Zgjerimi i një polinomi mbi fushën e numrave realë. Teorema themelore e algjebrës së numrave kompleks

Reduktueshmëria e polinomeve varet nga fusha mbi të cilën ata konsiderohen. Një polinom është i pakalueshëm (një polinom që nuk mund të faktorizohet në faktorë të shkallës më të ulët) mbi fushën Q dhe është i reduktueshëm mbi fushën R.

Vetitë e polinomeve të pareduktueshme:

1. Një polinom i shkallës zero është i reduktueshëm mbi çdo fushë
2. Nëse një polinom f(x) nuk mund të reduktohet në fushë R, atëherë polinomi a f(x) gjithashtu nuk është i reduktueshëm në fushë R.
3. Le të jenë polinomet f (x) Dhe p(x) mbi fushë R, dhe p(x) – i pakalueshëm mbi një fushë R, atëherë rastet janë të mundshme

1) polinomet f (x) Dhe p(x) janë relativisht të parë

2) f(x): (plotësisht) p(x)

Një fushë quhet e mbyllur algjebrikisht nëse ndonjë polinom mbi këtë fushë që nuk është i barabartë me një konstante ka të paktën një rrënjë. Nga teorema e Bezout rrjedh menjëherë se mbi një fushë të tillë çdo polinom jo konstant mund të zbërthehet në një produkt të faktorëve linearë. Në këtë kuptim, fushat e mbyllura algjebrikisht janë më të thjeshta në strukturë sesa fushat joalgjebrike të mbyllura. Ne e dimë se mbi fushën e numrave realë jo çdo trinom katror ka një rrënjë, kështu që fusha ℝ nuk është e mbyllur algjebrikisht. Rezulton se atij i mungon vetëm paksa mbyllja algjebrike. Me fjalë të tjera: pasi kemi zgjidhur një problem në dukje të veçantë për një ekuacion, ne zgjidhëm njëkohësisht të gjitha ekuacionet e tjera polinomiale.

TEOREMA THEMELORE E ALGJEBRËS.Çdo polinom mbi fushën ℂ që nuk është i barabartë me një konstante ka të paktën një rrënjë komplekse.

HETIMI. Ne mund të zgjerojmë çdo polinom që nuk është i barabartë me një konstante në fushën e numrave kompleksë në një produkt të faktorëve linearë:

Këtu është koeficienti kryesor i polinomit, janë të gjitha rrënjët e ndryshme komplekse të polinomit dhe janë shumëzimet e tyre. Barazia duhet të plotësohet

Vërtetimi i përfundimit është një induksion i thjeshtë mbi shkallën e polinomit.

Në fusha të tjera situata nuk është aq e mirë përsa i përket zbërthimit të polinomeve. Ne e quajmë një polinom të pakalueshëm nëse, së pari, nuk është një konstante dhe, së dyti, nuk mund të zbërthehet në një produkt polinomesh të shkallëve më të ulëta. Është e qartë se çdo polinom linear (mbi çdo fushë) është i pakalueshëm. Përfundimi mund të riformulohet si më poshtë: polinomet e pakalueshëm mbi fushën e numrave kompleksë me një koeficient njësi kryesore (me fjalë të tjera: unitar) shterohen nga polinomet e formës ().

Zbërthimi i një trinomi kuadratik është i barabartë me praninë e të paktën një rrënjë. Duke e shndërruar ekuacionin në formë, arrijmë në përfundimin se rrënja e një trinomi katror ekziston nëse dhe vetëm nëse diskriminuesi është katrori i ndonjë elementi të fushës K (këtu supozojmë se 2≠ 0 në fushën K). Nga këtu marrim

OFERTA. Një trinom katror mbi një fushë K në të cilën 2≠ 0 është i pakalueshëm nëse dhe vetëm nëse nuk ka rrënjë në fushën K. Kjo është e barabartë me faktin se diskriminuesi nuk është katrori i asnjë elementi të fushës K. Në veçanti , mbi fushën e numrave real trinomi katror I pareduktueshëm nëse dhe vetëm nëse.

Pra, mbi fushën e numrave realë ekzistojnë të paktën dy lloje polinomesh të pakalueshëm: linear dhe kuadratik dhe diskriminues negativ. Rezulton se këto dy raste shterojnë grupin e polinomeve të pakalueshëm mbi ℝ.

TEOREMA. Ne mund të zbërthejmë çdo polinom mbi fushën e numrave realë në një produkt të faktorëve linearë dhe faktorëve kuadratikë me diskriminues negativë:

Këtu janë të gjitha rrënjët e ndryshme reale të polinomit, shumëzimet e tyre, të gjithë diskriminuesit janë më pak se zero dhe trinomet kuadratike janë të gjithë të ndryshëm.

Së pari vërtetojmë lemën

LEMMA. Nëse ka ndonjë, atëherë numri i konjuguar është gjithashtu rrënja e polinomit.

Dëshmi. Le të jetë një rrënjë komplekse e një polinomi. Pastaj

ku kemi përdorur vetitë mate. Prandaj, . Pra, është rrënja e polinomit. □

Vërtetimi i teoremës. Mjafton të vërtetohet se çdo polinom i pakalueshëm mbi fushën e numrave realë është ose linear ose kuadratik me një diskriminues negativ. Le të jetë një polinom i pakalueshëm me koeficient prijës njësi. Në rastin ne kemi marrë menjëherë për disa reale. Le të pretendojmë se. Le të shënojmë me ndonjë rrënjë komplekse të këtij polinomi, i cili ekziston sipas teoremës themelore të algjebrës së numrave kompleksë. Meqenëse është i pakalueshëm, atëherë (shih teoremën e Bezout). Pastaj, nga lema, do të jetë një tjetër rrënjë e polinomit, e ndryshme nga.

Një polinom ka koeficientë realë. Përveç kësaj, pjesëton sipas teoremës së Bezout. Meqenëse është i pakalueshëm dhe ka një koeficient prijës për njësi, marrim barazi. Diskriminuesi i këtij polinomi është negativ, pasi përndryshe do të kishte rrënjë reale.□

SHEMBUJ. A. Le ta zbërthejmë polinomin në faktorë të pareduktueshëm. Ndër pjesëtuesit e termit konstant 6, ne kërkojmë rrënjët e polinomit. Sigurohemi që 1 dhe 2 të jenë rrënjë. Kështu polinomi pjesëtohet me. Duke u ndarë, ne gjejmë

Zgjerimi përfundimtar mbi fushën, sepse diskriminuesi i trinomit katror është negativ dhe, për rrjedhojë, nuk mund të zgjerohet më tej mbi fushën e numrave realë. Ne marrim një zgjerim të të njëjtit polinom mbi fushën e numrave kompleksë nëse gjejmë rrënjët komplekse të trinomit katror. Ata janë thelbi. Pastaj

Zgjerimi i këtij polinomi mbi

B. Le të zgjerojmë fushat e numrave realë dhe kompleksë. Meqenëse ky polinom nuk ka rrënjë reale, ai mund të zbërthehet në dy trinome katrore me diskriminues negativë.

Meqenëse nuk ndryshon kur zëvendësohet me një polinom, atëherë me një zëvendësim të tillë duhet të hyjë trinomi katror dhe anasjelltas. Nga këtu. Barazimi i koeficientëve për ne marrim Në veçanti, . Pastaj nga relacioni (i marrë me zëvendësim nxjerrim, dhe në fund, . Pra,

Zgjerimi mbi fushën e numrave realë.

Për të zgjeruar këtë polinom mbi numrat kompleks, ne zgjidhim ekuacionin ose. Është e qartë se do të ketë rrënjë. Ne marrim të gjitha rrënjët e ndryshme në. Prandaj,

Zgjerimi mbi numrat kompleks. Lehtë për t'u llogaritur

dhe marrim një zgjidhje tjetër për problemin e zgjerimit të një polinomi mbi fushën e numrave realë.

Fundi i punës -

Kjo temë i përket seksionit:

Algjebra themelore dhe kompjuterike

Hyrja.. lënda themelore dhe algjebra kompjuterike është e dedikuar për studentët e drejtimit të matematikës së aplikuar..

Nëse keni nevojë për materiale shtesë për këtë temë, ose nuk keni gjetur atë që po kërkoni, ju rekomandojmë të përdorni kërkimin në bazën e të dhënave tona të veprave:

Çfarë do të bëjmë me materialin e marrë:

Nëse ky material ishte i dobishëm për ju, mund ta ruani në faqen tuaj në rrjetet sociale:

Të gjitha temat në këtë seksion:

N.I. Dubrovin
Vendbanimi Spassky 2012 Përmbajtja Hyrje. 4 Lista e simboleve dhe termave. 5 1 Pak rreth BASIC. 6 2 Teoria naive e grupeve. 9

Pak për BASIC
Në matematikë ata merren me objekte të tilla si numra të natyrave të ndryshme (natyrore, numër i plotë, racional, real, kompleks), polinomet e një dhe disa ndryshoreve, matricat.

Teori naive e grupeve
Një tekst matematikor përbëhet nga përkufizime dhe pohime. Disa pohime, në varësi të rëndësisë dhe lidhjes së tyre me pohimet e tjera, quhen një nga termat e mëposhtëm:

Produkte karteziane
Një çift i renditur, ose thjesht një çift elementësh, është një nga ndërtimet themelore në matematikë. Mund ta imagjinoni si një raft me dy vende - e para dhe e dyta. Shumë shpesh në matematikë nuk është kështu

Numrat e plotë
Numrat (1,2,3,...), të cilët mund të fitohen nga një me mbledhje, quhen numra natyrorë dhe shënohen me ℕ. Një përshkrim aksiomatik i numrave natyrorë mund të jetë i tillë (shih.

Rekursioni
Nga aksiomat N1-N3 te veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit të numrave natyrorë të njohur për të gjithë që nga shkolla fillore, krahasimi i numrave natyrorë me njëri-tjetrin dhe vetitë e formës “nga kthimi i vendeve të termave, shuma nuk

Renditja në bashkësinë e numrave natyrorë
Kompleti ka një lidhje të rendit linear. Le të themi se n

Pjesëtueshmëria e numrave natyrorë
Veprimi i pjesëtimit nuk është gjithmonë i mundur në fushën e numrave natyrorë. Kjo na jep të drejtën të prezantojmë relacionin e pjesëtueshmërisë: le të themi se numri n pjesëton numrin m nëse m=nk për disa k∈ të përshtatshme.

Pjesëtueshmëria e numrave të plotë
Le të shënojmë me -- unazën e numrave të plotë. Termi "unazë" do të thotë se kemi të bëjmë me një grup R në të cilin jepen dy operacione - mbledhje dhe shumëzim, duke iu bindur ligjeve të njohura.

Algoritmi i Euklidit
Jepet një çift numrash të plotë (m,n). Ne e konsiderojmë n një mbetje me numrin 1. Hapi i parë i algoritmit Euklidian është pjesëtimi i m me n me një mbetje, dhe më pas pjesëtimi i mbetjes me mbetjen e fituar rishtazi, derisa kjo e sapopërfituar

Interpretimi matricor i algoritmit Euklidian
Le t'i japim një interpretim matricës algoritmit Euklidian (për matricat, shihni paragrafin tjetër). Le të rishkruajmë sekuencën e pjesëtimeve me një mbetje në formë matrice: Duke zëvendësuar në secilën

Elementet e logjikës
Matematikanët merren me objekte, të tilla si, për shembull, numrat, funksionet, matricat, vijat në një rrafsh, etj., dhe gjithashtu merren me pohime. Një thënie është një lloj narrative

Format shprehëse
A do të jetë shprehja një deklaratë? Jo, ky regjistrim është një formë shprehëse e një ndryshoreje. Nëse zëvendësojmë vlera të vlefshme në vend të një ndryshoreje, marrim deklarata të ndryshme që

Algjebër matricore
Algjebra matricë mbi unazën R (R është unaza e numrave të plotë, fusha e numrave racionalë, fusha e numrave realë) është sistemi algjebrik më i përdorur me një grup operacionesh

Përcaktuesit
Përcaktori i një matrice katrore A është karakteristika numerike e saj, e shënuar me ose. Le të fillojmë me përcaktorët e matricave me dimensione të vogla 1,2,3: PËRKUFIZIM. Pu

Transformimet e planit linear
Dihet se çdo transformim i rrafshit ϕ, duke ruajtur distancat, është ose një përkthim paralel në një vektor, ose një rrotullim rreth pikës O me një kënd α, ose simetri në lidhje me të drejtën.

Numrat kompleks
Në këtë pjesë ne studiojmë vetëm një fushë - fushën e numrave kompleksë ℂ. Nga pikëpamja gjeometrike, është një rrafsh, dhe nga pikëpamja algjebrike, është

Ndërtimi i fushës së numrave kompleks
Ne në fakt kemi ndërtuar tashmë fushën e numrave kompleks në paragrafin e mëparshëm. Për shkak të rëndësisë së jashtëzakonshme të fushës së numrave kompleksë, ne paraqesim ndërtimin e drejtpërdrejtë të saj. Konsideroni një hapësirë ​​me

Lidh numrat kompleks
Fusha e numrave kompleks na jep një veti të re - praninë e një automorfizmi të vazhdueshëm jo-identik (izomorfizëm ndaj vetvetes). Një numër kompleks quhet i konjuguar dhe harta

Forma trigonometrike e shkrimit të numrave kompleks
Le të paraqesim një numër kompleks si vektor. Gjatësia e këtij vektori, d.m.th. madhësia quhet moduli i një numri kompleks dhe shënohet. Ne do ta quajmë sasinë normën e numrit; ndonjëherë është më i përshtatshëm të përdoret e

Eksponent kompleks
Rregulli (2) i paragrafit na jep të drejtën të përcaktojmë eksponentin e një numri thjesht imagjinar: Në të vërtetë, funksioni i përcaktuar në këtë mënyrë ka këto veti: &

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike
Një polinom linear at gjithmonë ka një rrënjë. Trinomi katror nuk ka më gjithmonë rrënjë mbi fushën e numrave realë. Lë të jetë një trinom katror mbi fushën e numrave kompleksë (). Konvoji

Teorema e marrëdhënies së ekuivalencës
Le të jetë " " një lidhje ekuivalente në bashkësinë M. Një element e shënojmë me klasën e ekuivalencës. Më pas bashkësia M ndahet në një bashkim klasash ekuivalente; çdo element nga M në

Një polinom mbi unazën e numrave të plotë quhet primitive, nëse pjesëtuesi më i madh i përbashkët i koeficientëve të tij është 1. Një polinom me koeficientë racionalë përfaqësohet në mënyrë unike si prodhim i një numri racional pozitiv, i quajtur përmbajtjen polinom, dhe polinom primitiv. Prodhimi i polinomeve primitive është një polinom primitiv. Nga ky fakt rezulton se nëse një polinom me koeficientë të plotë është i reduktueshëm mbi fushën e numrave racionalë, atëherë ai është i reduktueshëm mbi unazën e numrave të plotë. Kështu, problemi i faktorizimit të një polinomi në faktorë të pakalueshëm në fushën e numrave racionalë reduktohet në një problem të ngjashëm mbi unazën e numrave të plotë.

Le të jetë një polinom me koeficientë të plotë dhe përmbajtje 1, dhe le të jetë rrënja e tij racionale. Le të imagjinojmë rrënjën e një polinomi si një thyesë e pakalueshme. Polinom f(x) paraqitet si prodhim i polinomeve primitive. Prandaj,

A. numëruesi është pjesëtuesi,

B. emërues – pjesëtues

C. për çdo numër të plotë k kuptimi f(k) - një numër i plotë që është i ndashëm pa mbetje me ( bk-a).

Vetitë e listuara na lejojnë të reduktojmë problemin e gjetjes së rrënjëve racionale të një polinomi në një kërkim të fundëm. Një qasje e ngjashme përdoret në zgjerimin polinomial f te faktorët e pakalueshëm mbi fushën e numrave racionalë duke përdorur metodën Kronecker. Nëse një polinom f(x) gradë n janë dhënë, atëherë një nga faktorët ka një shkallë jo më të lartë se n/2. Le ta shënojmë këtë faktor me g(x). Meqenëse të gjithë koeficientët e polinomeve janë numra të plotë, atëherë për çdo numër të plotë a kuptimi f(a) është i pjesëtueshëm pa mbetje me g(a). Le të zgjedhim m= 1+n/2 numra të plotë të dallueshëm a unë, i=1,…,m. Për numrat g(a i) ka një numër të kufizuar mundësish (numri i pjesëtuesve të çdo numri jozero është i fundëm), prandaj ka një numër të kufizuar polinomesh që mund të jenë pjesëtues f(x). Pasi të kemi kryer një kërkim të plotë, ne ose do të tregojmë pakësueshmërinë e polinomit, ose do ta zgjerojmë atë në prodhimin e dy polinomeve. Ne zbatojmë skemën e treguar për secilin faktor derisa të gjithë faktorët të bëhen polinomë të pakalueshëm.

Pareduktueshmëria e disa polinomeve mbi fushën e numrave racionalë mund të përcaktohet duke përdorur një kriter të thjeshtë Eisenstein.

Le f(x) është një polinom mbi unazën e numrave të plotë. Nëse ka një numër të thjeshtë fq, Çfarë

I. Të gjithë koeficientët e polinomit f(x), përveç koeficientit për shkallën më të lartë, ndahen në fq

II. Koeficienti për shkallën më të lartë nuk pjesëtohet me fq

III. Anëtari i lirë nuk ndahet në

Pastaj polinomi f(x) është i pakalueshëm mbi fushën e numrave racionalë.

Duhet theksuar se kriteri Eisenstein ofron kushte të mjaftueshme për pakësueshmërinë e polinomeve, por jo të nevojshme. Pra, polinomi është i pakalueshëm mbi fushën e numrave racionalë, por nuk e plotëson kriterin Eisenstein.

Polinomi, sipas kriterit të Eisenstein, është i pakalueshëm. Rrjedhimisht, mbi fushën e numrave racional ekziston një polinom i pakalueshëm i shkallës n, Ku nçdo numër natyror më i madh se 1.

Fusha F quhet e mbyllur algjebrikisht nëse çdo polinom me shkallë pozitive mbi F ka një rrënjë në F.

Teorema 5.1 (teorema themelore e algjebrës polinomiale). Fusha e numrave kompleks është algjebrikisht e mbyllur.

Pasoja 5 .1.1. sipër ME Ekzistojnë vetëm polinome të pareduktueshme të shkallës së parë.

Përfundimi 5.1.2. Polinom n-shkalla e lart ME Ajo ka n rrënjë komplekse.

Teorema 5.2. Nëse është një rrënjë komplekse e një polinomi f me koeficientë realë, atëherë edhe numri i konjuguar kompleks është rrënjë f.

Pasoja 5 .2.1. sipër R Ekzistojnë polinome të pakalueshme vetëm të shkallës së parë ose të dytë.

Përfundimi 5.2.2. Rrënjët imagjinare të një polinomi mbi R zbërthehen në çifte konjugatesh komplekse.

Shembulli 5.1. Faktori në faktorë të pakalueshëm gjatë ME dhe më lart R polinom x 4 + 4.

Zgjidhje. Ne kemi

x 4 + 4 =x 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (x 2 + 2) 2 – 4X 2 = (x 2 – 2X+ 2)(x 2 + 2X+ 2) –

zgjerimi mbi R. Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi ME:

x 4 + 4 = (x – 1 – i) (x – 1 + i) (x + 1 – i) (x + 1 + i).

Shembulli 5.2. Ndërtoni një polinom të shkallës më të vogël me koeficientë realë që kanë rrënjët 2 dhe 1 + i.

Zgjidhje. Sipas përfundimit 5.2.2, polinomi duhet të ketë rrënjët 2, 1 - i dhe 1 + i. Koeficientët e tij mund të gjenden duke përdorur formulat e Vieta:

 1 = 2 + (1 - i) + (1 +i) = 4;

 2 = 2 (1 - i) + 2(1 + i) + (1 – i)(1 + i) = 6;

 3 = 2 (1 - i)(1 + i) = 4.

Nga këtu f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

Ushtrime.

5.1. Faktori në faktorë të pakalueshëm gjatë ME dhe më lart R polinomet:

A) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

b) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Ndërtoni një polinom të shkallës më të vogël me koeficientë realë me rrënjë të dyfishtë 1 dhe rrënjë të thjeshtë 1 – 2 i.

6. Polinome mbi fushën e numrave racionalë

Teorema 6.1 (kriteri Eisenstein). Le f = a 0 + a 1 x + ...+ a n x n– një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë fq, Çfarë a 0 , a 1 , … , a n-1 pjesëtohet me fq, a n nuk ndahet me fq,a 0 nuk pjesëtohet me fq 2, atëherë f jo e reduktueshme mbi fushën e numrave racionalë.

Ushtrimi 6.1. Vërtetoni mbi pakësueshmërinë P polinomet:

A) f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3;b) f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

Teorema 6.2. Le – një thyesë e pareduktueshme që është rrënja e një polinomi f = a 0 + a 1 x + … + a n x n me koeficientë të plotë. Pastaj

a 0  fq, a n  q;

f(1)  p–q,f(–1)  p+q.

Kjo teoremë na lejon të zgjidhim problemin e gjetjes së rrënjëve racionale të një polinomi me koeficientë të plotë. Për ta bërë këtë, ne përcaktojmë të gjithë pjesëtuesit e termit të lirë dhe koeficientin kryesor dhe ndërtojmë prej tyre të gjitha llojet e thyesave të pakalueshme. Të gjitha rrënjët racionale përfshihen midis këtyre fraksioneve. Për t'i përcaktuar ato, mund të përdorni skemën e Horner. Për të shmangur llogaritjet e panevojshme në të, ne përdorim deklaratën 2) të Teoremës 6.2.

Shembulli 6.1. Gjeni rrënjët racionale të një polinomi

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Zgjidhje. Shkruajmë të gjitha thyesat numëruesit e të cilave fq – pjesëtuesit janë 18, dhe emëruesit q- ndarësit 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Ne i kontrollojmë ato sipas skemës së Horner:

Gjetja e rrënjës X 1 = –2 dhe pjesëtimi i polinomit me X+ 2, marrim një polinom me një term të ri të lirë –9 (koeficientët e tij janë të nënvizuar). Numëruesit e rrënjëve të mbetura duhet të jenë pjesëtues të këtij numri dhe thyesat që nuk e plotësojnë këtë kusht mund të përjashtohen nga lista. Vlerat e mbetura të numrave të plotë përjashtohen sepse nuk plotësojnë kushtin f(1)fq – q ose f(–1)fq + q. Për shembull, për 3 kemi fq = 3, q= 1, dhe kushti nuk plotësohet f(1) = –21fq – q(njëlloj si kushti i dytë).

Në mënyrë të ngjashme, gjetja e rrënjës X 2 = 3/2, kemi marrë një polinom me një term të ri të lirë prej 3 dhe një koeficient kryesor prej 1 (kur rrënja është e pjesshme, koeficientët e polinomit që rezulton duhet të zvogëlohen). Asnjë numër i mbetur nga lista nuk mund të jetë më rrënja e tij dhe lista e rrënjëve racionale është shteruar.

Rrënjët e gjetura duhet të kontrollohen për shumësi.

Nëse në procesin e zgjidhjes arritëm në një polinom të shkallës së dytë, dhe lista e thyesave nuk është shteruar ende, atëherë rrënjët e mbetura mund të gjenden duke përdorur formulat e zakonshme si rrënjët e një trinomi katror.

Ushtrimi 6.2. Gjeni rrënjët racionale të polinomit

A) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

b) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

në 2 X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

d) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.