Detyra është që të përdoren koordinatat e dhëna të fundit të një segmenti për të ndërtuar një vijë të drejtë që kalon nëpër të.

Ne besojmë se segmenti është jo i degjeneruar, d.m.th. ka një gjatësi më të madhe se zero (përndryshe, natyrisht, ka pafundësisht shumë linja të ndryshme që kalojnë nëpër të).

Rasti dydimensional

Le të jepet një segment, d.m.th. njihen koordinatat e skajeve të saj , , ,.

Kërkohet për të ndërtuar ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh, duke kaluar nëpër këtë segment, d.m.th. Gjeni koeficientët , , në ekuacionin e drejtëzës:

Vini re se trefishat e kërkuara që kalojnë nëpër një segment të caktuar janë pafundësisht shumë: Mund të shumëzoni të tre koeficientët me një numër arbitrar jo zero dhe të merrni të njëjtën drejtëz. Prandaj, detyra jonë është të gjejmë një nga këto treshe.

Është e lehtë të verifikohet (duke zëvendësuar këto shprehje dhe koordinatat e pikave dhe në ekuacionin e drejtëzës) se grupi i mëposhtëm i koeficientëve është i përshtatshëm:

Rasti numër i plotë

Një avantazh i rëndësishëm i kësaj metode të ndërtimit të një vije të drejtë është se nëse koordinatat e skajeve ishin numër i plotë, atëherë koeficientët rezultues do të jenë gjithashtu numra të plotë. Në disa raste, kjo lejon që veprimet gjeometrike të kryhen pa përdorur fare numra realë.

Sidoqoftë, ka një pengesë të vogël: për të njëjtën linjë, mund të merren treshe të ndryshme koeficientësh. Për të shmangur këtë, por për të mos u larguar nga koeficientët e numrave të plotë, mund të përdorni teknikën e mëposhtme, e quajtur shpesh racionimi. Le të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave , , , pjesëtojmë të tre koeficientët me të dhe më pas normalizojmë shenjën: nëse ose , atëherë shumëzojmë të tre koeficientët me . Si rezultat, do të arrijmë në përfundimin se për vija identike do të marrim treshe identike koeficientësh, të cilët do ta bëjnë të lehtë kontrollimin e linjave për barazi.

Rast me vlerë reale

Kur punoni me numra realë Gjithmonë duhet të jeni të vetëdijshëm për gabimet.

Koeficientët që marrim janë të rendit të koordinatave origjinale, koeficienti tashmë është i rendit të katrorit të tyre. Këto tashmë mund të jenë numra mjaft të mëdhenj dhe, për shembull, kur linjat kryqëzohen, ato do të bëhen edhe më të mëdha, gjë që mund të çojë në gabime të mëdha rrumbullakimi edhe me koordinatat origjinale të rendit .

Prandaj, kur punoni me numra realë, këshillohet të kryeni të ashtuquajturat normalizimi drejtpërdrejtë: domethënë, të bëhen koeficientët të tillë që . Për ta bërë këtë, duhet të llogarisni numrin:

dhe pjesëtoni të tre koeficientët , , me të.

Kështu, rendi i koeficientëve dhe nuk do të varet më nga rendi i koordinatave hyrëse, dhe koeficienti do të jetë i rendit të njëjtë me koordinatat hyrëse. Në praktikë, kjo çon në një përmirësim të ndjeshëm në saktësinë e llogaritjes.

Së fundi, le të përmendim krahasimi vija të drejta - në fund të fundit, pas një normalizimi të tillë për të njëjtën drejtëz, mund të fitohen vetëm dy treshe koeficientësh: deri në shumëzimin me . Prandaj, nëse kryejmë normalizim shtesë duke marrë parasysh shenjën (nëse ose , atëherë shumëzohemi me ), atëherë koeficientët që rezultojnë do të jenë unikë.

Ne vazhdojmë të studiojmë seksionin "Ekuacioni i një drejtëze në një plan" dhe në këtë artikull do të shqyrtojmë temën "Ekuacioni i një drejtëze në segmente". Do të shqyrtojmë në mënyrë sekuenciale formën e ekuacionit të një drejtëze në segmente, ndërtimin e një drejtëze, e cila jepet nga ky ekuacion, kalimin nga ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze në ekuacionin e një drejtëze në segmente. E gjithë kjo do të shoqërohet me shembuj dhe analiza të zgjidhjes së problemeve.

Le të ketë një sistem koordinativ drejtkëndor O x y në rrafsh.

Një vijë e drejtë në një plan në sistemin koordinativ kartezian O x y jepet nga një ekuacion i formës x a + y b = 1, ku a dhe b janë disa numra realë, jo zero, vlerat e të cilëve janë të barabarta me gjatësitë e segmenteve të prera nga vija e drejtë në boshtet O x dhe O y. Gjatësitë e segmenteve llogariten nga origjina.

Siç e dimë, koordinatat e cilësdo prej pikave që i përkasin një drejtëze të dhënë nga ekuacioni i një drejtëze plotësojnë ekuacionin e kësaj drejtëze. Pikat a, 0 dhe 0, b i përkasin kësaj drejtëze, pasi a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 dhe 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1. Pikat a, 0 dhe b, 0 ndodhen në boshtet koordinative O x dhe O y dhe hiqen nga origjina me njësi a dhe b. Drejtimi në të cilin duhet të vizatohet gjatësia e segmentit përcaktohet nga shenja që shfaqet para numrave a dhe b. Shenja "-" do të thotë se gjatësia e segmentit duhet të vizatohet në drejtim negativ të boshtit koordinativ.

Le të shpjegojmë të gjitha sa më sipër duke vendosur vija të drejta në lidhje me një sistem koordinativ fiks kartezian O x y në një vizatim skematik. Ekuacioni i një drejtëze në segmentet x a + y b = 1 përdoret për të ndërtuar një drejtëz në sistemin koordinativ kartezian O x y. Për ta bërë këtë, ne duhet të shënojmë pikat a, 0 dhe b, 0 në akset, dhe më pas t'i lidhim këto pika me një vijë duke përdorur një vizore.

Figura tregon rastet kur numrat a dhe b kanë shenja të ndryshme, dhe, për rrjedhojë, gjatësitë e segmenteve vizatohen në drejtime të ndryshme të boshteve të koordinatave.

Le të shohim një shembull.

Shembulli 1

Një vijë e drejtë jepet nga ekuacioni i një drejtëze në segmente të formës x 3 + y - 5 2 = 1. Është e nevojshme të ndërtohet kjo vijë në një rrafsh në sistemin koordinativ kartezian O x y.

Zgjidhje

Duke përdorur ekuacionin e një drejtëze në segmente, përcaktojmë pikat nëpër të cilat kalon drejtëza. Kjo është 3, 0, 0, - 5 2. Le t'i shënojmë dhe të vizatojmë një vijë.

Reduktimi i ekuacionit të përgjithshëm të një drejtëze në ekuacionin e një drejtëze në segmente

Kalimi nga një ekuacion i caktuar i një drejtëze në një ekuacion të një drejtëze në segmente na e bën më të lehtë zgjidhjen e problemeve të ndryshme. Duke pasur një ekuacion të përgjithshëm të plotë të një drejtëze, mund të marrim ekuacionin e një drejtëze në segmente.

Ekuacioni i përgjithshëm i plotë i një drejtëze në një rrafsh është A x + B y + C = 0, ku A, B dhe C nuk janë të barabarta me zero. Ne transferojmë numrin C në anën e djathtë të barazisë, ndajmë të dy anët e barazisë që rezulton me - C. Në të njëjtën kohë, ne dërgojmë koeficientët e x dhe y te emëruesit:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Për të kryer tranzicionin e fundit, ne përdorëm barazinë p q = 1 q p, p ≠ 0, q ≠ 0.

Si rezultat, ne kemi bërë kalimin nga ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës A x + B y + C = 0 në ekuacionin e drejtëzës në segmentet x a + y b = 1, ku a = - C A, b = - C B.

Le të shohim shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 2

Le të bëjmë kalimin në ekuacionin e një drejtëze në segmente, duke pasur një ekuacion të përgjithshëm të një drejtëze x - 7 y + 1 2 = 0.

Zgjidhje

Lëvizim një sekondë në anën e djathtë të barazisë x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Ne i ndajmë të dyja anët e barazisë me - 1 2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1.

Le të transformojmë barazinë që rezulton në lloji i duhur: 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 ⇔ x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ne kemi marrë ekuacionin e një drejtëze në segmente.

Përgjigje: x - 1 2 + y 1 14 = 1

Në rastet kur një drejtëz jepet nga një ekuacion kanonik ose parametrik i një drejtëze në një rrafsh, atëherë së pari kalojmë në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës dhe më pas në ekuacionin e drejtëzës në segmente.

Është e lehtë të kalosh nga ekuacioni i një rreshti në segmente në ekuacionin e përgjithshëm të një rreshti: ne e transferojmë njësinë nga ana e djathtë e ekuacionit të një rreshti në segmente të formës x a + y b = 1 në anën e majtë me shenjën e kundërt, nënvizoni koeficientët përballë të panjohurave x dhe y.

x a + y b = 1 ⇔ x a + y b - 1 = 0 ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0

Ne marrim një ekuacion të përgjithshëm të një drejtëze, nga e cila mund të kalojmë në çdo lloj ekuacioni tjetër të një drejtëze në rrafsh. Ne diskutuam në detaje procesin e tranzicionit në temën "Reduktimi i ekuacionit të përgjithshëm të një rreshti në llojet e tjera të ekuacionit të një rreshti".

Shembulli 3

Ekuacioni i një drejtëze në segmente ka formën x 2 3 + y - 12 = 1. Është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i përgjithshëm i një vije të drejtë në një plan.

Zgjidhje

Ajo funksionon sipas një algoritmi të përshkruar më parë:

x 2 3 + y - 12 = 1 ⇔ 1 2 3 x + 1 - 12 y - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 x - 1 12 y - 1 = 0

Përgjigje: 3 2 x - 1 12 y - 1 = 0

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan.
Vektori i drejtimit është i drejtë. Vektor normal

Një vijë e drejtë në një aeroplan është një nga më të thjeshtat forma gjeometrike, i njohur për ju që nga ajo kohë klasat e vogla, dhe sot do të mësojmë se si ta trajtojmë atë duke përdorur metodat e gjeometrisë analitike. Për të zotëruar materialin, duhet të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë; e di se çfarë ekuacioni përcakton një drejtëz, në veçanti, një drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave dhe drejtëza paralele me boshtet e koordinatave. Ky informacion mund të gjendet në manual Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare, e kam krijuar për matan, por seksionin rreth funksion linear Doli shumë e suksesshme dhe e detajuar. Prandaj, të dashur çajnik, ngrohuni aty më parë. Përveç kësaj, ju duhet të keni njohuri bazë për vektorët, përndryshe kuptimi i materialit do të jetë i paplotë.

Në këtë mësim do të shikojmë mënyrat në të cilat mund të krijoni një ekuacion të një vije të drejtë në një plan. Unë rekomandoj që të mos neglizhoni shembujt praktikë (edhe nëse duket shumë i thjeshtë), pasi do t'u jap atyre fakte dhe teknika elementare dhe të rëndësishme që do të kërkohen në të ardhmen, përfshirë në seksione të tjera të matematikës së lartë.

• Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze me një koeficient këndi?
• Si ?
• Si të gjeni një vektor drejtimi duke përdorur ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze?
• Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal?

dhe fillojmë:

Ekuacioni i një drejtëze me pjerrësi

Forma e njohur "shkollë" e ekuacionit të drejtë quhet ekuacioni i një vije të drejtë me pjerrësinë. Për shembull, nëse një drejtëz jepet nga ekuacioni, atëherë pjerrësia e saj është: . Le të shqyrtojmë kuptimi gjeometrik të këtij koeficienti dhe si ndikon vlera e tij në vendndodhjen e linjës:

Në lëndën e gjeometrisë vërtetohet se pjerrësia e drejtëzës është e barabartë me tangjente e këndit ndërmjet drejtimit të boshtit pozitivdhe kjo linjë: , dhe këndi "zhvidhos" në drejtim të kundërt të akrepave të orës.

Për të mos rrëmuar vizatimin, vizatova kënde vetëm për dy vija të drejta. Le të shqyrtojmë vijën "e kuqe" dhe pjerrësinë e saj. Sipas sa më sipër: (këndi "alfa" tregohet nga një hark i gjelbër). Për vijën e drejtë "blu" me koeficientin e këndit, barazia është e vërtetë (këndi "beta" tregohet me një hark kafe). Dhe nëse dihet tangjentja e këndit, atëherë nëse është e nevojshme është e lehtë të gjendet dhe vetë këndi duke përdorur funksioni i anasjelltë– arktangjent. Siç thonë ata, një tabelë trigonometrike ose një mikrollogaritës në duart tuaja. Kështu, koeficienti këndor karakterizon shkallën e pjerrësisë së vijës së drejtë ndaj boshtit të abshisës.

Rastet e mëposhtme janë të mundshme:

1) Nëse pjerrësia është negative: atëherë vija, përafërsisht, shkon nga lart poshtë. Shembuj janë linjat e drejta "blu" dhe "mjedër" në vizatim.

2) Nëse pjerrësia është pozitive: atëherë vija shkon nga poshtë lart. Shembuj - vija të drejta "të zeza" dhe "të kuqe" në vizatim.

3) Nëse pjerrësia është zero: , atëherë ekuacioni merr formën , dhe drejtëza përkatëse është paralele me boshtin. Një shembull është vija e drejtë "e verdhë".

4) Për një familje vijash paralele me një bosht (nuk ka asnjë shembull në vizatim, përveç vetë boshtit), koeficienti këndor nuk ekziston (tangjentja prej 90 gradë nuk është e përcaktuar).

Sa më i madh të jetë koeficienti i pjerrësisë në vlerë absolute, aq më i pjerrët shkon grafiku i vijës së drejtë..

Për shembull, merrni parasysh dy vija të drejta. Këtu, pra, vija e drejtë ka një pjerrësi më të madhe. Më lejoni t'ju kujtoj se moduli ju lejon të injoroni shenjën, ne jemi vetëm të interesuar vlerat absolute koeficientët këndorë.

Nga ana tjetër, një vijë e drejtë është më e pjerrët se linjat e drejta .

Anasjelltas: sa më i vogël të jetë koeficienti i pjerrësisë në vlerë absolute, aq më e sheshtë është vija e drejtë.

Për linjat e drejta pabarazia është e vërtetë, pra vija e drejtë është më e sheshtë. Rrëshqitje për fëmijë, për të mos i dhënë vetes mavijosje dhe gunga.

Pse është e nevojshme kjo?

Zgjatni mundimin tuaj Njohja e fakteve të mësipërme ju lejon të shihni menjëherë gabimet tuaja, në veçanti, gabimet kur ndërtoni grafikët - nëse vizatimi rezulton të jetë "qartësisht diçka e gabuar". Është e këshillueshme që ju menjëherë ishte e qartë se, për shembull, vija e drejtë është shumë e pjerrët dhe shkon nga poshtë lart, dhe vija e drejtë është shumë e sheshtë, e shtypur afër boshtit dhe shkon nga lart poshtë.

Në problemet gjeometrike, shpesh shfaqen disa vija të drejta, kështu që është e përshtatshme t'i caktoni ato disi.

Emërtimet: vijat e drejta shënohen me shkronja të vogla latine: . Një opsion popullor është përcaktimi i tyre duke përdorur të njëjtën shkronjë me nënshkrime natyrore. Për shembull, pesë rreshtat që sapo shikuam mund të shënohen me .

Meqenëse çdo vijë e drejtë përcaktohet në mënyrë unike nga dy pika, ajo mund të shënohet me këto pika: etj. Emërtimi nënkupton qartë se pikat i përkasin vijës.

Është koha për t'u ngrohur pak:

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze me një koeficient këndi?

Nëse dihet një pikë që i përket një drejtëze të caktuar dhe koeficienti këndor i kësaj drejtëze, atëherë ekuacioni i kësaj drejtëze shprehet me formulën:

Shembulli 1

Shkruani një ekuacion të drejtëzës me koeficient këndor nëse dihet se pika i përket kësaj drejtëze.

Zgjidhje: Le të hartojmë ekuacionin e drejtëzës duke përdorur formulën . Në këtë rast:

Përgjigju:

Ekzaminimi bëhet thjesht. Së pari, ne shikojmë ekuacionin që rezulton dhe sigurohemi që pjerrësia jonë të jetë në vend. Së dyti, koordinatat e pikës duhet të plotësojnë këtë ekuacion. Le t'i lidhim ato në ekuacionin:

Përftohet barazia e saktë, që do të thotë se pika plotëson ekuacionin që rezulton.

konkluzioni: Ekuacioni u gjet saktë.

Një shembull më i ndërlikuar për vendim i pavarur:

Shembulli 2

Shkruani një ekuacion për një drejtëz nëse dihet se këndi i saj i prirjes ndaj drejtimit pozitiv të boshtit është , dhe pika i përket kësaj drejtëze.

Nëse keni ndonjë vështirësi, rilexoni material teorik. Më saktë, më praktike, i anashkaloj shumë prova.

Ka rënë zilja e fundit, ka përfunduar ceremonia e diplomimit dhe jashtë portave të shkollës sonë të lindjes na pret vetë gjeometria analitike. Shakatë kanë mbaruar... Ose ndoshta ata sapo kanë filluar =)

Me nostalgji tundim stilolapsin drejt të njohurit dhe njihemi me ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë. Sepse në gjeometrinë analitike kjo është pikërisht ajo që përdoret:

Ekuacioni i përgjithshëm vija e drejtë ka formën: , ku janë disa numra. Në të njëjtën kohë, koeficientët njëkohësisht nuk janë të barabarta me zero, pasi ekuacioni humbet kuptimin e tij.

Le të vishemi me kostum dhe ta lidhim ekuacionin me koeficientin e pjerrësisë. Së pari, le t'i zhvendosim të gjitha termat në anën e majtë:

Termi me "X" duhet të vihet në radhë të parë:

Në parim, ekuacioni tashmë ka formën , por sipas rregullave të mirësjelljes matematikore, koeficienti i termit të parë (në këtë rast) duhet të jetë pozitiv. Shenjat e ndryshimit:

Mos harroni këtë veçori teknike! Koeficientin e parë (më shpesh) e bëjmë pozitiv!

Në gjeometrinë analitike, ekuacioni i një drejtëze pothuajse gjithmonë do të jepet në formë të përgjithshme. Epo, nëse është e nevojshme, mund të reduktohet lehtësisht në formën "shkollë" me një koeficient këndor (me përjashtim të vijave të drejta paralele me boshtin e ordinatave).

Le të pyesim veten se çfarë mjaftueshëm dini të ndërtoni një vijë të drejtë? Dy pikë. Por më shumë rreth këtij incidenti të fëmijërisë, tani qëndron rregulli me shigjeta. Çdo vijë e drejtë ka një pjerrësi shumë specifike, e cila është e lehtë për t'u "përshtatur". vektoriale.

Një vektor që është paralel me një drejtëzë quhet vektor i drejtimit të asaj drejtëze. Është e qartë se çdo vijë e drejtë ka pafundësisht shumë vektorë drejtimi, dhe të gjithë do të jenë kolinear (bashkëdrejtues ose jo - nuk ka rëndësi).

Vektorin e drejtimit do ta shënoj si më poshtë: .

Por një vektor nuk mjafton për të ndërtuar një vijë të drejtë, vektori është i lirë dhe nuk është i lidhur me asnjë pikë në rrafsh. Prandaj, është gjithashtu e nevojshme të dihet një pikë që i përket linjës.

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi?

Nëse dihet ndonjë pikë që i përket një drejtëze dhe vektori i drejtimit të kësaj drejtëze , atëherë ekuacioni i kësaj rreshti mund të përpilohet duke përdorur formulën:

Ndonjëherë quhet ekuacioni kanonik e drejtpërdrejtë .

Çfarë duhet bërë kur një nga koordinatatështë e barabartë me zero, do ta kuptojmë në shembujt praktikë më poshtë. Nga rruga, ju lutem vini re - të dyja përnjëherë koordinatat nuk mund të jenë të barabarta me zero, pasi vektori zero nuk specifikon një drejtim specifik.

Shembulli 3

Shkruani një ekuacion për një drejtëz duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Zgjidhje: Le të hartojmë ekuacionin e një drejtëze duke përdorur formulën. Në këtë rast:

Duke përdorur vetitë e proporcionit, ne shpëtojmë nga thyesat:

Dhe ne e sjellim ekuacionin në pamjen e përgjithshme:

Përgjigju:

Si rregull, nuk ka nevojë të bëni një vizatim në shembuj të tillë, por për hir të të kuptuarit:

Në vizatim shohim pikën e fillimit, vektorin e drejtimit origjinal (mund të vizatohet nga çdo pikë e rrafshit) dhe vijën e drejtë të ndërtuar. Nga rruga, në shumë raste është më e përshtatshme për të ndërtuar një vijë të drejtë duke përdorur një ekuacion me një koeficient këndor. Është e lehtë të transformojmë ekuacionin tonë në formë dhe të zgjedhim lehtësisht një pikë tjetër për të ndërtuar një vijë të drejtë.

Siç u përmend në fillim të paragrafit, një vijë e drejtë ka një numër të pafund të vektorëve të drejtimit, dhe të gjithë ata janë kolinear. Për shembull, unë vizatova tre vektorë të tillë: . Cilido qoftë vektori i drejtimit që zgjedhim, rezultati do të jetë gjithmonë i njëjti ekuacion drejtvizor.

Le të krijojmë një ekuacion të një vije të drejtë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi:

Zgjidhja e proporcionit:

Ndani të dyja anët me –2 dhe merrni ekuacionin e njohur:

Të interesuarit mund të testojnë vektorët në të njëjtën mënyrë ose ndonjë vektor tjetër kolinear.

Tani le të zgjidhim problemin e anasjelltë:

Si të gjeni një vektor drejtimi duke përdorur ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze?

Shumë e thjeshtë:

Nëse një drejtëz jepet nga një ekuacion i përgjithshëm, atëherë vektori është vektori i drejtimit të kësaj drejtëze.

Shembuj të gjetjes së vektorëve të drejtimit të drejtëzave:

Deklarata na lejon të gjejmë vetëm një vektor drejtimi nga një numër i pafund, por nuk kemi nevojë për më shumë. Edhe pse në disa raste këshillohet të zvogëlohen koordinatat e vektorëve të drejtimit:

Kështu, ekuacioni specifikon një vijë të drejtë që është paralele me boshtin dhe koordinatat e vektorit të drejtimit që rezulton ndahen në mënyrë të përshtatshme me –2, duke marrë saktësisht vektorin bazë si vektorin e drejtimit. Logjike.

Në mënyrë të ngjashme, ekuacioni specifikon një vijë të drejtë paralele me boshtin, dhe duke pjesëtuar koordinatat e vektorit me 5, marrim vektorin ort si vektor të drejtimit.

Tani le ta bëjmë duke kontrolluar shembullin 3. Shembulli u ngrit, kështu që ju kujtoj se në të kemi përpiluar ekuacionin e një drejtëze duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Së pari, duke përdorur ekuacionin e drejtëzës rindërtojmë vektorin e drejtimit të saj: – çdo gjë është në rregull, ne kemi marrë vektorin origjinal (në disa raste rezultati mund të jetë një vektor kolinear me atë origjinal, dhe kjo zakonisht vërehet lehtë nga proporcionaliteti i koordinatave përkatëse).

Së dyti, koordinatat e pikës duhet të plotësojnë ekuacionin. Ne i zëvendësojmë ato në ekuacionin:

Është marrë barazia e saktë, për të cilën jemi shumë të lumtur.

konkluzioni: Detyra u krye saktë.

Shembulli 4

Shkruani një ekuacion për një drejtëz duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit. Është shumë e këshillueshme që të kontrolloni duke përdorur algoritmin e sapo diskutuar. Mundohuni të kontrolloni gjithmonë (nëse është e mundur) një draft. Është marrëzi të bësh gabime ku mund të shmangen 100%.

Në rast se njëra nga koordinatat e vektorit të drejtimit është zero, veproni shumë thjesht:

Shembulli 5

Zgjidhje: Formula nuk është e përshtatshme pasi emëruesi në anën e djathtë është zero. Ka një rrugëdalje! Duke përdorur vetitë e proporcionit, ne e rishkruajmë formulën në formë, dhe pjesa tjetër rrotullohet përgjatë një rutine të thellë:

Përgjigju:

Ekzaminimi:

1) Rivendos vektorin drejtues të linjës:
– vektori që rezulton është kolinear me vektorin e drejtimit origjinal.

2) Zëvendësoni koordinatat e pikës në ekuacionin:

Merret barazia e saktë

konkluzioni: detyra e përfunduar saktë

Shtrohet pyetja, pse të shqetësoheni me formulën nëse ekziston një version universal që do të funksionojë në çdo rast? Ka dy arsye. Së pari, formula është në formën e një fraksioni mbahet mend shumë më mirë. Dhe së dyti, disavantazhi i formulës universale është se rreziku për t'u ngatërruar rritet ndjeshëm kur zëvendësohen koordinatat.

Shembulli 6

Shkruani një ekuacion për një drejtëz duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Le të kthehemi te dy pikat e kudogjendura:

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze duke përdorur dy pika?

Nëse njihen dy pika, atëherë ekuacioni i një vije të drejtë që kalon nëpër këto pika mund të përpilohet duke përdorur formulën:

Në fakt, ky është një lloj formule dhe ja pse: nëse njihen dy pika, atëherë vektori do të jetë vektori i drejtimit të vijës së dhënë. Në klasë Vektorë për dummies ne shqyrtuam problemin më të thjeshtë - si të gjejmë koordinatat e një vektori nga dy pika. Sipas këtij problemi, koordinatat e vektorit të drejtimit janë:

Shënim : pikat mund të "këmbehen" dhe formula mund të përdoret. Një zgjidhje e tillë do të jetë ekuivalente.

Shembulli 7

Shkruani një ekuacion të drejtëzit duke përdorur dy pika .

Zgjidhje: Ne përdorim formulën:

Krehja e emëruesve:

Dhe përzieni kuvertën:

Tani është koha për të hequr qafe numrat thyesorë. Në këtë rast, duhet të shumëzoni të dy anët me 6:

Hapni kllapat dhe sillni në mendje ekuacionin:

Përgjigju:

Ekzaminimiështë e qartë - koordinatat e pikave fillestare duhet të plotësojnë ekuacionin që rezulton:

1) Zëvendësoni koordinatat e pikës:

Barazi e vërtetë.

2) Zëvendësoni koordinatat e pikës:

Barazi e vërtetë.

konkluzioni: Ekuacioni i drejtëzës është shkruar saktë.

Nëse të paktën një e pikëve nuk e plotëson ekuacionin, kërkoni një gabim.

Vlen të përmendet se verifikimi grafik në këtë rast është i vështirë, pasi ndërtoni një vijë të drejtë dhe shikoni nëse pikat i përkasin asaj , jo aq e thjeshtë.

Do të shënoj disa aspekte të tjera teknike të zgjidhjes. Ndoshta në këtë problem është më fitimprurëse përdorimi i formulës së pasqyrës dhe në të njëjtat pika bëni një ekuacion:

Më pak fraksione. Nëse dëshironi, mund ta kryeni zgjidhjen deri në fund, rezultati duhet të jetë i njëjti ekuacion.

Pika e dytë është të shikojmë përgjigjen përfundimtare dhe të kuptojmë nëse mund të thjeshtohet më tej? Për shembull, nëse merrni ekuacionin , atëherë këshillohet ta zvogëloni atë me dy: - ekuacioni do të përcaktojë të njëjtën vijë të drejtë. Megjithatë, kjo tashmë është një temë bisede pozicioni relativ i vijave.

Pasi ka marrë përgjigjen në shembullin 7, për çdo rast, kontrollova nëse TË GJITHA koeficientët e ekuacionit janë të pjesëtueshëm me 2, 3 ose 7. Edhe pse, më së shpeshti reduktime të tilla bëhen gjatë zgjidhjes.

Shembulli 8

Shkruani një ekuacion për një vijë që kalon nëpër pika .

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur, e cila do t'ju lejojë të kuptoni dhe praktikoni më mirë teknikat e llogaritjes.

Ngjashëm me paragrafin e mëparshëm: nëse në formulë njëri prej emërtuesve (koordinata e vektorit të drejtimit) bëhet zero, pastaj e rishkruajmë në formën . Përsëri, vini re se sa e sikletshme dhe e hutuar duket ajo. Unë nuk shoh shumë kuptim në dhënien e shembujve praktikë, pasi ne e kemi zgjidhur tashmë këtë problem (shih nr. 5, 6).

Vektor normal i drejtpërdrejtë (vektor normal)

Çfarë është normale? Me fjalë të thjeshta, normalja është pingul. Domethënë, vektori normal i një drejtëze është pingul me një drejtëz të caktuar. Natyrisht, çdo vijë e drejtë ka një numër të pafund të tyre (si dhe vektorët e drejtimit), dhe të gjithë vektorët normalë të vijës së drejtë do të jenë kolinearë (bashkëdrejtues ose jo, nuk bën dallim).

Ballafaqimi me ta do të jetë edhe më i lehtë sesa me vektorët udhëzues:

Nëse një drejtëz jepet nga një ekuacion i përgjithshëm në një sistem koordinativ drejtkëndor, atëherë vektori është vektori normal i kësaj drejtëze.

Nëse koordinatat e vektorit të drejtimit duhet të "tërhiqen" me kujdes nga ekuacioni, atëherë koordinatat e vektorit normal thjesht mund të "hiqen".

Vektori normal është gjithmonë ortogonal me vektorin e drejtimit të drejtëzës. Le të verifikojmë ortogonalitetin e këtyre vektorëve duke përdorur produkt me pika:

Do të jap shembuj me të njëjtat ekuacione si për vektorin e drejtimit:

A është e mundur të ndërtohet një ekuacion i një drejtëze me një pikë dhe një vektor normal? E ndjej në zorrët e mia, është e mundur. Nëse dihet vektori normal, atëherë drejtimi i vetë vijës së drejtë përcaktohet qartë - kjo është një "strukturë e ngurtë" me një kënd prej 90 gradë.

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal?

Nëse dihet një pikë e caktuar që i përket një drejtëze dhe vektori normal i kësaj linje, atëherë ekuacioni i kësaj drejtëze shprehet me formulën:

Këtu gjithçka funksionoi pa fraksione dhe surpriza të tjera. Ky është vektori ynë normal. Duaje atë. Dhe respekt =)

Shembulli 9

Shkruani një ekuacion të një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal. Gjeni vektorin e drejtimit të drejtëzës.

Zgjidhje: Ne përdorim formulën:

Ekuacioni i përgjithshëm i vijës së drejtë është marrë, le të kontrollojmë:

1) "Hiqni" koordinatat e vektorit normal nga ekuacioni: – po, me të vërtetë, vektori origjinal është marrë nga kushti (ose duhet të merret një vektor kolinear).

2) Le të kontrollojmë nëse pika e plotëson ekuacionin:

Barazi e vërtetë.

Pasi të jemi të bindur se ekuacioni është hartuar saktë, do të përfundojmë pjesën e dytë, më të lehtë të detyrës. Ne nxjerrim vektorin drejtues të vijës së drejtë:

Përgjigju:

Në vizatim situata duket si kjo:

Për qëllime trajnimi, një detyrë e ngjashme për zgjidhjen e pavarur:

Shembulli 10

Shkruani një ekuacion të një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal. Gjeni vektorin e drejtimit të drejtëzës.

Pjesa e fundit e mësimit do t'i kushtohet llojeve më pak të zakonshme, por edhe të rëndësishme të ekuacioneve të një linje në një plan

Ekuacioni i një drejtëze në segmente.
Ekuacioni i drejtëzës në formë parametrike

Ekuacioni i një drejtëze në segmente ka formën , ku janë konstante jozero. Disa lloje ekuacionesh nuk mund të përfaqësohen në këtë formë, për shembull, proporcionaliteti i drejtpërdrejtë (pasi termi i lirë është i barabartë me zero dhe nuk ka asnjë mënyrë për të marrë një në anën e djathtë).

Ky është, në mënyrë figurative, një lloj ekuacioni "teknik". Një detyrë e zakonshme është të paraqesë ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze si një ekuacion të një drejtëze në segmente. Si është i përshtatshëm? Ekuacioni i një linje në segmente ju lejon të gjeni shpejt pikat e kryqëzimit të një drejtëze me boshtet koordinative, të cilat mund të jenë shumë të rëndësishme në disa probleme të matematikës më të lartë.

Le të gjejmë pikën e kryqëzimit të drejtëzës me boshtin. Ne rivendosim "y" dhe ekuacioni merr formën . Pika e dëshiruar fitohet automatikisht: .

E njëjta gjë me boshtin – pika në të cilën drejtëza pret boshtin e ordinatave.

Ekuacioni i vijës së formës , ku a Dhe b– thirren disa numra realë përveç zeros ekuacioni i një drejtëze në segmente. Ky emër nuk është i rastësishëm, pasi vlerat absolute të numrave A Dhe b e barabartë me gjatësitë e segmenteve që i pret vija e drejtë në boshtet koordinative kau Dhe Oy përkatësisht (segmentet numërohen nga origjina). Kështu, ekuacioni i një linje në segmente e bën të lehtë ndërtimin e kësaj linje në një vizatim. Për ta bërë këtë, duhet të shënoni pikat me koordinata dhe në një sistem koordinativ drejtkëndor në aeroplan dhe të përdorni një vizore për t'i lidhur ato me një vijë të drejtë.

Për shembull, le të ndërtojmë një vijë të drejtë të dhënë nga një ekuacion në segmente të formës . Shënoni pikat dhe lidhini ato.

Ju mund të merrni informacion të detajuar në lidhje me këtë lloj ekuacioni të një linje në një plan në ekuacionin e artikullit të një rreshti në segmente.

Në krye të faqes

Fundi i punës -

Kjo temë i përket seksionit:

Algjebra dhe gjeometria analitike. Koncepti i një matrice, veprimet mbi matricat dhe vetitë e tyre

Koncepti i një matrice është operacionet mbi matricat dhe vetitë e tyre.. një matricë është një tabelë drejtkëndëshe e përbërë nga numra që nuk mund të jenë.. dhe mbledhja e matricës është një veprim sipas elementeve..

Nëse keni nevojë për materiale shtesë për këtë temë, ose nuk keni gjetur atë që po kërkoni, ju rekomandojmë të përdorni kërkimin në bazën e të dhënave tona të veprave:

Çfarë do të bëjmë me materialin e marrë:

Nëse ky material ishte i dobishëm për ju, mund ta ruani në faqen tuaj në rrjetet sociale:

Tweet

Të gjitha temat në këtë seksion:

Përkufizimi i diferencimit
Veprimi i gjetjes së derivatit quhet diferencim i një funksioni. Një funksion thuhet se është i diferencueshëm në një pikë nëse ka një derivat të fundëm në atë pikë, dhe

Rregulli i diferencimit
Përfundim 1. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit:

Kuptimi gjeometrik i derivatit. Ekuacioni tangjent
Këndi i prirjes së drejtëzës y = kx+b është këndi i matur nga pozicioni

Kuptimi gjeometrik i derivatit të një funksioni në një pikë
Le të shqyrtojmë sekantin AB të grafikut të funksionit y = f(x) të tillë që pikat A dhe B të kenë përkatësisht koordinata.

Zgjidhje
Funksioni i përcaktuar për të gjithë numra realë. Meqenëse (-1; -3) është një pikë tangjence, atëherë

Kushtet e nevojshme për një ekstrem dhe kushtet e mjaftueshme për një ekstrem
Përkufizimi i një funksioni në rritje. Funksioni y = f(x) rritet në intervalin X nëse ka ndonjë

Shenjat e mjaftueshme të një ekstremi të një funksioni
Për të gjetur maksimumin dhe minimumin e një funksioni, mund të përdorni një nga tre indikacione të mjaftueshme ekstreme. Edhe pse më e zakonshme dhe më e përshtatshme është e para prej tyre.

Vetitë themelore të një integrali të caktuar. Veti 1. Derivat i integral i caktuar në kufirin e sipërm është i barabartë me integrandin në të cilin në vend të një ndryshore është integruar

Formula Njuton-Leibniz (me prova)
Formula Njuton-Leibniz. Le të jetë funksioni y = f(x) i vazhdueshëm në një interval dhe F(x) të jetë një nga antiderivativët e funksionit në këtë interval, atëherë ekuacioni

Ekuacioni i një drejtëze në segmente

Le të jepet ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze:

Ekuacioni i drejtëzës në segmente, ku janë segmentet që i pret drejtëza në boshtet koordinative përkatëse.

Ndërtoni një vijë të drejtë të dhënë nga ekuacioni i përgjithshëm:

Nga i cili mund të ndërtojmë një ekuacion të kësaj linje në segmente:

Pozicioni relativ i vijave në një plan.

Deklarata 1.

Në mënyrë për drejtëza dhe të dhëna me ekuacione:

Rastësia është e nevojshme dhe e mjaftueshme në mënyrë që:

Vërtetim: dhe përputhen, vektorët e tyre të drejtimit dhe janë kolinear, d.m.th.:

Le të marrim pikën M 0 me këtë drejtëz, atëherë:

Duke shumëzuar ekuacionin e parë me dhe duke i shtuar të dytit me (2) marrim:

Pra, formulat (2), (3) dhe (4) janë ekuivalente. Le të jetë e kënaqur (2), atëherë ekuacionet e sistemit (*) janë ekuivalente të drejtëzat përkatëse;

Deklarata 2.

Drejtëzat dhe të dhëna nga ekuacionet (*) janë paralele dhe nuk përkojnë nëse dhe vetëm nëse:

Dëshmi:

Edhe nëse nuk përputhen:

I paqëndrueshëm, d.m.th., sipas teoremës Kronecker-Capelli:

Kjo është e mundur vetëm nëse:

Domethënë kur plotësohet kushti (5).

Kur plotësohet barazia e parë (5), - mospërmbushja e barazisë së dytë rezulton në papajtueshmërinë e sistemit (*) vijat janë paralele dhe nuk përkojnë.

Shënim 1.

Sistemi i koordinatave polar.

Le të rregullojmë një pikë në aeroplan dhe ta quajmë atë një shtyllë. Rrezja që del nga poli do të quhet bosht polar.

Le të zgjedhim një shkallë për matjen e gjatësive të segmenteve dhe të biem dakord që rrotullimi rreth pikës në drejtim të kundërt të akrepave të orës do të konsiderohet pozitiv. Merrni parasysh çdo pikë aeroplan i dhënë, shënoni me distancën e tij nga poli dhe quani atë rreze polare. Këndi me të cilin boshti polar duhet të rrotullohet në mënyrë që të përputhet me do të shënohet dhe quhet kënd polar.

Përkufizimi 3.

Koordinatat polare të një pike janë rrezja polare dhe këndi polar:

Vërejtje 2. në shtyllë. Vlera për pika të ndryshme nga një pikë përcaktohet deri në një term.

Konsideroni një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian: poli përkon me origjinën, dhe boshti polar përkon me gjysmë-boshtin pozitiv. Këtu. Pastaj:

Cila është marrëdhënia midis sistemeve të koordinatave drejtkëndore karteziane dhe atyre polare.

Ekuacioni lemniskat i Bernulit. Shkruajeni atë në sistemin e koordinatave polar.

Ekuacioni normal i një drejtëze në një rrafsh. Le të përkojë boshti polar me, - boshti që kalon nëpër origjinë. Le të:

Lëreni atëherë:

Kushti (**) për pikën:

Ekuacioni i një drejtëze në një sistem koordinativ polar.

Këtu - gjatësia e tërhequr nga origjina në vijën e drejtë, - këndi i prirjes së normales ndaj boshtit.

Ekuacioni (7) mund të rishkruhet:

Ekuacioni normal i një drejtëze në një rrafsh.