhe trapezit)))\]

Koment

Sepse Një romb është një paralelogram, atëherë e njëjta formulë është e vërtetë për të, d.m.th. Sipërfaqja e një rombi është e barabartë me produktin e lartësisë dhe anës në të cilën është tërhequr kjo lartësi.

Teorema

Sipërfaqja e një katërkëndëshi konveks, diagonalet e të cilit janë pingul është e barabartë me gjysmën e produktit të diagonaleve.

Dëshmi

Merrni parasysh katërkëndëshin \(ABCD\) . Le të shënojmë \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\):

Vini re se ky katërkëndësh përbëhet nga katër trekëndësha kënddrejtë, prandaj sipërfaqja e tij është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të këtyre trekëndëshave:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\fund(shumë rreshta*)\)

Përfundim: zona e një rombi

Sipërfaqja e një rombi është e barabartë me gjysmën e produktit të diagonaleve të tij: \

Përkufizimi

Lartësia e një trapezi është një pingul i tërhequr nga maja e njërës bazë në bazën tjetër.

Teorema: Sipërfaqja e një trapezi

Sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me produktin e gjysmës së shumës së bazave dhe lartësisë.

Dëshmi

Merrni parasysh trapezin \(ABCD\) me baza \(BC\) dhe \(AD\) . Le të vizatojmë \(CD"\paralel AB\) siç tregohet në figurë:

Atëherë \(ABCD"\) është një paralelogram.

Le të kryejmë edhe \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) janë lartësitë e trapezit).

Pastaj \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Sepse një trapez përbëhet nga një paralelogram \(ABCD"\) dhe një trekëndësh \(CDD"\), atëherë sipërfaqja e tij është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të paralelogramit dhe trekëndëshit, domethënë:

\ \[=\dfrac12 CH\majtas(BC+AD"+D"D\djathtas)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\djathtas)\]

1.1 Llogaritja e sipërfaqeve në kohët e lashta

1.2 Qasje të ndryshme për studimin e koncepteve të "zonës", "poligonin", "zonën e shumëkëndëshit"

1.2.1 Koncepti i zonës. Vetitë e zonës

1.2.2 Koncepti i shumëkëndëshit

1.2.3 Koncepti i sipërfaqes së një shumëkëndëshi. Përkufizimi përshkrues

1.3 Formula të ndryshme për sipërfaqet e shumëkëndëshave

1.4 Nxjerrja e formulave për sipërfaqet e shumëkëndëshave

1.4.1 Sipërfaqja e një trekëndëshi. Formula e Heronit

1.4.2 Sipërfaqja e një drejtkëndëshi

1.4.3 Sipërfaqja e një trapezi

1.4.4 Sipërfaqja e një katërkëndëshi

1.4.5 Formula universale

1.4.6 Zona e n-gon

1.4.7 Llogaritja e sipërfaqes së një shumëkëndëshi nga koordinatat e kulmeve të tij

1.4.8 Formula e Pick

1.5 Teorema e Pitagorës mbi shumën e sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar mbi këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë

1.6 Rregullimi i barabartë i trekëndëshave. Teorema Bolyay-Gerwin

1.7 Raporti i sipërfaqes trekëndësha të ngjashëm

1.8 Shifrat me sipërfaqen më të madhe

1.8.1 Trapez ose drejtkëndësh

1.8.2 Pasuri e shquar e sheshit

1.8.3 Seksione të formave të tjera

1.8.4 Trekëndëshi me sipërfaqen më të madhe

Kapitulli 2. Veçoritë metodologjike të studimit të sipërfaqeve të shumëkëndëshave në orët e matematikës

2.1 Planifikimi tematik dhe veçoritë e mësimdhënies në klasa me studim të thelluar të matematikës

2.2 Metodologjia e zhvillimit të mësimeve

2.3 Rezultatet e punës eksperimentale

konkluzioni

Letërsia

Hyrje

Tema “Sipërfaqja e shumëkëndëshave” është pjesë përbërëse e lëndës së matematikës shkollore, gjë që është krejt e natyrshme. Në fund të fundit, historikisht vetë shfaqja e gjeometrisë shoqërohet me nevojën për të krahasuar parcelat e tokës të një forme ose një tjetër. Megjithatë, duhet theksuar se mundësitë arsimore për mbulimin e kësaj teme në shkolla e mesme janë larg përdorimit të plotë.

Detyra kryesore e mësimdhënies së matematikës në shkollë është të sigurojë zotërim të fortë dhe të vetëdijshëm të studentëve të sistemit të njohurive dhe aftësive matematikore të kërkuara në jetën e përditshme dhe veprimtarinë e punës për çdo anëtar shoqëri moderne mjaftueshëm për studimin e disiplinave përkatëse dhe edukimin e vazhdueshëm.

Së bashku me zgjidhjen e problemit kryesor, studimi i thelluar i matematikës përfshin formimin tek studentët e një interesi të qëndrueshëm për lëndën, identifikimin dhe zhvillimin e tyre. aftësitë matematikore, orientim drejt profesioneve të lidhura dukshëm me matematikën, përgatitje për të studiuar në universitet.

Punë kualifikuese përfshin përmbajtjen e lëndës së matematikës shkolla e mesme dhe një sërë pyetjesh shtesë që lidhen drejtpërdrejt me këtë kurs dhe e thellojnë atë përgjatë vijave kryesore ideologjike.

Përfshirja e pyetjeve shtesë ka dy qëllime të ndërlidhura. Nga njëra anë, ky është krijimi, në lidhje me seksionet kryesore të lëndës, i një baze për plotësimin e interesave dhe zhvillimit të aftësive të studentëve me prirje për matematikën, nga ana tjetër është përmbushja e boshllëqet e përmbajtjes së lëndës kryesore, duke i dhënë përmbajtjes së studimit të thelluar integritetin e nevojshëm.

Puna kualifikuese përbëhet nga një hyrje, dy kapituj, një përfundim dhe literaturë e cituar. Kapitulli i parë trajton bazat teorike të studimit të zonave të shumëkëndëshave dhe kapitulli i dytë trajton drejtpërdrejt veçoritë metodologjike të studimit të zonave.

Kapitulli 1. Bazat teorike për studimin e sipërfaqeve të shumëkëndëshave

1.1Llogaritja e sipërfaqeve në kohët e lashta

Fillimet e njohurive gjeometrike lidhur me matjen e sipërfaqeve humbasin në thellësi të mijëra viteve.

Edhe 4-5 mijë vjet më parë, babilonasit ishin në gjendje të përcaktonin sipërfaqen e një drejtkëndëshi dhe trapezi në njësi katrore. Sheshi ka shërbyer prej kohësh si standard për matjen e sipërfaqeve për shkak të vetive të tij të shumta të jashtëzakonshme: brinjë të barabarta, kënde të barabarta dhe të drejta, simetri dhe përsosmëri të përgjithshme të formës. Sheshet janë të lehta për t'u ndërtuar, ose mund të mbushni një aeroplan pa boshllëqe.

NË Kinën e lashtë Masa e sipërfaqes ishte një drejtkëndësh. Kur muratorët përcaktuan sipërfaqen e një muri drejtkëndor të një shtëpie, ata shumëzuan lartësinë dhe gjerësinë e murit. Ky është përkufizimi i pranuar në gjeometri: sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e barabartë me produktin e anëve të tij ngjitur. Të dyja këto anë duhet të shprehen në të njëjtat njësi lineare. Produkti i tyre do të jetë zona e drejtkëndëshit, e shprehur në njësitë katrore përkatëse. Le të themi, nëse lartësia dhe gjerësia e një muri maten në decimetra, atëherë produkti i të dy matjeve do të shprehet në decimetra katrore. Dhe nëse zona e secilës trap përballë është një decimetër katror, ​​atëherë produkti që rezulton do të tregojë numrin e pllakave të nevojshme për veshjen. Kjo rrjedh nga deklarata në bazë të matjes së sipërfaqeve: sipërfaqja e një figure të përbërë nga figura që nuk kryqëzohen është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të tyre.

Egjiptianët e lashtë 4000 vjet më parë përdorën pothuajse të njëjtat teknika si ne për të matur sipërfaqen e një drejtkëndëshi, trekëndëshi dhe trapezi: baza e trekëndëshit ndahej në gjysmë dhe shumëzohej me lartësinë; për një trapez, shuma e brinjëve paralele ndahej përgjysmë dhe shumëzohej me lartësinë, etj. Për të llogaritur sipërfaqen

Katërkëndëshi me brinjë (Fig. 1.1), është përdorur formula (1.1).

ato. Gjysma e shumave të anëve të kundërta u shumëzuan.

Kjo formulë është qartësisht e pasaktë për çdo katërkëndësh, rrjedhimisht, në veçanti, zonat e të gjithë rombit janë të njëjta; Ndërkohë, është e qartë se sipërfaqet e rombeve të tilla varen nga madhësia e këndeve në kulme. Kjo formulë është e vërtetë vetëm për një drejtkëndësh. Me ndihmën e tij, ju mund të llogaritni afërsisht zonën e katërkëndëshave, këndet e të cilëve janë afër këndeve të drejta.

Për të përcaktuar zonën

trekëndëshi izoscelular (Fig. 1.2), në të cilin egjiptianët përdorën formulën e përafërt:
(1.2) Fig. 1.2 Gabimi i bërë në këtë rast është më i vogël, sa më i vogël të jetë diferenca midis anës dhe lartësisë së trekëndëshit, me fjalë të tjera, aq më afër kulmi (dhe ) me bazën e lartësisë nga . Kjo është arsyeja pse formula e përafërt (1.2) është e zbatueshme vetëm për trekëndëshat me një kënd relativisht të vogël në majë.

Por tashmë grekët e lashtë dinin të gjenin saktë zonat e poligoneve. Në Elementet e tij, Euklidi nuk përdor fjalën "zonë", pasi me vetë fjalën "figurë" ai kupton një pjesë të një rrafshi të kufizuar nga një ose një vijë tjetër e mbyllur. Euklidi nuk e shpreh rezultatin e matjes së sipërfaqes me një numër, por krahason sipërfaqet e figurave të ndryshme me njëra-tjetrën.

Ashtu si shkencëtarët e tjerë të antikitetit, Euklidi merret me çështjet e shndërrimit të disa figurave në të tjera me përmasa të barabarta. Zona e një figure të përbërë nuk do të ndryshojë nëse pjesët e saj janë rregulluar ndryshe, por pa kryqëzuar. Prandaj, për shembull, është e mundur, bazuar në formulat për sipërfaqen e një drejtkëndëshi, të gjenden formula për sipërfaqet e figurave të tjera. Kështu, një trekëndësh ndahet në pjesë nga të cilat më pas mund të formohet një drejtkëndësh me madhësi të barabartë. Nga ky konstruksion rezulton se sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të bazës dhe lartësisë së tij. Duke iu drejtuar një prerjeje të tillë, ata zbulojnë se sipërfaqja e një paralelogrami është e barabartë me produktin e bazës dhe lartësisë, dhe sipërfaqja e një trapezi është prodhimi i gjysmës së shumës së bazave dhe lartësisë. .

Kur muratorët duhet të shtrojnë një mur konfigurim kompleks, ata mund të përcaktojnë sipërfaqen e murit duke numëruar numrin e pllakave të përdorura për veshjen. Disa pllaka, natyrisht, do të duhet të copëtohen në mënyrë që skajet e veshjes të përkojnë me skajin e murit. Numri i të gjitha pllakave të përdorura në punë vlerëson sipërfaqen e murit me një tepricë, numrin e pllakave të pathyera - me një mangësi. Me zvogëlimin e madhësisë së qelizave, sasia e mbetjeve zvogëlohet dhe sipërfaqja e murit, e përcaktuar përmes numrit të pllakave, llogaritet gjithnjë e më saktë.

Një nga matematikanët dhe enciklopedistët e mëvonshëm grekë, veprat e të cilit ishin kryesisht të një natyre aplikative, ishte Heroni i Aleksandrisë, i cili jetoi në shekullin I. n. e. Duke qenë një inxhinier i shquar, ai u quajt edhe "Heroni Mekaniku". Në veprën e tij "Dioptria" Heroni përshkruan makina të ndryshme dhe instrumente matëse praktike.

Një nga librat e Heronit quhej "Gjeometria" dhe është një lloj koleksioni formulash dhe problemash përkatëse. Ai përmban shembuj për llogaritjen e sipërfaqeve të katrorëve, drejtkëndëshave dhe trekëndëshave. Për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi bazuar në brinjët e tij, Heron shkruan: "Le të ketë, për shembull, një anë e trekëndëshit një gjatësi prej 13 kordonësh matës, e dyta 14 dhe e treta 15. Për të gjetur zonën, vazhdoni. si më poshtë. Shtoni 13, 14 dhe 15; do të jetë 42. Gjysma e kësaj do të jetë 21. Zbrisni nga kjo tri anët një nga një; së pari zbrisni 13 - ju ngelen 8, pastaj 14 - ju ngelen 7 dhe në fund 15 - ju ngelen 6. Tani shumëzojini ato: 21 herë 8 jep 168, merrni këtë 7 herë - merrni 1176 dhe merrni kjo edhe 6 herë të tjera - ju merrni 7056. Nga këtu rrënja katrore do të jetë 84. Ja sa korda matëse do të jenë në zonën e trekëndëshit."