Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit. Metoda e zëvendësimit në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve Si të zgjidhet një sistem ekuacionesh me metodën e zëvendësimit

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit

Le të kujtojmë se çfarë është një sistem ekuacionesh.

Një sistem prej dy ekuacionesh me dy ndryshore janë dy ekuacione të shkruara poshtë njëri-tjetrit, të bashkuara nga një mbajtës kaçurrelë. Zgjidhja e një sistemi nënkupton gjetjen e një çifti numrash që do të zgjidhin njëkohësisht ekuacionin e parë dhe të dytë.

Në këtë mësim do të njihemi me një metodë të tillë të zgjidhjes së sistemeve si metoda e zëvendësimit.

Le të shohim sistemin e ekuacioneve:

Ju mund ta zgjidhni këtë sistem grafikisht. Për ta bërë këtë, do të na duhet të ndërtojmë grafikët e secilit prej ekuacioneve në një sistem koordinativ, duke i shndërruar ato në formën:

Më pas gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të grafikëve, të cilat do të jenë zgjidhja e sistemit. Por metoda grafike nuk është gjithmonë e përshtatshme, sepse ndryshon në saktësi të ulët, apo edhe paarritshmëri. Le të përpiqemi të hedhim një vështrim më të afërt në sistemin tonë. Tani duket si:

Mund të vëreni se anët e majta të ekuacioneve janë të barabarta, që do të thotë se edhe anët e djathta duhet të jenë të barabarta. Atëherë marrim ekuacionin:

Ky është një ekuacion i njohur me një ndryshore që ne mund ta zgjidhim. Le t'i zhvendosim termat e panjohur në anën e majtë, dhe ato të njohura në të djathtë, duke mos harruar të ndryshojmë shenjat + dhe - gjatë transferimit. Ne marrim:

Tani le të zëvendësojmë vlerën e gjetur të x në çdo ekuacion të sistemit dhe të gjejmë vlerën e y. Në sistemin tonë, është më i përshtatshëm të përdorim ekuacionin e dytë y = 3 - x; pas zëvendësimit marrim y = 2. Tani le të analizojmë punën e bërë. Së pari, në ekuacionin e parë ne shprehëm variablin y në termat e ndryshores x. Pastaj shprehja rezultuese - 2x + 4 u zëvendësua në ekuacionin e dytë në vend të ndryshores y. Pastaj e zgjidhëm ekuacionin që rezulton me një ndryshore x dhe gjetëm vlerën e saj. Dhe së fundi, ne përdorëm vlerën e gjetur të x për të gjetur një variabël tjetër y. Këtu lind pyetja: a ishte e nevojshme të shprehet ndryshorja y nga të dy ekuacionet njëherësh? Sigurisht që jo. Ne mund të shprehim një variabël në terma të një tjetri vetëm në një ekuacion të sistemit dhe ta përdorim atë në vend të ndryshores përkatëse në të dytin. Për më tepër, ju mund të shprehni çdo ndryshore nga çdo ekuacion. Këtu zgjedhja varet vetëm nga komoditeti i llogarisë. Matematikanët e quajtën këtë procedurë një algoritëm për zgjidhjen e sistemeve të dy ekuacioneve me dy ndryshore duke përdorur metodën e zëvendësimit.Ja se si duket.

1. Shprehni një nga variablat në terma të një tjetri në një nga ekuacionet e sistemit.

2.Zëvendësoni shprehjen që rezulton në vend të variablit përkatës në një ekuacion tjetër të sistemit.

3.Zgjidhni ekuacionin që rezulton me një ndryshore.

4.Zëvendësoni vlerën e gjetur të ndryshores në shprehjen e marrë në hapin e parë dhe gjeni vlerën e një ndryshoreje tjetër.

5. Shkruani përgjigjen në formën e një çifti numrash që u gjetën në hapin e tretë dhe të katërt.

Le të shohim një shembull tjetër. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

Këtu është më e përshtatshme të shprehet ndryshorja y nga ekuacioni i parë. Marrim y = 8 - 2x. Shprehja që rezulton duhet të zëvendësohet me y në ekuacionin e dytë. Ne marrim:

Le ta shkruajmë veçmas këtë ekuacion dhe ta zgjidhim. Së pari, le të hapim kllapat. Marrim ekuacionin 3x - 16 + 4x = 5. Le të mbledhim termat e panjohur në anën e majtë të ekuacionit, dhe të njohurit në të djathtë, dhe të paraqesim terma të ngjashëm. Marrim ekuacionin 7x = 21, pra x = 3.

Tani, duke përdorur vlerën e gjetur të x, mund të gjeni:

Përgjigje: një çift numrash (3; 2).

Kështu, në këtë mësim mësuam të zgjidhim sistemet e ekuacioneve me dy të panjohura në mënyrë analitike, të saktë, pa përdorur metoda grafike të dyshimta.

Lista e literaturës së përdorur:

1. Mordkovich A.G., Algjebra klasa e 7-të në 2 pjesë, Pjesa 1, Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm / A.G. Mordkoviç. - Botimi i 10-të, i rishikuar - Moskë, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Algjebra klasa e 7-të në 2 pjesë, Pjesa 2, Libër me probleme për institucionet arsimore / [A.G. Mordkovich dhe të tjerët]; redaktuar nga A.G. Mordkovich - botimi i 10-të, i rishikuar - Moskë, "Mnemosyne", 2007.
3. SAJ. Tulchinskaya, Algjebra klasa e 7-të. Sondazhi i Blitz: një manual për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm, botimi i 4-të, i rishikuar dhe i zgjeruar, Moskë, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algjebra klasa e 7-të. Punimet testuese tematike në një formë të re për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm, redaktuar nga A.G. Mordkovich, Moskë, "Mnemosyne", 2011.
5. Alexandrova L.A. Algjebër klasa e 7-të. Punime të pavarura për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm, redaktuar nga A.G. Mordkovich - botimi i 6-të, stereotip, Moskë, "Mnemosyne", 2010.

Zakonisht ekuacionet e sistemit shkruhen në një kolonë njëra poshtë tjetrës dhe kombinohen me një mbajtës kaçurrelë

Një sistem ekuacionesh të këtij lloji, ku a, b, c- numrat dhe x, y- quhen ndryshoret sistemi i ekuacioneve lineare.

Kur zgjidhet një sistem ekuacionesh, përdoren vetitë që janë të vlefshme për zgjidhjen e ekuacioneve.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e zëvendësimit

Le të shohim një shembull

1) Shprehni variablin në një nga ekuacionet. Për shembull, le të shprehemi y në ekuacionin e parë, marrim sistemin:

2) Zëvendësoni në ekuacionin e dytë të sistemit në vend të y shprehje 3x-7:

3) Zgjidheni ekuacionin e dytë që rezulton:

4) Zgjidhjen që rezulton e zëvendësojmë në ekuacionin e parë të sistemit:

Një sistem ekuacionesh ka një zgjidhje unike: një çift numrash x=1, y=-4. Përgjigje: (1; -4) , e shkruar në kllapa, në pozicionin e parë vlera x, Në të dytën - y.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare me mbledhje

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve nga shembulli i mëparshëm metoda e shtimit.

1) Transformoni sistemin në mënyrë që koeficientët për njërën nga variablat të bëhen të kundërta. Le të shumëzojmë ekuacionin e parë të sistemit me "3".

2) Shtoni ekuacionet e sistemit term pas termi. Ne rishkruajmë ekuacionin e dytë të sistemit (ndonjë) pa ndryshime.

3) Zgjidhjen që rezulton e zëvendësojmë në ekuacionin e parë të sistemit:

Zgjidhja grafike e një sistemi ekuacionesh lineare

Zgjidhja grafike e një sistemi ekuacionesh me dy ndryshore zbret në gjetjen e koordinatave të pikave të përbashkëta të grafikëve të ekuacioneve.

Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë. Dy drejtëza në një plan mund të kryqëzohen në një pikë, të jenë paralele ose të përkojnë. Prandaj, një sistem ekuacionesh mund: a) të ketë një zgjidhje unike; b) nuk ka zgjidhje; c) të ketë një numër të pafund zgjidhjesh.

2) Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve është pika (nëse ekuacionet janë lineare) e prerjes së grafikëve.

Zgjidhja grafike e sistemit

Metoda për futjen e variablave të rinj

Ndryshimi i variablave mund të çojë në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh më të thjeshtë se ai origjinal.

Konsideroni zgjidhjen e sistemit

Le të prezantojmë zëvendësimin, atëherë

Le të kalojmë te variablat fillestarë

Raste të veçanta

Pa zgjidhur një sistem ekuacionesh lineare, ju mund të përcaktoni numrin e zgjidhjeve të tij nga koeficientët e variablave përkatës.

1 . EMRI I PLOTË. mësues: ____Tkachuk Natalya Petrovna _________________________________________________________________________________________________

2. Klasa: _8 Data: .11.03________Lënda_-matematikë, mësimi nr.71 sipas orarit:

3. Tema e mësimit Zgjidhja e sistemeve me zëvendësim 4 . Vendi dhe roli i orës së mësimit në temën që studiohet :. Mësimi për të konsoliduar njohuritë. Qëllimi i mësimit :

Edukative: zhvilloni njohuri për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit. Di / kuptoj: nëse grafikët kanë pika të përbashkëta, atëherë sistemi ka zgjidhje; nëse grafikët nuk kanë pika të përbashkëta, atëherë sistemi nuk ka zgjidhje; algoritmi për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve.Te jesh i afte te zgjidh sistemet me zëvendësim Nxitja e zhvillimit të aftësive për të zbatuar njohuritë e fituara në kushte jo standarde (standarde).Zhvillimore: Të nxisë zhvillimin e aftësive të nxënësve për të përgjithësuar njohuritë e fituara, për të kryer analiza, sinteza, krahasime dhe për të nxjerrë përfundimet e nevojshme. Të promovojë zhvillimin e aftësive për të zbatuar njohuritë e fituara në kushte jo standarde dhe standarde.Edukative: Promovoni zhvillimin e një qëndrimi krijues ndaj aktiviteteve mësimore

Karakteristikat e fazave të mësimit

Aktiviteti

nxënësit

Vetëvendosje.

Aktivizoni aktivitetin njohës

Zgjidheni sistemin

verbale

Frontale

duke përshëndetur studentët. duke kryer. Krijimi i një situate gatishmërie për mësimin, suksesi në mësimin e ardhshëm.

Kontrolloni gatishmërinë për mësimin.

2. Përditësimi i njohurive.

Identifikoni cilësinë dhe nivelin e zotërimit të njohurive dhe aftësive të fituara në mësimet e mëparshme mbi temën

Zbuloni nëse një çift numrash është një zgjidhje për sistemin. x=5 y=9

Cilat veprime mund të kryhen me ekuacione?

(shumezojme te dyja anet e ekuacionit me te njejtin numer, pjesetoje me nje numer jo te barabarte me zero...)

Punë në grup

Frontale. Guppovaya - analiza e algoritmeve për zgjidhjen e problemeve;

Bën pyetje kryesore kur është e nevojshme.

Ata u përgjigjen pyetjeve të bëra.

3. Deklaratë e detyrës edukative, qëllimet e mësimit.

Formimi

dhe zhvillimin e aftësive

përcaktojnë dhe formulojnë

problemi, qëllimi dhe tema

për të studiuar linjat

Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh me mbledhje, me zëvendësim.

Cila metodë është e përshtatshme të përdoret gjatë zgjidhjes. ky sistem?

Punë në grup.

Individual.

Frontale.

Çfarë hapash kemi marrë për të zbuluar çmimin e blerjes?

Çfarë teme do të studiojmë?

Ata flasin.

4. Faza e përditësimit të njohurive për temën

Të nxisë zhvillimin e aftësive për të dalluar dhe krahasuar linjat. Siguroni kushte për zhvillimin e aftësive për të shprehur mendimet tuaja me kompetencë, qartë dhe saktësi.

№ 621

Gjeni pozicionet relative të vijave

2x+0.5y= 1.2 dhe x- 4y=0

A është e mundur të përcaktohet nëse linjat kryqëzohen apo jo nga koeficientët e tyre?

2. të krijojë ekuacione drejtëzash që janë paralele me njëra-tjetrën.

Puna me një student

Punë në dyshe me vetëtest

Frontale, individuale. punëtori për zgjidhjen e problemeve

Bën pyetje kryesore kur është e nevojshme. Vijon paralele me materialin e studiuar më parë.

Ofron motivim për të përfunduar detyrat e propozuara.

I çon nxënësit në përfundimin për ekzistencën e formulave.

Zgjidh problema, përgjigju pyetjeve të mësuesit nëse është e nevojshme.Bëje ushtrimin në një fletore.

Komentoni me radhë, analizoni, identifikoni arsyet dhe zgjidhjet.

5.Punoni në mënyrë të pavarur

aplikimi i njohurive të marra. Përditësimi i njohurive dhe aftësive në zgjidhjen e problemeve.

Formimi dhe zhvillimi i aftësive të leximit të numrave Planifikimi i aktiviteteve tuaja për të zgjidhur një detyrë të caktuar, monitorimi i rezultatit të marrë, korrigjimi i rezultatit të marrë, vetërregullimi

1 var -

2 var

Punë e pavarur. Kontrolloni fqinjin tuaj.

"stuhi mendimesh",

Monitoron kryerjen e punës.

Ofron: kontroll individual; kontroll selektiv.

Ju inkurajon të shprehni mendimin tuaj.

Zgjidh probleme. Kryen: vetëvlerësim, verifikim reciprok; japin një vlerësim paraprak.

6. Vlerësimi i mësimit, vetëvlerësimi.

Formimi dhe zhvillimi i aftësisë për të analizuar dhe kuptuar arritjet e dikujt.

Aftësia për të përcaktuar nivelin e zotërimit të materialit arsimor.

Vlerësimi i rezultateve të ndërmjetme dhe vetërregullimi për të rritur motivimin për aktivitete edukative

Vlerësimi në çdo fazë

1. A mund të grafikoni ekuacionet lineare?

2.A mund të përcaktoni nëse kryqëzohen apo jo?

3. A njihni një algoritëm për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve?

4. çfarë metodash dini për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve?

Punë në grup.

Grupi dhe individual...

Ju inkurajon të shprehni mendimin tuaj.

Kryeni: vetëvlerësimin dhe vlerësimin e një shoku.

7. Përmbledhje e mësimit. Detyre shtepie.

Aftësia për të lidhur qëllimet dhe rezultatet e aktiviteteve të veta. Ruajtja e një fryme të shëndetshme konkurrence për të ruajtur motivimin për aktivitete edukative; pjesëmarrja në diskutimin kolektiv të problemeve.

fq 4.4 nr 623

Punë në grup.

Frontal - Identifikimi dhe formulimi i një qëllimi njohës, reflektimi mbi metodat dhe kushtet e veprimit

Analiza dhe sinteza e objekteve

Ju inkurajon të shprehni mendimin tuaj.

Jep komente për detyrat e shtëpisë; detyrë për të kërkuar veçori në tekst...

Fëmijët marrin pjesë në diskutim, analizojnë, flasin. Reflektoni dhe regjistroni arritjet e tyre.

Sot në klasë mësova...

Sot në klasë mësova...

Në këtë rast, është e përshtatshme të shprehni x në terma y nga ekuacioni i dytë i sistemit dhe të zëvendësoni shprehjen që rezulton në vend të x në ekuacionin e parë:

Ekuacioni i parë është një ekuacion me një ndryshore y. Le ta zgjidhim:

5(7-3y)-2y = -16

Ne e zëvendësojmë vlerën y që rezulton në shprehjen për x:

Përgjigje: (-2; 3).

Në këtë sistem, është më e lehtë të shprehësh y në terma x nga ekuacioni i parë dhe të zëvendësosh shprehjen që rezulton në vend të y në ekuacionin e dytë:

Ekuacioni i dytë është një ekuacion me një ndryshore x. Le ta zgjidhim:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

Në shprehjen për y, në vend të x, zëvendësojmë x=1 dhe gjejmë y:

Përgjigje: (1; -5).

Këtu është më i përshtatshëm për të shprehur y në terma x nga ekuacioni i dytë (pasi pjesëtimi me 10 është më i lehtë sesa pjesëtimi me 4, -9 ose 3):

Le të zgjidhim ekuacionin e parë:

4x-9(1.6-0.3x)= -1

4x-14.4+2.7x= -1

Zëvendësoni x=2 dhe gjeni y:

Përgjigje: (2; 1).

Para aplikimit të metodës së zëvendësimit, ky sistem duhet të thjeshtohet. Të dyja anët e ekuacionit të parë mund të shumëzohen me emëruesin më të ulët të përbashkët, në ekuacionin e dytë hapim kllapat dhe paraqesim terma të ngjashëm:

Ne morëm një sistem ekuacionesh lineare me dy ndryshore. Tani le të aplikojmë zëvendësimin. Është i përshtatshëm për të shprehur a deri në b nga ekuacioni i dytë:

Ne zgjidhim ekuacionin e parë të sistemit:

3 (21.5 + 2.5b) - 7b = 63

Mbetet për të gjetur vlerën e një:

Sipas rregullave të formatimit, përgjigjen e shkruajmë në kllapa të ndara me pikëpresje sipas rendit alfabetik.

Përgjigje: (14; -3).

Kur shprehni një ndryshore përmes një tjetri, ndonjëherë është më e përshtatshme ta lini atë me një koeficient të caktuar.

Një sistem ekuacionesh lineare me dy të panjohura janë dy ose më shumë ekuacione lineare për të cilat është e nevojshme të gjenden të gjitha zgjidhjet e tyre të përbashkëta. Ne do të shqyrtojmë sistemet e dy ekuacioneve lineare në dy të panjohura. Pamja e përgjithshme e një sistemi me dy ekuacione lineare me dy të panjohura është paraqitur në figurën më poshtë:

(a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Këtu x dhe y janë ndryshore të panjohura, a1, a2, b1, b2, c1, c2 janë disa numra realë. Zgjidhja e një sistemi me dy ekuacione lineare në dy të panjohura është një çift numrash (x,y) të tillë që nëse i zëvendësojmë këta numra në ekuacionet e sistemit, atëherë secili prej ekuacioneve të sistemit kthehet në një barazi të vërtetë. Shqyrtoni një nga mënyrat për të zgjidhur një sistem ekuacionesh lineare, përkatësisht metodën e zëvendësimit.

Algoritmi i zgjidhjes me metodën e zëvendësimit

Algoritmi për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e zëvendësimit:

1. Zgjidhni një ekuacion (është më mirë të zgjidhni atë ku numrat janë më të vegjël) dhe shprehni një variabël prej tij në terma të një tjetri, për shembull, x në terma y. (mund të përdorni edhe y përmes x).

2. Zëvendësoni shprehjen që rezulton në vend të ndryshores përkatëse në një ekuacion tjetër. Kështu, marrim një ekuacion linear me një të panjohur.

3. Zgjidheni ekuacionin linear që rezulton dhe merrni një zgjidhje.

4. Zgjidhjen që rezulton e zëvendësojmë me shprehjen e marrë në paragrafin e parë dhe marrim të panjohurën e dytë nga zgjidhja.

5. Kontrolloni zgjidhjen që rezulton.

Shembull

Për ta bërë më të qartë, le të zgjidhim një shembull të vogël.

Shembulli 1. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

Zgjidhja:

1. Nga ekuacioni i parë i këtij sistemi shprehim ndryshoren x. Kemi x= (12 -2*y);

2. Zëvendësojmë këtë shprehje në ekuacionin e dytë, marrim 2*x-3*y=-18; 2 * (12 -2 * y) - 3 * y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Zgjidheni ekuacionin linear që rezulton: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. Zëvendësoni rezultatin e marrë me shprehjen e marrë në paragrafin e parë. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Ne kontrollojmë zgjidhjen që rezulton; për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë numrat e gjetur në sistemin origjinal.

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Ne morëm barazitë e sakta, prandaj gjetëm zgjidhjen saktë.