Polinomë në disa ndryshore që zgjidhin ekuacione homogjene. Polinomi, forma e tij standarde, shkalla dhe koeficientët e termave

Pas studimit të monomëve, kalojmë te polinomet. Ky artikull do t'ju tregojë për të gjithë informacionin e nevojshëm që kërkohet për të kryer veprime mbi to. Ne do të përcaktojmë një polinom me përkufizimet shoqëruese të një termi polinom, domethënë i lirë dhe i ngjashëm, do të shqyrtojmë një polinom të formës standarde, do të prezantojmë një shkallë dhe do të mësojmë se si ta gjejmë atë dhe do të punojmë me koeficientët e tij.

Polinomi dhe termat e tij - përkufizime dhe shembuj

Përkufizimi i një polinomi është dhënë në 7 klasë pas studimit të monomëve. Le të shohim përkufizimin e tij të plotë.

Përkufizimi 1

Polinom Llogaritet shuma e monomëve, dhe vetë monomi është një rast i veçantë i një polinomi.

Nga përkufizimi rrjedh se shembujt e polinomeve mund të jenë të ndryshëm: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z e kështu me radhë. Nga përkufizimi kemi atë 1+x, a 2 + b 2 dhe shprehja x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x janë polinome.

Le të shohim disa përkufizime të tjera.

Përkufizimi 2

Anëtarët e polinomit quhen monomët përbërës të tij.

Shqyrtoni një shembull ku kemi një polinom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, i përbërë nga 4 terma: 3 x 4, − 2 x y, 3 dhe − y 3. Një monom i tillë mund të konsiderohet një polinom, i cili përbëhet nga një term.

Përkufizimi 3

Polinomet që përmbajnë 2, 3 trinome kanë emrin përkatës - binom Dhe trinom.

Nga kjo rrjedh se një shprehje e formës x+y– është një binom, dhe shprehja 2 x 3 q − q x x x + 7 b është një trinom.

Sipas kurrikulës së shkollës kemi punuar me një binom linear të formës a · x + b, ku a dhe b janë disa numra dhe x është një ndryshore. Le të shqyrtojmë shembuj të binomeve lineare të formës: x + 1, x · 7, 2 − 4 me shembuj të trinomeve katrore x 2 + 3 · x − 5 dhe 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

Për të transformuar dhe zgjidhur, është e nevojshme të gjenden dhe të sjellin terma të ngjashëm. Për shembull, një polinom i formës 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ka terma të ngjashëm 1 dhe - 3, 5 x dhe 2 x. Ata ndahen në një grup të veçantë të quajtur anëtarë të ngjashëm të polinomit.

Përkufizimi 4

Terma të ngjashëm të një polinomi janë terma të ngjashëm që gjenden në një polinom.

Në shembullin e mësipërm, kemi që 1 dhe - 3, 5 x dhe 2 x janë terma të ngjashëm të polinomit ose termave të ngjashëm. Për të thjeshtuar shprehjen, gjeni dhe zvogëloni terma të ngjashëm.

Polinom i formës standarde

Të gjithë monomët dhe polinomet kanë emrat e tyre të veçantë.

Përkufizimi 5

Polinom i formës standardeështë një polinom në të cilin çdo term i përfshirë në të ka një monom të formës standarde dhe nuk përmban terma të ngjashëm.

Nga përkufizimi është e qartë se është e mundur të zvogëlohen polinomet e formës standarde, për shembull, 3 x 2 − x y + 1 dhe __formula__, dhe hyrja është në formë standarde. Shprehjet 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z dhe 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z nuk janë polinome të formës standarde, pasi i pari prej tyre ka terma të ngjashëm në forma 3 · x 2 dhe − x 2, dhe i dyti përmban një monom të formës x · y 3 · x · z 2, i cili ndryshon nga polinomi standard.

Nëse rrethanat e kërkojnë atë, ndonjëherë polinomi reduktohet në një formë standarde. Koncepti i një termi të lirë të një polinomi konsiderohet gjithashtu një polinom i formës standarde.

Përkufizimi 6

Termi i lirë i një polinomiështë një polinom i formës standarde që nuk ka një pjesë të drejtpërdrejtë.

Me fjalë të tjera, kur një polinom në formë standarde ka një numër, ai quhet anëtar i lirë. Atëherë numri 5 është termi i lirë i polinomit x 2 z + 5, dhe polinomi 7 a + 4 a b + b 3 nuk ka një term të lirë.

Shkalla e një polinomi - si ta gjejmë atë?

Vetë përkufizimi i shkallës së një polinomi bazohet në përcaktimin e një polinomi të formës standarde dhe në shkallët e monomëve që janë përbërës të tij.

Përkufizimi 7

Shkalla e një polinomi të formës standarde quhet më e madhja nga shkallët e përfshira në shënimin e saj.

Le të shohim një shembull. Shkalla e polinomit 5 x 3 − 4 është e barabartë me 3, sepse monomët e përfshirë në përbërjen e tij kanë shkallë 3 dhe 0, dhe më e madhja prej tyre është përkatësisht 3. Përkufizimi i shkallës nga polinomi 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x është i barabartë me numrin më të madh, domethënë 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 dhe 1, që do të thotë 5. .

Është e nevojshme të zbulohet se si gjendet vetë shkalla.

Përkufizimi 8

Shkalla e një polinomi të një numri arbitrarështë shkalla e polinomit përkatës në formë standarde.

Kur një polinom nuk shkruhet në formë standarde, por duhet të gjesh shkallën e tij, duhet ta reduktosh në formën standarde dhe më pas të gjesh shkallën e kërkuar.

Shembulli 1

Gjeni shkallën e një polinomi 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Zgjidhje

Së pari, le të paraqesim polinomin në formë standarde. Ne marrim një shprehje të formës:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Kur marrim një polinom të formës standarde, gjejmë se dy prej tyre dallohen qartë - 2 · a 2 · b 2 · c 2 dhe y 2 · z 2 . Për të gjetur shkallët, numërojmë dhe gjejmë se 2 + 2 + 2 = 6 dhe 2 + 2 = 4. Mund të shihet se më i madhi prej tyre është 6. Nga përkufizimi del se 6 është shkalla e polinomit − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , dhe për rrjedhojë vlera fillestare.

Përgjigju: 6 .

Koeficientët e termave polinom

Përkufizimi 9

Kur të gjithë termat e një polinomi janë monomë të formës standarde, atëherë në këtë rast ata kanë emrin koeficientët e termave polinom. Me fjalë të tjera, ato mund të quhen koeficientë të polinomit.

Kur shqyrtohet shembulli, është e qartë se një polinom i formës 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 përmban 4 polinome: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x dhe 7 me koeficientët e tyre përkatës 2, − 0, 5, 3 dhe 7. Kjo do të thotë që 2, − 0, 5, 3 dhe 7 konsiderohen koeficientë të termave të një polinomi të caktuar të formës 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Gjatë konvertimit, është e rëndësishme t'i kushtoni vëmendje koeficientëve përpara variablave.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Nga disa variabla. Le të kujtojmë fillimisht konceptin e një polinomi dhe përkufizimet që lidhen me këtë koncept.

Përkufizimi 1

Polinom-- është shuma e monomëve.

Përkufizimi 2

Termat polinom-- këto janë të gjithë monomë të përfshirë në një polinom.

Përkufizimi 3

Një polinom i formës standarde është një polinom i përbërë nga monome të formës standarde që nuk ka terma të ngjashëm.

Përkufizimi 4

Shkalla e një polinomi të formës standarde-- shkalla më e madhe e shkallëve të monomëve të përfshirë në të.

Tani le të prezantojmë drejtpërdrejt përkufizimin e një polinomi në dy ndryshore.

Përkufizimi 5

Një polinom termat e të cilit kanë vetëm dy ndryshore të dallueshme quhet polinom në dy ndryshore.

Shembull: $(6y)^6+(13xy)^5$.

Veprimet e mëposhtme mund të kryhen mbi binomet: binomet mund t'i shtohen dhe zbriten njëri-tjetrit, të shumëzohen me njëri-tjetrin dhe gjithashtu të shumëzohen me një monom dhe të ngrihen në çdo fuqi.

Shuma e polinomeve në dy ndryshore

Le të shqyrtojmë shumën e binomeve duke përdorur shembullin

Shembulli 1

Le të shtojmë binomet $(xy)^5+(3x)^5$ dhe $(3x)^5-(xy)^5$

Zgjidhje.

Hapi i parë është të shkruani këto polinome si një shumë:

\[\majtas((xy)^5+(3x)^5\djathtas)+((3x)^5-(xy)^5)\]

Le të zgjerojmë kllapat:

\[(xy)^5+(3x)^5+(3x)^5-(xy)^5\]

\[(6x)^5\]

Përgjigje:$(6x)^5$.

Diferenca e polinomeve në dy ndryshore

Shembulli 2

Zbrit nga binomi $(xy)^5+(3x)^5$ binomi $(3x)^5-(xy)^5$

Zgjidhje.

Hapi i parë është të shkruani këto polinome si një ndryshim:

\[\majtas((xy)^5+(3x)^5\djathtas)-((3x)^5-(xy)^5)\]

Le të zgjerojmë kllapat:

Ju kujtojmë se nëse ka një shenjë minus para kllapave, atëherë kur të hapen kllapat, shenjat në kllapa do të ndryshojnë në të kundërtën.

\[(xy)^5+(3x)^5-(3x)^5+(xy)^5\]

Le të paraqesim terma të ngjashëm, dhe si rezultat marrim:

\[(2xy)^5\]

Përgjigje:$(2xy)^5$.

Prodhimet e një monomi dhe një polinomi në dy ndryshore

Shumëzimi i një monomi me një polinom rezulton gjithmonë në një polinom.

Skema e shumëzimit të një monomi me një polinom

është duke u përpiluar një vepër.
Hapen kllapat. Për të hapur kllapat gjatë shumëzimit, duhet të shumëzoni çdo monom me secilin anëtar të polinomit dhe t'i shtoni ato së bashku.
numrat grupohen me numra që janë të njëjtat variabla me njëri-tjetrin.
numrat shumëzohen dhe fuqitë e variablave identike përkatëse shtohen.

Shembulli 3

Shumëzoni monomin $x^2y$ me polinomin $(x^2y^2-x^2-y^2)$

Zgjidhje.

Le të kompozojmë një pjesë:

Le të zgjerojmë kllapat:

Duke shumëzuar, marrim:

Përgjigje:$x^4y^3+x^4y\ +(x^2y)^3$.

Prodhimi i dy polinomeve me dy ndryshore

Rregulla për shumëzimin e një polinomi me një polinom: Për të shumëzuar një polinom me një polinom, është e nevojshme të shumëzoni çdo term të polinomit të parë me çdo term të polinomit të dytë, të shtoni produktet që rezultojnë dhe të reduktoni polinomin që rezulton në një standard. formë.

Koncepti i një polinomi

Përkufizimi 1

Monomial- këto janë numra, ndryshore, fuqitë dhe prodhimet e tyre.

Përkufizimi 2

Polinom-- është shuma e monomëve.

Shembull: $(31xy)^5+y^6+(3xz)^5$.

Përkufizimi 4

Forma standarde e monomit-- regjistrimi i një monomi si prodhim i numrit dhe fuqive natyrore të ndryshoreve të përfshira në monom.

Përkufizimi 5

Polinom i formës standardeështë një polinom i përbërë nga monome të një forme standarde që nuk ka anëtarë të ngjashëm.

Përkufizimi 6

Fuqia e një monomi-- shuma e të gjitha fuqive të ndryshoreve të përfshira në monom.

Përkufizimi 7

Shkalla e një polinomi të formës standarde-- shkalla më e madhe e shkallëve të monomëve të përfshirë në të.

Për konceptin e një polinomi të disa ndryshoreve, mund të dallohen raste të veçanta: binom dhe trinom.

Përkufizimi 8

Binom-- një polinom i përbërë nga dy terma.

Shembull: $(6b)^6+(13aс)^5$.

Përkufizimi 9

Trinomi-- një polinom i përbërë nga tre terma.

Shembull: $(xy)^5+y^6+(xz)^5$

Veprimet e mëposhtme mund të kryhen në polinome: polinomet mund t'i shtohen dhe zbriten njëri-tjetrit, të shumëzohen me njëri-tjetrin dhe gjithashtu të shumëzohen me një monom.

Shuma e polinomeve

Polinomet mund t'i shtohen njëri-tjetrit. Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 1

Le të shtojmë polinomet $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$ dhe $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$

Hapi i parë është të shkruani këto polinome si një shumë:

\[\majtas((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\djathtas)+((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Le të zgjerojmë kllapat:

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5+(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5\]

\[(2xy)^5+\ (12y)^6+(16x)^5\]

Shohim se shuma e këtyre dy polinomeve rezultoi gjithashtu në një polinom.

Diferenca e polinomeve

Shembulli 2

Zbrisni polinomin $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$ nga polinomi $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$.

Hapi i parë është të shkruani këto polinome si një ndryshim:

\[\majtas((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\djathtas)-((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Le të zgjerojmë kllapat:

Ju kujtojmë se nëse ka një shenjë minus para kllapave, atëherë kur të hapen kllapat, shenjat në kllapa do të ndryshojnë në të kundërtën.

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5-(6y)^6+(xy)^5-(3x)^5\]

Le të paraqesim terma të ngjashëm, dhe si rezultat marrim:

\[(4xy)^5+(10x)^5\]

Ne shohim se ndryshimi midis këtyre dy polinomeve rezultoi gjithashtu në një polinom.

Produktet e një monomi dhe një polinomi

Shumëzimi i një monomi me një polinom rezulton gjithmonë në një polinom.

Skema e shumëzimit të një monomi me një polinom.

është duke u përpiluar një vepër.
Hapen kllapat. Për të hapur kllapat, kur shumëzoni, duhet të shumëzoni çdo monom me secilin anëtar të polinomit dhe t'i shtoni ato së bashku.
numrat grupohen me numra që janë të njëjtat variabla me njëri-tjetrin.
numrat shumëzohen dhe fuqitë e variablave identike përkatëse shtohen.

Shembulli 3

Shumëzoni monomin $(-m^2n)$ me polinomin $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Zgjidhje.

Le të kompozojmë një pjesë:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Le të zgjerojmë kllapat:

\[\majtas(-m^2n\ \djathtas)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \djathtas)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Duke shumëzuar, marrim.

Le të marrim dy shkronja x Dhe y. Produkti ku A– një numër i quajtur monom. Shkalla e saj është k+l. Shuma e monomëve quhet polinom. Ndryshe nga polinomet me një ndryshore, nuk ka asnjë shënim standard të pranuar përgjithësisht për polinomet me një numër të madh variablash.
Ashtu si polinomet në një ndryshore, polinomet në dy ndryshore mund të faktorizohen. Një zgjerim i rëndësishëm është zgjerimi i diferencës n- s diploma për të cilat dini n=2 Dhe 3 :

Këto formula përgjithësohen lehtësisht për arbitrare n:

Shuma n- s shkallët mund të zgjerohen lehtësisht në rastin kur n i çuditshëm. Termi mund të përfaqësohet si dhe përdorni formulën e zgjerimit të diferencës n- s gradë.

Polinome simetrike
Midis polinomeve në dy ndryshore, polinomet simetrike luajnë një rol të rëndësishëm, domethënë polinomet që nuk ndryshojnë kur shkronjat riorganizohen. x Dhe y.

Polinom simetrik- një polinom në n variabla që nuk ndryshon me të gjitha permutacionet e ndryshoreve të përfshira në të.

Shembuj

Polinomet bazë simetrike - polinomet e formës

specifike për , pra këto:

Mësimi i Algjebrës dhe filloi analiza e klasës së 11-të

"Polinomet në disa ndryshore"

Qëllimet: Zgjeroni njohuritë për polinomet me një ndryshore dhe polinomet në disa ndryshore, për teknikat e faktorizimit të polinomeve.

Detyrat:

arsimore :

të zhvillojë aftësinë për të paraqitur një polinom me disa ndryshore në një formë standarde;

të konsolidojë aftësitë e faktorizimit të një polinomi në mënyra të ndryshme;

mësoni se si të zbatoni detyrat kryesore jo vetëm në situata të njohura, por të modifikuara dhe të panjohura.

Zhvillimore

të sigurojë kushte për zhvillimin e proceseve njohëse;

promovojnë zhvillimin e të menduarit logjik, vëzhgimin, aftësinë për të përmbledhur saktë të dhënat dhe për të nxjerrë përfundime;

cnxisin zhvillimin e aftësive për të zbatuar njohuritë në kushte jo standarde

arsimore :

të krijojë kushte për rrënjosjen e respektit për trashëgiminë kulturore dhe historike të shkencës matematikore;

nxisin shkrim-leximin e nxënësve me gojë dhe me shkrim.

Lloji i mësimit: mësim për të mësuar një temë të re

Pajisjet: kompjuter, projektor, ekran, fletë pune.

Plani i mësimit:

1. Moment organizativ: fjalim hyrës nga mësuesi, (1 min.)
2. Përditësimi i njohurive bazë. (6 min.):

3. Studimi i një teme të re. (7 min)
4. Konsolidimi i njohurive të marra. (15 minuta)

5.Përdorimi i materialit historik. (3 min)

6. Monitorimi i rezultateve të konsolidimit primar - punë e pavarur (5 min)

6. Përmbledhja e mësimit. Reflektimi. (2 minuta)

7. Detyrë shtëpie, udhëzime për plotësimin e saj (1 min.)

Gjatë orëve të mësimit

1. Prezantimi i mësuesit

Tema "Polinomet" (polinome në një ndryshore, polinome në disa ndryshore) është e rëndësishme, aftësia për të pjesëtuar një polinom me një polinom me një "kënd", teorema e Bezout, një rrjedhojë e teoremës së Bezout, përdorimi i skemës së Hornerit gjatë zgjidhjes. ekuacionet e gradave më të larta do t'ju lejojnë të përballeni me detyrat më komplekse të USE për një kurs të shkollës së mesme.

Nuk ka nevojë të kesh frikë të bësh gabime; këshilla për të mësuar nga gabimet e të tjerëve është e kotë; mund të mësosh vetëm nga gabimet e tua. Jini aktiv dhe të vëmendshëm.

2.Përditësimi i njohurive bazë

Punë në fletë (faktor në mënyra të ndryshme) Punë në dyshe

2 x (x-y) + 3 y (x-y)

a (a+ b) -5 b (a+b)

3 a (a+ z)+ (a +z)

3a +3b +c (a+b)

2 (m +n) +km + kn

nga +4 (x + y) + bx

x y + xz + 6y + 6z

4a + 4 b + bx + sëpatë

cb + 3a + 3b +ac

cd + 2b +bd +2 c

fq 2 x + p x 2

2 para Krishtit -4 p.e.s

3 x 2 + 3 x 3 y

6 a 2 b + 3 ab 2

9 x 2 – 4 vjeç 2

16 m 2 – 9 n 2

X 3 +y 3

a 3 – 8 vj 3

m 2 +3m -18

2 x 2 + 3x+1

3 vjet 2 + 7 vjeç – 6

3a 2 + 7 a + 2

7n 2 + 9 n + 2

6 m 2 - 11 m + 3

a 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

(Kontrollo kolegë për të vlerësuar)

A është gjithçka e qartë? Çfarë problemesh keni hasur?

Si ta paraqesim ne forme pune???

a 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

Le t'i kthehemi kësaj çështjeje pak më vonë.

3. Studimi i një teme të re.

Si mund t'i quajmë shprehjet që kemi faktorizuar?Polinom me disa ndryshore)

Forma standarde e një polinomi me disa ndryshore

5 xx – 2 y x y 2 + (- 3 y ) + 45 xxyy A mund të quhet polinom i formës standarde? Paraqisni atë në formë standarde.5 x 2 – 2 x y 3 + 45 x 2 y 2

(Dalloni polinomet me një ndryshore dhepolinomet me disa variabla, përfaqësojnë një polinom në formë standarde, paraqesin një polinom si produkt))

Ti po shtriheshepolinomet e faktorëve në disa ndryshore. Rendisni këto metoda.(rrëshqitje)

Polinome të shkallëve më të larta me një ndryshore u faktorizuan sipas skemës së Horner-it, pjesëtimi me një kënd, duke përdorur teoremën e Bezout.

Konsulentët në bord shpjegojnë në dy mënyra

. a 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

Përfundimi i mësuesit: jo një metodë e qartë, por interesante.

4. Konsolidimi i njohurive të marra

(Puna në grupet nr. 2.2 të tekstit shkollor, nëse është e mundur, faktorizohet në dy mënyra, nr. 2.3)

№ 2.2

№ 2.3

5.Përdorimi i materialit historik.

Tregimet e nxënësve për Bezu, Gorner

Lidhu me modernitetin

Punë e pavarur

1 opsion

Opsioni 2

Jepet një polinom f ( x ; y )= yx 5 y 2 x 2 + x 3 y 4 xy 2 -2 x 4 y(-1) y 5 – y 3 y 3 x 4 +15 x 4 yx 3 y 2 + x 2 y 2 ( x 5 y- x 2 y 4 )

Dan polinom f(a;b)= a 2 b(a 3 b-b 2 a 2 )+4a 3 (-1)b 2 a 2 -2aba 4 b+ 7ab 0 a 4 b 2 -3a 3 bab 2

A) Reduktojeni këtë polinom në formën standarde.

B) Përcaktoni nëse polinomi i dhënë është homogjen.

C) Nëse ky polinom është homogjen, përcaktoni shkallën e tij.

(Kontrolloni rrëshqitjet) jepini vetes një notë

7. Detyrë shtëpie, udhëzime për plotësimin e sajNr.2.1; Nr. 2.4 (c, d); Nr. 2.7 (b) për të gjithëNr. 2.11 (a, b) Nxjerr formulën e shumëzimit të shkurtuar “Katrori i shumës së një trinomi”, faktorizimi x n - y n Për n - natyrale.- per ata qe duan Algjebra dhe fillimet e analizës pjesa 2. Libri me problematika e klasës së 11-të. Autorë: A. G. Mordkovich, P. V. Semenov;

8. Duke përmbledhur mësimin. Reflektimi

Hapat e mësimit

Koha, min

Veprimtaritë e mësuesit

Veprimtaritë e nxënësve

Metodat, teknikat dhe format e trajnimit

Rezultati i parashikuar i aktiviteteve edukative

Mbështetje edukative dhe metodologjike